Lógica M.C. Juan Carlos Olivares Rojas. Agenda Representación del Conocimiento Lógica de...

Lógica

M.C. Juan Carlos Olivares Rojas

Agenda

Representación del Conocimiento

Lógica de Proposiciones

Lógica de Predicados

Deducción Automática

Representación del Conocimiento• El conocimiento debe estar expresado en un

lenguaje simbólico para que pueda ser reconocido por una computadora o ‘agente’.

• Los agentes pueden consultar a la base de conocimientos para resolver problema o bien agregar nuevos conocimientos.

• Los agentes pueden obtener esta nueva información a través de la inferencia lógica.

Representación del Conocimiento• Inicialmente el agente cuenta con unos

conocimientos básicos llamados antecedentes o hechos.

• Se cuenta con una serie de reglas que definen la forma de deducir conocimiento.

• El agente pregunta a estas reglas y hechos para poder razonar que opción le conviene más ejecutar.

El Juejo del Wumpus

Percepciones: (4 sensores)

{Hedor, Brisa, Resplandor, Nada}

El agente no percibe su situación

Acciones:

Ir hacia adelante, girar izda/dcha 90º

Agarrar (estando en la casillla)

Disparar (sólo una flecha)

Objetivo: salir con el oro lo antes posible

1000 ptos: salir con el oro

1 pto penaliza cada acción. Penaliz. Máxima: 10000 ptos

Lógica de Proposiciones• La sintaxis nos indica cuáles son los enunciados

que se pueden construir.

• Los enunciados atómicos se componen de una sola proposición.

• Una proposición tiene un solo valor de verdad: Verdadero o Falso.

Lógica de Proposiciones• Los enunciados complejos se forman a partir de

enunciados más simples y el empleo de conectivos lógicos.

• Los Conectivos Lógicos son cinco:– NO (~) también conocida como Negación.– Y (^) también conocida como Conjunción.– O (v) también conocida como Disyunción.– Implicación ( ) también conocida como Condicional.⇒– Sí y sólo si ( ) también conocida como Bicondicional.⇔

Lógica de Proposiciones• Las expresiones que contienen conectivos lógicos

se interpretan siguiendo el orden de precedencia que corresponde al mostrado en la tabla anterior.

• Por ejemplo: ~P ^Q v R S equivale a:⇒• (~(P) ^(Q v R)) S⇒

• Además, se emplean los paréntesis para evitar ambigüedades.

Lógica de Proposiciones• La semántica nos define las reglas que permiten

determinar el valor de verdad de un enunciado respecto de algún modelo.

• Con dos símbolos proposicionales existen 4 modelos posibles para cada uno de los 5 conectivos lógicos, ¿Cómo quedarían las tablas de verdad?

Lógica en Wumpus• Regresemos al mundo del Wumpus para

visualizar la construcción de la base de conocimiento.

• Notación:– Bij indica que hay brisa en la celda (i,j).– Pij indica que hay un pozo en la celda (i,j).

• A partir de un conocimiento inicial:– E1: ~P11

Lógica en Wumpus• Cuando hay brisa en una casilla implica que en

una casilla contigua hay un pozo: • E2: B11 P12 v P21⇔

• Ahora agregamos la primera percepción, no se percibe brisa en la celda (1,1): E3: ~B11

• ¿Cómo relacionar los enunciados 2 y 3 para obtener nuevo conocimiento?

Lógica de Proposiciones• Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son

todos verdaderos, a esa proposición compuesta se le llama Tautología. Como ejemplo tenemos a: (p v ~p)

• Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos falsos, a esa proposición compuesta se le llama Contradicción. Como ejemplo tenemos a: (p ^ ~p)

Lógica de Proposiciones• Básicamente la inferencia es la implementación

de una implicación.

• Los enunciados conocidos como verdaderos forman parte del antecedente.

• El consecuente es un nuevo enunciado cuya veracidad se desprende de los anteriores. Simbólicamente se representa así:

• antecedente :: consecuente

Lógica de Proposiciones• La equivalencia lógica se presenta cuando dos

enunciados α y β tienen los mismos valores de verdad para el mismo conjunto de modelos.

