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José Luis Maldonado Inocencio Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Licenciado en Ciencias Económicas
LLLAAA PPPLLLAAANNNIIIFFFIIICCCAAACCCIIIÓÓÓNNN PPPOOORRRTTTUUUAAARRRIIIAAA III... AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE LLLAAA CCCAAAPPPAAACCCIIIDDDAAADDD
PPPOOORRRTTTUUUAAARRRIIIAAA LLLIIIGGGAAADDDAAA AAA IIINNNFFFRRRAAAEEESSSTTTRRRUUUCCCTTTUUURRRAAA YYY EEEQQQUUUIIIPPPAAAMMMIIIEEENNNTTTOOOSSS
Índice
ÍNDICE Página
1.- PROBLEMAS DE CAPACIDAD PORTUARIA....................................................................... 1
2.- SISTEMA MUELLE – BUQUE................................................................................................ 3
2.1.- CAPACIDAD ECONÓMICA. ............................................................................................... 4 2.2.- CAPACIDADES EN FUNCIÓN DE LA ESPERA............................................................................... 7 2.3.- SATURACIÓN Y CONGESTIÓN. ................................................................................................. 8 2.4.- MÉTODOS DE CÁLCULO DE LA CAPACIDAD. ............................................................................ 10
3.- MÉTODOS EMPÍRICOS. ...................................................................................................... 13
3.1.- ÍNDICES DE LA LÍNEA DE ATRAQUE......................................................................................... 14 3.2.- ÍNDICES DE RENDIMIENTO EN TERMINALES (TON/AÑO). ........................................................... 16 3.3.- ÍNDICES DE GRÚAS............................................................................................................... 16 3.4.- ÍNDICES DE DEPÓSITO. ......................................................................................................... 18
4.- MÉTODOS ANALÍTICOS...................................................................................................... 21
4.1.- CAPACIDAD DE LOS MUELLES EN FUNCIÓN DE LAS LLEGADAS DE BARCOS A PUERTO................ 21 4.2.- PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE COLAS. .................................................................................... 25 4.3.- APLICACIÓN A LA TEORÍA DE COLAS A UN SISTEMA PORTUARIO. .............................................. 33 4.4.- CÁLCULO DE LA CAPACIDAD.................................................................................................. 43
4.4.1.- Capacidad económica. ............................................................................................. 43 4.4.2.- Tráfico de coste mínimo. .......................................................................................... 49 4.4.3.- Tráfico límite. ............................................................................................................ 53 4.4.4.- Tráfico de congestión. .............................................................................................. 53
4.5.- APLICACIÓN......................................................................................................................... 55
5.- BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................... 61
1
11..-- PPRROOBBLLEEMMAASS DDEE CCAAPPAACCIIDDAADD PPOORRTTUUAARRIIAA..
Una terminal portuaria debe permitir realizar tres funciones básicas:
1) Carga y descarga de las mercancías desde los barcos con eficiencia
y diligencia
2) Proveer espacios adecuados para el almacenamiento temporal y a
largo plazo de las mercancías que entran y salen del puerto
3) Proveer conexiones viarias y ferroviarias para el movimiento de
mercancías hacia y desde el puerto
y un puerto presentará problemas de capacidad si no puede cumplir
adecuadamente alguna de esta funciones. Así pues los problemas de capacidad
portuaria se pueden presentar:
• En el sistema muelle – buque
• En la capacidad de depósito
• En el movimiento interior en el muelle
• En el fondeadero
• En los accesos terrestres
La capacidad del sistema muelle – buque depende, básicamente, del
número de atraques disponibles y del ratio capacidad de carga y descarga de
mercancías por atraque, ratio que es función de:
• Tipo de mercancía
• Tipo de barco y número de escotillas
• Disponibilidad y dimensión de las cuadrillas de estibadores
• Grado de mecanización y métodos de manipulación de las
mercancías
2
La capacidad de depósito depende de:
• Superficie disponible
• Naturaleza de la mercancía, que determina la altura de apilado
• Factor de estiba
• Tiempo medio de estancia función, en parte, de las tarifas portuarias
y condiciona la capacidad de un muelle determinado.
Las capacidades del fondeadero y de los accesos terrestres no
condicionan directamente un muelle, sino que inciden sobre todos o una gran parte
de los muelles del puerto.
Si bien la capacidad de un puerto puede estar condicionada por
cualquiera de los anteriores aspectos, es en el sistema muelle – buque donde se
presentan los problemas de capacidad y es al que se va a prestar una especial
atención en nuestro análisis 1.
1 En este análisis se recoge, básicamente, las técnicas recogidas en las publicaciones de D. Fernando Rodríguez Pérez (véase [1] y [2] de la Bibliografía.
3
22..-- SSIISSTTEEMMAA MMUUEELLLLEE –– BBUUQQUUEE..
En el análisis del sistema muelle – buque debe de tenerse en cuenta:
a) Los buques acceden al muelle en intervalos irregulares
b) Los tiempos de carga y descarga son variables en función de:
• Tipo de carga
• Tipo de buque y escotillas
• Medios de carga y descarga disponibles
• Fluctuaciones en los ritmos de trabajo
y, en general, debe aceptarse que aún con un dimensionamiento del puerto
correcto, en unos días existirán atraques libres, mientras que en otros días los
atraques estarán completos, y los buques deberán esperar.
La eliminación de los tiempos de espera en los buques es posible
aumentando el número de atraques, lo que se traduce en que muchos días los
atraques estarán vacíos. Por el contrario, la maximización del uso de los atraques
se traducirá en un mayor número de barcos en espera y tiempo de espera.
Una y otra situaciones se traducen en sobrecostes, bien por
subutilización de las instalaciones portuarias, bien por tiempo de espera elevados
en los barcos, así pues la situación óptima es aquella en la que se alcanza un
equilibrio entre ambas inactividades o subutilizaciones: la del muelle y la del buque,
minimizando la suma de ambos costes (capacidad económica).
Complementariamente hay que conseguir:
a) El punto de equilibrio no se logre a base de tiempos medios de
espera elevados.
4
b) El punto de equilibrio se alcance en situaciones próximas a una
explotación conflictiva (capacidad de saturación y congestión).
22..11..-- CCAAPPAACCIIDDAADD EECCOONNÓÓMMIICCAA..
El coste de una operación portuaria, entendida ésta en sentido amplio, es
la suma de:
a) Coste de las operaciones de carga y descarga.
b) Coste de la estancia del buque en puerto
El coste de las operaciones de carga y descarga es la suma de:
a) Gastos de uso, variables, proporcionales a las toneladas movidas
(coste de estibadores, coste de uso de grúas, coste de
manipulaciones en tierra, etc.).
b) Costes fijos, independientes de las toneladas manipuladas, y que se
producirán aunque el muelle no sea utilizado.
El coste de la estancia del buque en puerto es la suma de:
a) Coste del tiempo de la estancia del buque en el muelle durante las
operaciones de carga y descarga, incluyendo los tiempos de atraque
y desatraque.
b) Coste del tiempo del buque en el fondeadero.
El primero, se puede considerar independiente de las toneladas anuales
que se mueven por el muelle, constante para el buque y carga media, mientras que
el coste del tiempo en el fondeadero depende de las toneladas anuales movidas en
el muelle.
5
En las figuras adjuntas se refleja gráficamente el proceso de cálculo de la
curva de costes totales del sistema muelle – barco, suma de los costes de las
operaciones de carga y descarga (costes del muelle) y de las de estancia del
buque en puerto (costes del buque).
6
Como se ha señalado, el objetivo es minimizar la suma de ambos costes,
hecho que se produce en el punto M, que se produce cuando se igualan los valores
absolutos de las pendientes de las curvas de costes totales de muelles y de
estancias del buque.
Por otra parte Qo es el tráfico máximo que podría moverse cuando los
muelles estuviesen totalmente ocupados, a costa de un coste infinito de la estancia
de los buques en puerto.
Para el tráfico Qm, el coste del sistema es mínimo, y a partir de ese punto
al aumentar el tráfico aumenta el coste de transporte por tonelada, con lo que
cabría preguntarse si convienen más atraques.
La construcción de un atraque más supone incrementar el coste
permanente del muelle, de forma que los costes unitarios para un tráfico Q en un
muelle de a + 1 atraques son los correspondientes a un tráfico (a/a+1) Q en un
muelle de a atraques, mientras que los costes de espera disminuyen.
La curva de costes totales con a + 1 atraques se obtiene desplazando las
ordenadas de la curva de a atraques en la relación a
1a + y reducirlos en proporción
variable, es decir, la nueva curva se desplaza a la derecha y desciende. El tráfico
2oQ a ocupación permanente se desplaza en dicha proporción y el tráfico de coste
mínimo 2mQ es superior al obtenido para a atraques
1mQ y se sitúa a un coste más
bajo.
