View
221
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Na tym wykładzie chciałbym przekonać Państwa, że Mathematica może być pomocna w studiowaniu analizy matematycznej.
Liczby i działania na liczbach(* liczby całkowite *)
należy do
Element[-1,zbiór liczb całkowitych
Integers]
True
(* inaczej, używając pomocy Writing Assistant *)
-1 ∈
zbiór liczb całkowitych
Integers
True
(* Dlaczego to jest ważne ? *)
uprość
Simplify[sinus
Sin[n *
pi
Pi]]
Sin[n π]
uprość
Simplify[sinus
Sin[n *
pi
Pi],należy do
Element[n,zbiór liczb całkowitych
Integers]]
0
(* liczby pierwsze *)
należy do
Element[5,zbiór liczb pierwszych
Primes]
True
należy do
Element[15,zbiór liczb pierwszych
Primes]
False
należy do
Element3 5,zbiór liczb całkowitych
Integers
False
(* dzielniki liczby calkowitej *)
dzielniki
Divisors[17]
{1, 17}
dzielniki
Divisors[36]
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
(* najwiekszy wspolny podzielnik greatest common divisor *)
największy wspólny dzielnik
GCD[30, 15, 100]
5
(* najmniejsza wspólna wielokrotność least common multiple *)
najmniejsza wspólna wielokrotność
LCM[12, 50, 8]
600
(* liczby wymierne *)
należy do
Element3 5,liczby wymierne
Rationals
True
(* inaczej *)
3 5 ∈
liczby wymierne
Rationals
True
należy do
Element[l⋯
E,liczby wymierne
Rationals]
False
(* liczby rzeczywiste *)
należy do
Element[l⋯
E,liczby rzeczywiste
Reals]
True
należy do
Element[pi
Pi,liczby rzeczywiste
Reals]
True
j⋯
I *
jedność urojona
I
-1
należy do
Element[⋯
I,liczby rzeczywiste
Reals]
False
(* liczby zespolone *)
należy do
Element[⋯
I,liczby zespolone
Complexes]
True
2 NOF_2.nb
(* inaczej *)
ⅈ ∈
liczby zespolone
Complexes
True
rozwiąż równanie
Solve[z^2 + 1 ⩵ 0, z]
{{z → -ⅈ}, {z → ⅈ}}
należy do
Element[3 - 4 *
⋯
I,liczby zespolone
Complexes]
True
(* Upraszczanie wyrażeń *)
2 5 2 + 1 2 * 4 + 1 5 - 1 + 3 40 + 135 100 27 10
1
(* Definiujemy dwie liczby z pierwiastkami, x i y,
a następnie upraszczamy ich różnicę, iloczyn i iloraz *)
x = 2 -
pierwiastek kwadratowy
Sqrt[2]; y = 1 + 2 *pierwiastek kwadratowy
Sqrt[2];
uprość
Simplify[x - y]
1 - 3 2
uprość
Simplify[x * y]
-2 + 3 2
uprość
Simplify[y / x]
3 +5
2
3 + 5 *
pierwiastek kwadratowy
Sqrt[2] 2 ⩵ y / x
True
wyczyść wszystko
ClearAll[x, y];
(* Uproscic wyrazenie *)
uprość
Simplify[wartość⋯
Abs[x] +
wartość bez⋯
Abs[x + 1] +
pierwiastek kwadratowy
Sqrt[x^2 + 4 * x + 4],należy do
Element[x,liczby rzeczywiste
Reals]]
Abs[x] + Abs[1 + x] + Abs[2 + x]
(* Uproscic wyrazenia z logarytmami *)
NOF_2.nb 3
? Log
Log[z] gives the natural logarithm of z (logarithm to base e).
Log[b, z] gives the logarithm to base b.
lo⋯
Log[liczba Eulera
E]
1
lo⋯
Log[pier⋯
Sqrt[liczba Eulera
E]]
1
2
(* bo ... *)
liczba Eulera
E^1 2 ⩵
pier⋯
Sqrt[liczba Eulera
E]
True
logarytm dziesiętny
Log10[1000]
3
(* bo ... *)
10^3 ⩵ 1000
True
logarytm
Log64, 1 4
-1
3
(* bo ... *)
64^-1 3 ⩵ 1 4
True
logarytm
Log32, 1 2
-1
5
logarytm
Log4,pierwiastek kwadratowy
Sqrt[2] 2
-Log[2]
2 Log[4]
4 NOF_2.nb
uprość
Simplify-Log[2]
2 Log[4]
-Log[2]
Log[16]
uprość pełniej
FullSimplify-Log[2]
Log[16]
-1
4
logarytm
Log5, 2 10
-1
uprość
Simplify[36^logarytm
Log[6, 5]]
36Log5
Log6
uprość pełniej
FullSimplify[36^logarytm
Log[6, 5]]
25
uprość
Simplifya a - b - b b - a - a * 1 - a b^2 - a^2
a + 2 a b + b2
a2 - b2
rozłóż na ułamki proste
Aparta + 2 a b + b2
a2 - b2
-1 +-1 - 3 a
2 -a + b+
1 - a
2 a + b
(* Rozłożyć na czynniki *)
rozłóż na czynniki
Factor[x^6 + 6 * x^5 - x^4 - 6 * x^3]
-1 + x x3 1 + x (6 + x)
(* Dla jakiej wartosci k wielomian W(x)=
x^5+3*x^4+2*x^3-5*x^2+3*x+k jest podzielny przez x-2 ? *)
rozwi⋯
Solve[reszta z dzielenia wielomianów
PolynomialRemainder[x^5 + 3 * x^4 + 2 * x^3 - 5 * x^2 + 3 * x + k, x - 2, x] ⩵ 0, k]
