LOGIC Simulado Profmat 2012 - Gabarito

Objetivas - Gabarito

01)E 08)C 15)B 22)D 29)B

02)anulada 09)A 16)B 23)C 30)D

03)D 10)B 17)B 24)D 31)C

04)E 11)B 18)E 25)D 32)B

05)E 12)B 19)A 26)D 33)E

06)C 13)C 20)B 27)D 34)B

07)E 14)A 21)B 28)A 35)C

Discursivas - GabaritoQuestao 1

Sejam S a area destacada, S1 a area do semicırculo de diametro CD e arco COD, S2 a area do

setor circular de angulo O e raios OC e OD e S3 a area do triangulo OCD. Usando o Teorema

de Pitagoras em OCD, vemos que CD =√

2, donde concluımos que o raio do semicırculo e√2

2. Logo, S1 =

12π(√

22

)2

=π

4. Como OCD esta inscrito numa circunferencia de diametro

CD, segue que O = 90o. O diametro AB = 2 implica que os raios OC = OD = 1. Daı, S2 =90360

π · 12 =π

4. A area S3 e dada por S3 = OD·OC

2 =12

. Portanto, S = S1 +S2−S3 =12

(π− 1).

Questao 2

Para resolver o problema, iremos dividir em etapas.

Etapa 1: Escolher 4 questoes das 7 primeiras: C47 · C2

3 = 105. Temos 105 maneiras de escolher

4 questoes dentre as 7 primeiras.

Etapa 2: Escolher 5 questoes das 7 primeiras: C57 · C1

3 = 63. Temos 63 maneiras de escolher 5

questoes dentre as 7 primeiras.

Etapa 3: Escolher 6 questoes das 7 primeiras: C67 = 7. Temos 7 maneiras de escolher 6 questoes

dentre as 7 primeiras.

Portanto, ha 105 + 63 + 7 = 175 maneiras de escolher as questoes de modo que pelo menos 4

estejam entre as 7 primeiras.

Questao 3

Temos que 3x + 4y = 12, onde x e y sao, respectivamente, os valores em reais de cada caneta

e cada lapis. Devemos encontrar o valor mınimo de z = x2 + y2. Da equacao 3x + 4y = 12,

obtemos que y = 3− 34x. Substituindo o valor de y em z = x2 + y2 obtemos z = 25

16x2 − 9

2x+ 9.

O valor mınimo de z e zv = − ∆4a = 5, 76.

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