Lo contrario ocurrirá si se construyese un atraque menos.
En la figura adjunta se reflejan las tres curvas.
7
De acuerdo con esta figura la capacidad económica de un muelle con
atraques se sitúa entre un mínimo 'eQ y un máximo Qe. Con tráfico inferiores a '
eQ ,
existen atraques que se deberían dedicar a otros usos y por encima de Qe,
capacidad económica del atraque, convendría construir otro atraque.
22..22..-- CCAAPPAACCIIDDAADDEESS EENN FFUUNNCCIIÓÓNN DDEE LLAA EESSPPEERRAA..
La capacidad de un muelle, definida anteriormente, se apoya en criterios
de minimizar los costes totales del sistema muelle – barco, pero caben otras
definiciones de la capacidad, tales como las apoyadas en las esperas.
La espera de un barco puede medirse a través de:
• Tiempo medio de espera.
• Espera media relativa: relación entre tiempo de espera y tiempo de
servicio.
• Probabilidad de esperar o porcentaje de barcos obligados a fondear.
8
• Probabilidad de no sobrepasar una espera determinada.
El tiempo de espera no debe fijarse de forma absoluta pues su gravedad
dependerá del tiempo total en el puerto: espera + servicio.
En este sentido puede ser más apropiado la espera media relativa, pero
esta medida también puede ser engañosa, pues supone que cuanto mayor sea el
tiempo de servicio, que puede deberse a menores rendimientos diarios, mayores
son los límites admisibles de espera en fondeadero.
Cualesquiera que sea el método elegido para medir la espera y el
máximo admisible, la teoría de colas, como posteriormente se verá, permite
determinar el tiempo de espera y, por tanto, la capacidad en función del tiempo de
espera.
22..33..-- SSAATTUURRAACCIIÓÓNN YY CCOONNGGEESSTTIIÓÓNN..
Como se ha visto un muelle, con un número determinado de atraques,
puede mover un máximo Qo (tráfico de saturación) que supone la ocupación
permanente de todos los atraques, y lo que se traduce en tiempos de espera en
fondeadero muy elevados.
Para evitar esto se acepta que la capacidad límite Ql de un muelle es de
0,8 · Qo, momento en el cual es preciso pensar en construir otro muelle.
Otro criterio a tener en cuenta en el análisis de la capacidad de un muelle
es el tiempo de estancia en el puerto.
Dado que los tiempos de estancia en puerto son proporcionales a los
costes del buque, puede aceptarse que estos presentan la forma recogida en la
figura adjunta.
9
Qc, tráfico que se establece en la tangente de una recta pasando por el
origen, a la curva de tiempos totales de espera, es otra expresión de la capacidad
del muelle. Con tráficos entre O y Qc, la estancia en puerto crece más lentamente
que el tráfico, mientras que con tráficos superiores a Qc, la estancia en puerto
crece más deprisa que el tráfico. A este tráfico Qc, definido como el mínimo del
cociente de T/Q, se le denomina tráfico de congestión.
En general, el tráfico límite (Ql) es superior al tráfico de congestión (Qc) y
éste, a su vez, al de capacidad económica (Qe), pero esta ordenación puede variar
en función de:
• Número de atraques.
• Regularidad de la permanencia de los buques durante el servicio.
• Relación entre los gastos fijos del muelle y los del buque.
• Etc.
por lo que deberán evaluarse, tomándose como capacidad máxima, el menor de
los tres valores.
10
22..44..-- MMÉÉTTOODDOOSS DDEE CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA CCAAPPAACCIIDDAADD..
Para el cálculo de la capacidad se emplean, básicamente, tres métodos:
• Métodos empíricos.
• Métodos analíticos
• Métodos de simulación.
A) Métodos empíricos
En estos métodos, la capacidad se obtiene aplicando a las unidades de
explotación que se definan dentro del puerto (muelle o conjunto de muelles),
índices de rendimiento establecidos en otros puertos, que se considera se explotan
de forma satisfactoria.
Los índices de rendimiento, que se suelen estimar, se refieren a
toneladas/año movidas por:
• Metro lineal de muelle
• Unidad de grúa
• Metro cuadrado de superficie de depósito
y se establecen, lógicamente, en función del tipo de tráfico, así como:
• Números de puestos de atraque
• Tipos de buque
• Calado
Este método se aplica, básicamente, a muelles moviendo mercancía
general diversa o graneles sólidos sin instalación especial, pues los rendimientos
11
en muelles destinados a mover graneles sólidos con instalación especial o graneles
líquidos dependen, básicamente, de las características de la instalación y no de la
longitud del muelle.
En base a los rendimientos establecidos para cada aspectos se calculan
las capacidades del muelle, teniendo en cuenta sus características en cada
aspecto y se toma como valor el mínimo de los tres valores.
Dado que los valores adoptados para los rendimientos se realizan a
partir de puertos con características de funcionamiento sensiblemente diferentes
del puerto en estudio, los resultados que se obtienen deben considerarse como
aproximados.
B) Métodos analíticos
Estos métodos se apoyan en la Teoría de Colas, y si bien dan resultados
más exactos, exigen para su aplicación una amplia base de datos.
La unidad de análisis es el número de atraques y su capacidad se
establece teniendo en cuenta los equipos de carga y descarga y transporte, de que
están dotados dichos atraques, sin tener en cuenta la capacidad de depósito que
debe calcularse por separado.
C) Métodos de simulación
En estos métodos, se simula el funcionamiento de un muelle (o de un
puerto) mediante un programa de ordenador, teniendo en cuenta:
a) Distribución aleatoria de las llegadas a puerto.
b) Características de los buques.
c) Mercancías cargadas y descargadas: volumen y clase.
d) Rendimiento de la mano de obra.
12
e) Rendimientos de las instalaciones de carga y descarga.
f) Movimientos en los muelles.
g) Tiempos de depósito.
h) Sistemas de evacuación
i) Etc.
Datos que se obtienen mediante observación del funcionamiento del
puerto.
La elaboración del programa exige un conocimiento del funcionamiento
del puerto en las distintas tareas que se realizan desde que el barco entra en
puerto hasta que sale, los recursos humanos y técnicos empleados, los tiempos,
las interrelaciones que se producen entre las distintas tareas, etc.
El programa de simulación se compone de un conjunto de
subprogramas, que simulan cada uno de ellos las distintas actividades que se
realizan en un puerto, mientras que el programa principal simula la interrelación
que se produce entre ellas.
Una vez elaborado el programa, se simula el funcionamiento del puerto
en la situación actual, para comprobar si la simulación es adecuada.
Una descripción detallada de este método y los resultados de su
aplicación al puerto de Casablanca se recogen en la publicación de la UNCTAD
“Desarrollo de los puertos. Mejoramiento de las operaciones portuarias e
instalaciones anexas”, Nueva York 1969.
Asimismo, en el libro del curso “Estadística y Simulación aplicadas a la
Ingeniería Civil”, véase referencia (4) de Bibliografía, se recogen dos aplicaciones
de esta metodología.
13
33..-- MMÉÉTTOODDOOSS EEMMPPÍÍRRIICCOOSS..
La capacidad de los muelles (o atraques) depende, básicamente, del tipo
de mercancía que se mueva por estos muelles. Una primera idea de la capacidad
de un atraque lo puede dar las cifras recogidas en la tabla adjunta.
RENDIMIENTO ANUAL MEDIO DE MERCANCÍAS MOVIDAS SEGÚN MÓDULO
Tipo de buque – Atraque único Rendimiento anual (en
short tons) (1)
Carga general convencional 66.000
Carga general especializada
- Baja densidad (autos, madera, .... 180.000
- Alta densidad (productos siderúrgicos) 400.000
Carga general contenedorizada
- Un atraque 1.350.000
- Dos o más atraques (por atraque) 1.650.000
Carga seca (graneles sólidos)
- Almacenamiento en silo 1.000.000
- Almacenamiento al aire libre, baja densidad 500.000
- Almacenamiento al aire libre, alta densidad 1.000.000
Graneles líquidos no petrolíferos 80.000
Petroleros
Hasta 50.000 TPM 1.500.000
De 50.000 TPP a 200.000 TPM 6.000.000
(1) Short tons equivalente 0,907 toneladas métricas.
Fuente: Port Handbook for Estimating Marine Terminal Cargo Handling
Capacity USDOT Maritime Administration, Washington D.C., Nov 1986.
14
Como ya se ha comentado, en el método empírico, la capacidad de un
muelle se evalúa a partir de los rendimiento estimados en otros puertos, de gran
tráfico y que se considera funcionan satisfactoriamente.
