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8/17/2019 M6 - 3era. Unidad Correccion 17-02-2015 .docx
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
CENTRO UNIVERSITARIO DE ORIENTE
FACULTAD DE INGENIERIA
MATEMATICA INTERMEDIA III
Tercera Unidad
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
Ecuaciones hoo!"neas
Se dice que es hoo!"nea una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la
forma:
an ( x ) d
n y
d xn+an−1 ( x )
dn−1
y
d xn−1 +…+a1 ( x )
dy
dx+a0 ( x ) y=0
#rincipio de superposici$n
Teorea %&'&() *ue se encuen+ran en la p,!ina '(' del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"p+ia edici$n) CENGAGE Learnin! Edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz Página 1 de 39
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Soluci$n !eneral de una ED hoo!"nea
Teorea %&'&9) *ue se encuen+ran en la p,!ina '(% del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"p+ia edici$n) CENGAGE Learnin! Edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
Ecuaciones no hoo!"neas
Se dice que es no es hoo!"nea una ecuación diferencial lineal de n-ésimo
orden de la forma donde g ( x ) ≠0 :
an ( x ) d
n y
d xn+an−1 ( x )
dn−1
y
d xn−1 +…+a1 ( x )
dy
dx+a0 ( x ) y=g( x)
Soluci$n !eneral de una ED no hoo!"nea
Teorea %&'&:) *ue se encuen+ran en la p,!ina '(: del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"p+ia edici$n) CENGAGE Learnin! Edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
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#rincipio de superposici$n
Teorea %&'&5) *ue se encuen+ran en la p,!ina '(5 del li-ro de Ecuacionesdiferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"p+ia edici$n) CENGAGE Learnin! Edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
Reducci$n de orden
Si se tiene una ED lineal de la forma:
a2 ( x ) y' ' +a1 ( x ) y
' +a0 ( x ) y=0
Con una solución y1 en el intervalo I , la solución a esta ED es
y=C 1 y1+C 2 y2 .
Donde y2= y1( x)∫ e−∫ P ( x ) dx
dx( y1 ( x ) )
2
E;ercicios %&() *ue se encuen+ran en la p,!ina '8( del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"p+ia edici$n) CENGAGE Learnin! Edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
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'& y' ' −4 y ' +4 y=0 ; y 1=e
2 x
Solución:
• La ED está en su forma estándar por tanto:
P ( x )=−4
• Sustituir en y
2= y
1( x)∫ e
−∫ P ( x ) dx dx
( y1 ( x ) )2 :
y2=e2 x∫ e
−∫(−4)dx dx
( e2 x )2 y2=e
2 x∫ e∫ 4dx dx
(e2 x )2
y2=e2 x
∫e4 x
dx
(e2 x )2 y2=e2 x∫ e
4 x
dxe4 x y2=e2 x∫ dx
y2= xe2 x
• Por tanto la solución a la ED es:
y=C 1 e2 x+C 2 xe
2 x
(& y' ' +2 y ' + y=0 ; y 1= xe− x
Solución:
• La ED está en su forma estándar por tanto:
P ( x )=2
• Sustituir en y
2= y
1( x)∫ e
−∫ P ( x ) dx dx
( y1 ( x ) )2 :
y2= xe− x∫ e
−∫(2 )dx dx
( xe− x )2 y2= xe
− x∫ e−∫2dx dx
x2 e−2 x
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y2= xe− x∫ e
−2 xdx
x2
e−2 x y2= xe
− x∫ x−2 dx
y2= xe− x (− x−1 ) y2=−e
− x
• Por tanto la solución a la ED es:
y=C 1 xe− x+C 2e
− x
:& y' ' −25 y=0 ; y1=e
5 x
Solución:
• La ED está en su forma estándar, P ( x )=0 a que el coeficiente de
y' =0 .
• Sustituir en y2= y1( x)∫
e−∫ P ( x ) dx dx
( y1 ( x ) )2 :
y2=e5 x∫ e
−∫0dx dx
( e5 x )2 y2=e
5 x∫ dx( e5 x )2
y2=e5 x∫ e−10 x dx
• !esolviendo ∫e−10 x
dx :
∫e−10 x u=−10 x ; du=−10dx ∫−110
eu
−110
eu
−110
e−10 x
•
Entonces:
y2=e5 x∫ dx
( e5 x )2 y2=e
5 x (−110
e−10 x) y2=
−110
e−5 x
• Por tanto la solución a la ED es:
y=C 1 e5 x+C 2e
−5 x
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4& x2 y
' ' −7 x y ' +16 y=0 ; y1= x4
Solución:
• Pasar la ED a su forma estándar:
y' ' −
7 y'
x +
16 y
x2 =0
P ( x )=−7 x
• Sustituir en y
2= y
1( x)∫ e
−∫ P ( x ) dx dx
( y1 ( x ) )2 :
y2= x4∫ e
−∫ (−7 x
)dxdx
( x4 )2 y2= x
4∫ e7∫ 1
xdx
dx
x8
e7ln ¿ x∨¿dx
x8
y2= x4∫ ¿
eln ¿ x7∨¿ dx
x8
y2= x4∫ ¿
y2= x4∫ x
7
x8
y2= x4
∫ 1 x
¿ x∨¿
y2= x4ln ¿
• Por tanto la solución a la ED es:
¿ x∨¿ y=C
1 x
4+C 2 x
4ln¿
'2& x2 y
' ' +2 x y ' −6 y=0 ; y1= x2
Solución:
• Pasar la ED a su forma estándar:
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y' ' +
2 y'
x −
6 y
x2 =0
P ( x )=2
x
• Sustituir en y2= y1( x)∫
e−∫ P ( x ) dx dx
( y1 ( x ) )2 :
y2= x2∫ e
−∫(2 x)dx
dx
( x2 )2 y2= x
2∫ e−2∫( 1
x) dx
dx
x4
e−2ln¿ x∨¿dx
x4
y2= x2∫¿
y2= x2
∫e ln
| x−2|dx
x4 y2= x
2
∫ x−2
dx
x4
y2= x2∫ x−6 dx
y2= x2(−15 x−5) y2=−15 x
−3
• Por tanto la solución a la ED es:
y=C 1 x2+C 2 x−3
''& x y' ' + y ' =0 ; y1=ln∨ x∨¿
Solución:
• Pasar la ED a su forma estándar:
y' ' +
y'
x
+ y
x
=0
P ( x )=1
x
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• Sustituir en y
2= y
1( x)∫ e
−∫ P ( x ) dx dx
( y1 ( x ) )2 :
ln∨ x∨¿¿¿2¿¿
e−∫( 1
x)dx
dx¿
y2=ln∨ x∨∫¿
ln∨ x∨¿¿¿2¿¿
e−ln ¿ x∨¿dx
¿¿
y2=ln∨ x∨∫¿
ln∨ x∨¿¿¿2¿¿
eln ¿ x−1∨¿dx
¿¿
y2=ln∨ x∨∫¿
ln∨ x∨¿¿¿2¿¿
eln¿ x−1∨¿dx
¿¿
y2=ln∨ x∨∫¿
y2=ln| x|∫
x−1
dx
(ln| x|)2
• !esolviendo ∫ x
−1dx
(ln| x|)2 :
∫ x−1
dx
(ln| x|)2 u=ln| x| du= x
−1dx ∫
du
(u )2
−u−1
−( ln| x|)−1
•
Por tanto:
y2=−ln| x|(ln| x|)−1
y2=−1
• Por tanto la solución a la ED es:
y=C 1ln| x|+C
2
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'(& 4 x2
y' ' + y=0 < y1= x
1
2 ln∨ x∨¿
Solución:
• Pasar la ED a su forma estándar:
y' ' +
y
4 x2=0
P ( x )=0 "a que el coeficiente de y' =0 .
