View
6
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
preamble
bb
b
1 / 40
Plošni integral
Mate Kosor
20.12.2010.
b
b
Uvodne napomene
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
2 / 40
Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ovaprezentacija biti će dostupna na webu.
b
Plan današnjeg rada
3 / 40
� knjiga prof. Uglešića: str. 323–338
� možete pogledati web sadržaje na http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node19.html
Sadržaj:Ploha
Plošni integral prve vrste - na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste - na vektorskom polju
Važni teoremi
b
bPloha
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi4 / 40
b
b
b
Definicija plohe
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi5 / 40
Ploha je skup S u prostoru R3 (S ⊆ R3) koji se matematički možekarakterizirati:
1. u okolini svake točke T ∈ S postoji
(a) okolina VT ⊆ R3
(b) pravokutni koordinatni sustav(
OT ,−→iT ,
−→jT ,
−→kT
)
(c) otvoreni skup UT ⊆ R2
(d) preslikavanje g : U → R
takvi da je r = x−→iT + y
−→jT + g(x, y)
−→kT parametrizacija skupa S u VT
okolini točke T .
Ploha S je glatka ako je funkcija g neprekidno derivabilna, tj. ako jeparametrizacija neprekidno diferencijabilna.Ako formula z = g(x, y) vrijedi za cijelu plohu S naziva se eksplicitnajednadžba plohe S.
b
Ploha - druga definicija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi6 / 40
2.Neka je H : V → R skalarno polje. Neka je H derivabilna sa svojstvomgradH 6= 0. Tada je skup
S = {(x, y, z) ∈ V : H(x, y, z) = 0}
glatka ploha.Nultočke polja H(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4 definiraju kuglu radijusa 2.
bbb
Ploha - treća definicija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi7 / 40
3. Ploha je skup S u prostoru R3 (S ⊆ R3) takav da postoji otvoreni skupU ⊆ R2 i r : U → R3 parametrizacija skupa S koja je
r(u, v) =
φ(u, v)ψ(u, v)χ(u, v)
druge=
oznake
x(u, v)y(u, v)z(u, v)
, (u, v) ∈ U
� r neprekidno derivabilna
� r injekcija (osim možda na rubu)
� nijedna parcijalna derivacija od r nije nulvektor
Rub plohe S označava se sa ∂S.
b
Jednostavan primjer
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi8 / 40
Parametrizacija r = ui+ vj+ sin(uv)k, u ∈ [0, π2], v ∈ [0, 2]. Eksplicitna
jednadžba z = sin(x y)
b
b
”Pramac broda”
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi9 / 40
x = sinu cos v, y = sin v
(cos3 u
2− cosu
3+ 2
)
, z = cosu,
u ∈ [−2, 2], v ∈ [0, 2]
b bb
Normalni vektori
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi10 / 40
Glatka ploha S u svakoj točki T dopušta okomicu (normalu). Ta okomica jepravac koji u odabranoj točki T siječe plohu S okomito na tangencijalnuravninu. Možemo reći da S dijeli svaku svoju okomicu na dva dijela: dijeloviodgovaraju dvama stranama plohe, sa svake strane po jedan. Time suodređena i dva jedinična normalna vektora: −→n0 i −−→n0.Za plohu definiranu parametrizacijom r : D → R3 jedinični normalni vektor usvakoj točki računa se formulom
−→n0 =∂r
∂u× ∂r∂v∥
∥∥∥
∂r
∂u× ∂r∂v
∥∥∥∥
.
U slučaju eksplicitne jednažbe plohe z = g(x, y) formula za jediničninormalni vektor ”pojednostavljuje” se kao
−→n0 =− ∂g∂x i−
∂g∂y j+ k
√
1 +
(∂g
∂x
)2
+
(∂g
∂y
)2.
bb
b
Smjerovni kosinusi
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi11 / 40
Ponekada se jedinični normalni vektor izražava u terminima smjerovnihkosinusa:
−→n0 = cosαi+ cosβj+ cos γk= (cosα, cosβ, cos γ)
Ovo je samo oznaka: nemojte da vas zbuni. Ako se traže smjerovni kosinusito su koordinate jediničnog normalnog vektora, jednostavno izračunajte −→n0 izranije danih formula.