{{k → -82}}
(* sprawdzenie *)
uprość
Simplifyx^5 + 3 * x^4 + 2 * x^3 - 5 * x^2 + 3 * x - 82 x - 2
41 + 19 x + 12 x2 + 5 x3 + x4
NOF_2.nb 5
Równania i nierównościzredukuj
Reducex x^2 - 2 x^2 - 3 > 0, x,liczby rzeczywiste
Reals
- 3 < x < - 2 || 0 < x < 2 || x > 3
zredukuj
Reduce[2^x >
liczba E⋯
E^x, x,liczby rzeczywiste
Reals]
x < 0
(* Dopuszczalna jest nierownosc jednoczesna *)
uprość
Simplifyzredukuj
Reduce2 <
wa⋯
Absliczba Eulera
E^2 * x - 3 < 3, x,liczby rzeczywiste
Reals
x < 0 ||Log[5]
2< x <
Log[6]
2
(* Inny zapis z logicznym "and" *)
uprość
Simplifyzredukuj
Reduce2 <
wa⋯
Absliczba Eulera
E^2 * x - 3 &&wa⋯
Absliczba Eulera
E^2 * x - 3 < 3, x,liczby rzeczywiste
Reals
x < 0 ||Log[5]
2< x <
Log[6]
2
(* Uwaga: || to logiczne "lub" *)
⋯
Nuprość
Simplifyzredukuj
Reduce2 <
wa⋯
Absliczba Eulera
E^2 * x - 3 &&wa⋯
Absliczba Eulera
E^2 * x - 3 < 3, x,liczby rzeczywiste
Reals
x < 0. || 0.804719 < x < 0.89588
(* Dobrze jest wynik sprawdzic na rysunku *)
wykres
Plot2, 3,wa⋯
Absliczba Eulera
E^2 * x - 3, {x, -1, 1},zakres wykresu
PlotRange → {1.8, 3.1}
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
(* Przykład nierówności wymiernej *)
6 NOF_2.nb
uprość
Simplifyzredukuj
Reducex + 1^2 - x^2 x * 2 * x + 1 < -1, x,liczby rzeczywiste
Reals
-1 < x < 0
(* Podaj dziedzine funkcji f(x)=pierwiastek k⋯
Sqrt[4-x^2]+logarytm
Log[1-x],
czyli nierówność z logarytmem i pierwistkiem kwadratowym *)
uprość
Simplify[zredukuj
Reduce[4 - x^2 ≥ 0 && 1 - x > 0, x,liczby rzeczywiste
Reals]]
-2 ≤ x < 1
(* ... albo jeszcze prościej tak *)
In[1]:=
dziedzina funkcji
FunctionDomain[pierwiastek kwadr⋯
Sqrt[4 - x^2] +
logarytm
Log[1 - x], x]
Out[1]= -2 ≤ x < 1
(* Przykład nierówności trygonometrycznej *)
uprość
Simplify[zredukuj
Reduce[sinus
Sin[x] +
cosinus
Cos[x] >
pierwiaste⋯
Sqrt[2] *
cosinus
Cos[2 * x], x,liczby rzeczywiste
Reals]]
C[1] ∈ Integers && 2 ArcTan1 - 2 + π C[1] < x < 2 ArcTan1 + 2 + π C[1]
(*
stała
C[1] jest dowolną liczbą całkowitą, a literastała
C jest zastrzeżona dla stałych *)
uprość pełniej
FullSimplify[zredukuj
Reduce[sinus
Sin[x] +
cosinus
Cos[x] >
pierwiaste⋯
Sqrt[2] *
cosinus
Cos[2 * x], x,liczby rzeczywiste
Reals]]
C[1] ∈ Integers && π + 4 x > 8 π C[1] && 4 x < π 3 + 8 C[1]
(* Zmiana: teraz szukamy rozwiązań w postaci par liczb całkowitych *)
uprość
Simplify[zredukuj
Reduce[x^2 + y^2 - 2 * x ⩵ 7, {x, y},zbiór liczb całkowitych
Integers]]
x ⩵ -1 || x ⩵ 3 && y ⩵ -2 || y ⩵ 2
(* Rysowanie funkcji danej w postaci uwikłanej *)
NOF_2.nb 7
wykres kontu⋯
ContourPlotcosinus
Cos[x] +
cosinus
Cos[y] ⩵ 1 2, {x, 0, 4pi
Pi}, {y, 0, 4pi
Pi}
0 2 4 6 8 10 12
0
2
4
6
8
10
12
(* Możemy podać więcej równań *)
wykres konturowy
ContourPlotx^2 + y^2 ⩵ 2, x^2 - y^2 ⩵ 1 4,
{x, -2, 2}, {y, -2, 2},osie
Axes →
pra⋯
True,oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "y"}
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x
y
(* Zadanie 6 z zestawu nr 2:
Jaką figurę geometryczną wyznacza na płaszczyźnie xy układ nierówności:
2*x+y ≤ 4, (x+4)2 ≥ y , y ≥ -1 ? *)
8 NOF_2.nb
wykres regionu na płaszczyźnie
RegionPlot2 * x + y ≤ 4 && (x + 4) 2 ≥ y && y ≥ -1, {x, -7, 3}, y, -3 2, 3
-6 -4 -2 0 2
-1
0
1
2
3
(* Zadanie 4 z zestawu nr 4: Dana jest funkcja f(x)=
2*x-3. Narysować wykresy funkcji f(x), f(x)-1, fx+1,
f(-x),-f(x), -f(-x), f(x) , f2*x, f1x, f^-1(x),1f(x) *)
wyczyść
Clear[f, x];
f[x_] := 2 * x - 3
sol =
rozwiąż równanie
Solve[f[x] ⩵ y, x]
x →3 + y
2
wyczyść wszystko
ClearAll[g, y];
g[y_] := x /. sol[[1]]
g[y]
3 + y
2
NOF_2.nb 9
wykres
Plotf[x], f[x] - 1, f[x + 1], f[-x], -f[x], -f[-x],wartość bezwzględna
Abs[f[x]], f[2 * x], f1 x, g[x],
{x, -2, 2},legenda dla grafik
