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Limite e continuidadede funcoes reais de varias variaveis reais
Calculo II
Departamento de Matematica Universidade de Aveiro
2018-2019
Calculo II | 2018-2019 Limite e continuidade de f.r.v.v.r. 1 / 15
Limite de sucessoes em Rn
Limite de uma sucessao
Seja (X k)k∈N uma sucessao em Rn e A ∈ Rn. Diz-se que (X k)k∈Nconverge para A ∈ Rn se para cada se para cada r > 0 existe k0 ∈ N talque (X k)k∈N ∈ Br (A) para todo k > k0. Escreve-se
limk→+∞
X k = A
ouX k → A quando k → +∞.
Em Rn temos(xk
1 , xk2 , . . . , xk
n )→ (a1, a2, . . . , an)
ou seja xki → ai , ∀i = 1, . . . , n.
O limite (quando existe) e unico.
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Limite de funcao, segundo Heine
Limite de funcao, segundo Heine
Seja f : D ⊂ Rn → R uma funcao real de varias variaveis reais. Diz-se queo limite de f (X ) quando X tende para o ponto de acumulacao A ∈ Rn eb ∈ R, e escreve-se
limX→A
f (X ) = b,
se e so se para qualquer sucessao (X k)k∈N ∈ D ⊂ Rn\{A} convergentepara A a correspondente sucessao (f (X k))k∈N ∈ R das imagens convergirpara b.
Supoe-se que A e um ponto de acumulacao do domınio D, i.e., podendo Anao pertencer a D, existe pelo menos uma sucessao de elementos de Ddiferentes de A que converge para A.
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A convergencia de (X k)k∈N ∈ Rn para A, X k −−−→k→∞
A, significa que
limk→∞ ||X k − A|| = 0.(Para X := (x1, . . . , xn) ∈ Rn a norma de X e ||X || :=
√x2
1 + · · · x2n .)
Limite
limX→A
f (X ) = b se e so se sempre que se verificar que limk→∞
||X k − A|| = 0
para uma sucessao (X k)k∈N ∈ Rn\{A} tambem se verifica quelimk→∞
|f (X k)− b| = 0.
ou seja,
limX→A
f (X ) = b se e so se sempre que tende para zero a distancia a A dos
elementos de uma sucessao (X k)k∈N ∈ Rn\{A} tambem tende para zero adistancia a b dos elementos da sucessao (f (X k))k∈N ∈ R.
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Limites de funcoes
Nota: Muitas das propriedades dos limites de funcoes de uma variavel saotambem validos para f.r.v.v.r..Ha, no entanto, uma diferenca que importa salientar.Em funcoes de uma variavel a existencia de limite num ponto equivale aexistencias de ambos os limites laterais nesse ponto.Para f.r.v.v.r. o estudo de ”limites direcionais”(segundo semiretas com origemnum ponto) nao e suficiente para garantir a existencia de limite.
Veja o seguinte exemplo.
Exemplo
Para f (x , y) = x2y2
x6+2y3 , temos
lim(x ,y)→(0,0);x=0 f (x , y) = 0 elim(x ,y)→(0,0);y=mx f (x , y) = 0, mas
lim(x ,y)→(0,0);y=x2 f (x , y) = 13 pelo que f nao tem limite no ponto (0, 0).
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Continuidade
Funcao contınua num ponto
A funcao f : D ⊂ Rn → R diz-se contınua num ponto de acumulacaoA ∈ D se e so se
limX→A
f (X ) = f (A).
f diz-se contınua num subconjunto S ⊆ D se e contınua em todos ospontos de S .
Continuidade num ponto isolado
No caso de um ponto do domınio que nao seja de acumulacao (i.e., umponto isolado) considera-se, tambem por definicao e tal como no contextode funcoes de uma variavel, que a funcao e contınua.
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Propriedades da continuidade de funcoes
As funcoes constantes (isto e, aquelas que assumem sempre um mesmo valor) saocontınuas.
