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MA211 - Calculo II
Segundo semestre de 2020
Turmas D/E
Ricardo M. Martins
rmiranda@unicamp.br
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 2: Limites e continuidade
Rk
Denotaremos por Rk o conjunto R× · · · × R, onde existem k
termos neste produto, ou seja,
Rk = R× · · · × R = {(x1, x2, . . . , xk), xi ∈ R, i = 1, . . . , k}
Assim R2 e o plano cartesiano que ja conhecemos, R3 e o
“espaco” e por aı vai.
Por enquanto, chamaremos os elementos de Rk de pontos. Mais
para frente, esta nocao vai se confundir um pouco com a nocao de
vetor.
Rk
Representamos geometricamente R1 = R por uma reta, R2 pelo
sistema de eixos cartesianos e R3 por um sistema de tres eixos
mutualmente ortogonais.
Para medir distancias entres pontos de Rk , usaremos a norma
euclidiana, ou seja, dados x = (x1, . . . , xk) e y = (y1, . . . , yk) em
Rk , a distancia entre x e y sera medida por
d(x, y) = ||x− y|| =�(x1 − y1)2 + . . .+ (xk − yk)2.
No comeco do curso, nossas funcoes terao como domınio um
subconjunto de Rk para algum k e como contra-domınio R.
Funcoes R2 → R
Seja U ⊂ Rn um conjunto e f : U ⊆ R2 → R uma funcao. Muitas
vezes escreveremos somente z = f (x , y) quando o domınio da
funcao estiver claro pelo contexto (ou tomaremos o “maior
domınio possıvel”).
As variaveis x , y sao as variaveis independentes e z e a variavel
dependente.
Funcoes R2 → R
Seja U ⊂ Rn um conjunto e f : U ⊆ R2 → R uma funcao. Muitas
vezes escreveremos somente z = f (x , y) quando o domınio da
funcao estiver claro pelo contexto (ou tomaremos o “maior
domınio possıvel”).
As variaveis x , y sao as variaveis independentes e z e a variavel
dependente.
Duvida existencial: Nao seria melhor estudar logo funcoes
Rm → R? Seria, mas os ındices introduziriam complicacoes
desnecessarias no momento. Vamos falar sobre dimensoes mais
altas de vez em quando.
Funcoes R2 → R
O grafico de f : U ⊆ R2 → R e um subconjunto de R3 = R2 × R.
As curvas de nıvel de z = f (x , y), que sao uma boa forma de
representar graficamente esta funcao, sao as curvas no plano xy
obtidas como solucoes de equacoes da forma f (x , y) = k , com k
variando no conjunto dos numeros reais.
Em geral representaremos tais curvas identificando cada uma delas
pelo valor correspondente de k .
Funcoes R2 → R
Exemplo
Determine o domınio, a imagem, as curvas de nıvel e o grafico de
f (x , y) =�
9− x2 − y2.
Funcoes R2 → R
Exemplo
Determine o domınio, a imagem, as curvas de nıvel e o grafico de
f (x , y) =�
9− x2 − y2.
� Precisamos que 9− x2 − y2 ≥ 0, ou seja, que x2 + y2 ≤ 9.
Logo o domınio de f e D(f ) =�(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 9
�.
� Como f (x , y) =�9− x2 − y2 =
�9− (x2 + y2) e
x2 + y2 ≥ 0, o valor maximo de f e√9 = 3 e o mınimo e 0.
� As curvas de nıvel sao as curvas�
9− x2 − y2 = k no plano
z = k , ou seja, as curvas x2 + y2 = 9− k2 com k ∈ R(cırculos).
� Para o grafico, note que elevando z =�
9− x2 − y2 ao
quadrado temos a equacao de uma esfera de raio 3:
x2 + y2 + z2 = 9. Como z ≥ 0, ficamos com uma semi-esfera.
Funcoes R3 → R
Exemplo (Superfıcies de nıvel)
Quais sao as superfıcies de nıvel de f (x , y , z) = x2 + y2 − z2?
Funcoes R3 → R
Exemplo (Superfıcies de nıvel)
Quais sao as superfıcies de nıvel de f (x , y , z) = x2 + y2 − z2?
k = 0: x2 + y2 − z2 = 0 ⇔ z = ±�
x2 + y2.
Funcoes R2 → R
Exemplo (Superfıcies de nıvel)
Quais sao as superfıcies de nıvel de f (x , y , z) = x2 + y2 − z2?
k > 0: x2 + y2 − z2 = α2.
Funcoes R2 → R
Exemplo (Superfıcies de nıvel)
Quais sao as superfıcies de nıvel de f (x , y , z) = x2 + y2 − z2?
k < 0: x2 + y2 − z2 = −α2.
Limites
Seja f : D ⊂ R2 → R uma funcao, (a, b) ∈ D.
Dizemos que o limite de f (x , y) quando (x , y) tende a (a, b) e
igual a L se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 < ||(x , y)− (a, b)|| < δ implica |f (x , y)− L| < ε,
onde ||(x , y)− (a, b)|| =�(x − a)2 + (y − b)2.
A notacao para isto e
lim(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = L.
Limites
Limites
� A exigencia “(a, b) ∈ D” nao e suficiente: (a, b) nao pode ser
um ponto isolado. Nao falaremos muito sobre isto, mas fique
com o seguinte problema na cabeca: se
D = [0, 1]× [0, 1] ∪ {(2, 2)} ,
como fazemos para calcular limite com (x , y) → (2, 2)?