PlotLegends → "f(x)", "f(x)-1", "f(x+1)", "f(-x)",
"-f(x)", "-f(-x)", "|f(x)|", "f(2x)", "f(1/x)", "f-1(x)"
-2 -1 1 2
-15
-10
-5
5
10
15 f(x)
f(x)-1
f(x+1)
f(-x)
-f(x)
-f(-x)
|f(x)|
f(2x)
f(1/x)
f-1(x)
Granice ciągów i funkcji(* Przykład "zwykłej" definicji ciągu *)
a[n_] := n! n^2 + 1
tabela
Table[a[n], {n, 1, 12}]
1
2,2
5,3
5,24
17,60
13,720
37,504
5,8064
13,181 440
41,3 628 800
101,19 958 400
61,95 800 320
29
wyczyść wszystko
ClearAll[a]
(* Rekurencyjna definicja ciągu Fibonacciego *)
a[1] = a[2] = 1; a[n_] := a[n - 2] + a[n - 1];
a[3]
2
tabela
Table[a[n], {n, 1, 15}]
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610}
wyczyść wszystko
ClearAll[a]
(* Mathematica potrafi rozpoznać, z jakim ciągiem mamy do czynienia *)
rozwiąż równania rekurencyjne
RSolve[{a[1] == 1, a[2] == 1, a[n] == a[n - 2] + a[n - 1]}, a[n], n]
{{a[n] → Fibonacci[n]}}
10 NOF_2.nb
Granice ciągów (przy n→∞)
(* Dzięki programowi Mathematica mamy szansę lepiej zrozumieć definicje *)
(* Mozemy sprawdzic z definicji, ze granica ponizszych ciagow wynosi zero *)
(* Poniżej obrazek z serwisu
http://www.analizamatematyczna.enhost.pl *)
g = 0;uprość
Simplifyzredukuj
Reducewartość bezwzględna
Abs1 n - g < epsilon, n,liczby rzeczywiste
Reals, n > 0 && epsilon > 0
epsilon n > 1
(* czyli n > 1epsilon *)
g = 0;
wn =
uprość
Simplifyzredukuj
Reducewartość bezwzględna
Abs1 n^2 + n - g < epsilon, n,liczby rzeczywiste
Reals,
n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < 1
1 + 2 n >4 + epsilon
epsilon
(* czyli n >4+epsilon
epsilon-1 2 *)
g = 0;
uprość
Simplify[zredukuj
Reduce[wartość bezwzględna
Abs[2^(-n) - g] < epsilon, n,liczby rzeczywiste
Reals], n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < 1]
n Log[2] + Log[epsilon] > 0
(* czyli n > -
logarytm
Log[epsilon]logarytm
Log[2] *)
g = 3;
uprość
Simplifyzredukuj
Reducewartość bezwzględna
Abs3 * n^2 + n - 1 n^2 + 5 n + 2 - g < epsilon, n,liczby rzeczywiste
Reals,
n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < 1
epsilon 5 + 2 n > 14 + 196 - 112 epsilon + 17 epsilon2
NOF_2.nb 11
epsilon = 1 1000;
soln0 =
⋯
Nrozwiąż równanie
Solveepsilon 5 + 2 n == 14 +√
196 - 112 epsilon + 17 epsilon2, n;
n0 =
sufit
Ceiling[n /. soln0[[1]]];
wykres
Plot3 * n^2 + n - 1 n^2 + 5 n + 2, 3, 3 + epsilon, 3 - epsilon,
{n, n0 - 1000, n0 + 10 000},zakres wykresu
PlotRange → 3 - epsilon * 11 10, 3 + epsilon * 11 10
14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 24 000
2.9990
2.9995
3.0000
3.0005
3.0010
(* Pewne BARDZO znane granice *)
granica
Limit1 + 1 n^n, n →
nieskończoność
Infinity
ⅇ
(* To nie jest "zwykłe" e, ale liczba Eulera,
w Mathematice oznaczane przezliczba Eulera
E albo specjalne, pogrubione e *)
granica
Limit1 - 1 n^n, n →
nieskończoność
Infinity
1
ⅇ
(* Wzór Stirlinga *)
granica
Limitn! *
liczba Eulera
E^n n^n *pierwias⋯
Sqrt[2 *pi
Pi * n] , n →
nieskończoność
Infinity
1
granica
Limit6 * n^2 - 2 * n + 2 3 * n^2 + 5 * n - 2, n →
nieskończoność
Infinity
2
granica
Limit2^n + 3 3^n + 2, n →
nieskończoność
Infinity
0
12 NOF_2.nb
granica
Limitsinus
Sin[n!] n + 2, n →
nieskończoność
Infinity
0
granica
Limitsumowanie
Sum[2 * i - 1, {i, 1, n}] n + 2, n →
nieskończoność
Infinity
∞
granica
Limitsumowanie
Sum[i, {i, 1, n}] n^2, n →
nieskończoność
Infinity
1
2
granica
Limitn^2 + n + 3 3 * n^2 - 5 * n - 2, n →
nieskończoność
Infinity
1
3
Granice funkcji
(* Na początek ostrzeżenie *)
wyk⋯
Plotfunkcja eksponencjalna
Exp-1 x, {x, -2, 2},zakres wykresu
PlotRange → {-2, 10},oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "f(x)"}
-2 -1 1 2x
-2
2
4
6
8
10f(x)
granica
Limitfunkcja eksponencjalna
Exp-1 x, x → 0
0
(* To nie jest poprawna odpowiedź, bo 0 jest granicą prawostronną,
a granica jako taka nie istnieje ! *)