Primjer računanja normale
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi12 / 40
Parametrizacija r = ui+ vj+ sin(uv)k, u ∈ [0, π2], v ∈ [0, 2]. Eksplicitna
jednadžba z = sin(x y).
∂r
∂u= i+ v cos(uv)k,
∂r
∂v= j+ u cos(uv)k
−→n =
10
v cos(uv)
×
01
u cos(uv)
=
−v cos(uv)−u cos(uv)
1
∥∥−→n∥∥ =
√
1 + v2 cos2(uv) + u2 cos2(uv) =√
1 + (u2 + v2) cos2(uv)
−→n0 =−v cos(uv)i− u cos(uv)j+ k√
1 + (u2 + v2) cos2(uv)
Ploština (površina)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi13 / 40
Za plohu S definiranu parametrizacijom r(u, v), r : D → R3 ploština(površina) se definira integralom
P (S) =
¨
D
dS =
¨
D
∥∥−→n (u, v)
∥∥ dudv =
¨
D
∥∥∥∥
∂r
∂u× ∂r∂v
∥∥∥∥dudv .
U slučaju eksplicitne jednažbe plohe z = g(x, y) za (x, y) ∈ D formula zaploštinu ”pojednostavljuje” se kao
P (S) =
¨
D
dS︸︷︷︸
=‖−→n‖=
¨
D
√
1 +
(∂g(x, y)
∂x
)2
+
(∂g(x, y)
∂y
)2
dxdy .
b
b
Primjer računanja površine (1)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi14 / 40
Postaviti formulu za ploštinu dijela eliptičnog paraboloida z = x2
3+ y
2
3što
leži iznad područja D . . . x2
3+ y
2
3≤ 1.Koristimo parametrizaciju u cilindričnim
koordinatama r(r, ϕ) =
r cosϕr sinϕ
r2
3
, r ∈[0,√3], ϕ ∈ [0, 2π]
∂r
∂r× ∂r∂ϕ
=
cosϕsinϕ2r3
×
−r sinϕr cosϕ
0
=
− 2r23
cosϕ
− 2r23
sinϕr
P (S) =
¨
D
∥∥∥∥
∂r
∂r× ∂r∂ϕ
∥∥∥∥drdϕ =
2πˆ
0
√3ˆ
0
√
1 +4r2
9r drdϕ
{
u = 1 +4r2
9, du =
8
9r dr
}
= 2π
7/3ˆ
1
√u9
8du
=9π
4
[u3/2
3/2
]7/3
1
=3π
2
(√
343
27− 1)
b
Primjer računanja površine (2)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi15 / 40
Postaviti formulu za ploštinu dijela stošca z =√
x2
3+ y
2
3što leži iznad
područja D . . . x2
3+ y
2
3≤ 1.g(x, y) =
√x2
3+ y
2
3
∥∥−→n∥∥ =
√√√√√√1 +
2x
3√
x2
3+ y
2
3
2
+
2y
3√
x2
3+ y
2
3
2
P (S) =
¨
D
√
1 +4/91/3
dxdy
{polarne koordinate} =2πˆ
0
√3ˆ
0
√
7
3r drdϕ
= 2π ·√
7
3·[r2
2
]r=√3
r=0
=3π
√7√
3=
√21π
Usmjerenje plohe
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi16 / 40
Ranije smo spomenuli dva odabira usmjerenja normalnog vektora.Odabiromjedne od tih strana, tj. svih −→n0 ili svih −−→n0 odabrano je određeno usmjerenjeglatke plohe. Kažemo da je glatka ploha S usmjerena ili orjentirana ako jeneprekidno odabrano jedno usmjerenje vektora normale, odnosno ako je naplohi konzistentno odabrana jedna njena strana.Oznaka za usmjerenje:
�
y
S za plohu usmjerenu vektorima −→n0
�
x
S za plohu usmjerenu vektorima −−→n0Posebno, ako je S jednostavno zatvorena ploha (tj. omeđuje dio prostora)tada označavamo:
�
y
S za plohu usmjerenu unutarnjim normalnim vektorima
�
x
S za plohu usmjerenu vanjskim normalnim vektorima
b
Usmjerenje - primjeri
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi17 / 40
Primjer. Plašt svakog geometrijskog tijela, npr. kugle, kocke, itd. ima dvije
strane: vanjskux
S i unutarnjuy
S .Primjer. Postoje plohe koje ne dopuštaju usmjerenje, npr. Mobiusova traka(vidi sliku).