• Sustituir en y2= y1( x)∫
e−∫ P ( x ) dx dx
( y1 ( x ) )2 :
x1
2 ln∨ x∨¿¿¿2¿¿
e−∫ 0dx dx¿
y2= x1
2ln∨ x∨∫¿
y2= x1
2 ln| x|∫ dx x ( ln| x|)2
y2= x12 ln| x|∫ dx
x ( ln| x|)2
• !esolviendo∫ dx
x ( ln| x|)2 :
∫ x−1
dx
(ln| x|)2 u=ln| x| du= x
−1dx ∫
du
(u )2
−u−1
−( ln| x|)−1
• Por tanto:
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y2=− x1
2 ln| x|(ln| x|)−1 y2=− x1
2
• Por tanto la solución a la ED es:
y=C 1 x
1
2
ln| x|+C 2 x
1
2
Ecuaciones lineales hoo!"neas con coeficien+es cons+an+es
Estas ED se pueden representar de la si#uiente forma:
an ( x ) yn+a n−1 ( x ) y
n−1+…+a2 ( x ) y'' +a1 ( x ) y
' +a0 ( x ) y=0
Donde an , an−1 , … , a2 ,a1, a0 son constantes reales con an ≠0 .
$na solución a esta ED es y=erx
.
E%emplo:
De la ED: an ( x ) yn+an−1 ( x ) y
n−1+…+a2 ( x ) y'' +a1 ( x ) y
' +a0 ( x ) y=0
Derivar la solución y=erx
las veces que sea necesaria:
Sustituir en la ED:
an ( x ) (rn
erx )+an−1 ( x ) (r
n−1e
rx )+…+a2 ( x ) (r2
erx )+a1 ( x ) (ℜ
rx)+a0 ( x ) (erx )=0
Sacar como factor com&n erx
erx (an ( x ) r
n+an−1 ( x ) rn−1+…+a2 ( x ) r
2+a1 ( x ) r+a0 ( x ) )=0
an ( x )rn+an−1 ( x ) rn−1+…+a2 ( x )r2+a1 ( x )r+a0 ( x)=0
'Esta ecuación será llamada Ecuaci$n Au=iliar (
De la ecuación au)iliar se sacan las ra*ces ' r ( tra+a%ando al#e+raicamente para
lue#o encontrar la solución de la ED.
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Soluci$n !eneral de la ED
Caso '3
Ra>ces reales dis+in+as
Si las ra*ces r1 ,r 2, … , rn de la ecuación au)iliar son reales distintas, entonces:
y ( x )=C 1 er 1 x+C 2 e
r2 x+…+C n er n x
Es una solución #eneral de la ED.