(* W przypadkach wątpliwych warto narysować
funkcję i sprawdzić jawnie granicę prawostronną ... *)
granica
Limitfunkcja eksponencjalna
Exp-1 x, x → 0,kierunek
Direction → -1
0
(* oraz lewostronną: *)
NOF_2.nb 13
granica
Limitfunkcja eksponencjalna
Exp-1 x, x → 0,kierunek
Direction → 1
∞
(* Granice z funkcji wymiernych *)
granica
Limit[-5 * x^2 - 3 * x + 1, x → -
nieskończoność
Infinity]
-∞
granica
Limit[-3 * x^2 *pierwiastek kwadratowy
Sqrt[5 * x^2 + 7], x →
nieskończoność
Infinity]
-∞
granica
Limit-5 * x^5 + 3 * x x^2 - 2, x → -
nieskończoność
Infinity
∞
granica
Limitx^4 - 1 x - 1, x → 1
4
granica
Limitx^2 - 4 * x + 3 x - 3, x → 3
2
granica
Limitx^3 + 1^1 4 + x^4 + 1^1 3, x →
nieskończoność
Infinity
∞
granica
Limitsinus
Sin[x] x, x → 0
1
granica
Limitcosinus
Cos[x] x *
sinus
Sin[x], x → 0
∞
granica
Limitpierwiastek kwadratowy
Sqrt[x] - 1 x - 1, x → 1
1
2
granica
Limit5 * x^4 - 2 * x^2 - 17 8 - 12 * x^3 - x^4, x →
nieskończoność
Infinity
-5
granica
Limit2 x - 2 - (x + 6) x^2 - 4, x → 2
1
4
14 NOF_2.nb
Ostrożność jest wymagana w przypadku funkcji wielu zmiennych
Przykład: g(x,y)= x y2
x2+y2
limit1 =
granica
Limitgranica
Limitx * y^2 x^2 + y^2, y →
nieskończoność
Infinity, x →
nieskończoność
Infinity
∞
limit2 =
granica
Limitgranica
Limitx * y^2 x^2 + y^2, x →
nieskończoność
Infinity, y →
nieskończoność
Infinity
0
Granica nie powinna zależeć od drogi, po której zmierzamy do punktu (x0,y0) w płaszczyźnie XY !
Szeregi liczboweZbieżność szeregu liczbowego: czy granica sumy ∑i=1
n ai istnieje przy n → ∞ ?
(* Szereg harmoniczny jest rozbieżny *)
zbieżność sumy
SumConvergence1 n, n
False
(* ale taki naprzemienny szereg jest już zbieżny *)
zbieżność sumy
SumConvergence-1^n n, n
True
(* i Mathematica zna sumę tego szeregu: *)
sumowanie
Sum-1^n n, {n, 1,nieskończoność
Infinity}
-Log[2]
zbieżność sumy
SumConvergence1 n^2, n
True
sumowanie
Sum1 n^2, {n, 1,nieskończoność
Infinity}
π2
6
(* Bardziej ogólny wynik dla szeregu 1n^alpha: dostaniemy warunek,
kiedy szereg jest zbieżny *)
NOF_2.nb 15
zbieżność sumy
SumConvergence1 n^alpha, n
Re[alpha] > 1
uprość
Simplifysumowanie
Sum1 n^alpha, {n, 1,nieskończoność
Infinity},część rzeczywista
Re[alpha] > 1
Zeta[alpha]
? Zeta
Zeta[s] gives the Riemann zeta function ζ(s).
Zeta[s, a] gives the generalized Riemann zeta function ζ(s, a).
(* Znany wynik dla szeregu geometrycznego *)
zbieżność sumy
SumConvergence[q^n, n]
Abs[q] < 1
uprość
Simplify[sumowanie
Sum[q^n, {n, 1,nieskończoność
Infinity}],wartość bezwzględna
Abs[q] < 1]
-q
-1 + q
PochodnePochodna funkcji f(x) w punkcie x0
(https://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna)
16 NOF_2.nb
(* Używając w programie Mathematica komendyoblicz pochodną
D,musimy zawsze wskazać,
po czym różniczkujemy, nawet jeśli nam wydaje się to zupełnie oczywiste ! *)
h = a * x^6
a x6
oblicz pochodną
D[h, x]
6 a x5
oblicz pochodną
D[h, a]
x6
(* pochodne wyższych rzędów *)
oblicz pochodną
D[h, {x, 4}]
360 a x2
w[x_] := x^3 x^2 + 1
w'[x]
-2 x4
1 + x22+
3 x2
1 + x2
w''[x]
8 x5
1 + x23-
14 x3
1 + x22+
6 x
1 + x2
uprość
Simplify[w''[x]]
-2 x -3 + x2
1 + x23
(* i tak dalej ... *)
uprość
Simplify[w''''''[x]]
-720 x -7 + 35 x2 - 21 x4 + x6
1 + x27
uprość
Simplify[oblicz pochodną
D[w[x], {x, 6}]]
-720 x -7 + 35 x2 - 21 x4 + x6
1 + x27
NOF_2.nb 17
⋯
D[pierwiastek kwadratowy
Sqrt[2 * x], x]
1
2 x
⋯
D[sinus
Sin[x] *
cosinus
Cos[x], x]
Cos[x]2 - Sin[x]2
ob⋯
Dsinus
Sin[2 * x]^5, x
10 Cos[2 x] Sin[2 x]4
⋯
D[funkcja eksponencjalna
Exp[7 * x + 3], x]
7 ⅇ3+7 x
⋯
D[tangens
Tan[x], x]
Sec[x]2
In[4]:= (*
secans
Sec[x] to 1cosinus
Cos[x] *)
In[3]:=
secans
Sec[x] === 1 cosinus
Cos[x]
Out[3]= True
In[5]:=
⋯
D[tangens