Este método de cálculo fue aplicado en el IV Plan de Puertos (1976 –
1979), estimándose los índices de rendimiento correspondientes a la situación de
los años 1974-75: 300 jornadas anuales de 8 horas diarias, sin limitación en las
horas extraordinarias, medios de manipulación convencionales, escasa presencia
de mercancía contenedorizada, etc.
A continuación se recogen los Índices de Rendimientos estimados por
Fernando Rodríguez Pérez y recogidos en el capítulo 20 de su publicación
Dirección y Explotación de Puertos, editada por el Puerto Autónomo de Bilbao el
año 1985, que actualiza dichos índices a la situación de ese momento.
Como ya se ha señalado anteriormente, la capacidad de muelles no
especializados (mercancía general y graneles sólidos sin instalación especial),
determinados por este método analítico, se establece como el menor de los
rendimientos según línea de atraque, número de grúas y superficie de depósito,
mientras que en terminales de crudos, el rendimiento depende del T.P.M. medio
admisible y en los muelles de graneles con instalación especial del rendimiento de
ésta.
33..11..-- ÍÍNNDDIICCEESS DDEE LLAA LLÍÍNNEEAA DDEE AATTRRAAQQUUEE..
Según este índice se acepta que la capacidad de un muelle es
proporcional a su longitud, aunque, en realidad, el rendimiento variará
mínimamente, mientras la longitud no permita un atraque más.
A) Capacidades básicas
15
Para el cálculo de capacidades básicas se aceptan los siguientes
rendimientos expresados en toneladas/metro-año
• Refinados de petróleo: 15.000
• Graneles sin instalación especial: 2.400
• Mercancía general: 650
• Contenedores: 2.600
En muelles de refinados de petróleo se supone trabajo continuo (24
horas diarias), mientras que en las otras tres instalaciones se aceptan jornadas de
8 horas, de lunes a viernes y media jornada los sábados.
B) Coeficientes correctores
Estos índices se deben modificar (corregir) en función de:
1. Calado del muelle
• En graneles K = 1.0 para calado de 12 metros, K = 0.5 para calado de
7 metros.
• En mercancía general K = 1.0 para calados de 12 metros y K = 0.8
para calados de 5,0 metros.
Para casos entre ambos extremos se debe interpolar.
2. Por cargamento medio (mercancía general)
• Transporte en régimen tramp K = 1.0
• Transporte en línea regular K = 0.5
En muelles que reciban ambos tráficos, interpolar el valor de K en
función de la participación de cada tráfico. 3. Concesiones y tráficos especializados
• En muelles de carga general en concesión K = 1.1
• En muelles de graneles (concesión o uso público para cargamentos
homogéneos) K = 1.2
16
4. Según número de atraque.
Número de atraques Coeficiente
1
2
3
4
5
6 ó más
1.00
1.20
1.30
1.40
1.45
1.50
33..22..-- ÍÍNNDDIICCEESS DDEE RREENNDDIIMMIIEENNTTOO EENN TTEERRMMIINNAALLEESS ((TTOONN//AAÑÑOO))..
En terminales se aceptan los siguientes rendimientos expresados en
toneladas/año
a) Crudos Q = 80 TPM TPM Peso muerto medio
b) Graneles por instalación especial Q = 2000 RH,
siendo RH el rendimiento horario teórico de la instalación.
Si la instalación tiene más de un atraque la capacidad se puede corregir
en base a los coeficientes anteriormente recogidos y referidos al número de
atraques.
33..33..-- ÍÍNNDDIICCEESS DDEE GGRRÚÚAASS..
Para el cálculo de la capacidad de un muelle en función de las grúas
existentes se aceptan los siguientes rendimientos
A) Rendimiento medio por hora
17
MERCANCÍA GENERAL GRANELES Normal Potencia
(ton) Paletizada No
Paletizada
Ligera
(1)
Pesada
(2)
CONTENE-
DORES Ligeros
(3)
Pesados
(4)
< 3
3
3-6
6
12
30
contenedores
20
30
30
45
45
45
-
15
20
25
25
25
25
-
8
10
12
15
-
-
-
20
25
30
40
40
40
-
-
-
-
-
-
150
250
-
-
-
50
80
90
-
-
-
-
75
125
160
-
(1) Corcho, paja, etc.
(2) Bobinas, coils, etc.
(3) Cereales, carbón.
(4) Minerales
B) Horas de trabajo anual
a) Con un atraque considerando todas las grúas ocupadas
• Mercancía general y graneles: 1100 t/año
• Contenedores: 900 t/año
b) Para considerar la existencia de más de un atraque en el muelle se
introduce un coeficiente corrector recogido en el apartado B.4
c) Coeficiente de utilización, que recoge la utilización de las grúas según el
número de grúas disponibles en el muelle.
18
Utilización Número de grúas por puesto de atraque Mercancía general y graneles Contenedores
1
2
3
4
5
1,0
0,96
0,90
0,80
0,66
1,0
0,9
0,8
Por ejemplo, si en un muelle de contenedores se tiene una sola grúa,
todos los barcos al usarán. Si existen dos, se considera que el 80% de los barcos
utilizan las dos y un 20% solo utilizan una, de ahí una utilización de 0,90
9,02
2.0180.02 =×+×
C) Coeficiente correctores por edad de las grúas
Considerando que grúas más modernas son más eficaces se acepta:
Edad No modernizadas Modernizadas
Menos de 15 años
Entre 15 y 25 años
Más de 25 años
1,00
0,80
0,70
1,00
0,95
0,90
33..44..-- ÍÍNNDDIICCEESS DDEE DDEEPPÓÓSSIITTOO..
Se aceptan los siguientes índices de depósito, que facilitan una
determinación de la capacidad, aproximada, de las áreas de depósito
A) Mercancía general y graneles sólidos
El volumen total movido se obtiene multiplicando la superficie (bruta o
19
total) de cada depósito por los coeficientes de carga admisible, y el número de ciclo
anuales, corrigiéndolos por los espacios perdidos.
a) Corrección de espacios perdidos:
Tinglados Depósitos descubiertos
Mercancía General 0,6 0,75
Graneles - 0,85
b) Carga admisible (ton./m2)
Mercancía general ligera 0,5
Mercancía general normal 1,5
Mercancía general pesada 3,0
Graneles ligeros 3,0
Graneles pesados 5,0
c) Número medio de ciclos anuales
Mercancía general. Cabotaje. Línea no
regular
24
Mercancía general. Cabotaje. Línea
regular
0,5 x nº escalas
Mercancía general. Exterior 15
Graneles 20
B) Contenedores
Por hectárea bruta de parque y según los equipos de manipulación en
muelle (relacionados con la altura de apilamiento) se aceptan las siguientes
capacidades de depósito expresadas en TEU.
20
Equipo de depósito TEU por hectárea
Chasis
Carretilla de carga lateral
Straddle – carriers
Travelifts
Trastainers
200
300
400
700
1000
21
44..-- MMÉÉTTOODDOOSS AANNAALLÍÍTTIICCOOSS..
44..11..-- CCAAPPAACCIIDDAADD DDEE LLOOSS MMUUEELLLLEESS EENN FFUUNNCCIIÓÓNN DDEE LLAASS LLLLEEGGAADDAASS DDEE BBAARRCCOOSS AA PPUUEERRTTOO..
En los métodos analíticos se tiene en cuenta, a la hora de calcular la
capacidad de un muelle (o la necesidad de atraque), el hecho de que los buques
no acceden de forma regular al puerto, de forma que con una presencia media de
buques en el puerto, en cierto momentos se superará dicha cifra y en otros
momentos no se alcanzará.
Aceptando que la presencia de buques en puerto se rige por la ley de
distribución de Poisson
( ) ( )|n
teTttP
ntn
λ⋅==λ−
siendo:
Pn(t) la probabilidad que en un intervalo de tiempo t estén presentes n
buques en el puerto
t número de horas en que están presentes n buques en el puerto
T número de horas en el año (T = 8760 horas)
λt parámetro de la ley de Poisson que cumple λt = E(n) = siendo el número
medio de buques en el puerto
se puede estimar el número de hora en que ocuparán el puerto un número n de
buques.
22
Por ejemplo, aceptando que el número medio de buques en el puerto sea
8 ( = 8), el número de horas en que estarán presentes 10 buques en el puerto
será:
( ) ( ) 872!10
8e8760!n
neTt108nn
=⋅
==−−
en la figura adjunta se refleja la distribución de horas según número de buques en
el puerto suponiendo una media de 8 buques en el puerto.