Caso (3
Ra>ces repe+idas3
Si la ecuación au)iliar tiene una ra* repetida r de multiplicidad k , entonces
parte de la solución #eneral de la ecuación diferencial correspondiente a r es
de la forma:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx
Caso 83Ra>ces cople;as o ia!inarias3
Si la ecuación au)iliar tiene ra*ces ima#inarias r=∝± βi , entonces la parte
correspondiente de la solución #eneral de la ecuación es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx )
E;ercicios %&8) *ue se encuen+ran en la p,!ina '87 del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"p+ia edici$n) CENGAGE Learnin! Edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
'& 4 y' ' + y ' =0
Solución:
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• Se usa la ecuación au)iliar:
4 m2+m=0
• Se encuentran sus ra*ces:
4 m2+m=0 m(4 m+1)=0
m1=0 ; m2=−14
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e0 ( x )+C 2e
−14
( x ) y ( x )=C
1+C
2e−14
( x )
(& y' ' −36 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2−36=0
• Encontrar sus ra*ces:
m
2
−36=0
m
2
=36
m1,2=±
√ 36
m1=6 ; m2=−6
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e6 x+C 2 e
−6 x
8& y' ' − y ' −6 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2−m−6=0
• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
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m1,2=−b± √ b2−4ac
2a −(−1)±√ (−1 )
2−4 (1)(−6)
2(1)
1±√ 1+242
1±5
2
m1=(1+5 )2 =3; m2=
(1−5 )2 =−2
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e3 x+C 2 e
−2 x
%& y
' ' −3 y ' +2 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2−3m+2=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2−3m+2=0 (m−2 ) (m−1 )=0
m1=2 ; m2=1
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e2 x+C 2 e
x
9& y' ' +8 y ' +16 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+8m+16=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+8m+16=0 (m+4 ) (m+4 )=0
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m1=−4 ; m2=−4
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la solución a la ED es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx (C 1+C 2 x )e−4 x
y ( x )=(C 1+C 2 x )e−4 x
:& y' ' −10 y ' +25 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2
−10m+25=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2−10m+25=0 (m−5 ) (m−5 )=0
m1=5 ; m2=5
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la solución a la ED es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx (C 1+C 2 x )e5 x
y ( x )=(C 1+C 2 x )e5 x
5& 12 y' ' −5 y ' −2 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
12m2
−5m−2=0
• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz Página 14 de 39
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15/53
m1,2=−b± √ b2−4ac
2a −(−5)±√ (−5 )
2−4 (12)(−2)
2(12)
5±√ 25+9624
5±√ 25+96
24 5±11
24
m1=
5+1124
=2
3; m2=
5−1124
=−14
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e2
3 x
+C 2 e−14
x
7& y' ' +4 y ' − y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+4m−1=0
• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
m1,2=−b± √ b2−4ac
2a −(4)±√ (4 )
2−4(1)(−1)
2(1)
−4±√ 16+42
−4±√ 16+42
−4±√ 20
2 −2±√ 5
m1=−2+√ 5 ; m2=−2−√ 5
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e(−2+√ 5) x+C 2 e
(−2+√ 5) x
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16/53
4& y' ' +9 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+9=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+9=0 m
2=−9 m=± 3 i ;∝=0 ; β=3
• Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(0 ) x(C 1cos√ 3 x+C 2sin√ 3 x)
y ( x )=C
1
cos3 x+C 2
sin3 x
'2& 3 y' ' + y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
3m2+1=0
• Encontrar sus ra*ces:
3m2+1=0 3m
2=−1 m2=
−13
m2=±√13 i ;
∝=0 ; β=√ 13 • Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝ x
(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e (0
) x(C 1 cos
√1
3 x+C 2sin √1
3 x)
y ( x )=C 1 cos√13 x+C 2sin√ 13 x
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'9& y' ' ' −4 y ' ' −5 y ' =0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m3−4 m2−5m=0
• Encontrar sus ra*ces:
m3−4 m2−5m=0 m ( m
2−4m−5 )=0
m ( (m+1 ) (m−5 ) )=0
m1=0 ; m2=−1; m3=5 ;
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e(0) x+C 2e
(−1) x+C 3 e(5) x
y ( x )=C 1+C 2e− x+C 3e
5 x
'5& y' ' ' −5 y ' ' +3 y ' +9 y=0
Solución:• Se usa la ecuación au)iliar:
m3−5m2+3m+9=0
• Encontrar sus ra*ces usando división sintética:
m3−5m2+3m+9=0
P=¿ Coeficiente del término con maor e)ponente,
Q=¿ Coeficiente del término con menor e)ponente
Posi+les ceros: ± (multiplos de P ) ± (multiplosdeQ )±( multiplos de Pmultiplos deQ )
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Posi+les ceros: ±1,±3,±9,± 1
3 , ±
1
9
• División sintética:
• Por tanto:
(m+1 ) ( m2−6m+9)=0 (m+1 ) ( (m−3 ) ( m−3 ) )=0
m1=−1; m2=3 ; m3=3 ;
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto parte de la solución a la ED es:
C 1 e− x
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto parte de la solución a la ED es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx (C 2+C 3 x )e3 x
• Por tanto la solución de la ED es:
y ( x )=C 1 e− x+(C 2+C 3 x)e
3 x
('& y' ' ' +3 y '' +3 y ' + y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m3+3m2+3m+1=0
• Encontrar sus ra*ces:
m3+3m2+3m+1=0
P=¿ Coeficiente del término con maor e)ponente,
Q=¿ Coeficiente del término con menor e)ponente
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19/53
Posi+les ceros: ± (multiplos de P ) ± (multiplosdeQ )±( multiplos de Pmultiplos deQ )
Posi+les ceros: ±1
• División sintética:
• Por tanto:
(m+1 ) ( m2+2m+1)=0 (m+1 ) ( (m+1 ) (m+1 ) )=0
m1=−1; m2=−1; m3=−1;
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la solución a la ED es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx
y ( x )=(C 1+C 2 x+C 3 x2)e− x
#ro-leas Cap>+ulo 8) *ue se encuen+ran en la p,!ina '52 del li-ro deEcuaciones diferenciales para in!enier>a ? ciencias) @unus A& en!el 0
Billia & #al III) priera edici$n) McGRAB6ILLINTERAMERICANA
EDITORES S&A& IS1N 4576:256'96247469
86'82
a y' ' +5 y ' +4 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+5m+4=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+5m+4=0 (m+4 ) (m+1 )=0
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m1=−4 ; m2=−1
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e−4 x+C 2e
− x
- y' ' +6 y ' +9 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+6m+9=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+6m+9=0 (m+3 ) (m+3 )=0
m1=−3; m2=−3
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la solución a la ED es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx y ( x )=(C 1+C 2 x )e−3 x
c y' ' + y ' +3 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+m+3=0
• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
m1,2=
−b± √ b2−4ac2a
−(1)±√ (1 )2−4(1)(3)
2(1)
−1±√ 1−122
−1±√ −11
2
−1±√ 11i
2 ∝=
−12
; β=√ 112
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21/53
• Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(−12 ) x(C 1cos √ 11
2 x+C 2sin
√ 112
x)
e−12 x (C
1cos √ 11
2 x+C
2sin √ 11
2 x )
86'8(
a y' ' +10 y ' +25 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m
2
+10
m+25
=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+10m+25=0 (m+5 ) ( m+5 )=0
m1=−5; m2=−5
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la solución a la ED es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx (C 1+C 2 x )e−5 x
y ( x )=(C 1+C 2 x )e−5 x
- y' ' +5 y ' +25 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2
+5m+25=0
• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz Página 21 de 39
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m1,2=−b± √ b2−4ac
2a −(5)±√ (5 )
2−4 (1)(25)
2(1)
−5±√ 25−1002
−5± √ −752
−1±5√ 3 i2
∝=−12
; β=5√ 32
• Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(−12 ) x(C 1cos 5 √ 32
x+C 2sin 5√ 32
x )
e−12
x
(C 1cos
5 √ 32
x+C 2sin
5√ 32
x)
c y' ' +10 y ' −25 y=0
Solución:
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+10m−25=0
• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
m1,2=−b± √ b2−4ac
2a −(10)±√ (10 )2−4 (1)(−25)
2(1)
−10±√ 100+1002
−10±√ 200
2 −10±10√ 2
2 −5±5√ 2
m1=−5+5√ 2 ; m2=−5−5√ 2
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:
y ( x )=C 1 e(−5+5√ 2) x+C
2e(−5−5√ 2 ) x
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M"+odo de superposici$n3
Para resolver una ecuación lineal no 0omo#énea de la forma:
an ( x ) yn+an−1 ( x ) y
n−1+…+a2 ( x ) y' ' +a1 ( x ) y
' +a0 ( x ) y=g( x)
Donde g( x)≠0 1 se de+e 0acer dos cosas:
• encontrar la función complementaria yc
• encontrar al#una solución particular y p de la ecuación no
0omo#énea g( x) .
