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7/25/2019 Manual Calculo Diferencial
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Unidad: Instituto Tecnolgico Superior de Edicin No. : 1
Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014
Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
INGENIERIA MECATRNICA
Clculo Diferencial
PRIMER SEMESTRE
MANUAL DE PRCTICAS
POR COMPETENCIAS
Elaborado por:
M.C. Alicia Enriqueta Prez Yebra
M.C. Vctor Gabriel Facundo Landa
Revisado por:Academia de Ingeniera Mecatrnica
Coatzacoalcos, Ver., 2014.
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Unidad: Instituto Tecnolgico Superior de Edicin No. : 1
Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014
Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
INTRODUCCION
La caracterstica ms sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian
los conceptos sobre los que se construye todo el Clculo: nmeros reales,
variable, funcin y lmite. Utilizando estos tres conceptos se establece uno de los
esenciales del Clculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de
cambio entre dos variables, nocin de trascendental importancia en las
aplicaciones de la ingeniera. Esta asignatura contiene los conceptos bsicos y
esenciales para cualquier rea de la ingeniera y contribuye a desarrollar en el
ingeniero un pensamiento lgico, formal, heurstico y algortmico. En el Clculo
diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para afrontar con
xito clculo integral, clculo vectorial, ecuaciones diferenciales, asignaturas de
fsica y ciencias de la ingeniera. Adems, encuentra, tambin, los principios y lasbases para el modelado matemtico.
Intencin didctica. La unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de
los nmeros reales y sus propiedades bsicas. Esto servir de sustento para el
estudio de las funciones de variable real, tema de la unidad dos. En la tercera
unidad se introduce el concepto de lmite de una sucesin, caso particular de una
funcin de variable natural. Una vez comprendido el lmite de una sucesin se
abordan los conceptos de lmite y continuidad de una funcin de variable real. En
la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razn de cambio, se
desarrolla el concepto de derivada de una funcin continua de variable real.
Tambin se estudian las reglas de derivacin ms comunes. Finalmente, en la
quinta unidad se utiliza la derivada en la solucin de problemas de razn de
cambio y optimizacin (mximos y mnimos).
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Unidad: Instituto Tecnolgico Superior de Edicin No. : 1
Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014
Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
Competencias a desarrollar
Comprender las propiedades de los nmeros reales para resolver desigualdades
de primer y segundo grado con una incgnita y desigualdades con valor absoluto,
representando las soluciones en la recta numrica real.
Comprender el concepto de funcin reale identificar tipos de funciones, as como
aplicar sus propiedades y operaciones.
Comprender el concepto de lmite de funciones y aplicarlo para determinar
analticamente la continuidad de una funcin en un punto o en un intervalo y
mostrar grficamente los diferentes tipos de discontinuidad.
Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que
estudia y analiza la variacin de una variable con respecto a otra.
Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizaciny de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de
aproximaciones.
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Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
NDICE.
Nmero Nombre Pgina
1 Nmeros reales 6
2 Funciones 12
3 Lmites laterales 15
4 Derivada 19
5 Aplicaciones de la derivada, Mximos y mnimos 24
6 Aplicaciones de la derivada. Optimizacin 31
Bibliografa 32
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Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014
Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
REGLAMENTO PARA LA ENTREGA DE PRCTICAS
Las prcticas se entregan en tiempo y forma, destacndose los siguientes puntos:
1. Solo se reciben las prcticas en la fecha acordada para su entrega.
2. La prctica debe cumplir con los requisitos que se solicitaron al 100%.
3. Deben de cumplir con el material que se les indica, segn sea el caso.
4. No se reciben prcticas con una esttica deficiente (ortografa, orden,
limpieza, coherencia).
5. La entrega de prctica la har el alumno, si se elabora en equipo todos sus
integrantes sern nombrados en la portada y lo entregar uno de ellos.
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Materia: Clculo Diferencial
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NMEROS REALES
Prctica 1
Objetivo:
Comprender las propiedades de los nmeros reales para resolver desigualdades
de primer y segundo grado con una incgnita y desigualdades con valor absoluto,
representando las soluciones en la recta numrica real.
Introduccin:
Una manera de representar geomtricamente los nmeros reales, consiste en
tomar una recta generalmente en forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en
ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha.
Se considera que cada punto de la recta corresponde a un nmero real y
viceversa, a cada nmero real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta.
Se establece de esta forma, una correspondencia biunvoca entre los nmeros
reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada
punto "es" un nmero real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de
los nmeros reales, se llama: RECTA REAL, o, tambin, RECTA NUMRICA.