b
b
bSukladno usmjerenje plohe i ruba
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi18 / 40
Neka jey
S ploha usmjerena normalom koja je definirana formulama od ranije:
� n =∂r
∂u× ∂r∂v
uz parametrizaciju r : D → R3
� ili n = − ∂g∂x i−∂g∂y j+ k uz eksplicitnu jednadžbu z = g(x, y),
g : D → R
Primijeti da je D područje u ravnini s rubom ∂D. Tada sax
∂D označavamousmjerenje ravninske krivulje u smjeru suprotno kazaljci na satu.
Sax
∂S označavamo sukladno usmjerenje plohey
S i njenog ruba koje proizlazi
iz usmjerenja ravninske krivuljex
∂D:
�
x
∂S proizlazi iz slike parametrizacijom r(x
∂D)
� ilix
∂S proizlazi iz eksplicitne jednadžbe z = g(x
∂D)
bb
Po djelovima glatka ploha
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Definicija plohe
Ploha - druga definicija
Ploha - treća definicija
Jednostavan primjer
”Pramac broda”
Normalni vektori
Smjerovni kosinusi
Primjer računanjanormale
Ploština (površina)
Primjer računanjapovršine (1)
Primjer računanjapovršine (2)
Usmjerenje plohe
Usmjerenje - primjeri
Sukladno usmjerenjeplohe i ruba
Po djelovima glatkaploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi19 / 40
Dosad smo razmatrali samo glatke plohe, međutim u praksi nailazimo naplohe koje imaju određene ”lomove”. Na sreću, sve dosad rečeno lako seproširuje na tzv. po djelovima glatke plohe. To su plohe u cjelini s”lomovima”, ali sastavljene od konačno dijelova koji su glatki.Primjer. Površina plašta kocke koji zadovoljava jednadžbu:
max {|x| , |y| , |z|} = 1 .
sastoji se od dijelova:
r1 = xi+ yj+ k, x, y ∈ [−1, 1], r4 = xi+ yj− k, x, y ∈ [−1, 1],r2 = xi+ j+ zk, x, z ∈ [−1, 1], r5 = xi− j+ zk, x, z ∈ [−1, 1],r3 = i+ yj+ zk, y, z ∈ [−1, 1], r6 = −i+ yj+ zk, y, z ∈ [−1, 1].
Površina plašta kocke je suma površina svih 6 nabrojanih dijelova.
b
Plošni integral prve vrste - na
skalarnom polju
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Definicija
Primjer
Neke napomene
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
20 / 40
b
Definicija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Definicija
Primjer
Neke napomene
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
21 / 40
Neka je f skalarno polje, a S glatka ploha
r(u, v) = φ(u, v)i+ ψ(u, v)j+ χ(u, v)k, (u, v) ∈ D .
Tada je dobro definirana kompozicija
f ◦ r(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v))
i duljina vektora normale
‖n(u, v)‖ =∥∥∥∥
∂r
∂u× ∂r∂v
∥∥∥∥.
Ako je umnožak (u, v) 7→ f ◦ r (u, v) ‖~n(u, v)‖ integrabilan na dijelu ravnineD tada taj integral označavamo
¨
S
f dS =
¨
D
f ◦ r(u, v) ‖~n(u, v)‖dudv
Primijeti, kada je f = 1 imamo istu formulu za površinu (usporedi ranije).