• A continuación mostramos una tabla con las equivalencias lógicas más comunes:

• Doble Negación: ~( ~p ) ≡ p

Lógica de Proposiciones• Leyes Conmutativas

( p v q ) ≡ ( q v p )( p ^ q ) ≡ ( q ^ p )

• Leyes Asociativas( p v q ) v r ≡ p v ( q v r )( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r )

Lógica de Proposiciones• Leyes Distributivas

p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )p ^ ( q v r ) ≡ ( p ^ q ) v ( p ^ r )

• Leyes de Idempotencia( p v p ) ≡ p( p ^ p ) ≡ p

Lógica de Proposiciones• Leyes de DeMorgan

~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q

• Leyes de Identidad( p v ~p ) ≡ t( p ^ ~p ) ≡ f( p v f ) ≡ p( p v t ) ≡ t

Lógica de Proposiciones• Leyes de Identidad

( p v f ) ≡ f( p v t ) ≡ p

• Leyes de la Implicación(p q) ≡ (p q) ^ (q p)⇔ ⇒ ⇒

(p q) ≡ (~q ~p)⇒ ⇒(q p) ≡ (~p ~q)⇒ ⇒(p q) ≡ (~p v q)⇒

Lógica de Proposiciones• Reglas de Inferencias• La siguiente implicación lógica se llama Modus

Ponens y corresponde a la siguiente inferencia:p ^ ( p q ) :: q⇒

• Ejemplo:p: Estudiop q: Si estudio aprobaré Matemáticas⇒q: Entonces, Aprobaré Matemáticas

Lógica de Proposiciones• La siguiente implicación lógica se llama Modus

Tollens y corresponde a la siguiente inferencia:( p q ) ⇒ ^ ~q :: ~p

• Ejemplo:p q: Si estudio apruebo Matemáticas⇒~q: No aprobé Matemáticas~p: Entonces, no Estudié

Lógica de Proposiciones• La siguiente implicación lógica se llama Silogismo

Hipotético y corresponde a la siguiente inferencia:( p q ) ⇒ ^ ( q r ) :: ( p r )⇒ ⇒

• Ejemplo:p q: Si estudio apruebo Matemáticas⇒q r: Si apruebo Matemáticas me regalan un auto⇒p r: Entonces, Si estudio me regalan un auto⇒

Lógica de Proposiciones• La siguiente implicación lógica se llama Silogismo

Disyuntivo y corresponde a la siguiente inferencia:

( p v q ) ^ ~p :: q

• Ejemplo:p v q: Hay que estudiar Francés o Alemán~p: No estudio Francésq: Entonces, Estudio Alemán

Lógica de Proposiciones• La simplificación conjuntiva consiste en eliminar

uno de los términos de una conjunción:( p ^ q ) :: q o también: ( p ^ q ) :: p

• Por el otro lado, la amplificación disyuntiva permite agregar un nuevo término:

p :: ( p v q )

Lógica en Wumpus• Se tiene que:• E2: B11 P12 v P21⇔• E3: ~ B11

• Por lo que tenemos el siguiente razonamiento:• E4: (B11 (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) B11)⇒ ⇒• E5: ((P12 v P21) B11)⇒• E6: ~B11 ~(P12 v P21)⇒• E7: ~(P12 v P21)• E8: ~P12 ^ ~P21

Lógica en Wumpus• Del razonamiento anterior concluimos que no hay

un pozo en la casilla (1,2) ni en la (2,1).

• Ahora veamos el razonamiento cuando el agente llega a la celda (1,2).

• E9: ~B12• E10: B12 P11 v P13 v P22⇔• E12: ~P22

Lógica en Wumpus• Concluimos que no hay pozo ni en la casilla (1,3)

ni en la (2,2).• E11: ~P13• E12: ~P22

• Pero cuando el agente visitó la celda (2,1) percibió una brisa:

• E13: B21• E14: B21 P11 v P31 v P22⇔

Lógica en Wumpus• Dado que ya verificamos que no hay pozo en las

celdas (1,1) y (2,2), resulta evidente la conclusión que:

• E15: P31

• Es conveniente que nuestra base de conocimiento esté basada solamente en conjunciones y disyunciones.