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Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
En conclusin una escala numrica es una representacin grfica de los nmeros
reales por medio de los puntos de una recta. A cada nmero le corresponde un
solo punto de la recta y recprocamente.
Materiales:
Escuadras Compas de precisin
Hojas blancas
Procedimiento:
1. Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el
segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamar segmento
unitario; como punto de partida el 0, que en adelante se llamar origen;
como nmeros positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y
negativos, los que se dan a su izquierda, construir la recta real
2. Localizar los nmeros enteros, como aparecen en la siguiente figura.
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Materia: Clculo Diferencial
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3. Representar en la recta numrica los siguientes nmeros reales:
a) b) |3|c)
|3|
4. Para ciertos nmeros irracionales, su localizacin en la recta numrica se
logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitgoras
5. Construye una recta real y representa en ella los siguientes nmeros reales:
a) 10b) 17
c) 5
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Materia: Clculo Diferencial
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6. Seala con una cruz los nmeros racionales y encierra en un crculo los
nmeros irracionales.
e
e
ln
121
1515.1
1
66.1
3
15
100
10.0
5
3
2
1
1
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Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
Cuestionario:
Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la desigualdad (dar larespuesta en forma de intervalo, se califica procedimiento y resultado)
1
111
13
2
19
20
13
5
32
4
3
3
23
52
13
12
222
2
xxxxx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
035122
xx
032
xx
0452
xx
+ 43 |2 4| 17| 2| 5 > 4
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Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
Bibliografa:
Swokowski Earl W. Clculo con Geometra Analtica. Grupo Editorial Iberoamrica.
Leithold L. Clculo con geometra Analtica. Edit. OXFORD. University Press.
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Materia: Clculo Diferencial
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FUNCIONES
Prctica 2
Objetivo:
Comprender el concepto de funcin real y tipos de funciones, as como estudiar
sus propiedades y operaciones.
Introduccin:
La nocin de correspondencia aparece frecuentemente en la vida diaria. Por
ejemplo:
A cada libro de una biblioteca corresponde un nmero de pginas
A cada ser humano le corresponde una fecha de nacimiento
Si se registra la temperatura del aire a lo largo del da, entonces a cada instante
de tiempo corresponde una temperatura.
Estos ejemplos de correspondencia involucran dos conjuntos, dominio y recorrido.
Al conjunto de nmeros que tienen imagen mediante una funcin le llamamos
dominio de definicin de una funcin. El recorrido de una funcin es el conjunto de
todas las imagines de la funcin. Entonces, una funcin consiste en dos
conjuntos, dominio y recorrido (rango o imagen). A cada miembro del recorrido
debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio.
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Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
Si la relacin entre dos variables xy yes una en la que para cada valor de yhay
exactamente un valor dex, se dice que yes una funcin dex.
Materiales:
Lap top
Software Winplot
internet
Procedimiento:
1) Doble click en Winplot
2) Ventana, seleccionar 2 dim
3) Seleccionar el men Ecua, explicita, se abrir un cuadro de dialogo para
introducir la funcin.4) Introducir la funcin() = 9;de la siguiente manera, sqr(x^2-9)5) Seleccionar color y ancho de lpiz, dar ok
6) Cules son el dominio de f?
7) Sugerencia: ir al men ecua, seleccionar la liga inventario, en el cuadro de
dialogo que aparece seleccionar tabla, ah se podr observar la tabulacin
que realiz el software para hacer la grfica.
8) Hacer el mismo procedimiento para hacer la grfica y determinar el dominio
de las siguientes funciones
a)() = 1b)() =
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c)() = ln +
d)() = +6+
e)() = 1 4 Cuestionario:
Visitar la siguiente pgina y realizar la actividad sealadas con los incisos a y b.
Reportar resultados
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementale
s_2/valorabs.htm
Bibliografa:
Swokowski Earl W. Clculo con Geometra Analtica. Grupo Editorial Iberoamrica.
Leithold L. Clculo con geometra Analtica. Edit. OXFORD. University Press.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementales_2/valorabs.htm
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LMITES LATERALES
Prctica 3
Objetivo:
Comprender el concepto de lmite de funciones y aplicarlo para determinar
analticamente la continuidad de una funcin en un punto o en un intervalo y
mostrar grficamente los diferentes tipos de discontinuidad.