Primjer
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Definicija
Primjer
Neke napomene
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
22 / 40
Izračunati˜
S(x+ y)dS ako je S kružni stožac zadan jednadžbom
z =√
x2 + y2 i 0 ≤ z ≤ 4. . . Područje D je krug radijusa 4.Formula jeeksplicitna za varijablu z, parametrizacijar(x, y) = xi+ yj+
√
x2 + y2k. . . f ◦ r(x, y) = x+ y. . .
‖n‖ =
√√√√1 +
(
x√
x2 + y2
)2
+
(
y√
x2 + y2
)2
=√1 + 1 =
√2
¨
S
fdS =
¨
D
((f ◦ r) · ‖n‖) (x, y)dxdy
=√2
¨
D
(x+ y)dxdy
=√2
2πˆ
0
4ˆ
0
(r cosϕ+ r sinϕ)r drdϕ
. . . = 0
bb
Neke napomene
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Definicija
Primjer
Neke napomene
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
23 / 40
Neka je f skalarno polje, a S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn po dijelovima glatka ploha(Si su glatke plohe). Tada plošni integral prve vrste možemo računati kaosumu
¨
S
fdS =
¨
S1
fdS +
¨
S2
fdS + · · ·+¨
Sn
fdS .
Ako za funkciju f uzmemo težinu po jedinici površine tada integral´
SfdS
daje masu plohe.
Plošni integral druge vrste - na
vektorskom polju
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
24 / 40
b
b
Definicija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
25 / 40
Neka je w : X ⊆ R3 → R3 vektorsko polje iy
S usmjerena glatka krivulja susmjerenjem koje proizlazi iz parametrizacije r : D → R3. Sada je dobrodefinirana kompozicija w ◦ r
(u, v) 7→ r(u, v) 7→ w (r(u, v)) ∈ R3, (u, v) ∈ D
i skalarni umnožak
(u, v) 7→(w (r(u, v)) |−→n (u, v)
)∈ R, (u, v) ∈ D.
Integral vektorskog polja w po usmjerenoj plohiy
S dan je formulom
¨
y
S
(w|dS) =¨
S
(w|−→n0
)dS =
¨
D
(w (r(u, v)) |−→n (u, v)
)dudv .
Zapis sa smjerovnim kosinusima istog integrala:
¨
S
(wx cosα+ wy cosβ + wz cos γ) dS =
¨
y
S
wxdydz+wydxdz+wzdxdy.
b PrimjerUvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
26 / 40
Izračunati˜
x
S(w|dS) ako je w(x, y, z) = (yz, zx, xy) i
x
S vanjska strana
dijela tetraedrova ruba zadanog ravninama x = 0, y = 0, z = 0 ix+ y + z = 1. . .
� krivuljni integral druge vrste,˜
x
S(w|dS) =
˜
x
S1(w|dS) +
˜
x
S2(w|dS) +
˜
x
S3(w|dS) +
˜
x
S4(w|dS)
� računamo integral po dijelovima - stranice tetraedra: S1 . . . x = 0,S2 . . . y = 0, S3 . . . z = 0 i S4 . . . x+ y + z = 1
� jedinične normale n1 = −i,n2 = −j, n3 = −k,n4 =√3
3i+
√3
3j+
√3
3k
� ako se slabije snalazite napišite eksplicitne jednadžbe ploha: S1. . . izborr1(y, z) = (0, y, z) i D1 = {0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− y} daje n1 = iunutrašnju normalu što upućuje na unutarnju orjentaciju
y
S1, daklevanjska orijentacija ima suprotnu normalu n1 = −i. . . .S4 . . . r4 = (x, y, 1− x− y), D4 = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x}odgovara vanjskoj orijentaciji
x
S1 i jediničnoj normali n4 prikazanoj gore.