Lógica Proposicional• Cualquier enunciado compuesto puede ser

transformado a uno equivalente que esté en la FNC

• La Forma Normal Conjuntiva es la conjunción de n disyunciones de k elementos:

( p11 v … v p1k ) ^ … ^ ( pn1 v … v pnk )

Lógica Proposicional• A continuación se describe un procedimiento

para convertir a nuestra FNC:

• Eliminar usando la equivalencia:⇔(p q) ≡ (p q) ^ (q p)⇔ ⇒ ⇒

• Eliminar usando la equivalencia:⇒(p q) ≡ (~p v q)⇒

Lógica Proposicional• Simplificar ~ usando las equivalencias:

~( ~p ) ≡ p~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q

• Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea necesario.

p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )

Lógica Proposicional• E2: B11 (P12 v P21)⇔

(B11 (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) B11 )⇒ ⇒(~B11 v P12 v P21) ^ (~(P12 v P21) v B11 )(~B11 v P12 v P21) ^ ((~P12 ^ ~P21) v B11 )

(~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11)

Lógica Proposicional• Para demostrar que una implicación BC :: α es

válida, se utiliza el método de reducción al absurdo.

• Esto es, probar que su negación: BC ^ ~α es una contradicción.

• Para ello se lleva a la FNC y luego se prueba que es equivalente a una cláusula vacía.

Lógica Proposicional• Probar que: E2 ^ E4 :: ~P12.

• (B11 (P12 - P21)) ^ ~B11 :: ~P12⇔

• Se convierte a FNC:• (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (¿P21 v B11) ^

~B11 :: ~P12

Lógica Proposicional• Y para probar por reducción al absurdo, tenemos

la negación:• (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11)

^ ~B11 ^ P12

• El proceso de simplificación funciona como sigue:

• Si tomamos los primeros dos paréntesis, observamos que contienen a: ~B11 y B11, respectivamente.

Lógica Proposicional• Como no pueden ser ambos verdaderos

simultáneamente, entonces, o (P12 v P21) o bien (~P12 ) son verdaderos, lo que se reduce a la siguiente expresión:

• (P12 v P21 v ~P12)

• Como (P12 v ~P12 ) es una tautología, la expresión anterior se reduce a: (P21)

Lógica Proposicional• Similarmente, los dos paréntesis siguientes,

también contienen a: ~B11 y B11, por lo que la• expresión simplificada queda: (~P21)

• Como ambas no pueden ser verdaderas, la conjunción resulta en una expresión nula.

Ejercicios• ( p q ) ⇒ ^ ( q r )⇒

• p ^ ( p q )⇒

• ((p ^ q) (p v ~q))⇔

• ((~(p q) ^ r ) v ~(p ~q))⇒ ⇔

Lógica de Predicados• Hay que aprovechar la característica declarativa y

la composicionalidad de la lógica proposicional. Para ello definimos dos tipos de elementos:

• Los objetos (Agente, Flecha, Wumpus, Pozo)• Las relaciones entre ellos, generalmente

vinculadas por un verbo.

• El Agente lanzó una Flecha

Lógica de Predicados• Las relaciones unitarias también se conocen como

Propiedades y se vincula un objeto con una característica por el verbo SER:

• La Pelota es roja.

• Las Funciones son un tipo especial de relación que involucra un solo objeto y devuelven un valor:

• El padre de• Uno más que

Lógica de Predicados• Uno sumado a Dos es igual a Tres– Objetos: Uno, Dos y Tres.– Relación: es igual a.– Función: sumado a; el resultado es un objeto, llamado:

Uno sumado a Dos.

• Las Casillas que rodean al Wumpus apestan.– Objetos: Casillas y Wumpus.– Relación: que rodean al.– Propiedad: apestan.

Lógica de Primer Orden• La lógica de primer orden se construye sobre:

Hechos, Objetos y Relaciones.

• La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada.

• El dominio de un modelo es el conjunto de objetos que contiene.

Lógica de Primer Orden• Una relación binaria es un conjunto de pares

ordenados.