De acuerdo con esto, y dada una media de ocupación (), es posible
establecer el número de horas que ocuparán el puerto 1, 2, 3, 4, 5, ······· n barcos, y
establecer el número N de atraques necesarios, en función del número de horas
que los buques deben estar esperando puerto de atraque.
Sin embargo dado que la existencia de puertos de atraque vacíos implica
un coste lo mismo que el tiempo de espera de buque en fondeadero, el número
23
óptimo de puestos de atraque, tal y como ya se ha comentado anteriormente, es un
compromiso en el que se deben minimizar los costes totales de disponer de
muelles vacíos y de tener barcos esperando.
Sobre la base de este supuesto, Nicolou [3] desarrolló el gráfico recogido
en la figura adjunta en el que se relaciona la capacidad anual del puerto con el
número de muelles y los porcentajes de ocupación y congestión.
Como porcentaje de congestión se define el porcentaje de tiempo en el
cual el número de barcos en el puerto excede el número de muelles disponibles,
mientras como porcentaje de ocupación se define como el porcentaje de tiempo en
los atraques disponibles en el puerto, NB, están ocupados.
Nicolau demuestra que el porcentaje de ocupación está relacionado con
24
coste medio del tiempo de espera de un barco por un muelle, CS, y el coste medio
del muelle desocupado, CB, a través de la desigualdad:
Porcentaje de congestión < 100
+−
SB
SCC
C1
y que para un correcto funcionamiento del muelle deberá ser inferior a este valor, y
la capacidad anual Q del muelle viene dada por:
Q = NB · R · T (100
ocupacióndeporcentaje )
donde:
NB número de atraques
R rendimiento medio de carga en toneladas/día
T período de evaluación, generalmente 365 días
Un ejemplo permite ilustrar el uso de este gráfico:
Dado: T = 365 días Q = 1.800.000 t/año R = 800 t/día CB = $
250
CS = $900, se tendrá
Q’ = Q
R1000 = 2.25 · 106 t/año
Q’ tonelaje anual equivalente para aplicar a la figura, establecida para R = 1000
t/d
Porcentaje de congestión < 100
+−
9002509001
25
Porcentaje de congestión < 21,7%
Entrando en la figura con Q’ = 2.25 · 106 t y aceptando que el porcentaje
de congestión sea menor del 21.7%, se obtiene un NB mínimo de 9, pues con NB =
8 se tendrá un porcentaje de congestión del 24%, superior al 21,7%, mientras que
para NB = 9, el porcentaje de congestión es de 12%.
Entrando en la figura con NB = 8 y para un 12% de porcentaje de
congestión se tiene un porcentaje de ocupación del 69%, con lo que la capacidad
anual del muelle será:
Q = 9 · 800 · 365 ��
���
�
1000,69 = 1,813 · 106 toneladas
Esta metodología permite calcular el número de atraques necesarios,
análisis más completos se deben apoyar en la teoría de colas, técnica que a
continuación se analiza.
44..22..-- PPRRIINNCCIIPPIIOOSS DDEE LLAA TTEEOORRÍÍAA DDEE CCOOLLAASS..
En la descripción de esta técnica se sigue, básicamente, la publicación
de Fernando Rodríguez Pérez Capacidad de los muelles [1].
En esta metodología, se denomina “muelle” a un conjunto de puestos de
atraque cuyo uso está restringido a determinados tipos de buques o mercancías,
con características (calado, superficie de depósito, armamento, etc.) no muy
diferentes, con un sistema de explotación suficientemente homogéneo para que los
buques y las mercancías puedan utilizar cualquiera de los puestos de atraque.
De acuerdo con la terminología de la teoría de colas, un muelle se
compone de una o varias estaciones de servicio –puestos de atraque- y de un
26
centro de espera – fondeadero. Al sistema llegan unidades –buques- que ocupan la
estación, si la hay desocupada, y permanecen en ella un cierto tiempo, llamado de
servicio, a partir del cual salen de la estación y del sistema. Si al llegar no hay
estación –puesto de atraque- libre, la unidad pasa al centro de espera –
fondeadero- donde se forma una cola.
El funcionamiento del sistema depende de las leyes de entrada y
servicio, que, en el caso más general, son aleatorias y expresables mediante
distribuciones. Las características del sistema – tiempo de espera, longitud de cola-
son variables aleatorias que la Teoría de Colas permite estimar.
En las publicaciones [4], [5] y [6] recogidas en la Bibliografía, se refleja
ampliamente la metodología y aplicaciones de la Teoría de Colas.
Como conceptos y definiciones a tener en cuenta deben reseñarse:
- Frecuencia de llegada (λ) número medio de buques que por unidad
de tiempo entran en el sistema, a partir del cual se define la variable
aleatoria intervalo de tiempo entre dos llegadas consecutivas, cuya
media es 1/λ y cuya varianza se representa por σ2λ, denominándose
irregularidad de entrada ελ al cociente 2
2
λ
σλ .
- Tiempo de servicio, T, también aleatorio, el que transcurre entre
iguales fases de operación entre dos buques, que sucesivamente y sin
interrupción ocupan el mismo atraque, y es la suma de:
a) Tiempo activo: carga y descarga
b) Tiempo de maniobra: atraque y desatraque
c) Tiempo inactivo: autorización de aduana, apertura de escotillas, etc.
La media de los tiempos de servicio, período de servicio, se representa
por TS, su varianza por σ2S y su irregularidad por εS.
27
La intensidad de servicio (µ) es el número medio de buques que por
unidad de tiempo podrían ser servidos si todos los atraques del muelle estuvieran
permanentemente ocupados.
Si el período y la intensidad de servicio están referidos a la misma
unidad, y siendo a el número de atraques, se tendrá µ = STa .
Si λ y µ se refieren al año y el tiempo de servicio en días, se tendrá que µ
= STda ⋅ , siendo d el número de jornadas trabajadas al año.
Con ocupación plena se pueden atender N buques al año (µT), si solo
llegan λT, la relación ρ = µλ se denomina tasa de ocupación.
Si ρ ≥ 1, la cola aumenta indefinidamente (sistema no estable)
Si o < ρ < 1, nunca es nula la probabilidad de que se forme cola, ni
siquiera que exceda de un cierto valor e por grande que sea y tampoco es nula la
probabilidad de que todos los atraques estén desocupados.
La espera relativa η es el cociente entre el tiempo medio de espera Tf y
el tiempo de servicio Ts.
fs
f TaT
T µ==η
Otras notaciones a tener en cuenta son:
Po probabilidad de que el muelle esté vacío
28
P1 probabilidad de esperar, es decir, que todos los muelles estén ocupados
Pr probabilidad de que se tenga una espera mayor que r
N(s) medio de buques atracados o de atraques ocupados
L longitud media de la cola de espera
T(p) tiempo medio de estancia en puerto (servicio más esperado)
N(p) número medio de buques en puerto (atracados más fondeados)
El número medio de buques atracados (o de atraques ocupados) son:
N(s) = ρ · a = µλa = λ TS
Se demuestra que esta ecuación puede generalizarse a cualquier fase,
tramo o situación de cualquier sistema de espera, es decir, si T(n) es el tiempo
medio de permanencia en la fase n y λ(n) es la frecuencia de llegada a esa fase, el
número medio de unidades en esta situación es:
N(n) = λ(n) · T(n)
Esta ecuación, denominada de Little, permite deducir que algunos
resultados no dependan de las distribuciones de entrada y de servicio, sino de sus
medias
L = λ · Tf = λ η · a/µ= ρ a η
T(p) = TS + Tp = µa +
µ⋅η a =
µa (1 + η)
N(p) = λ · T(p) = λ · µa (1 + η) = a p (1 + η)
Como hemos visto, las variables que intervienen en este proceso son
variables aleatorias. Una variable se dice aleatoria cuando puede tomar, con
probabilidades determinadas, una serie de valores x, serie que puede ser continua,
29
como ocurre con los intervalos de entrada, o discreta, como el número de buques
atracados.
La función F(x), denominada Distribución, expresa la probabilidad que la
variable aleatoria X sea mayor que x.
La derivada de la función de distribución cambiada de signo se denomina
función de densidad
ρ(x) = dx
)x(Fd .
