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8/19/2019 lois des probabilité
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L2 Économie Probabilités
COUPLES DE VARIABLESALÉATOIRES DISCRÈTES
Exercice. On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y dont la loi de couple estdonnée par le tableau
X \ Y −1 1
−2 2910033
100
2 13100 p2
( a) Pour quelle(s) valeur(s) de p ce tableau définit bien une loi de probabilité d’un couple devariables aléatoires ?
( b) Déterminer les lois marginales de X et Y puis calculer leurs espérances et variances.( c) Déterminer la loi de la variable aléatoire Z = XY , son espérance et sa variance.( d ) Déterminer la covariance Cov( X ,Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Corrigé de l’exercice.
( a) Il faut que tous les coecients du tableau soient positifs (ce qui est le cas) et que la sommedes éléments du tableau vaille 1 ; on a
29100
+ 33100
+ 13100
+ p2 = 1 ⇐⇒ 75100
+ p2 = 1 ⇐⇒ 34 + p2 = 1 ⇐⇒ p2 =
14
⇐⇒ p = ±12
.
Les deux valeurs de p qui font du tableau précédent une loi de probabilité d’un couple
sont p =
1
2 et p = −
1
2 . Dans tous les cas, on a p2=
1
4 =
25
100
1
8/19/2019 lois des probabilité
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( b) La loi marginale de X est donnée par
k P( X = k )
−2 621002 38100
On a donc
E( X ) =
x∈ X (Ω)
xP( X = x) = (−2) × 62100
+ (+2) × 38100
= − 48100
E( X 2) =
x∈ X (Ω)
x2P( X = x) = (−2)2 × 62100
+ (+2)2 × 38100
= 400100
= 4
Var( X ) = E( X 2) − E( X )2 = 4 −
−
48100
2= 4 −
230410000
= 40000 − 2304
10000 =
3769610000
La loi marginale de Y est donnée park −1 1
P(Y = k ) 4210058
100
On a donc
E(Y ) =
y∈Y (Ω)
yP(Y = y) = (−1) × 42100
+ (+1) × 58100
= 16100
E(Y 2) =
y∈Y (Ω)
y2P(Y = y) = (−1)2 × 42100
+ (+1)2 × 58100
= 100100
= 1
Var(Y ) = E(Y 2) − E(Y )2 = 1 −
16100
2
= 1 − 25610000
= 10000 − 256
10000 =
974410000
( c) Les valeurs prises par Z sont −2 et 2. On a
P( Z = 2) = P( X = 2,Y = 1) + P( X = −2,Y = −1) = 29100 + 25100 =
54100
P( Z = −2) = P( X = −2,Y = 1) + P( X = 2,Y = −1) = 33100 + 13100 =
46100
La loi de Z est donc donnée par le tableau suivant :
k −2 2
P( Z = k ) 4610054
100
On a donc
E( Z ) =
z∈ Z (Ω)
zP( Z = z) = (−2) × 46100
+ (+2) × 54100
= 16100
E( Z 2) =
z∈ Z (Ω)
z2P( Z = z) = (−2)2 × 46100
+ (+2)2 × 54100
= 400100
= 4
Var( Z ) = E( Z 2) − E( Z )2 = 4 − 16100
2
= 4 − 25610000
= 40000 − 256
10000 =
3974410000
2
8/19/2019 lois des probabilité
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( d ) La covariance de X et Y est donnée par
Cov( X ,Y ) = E( XY ) − E( X )E(Y ) = 16100
−
−
48100
×
16100
= 23681000
.
Les variables X et Y ne sont pas indépendantes car elles ne sont pas décorrélées.
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