View
217
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
1/14
Subiectul I
1. Să se calculeze .
Rezolvare:
.
2. Să se rezolve în inecuaţia: .
Rezolvare: Rezolvăm mai întâi în inecuaţia .Determinăm rădăcinile ecuaţiei
.Calculăm
.A oi
!sau
!adică
"i .
A"adar mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei este
iar mulţimea soluţiilor între#i ale aceleia"i inecuaţii este
.
$. Să se determine inversa %uncţiei bi&ective .
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
2/14
Rezolvare: 'entru a #ăsi inversa %uncţiei bi&ective %( vom rezolva în mulţimea ecuaţia
(
unde ) este un arametru din mulţimea .Avem:
( entru .'rin urmare( inversa %uncţiei % este %uncţia
(dată de le#ea
.
*. Să se determine numărul %uncţiilor cu ro rietatea că .
Rezolvare: +umărul %uncţiilor cu ro rietatea
că ( ,-at este e#al cu numărul %uncţiilor de,nite e mulţimea cu
valori în mulţimea ( adică cu
.
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
3/14
ntrucât a oate lua * valori di%erite( rezultă că numărul %uncţiilor cu ro rietatea
că este e#al cu
.
/. Să se determine coordonatele vâr%ului D al aralelo#ramului A0CD "tiind că .Rezolvare: A0CD este aralelo#ram dacă "i numai dacă se#mentele AC "i 0D au acela"i mi&loc 3cu alte cuvinte(
dia#onalele lui se în&umătăţesc4.5ie 6 mi&locul se#mentului AC . Atunci
!adică
! .Coordonatele mi&locului se#mentului 0D sunt
!sau
! .'unem condiţia ca mi&locul se#mentului AC să coincidă cu mi&locul se#mentului 0D :
!
!
!
! .
Deci( .
7. 8riun#9iul A0C are "i lun#imea razei cercului circumscris e#ală cu 1. Să se calculeze lun#imea laturii AC.Rezolvare: Con%orm teoremei sinusurilor( avem
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
4/14
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
5/14
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
6/14
c4 Să observăm că sunt $ minori de ordinul $ care conţin ultima coloană a matricei 6( "i anume:
a4 ! b4 "i c4 .'entru ,ecare din minorii de mai sus e-istă câte un minor de ordinul 2 nenul din care ace"tia să se obţină rin bordarea
cu elementele cores unzătoare ale ultimei linii( res ectiv coloane. Ace"ti minori de ordinul 2 sunt( res ectiv:
a4 ! b4 "i c4 .A"adar( dacă unul din minorii de ordinul $ care conţin ultima coloană a matricei 6 este nul( atunci ale#ând minorul deordinul 2 nenul cores unzător du ă cum s;a văzut mai sus( din acesta se obţin doar 2 minori de ordinul $ rin bordare
cu elementele liniei "i coloanelor rămase( dintre care unul este nul rin i oteză iar altul este minorul care este nuldu ă cum s;a văzut la ct. b4.'rin urmare( ran#ul matricei 6 este 2.
2. 'e mulţimea de,nim le#ea de com oziţie .a4 Să se arate că le#ea este asociativă.
b4 Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii în ra ort cu le#ea .
c4 Să se rezolve ecuaţia .Rezolvare:a4 ?e#ea este asociativă dacă "i numai dacă
3A4.A"adar( le#ea de com oziţie este asociativă.
b4 8rebuie să determinăm mai întâi elementul neutru al le#ii de com oziţie . +umărul este element neutruentru le#ea de com oziţie dacă "i numai dacă
.A"adar( numărul între# ;1 este elementul neutru al le#ii de com oziţie .
+umărul este simetrizabil în ra ort cu le#ea dacă "i numai dacă e-istă ast%el încât
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
7/14
.
Această ecuaţie în -> are soluţie unică entru orice "i această soluţie este:
.
n concluzie( orice număr între# -( este simetrizabil în ra ort cu le#ea "i simetricul său în ra ort cu aceastăle#e este
.
c4 6ulţimea este arte stabilă a mulţimii în ra ort cu le#ea de com oziţie .
ntr;adevăr( ,e două numere oarecare. Atunci
"i .n lus
"i rin urmare adică .
6ai mult( din cele arătate la ct. a4 "i b4 rezultă că este un #ru "i c9iar mai mult( un #ruabelian.5uncţia
este un izomor,sm de #ru uri de la #ru ul la #ru ul multi licativ al numerelor între#inenule.
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
8/14
ntr;adevăr( %uncţia % este bi&ectivă "i în lus
.Acestea ,ind stabilite( utem trece la rezolvarea ecuaţiei din enunţ.Să observăm mai întâi că ;7@/ nu este soluţie a ecuaţiei
întrucât .
A"adar( utem restrân#e rezolvarea ecuaţiei la mulţimea .
.
'rin urmare( soluţia ecuaţiei date este . Subiectul III
1. Se consideră %uncţia .a4 Să se calculeze derivata %uncţiei %.b4 Să se determine unctele #ra,cului %uncţiei %( în care tan#enta la #ra,c este aralelă cu drea ta de
ecuaţie .
c4 Să se arate că dacă ( atunci .Rezolvare:
a4 5uncţia % este derivabilă e "i în lus( entru orice - din ( avem:
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
9/14
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
10/14
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
11/14
'rin urmare(
.
Deci( %uncţia % este crescătoare e .'rin urmare(
(adică
( c.c.t.d.
2. Se consideră %uncţia "i
"irul .
a4 Să se arate că .
b4 Să se calculeze .
c4 Să se arate că "irul este conver#ent.Rezolvare:a4 Calculăm
.
'entru orice avem
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
12/14
.Să demonstrăm rima ine#alitate.
( 3A4.Bi acum cea de a doua ine#alitate
( 3A4.'rin urmare
.
b4 5ie .Atunci
.Deci
.
c4 Birul este strict crescător.
ntr;adevăr( (
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
13/14
8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx
14/14
adică "irul este măr#init.
Birul ,ind monoton "i măr#init( rezultă că este conver#ent( c.c.t.d.
Recommended