La probabilidad de que X esté comprendida entre x y x + ∆x viene dada
por:
F(x) – F(x + ∆x) o bien ( )∫ ⋅∆+ xxx dxxf
El momento de orden n de una función F(x) respecto a un punto h,
representado por Mn,h viene dado por:
Mn,h (F) = ( )∫∞ ⋅⋅−o
n dx)x(Fhx
mientras que respecto al origen será:
Mn(F) = dx)x(Fxon ⋅⋅∫
∞
Los momentos de las funciones de demanda y de distribución están
ligados por la expresión Mn(f) = n Mn-1 (F)
La media de una variable aleatoria X es el momento de 1er orden
respecto al origen de su función de densidad
30
m = M1 (f) = ( ) ( )∫∞ =⋅⋅o o FMdxxfx
La varianza σ2 es el momento de segundo orden respecto a la media de la misma
función de densidad
σ2 = M2,m (f) = M2 (f) – M21 (f)
La irregularidad será:
( )( )
( )( )FM
M21
fM
fM
m 2o
F121
22
2=−=σ=ε
y el coeficiente de irregularidad será el parámetro Z
( )( )
( )( )FM
FMfM2
fM2
m/1Z2o
1
1
222
==σ+
=
Se denomina suma de varias distribuciones xi a la distribución de la variable
aleatoria x = Σ xi
Este es el caso de la distribución del tiempo de servicio que es la suma
de los tiempos activo, de maniobra e inactivo, y se tiene:
m = Σ mi
σ2 = Σ σ2i
Esta suma tiende a reducir la irregularidad.
Cuando un resultado X puede producirse por diversos procesos Xk, cada
uno de los cuales ocurre con una frecuencia Pk, la distribución resultante viene
dada por
31
( ) ( )
( ) ( )xFpxF
xfpxf
kk
k
kk
k
∑=
∑=
y se tiene:
m = Σ pk · mk
σ2 = Σ pk σ2k + Σ pk m2
k – (Σ pk mk)2 siendo Σ pk = d
Un ejemplo de este proceso es un muelle que recibe diferentes tipos de
buques, cuyos tiempos de servicio son muy diferentes, y su suma tiene a aumentar
su irregularidad.
Según su irregularidad se pueden diferenciar las siguientes
distribuciones:
Exponencial: Irregularidad = 1 y σ = m
Constante: Irregularidad = 0,5 y σ = o
Subexponencial: Irregularidad entre 0,5 y 1 y o < σ < m
Hiperexponencial: Irregularidad mayor que 1 y σ > m
La distribución exponencial tiene la expresión:
F(x) = e-x/m
y su varianza vale σ2 = m2
La distribución de entradas es exponencial cuando las llegadas son
aleatorias e independientes entre sí, o aproximadamente, por composición de las
32
distribuciones correspondientes a varias líneas. Distribuciones de llegada de este
tipo se producen en muelles de carga general de uso público y con varios atraques.
La distribución constante expresa intervalos de llegada constantes o
tiempos de servicio fijos y responde la expresión:
1 para x < m
F(x) =
0 para x > m
Esta distribución se da en muelles dedicados exclusivamente a línea de
calendario fijo y con fuertes tasas de ocupación.
Dentro de las distribuciones subexponenciales, las más utilizadas son las
denominadas Erlang-n, que son prácticamente las únicas expresables y solubles
analíticamente.
Se obtienen sumando n distribuciones exponenciales iguales, por lo que:
m = n mi
σ2 = n σ2i
y la irregularidad será:
n21n
2n11
2m
1Z
2
2
+=+
=
σ+=
y la distribución de la suma:
33
( ) ∑
=−
=
− 1n
0j
j
mnx
!jmxn
exF
y se tiene, siendo k el orden de la distribución de Erlang.
Para k = 1, la distribución se convierte en una exponencial.
Para k = ∞, la distribución se convierte con constante.
22
k1y
k1,1m
λ=ε=σ
λ=
Las distribuciones de Erlang definen procesos intermedios entre la
aleatoriedad total y la certidumbre, y a este tipo responden las entradas a
terminales especializadas y la mayor parte de las distribuciones de servicio.
Las distribuciones hiperexponenciales son difíciles de manejar y no
suelen tener aplicación a sistemas portuarios.
44..33..-- AAPPLLIICCAACCIIÓÓNN AA LLAA TTEEOORRÍÍAA DDEE CCOOLLAASS AA UUNN SSIISSTTEEMMAA PPOORRTTUUAARRIIOO..
En un muelle, se considera que un sistema de espera está definido
cuando se conoce el número de estaciones -atraques- y las distribuciones de
entrada y servicio.
A efectos de notación se designan M, Ek, H y D, respectivamente, a las
distribuciones exponencial o de Poisson, Erlang de orden k, hiperexponencial y
constante.
34
Un sistema de espera se define por tres letras (o números) separados
por barras, reflejando las distribuciones de entrada, servicio y el número de
atraques, así un sistema M/D/a, es un muelle de a atraques, llegadas de Poisson y
servicio constante.
Se admite que la frecuencia de llegada λ y la intensidad de servicio µ, y
por tanto la tasa de servicio p = λ/µ son constantes, que el régimen es permanente,
todos los atraques son idénticos, infinita la capacidad del fondeadero, los buques
atracan en el orden de llegada y que el sistema es abierto.
La teoría de colas, aparte de algún caso particular, solo proporciona
soluciones exactas:
- Llegada y servicio exponenciales con cualquier número de muelles
- Muelle de un atraque cuando una de las distribuciones es exponencial
mientras que en los demás casos hay que buscar soluciones aproximadas.
A continuación se recogen los principales parámetros en distintos
sistemas de espera, cuya deducción se recoge en las publicaciones citadas en la
bibliografía.
Soluciones exactas
A) Sistema M/M/1
Distribuciones de entrada y servicio exponenciales y muelle de un
atraque
a) Probabilidades que haya n barcos en el sistema
35
Pn = (1 – ρ) ρn
Siendo ρ = µλ
b) Espera relativa
ρ−
ρ=η1
c) Probabilidad de esperar
po = ρ
d) Probabilidad de una espera superior igual o mayor que x
Px = ρ ex(ρ-1)
B) Sistema M/G/1
Distribución de entrada exponencial, cualquier distribución de servicio y
un atraque.
Período medio de espera
( )
µ+σ= µρ−
λ2
212f
1T
donde 2µσ es la varianza del tiempo de servicio.
Siendo f22 Ty/ µ=ηµσ=ε µ
36
se tiene que η tiempo medio de espera viene dado por:
ρ−ρε+
=η12
1
con lo que se tiene:
( ) ( ) ( )1/M/M1/M/M1/G/M 21
ηϕ=ηε+
=η
En el caso particular de servicio constante M/D/1, dado que ε = 0 y ϕ = 0,5 η(M/D/1)
= 0,5 µ(M/M/1)
C) Sistema G/M/1 (solución exacta)
Cualquier distribución de llegadas, distribución de servicio exponencial y
un atraque.
a) Probabilidad de que no hay barcos en el muelle
Po = 1 – ρy
siendo y la raíz de la ecuación ( ) εε+=
ρ−/1
y1y1
1
haciendo z = ρy se tendrá
Po = 1 – Z y ( ) 1z1z1 =−
ρε+ ε
donde z juega el mismo papel que ρ en el sistema M/M/1.
37
b) En el caso particular de llegadas constantes D/M/1, ε = 0 y la
ecuación anterior queda indeterminada, pero el límite de ε
ρε+
/1z1 se obtiene
tomando logaritmos
lim ρ
=
ρε+
ρ=ε
ρε+
=
ρε+
→ε→ε
zz1
z
limz1ln
limz1lnoo
c/1
con lo que la ecuación queda:
(1 – z) ez/ρ = 1
Dando valores a ε y ρ y resolviendo la ecuación anterior se obtienen los
valores de z recogidos en el cuadro adjunto (B.8).
B.8. SISTEMA G/M/1
Valores de Z
ξ e
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,000
0,000
0,007
0,041
0,107
0,203
0,324
0,467
0,629
0,807
1,000
0,000
0,001
0,018
0,067
0,144
0,245
0,367
0,505
0,658
0,823
1,000
0,000
0,004
0,034
0,094
0,179
0,284
0,404
0,538
0,683
0,837
1,000
0,000
0,010
0,052
0,122
0,213
0,319
0,438
0,567
0,704
0,849
1,000
0,000
0,019
0,073
0,151
0,245
0,352
0,468
0,593
0,723
0,859
1,000
0,000
0,029
0,094
0,178
0,275
0,382
0,496
0,615
0,740
0,868
1,000
0,000
0,041
0,115
0,205
0,304
0,410
0,521
0,636
0,755
0,876
1,000
0,000
0,055
0,137
0,230
0,330
0,435
0,543
0,654
0,768
0,883
1,000
0,000
0,069
0,158
0,255
0,355
0,458
0,564
0,671
0,780
0,889
1,000
0,000
0,084
0,179
0,278
0,378
0,480
0,583
0,686
0,790
0,895
1,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
38
c) El tiempo relativo de espera es:
z1
zp
p1
o
o−
=−
=η
y por tanto:
z1
1a−
ρ−=
ρ=ϕ
siendo ϕ el coeficiente que da el resultado de un sistema en función del mismo
resultado en el sistema M/M/1.
