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IntroductionLe langage propositionnel
La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
Quelques resultats
Logique classiqueCours 2 : Logique propositionnelle
Odile PAPINI
POLYTECHUniversite d’Aix-Marseilleodile.papini@univ-amu.fr
http://odile.papini.perso.luminy.univ-amu.fr/sources/LOG.html
Odile PAPINI Logique classique
IntroductionLe langage propositionnel
La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
Quelques resultats
Plan du cours
1 Introduction
2 Le langage propositionnel
3 La logique propositionnelle comme systeme formel
4 La semantique de la logique propositionnelle
5 Quelques resultats
Odile PAPINI Logique classique
IntroductionLe langage propositionnel
La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
Quelques resultats
Bibliographie I
Delahaye J. P., Outils logiques pour l’intelligenceartificielle. ,Eyrolles, Paris, 1986.
Gochet P.& Gribomont P., Logique : methodes pourl’informatique fondamentale.Langue, Raisonnement, Calcul, Hermes, Paris, 1990.
Kleene S. C., Logique mathematique. ,Epistemologie, Jacques Gabay, Paris, 1987.
Thayse A.& al., Approche logique de l’intelligenceartificielle, Tome 1. ,Informatique, DUNOD, Paris, 1990.
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IntroductionLe langage propositionnel
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Quelques resultats
Bibliographie II
Alliot J.-M., Scheix T., Brisset P. & Garcia F.,Intelligence artificielle et Informatique theorique.,CEPADUES EDITIONS, Toulouse, 2002.
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Bibliographie 2 I
Support de cours logique propositionnelle
http ://www.irit.fr/ Andreas.Herzig/C/prop.htmlhttp ://www.grappa.univ-lille3.fr/ champavere/Enseignement/0607/l2miashs/ia/logique.pdfhttp ://www-lipn.univ-paris13.fr/ levy/pdf/CoursLogMod.pdf
Exerciceshttp ://home.etu.unige.ch/ guigong3/TPdeLogique.htmlhttp ://users.info.unicaen.fr/ zanutti/logique/http ://liris.cnrs.fr/ amille/enseignements/emiage/supports−IA/logique/logique propositions.pdf
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Quelques resultats
Intoduction
proposition
concept de proposition :
information atomique contingente
ce qui est ou ce qui n’est pas, un fait, une assertion
exemple de propositions
2 + 2 = 41 + 1 = 0
Le soleil brilleIl a les yeux rouges
un carre est un polygonetout homme est mortel · · ·
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Quelques resultats
Le langage propositionnel L
Vocabulaire
un ensemble infini denombrable de variables propositionnellesou propositions P
les constantes : 0 (Faux , F ou ⊥) et 1 (Vrai , V , ou >)
les connecteurs : ¬ ∧ ∨ → ↔
les parentheses
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Quelques resultats
Le langage propositionnel
Procede de formation des formules de L
⊥ (ou 0 ou F ) : est une formule
> (ou 1 ou V ) : est une formule
p : une variable propositionnelle est une formule
si P et Q sont des formules alors¬ P, P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q
sont des formules
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Quelques resultats
Le langage propositionnel
Exemples de formules propositionnelles
(¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q)
P ∨ (Q ∧ R)
(P → (Q → P))
(A→ B)→ ((A→ (B → C ))→ (A→ C ))
¬¬A→ A
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Quelques resultats
Le langage propositionnel
exercice : representation d’enonce
Si Pierre vient, on joue aux cartes ;
Si Pierre et Jean viennent, il y a des disputes ;
Si on ne joue pas aux cartes, il n’y a pas de dispute ;
Pierre ne vient pas.
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Quelques resultats
Le langage propositionnel
exercice : representation d’enonce
Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide ou depourvu deprincipes.
Didier n’est ni stupide ni depourvu de principes.
Didier n’est pas l’auteur de ce bruit.