Tan[x], x] === 1
cosinus
Cos[x]^2
Out[5]= True
oblicz pochodną
D[x^x, x]
xx 1 + Log[x]
(* Mathematica zna też ogólniejsze twierdzenia o pochodnych,
na przykład o pochodnej iloczynu ... *)
oblicz pochodną
D[f1[x] * f2[x], x]
f2[x] f1′[x] + f1[x] f2′[x]
(* lub ilorazu *)
rozłóż ⋯
Factoroblicz pochodną
Df1[x] f2[x], x
f2[x] f1′[x] - f1[x] f2′[x]
f2[x]2
18 NOF_2.nb
(* Równaniami różniczkowymi będziemy się zajmować
bardziej szczegółowo na jednym z kolejnych wykładów;
teraz sprawdźmy, że funkcja x[t]= A*co⋯
Cospierwiastek kwadratowy
Sqrtkm*t+
B*si⋯
Sinpierwiastek kwadratowy
Sqrtkm*t jest rozwiązaniem równania m*x''[t]+k*x[t]=0 *)
wyczyść
Clear[x, A, B, k, m]
x[t_] := A *co⋯
Cospierwiastek kwadratowy
Sqrtk m * t + B *si⋯
Sinpierwiastek kwadratowy
Sqrtk m * t
uprość
Simplify[m * x''[t] + k * x[t] == 0]
True
(* Weźmy funkcję wielu zmiennych *)
v =
sinus
Sin[x + y] *
cosinus
Cos[x - 2 * z]
Cos[x - 2 z] Sin[x + y]
oblicz pochodną
D[v, x]
Cos[x + y] Cos[x - 2 z] - Sin[x + y] Sin[x - 2 z]
oblicz pochodną
D[v, y]
Cos[x + y] Cos[x - 2 z]
oblicz pochodną
D[v, z]
2 Sin[x + y] Sin[x - 2 z]
(* pochodna po x i y *)
oblicz pochodną
D[v, x, y]
-Cos[x - 2 z] Sin[x + y] - Cos[x + y] Sin[x - 2 z]
(* rozwinięcie w szereg *)
szereg
Series[sinus
Sin[x], {x, 0, 5}]
x -x3
6+
x5
120+ O[x]6
szereg
Series[cosinus
Cos[x], {x, 0, 7}]
1 -x2
2+x4
24-
x6
720+ O[x]8
NOF_2.nb 19
wykres
Plotcosinus
Cos[x], 1 - x^2 2 + x^4 24 - x^6 720, {x, 0, 3}
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Jedno z wielu zastosowań pochodnych: równania stycznych do wykresu funkcji
(* Styczna do paraboli y=x^2 o równaniu y = a*x + b *)
wyczyść
Clear[f, x];
f[x_] = x^2
x2
df =
oblicz pochodną
D[f[x], x]
2 x
x0 = 3;
(* Współczynnik kierunkowy prostej jest równy pochodnej w punkce x0 *)
a = df /. x → x0
6
(* Współczynnik b dostajemy z warunku,
ze prosta musi przechodzić przez punkt x0,fx0 *)
solb =
rozwiąż równanie
Solve[a * x0 + b ⩵ f[x0], b]
{{b → -9}}
b = b /. solb[[1]]
-9
20 NOF_2.nb
wykres
Plot[{f[x], a * x + b, f[x0]}, {x, x0 - 3, x0 + 3},zakres wykresu
PlotRange →
ws⋯
All,oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "x^2"}]
1 2 3 4 5 6x
-10
10
20
30
x^2
wyczyść
Clear[a, b, x0];
(* Styczna do elipsy *)
A = 2;
B = 1;
wykres konturowy
ContourPlotx^2 A^2 + y^2 B^2 ⩵ 1, {x, -A, A},
{y, -B, B},osie
Axes →
pra⋯
True,oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "y"},format obrazu
AspectRatio → 1 2
-2 -1 0 1 2-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
wyczyść
Clear[A, B];
elipsa = x^2 A^2 + y^2 B^2 ⩵ 1
x2
A2+y2
B2⩵ 1
(* Dla ustalonego x szukamy y *)
soly =
rozwiąż równanie
Solve[elipsa, y]
y → -B A2 - x2
A, y →
B A2 - x2
A
NOF_2.nb 21
(* Rózniczkuje rownanie elipsy. Dzieki opcjinie stałe
NonConstants→
y moge wyliczyc pochodna dydx ! *)
delipsa =
oblicz pochodną
D[elipsa, x,nie stałe
NonConstants → y]
2 x
A2+2 y D[y, x, NonConstants → {y}]
B2⩵ 0
rozwiąż równanie
Solve[delipsa,oblicz ⋯
D[y, x,nie stałe
NonConstants → {y}]]
D[y, x, NonConstants → {y}] → -B2 x
A2 y
(* Równanie prostej,
która przechodzi przez punkt x0,y0 i ma współczynnik kierunkowy a,
ma postac: y-y0 = a*x - x0 *)
h1 =
zgrupuj
Togethery - y0 +B2 x0
A2 y0x - x0 ⩵ 0
B2 x x0 - B2 x02 + A2 y y0 - A2 y02
A2 y0⩵ 0
h2 =
uprość
Simplify[h1, A > 0 && y0 ≠ 0]
y +B2 x - x0 x0
A2 y0⩵ y0
(* Musimy jeszcze uwzglednic fakt,
ze punkt x0,y0 nalezy do elipsy, czyli spelnia rownanie elipsy *)
h3 =
rozszerz
Expand[h2]
y +B2 x x0
A2 y0-B2 x02
A2 y0⩵ y0
styczna[x0_, y0_] = h3 /. B^2 * x0^2 + A^2 * y0^2 → A^2 * B^2
y +B2 x x0
A2 y0-B2 x02
A2 y0⩵ y0
(* Czesciej uzywana forma *)
styczna2[x0_, y0_] = x0 * x A^2 + y0 * y B^2 ⩵ 1
x x0
A2+y y0
B2⩵ 1
(* Przykład *)
A = 2; B = 1;
x0 = 1;