• Por ejemplo, si Hugo, Paco y Luis son hermanos se denota así:

• H = { (Hugo, Paco), (Hugo, Luis), (Paco, Luis),

• Por ejemplo, si Pepe es el padre de Hugo, Paco y Luis, tenemos entonces:

Lógica de Primer Orden• Padre_de(Hugo) → Pepe• Padre_de(Paco) → Pepe• Padre_de(Luis) → Pepe

• Padre_de(Pepe) ?

• A continuación se muestra la gramática de la LPO en BNF.

Lógica de Primer Orden• Los símbolos se agrupan en tres clases:

• Símbolos de constante, que representan a los Objetos. Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre.

• Ejemplo: Juan, Casa, Wumpus.

Lógica de Primer Orden• Símbolos de predicado, que representan a las

Relaciones. Ejemplos: Vecino, Hermano, …

• Símbolos de función. Ejemplos: Coseno, Padre_de, Oficina_de

• Los símbolos de predicado y de función tienen una Aridad que establece el número de argumentos.

Lógica de Primer Orden• ⟨Enunciado → Sentencia Atómica | ⟩ ⟨ ⟩

( Enunciado Conector Enunciado ) | ⟨ ⟩⟨ ⟩⟨ ⟩Cuantificador Variable … Enunciado | ⟨ ⟩⟨ ⟩ ⟨ ⟩

~ Sentencia⟨ ⟩

• ⟨Sentencia Atómica → Predicado ( Término …) ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩| Término = Término⟨ ⟩ ⟨ ⟩

• ⟨Término → Función ( Término …) | ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩Constante | Variable⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Lógica de Primer Orden• ⟨Conector → . | - | | ⟩ ⇔ ⇒• ⟨Cuantificador → | ⟩ ∀ ∃• ⟨Constante → Martin | 59302 | Gato | X | …⟩• ⟨Variable → a | x | s | …⟩

• ⟨Predicado → Previo | Gusta | Llueve | Falla | …⟩

• ⟨Función → Padre_de | Cabello_de | Oficina_de ⟩| …

Lógica de Primer Orden• Un término es una expresión lógica que se refiere

a un objeto.– Los símbolos constantes son términos– Los símbolos de función son términos.– Las variables también son términos.

• Una sentencia atómica está formada por un símbolo predicado seguido por una lista entre paréntesis de términos.

Lógica de Primer Orden• Por ejemplo: Hermano(Roberto,Juan) indica que

Roberto es el hermano de Juan.

• Las sentencias atómicas pueden tener argumentos que son términos complejos: Casado(Padrede(Roberto),Madrede(Juan))

• Se pueden usar conectores lógicos para construir sentencias más complejas.

Lógica de Primer Orden• Ejemplo:• Hermano(Roberto,Juan) ∧

Hermano(Juan,Roberto)

• Es verdadero si Juan y Roberto son hermanos, pues la relación es simétrica.

• Los cuantificadores nos permiten expresar propiedades de colecciones de objetos.

Lógica de Primer Orden• Hay dos cuantificadores en lógica de primer

orden: universal y existencial.

• Cuando un enunciado abarca a todos los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Universal, que se denota por . El cual se enuncia con frases similares a: ∀“Para todos …”, “Todos …”

• Ejemplo: Todos los gatos son mamíferos.

Lógica de Primer Orden• Esta proposición es falsa si al menos un solo valor

de la variable no satisface al enunciado.

• La representación simbólica es:• ∀x Gato(x) Mamifero(x)⇒

• Sin embargo, mucha gente cae en el error de interpretarla como:

• ∀x Gato(x) Mamifero(x)∧

Lógica de Primer Orden• Aparentemente son equivalentes, pero esta

segunda forma es más fuerte que la anterior, pues la primera será verdadera cuando el antecedente es falso (v.gr. x es un perro)

• Cuando un enunciado indica que al menos uno de los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Existencial, el cual se denota por .∃

Lógica de Primer Orden• Y se enuncia con frases similares a: “Hay ...” o

“Existe ...” o “Para algunos ...”• Ejemplo: En mi clase hay mujeres.• Esta proposición es falsa si no existe ningún valor

de la variable que satisfaga al enunciado.