En los cuadros adjuntos (B.9 y B.10) se dan los valores de η y ϕ.
B.9. SISTEMA G/M/1
Valores de τ
ξ e
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,000
0,000
0,007
0,043
0,120
0,255
0,479
0,876
1,693
4,179
0,000
0,001
0,019
0,071
0,168
0,325
0,579
1,020
1,923
4,660
0,000
0,004
0,035
0,104
0,218
0,396
0,679
1,165
2,153
5,142
0,000
0,011
0,055
0,140
0,271
0,469
0,780
1,309
2,383
5,626
0,000
0,019
0,078
0,177
0,325
0,543
0,881
1,455
2,614
6,109
0,000
0,030
0,103
0,217
0,380
0,618
0,984
1,601
2,845
6,590
0,000
0,043
0,130
0,257
0,436
0,694
1,086
1,747
3,076
7,075
0,000
0,058
0,159
0,299
0,493
0,770
1,189
1,894
3,307
7,554
0,000
0,075
0,188
0,342
0,550
0,846
1,293
2,040
3,539
8,041
0,000
0,092
0,219
0,385
0,608
0,923
1,396
2,187
3,769
8,521
0,000
0,111
0,250
0,429
0,667
1,000
1,500
2,333
4,000
9,000
39
B.10 SISTEMA G/M/1
Valores de ϕ
ξ e
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,000
0,000
0,028
0,099
0,180
0,255
0,320
0,376
0,423
0,464
0,500
0,000
0,009
0,075
0,167
0,252
0,325
0,386
0,437
0,481
0,518
0,550
0,000
0,038
0,141
0,243
0,327
0,396
0,453
0,499
0,538
0,571
0,600
0,000
0,097
0,221
0,326
0,406
0,469
0,520
0,561
0,596
0,625
0,650
0,000
0,170
0,313
0,414
0,487
0,543
0,588
0,624
0,653
0,679
0,700
0,000
0,271
0,414
0,505
0,570
0,618
0,656
0,686
0,711
0,732
0,750
0,000
0,389
0,522
0,600
0,654
0,694
0,724
0,749
0,769
0,786
0,800
0,000
0,529
0,635
0,698
0,739
0,770
0,793
0,812
0,827
0,839
0,850
0,000
0,672
0,753
0,797
0,826
0,846
0,862
0,874
0,885
0,893
0,900
0,000
0,831
0,875
0,898
0,913
0,923
0,931
0,937
0,942
0,947
0,950
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
Una solución aproximada de la G/M/1 se puede obtener en base a un
valor de ϕ dado por la expresión:
ε
ρ−+ρ=ϕz
1z
D) Sistema M/M/a
Distribución de entradas y servicios exponenciales y a muelles de
atraques.
Probabilidad de que el muelle esté vacío:
40
( )( )
( )∑
ρ+ρ−
ρ=
−
=
1a
0n
na0
!na
1!aa
1P
Probabilidad de esperar:
( )( ) 0
a1 P
1!aaP ⋅
ρ−ρ=
Probabilidad de una espera relativa igual o mayor de r
Pr = P1 ear(ρ-1)
La espera relativa será:
( ) ( )
( )( )
( )( ) ∑
ρ+ρ−
ρ
ρ−ρ
ρ−=
ρ−=η
−
=
1a
0n
nna
a
1
!na
1!aa
1!aa
1a1
1aP
En los cuadros adjuntos (B.11 y B.12) se reflejan los valores de η y ρ
correspondiendo a los P0 que se indican.
Una ecuación aproximada de la espera relativa es:
( )ρ−ρ=η1a
b
siendo b una función sólo de a.
41
B.11 SISTEMA M/M/a Valores de τ
Espera relativa en un muelle de a atraques con llegada y servicio exponenciales
Números de atraques Números de atraques e
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,02
0,042
0,064
0,087
0,111
0,136
0,163
0,190
0,220
0,250
0,282
0,316
0,351
0,389
0,429
0,471
0,515
0,562
0,613
0,667
0,724
0,786
0,852
0,923
1,000
0,000
0,002
0,004
0,006
0,010
0,015
0,020
0,026
0,033
0,042
0,051
0,061
0,073
0,085
0,099
0,114
0,131
0,149
0,169
0,190
0,214
0,240
0,268
0,299
0,333
0,000
0,001
0,001
0,002
0,004
0,005
0,008
0,010
0,014
0,017
0,022
0,027
0,033
0,040
0,048
0,057
0,067
0,078
0,091
0,105
0,121
0,138
0,158
0,000
0,001
0,001
0,002
0,003
0,004
0,006
0,008
0,010
0,013
0,017
0,021
0,026
0,031
0,038
0,045
0,054
0,063
0,074
0,087
0,000
0,001
0,001
0,001
0,002
0,003
0,004
0,006
0,008
0,010
0,013
0,016
0,020
0,025
0,030
0,036
0,044
0,052
0,000
0,001
0,001
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,007
0,009
0,011
0,014
0,018
0,022
0,027
0,033
0,000
0,001
0,001
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,008
0,011
0,014
0,017
0,022
0,000
0,001
0,001
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,007
0,009
0,012
0,015
0,000
0,001
0,001
0,001
0,002
0,002
0,003
0,004
0,006
0,008
0,010
0,000
0,001
0,001
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,007
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,083
1,174
1,273
1,381
1,500
1,632
1,778
1,941
2,125
2,333
2,571
2,846
3,167
3,545
4,000
4,556
5,250
6,143
7,333
9,000
11,500
15,667
24,000
49,000
0,371
0,412
0,457
0,507
0,562
0,624
0,694
0,772
0,860
0,961
1,076
1,210
1,367
1,554
1,778
2,053
2,397
2,840
3,433
4,263
5,510
7,591
11,755
24,253
0,180
0,204
0,231
0,262
0,296
0,334
0,377
0,427
0,483
0,547
0,621
0,708
0,810
0,932
1,079
1,259
1,486
1,780
2,172
2,572
3,553
4,938
7,711
16,041
0,101
0,117
0,135
0,156
0,179
0,206
0,236
0,271
0,311
0,357
0,411
0,474
0,548
0,637
0,746
0,879
1,047
1,265
1,558
1,969
2,589
3,626
5,705
11,950
0,062
0,073
0,086
0,101
0,118
0,138
0,160
0,186
0,217
0,252
0,293
0,342
0,400
0,469
0,554
0,659
0,792
0,965
1,197
1,525
2,019
2,847
4,508
9,503
0,040
0,048
0,058
0,069
0,082
0,097
0,114
0,135
0,159
0,187
0,220
0,259
0,306
0,362
0,431
0,518
0,627
0,770
0,962
1,234
1,644
2,333
3,716
7,877
0,027
0,033
0,040
0,049
0,059
0,071
0,085
0,101
0,120
0,143
0,170
0,203
0,242
0,289
0,347
0,420
0,512
0,633
0,797
1,028
1,379
1,968
3,152
6,718
0,019
0,023
0,029
0,036
0,044
0,053
0,064
0,078
0,094
0,113
0,035
0,163
0,196
0,236
0,286
0,349
0,428
0,533
0,675
0,877
1,183
1,697
2,732
5,851
0,013
0,017
0,021
0,027
0,033
0,041
0,050
0,061
0,075
0,091
0,110
0,133
0,162
0,197
0,240
0,295
0,365
0,457
0,582
0,761
1,031
1,488
2,407
5,178
0,009
0,012
0,016
0,020
0,025
0,032
0,039
0,049
0,060
0,074
0,091
0,111
0,136
0,166
0,205
0,253
0,315
0,397
0,509
0,669
0,912
1,321
2,148
4,641
42
B.12 SISTEMA M/M/a
TASAS DE OCUPACIÓN QUE PRODUCEN LAS PROBABILIDADES DE
ESPERAR QUE SE INDICAN
a = Número de centros de servicio (atraques, puestos de fondeo, depósitos, etc.)