22 NOF_2.nb
soly
y → -1
24 - x2 , y →
4 - x2
2
solyx0 = soly /. x → x0
y → -3
2, y →
3
2
y0 = {y /. solyx0[[1]], y /. solyx0[[2]]}
-3
2,
3
2
styczna2[x0, y0[[1]]]
x
4-
3 y
2⩵ 1
styczna2[x0, y0[[2]]]
x
4+
3 y
2⩵ 1
A = 2;
B = 1;
wykres konturowy
ContourPlotx^2 A^2 + y^2 B^2 ⩵ 1,x
4+
3 y
2⩵ 1,
x
4-
3 y
2⩵ 1, {x, -2 * A, 2 * A},
{y, -2 * B, 2 * B},osie
Axes →
pra⋯
True,oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "y"},format obrazu
AspectRatio → 1 2
-4 -2 0 2 4-2
-1
0
1
2
x
y
Badanie przebiegu zmienności funkcji(* Zadanie domowe nr 3 z zestawu nr 5:
zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)=x^2+2x+1 *)
wyczyść wszystko
ClearAll[f, x, y];
NOF_2.nb 23
f[x_] = x^2 + 2 x + 1
2 + x2
1 + x
(* Dziedzina funkcji *)
Df =
dziedzina funkcji
FunctionDomain[f[x], x,liczby rzeczywiste
Reals]
x < -1 || x > -1
(* Dziedzina funkcji jest w danym przypadku oczywista *)
uprość
Simplify[zredukuj
Reduce[1 + x ≠ 0, x,liczby rzeczywiste
Reals]]
1 + x ≠ 0
(* Przeciwdziedzina zbiór wartości funkcji: uwaga na składnię ! *)
Rf =
zakres funkcji
FunctionRange[f[x], x, y]
y ≤ 2 -1 - 3 || y ≥ 2 -1 + 3
(* To już nie było takie oczywiste ! *)
(* Granice w minus i plus nieskończoności *)
g1 =
granica
Limit[f[x], x -> -
nieskończoność
Infinity]
-∞
g2 =
granica
Limit[f[x], x ->
nieskończoność
Infinity]
∞
(* Funkcja nie ma więc asymptot poziomych *)
(* Granica lewostronna i prawostronna przy x→ -1 *)
g3 =
granica
Limit[f[x], x → -1,kierunek
Direction → 1]
-∞
g4 =
granica
Limit[f[x], x → -1,kierunek
Direction → -1]
∞
(* Czy funkcja jest parzysta ? *)
uprość pełniej
FullSimplify[kwantyfikator ogólny
ForAll[x, Df, f[x] ⩵ f[-x]]]
False
(* Czy funkcja jest nieparzysta ? *)
24 NOF_2.nb
uprość pełniej
FullSimplify[kwantyfikator ogólny
ForAll[x, Df, f[-x] ⩵ -f[x]]]
False
(* pierwsza pochodna *)
df1 =
uprość
Simplify[oblicz pochodną
D[f[x], x]]
-2 + 2 x + x2
1 + x2
(* Dla jakich x pochodna jest ujemna ? *)
uprość pełniej
FullSimplify[zredukuj
Reduce[df1 < 0, x,liczby rzeczywiste
Reals]]
1 + 3 + x > 0 && 1 + x < 0 || -1 < x < -1 + 3
(* Funkcja jest malejąca dla -1- 3 < x < -1 oraz
gdy -1 < x < -1+ 3 *)
(* Dla jakich x pochodna jest dodatnia ? *)
uprość pełniej
FullSimplify[zredukuj
Reduce[df1 > 0, x,liczby rzeczywiste
Reals]]
1 + 3 + x < 0 || 1 + x > 3
(* Funkcja jest rosnąca dla x < -1- 3 oraz dla x > 3 -1 *)
(* Dla jakich x pochodna przyjmuje wartosc zero ? *)
sdf1zero =
rozwiąż równanie
Solve[df1 ⩵ 0, x]
x → -1 - 3 , x → -1 + 3
(* Lista punktów x, dla których pierwsza pochodna przyjmuje wartość zero *)
zera1poch = x /. sdf1zero
-1 - 3 , -1 + 3
przybliżenie numeryczne
N[zera1poch = x /. sdf1zero]
{-2.73205, 0.732051}
(* Po uproszczeniu wartości funkcji w tych punktach *)
uprość pełniej
FullSimplify[f[zera1poch]]
-2 1 + 3 , 2 -1 + 3
⋯
N[uprość pełniej
FullSimplify[f[zera1poch]]]
{-5.4641, 1.4641}
NOF_2.nb 25
df2 =
uprość
Simplify[oblicz pochodną
D[df1, x]]
6
1 + x3
(* Dla jakich x druga pochodna jest ujemna ? *)
uprość pełniej
FullSimplify[zredukuj
Reduce[df2 < 0, x,liczby rzeczywiste
Reals]]
x < -1
(* Funkcja jest wklęsła dla x < -1 *)
(* Dla jakich x druga pochodna jest dodatnia ? *)
uprość pełniej
FullSimplify[zredukuj
Reduce[df2 > 0, x,liczby rzeczywiste
Reals]]
x > -1
(* Funkcja jest wypukła dla x > -1 *)
(* Dla jakich x druga pochodna przyjmuje wartosc zero ? *)
sdf2zero =
rozwiąż równanie
Solve[df2 ⩵ 0, x]
{}
(* Funkcja nie ma punktów przegięcia *)
(* Wartości drugiej pochodnej dla miejsc zerowych pierwszej pochodnej *)
zera1poch
-1 - 3 , -1 + 3
wartosci2poch = df2 /. sdf1zero
-2
3,
2
3
(* Dlatego f(x) ma w punkcie -1- 3 ,- 2
3 maksimum lokalne,
a w punkcie -1+ 3 , 2
3 minimum lokalne *)