bb
b
Primjer - slika
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
27 / 40
bb
b
Primjer (nastavak)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
28 / 40
w(x, y, z) = (yz, zx, xy)
y
S1. . . eksplicitna jednadžba x = g1(y, z) = 0 na trokutuD1 = {0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− y}, dakle w ◦ r1 = (yz, 0, 0), jediničnanormala −→n1 = i =⇒
(w|−→n1
)= yz. dS možemo računati po formuli
za eksplicitnu jednadžbu dS =
√
1 +
(∂g1∂y
)2
+
(∂g1∂z
)2
= 1
¨
x
S1
(w|dS) = −¨
S1
(w|−→n1
)dS = −
¨
D1
yzdydz = −1ˆ
0
1−yˆ
0
yzdzdy = − 124
Slično,
S2 . . . y = 0,
¨
x
S2
(w|dS) = −¨
D2
xzdxdz = − 124
S3 . . . z = 0,
¨
x
S3
(w|dS) = −¨
D3
xydxdy = − 124
b
Primjer (nastavak)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
29 / 40
Orjentacije plohex
S4 odgovara eksplicitnoj jednadžbi z = g4(x, y) = 1− x− yna trokutu D4, w(x, y, z) = (yz, xz, xy), n4 =
√3
3i+
√3
3j+
√3
3k
w ◦ r4 =
y(1− x− y)x(1− x− y)
xy
(w|−→n4
)=
√3
3
(y − yx− y2 + x− x2 − xy + xy
)
dS =
√
1 +
(∂g4∂x
)2
+
(∂g4∂y
)2
=√3
¨
S4
(w|−→n4
)dS =
ˆ 1
0
ˆ 1−x
0
(y − yx− y2 + x− x2
)dydx =
1
8¨
x
S
(w|dS) =4∑
k=1
¨
x
Sk
(w|dS) = 3 · −124
+1
8= 0
Lagano korištenjem teorema o divergenciji (poslije) . . .
b
bZadatak 1
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
30 / 40
Izračunati˜
x
Szdxdy ako je S elipsoidova polovica
z ≡ g(x, y) =√
1− x22− y2
3. . . ”Dešifrirajmo” w = zk. ”Dešifrirajmo”
D ={
x2
2+ y
2
3≤ 1}
(elipsa). ”Dešifrirajmo”x
S : vanjska ploha elipsoida
(normala prema van). Odredimo normalu:
dg
dx=
−x2√
1− x22− y2
3
,dg
dy=
− 23y
2√
1− x22− y2
3
,
−→n = −∂g∂x
i− ∂g∂y
j+ k =xi+ 2
3yj
2√
1− x22− y2
3
+ k
Normala −→n gleda prema van, to je u skladu s traženom orjentacijomx
S .
b
Zadatak 1 (nastavak)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Definicija
Primjer
Primjer - slika
Primjer (nastavak)
Primjer (nastavak)
Zadatak 1
Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremi
31 / 40
(w ◦ r|−→n
)=
0
0√
1− x22− y2
3
·
x
2
√
1− x22− y2
3
y
3
√
1− x22− y2
3
1
=
√
1− x2
2− y
2
3
Uvrstimo u formulu za integral druge vrste:
¨
x
S
zdxdy =
¨
D
(w ◦ r|−→n
)=
¨
x2
2+
y2
3≤1
√
1− x2
2− y
2
3dxdy
”polarne”koordinate
. . . x =√2r cosϕ, y =
√3r sinϕ detDψ =
√6r
¨
x
S
zdxdy =√6
2πˆ
0
1ˆ
0
√
1− r2r drdϕ = 2√6π
3
b b
bVažni teoremi
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)
Primjer
Zadatak
Nastavak (sfernekoordinate)
Stokesova formula
Primjer
Primjer (nastavak)
Zadatak
32 / 40
b
b Teorem o divergenciji (Ostrogradski-Gauss)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)
Primjer
Zadatak
Nastavak (sfernekoordinate)
Stokesova formula
Primjer
Primjer (nastavak)
Zadatak
33 / 40
Teorem (knjiga 6.4.3) w : X → R3 vektorsko polje (neprekidnodiferencijabilno),
x
S vanjska strana po djelovima glatke jednostavno zatvoreneplohe koja omeđuje zatvoreno područje V ⊂ X. Tada vrijedi:
˚
V
divw =
¨
x
S
(w|dS)
Plošni integral druge vrste na po djelovima glatkoj jednostavno zatvorenojplohi naziva se cirkulacija i može se označavati oznakom
‹
(w|dS)
Primjer
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)
Primjer
Zadatak
Nastavak (sfernekoordinate)
Stokesova formula
Primjer
Primjer (nastavak)
Zadatak
34 / 40
Izračunati˜
x
S(w|dS) ako je w(x, y, z) = (x2, y2, z2) i S = ∂V ,
V ={(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x, y, z ≤ 2
}. . .