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Quelques resultats
systeme formel
Axiomes
∀P, Q, R ∈ L
A1) (P → (Q → P))
A2) ((P → (Q → R))→ ((P → Q)→ (P → R)))
A3) ((¬ P → ¬ Q)→ (Q → P))
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Quelques resultats
systeme formel
Regles de deduction
∀P, Q, R ∈ L
modus ponens
` P, ` P → Q
` Q
regle de substitution
remplacer dans un theoreme une variable propositionnelle,partout ou elle figure, par :
une autre variable propositionnelleou une formule bien formee
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systeme formel
Definitions
∀P, Q ∈ L
D1) P → Q =def ¬P ∨ Q
D2) P ∧ Q =def ¬(¬P ∨ ¬Q)
D3) P ↔ Q =def (¬P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q)
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systeme formel
Deduction
une deduction a partir d’hypotheses H1,H2, · · · ,Hm est une suitede formules bien formees F1,F2, · · · ,Fp ou chaque Fi est soit :
une hypothese
un axiome
ou une formule obtenue a partir des regles d’inference(substitution ou modus ponens) appliquees aux formulesplacees avant Fi dans la deduction
notation
H1,H2, · · · ,Hm ` Fptheoreme : deduction sans hypothese ` F
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systeme formel
exemple : deduction
Donner une deduction de C a partir de A, B et A→ (B → C ),plus formellement, montrer que :
A, B, A→ (B → C ) ` C
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systeme formel
Proposition :
∀P ∈ L ` (P → P)
Proposition :
∀P1, · · · ,Pn−1 ∈ L
si P1, · · · ,Pn−1 ` (Pn → Q) alors P1, · · · ,Pn ` Q
Theoreme de deduction :
Soient P1, · · · ,Pn,Q ∈ L
si P1, · · · ,Pn ` Q alors P1, · · · ,Pn−1 ` (Pn → Q)
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Quelques resultats
systeme formel
Quelques theoremes utiles :
∀P,Q,R ∈ L, toutes les formules suivantes sont des theoremes :
` ((P → Q)→ ((Q → R)→ (P → R)))
` (P → ((P → Q)→ Q))
` (¬P → (P → Q))
` (¬¬P → P)
` (P → ¬¬P)
` ((P → Q)→ (¬Q → ¬P))
` (P → (¬Q → ¬(P → Q)))
` ((Q → P)→ ((¬Q → P)→ P))
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systeme formel
exercices : deduction
Montrer que ∀P ∈ L, ` (P → P)
En utilisant le theoreme de deduction montrer que :` (A→ (B → C ))→ (B → (A→ C ))
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semantique de la logique propositionnelle
Interpretation
toute application σ de P (ensemble des propositions) dans {0, 1}telle que :
σ(⊥) = 0 et σ(>) = 1
∀P,Q ∈ L,
σ(¬P) = 1− σ(P)
σ(P ∨ Q) = max(σ(P), σ(Q))
σ(P ∧ Q) = min(σ(P), σ(Q))
σ(P → Q) = max((1− σ(P)), σ(Q))
σ(P ↔ Q) =min(max((1− σ(P)), σ(Q)),max(σ(P), (1− σ(Q)))).
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semantique de la logique propositionnelle
Table de verite
P Q P ∨ Q P ∧ Q P → Q P ↔ Q
1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 1
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semantique de la logique propositionnelle
exercice
Quelles sont les interpretations qui rendent vraie la formule :
(A→ (B → C ))→ (B → (A→ C )) ?
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semantique de la logique propositionnelle
quelques definitions
∀P,Q ∈ L et F ⊂ L
P est une tautologie si pour toute interpretation σ, σ(P) = 1, onecrit |= P
Q est une consequence logique de P si pour toute interpretationσ, si σ(P) = 1 alors σ(Q) = 1, on ecrit P |= Q
Q est une consequence logique de F si pour toute interpretationσ, tq ∀P ∈ F , si σ(P) = 1 alors σ(Q) = 1, on ecrit F |= Q
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Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
exercices
Monter que les axiomes A1), A2), A3) sont des tautologies
Est-ce que (P → R) est une tautologie ?
Est -ce que ψ est une consequence logique de φ ?