Valores de ρ
P0 = probabilidad de tener que esperar a
0,001 0,005 0,01 0,05 0,10 0,50 0,90 0,95
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,00
0,02
0,06
0,10
0,14
0,18
0,20
0,22
0,25
0,27
0,36
0,44
0,52
0,56
0,60
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,01
0,05
0,11
0,17
0,21
0,25
0,29
0,32
0,34
0,37
0,46
0,51
0,59
0,63
0,67
0,69
0,71
0,73
0,75
0,76
0,01
0,07
0,15
0,20
0,25
0,29
0,33
0,36
0,39
0,41
0,50
0,55
0,62
0,66
0,70
0,72
0,74
0,76
0,77
0,78
0,05
0,17
0,26
0,33
0,38
0,42
0,46
0,49
0,51
0,53
0,60
0,65
0,71
0,74
0,77
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,10
0,25
0,35
0,41
0,46
0,50
0,53
0,56
0,58
0,60
0,66
0,71
0,76
0,79
0,81
0,82
0,84
0,85
0,85
0,86
0,50
0,64
0,70
0,74
0,77
0,79
0,81
0,82
0,83
0,84
0,87
0,89
0,91
0,92
0,93
0,94
0,94
0,94
0,95
0,95
0,90
0,93
0,95
0,95
0,96
0,96
0,97
0,97
0,97
0,97
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,95
0,97
0,97
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
43
44..44..-- CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA CCAAPPAACCIIDDAADD..
44..44..11..-- CCAAPPAACCIIDDAADD EECCOONNÓÓMMIICCAA..
De acuerdo con lo comentado anteriormente, los costes por tonelada de
la operación, son la suma de:
a) Costes de carga y descarga, prácticamente constantes: U
b) Costes permanentes de carga y descarga: A/Q, siendo, por unidad de
tiempo:
A Gastos fijos de un atraque
Q Tráfico movido.
Dado que el número medio de barcos que utilizan un atraque por unidad de
tiempo es ( )( )STserviciodeTiempo
ocupacióndeTasa ρ y siendo q el cargamento medio, se tendrá que
STqQ ⋅ρ
= y los costes permanentes serán q
ATS⋅ρ
.
c) Costes de estancia del buque en puerto qTB S⋅ siendo B los gastos del
buque en puerto.
d) Costes de espera del buque en fondeadero q
BTqTB Sf η
=⋅ por lo que el
coste unitario total es:
ρ+η++=
η+
⋅+
⋅ρ⋅
+=BA11
qBT
Uq
BTqTB
qTA
Uc SSSS
La capacidad económica máxima (o capacidad económica en sentido
estricto) se tiene cuando los costes con a atraques son iguales a los que se
tendrán con a + 1 atraques, y dado U y q
BTS son independientes del número de
atraques, ésta vendrá dada por:
44
a1a BA1
BA1
⋅
ρ+η=
⋅
ρ+η
+
y la capacidad económica mínima será:
1aa BA1
BA1
−
⋅
ρ+η=
⋅
ρ+η
Si ρ es la tasa de ocupación con a atraques, con a+1 se tendrá ρ+
=ρ + 1aa
1a y con
a-1 atraques ρ−
=ρ − 1aa
1a se tendrá para la capacidad máxima:
( )B
Aa11
1aa
BA
1aa ρ
++
+ρη=
ρ+ρη +
( )
+ρη−ρηρ⋅== + 1a
aaBAZ 1aa
mientras que para la capacidad mínima:
( )
ρη−
−ρρηρ⋅== − a1a 1
aaBAZ
El valor de ηρ(a) se puede calcular en base a la expresión:
( ) ( )
( )( )
( ) ∑ρ+
ρ−ρ
ρ−ρ
ρ−=η
−
=
ρ 1a
0n
nna
a
!na
1!aa
1!aa
1a1a
correspondiente a un sistema M/M/a, distribuciones de entradas y servicios
exponenciales con a atraques.
En el cuadro adjunto se reflejan los valores BA1Z
ϕ= , en función de ρe y
el número de atraques.
45
B.15. CAPACIDAD ECONÓMICA
Valores de Z = BA1
ϕ en función de ρe
a ρe
1 2 3 4 5 6
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,0026
0,0109
0,0256
0,0480
0,0794
0,122
0,177
0,250
0,344
0,467
0,627
0,841
1,130
1,536
2,127
3,048
4,629
7,872
17,773
0,0002
0,0021
0,0065
0,0154
0,0303
0,0532
0,0865
0,133
0,199
0,288
0,411
0,581
0,821
1,168
1,692
2,532
4,017
7,142
16,899
0,0000
0,0004
0,0019
0,0056
0,0130
0,0258
0,0466
0,0782
0,125
0,192
0,288
0,427
0,628
0,928
1,393
2,158
3,546
6,542
16,122
0,0000
0,0001
0,0006
0,0021
0,0058
0,0133
0,0265
0,0483
0,0824
0,134
0,211
0,325
0,497
0,759
1,174
1,873
3,169
6,035
15,418
0,0000
0,0000
0,0002
0,0008
0,0027
0,0071
0,0156
0,0308
0,0561
0,0965
0,159
0,255
0,403
0,633
1,006
1,636
2,860
5,598
14,774
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0013
0,0038
0,0094
0,0201
0,0391
0,0709
0,122
0,204
0,338
0,537
0,874
1,464
2,600
5,216
14,182
Como ejemplo de esta aplicación se tienen las figuras adjuntas.
La primera figura recoge, para un sistema M/M/2, las curvas S e I que determinan
los valores de ρ dentro de los cuales dos atraques son más económicos que uno o
tres atraques.
46
47
En la segunda figura, se han dibujado las curvas S, para el sistema
M/M/a, para 1 a 6 atraques.
Conocido A/B, esta figura permite determinar ρe y, por consiguiente, Qe =
ρe · Qo. Si se trata de proyectar un muelle para un determinado tráfico, hay que
comenzar por determinar los valores de SaT
λ=ρ , para uno, dos, tres, etc. Atraques;
el primer valor de ρ mayor que el dado por el gráfico es el mínimo número de
atraques necesarios.
48
49
Para un sistema M/G/a, en el que η = ϕ η*, siendo η* el correspondiente
a un sistema M/M/a, y dado que ϕ es independiente de ρ, la ecuación anterior
puede escribirse:
( )
+ρη−ρηρ=
ϕ= + 1a
aaBA1Z *
1a*
con lo que la figura anterior es utilizable entrando con BA1
ϕ
Si ϕ no es independiente de ρ (sistemas G/M/a y G/G/a,) se debe
proceder por tanteos. Se supone un valor de ρ, y se determina el valor de ϕ
correspondiente, y aplicando, la figura anterior se obtienen un valor aproximado de
ρ, y se repite el proceso hasta que los valores iniciales y finales de ρ sean
similares.
44..44..22..-- TTRRÁÁFFIICCOO DDEE CCOOSSTTEE MMÍÍNNIIMMOO..
El tráfico de coste mínimo se obtiene haciendo nula la derivada de c con
respecto a ρ:
ρηρ===
ρ−
ρη
dd
BAZ01
BA
dd 2
2
En el sistema M/M/a, ρη
dd se puede calcular directamente derivando las ecuaciones
de espera relativa establecidas en el sistema M/M/a. Utilizando la correspondiente
a la solución aproximada:
( )ρ−ρ=η
1
b
50
se tiene
( )( )[ ]ρ−−
ρ−
ρ==+
1bb1aB
AZ2
1b
En el gráfico adjunto se representa el valor de Z en función de ρ.
Para un sistema M/G/a, y como en el cálculo de la capacidad, hasta entrar en dicho
gráfico con BA1Z
ϕ=
51
B.17. TRÁFICO DE COSTE MÍNIMO
Valores de Z = BA1
ϕ en función de ρm
a ρm
1 2 3 4 5 6
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,0028
0,0123
0,0311
0,0625
0,11
0,184
0,290
0,444
0,669
1,000
1,494
2,250
3,449
5,444
9,00
16,00
32,11
81,00
361,00
0,0004
0,0025
0,0078
0,0181
0,0358
0,0645
0,109
0,177
0,278
0,432
0,667
1,031
1,617
2,600
4,362
7,846
15,88
40,31
180,29
0,0001
0,0008
0,0028
0,0073
0,0159
0,0308
0,0552
0,0939
0,154
0,248
0,395
0,627
1,006
1,648
2,808
5,115
10,47
26,72
120,02
0,0000
0,0003
0,0012
0,0035
0,0083
0,0170
0,0321
0,0571
0,0974
0,162
0,265
0,431
0,705
1,175
2,033
3,749
7,741
19,92
89,88
0,0000
0,0001
0,0006
0,0019
0,0048
0,0103
0,0204
0,0377
0,0665
0,114
0,191
0,317
0,529
0,896
1,572
2,934
6,113
15,84
71,79
0,0000
0,0001
0,0003
0,0011
0,0029
0,0067
0,0137
0,0262
0,0478
0,0838
0,144
0,244
0,414
0,713
1,268
2,392
5,030
13,13
59,73
52
53
44..44..33..-- TTRRÁÁFFIICCOO LLÍÍMMIITTEE..