As funcoes f (x1, . . . , xn) = xi , i = 1, . . . , n sao contınuas.
A soma, o produto e o quociente de funcoes contınuas e ainda uma funcaocontınua.
A composicao de funcoes contınuas e ainda uma funcao contınua, isto e, sef (x1, . . . , xn) e g(t) forem contınuas entao a funcao que a (x1, . . . , xn) fazcorresponder g(f (x1, . . . , xn)) (supondo que tal e possıvel) e contınua.
A restricao de uma funcao contınua a um subconjunto do seu domınio e tambemuma funcao contınua.
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Exemplos
1 As funcoesf1(x , y) = x2 + y 2, f2(x , y) = x2 − y 2,f3(x , y) = x sin y , f4(x , y) = x
1+y2
sao funcoes contınuas em R2 (o seu domınio), pois sao,respetivamente, a soma, a diferenca, o produto e o quociente defuncoes contınuas.
2 A funcaof (x , y) = sin(x + y)
e contınua no seu domınio, R2, pois f (x , y) = g(h(x , y)) e acomposicao de duas funcoes contınuas, a funcao g(t) = sin(t)contınua em R, e a funcao h(x , y) = x + y contınua em R2.
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Exemplo 1
f (x , y) =2x2y
x2 + y 2,
Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua.
O ponto (0, 0) e ponto de acumulacao de Df , porque qualquer bolacentrada no ponto (0, 0) contem pontos de Df diferentes de (0, 0).
E pode ser verificado que
lim(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0
e que esse limite e unico.
Nota-se que, na definicao de limite, apenas interessa saber que X seaproxima de A, nao interessa o modo (trajetoria) como tal aproximacao eefetuada. Se o limite existe, ele e independente da trajetoria efetuada porX quando se aproxima de A.
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Exemplo 1: grafico
f (x , y) =2x2y
x2 + y 2, Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua.
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Exemplo 2
f (x , y) =x2 − y 2
x2 + y 2: Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua em
todos os pontos do seu domınio.
O ponto (0, 0) e ponto de acumulacao de Df .
lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C1
f (x , y) = limx→0
x2
x2= 1, C1 = {(x , y) ∈ Df : y = 0}
lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C2
f (x , y) = limy→0
−y 2
y 2= −1, C2 = {(x , y) ∈ Df : x = 0}
Portanto nao existelim
(x ,y)→(0,0)f (x , y).
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Exemplo 2: grafico
f (x , y) =x2 − y 2
x2 + y 2, Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua em
todos os pontos do seu domınio, nao e contınua em (0, 0).
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Exemplo 3
f (x , y) =xy 2
x2 + y 4, Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua em
todos os pontos do seu domınio.
O ponto (0, 0) e ponto de acumulacao de Df .
lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C1
f (x , y) = 0, C1 = {(x , y) ∈ Df : y = 0}
lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C2
f (x , y) = 0, C2 = {(x , y) ∈ Df : x = 0}
lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C3
f (x , y) =y 4
y 4 + y 4=
1
2, C3 = {(x , y) ∈ Df : x = y 2}
Portanto nao existelim
(x ,y)→(0,0)f (x , y).
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Exemplo 3: grafico
f (x , y) =xy 2
x2 + y 4, Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua em
todos os pontos do seu domınio, nao e contınua em (0, 0).
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Exercıcios
1 Qual o domınio de continuidade das tres funcoes anteriores?
O domınio de continuidade das tres funcoes anteriores e R2\{(0, 0)}.
2 Para cada uma das tres funcoes anteriores, que sao contınuas no seudomınio R2\{(0, 0)}, verifica se a funcao parece ser prolongavel porcontinuidade a (0, 0).
Apenas a primeira e prolongavel por continuidade a (0, 0).
3 Determina o domınio de continuidade da funcao f (x , y , z) =y + z
x2 − y.
O domınio de continuidade e Df = {(x , y , z) ∈ R3 : y 6= x2}.
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