• La representación simbólica es:• ∃x Alumnodemiclase(x) Mujer(x)∧

Lógica de Primer Orden• Semejante al caso anterior, mucha gente cae en el

error de interpretarla como:• ∃x Alumnodemiclase(x) Mujer(x)⇒

• Pero esta segundo enunciado es más débil que el anterior y sería verdadero para los estudiantes que no están en mi clase.

• Se pueden realizar afirmaciones muy complejas si se anidan cuantificadores.

Lógica de Primer Orden• Sin mezclar tipos de cuantificadores, podemos

decir cosas como:• ∀x,y Hermano(x,y) Hermano(y,x)⇒

• También podemos mezclar cuantificadores,• ∀x y Buenopara(x,y) “Todos somos buenos para ∃

alguna cosa"• ∃y x Buenopara(x,y) “Alguien es bueno para ∀

todo"

Lógica de Primer Orden• Se pueden cambiar los cuantificadores mediante la

negación.

• Considerar la sentencia:• ∀x ~Gusta(x,Verduras) “Para todo x, x no le gustan

las verduras."

• Es equivalente a decir: “No existe un x que le gusten las verduras.“

• ~ x Gusta(x, Verduras)∃

Lógica de Primer Orden• Similarmente, los siguientes enunciados son

equivalentes:• ∃x P = ~ x ~P∀• ∀x P = ~ x ~P∃• ~ x P = x ~P∀ ∃• ∀x ~P = ~ x P∃

• Con frecuencia el símbolo de igualdad se incluye como un símbolo especial.

Lógica de Primer Orden• Ejemplo: Padre(Juan) = José

• Afirmar que el objeto que es padre de Juan es el mismo que el objeto José.

• Los axiomas capturan los hechos básicos acerca de un dominio. Ejemplos:

• ∀x,y Padre(x,y) Hijo(y,x)⇔• ∀x,y Abuelo(x,y) z Padre(x,z) . Padre(z,y)⇔ ∃• ∀x Masculino(x) ~Femenino(x)⇔

Lógica de Primer Orden• Algunos axiomas son considerados como

Definiciones.

• Los axiomas son luego usados para probar teoremas.

• FOL en Wumpus:

• El primer paso es definir la interface entre el agente y el mundo.

FOL Wumpus• Un ejemplo de percepción sería:• Percepción([Hedor,Brisa,Brillo,Nada,Nada],5)

• El vector de percepciones contiene 5 elementos que son: Hedor, Brisa, Brillo, Golpe con un muro y Grito. Además incluye un sexto elemento para el tiempo.

• Las acciones posibles del agente pueden ser las siguientes:

FOL Wumpus• Girar(Derecha)• Girar(Izquierda)• Avanzar• Disparar• Tomar

• Para determinar cuál es la mejor acción, el agente realiza una petición como esta:

• PREGUNTAR(BC, x MejorAcción(x,5))∃

FOL Wumpus• Esta petición retornará una lista de acciones

posibles, tal como: {a/Tomar}.

• Antes de realizar esa acción, el agente deberá DECIR a la base de conocimiento su decisión de hacer la acción de Tomar:

• DECIR(BC, Acción(5)=Tomar)

• Reglas de diagnóstico: nos llevan de los efectos observados a sus causas.

FOL Wumpus• Por ejemplo: si una casilla tiene brisa significa que

una casilla adyacente tiene un pozo.• ∀x Brisa(x) y Adyacente(y,x) Pozo(y)⇒ ∃ ∧

• Reglas Causales: reflejan conclusiones respecto de las percepciones y sus causas. Por ejemplo: un pozo en una casilla provoca brisa en todas las casillas adyacentes.

• ∀y Pozo(y) [ x Adyacente(x,y) Brisa(x)]⇒ ∀ ⇒

Lógica de Primer Orden• La Ingeniería del Conocimiento es un proceso

general para la construcción de una base de conocimiento. A continuación se describen los pasos de este proceso:

• Identificación de la tarea.• Recopilación del conocimiento. • Decidir el vocabulario. • Codificar el conocimiento.