Siendo la solución #eneral de la ecuación lineal no 0omo#énea: y= yc+ y p . La
función complementaria yc es la solución #eneral de la ED 0omo#énea
asociada de la ED, es decir:
an ( x ) yn+a n−1 ( x ) y
n−1+…+a2 ( x ) y'' +a1 ( x ) y
' +a0 ( x ) y=0
El método no es aplica+le a ecuaciones cuando
g ( x )=ln x , g ( x )=1
x ,g ( x )=tan x ,
g ( x )=sin−1 x
Caso I
2in#una función de la solución particular supuesta es una solución de la ecuación
diferencial 0omo#énea asociada.
En la ta+la 3. se muestran al#unos e%emplos espec*ficos de g( x) , %unto con la
forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da por sentado
que nin#una función de la solución particular supuesta y p se duplica por una
función en la función complementaria yc .
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Ta-la %&') *ue se encuen+ran en la p,!ina '%% del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"+ia edici$n) CENGAGE Learnin! edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
Re!la de fora para el caso I3 La forma y p es una com+inación lineal de
las funciones linealmente independientes que se #eneran dediante derivadas
sucesivas de g( x) .
Caso II
$na función en la solución particular supuesta tam+ién es una solución de la
ecuación diferencial 0omo#énea asociada.
Re!la de fora para el caso II3 Si al#una y p , contiene términos que
duplican los términos de yc , entonces esa y p , se de+e multiplicar por xn
,
donde n es el entero positivo más peque4o que elimina esa duplicación.
E;ercicios %&%) *ue se encuen+ran en la p,!ina '%7 del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"+ia edici$n) CENGAGE Learnin! edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
'& y' ' +3 y ' +2 y=6
Solución:
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( Encontrar la función complementaria yc :
y' ' +3 y ' +2 y=0
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+3m+2=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+3m+2=0 (m+1 ) (m+2 )=0
m1=−1; m2=−2
• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto nuestra función complementaria
yc es:
yc=C 1e− x+C 2e
−2 x
( Encontrar la función particular y p :
g ( x )=6
• 'Consultar ta+la 3.( Por ser una &nica constante y p es:
y p= A
• Derivar las veces que sea necesaria la función y p sustituirla en la ED:
y p' =0 1 y p
' ' =0 ;
y' ' +3 y ' +2 y=6 (0 )+3 (0 )+2 ( A )=6 A=
6
2=3
•Por tanto
y p
=3
y p=3
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1 e− x+C 2 e
−2 x+3
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26/53
8& y' ' −10 y ' +25 y=30 x+3
Solución:
( Encontrar la función complementaria yc :
y' ' −10 y ' +25 y=0
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2−10m+25=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2−10m+25=0
(m−5 ) (m−5 )=0
m1=5 ; m2=5
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la función complementaria yc es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx (C 1+C 2 x )e5 x
yc=(C 1+C 2 x)e5 x
( Encontrar la función particular y p :
g ( x )=30 x+3
• 'Consultar ta+la 3.( y p es:
y p= Ax+
• Derivar las veces que sea necesaria la función y p sustituirla en la ED:
y p' = A 1 y p
' ' =0 ;
y' ' −10 y ' +25 y=30 x+3
(0)−10( A)+25 ( Ax+)=30 x+3
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−10 A+25 Ax+25 =30 x+3
• Encontrar los valores de A :
25 Ax=30 x
25 A=30
A=
30
25=
6
5
−10 A+25 =3 −10 (6
5)+25=3 25=3+10( 65 )
=15
25=
3
5
• Por tanto y p=5
6 x+
3
5
y p=6
5 x+
3
5
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=(C 1+C 2 x )e5 x+
6
5 x+
3
5
9&1
4 y
' ' + y ' + y= x2−2 x
Solución:
• 5orma estándar:
x
4(¿¿ 2−2 x)
4 ( 14 y ' ' + y ' + y )=¿ y
' ' +4 y ' +4 y=4 x2−8 x
( Encontrar la función complementaria yc :
y' ' +4 y ' +4 y=0
• Se usa la ecuación au)iliar:
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28/53
m2+4m+4=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+4m+4=0 (m+2 ) (m+2 )=0
m1=−2; m2=−2
• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la función complementaria yc es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx (C 1+C 2 x )e−2 x
yc=(C 1+C 2 x)e−2 x
( Encontrar la función particular y p
:
g ( x )=4 x2−8 x
• 'Consultar ta+la 3.( y p es:
y p= A x2+x+C
• Derivar las veces que sea necesaria la función y p sustituirla en la ED:
y p' =2 Ax+ 1 y p'' =2 A ;
y' ' +4 y ' +4 y=4 x2−8 x
(2 A )+4 (2 Ax+ )+4 ( A x2+x+C )=4 x2−8 x
2 A+8 Ax+4 +4 A x2+4 x+4C =4 x2−8 x
• Encontrar los valores de A , C :
4 A x2=4 x2 A=1
8 Ax+4 x=−8 x 8(1)+4 =−8 4 =−16
=−4
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29/53
2 A+4 +4C =0 2(1)+4 (−4)+4 C =0 4C =14
C =14
4 =
7
2
• Por tanto nuestra y p= x2−4 x+ 72