Primijetimo da je V kocka s bridovima duljine 2, ima stranice S1, . . . , S6 seksplicitnim jednadžbama: g1 . . . x = 0, g2 . . . x = 2, g3 . . . y = 0,g4 . . . y = 2, g5 . . . z = 0, g6 . . . z = 2 i možemo traženi integral
˜
x
S(w|dS)
računati po dijelovima:Vanjske normale su n1 = −i− ∂g1∂y j−
∂g1∂z k = −i, n2 = −n1 = i, n3 =. . .
Međutim, sve to nije potrebno provoditi ako primjetimo da S = ∂V omeđujekocku i stoga je po djelovima glatka jednostavno zatvorena ploha — vrijediteorem od divergenciji
¨
x
S
(w|dS) =˚
V
divw
divw = 2(x+ y + z)
¨
x
S
(w|dS) = 22ˆ
0
2ˆ
0
2ˆ
0
(x+ y + z)dxdydz = 12
b
Zadatak
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)
Primjer
Zadatak
Nastavak (sfernekoordinate)
Stokesova formula
Primjer
Primjer (nastavak)
Zadatak
35 / 40
Izračunati˜
S−x cosα−y cos β−z cos γ
x2+y2+z2 dS ako je S središnja sfera polumjerar = 5, a cosα, cosβ, cos γ su smjerovni kosinusi unutrašnjih normalnihvektora. . .S . . . x2 + y2 + z2 = 25 i neka je n0 = − cosαi− cosβj− cos γk jediničnavanjska normala. Traži se
˜
x
S(w|dS) za w = xi+yj+zkx2+y2+z2 .Primijenimo teorem
o divergenciji
¨
x
S
(w|dS) =˚
V
divw
∂wx∂x
=x2 + y2 + z2 − 2x2
(x2 + y2 + z2)2
,∂wy∂y
= . . . ,∂wz∂z
= . . .
divw =1
x2 + y2 + z2˚
V
divw =
˚
{x2+y2+z2=25}
dxdydz
x2 + y2 + z2
b b
bNastavak (sferne koordinate)
36 / 40
Napraviti ćemo prijelaz u sferne koordinate
Ψ : {r ∈ [0, 5], ϕ ∈ [0, π], ξ ∈ [0, 2π]} →{(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 25
}
Ψ :
x = r sinϕ cos ξy = r sinϕ sin ξz = r cosϕ
DΨ =
sinϕ cos ξ r cosϕ cos ξ −r sinϕ sin ξsinϕ sin ξ r cosϕ sin ξ r sinϕ cos ξcosϕ −r sinϕ 0
det (DΨ) = r2 sinϕ
˚
{x2+y2+z2=25}
dxdydz
x2 + y2 + z2=
5ˆ
0
π̂
0
2πˆ
0
r2 sinϕ
r2dξdϕdr = 5 · 2 · 2π = 20π
Možete pokušati isto riješiti prijelazom na cilindrične koordinate.