(* Na koniec sprawdzimy jeszcze, czy istnieją asympoty ukośne *)
a1 =
granica
Limitf[x] x, x → -
nieskończoność
Infinity
1
1
1
1
26 NOF_2.nb
b1 =
granica
Limit[f[x] - a1 * x, x → -
nieskończoność
Infinity]
-1
-1
-1
-1
a2 =
granica
Limitf[x] x, x →
nieskończoność
Infinity
1
b2 =
granica
Limit[f[x] - a2 * x, x →
nieskończoność
Infinity]
-1
(* Prosta o równaniu y=x-1 jest asymptotą ukośną zarówno dla x→ -∞,
jak i dla x→ ∞ *)
(* Wykres funkcji wraz z asymptotami *)
wykres
Plot[{f[x], a1 * x + b1}, {x, -4, 3},oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "f(x)"}]
-4 -3 -2 -1 1 2 3x
-15
-10
-5
5
10
f(x)
Całka nieoznaczonacałka
Integrate[x^a, x]
x1+a
1 + a
całka
Integrate1 x, x
Log[x]
NOF_2.nb 27
całka
Integratepierwiastek kwadratowy
Sqrt(x + 7) x + 2, x
1
7 + x
7 + x
2 + x2 + x 7 + x + 5 2 + x ArcSinh
2 + x
5
uprość
Simplifyoblicz pochodną
D1
7 + x
7 + x
2 + x2 + x 7 + x + 5 2 + x
arcus sinus hiperboliczny
ArcSinh2 + x
5 , x
7 + x
2 + x
całka
Integrate[cosinus
Cos[x], x]
Sin[x]
całka
Integrate[sinus
Sin[x], x]
-Cos[x]
całka
Integrate[tangens
Tan[x], x]
-Log[Cos[x]]
całka
Integrate[cotangens
Cot[x], x]
Log[Sin[x]]
całka
Integratesinus
Sin[x] *
cosinus
Cos[x]
sinus
Sin[x]^4 +
cosinus
Cos[x]^2, x
-1
3ArcTan
1 - 2 Tan[x]
3 + ArcTan
1 + 2 Tan[x]
3
całka
Integrate[funkcja eksponencjalna
Exp[x], x]
ⅇx
całka
Integratex^3 x^2 + 1, x
x2
2-1
2Log1 + x2
całka
Integrate[pierwiastek kwadratowy
Sqrt[1 + x^2], x]
1
2x 1 + x2 + ArcSinh[x]
całka
Integrate[pierwiastek kwadratowy
Sqrt[1 - x^2], x]
1
2x 1 - x2 + ArcSin[x]
28 NOF_2.nb
całka
Integrate[pierwiastek kwadratowy
Sqrt[x^2 - 1], x]
1
2x -1 + x2 -
1
2Logx + -1 + x2
całka
Integrate1
pierwiastek kwadratowy
Sqrt[1 + x^2], x
ArcSinh[x]
arcus sinus hiperboliczny
ArcSinh[x] ⅆx
- 1 + x2 + x ArcSinh[x]
całka
Integrate1 pierwiastek kwadratowy
Sqrt[1 - x^2], x
ArcSin[x]
całka
Integrate1 pierwiastek kwadratowy
Sqrt[x^2 - 1], x
Logx + -1 + x2
logarytm
Logx + -1 + x2 ⅆx
- -1 + x2 + x Logx + -1 + x2
- -1 + x2 + xlogarytm
Logx + -1 + x2 ⅆx
-3
4x -1 + x2 +
1
4Logx + -1 + x2 +
1
2x2 Logx + -1 + x2
-3
4x -1 + x2 +
1
4 logarytm
Logx + -1 + x2 +1
2x2
logarytm
Logx + -1 + x2 ⅆx
1
4-13
9-2 x2
9-1 + x2 - -1 + x2
3/2+1
3x 3 + 2 x2 Logx + -1 + x2
(* Czasem trzeba zachować ostrożność,
bo Mathematica lubi używać zespolonego rachunku,
a my oczekujemy funkcji rzeczywistej *)
całka
Integratecosinus
Cos[x] 1 +
sinus
Sin[x]^2 +
cosinus
Cos[x]^3, x
1
251 + 7 ⅈ 1 - 2 ⅈ ArcTan 1 - 2 ⅈ Tan
x
2 +
1 - 7 ⅈ 1 + 2 ⅈ ArcTan 1 + 2 ⅈ Tanx
2 - 5 Tan
x
2
(* Oczywiście nie powinniśmy żądać rzeczy
niemożliwych: niektóre całki nie wyrażają się przez funkcje elementarne *)
NOF_2.nb 29
całka
Integrate[funkcja eksponencjalna
Exp[-x^2], x]
1
2π Erf[x]
ⅇ-x2
ⅆx
1
2π Erf[x]
∂x1
2π
funkcja błędu
Erf[x]
ⅇ-x2
Cos[x]
xⅆx
CosIntegral[x]
Sin[x]
xⅆx
SinIntegral[x]
Całka oznaczonaCałka oznaczona w przypadku funkcji jednej zmiennej ∫a
bf (x)ⅆx
(rysunek ze strony
http://blog.etrapez.pl/calki-oznaczone/calki-oznaczone-definicja/)
30 NOF_2.nb
Jeśli F’(x) = f(x), to ∫abf (x)ⅆx = F(b) - F(a)
wykres
Plot[x, {x, 1, 3},oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "x"},wypełnienie
Filling →
oś
Axis]
1.5 2.0 2.5 3.0x
1.5
2.0
2.5
3.0
x
PoleTrapezu = 1 2 * 3 + 1 * 3 - 1
4
całka
Integrate[x, x]
x2
2
NOF_2.nb 31
CalkaOznaczona =x2
2/. x → 3 -
x2
2/. x → 1
4
wyk⋯
Plot[sinus
Sin[x], {x, 0,pi
Pi},oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "sin(x)"},wypełnienie
Filling →
oś
Axis]
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
sin(x)
całka
Integrate[sinus
Sin[x], {x, 0,pi
Pi}]
2
WAŻNA UWAGA PRAKTYCZNA:
W wielu przypadkach opłaca się policzyć najpierw całkę nieoznaczoną, a następnie przy jej pomocy
całkę oznaczoną !