y p= x2−4 x+
7
2
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=(C 1+C 2 x ) e−2 x+ x2−4 x+
7
2
:& y' ' −8 y ' +20 y=100 x2−26 x e x
Solución:
( Encontrar la función complementaria yc :
y' ' −8 y ' +20 y=0
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2−8m+20=0
• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
m1,2=−b± √ b2−4ac
2a −(−8)±√ (−8 )
2−4(1)(20)
2(1)
8±√ 64−802
8±√ −162
8±4 i
2 4±2 i
∝=4 ; β=2
• Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(4 ) x (C 1cos2 x+C 2 sin2 x )
e4 x(C 1 cos2 x+C 2sin2 x)
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( Encontrar la función particular y p :
g ( x )=100 x2−26 x e x
•
'Consultar ta+la 3.(
y p es:
y p=( A x2+x+C )+( !x+ " ) e x
• Derivar las veces que sea necesaria la función y p sustituirla en la ED:
y p' =(2 Ax+ )+ ! e x+ ( !x+ " ) e x 1
y p' ' = (2 A )+2 ! e x+( !x+ " ) e x ;
y' '
−8 y'
+20 y=100 x2
−26 x e x
((2 A )+2 ! e x+( !x+ " )e x)−8 ((2 Ax+ )+ ! e x+( !x+ " )e x)+20(( A x2+x+C )+ ( !x
2 A+2 ! e x+ !x e x+ " e x−16 Ax−8−8 ! e x−8 !x e x−8 " e x+20 A x2+20x+20
2 A+13 !x e x−16 Ax−8 −6 ! e x+20 A x2+20x+20C +13 " e x=100 x2−26 x e x
• Encontrar el valor de A , , C , ! y "
20 A x2=100 x2 20 A=100 A=5
−16 Ax+20x=0 −16 (5 )+20 =0 20=80
=80
20=4
2 A−8 +20C =0 2(5)−8(4)+20C =0
−22+20C =0 C =22
20=
11
10
13 !x e x=−26 x e x 13 !=−26 !=
−2613
=−2
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−6 ! e x+13 " e x=0 −6 (−2)+13 "=0 13 "=−12
"=−1213
• Por tanto y p=(5 x
2+4 x+ 1110 )+(−2 x−
12
13 )e x
y p=(5 x2+4 x+ 1110 )+(−2 x−1213 )e x /( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p
y=e4 x (C 1 cos2 x+C 2sin2 x )+(5 x
2+4 x+ 1110 )+(−2 x−
12
13 )e x
5& y' ' +3 y=−48 x2 e3 x
Solución:
( Encontrar la función complementaria yc :
y' ' +3 y=0
• Se usa la ecuación au)iliar:
m2+3=0
• Encontrar sus ra*ces:
m2+3=0 m=±√ −3 m=±√ 3 i
∝
=0 ; β=√ 3
• Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(0 ) x(C 1cos√ 3 x+C 2sin√ 3 x)
yc=C 1cos √ 3 x+C 2 sin√ 3 x
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( Encontrar nuestra función particular y p :
g ( x )=−48 x2 e3 x
•
'Consultar ta+la 3.(
y p es:
y p=( A x2+x+C ) e3 x
• Derivar las veces que sea necesaria la función y p la sustituir en la ED:
y p' =( A x2+x+C )( 3e3 x )+ (2 Ax+ ) e3 x 1
y p' ' = ( A x2+x+C ) (9e3 x )+(2 Ax+ ) (3e3 x )+(2 A ) e3 x+ (2 Ax+ )3e3 x ;
y' ' +3 y=−48 x2 e3 x
(( A x2+x+C ) (9e3 x )+(2 Ax+ ) (3e3 x )+ (2 A )e3 x+(2 Ax+ )3e3 x )+3(( A x2+x+C ) e
9 A x2
e3 x+9x e3 x+9C e3 x+6 Ax e3 x+3 e3 x+2 A e3 x+6 Ax e3 x+3 e3 x+3 A x2e3 x+
12 A x2
e3 x
+12x e3 x
+12C e3 x
+12 Ax e3 x
+6 e3 x
+2 A e3 x
=−48 x2
e3 x
• Encontrar los valores de A , C :
12 A x2
e3 x=−48 x2 e3 x A=
−4812
=−4
12x e3 x+8 Ax e3 x=0 12+12(−4 )=0 12=48
=4
12C e3 x+6 e3 x+2 A e3 x=0 12C +6(4)+2(−4 )=0
12C =16 C =16
12=
4
3
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33/53
• Por tanto y p=(−4 x2+4 x+ 43 )e3 x
y p=(−4 x2+4 x+ 43 )e3 x
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1cos √ 3 x+C 2 sin√ 3 x+(−4 x2+4 x+ 43 )e3 x
4& y' ' − y ' =−3
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' − y ' =0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2−m=0
6Encontramos sus ra*ces:
m2−m=0 m (m−1 )=0
m1=0 ; m2=1
6Caso : !a*ces reales distintas, por tanto nuestra función complementaria yc es:
yc=C 1e(0 ) x+C
2e
x
yc=C 1+C 2 e x
( Encontrar nuestra función particular y p :
g ( x )=−3
6'Consultar ta+la 3.( Por ser una &nica constante nuestra y p es:
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34/53
y p= A 'En este caso 0a duplicidad con C 1 de yc por tanto la multiplicamos con
x (
y p= Ax
6Derivamos las veces que sea necesaria la función y p la sustituimos en nuestra ED:
y p' = A 1 y p
'' =0 ;
y'' − y ' =−3 (0 )− ( A )=−3 A=3
6Por tanto nuestra y p=3 x
y p=3 x
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1+C 2 e x+3 x
''& y' ' − y ' +
1
4 y=3+e
x
2
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' − y ' +
1
4 y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2−m+
1
4=0
6Encontramos sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:
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35/53
m1,2=−b±√ b2−4ac
2a −(−1)± √ (−1 )
2−4 (1)(1 /4)
2(1) 1±√ 1−1
2
1±√ 1−12
m1=1
2; m2=
1
2
6Caso : !a*ces repetidas, por tanto nuestra función complementaria yc es:
(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x
k −1)erx (C 1+C 2 x )e1
2 x
yc=(C 1+C 2 x)e1
2 x
( Encontrar nuestra función particular y p :
g ( x )=3+e x
2
6'Consultar ta+la 3.( 2uestra y p es:
y p= A+ e x2 '7cá 0a duplicidad e
x2 con C 1 e
12
x
de yc por tanto lo multiplicamos
por x (.