b b
b
Stokesova formula
37 / 40
Teorem (knjiga 6.4.4) w : X → R3 vektorsko polje (neprekidno diferencijabilno),y
S ⊆ Xpo djelovima glatka ploha,
x
∂S (rub od S) sukladno usmjerena po djelovima glatka jednostavnozatvorena krivulja. Tada vrijedi
¨
y
S
(rotw|dS) =˛
x
∂S
(w|dr)
Drugi zapis gornje formule:
˛
x
∂S
Pdx+Qdy + Rdz =
=
¨
y
S
((∂R
∂y− ∂Q∂z
)
cosα+
(∂P
∂z− ∂R∂x
)
cosβ +
(∂Q
∂x− ∂P∂y
)
cos γ
)
dS
gdje je jedinična normala zapisana smjerovnim kosinusima −→n0 = (cosα, cosβ, cos γ)
b b PrimjerUvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)
Primjer
Zadatak
Nastavak (sfernekoordinate)
Stokesova formula
Primjer
Primjer (nastavak)
Zadatak
38 / 40
Izračunati¸
x
∂S(w|dr) ako je w(x, y, z) = (x− z, z − x, x− y) i
S ={(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ 1, x+ z = 1
}. . .
b
bPrimjer (nastavak)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)
Primjer
Zadatak
Nastavak (sfernekoordinate)
Stokesova formula
Primjer
Primjer (nastavak)
Zadatak
39 / 40
˛
x
∂S
(w|dr) =¨
y
S
(rotw|dS) =¨
y
S
(rotw ◦ r | −→n
)
w(x, y, z) =
x− zz − xx− y
=⇒ rotw =
−1− 1−1− 1−1
=
−2−2−1
=⇒ rotw ◦ r = −2i− 2j− kS . . . jednadžba z = g(x, y) = 1− x =⇒ −→n = i+ k
¨
y
S
(rotw ◦ r | −→n
)=
¨
{x2+y2≤1}
−3 dxdy = −32πˆ
0
1ˆ
0
r drdϕ = −3π
b
Zadatak
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Ploha
Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju
Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju
Važni teoremi
Teorem o divergenciji(Ostrogradski-Gauss)
Primjer
Zadatak
Nastavak (sfernekoordinate)
Stokesova formula
Primjer
Primjer (nastavak)
Zadatak
40 / 40
Primjenom Stokesove formule izračunati¸
x
∂Sx dx+ (x+ y) dy + (x+ y + z) dz ako je
S ={(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ 3, z = x+ y
}. . .
S zadan eksplicitno jednadžbom z = x+ y na domeni D koji je kružnicaradijusa
√3 oko nule. . .−→n = −i− j+ k Primijenimo Stokesovu formulu
˛
x
∂S
x dx+ (x+ y) dy + (x+ y + z) dz =
=
¨
S
(1− 0) cosα︸ ︷︷ ︸
=−1
+(0− 1) cosβ︸ ︷︷ ︸
=−1
+(1− 0) cos γ︸ ︷︷ ︸
=1
dS =
=
¨
{x2+y2≤3}
dx dy =
2πˆ
0
√3ˆ
0
r drdϕ = 3π
Uvodne napomenePlan današnjeg radaPlohaDefinicija plohePloha - druga definicijaPloha - treca definicijaJednostavan primjer''Pramac broda''Normalni vektoriSmjerovni kosinusiPrimjer racunanja normalePloština (površina)Primjer racunanja površine (1)Primjer racunanja površine (2)Usmjerenje ploheUsmjerenje - primjeriSukladno usmjerenje plohe i rubaPo djelovima glatka ploha
Plošni integral prve vrste - na skalarnom polju DefinicijaPrimjerNeke napomene
Plošni integral druge vrste - na vektorskom poljuDefinicijaPrimjerPrimjer - slikaPrimjer (nastavak)Primjer (nastavak)Zadatak 1Zadatak 1 (nastavak)
Važni teoremiTeorem o divergenciji (Ostrogradski-Gauss)PrimjerZadatakNastavak (sferne koordinate)Stokesova formulaPrimjerPrimjer (nastavak)Zadatak
Recommended