� A funcao nao precisa estar definida em (a, b) para o limite
existir.
� Como ja observamos, existem infinitas formas de
(x , y) → (a, b), ao contrario do caso de funcoes R → R. Sepercorrendo caminhos distintos, os limites forem diferentes,
entao o limite nao existira.
Continuidade
Seja f : U ⊂ R2 → R e (a, b) ∈ U. Diremos que f e contınua em
(a, b) se
lim(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b).
Diremos que f e contınua se for contınua em todos os pontos de
seu domınio.
A funcao f sera contınua em (a, b) se:
� f (a, b) existir,
� lim(x ,y)→(a,b)
f (x , y) existir,
� lim(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b).
Exercıcios
ExercıcioO limite abaixo existe?
lim(x ,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
Exercıcios
ExercıcioO limite abaixo existe?
lim(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
Exercıcios
ExercıcioO limite abaixo existe?
lim(x ,y)→(0,0)
xy2
x2 + y4
Exercıcios (prometo que este existe)
ExercıcioO limite abaixo existe?
lim(x ,y)→(0,0)
3x2y
x2 + y2
Observacoes importantes
� As propriedades que usavamos no Calculo I continuam validas
aqui: limite da soma e a soma dos limites (se ambos
existirem), etc.
Observacoes importantes
� As propriedades que usavamos no Calculo I continuam validas
aqui: limite da soma e a soma dos limites (se ambos
existirem), etc.
� Polinomios, funcoes trigonometricas, etc em varias variaveis
sao funcoes contınuas.
Observacoes importantes
� As propriedades que usavamos no Calculo I continuam validas
aqui: limite da soma e a soma dos limites (se ambos
existirem), etc.
� Polinomios, funcoes trigonometricas, etc em varias variaveis
sao funcoes contınuas.
� Pode-se passar o limite para “dentro” de funcoes contınuas,
lim(x ,y)→(a,b)
f (g(x , y)) = f
�lim
(x ,y)→(a,b)g(x , y)
�
se f e contınua em g(a, b).
Observacoes importantes
� As propriedades que usavamos no Calculo I continuam validas
aqui: limite da soma e a soma dos limites (se ambos
existirem), etc.
� Polinomios, funcoes trigonometricas, etc em varias variaveis
sao funcoes contınuas.
� Pode-se passar o limite para “dentro” de funcoes contınuas,
lim(x ,y)→(a,b)
f (g(x , y)) = f
�lim
(x ,y)→(a,b)g(x , y)
�
se f e contınua em g(a, b).
� O teorema do sanduıche ainda e verdadeiro: se
f (x , y) ≤ g(x , y) ≤ h(x , y) entao
lim(x ,y)→(a,b)
f (x , y) ≤ lim(x ,y)→(a,b)
g(x , y) lim(x ,y)→(a,b)
h(x , y).
Exercıcios
Exemplo
Mostre que a funcao
f (x , y) =
x2 − y2
x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),
0 , (x , y) = (0, 0)
nao e contınua.
Exercıcios
Exemplo
Mostre que a funcao
f (x , y) =
x2 − y2
x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),
0 , (x , y) = (0, 0)
nao e contınua.
Exemplo
Mostre que a funcao
f (x , y) =
�x2 + y2 , x + y ∈ Q,
0 , x + y �∈ Q
e contınua na origem.
Limites em coordenadas polares
Em alguns casos, trocar de coordenadas cartesianas para
coordenadas polares ajuda no calculo do limite.
Lembre-se que o sistema de coordenadas polares e dado por
�x = r cos(θ),
y = r sen(θ).
Desta forma, quando (x , y) → (0, 0) teremos r → 0+
(independente do angulo).
Limites em coordenadas polares
Coordenadas polares.
Limites em coordenadas polares
Exemplo
Calcule
lim(x ,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2.
Limites em coordenadas polares
Exemplo
Calcule
lim(x ,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2.
� Se x = y entao ficamos com
lim(x ,x)→(0,0)
2x3
2x2= lim
(x ,x)→(0,0)x = 0,
entao nosso primeiro chute e que o limite de zero.
� Testando varios outros caminhos sempre obtemos o mesmo
limite 0.
Limites em coordenadas polares
Exemplo
Calcule
lim(x ,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2.
� Usando coordenadas polares x = r cos(t), y = r sen(t) temos
lim(x ,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2= lim
r→0
r3 cos3(t) + r3 sen3(t)
r2 cos2(t) + r2 sen2(t)
= limr→0
(r cos3(t) + r sen3(t))
= 0
Kahoot!
Kahoot!
Questao
O domınio da funcao
f (x , y) =
�25− x2 − y2
x2 + y2
e
� um quadrado
� um disco
◦ um disco menos um ponto
� R2
Kahoot!
Questao
Se
z = f (x , y) =1
x2 + y2
entao f e contınua em todos os pontos de seu domınio.
� falso
� verdadeiro
Kahoot!
Questao
Qual o valor do limite de
f (x , y) =x3y3
2 + x2 + y2
quando (x , y) → (0, 0)?
� nao existe
� 0
◦ 1
� 2
Proxima aula: Derivadas parciais.
Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.
Fique em casa.
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