y p= A+x e x
2 '7cá 0a duplicidad x e x
2 con C 2 x e
1
2 x
de yc por tanto lo
multiplicamos por x (.
y p= A+ x2
e x
2
6Derivamos las veces que sea necesaria la función y p la sustituimos en nuestra ED:
y p' =2 x e
x
2+ x2(1
2 e
x
2) 1
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36/53
y p' ' =2 e
x
2+2x e x
2 ( 12 )+2x e x
2 (1
2)+ x2e
x
2 ( 14 );
y p'' =2 e
x
2+2 x e x
2+1
4 x
2e
x
2 ;
y'' − y ' +
1
4 y=3+e
x
2
(2 e x
2+2 x e x
2+1
4 x
2e
x
2 )−(2x e x
2+ x2(12 e x
2))+ 14 ( A+ x2 e x
2)=3+e x
2
2 e x
2+1
4 A=3+e
x
2
6Encontramos los valores de A :
1
4 A=3 A=12
2 e x
2=e x
2 2=1 =1
2
6Por tanto nuestra y p=12+1
2 x2
e
x
2
y p=12+1
2 x
2e
x
2
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=(C 1+C 2 x ) e1
2 x
+12+1
2
x2
e x
2
'(& y' ' −16 y=2e4 x
Solución:
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37/53
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' −16 y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2−16=0
6Encontramos sus ra*ces:
m2−16=0 m
2=16 m=± √ 16
m1=4 ; m2=−4
6Caso : !a*ces reales distintas, por tanto nuestra función complementaria yc es:
yc=C 1e4 x+C 2 e
−4 x
( Encontrar nuestra función particular y p :
g ( x )=2e4 x
6'Consultar ta+la 3.( 2uestra y p es:
y p= A e4 x
'8a duplicidad A e
4 x
conC 1 e
4 x
de yc
por tanto lo multiplicamos por )(.
y p= A xe4 x
6Derivamos las veces que sea necesaria la función y p la sustituimos en nuestra ED:
y p' =4 Ax e4 x+ A e4 x 1
y p'' =16 Ax e4 x+4 A e4 x+4 A e4 x ;
y p'' =16 Ax e4 x+8 A e4 x ;
y'' −16 y=2e4 x 16 Ax e
4 x+8 A e4 x−16 A xe4 x=2e4 x 8 A e4 x=2e4 x
6Encontramos el valor de A :
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8 A e4 x=2e4 x 8 A=2 A=
2
8=
1
4
6Por tanto nuestra y p=1
4 xe4 x
y p=1
4 xe
4 x
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1 e4 x+C 2 e
−4 x+1
4 xe
4 x
'8& y' ' +4 y=3 sen2 x
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' +4 y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2+4=0
6Encontramos sus ra*ces:
m2+4=0 m
2=−4 m=±√ −4=±2 i
∝=0 1 β=2
6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝
x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e (0 ) x(C 1cos2 x+C 2sin2 x)
yc=C 1cos2 x+C 2 sin 2 x
( Encontrar nuestra función particular y p :
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g ( x )=3 sen2 x
6'Consultar ta+la 3.( 2uestra y p es:
y p= Acos2 x+sen2 x '8a duplicidad con
yc por tanto lo multiplicamos por x (
y p= Axcos2 x+xsen2 x
6Derivamos las veces que sea necesaria la función y p la sustituimos en nuestra ED:
y p' =−2 Ax sen2 x+ Acos 2 x+2x cos2 x+sen2 x 1
y p'' =−4 Ax cos2 x−2 A sen2 x−2 A sen2 x−4 x sen2 x+2cos2 x+2cos2 x ;
y '' +4 y=3 sen2 x
−4 Ax cos2 x−2 A sen2 x−2 A sen2 x−4 x sen2 x+2 cos2 x+2 cos2 x+4 Ax cos2 x+4 x sen2 x
−4 Asen 2 x+4 cos2 x=3 sen2 x
6Encontramos el valor de A :
−4 Asen 2 x=3 sen2 x −4 A=3 A=−34
4 cos2 x=0 =0
6Por tanto nuestra y p=−34
xcos 2 x
y p=−34
xcos 2 x
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1cos2 x+C 2 sin2 x−3
4 x cos2 x
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'9& y' ' + y=2 x senx
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' + y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2+1=0
6Encontramos sus ra*ces:
m2+1=0 m
2=−1 m=±√ −1=±1 i
∝=0 1 β=1
6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(0 ) x(C 1cos x+C 2 sin x )
yc=C 1cos x+C 2sin x
( Encontrar nuestra función particular y p :
g ( x )=2 x senx
6'Consultar ta+la 3.( 2uestra y p es:
y p=( Ax+ ) cos x+(Cx+ ! ) sen x '8a duplicidad con yc por tanto multiplicamos por x
(.