(* Poniższa instrukcja byłaby wykonywana bardzo dłuuuugo: *)
(*
uprość
Simplify∫0L/v1 v12+alpha+ beta t v1
L2ⅆt,v1>0&&alpha>0&&beta>0&&L>0 *)
(* Dlatego zrobimy tak: *)
s0 =
uprość
Simplify v12 + alpha +beta t v1
L
2
ⅆt, v1 > 0 && alpha > 0 && beta > 0 && L > 0
1
2 beta v1L alpha +
beta t v1
Lv12 + alpha +
beta t v1
L
2
+
v12 Logalpha +beta t v1
L+ v12 + alpha +
beta t v1
L
2
(* A następnie: *)
32 NOF_2.nb
s1 =
uprość
Simplifys0 /. t → L v1 - s0 /. t → 0
1
2 beta v1L -alpha alpha2 + v12 + alpha + beta alpha + beta2 + v12 -
v12 Logalpha + alpha2 + v12 + v12 Logalpha + beta + alpha + beta2 + v12
(* Pole koła o promieniu r *)
r = 2;
wykres regionu na płaszczyźnie
RegionPlot[x^2 + y^2 ≤ r^2, {x, -r, r}, {y, -r, r},osie
Axes →
pra⋯
True,oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "y"}]
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x
y
(* To samo przy pomocy innej instrukcji i innych opcji *)
NOF_2.nb 33
r = 2;
wykres
Plot[{-pierwiastek kwadrat⋯
Sqrt[r^2 - x^2],pierwiastek kwadratowy
Sqrt[r^2 - x^2]}, {x, -r, r},
format obrazu
AspectRatio → 1,ramka
Frame →
pra⋯
True,wypełnienie
Filling → {1 → {2}},oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "y"}]
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x
y
r =.;uprość
Simplify[2 *całka
Integrate[pierwiastek kwadratowy
Sqrt[r^2 - x^2], {x, -r, r}], r > 0]
π r2
(* Kilka badzo ważnych całek niewłaściwych *)
wyk⋯
Plot[funkcja eksponencjalna
Exp[-x^2], {x, -4, 4},zakres wykresu
PlotRange →
ws⋯
All,wypełnienie
Filling →
oś
Axis]
-4 -2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
całka
Integrate[funkcja eksponencja⋯
Exp[-x^2], {x, -
nieskończ⋯
Infinity,nieskończoność
Infinity}]
π
34 NOF_2.nb
a = 2;wyk⋯
Plot[funkcja eksponencjalna
Exp[-a * x], {x, 0, 4},zakres wykresu
PlotRange →
ws⋯
All,wypełnienie
Filling →
oś
Axis]
1 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a =.;uprość
Simplify[całka
Integrate[funkcja eksponencjalna
Exp[-a * x], {x, 0,nieskończoność
Infinity}], a > 0]
1
a
f1[x_] =
m⋯
Maxsinus
Sin[x] x, 0;
f2[x_] =
mi⋯
Minsinus
Sin[x] x, 0;
wykres
Plot[{f1[x], f2[x]}, {x, -15, 15},zakres wykresu
PlotRange →
wszystko
All,
wypełnienie
Filling →
oś
Axis,oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "sin(x)/x"}]
-15 -10 -5 5 10 15x
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
sin(x)/x
całka
Integratesinus
Sin[x] x, {x, -
nieskończ⋯
Infinity,nieskończoność
Infinity}
π
wyczyść
Clear[f1, f2];
f1[x_] =
m⋯
Max[sinus
Sin[x^2], 0];
NOF_2.nb 35
f2[x_] =
mi⋯
Min[sinus
Sin[x^2], 0];
wykres
Plot[{f1[x], f2[x]}, {x, -4, 4},zakres wykresu
PlotRange →
wszystko
All,
wypełnienie
Filling →
oś
Axis,oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "sin(x^2)"}]
-4 -2 2 4x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
sin(x^2)
całka
Integrate[sinus
Sin[x^2], {x, -
nieskończ⋯
Infinity,nieskończoność
Infinity}]
π
2
całka
Integrate[cosinus
Cos[x^2], {x, -
nieskończ⋯
Infinity,nieskończoność
Infinity}]
π
2
(* Objętość pod wykresem funkcji dwóch
zmiennych wymaga podwójnej całki oznaczonej *)
wykres trójwymiarowy
Plot3D[x^2 + 2 * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5},oznaczenia osi
AxesLabel → {"x", "y", "f(x,y)"}]
36 NOF_2.nb
całka
Integrate[x^2 + 2 * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}]
120
(* Policzmy teraz objętość kuli, czyli podwojoną objętość półkuli o promieniu r,
używając współrzednych kartezjańskich *)
wyczyść
Clear[r];
2 *
całka
Integrate [
pierwiastek kwadratowy
Sqrt[r^2 - x^2 - y^2], {x, -r, r}, {y, -
pierwiastek kwadrat⋯
Sqrt[r^2 - x^2],pierwiastek kwadratowy
Sqrt[r^2 - x^2]}]
4 π r3
3
(* Kula jest kostką we współrzędnych sferycznych i trójwymiarowa
całka oznaczona po rp, theta i phi ma bardzo proste granice *)
całka
Integrate[rp^2 *
sinus
Sin[theta], {rp, 0, r}, {theta, 0,pi
Pi}, {phi, 0, 2 *
pi
Pi}]
4 π r3
3
Inne zastosowania całek oznaczonych w fizyce i technice poznacie Państwo niebawem !
NOF_2.nb 37
Recommended