φ = (P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ R), ψ = Q ∧ Rφ = (P → Q) ∧ (P → ¬Q), ψ = ¬P
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Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
quelques definitions
∀P,Q ∈ L et F ⊂ L
P est satisfaisable ou coherente s’il existe une interpretationσ tq σ(P) = 1
F est satisfaisable s’il existe une interpretation σ tq ∀P ∈ F ,σ(P) = 1
P est insatisfaisable ou incoherente si pour touteinterpretation σ, σ(P) = 0
F est insatisfaisable si pour toute interpretation σ, ∃P ∈ Ftq σ(P) = 0
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Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
exercices
les formules suivantes sont-elles coherentes ?
(a ∨ ¬b) ∧ (¬a ∨ b) ∧ ¬(a↔ b)
b → (¬c → ¬(b → c))
les ensembles de formules suivants sont-ils satisfaisables ?
F = {a ∨ b ∨ c , ¬a ∨ b, ¬a ∨ c , ¬b,¬c}
G = {a ∨ b, ¬a, ¬b}
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semantique de la logique propositionnelle
Quelques proprietes
∀P,Q ∈ L,
|= (P → Q) ssi P |= Q
|= (P ↔ Q) ssi P ≡ Q
si |= P et |= (P → Q) alors |= Q
|= (P ∧ Q) ssi |= P et |= Q
si |= P ou |= Q alors |= (P ∨ Q)
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Quelques resultats
semantique de la logique propositionnelle
exercice
Montrer :
|= (P → Q) ssi P |= Q
|= (P ↔ Q) ssi P ≡ Q
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Quelques resultats
la logique propositionnelle
Quelques theoremes
theoreme (d’adequation) :∀P ∈ L si ` P alors |= P
(les formules qui sont des theoremes sont des tautologies)
theoreme (de completude faible) :∀P ∈ L si |= P alors ` P
(les formules qui sont des tautologies sont des theoremes )
theoreme (de completude forte) :Soit F un ensemble de formules de L, ∀P ∈ Lsi F |= P alors F ` P
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Quelques resultats
logique propositionnelle
Quelques theoremes
theoreme (de compacite) :Soit F un ensemble de formules de L.Si toute famille finie F ′ ⊂ F est satisfaisable alors F est aussisatisfaisable.
theoreme (de finitude) :Soit F un ensemble de formules de L. Soit Q ∈ Lsi F |= Q alors ∃F ′ ⊂ F fini tq F ′ |= Q
theoreme (de decidabilite) :∀P ∈ L , il existe un programme qui, pour toute formule P,
indique en un temps fini si oui ou non ` P
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Quelques resultats
logique pour l’informatique
formes normales
litteral : une proposition ou la negation d’une propositionclause : disjonction de litterauxcube : conjonction de litterauxforme conjonctive normale : une conjonction de clausesforme disjonctive normale : une disjonction de cubes
theoreme (de normalisation) :
∀P ∈ L, P admet une forme conjonctive normale qui lui estequivalente
∀P ∈ L, P admet une forme disjonctive normale qui lui estequivalente
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La logique propositionnelle comme systeme formelLa semantique de la logique propositionnelle
Quelques resultats
logique pour l’informatique : algorithme de normalisation
debut
elimination des connecteurs → et ↔remplacer P ↔ Q par (P → Q) ∧ (Q → P)
puis remplacer P → Q par ¬P ∨ Q
application des lois de Morgan
remplacer ¬(P ∧Q) par ¬P ∨¬Q et ¬(P ∨Q) par ¬P ∧¬Q
elimination des doubles negations
remplacer ¬¬P par P
application des regles de distributivite
remplacer P ∨ (Q ∧ R) par (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
et (P ∧ Q) ∨ R par (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
finOdile PAPINI Logique classique
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Quelques resultats
formes normales
exercice
Mettre sous forme CNF :
¬(a ∨ b → c)
P → (Q → R)
¬((P → Q) ∧ (R → S))
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Quelques resultats
formes normales
exercice
Mettre sous forme DNF :
¬(a ∨ b → c)
P → (Q → R)
¬((P → Q) ∧ (R → S))
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