y p=( A x2+x )cos x+(C x2+ !x ) sen x
6Derivamos las veces que sea necesaria la función y
p la sustituimos en nuestra ED:
y p' =(2 Ax+ ) cos x−sen x ( A x2+x )+(2Cx+ ! ) sen x+cos x (C x2+ !x) 1
y p'' = (2 A )cos x−senx (2 Ax+ )−senx (2 Ax+ )−cos x ( A x2+x )
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+(2C ) sen x+cos x (2Cx+ ! )+cos x (2Cx+ ! )−sen x (C x2+ !x);
y' ' + y=2 x sen x
(2 A )cos x−sen x (2 Ax+ )−sen x (2 Ax+ )−cos x ( A x2+x )+(2C ) sen x+cos x (2Cx+ ! )+cos x (2Cx
2 Acos x−2 Ax sen x−senx−2 Ax sen x−senx− A x2 cos x−xcos x+2Csenx+2Cx cos x+ ! co
2 A cos x−4 Ax sen x−2senx+2C sen x+4Cxcos x+2 ! cos x=2 x senx
6Encontramos el valor de A , C ! :
4
Cxcos
x=0
4
C =0
C =0
−4 Axsen x=2 x sen x −4 A=2 A=−24 =
−12
2 A cos x+2 ! cos x=0 2(−12 )+2 !=0 2 !=1 !=
1
2
−2 senx+2C sen x=0 −2 +2(0)=0 =0
6Por tanto nuestra y p=(−12
x2
)cos x+(
12
x
)sen x
y p=(−12 x2)cos x+(12 x )sen x /( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p x+¿(−12 x2)cos x+(
1
2 x)sen x
y=C 1cos
x+C 2
sen¿
M"+odo de .ariaci$n de par,e+ros
Si se tiene una ED de se#undo orden de la forma:
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a2 ( x ) y' ' +a1 ( x ) y
' +a0 ( x ) y=g( x )
donde g( x) no se puede resolver por el método de superposición, se escri+e la
ED en su forma estándar:
y'' + P ( x ) y ' +Q ( x ) y=# ( x)
La solución #eneral de la ED es
y= yc+ y p
donde y p es:
y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )
u1' =
$ 1
$ =
− y2 # ( x )$
u2' =
$ 2
$ =
− y1 # ( x )$
Donde$ =| y1 y2 y1' y2' | , $ 1=|
0 y2
# ( x ) y2' | , $ =| y1 0 y1' # ( x )| .
E;ercicios %&:) *ue se encuen+ran en la p,!ina ':' del li-ro de Ecuaciones
diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)
s"+ia edici$n) CENGAGE Learnin! edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'
'& y' ' + y=sec x
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' + y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2+1=0
6Encontramos sus ra*ces:
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m2+1=0 m
2=−1 m=± i
∝=0 , β=1
6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto nuestra función complementaria yc es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(0 ) x(C 1cos x+C 2 sin x )
yc=C 1cos x+C 2sin x
( Encontrar nuestra función particular y p :
# ( x )=secx , y1=cos x , y2=senx
68allamos el 9ronsiano $ :
'Sacamos la Determinante(
$ =| y1 y2 y1' y2' | $ =| cos x sen x−sen x cos x|=cos2 x−(−sen2 x )=1 68allamos el 9ronsiano $ 1 :
'Sacamos la Determinante(
$ 1=| 0 y2# ( x ) y2' | $ 1=| 0 sen xsec x cos x|=0−sen x (sec x )=−tan x 68allamos el 9ronsiano $ 2 :
'Sacamos la Determinante(
$ 2=|
y1
0
y1'
# ( x )| $ 2=| cos x 0−sen x sec x|=cos x (sec x)−0=1 6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :
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u1
' =$
1
$ u1
' =−tan x
1 =−tan x
u1=∫u1' u1=∫(−tan x)dx u1=ln (cos x)
u2' =
$ 2
$ u2
' =1
1=1
u2=∫u2' u2=∫dx u2= x
6Entonces:
y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )
y p=ln
(cos
x )(cos
x )+ x (sen x )
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1cos x+C 2sin x+cos x ln (cos x )+ x sen x
(& y' ' + y=tan x
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' + y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2+1=0
6Encontramos sus ra*ces:
m2
+1=0 m2
=−1 m=± i
∝=0 , β=1
6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto nuestra función complementaria yc es:
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e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(0 ) x(C 1cos x+C 2 sin x )
yc=C 1cos x+C 2sin x
( Encontrar nuestra función particular y p
:
# ( x )= tan x , y1=cos x , y2=senx
68allamos el 9ronsiano $ :
'Sacamos la Determinante(
$ =| y1 y2 y1' y2' | $ =| cos x sen x−sen x cos x|=cos2 x−(−sen2 x )=1 68allamos el 9ronsiano $ 1 :
'Sacamos la Determinante(
$ 1=| 0 y2# ( x ) y2' | $ 1=| 0 senxtan x cos x|=0−senx (tan x )=−sen x tan x 68allamos el 9ronsiano $ 2 :
'Sacamos la Determinante(
$ 2=| y1 0 y1' # ( x )| $ 2=| cos x 0−sen x tan x|=cos x tan x−0=sen x
6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :
u1
' =$ 1
$ u1
' =−sen x (tan x )
1 =−sen x ( tan x )
u1=∫u1'
u1=∫−sen x (tan x ) dx
6;nte#rando ∫−sen x (tan x ) dx :
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∫−sen x (tan x ) dx ∫−se n2 xcos x
dx ∫−(1−cos2 x )
cos x
∫ −1cos x
+∫cos x
−∫ sec x+∫cos x=−ln|sec x+ tan x|+sen x
6Por tanto:
u1=−ln|secx+ tan x|+sen x
u2' =
$ 2
$ u2
' =sen x
1 =sen x
u2=∫u2'
u2=∫ sen xdx=−cos x
6Entonces:
y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )
y p=(−ln|sec x+ tan x|+senx ) (cos x )+(−cos x) sen x
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y
p
y=C 1cos x+C 2sin x+(−ln|secx+ tan x|+sen x ) (cos x )+(−cos x)sen x
8& y' ' + y=senx
