MA3231 Pengantar Analisis Real · PDF fileDiberikan sejumlah terhingga bilangan ... negatif)...

MA3231 Pengantar Analisis Real

Semester II, Tahun 2016-2017

Hendra Gunawan, Ph.D.

Bab 5 Deret

2

5.1 Definisi Deret

Diberikan sejumlah terhingga bilangan 𝑎1, … , 𝑎𝑁, kita dapat menghitung jumlah 𝑎1 +⋯+ 𝑎𝑁. Namun, diberikan tak terhingga banyaknyabilangan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, bagaimana kita menghitungatau memaknai 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯?

Menjawab pertanyaan tersebut, misalkan 𝑎𝑛adalah sebuah barisan bilangan real. Definisikanbarisan ⟨𝑠𝑁⟩ dengan𝑠𝑁: = ∑𝑛=1

𝑁 𝑎𝑛: = 𝑎1 +⋯+ 𝑎𝑁 , 𝑁 ∈ ℕ.

3

Definisi Deret (lanjutan)

Untuk tiap 𝑁 ∈ ℕ, 𝑠𝑁 dikenal sebagai jumlahparsial dari deret

∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 ∶= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ .

Dalam hal ini deret ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 dianggap identik

dengan barisan jumlah parsial ⟨𝑠𝑁⟩.

Jika 𝑠𝑁 → 𝑠 untuk𝑁 → ∞, maka deret ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛

dikatakan konvergen ke s, dan s disebut sebagaijumlah deret tersebut:

𝑛=1

∞

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ = 𝑠.

2/8/2017 4(c) Hendra Gunawan

Definisi Deret (lanjutan)

Jadi

𝑛=1

∞

𝑎𝑛 = lim𝑁→∞

𝑛=1

𝑁

𝑎𝑛 = lim𝑁→∞𝑠𝑁 = 𝑠.

Catatan. Jika 𝑠𝑁 divergen, maka deret divergen.

CONTOH 1: Deret geometri1 + 𝑟 + 𝑟2 + 𝑟3 +⋯

konvergen ke1

1−𝑟untuk −1 < 𝑟 < 1.

2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 5

CONTOH 2

Deret ∑𝑛=1∞ 1

𝑛 𝑛+1mempunyai jumlah parsial

𝑠𝑁 =1

1⋅2+1

2⋅3+⋯+

1

𝑁⋅ 𝑁+1

=1

1−1

2+1

2−1

3+⋯+

1

𝑁−1

𝑁+1[*]

= 1 −1

𝑁+1.

Di sini 𝑠𝑁 → 1 untuk 𝑁 → ∞. Jadi ∑𝑛=1∞ 1

𝑛 𝑛+1= 1.

___________

[*] Deret yg suku-sukunya saling menghapuskan dikenal sebagaideret teleskopis.

2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 6

SOAL

Buktikan bahwa ∑𝑛=1∞ 4

4𝑛2−1= 2.

2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 7

5.2 Deret dengan Suku-Suku Positif

Deret yang suku-sukunya bernilai positif (atau tak

negatif) termasuk deret yang mudah dipelajari,

karena jumlah parsialnya membentuk barisan naik.

Jadi, jika kita ingin menunjukkan bahwa deret

tersebut konvergen, kita hanya perlu menunjukkan

bahwa barisan jumlah parsialnya terbatas di atas.

Jika barisan jumlah parsialnya tak terbatas di atas,

maka deret tersebut divergen ke +∞.

2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 8

CONTOH

1. Jumlah parsial dari deret ∑𝑛=1∞ 1

𝑛2membentuk

barisan naik dan terbatas di atas. Karena ituderet ini konvergen (ke suatu bilangan di antara1 dan 2).

2. Jumlah parsial dari deret ∑𝑛=1∞ 1

𝑛membentuk

barisan naik tetapi tidak terbatas di atas. Karenaitu deret ini divergen ke +∞.

3. Bagaimana dengan deret ∑𝑛=1∞ 1

𝑛!?

2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 9

5.3 Sifat-Sifat Deret

Teorema. Jika ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen ke a dan

∑𝑛=1∞ 𝑏𝑛 konvergen ke b, dan 𝛼 dan 𝛽 bilangan

real, maka ∑𝑛=1∞ (𝛼𝑎𝑛 + 𝛽𝑏𝑛) konvergen ke

𝛼𝑎 + 𝛽𝑏.

Teorema. Jika ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen, maka

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0.

10

SOAL

Apakah ∑𝑛=1∞ 𝑛

106𝑛+1konvergen? Jelaskan.

11

5.4 Kriteria Cauchy; Uji Kekonvergenan DeretTeorema (Deret Berganti Tanda). Misalkan 𝑎𝑛

turun, 𝑎𝑛 > 0 untuk tiap 𝑛 ∈ ℕ, dan 𝑎𝑛 → 0 untuk

𝑛 → ∞. Maka deret

𝑛=1

∞

−1 𝑛−1𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯

konvergen.

Petunjuk. Bila kita dapat menunjukkan bahwa ⟨𝑠𝑛⟩

merupakan barisan Cauchy, maka teorema terbukti.12

CONTOH

Deret 1 −1

2+1

3−1

4+⋯ merupakan deret

yang konvergen (ke suatu bilangan di antara 0 dan 1).

13

Teorema (Uji Banding). Misalkan |𝑎𝑛| ≤ 𝑏𝑛untuk tiap 𝑛 ∈ ℕ dan ∑𝑛=1

∞ 𝑏𝑛 konvergen, maka

∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen.

Bukti. Ambil 𝜖 > 0 sembarang, pilih 𝑁 ∈ ℕ

sedemikian shg ∑𝑛=𝐾∞ 𝑏𝑛 < 𝜖 untuk K ≥ N.

Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa 𝑠𝑚 − 𝑠𝑛< 𝜖 untuk m, n ≥ K, dengan 𝑠𝑛 menyatakan

jumlah parsial dari deret ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛. Dengan

demikian 𝑠𝑛 konvergen.

14

Teorema (Uji Rasio). Misalkan 𝑎𝑛 ≠ 0 untuktiap 𝑛 ∈ ℕ dan

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛+1𝑎𝑛= 𝐿.

Jika 𝐿 < 1, maka ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen; jika

𝐿 > 1, maka ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 divergen.

Catatan. Selain Uji Rasio, ada Uji Akar (yang melibatkan limsup; sila pelajari sendiri).

15

5.5 Kokonvergenan Mutlak danKekonvergenan Bersyarat

Sebagian deret dapat diperiksa kekonvergenannyamelalui deret nilai mutlaknya. Deret ∑𝑛=1

∞ 𝑎𝑛 dikata-kan konvergen mutlak apabila deret ∑𝑛=1

∞ |𝑎𝑛|konvergen.

Sebagai contoh, ∑𝑛=1∞ −1 𝑛−1

𝑛2konvergen mutlak.

Catat bahwa deret yang konvergen berdasarkan UjiRasio secara otomatis merupakan deret konvergenmutlak.

16

Teorema. Deret yang konvergen mutlakmerupakan deret yang konvergen.

Catatan. Kebalikan teorema di atas tidakberlaku. Deret yang konvergen belum tentukonvergen mutlak. (Apakah anda tahucontohnya?)

Deret yang konvergen tetapi tidak konvergenmutlak disebut konvergen bersyarat.

Contohnya adalah deret 1 −1

2+1

3−1

4+⋯ .

17

SOAL

Buktikan jika ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛

2 dan ∑𝑛=1∞ 𝑏𝑛

2 konvergen, maka ∑𝑛=1

∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 konvergen mutlak (dankarenanya konvergen).

18