El tráfico límite Ql se ha definido como el tráfico de ocupación total
multiplicado por un coeficiente de seguridad que cubra:
a) Variaciones estacionales.
b) Retrasos en la fecha de puesta en servicio de las obras de
ampliación.
c) Incrementos de tráfico superiores a los previstos.
aceptándose que éste estará comprendido entre el 0,75 y 0,85 del tráfico de
ocupación total, y excepcional entre el 0,70 y 0,90.
44..44..44..-- TTRRÁÁFFIICCOO DDEE CCOONNGGEESSTTIIÓÓNN..
El tráfico de congestión viene dado por la tangente desde el origen a la
curva Tp (Tiempo total en puerto)
54
ρ+
=ρ
==ρ
fSpp TTTOMAM
ddT
dividiendo por TS se tiene ρ
η+=
ρη 1
dd
Para un sistema M/M/a se puede calcular η y dη/dρ en base a las expresiones
anteriormente reseñadas, y resulta la expresión:
( )( )[ ] 12b1b
1a 2
b=ρ−−
ρ−
ρ
Para un sistema M/G/a, la espera relativa es ϕη *, y se tendrán
( )( )[ ]
ϕ=ρ−−−
ρ−
ρ 12b1b1a 2
b
Para un sistema G/M/a se tiene ( )21a
1dd
ρ−
ε+=
ρη
Para un sistema M/G/1 se tiene ρ−
ρε+=ϕ
ρ−ρ=η
1Z1
1
cuya derivada es igual a la expresión anterior, con lo que se puede aceptar que la
expresión del sistema M/G/a es aplicable tanto para el sistema M/G/a como G/M/a.
En las tablas adjuntas se reflejan los valores de ρc
55
B.19. CONGESTIÓN
Valores de ρc en sistemas M/G/a y G/M/a
A ξ
1 2 3 4 5 6
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
0,50
0,52
0,54
0,56
0,59
0,58
0,59
0,61
0,63
0,66
0,63
0,64
0,66
0,68
0,71
0,66
0,68
0,70
0,71
0,74
0,69
0,71
0,72
0,74
0,76
0,71
0,73
0,74
0,76
0,78
B.20. CONGESTIÓN
Valores de ρc en el sistema G/D/a
A ξ
1 2 3 4 5 6
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
0,59
0,52
0,66
0,74
1,00
0,66
0,70
0,74
0,81
1,00
0,71
0,74
0,78
0,84
1,00
0,74
0,77
0,81
0,86
1,00
0,76
0,79
0,82
0,88
1,00
0,78
0,81
0,84
0,89
1,00
44..55..-- AAPPLLIICCAACCIIÓÓNN..
Para dar una idea de la aplicación de esta metodología a continuación se
reproduce el ejemplo recogido en la ya referida publicación Capacidad de los
muelles.
Se están construyendo dos atraques de productos petrolíferos refinados
56
para un T.P.M. máximo de 20.000 t. Se supone que el buque medio cargará 12.000
t, que el tiempo medio de carga será de 1,5 días y que se pueden trabajar 360 días
al año. Se estima que la relación A/B vale 0,12, que las llegadas son exponenciales
y que el servicio Erlang 4.
Se quiere determinar:
a) La capacidad del muelle en las hipótesis indicadas;
b) La influencia de una variación del 50% en cada una de esas
hipótesis, y
c) El número de atraques necesario para un futuro tráfico de 8.000.000
de t.
a) Si cada atraque estuviera permanentemente ocupado, podrían
cargarse 369/1,5 = 240 buques al año, y se moverían
Q1 = 2 x 240 x 12000 = 5.760.000 t
Por otra parte, en una distribución de Erlang 4 se tiene:
ε (Irregularidad) = 41
k1 = = 0,25
ϕ (Coeficiente de transformación) = 2
1 ε+ = 0,625
Z = BA1
ϕ =
625,01 ·x 0,12 = 0,192
Para este valor de Z, se tienen las siguientes tasas de ocupación:
Cuadro B.15 o Figura B.16 ρe = 0,444 (Capacidad Económica)
Cuadro B.17 o Figura B.18 ρm = 0,409 (Capacidad Coste mínimo)
57
Dado que generalmente los productos petrolíferos crecen a una tasa muy
superior a la media, puede aceptarse una ocupación límite ρl = 0,70
Por otra parte, según el cuadro B.19 se tiene para a = 2 y ε = 0,25 una tasa de
ocupación por congestión ρc = 0,63.
De acuerdo con ello se tiene:
Toneladas/año
Capacidad económica Qe = 0,444 · 5.760.000 2.557.000
Tráfico límite Ql = 0,70 · 5.760.000 4.032.000
Tráfico de congestión Qc = 0,63 · 5.760.000 3.628.800
Tráfico de coste mínimo Qm = 0,409 · 5.760.000 2.336.000
La capacidad será el menor valor de los tres primeros parámetros, es decir,
2.557.000 t/año.
Este volumen puede rebasarse hasta un 41,9% = 100125570003628800 ×
− a costa de
encarecer la operación portuaria, sin graves congestiones.
Para establecer la necesidad (urgencia) de construir más atraques una vez que
se alcance la capacidad económica (Qe), es necesario conocer los costes que
se producen.
El coste unitario total viene dado por la expresión:
C = U +
++
BA
qTB S
ρη 11
dado que los costes de uso (U) son muy pequeños, puede aceptarse que los
58
costes unitarios serán proporcionales a
ρ+η+=
ρ+η+ 12,01
BA11
En el cuadro B.11 se recogen los valores de η (espera relativa)
correspondientes a la llegada y servicios exponenciales, que se pueden traducir
a llegada exponencial y servicio Erlang-4, multiplicando los valores que se
obtienen por ϕ, estimada en 0,625
Se tiene así, para cada valor de ρ:
Qe → 1 + 0,625 x 0,246 + 444,012,0 = 1,424
Qc → 1 + 0,625 x 0,659 + 63,012,0 = 1,602
Qm → 1 + 0,625 x 0,202 + 409,012,0 = 1,419
El coste en capacidad económica es un 0,4% superior al coste mínimo,
mientras el coste en congestión es un 12,9% superior al coste mínimo.
b) Un aumento del 50%, en el valor de A, se traduce en un incremento
A/B hasta 0,18, con lo que Z = 0,288 y según el cuadro B.15 (o gráfico B.16) se
tiene ρe = 0,50, con lo que Q = 5.760.000 · 0,5 = 1.880.000
De la misma forma se calculan para el resto de incrementos en los valores:
59
Incremento del 50 % en ρe Q (miles t/año) ∆ Q (%)
A
B
K
T
TPM
0,50
0,397
0,455
0,444
0,444
2880
2287
2621
1421 (1)
3836 (1)
12,6
- 10,6
+ 2,5
- 44,4
+ 50,0
(1) Varía la Capacidad Máxima Anual
Como se puede observar, variaciones en los costes del barco y del puerto o en
la irregularidad de la distribución, influyen relativamente poco en los resultados,
lo que si ocurre en el caso que varíen T y TKM.
c) En caso que se moviesen 8.000.000 t, con cargamentos medios de
12.000 t y un tiempo medio de 1,5 días, la ocupación ρ, en función de a, viene
dada por
a
2778a12000240
000.000.8 =××
=ρ
y por tanto, se tendrá:
Para tres atraques ρ = 0,926
Para cuatro atraques ρ = 0,690
Para cinco atraques ρ = 0,556
Para seis atraques ρ = 0,463
En base al cuadro B.15 y el gráfico B.16 para 192,0BA1 =
ϕ se tendrán las
siguientes tasas de ocupación ρe
Para tres atraques ρ = 0,501
60
Para cuatro atraques ρ = 0,539
Para cinco atraques ρ = 0,569
Para seis atraques ρ = 0,594
por lo que se necesitarán cinco atraques ρ>ρe , y con valores próximos.
61
55..-- BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA..
(1) Rodríguez Pérez, Fernando, “Capacidad de los Muelles”. M.O.P. Secretaría
General Técnica, 1977
(2) Rodríguez Pérez, Fernando, “Dirección y Explotación de Puertos”, Puerto
Autónomo de Bilbao, 1985
(3) Nicolau, S.N. “Berth Planning by Evaluation of Congestion and Cost”.
Procedings American Society of Civil Engineers, Vol. 93, No WW4, November
1967.
(4) Bernaldo de Quirós, Fernando y otros, “Estadística y Simulación aplicadas a la
Ingeniería Civil”, Centro de Perfeccionamiento Profesional y Empresarial,
Colegio Oficial de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, 1974.
(5) Escudero, Laureano F, “Aplicaciones de la teoría de colas”, Ediciones Deusto,
1972.
(6) Kaufmman, A., y Cruan, R., “Los fenómenos de espera”, CECSA, Méjico, 1961
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