Deducción Automática• Para el hecho: Contrata(Telmex,Toño), podemos

construir índices para las siguientes peticiones:

• Contrata(Telmex,Toño) ¿Contrata Telmex a Toño?• Contrata(x,Toño) ¿Quién Contrata a Toño?• Contrata(Telmex,y) ¿A quién Contrata Telmex?• Contrata(x,y) ¿Quién Contrata a quién?

Deducción automática• El primer paso consiste en transformar los

enunciados en sentencias lógicas.

• Posteriormente se aplican las técnicas anteriores para convertirlas en un conjunto de cláusulas positivas de primer orden.

• Luego se encadenan esos conocimientos para obtener nuevos enunciados.

Deducción Automática• Pasar a FNC la siguiente base de conocimientos:1.Asterix es un galo2.Los romanos que son amigos de algún galo odian

a César3.Asterix ayudó a Marco4.Marco es amigo de quien le ayuda5.Quien odia a algún romano, lucha contra él6.Marco es romano

Deducción Automática

1. Asterix es un galo• galo(Asterix) (en FNC)

1. Los romanos que son amigos de algún galo odian a César

• ∀x [romano(x) . ( y galo(y) . amigo(x, y)) ∃ ⇒odia(x,Cesar)]

Deducción Automática• Reemplazando la cláusula existencial:• ∀x [romano(x) . (galo(G) . amigo(x, G)) ⇒

odia(x,Cesar)]

3.Asterix ayudó a Marco• ayuda(Asterix,Marco) (en FNC)

4.Marco es amigo de quien le ayuda• ∀x [ayuda(x,Marco) amigo(Marco, x)]⇒

Deducción Automática

5. Quien odia a algún romano, lucha contra él• ∀x y [romano(y) . odia(x, y) lucha(x, y)]∃ ⇒

• Reemplazando la cláusula existencial:• ∀x [romano(R) . odia(x, R) lucha(x, R)]⇒

6. Marco es romano• romano(Marco) (en FNC)

Deducción Automática• Los Miembros del equipo de tenis son: Juan, Sara,

Beto y Elena.

• Juan está casado con Sara.

• Beto es hermano de Elena.

• El cónyuge de un miembro del equipo también es miembro del equipo.

Deducción Automática• La última reunión fue en casa de Juan.

• Representar los enunciados anteriores en lógica de predicados. Demostrar que:

• La última reunión fue en casa de Sara.• Elena no está casada.

• Agregue los hechos que necesite para las demostraciones.

Deducción Automática• A Paco le gustan los cursos fáciles.

• Los cursos de Física son difíciles.

• Los cursos de Humanidades son fáciles.

• El curso de Ética es del área de Humanidades.

• ¿Qué curso le gustaría tomar a Paco?

Deducción Automática• A Beto le gusta la comida italiana.

• En un restaurante hay comida mexicana a no ser que se anuncie explícitamente lo contrario.

• En “La Conchita” no anuncian que tipo de comida sirven.

Deducción Automática• A las personas no les gusta ir a restaurantes

donde sirven comida que no es de su preferencia.

• ¿Se puede concluir que a Beto no le gusta ir a “La Conchita”?

Deducción Automática• Formaliza los siguientes hechos:• Todo dragón está feliz si todos sus hijos pueden

volar.• Los dragones verdes pueden volar. Un dragón es

verde si es hijo de al menos un dragón verde.

• Demuestra por resolución que la conjunción de los hechos anteriores implica que:

• Todos los dragones verdes son felices.

Deducción Automática• Considere las siguientes relaciones:

• Feliz(x) para x es feliz.• Volar(x) para x puede volar.• Verde(x) para x es verde.• Dragón(x) para x es dragón• Rojo(x) para x es rojo.• Hijo(x,y) para x es hijo de y.

Referencias• Carreón, J. (2007) Material de la Asignatura de

Inteligencia Artificial, Universidad Vasco de Quiroga, Morelia, Michoacán, México.

• Nilsson, N. (2001). Inteligencia Artificial. Una nueva síntesis. McGraw-Hill, España.

• Russel, S. y Norving, P. (2004). Inteligencia Artificial. Un Nuevo enfoque. Pearson Prentice Hall, España

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