View
270
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
23 April 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini
15 1 Persamaan Diferensial Linear Orde 215.1 Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Homogen
15 2 Persamaan Diferensial Linear Orde 215.2 Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Tak Homogen
15 3 P P Dif i l15.3 Penggunaan Persamaan DiferensialOrde 2
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 3
15.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR MA1201 MATEMATIKA 2A
ORDE 2, HOMOGENM t k l i d l i khMenentukan solusi umum dan solusi khususpersamaan diferensial linear orde 2 homogen
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Persamaan Diferensial Orde 2Persamaan Diferensial Orde 2
Banyak masalah dalamBanyak masalah dalamfisika yang dapatdirumuskan sebagaidirumuskan sebagaipersamaan diferensialorde 2 misalnya gerakorde 2, misalnya gerakharmonik sederhanayang terjadi pada pegasyang terjadi pada pegasbergetar/berosilasi.
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Bentuk Umum PersamaanDiferensial Biasa Orde nMi l ( ) d l h t f i tid kMisal y = y(x) adalah suatu fungsi yang tidakdiketahui rumusnya, namun memenuhi suatupersamaan
,0),...,,,( )()1( nyyyxFdengan y(k) menyatakan turunan ke‐k dari y, dengan k = 1,…, n.
Persamaan ini disebut persamaan diferensialbiasa (PDB) orde n.biasa (PDB) orde n.
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Contoh & Solusi (Umum) PDBContoh & Solusi (Umum) PDB1. y’ – 2 cos x = 0 merupakan PDB orde 1.2. y’’ + 3xy’ – 2y = 0 merupakan PDB orde 2.3. y’’’ + (y’)2 + ex = 0 merupakan PDB orde 3.
Fungsi y = f(x) disebut solusi suatu PDB apabilaPDB tsb menjadi kesamaan ketika y dan turunanPDB tsb menjadi kesamaan ketika y dan turunan‐turunannya disubstitusikan ke dalam PDB tsb. Sebagai contoh y = 2 sin x + 5 merupakan suatuSebagai contoh, y = 2 sin x + 5 merupakan suatusolusi (khusus) PDB orde 1 di atas. Solusi umum PDB orde 1 di atas adlh y = 2 sin x + C,Solusi umum PDB orde 1 di atas adlh y 2 sin x C, dengan C konstanta sembarang.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 7
PDB Linear Orde nPDB Linear Orde n
PDB yang berbentukPDB yang berbentuk
)()()(...)( )1(1
)1(1
)( xkyxayxayxay nnnn
disebut PDB linear orde n.
Perhatikan bahwa y dan turunan turunannyaPerhatikan bahwa y dan turunan‐turunannyamemiliki pangkat 1 semuanya.
K i PDB d 3 d lid b lKarena itu, PDB orde 3 pada slide sebelumnyabukan PDB linear, karena mengandung (y’)2.
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 8
PDB Linear Orde 2, dengan KoefisienKonstantaPDB linear orde 2 berbentukPDB linear orde 2 berbentuk
).()(')('' 21 xkyxayxay
Pada kesempatan ini, kita hanya akanmembahas PDB linear orde 2 dengan koefisienmembahas PDB linear orde 2 dengan koefisienkonstanta, yang berbentuk:
)(''' kJika k(x) = 0, maka PDB tsb disebut PDB
).(''' 21 xkyayay
homogen.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Solusi Umum PDB Linear Orde 2, d fdengan Koefisien KonstantaJika u1(x) dan u2(x) merupakan dua solusi PDBJika u1(x) dan u2(x) merupakan dua solusi PDB linear orde 2 homogen
0''' yang saling bebas, maka solusi umum PDB tsb
0''' 21 yayay
adalah),()( 2211 xuCxuCy
dgn C1 dan C2menyatakan konstanta sembarang. [Verifikasinya di papan tulis!][ y p p ]
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Persamaan KarakteristikPersamaan Karakteristik
Untuk mencari solusi PDB linear orde 2 homogen
[*]ki i lk ( ?) M k ki
,0''' 21 yayaykita misalkan y = erx (mengapa?). Maka, kita per‐oleh
0)( 2 rxeararKarena erx ≠ 0, maka mestilah
.0)( 21 earar
Persamaan ini disebut persamaan karakteristik.021
2 arare sa aa d sebut pe sa aa a a te stuntuk PDB di atas.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Teorema A (Akar Real Berbeda)Teorema A (Akar Real Berbeda)
Jika persamaan karakteristik mempunyai duaJika persamaan karakteristik mempunyai duaakar real berbeda, r1 dan r2, maka solusi umumPDB [*] adalahPDB [ ] adalah
d C d C k b,21
21xrxr eCeCy
dengan C1 dan C2 konstanta sembarang.
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Contoh 1Contoh 1
Tentukan solusi umum PDB orde 2Tentukan solusi umum PDB orde 2
.06'5'' yyy
Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah
0652 rrPersamaan ini mempunyai akar r1 = 2 dan r2 = 3. Jadi solusi umum PDB di atas adalah
.065 rr
Jadi solusi umum PDB di atas adalah
.32
21
xx eCeCy
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Contoh 1 (lanjutan)Contoh 1 (lanjutan)
Jika diketahui informasi tambahan misal syaratJika diketahui informasi tambahan, misal syaratawal y(0) = 0 dan y’(0) = 1, maka kita peroleh
C + C = 0C1 + C2 = 0
2C1 + 3C2 = 1.