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y
''
+ y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2+1=0
6Encontramos sus ra*ces:
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m2+1=0 m
2=−1 m=± i
∝=0 , β=1
6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto nuestra función complementaria yc es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(0 ) x(C 1cos x+C 2 sin x )
yc=C 1cos x+C 2sin x
( Encontrar nuestra función particular y p :
# ( x )=senx , y1=cos x , y2=senx
68allamos el 9ronsiano $ :
'Sacamos la Determinante(
$ =| y1 y2 y1' y2' | $ =| cos x sen x−sen x cos x|=cos2 x−(−sen2 x )=1 68allamos el 9ronsiano $ 1 :
'Sacamos la Determinante(
$ 1=| 0 y2# ( x ) y2' | $ =| 0 sen xsen x cos x|=0−sen x ( sen x )=−sen2 x 68allamos el 9ronsiano $ 2 :
'Sacamos la Determinante(
$ 2=| y1 0 y1' # ( x )| $ =| cos x 0−sen x sen x|=cos x (sen x )−0=cos x (sen x)
6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :
u1
' =$ 1
$ u1
' =−se n2 x
1 =−se n2 x
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u1=∫u1' u1=∫(−se n
2 x )dx
6!esolviendo ∫(−se n2 x)dx :
se n2 x=1−cos2 x2 −∫(
1−cos2 x2 )
dx=−12
x+ 14
sen2 x
6Por tanto:
u1=−12
x+1
4 sen2 x
u2' =
$ 2
$ u2
' =cos x (sen x)
1 =cos x sen x
u2=∫u2' u2=∫cos x sen x dx
6!esolviendo ∫cos x sen x dx :
u=senx,du=cosx dx ∫u du=1
2 u
2=1
2se n
2 x
6Por tanto:
u2=1
2 se n2
x
6Entonces:
y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )
y p=(−12 x+ 14 sen 2 x)cos x+ 12 se n2 x(sen x )
y p=(−12 x+
1
4 sen 2 x)cos x+
1
2 se n3
x
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1cos x+C 2sin x+(−12 x+1
4 sen2 x)cos x+12 se n3 x
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%& y' ' + y=sec% tan%
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' + y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2+1=0
6Encontramos sus ra*ces:
m2+1=0 m
2=−1 m=± i
∝=0 , β=1
6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto nuestra función complementaria yc es:
e∝%(C 1cos β%+C 2 %) e
(0 )%(C 1cos %+C 2 sin%)
y
c
=C 1cos%+C 2 sin%
( Encontrar nuestra función particular y p :
# (% )=sec% tan % , y1=cos% , y2=sen%
68allamos el 9ronsiano $ :
'Sacamos la Determinante(
$ =
| y
1 y
2
y1'
y2'
| $ =|
cos % sen %
−sen% cos%|=cos
2
%−(−se n2
% )=1
68allamos el 9ronsiano $ 1 :
'Sacamos la Determinante(
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$ 1=| 0 y2# ( % ) y2' | $ 1=| 0 sen%sec% tan % cos%|=0−sen% sec % tan %=−tan2%
68allamos el 9ronsiano $ 2 :
'Sacamos la Determinante(
$ 2=| y1 0 y1' # ( % )| $ 2=| cos% 0−sen % sec % tan %|=cos%sec% tan%−0=tan% 6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :
u1
' =$ 1
$ u1
' =−tan2 %
1 =−tan2 %
u1=∫u1' u1=∫−tan
2% d%
6;nte#rando ∫−tan2
% d% :
∫−tan2% d% −∫ ( sec2 %−1 ) d%=−tan %+%
6Por tanto:
u1=−tan%+%
u2' =
$ 2
$ u2
' =tan%
1 =tan %
u2=∫u2'
¿cos%∨¿u2=∫ tan% d%=−ln ¿
6Entonces:
y p=u1 (% ) y 1 (% )+u2 (% ) y 2(%)
¿cos %∨¿ sen% y p=(−tan%+% ) (cos% )−ln¿
/( Solución #eneral de la ED:
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y= yc+ y p ¿cos%∨¿ sen%
y=C 1cos%+C 2 sin%+(−tan%+% ) (cos% )−ln ¿
9& y
' '
+ y=co s2
Solución:
( Encontrar nuestra función complementaria yc :
y'' + y=0
6 Se usa la ecuación au)iliar:
m2+1=0
6Encontramos sus ra*ces:
m2+1=0 m
2=−1 m=± i
∝=0 , β=1
6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto nuestra función complementaria yc es:
e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e
(0 ) x(C 1cos x+C
2sin x )
yc=C 1cos x+C 2sin x
( Encontrar nuestra función particular y p :
# ( x )=cos2 x , y1=cos x , y2=sen x
68allamos el 9ronsiano $ :
'Sacamos la Determinante(
$ =| y1 y2 y1' y2' | $ =| cos x sen x−sen x cos x|=cos2 x−(−sen2 x )=1 68allamos el 9ronsiano $ 1 :
'Sacamos la Determinante(
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$ 1=| 0 y2# ( x ) y2' | $ 1=| 0 sen xcos2 x cos x|=0−sen x (cos2 x )=−sen x (cos2 x )
68allamos el 9ronsiano $ 2 :
'Sacamos la Determinante(
$ 2=| y1 0 y1' # ( x )| $ 2=| cos x 0
−sen x cos2 x|=cos3 x−0=cos3 x 6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :
u1' =
$ 1
$ u1
' =−sen x (cos2 x )
1 =−sen x (cos2 x)
u1=∫u1' u1=∫−sen x (cos2 x ) dx
6;nte#rando ∫−sen x (cos2 x ) dx :
u=cos x , du=−sen x dx ∫u2
du=1
3 u
3=1
3cos
3 x
6Por tanto:
u1=13cos
3 x
u2' =
$ 2
$ u2
' =cos
3 x
1 =cos3 x
u2=∫u2' u2=∫cos
3 x dx
6;nte#rando ∫cos3 x dx :
∫cos3 x dx ∫cos2 x (cos x )dx ∫ (1−se n
2 x )cos x dx
∫ (cos x−cos x se n2 x ) dx=sen x−1
3 se n
3 x
6Por tanto:
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u2=sen x−1
3 se n
3 x
6Entonces:
y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )
y p=1
3cos
3 x (cos x )+(sen x−
1
3 se n
3 x)sen x
/( Solución #eneral de la ED:
y= yc+ y p y=C 1cos x+C 2sin x+1
3cos
4 x+se n2 x−
1
3 se n
4 x
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