(Persamaan kedua diperoleh dari y’ = 2C1e2x + 3C2e3x.) Dari kedua persamaan tsb, kita dapat‐kan C1 = ‐1 dan C2 = 1. Jadi kita peroleh solusikhusus yang memenuhi syarat awal di atas, yaituy = ‐e2x + e3x.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Teorema B (Akar Real Kembar)Teorema B (Akar Real Kembar)
Jika persamaan karakteristik mempunyai duaJika persamaan karakteristik mempunyai duaakar real kembar, r1 = r2, maka solusi umum PDB [*] adalah[ ] adalah
d C d C k b,11
21xrxr xeCeCy
dengan C1 dan C2 konstanta sembarang.
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Contoh 2Contoh 2Tentukan solusi khusus PDB orde 2
yg memenuhi syarat batas y(0) = 0 dan y(1) = e2.
,04'4'' yyyyg memenuhi syarat batas y(0) 0 dan y(1) e .
Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah0442
Persamaan ini mempunyai akar kembar r1,2 = 2.
.0442 rr
Jadi solusi umum PDB di atas adalah
.22
21
xx xeCeCy
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 16
21y
Contoh 2 (lanjutan)Contoh 2 (lanjutan)
Substitusikan kedua syarat batas kita perolehSubstitusikan kedua syarat batas, kita peroleh
C1 = 0
C 2 C 2 2C1e2 + C2e2 = e2.
Jadi C1 = 0 dan C2 = 1, sehingga solusi khususyang kita cari adalah y = xe2x.
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Teorema C (Akar Kompleks)Teorema C (Akar Kompleks)
Jika persamaan karakteristik mempunyai duaJika persamaan karakteristik mempunyai duaakar kompleks sekawan, r1,2= a ± bi, maka solusiumum PDB [*] adalahumum PDB [ ] adalah
d C d C k b),sincos( 21 bxCbxCey ax
dengan C1 dan C2 konstanta sembarang.
Catatan: Di sini i = menyatakan bilanganimajiner yang memenuhi i2 = ‐1.
1j y g
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Contoh 3Contoh 3
Tentukan solusi umum PDB orde 2Tentukan solusi umum PDB orde 2
.05'4'' yyy
Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah
0542 rrPersamaan ini mempunyai akar kompleks r1,2 = 2 ± i Jadi solusi umum PDB di atas adalah
.054 rr
2 ± i. Jadi solusi umum PDB di atas adalah
).sincos( 212 xCxCey x
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 19
SoalSoal
Dengan cara serupa kita dapat menyelesaikanDengan cara serupa, kita dapat menyelesaikanPDB linear orde n yang homogen.
1. Tentukan solusi umum PDB orde 30'20''''' yyy
2. Tentukan solusi umum PDB orde 4
.020yyy
.0)4( yy
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 20
15.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR MA1201 MATEMATIKA 2A
ORDE 2, TAK HOMOGENMenentukan solusi khusus dan solusi umumMenentukan solusi khusus dan solusi umumpersamaan diferensial linear orde 2 takhomogenhomogen
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 21
PDB Linear Orde 2, Tak HomogenPDB Linear Orde 2, Tak Homogen
PDB linear orde 2 tak homogen denganPDB linear orde 2 tak homogen, dengankoefisien konstanta, secara umum berbentuk
)(''' xkyayay dengan k(x) ≠ 0. Jika yp adalah solusi khusus
k h di d d l h
),(''' 21 xkyayay
persamaan tak homogen di atas dan yh adalahsolusi umum pers. homogen ,0''' 21 yayaymaka solusi umum persamaan tak homogen diatas adalah: y = yh + yp.pBagaimana mendapatkan yp?4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Metode Koefisien Tak TentuMetode Koefisien Tak Tentu
Kita dapat memperoleh solusi khusus yp denganKita dapat memperoleh solusi khusus yp dengancara coba‐coba, dengan prinsip:1. Jika k(x) polinom, maka yp juga polinom.1. Jika k(x) polinom, maka yp juga polinom.2. Jika k(x) = a.ecx, maka yp = Aecx.3 Jika k(x) = a cos rx + b sin rx maka3. Jika k(x) = a.cos rx + b.sin rx, maka
yp = A.cos rx + B.sin rx.
Catatan. Bilangan A dan B merupakan koefisienyang harus dicari. Karena itu metode ini dikenaly gsebagai Metode Koefisien Tak Tentu.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Contoh/Latihan 1Contoh/Latihan 1
Tentukan solusi umum dari .6'5'' xyyy Tentukan solusi umum dari
Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah2 3
.65 xyyy
yh = C1e2x + C2e3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan yp = Ax + B (mengapa?). Maka yp’ = A dan y ’’ 0 Substitusikan ke PDB di atasdan yp’’ = 0. Substitusikan ke PDB di atas:
‐5A + 6(Ax + B) = x.h /Jadi 6A = 1 dan ‐5A + 6B = 0, sehingga A = 1/6
dan B = 5/36. Jadi solusi umum PDB di atas adl2 3 / /y = C1e2x + C2e3x + x/6 + 5/36.
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Contoh/Latihan 2Contoh/Latihan 2
Tentukan solusi umum dari 4'4'' xeyyy Tentukan solusi umum dari
Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah
.44 eyyy
p g yyh = C1e2x + C2xe2x. Untuk mencari solusikhusus, misalkan yp = …, yp
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 25
Contoh/Latihan 3Contoh/Latihan 3
Tentukan solusi umum dari 6'5'' 2xeyyy Tentukan solusi umum dari
Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah
.65 eyyy
p g yyh = C1e2x + C2e3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan yp = …yp
4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 26
Recommended