Introduccin:
Imagnate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemtica) en la que te
encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, as que te acercas. Te das
cuenta que estas cada vez ms cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte.
Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese
picaporte, no importa cunto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemtico
"lmite".
El concepto de lmite en Matemticas tiene el sentido de lugar hacia el que se
dirige una funcin en un determinado punto o en el infinito.
Desde el punto de vista del conjunto de los nmeros reales, que es denso (infinito
e infinitsimo), podemos encontrar entre dos nmeros consecutivos infinitos
nmeros: tomemos dos nmeros, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un nmero real
entre ellos, podemos tomar 4 que est entre 4 y 5, ahora un nmero que este
entre 4 y 4, por ejemplo 4.1, nuevamente busquemos un nmero entre 4 y 4.1, tal
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vez 4.01, y as sucesivamente ppodemos seguir as eternamente. Siempre nos
podremos acercar al nmero "4" todo lo que queramos sin llegar a l. Justamente
"4" es el lmite que no podemos tocar.
Materiales:
Lap top Software Winplot
Procedimiento:
Para calcular el1
1
2
1
x
x
lmx
realizar los siguientes pasos
1) Graficar utilizando winplot la funcin
.
2) Para realizar el clculo de limite lateral por la izquierda nos acercaremos a1 con valores ms pequeos que l, para ello hay que completar la
siguiente tabla
< 1 xf 0.9
0.99
0.9990.9999
3) Podemos concluir observando los resultados cul es ese valor que
queremos alcanzar, llamado lmite, entonces:
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lim
=4) Se realizarn los mismos pasos para calcular el lmite pero ahora
acercndonos por la derecha
> 1 xf 1.1
1.011.001
1.0001
lim 1
1 =
Cuestionario:
Graficar y estimar el valor del lmite sealando si se acerca por la izquierda o por
la derecha:
1)
4
2
4 x
x
lmx
2)
6
2
2
2 xx
x
lmx
3)
x
ex
x
lm 1
0
4)lims
5) lim
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Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
Bibliografa:
Swokowski Earl W. Clculo con Geometra Analtica. Grupo Editorial Iberoamrica.
Leithold L. Clculo con geometra Analtica. Edit. OXFORD. University Press.
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Materia: Clculo Diferencial
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DERIVADAS
Prctica 4
Objetivo:
Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que
estudia y analiza la variacin de una variable con respecto a otra.
Introduccin:
Todo fenmeno natural, desde las vibraciones cunticas de las partculas
subatmicas hasta el propio universo, es una manifestacin del cambio. Los
organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas
vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones da con da o de
un ao a otro. La historia, la poltica, la economa y el clima estn sujetos a
cambios constantes y con frecuencia desconcertantes.
Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las
marcas. Otros parecen ms complicados: las recesiones econmicas, los brotes
de enfermedades, las condiciones metereolgicas. Cambios de toda ndole
influyen en nuestras vidas.
Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el mundo
cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser
sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones
ocultos en los eventos que primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es
necesario:
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Representar los cambios en una forma comprensible.
Entender los tipos fundamentales de cambio
Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran.
Aplicar estas tcnicas al mundo exterior y
Controlar un universo cambiante para nuestro mayor provecho.
El medio ms eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemticas. Con las
matemticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar
la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y
percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemticas son el summum
en la transferencia de tecnologa: los patrones percibidos en un ejemplo
individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de
los negocios.
Materiales:
Lap top
Software Winplot
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Procedimiento:
1. Las grficas que aparecen a continuacin representan, en cada caso, la
variacin de la velocidad de una partcula que se mueve por una trayectoria
recta. Con base en ellas, describe, en cada caso, la variacin de la posicin
de la partcula y bosqueja, tambin en cada caso, la grfica
correspondiente.
cc c)a)
v
t
v
t
v
t
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2. La figura de la parte superior es la lnea (graduada en cm) en la cual, como
parte de un experimento, una partcula se movi durante 16 segundos. La
grfica de la parte inferior representa la variacin de la velocidad de dicha
partcula durante el movimiento, que inici en la posicin 10 cm.
Con base en la informacin que proporciona la grfica de la velocidad de la
partcula, contesta las siguientes cuestiones:
a) El valor de la velocidad inicial.
b) El intervalo o los intervalos de tiempo durante los cuales el mvil se movi
hacia la derecha
Trayectoria
-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-5
v
15
-10
5
10
0 1614 t2 4 6 10 128
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.
c) El instante o los instantes en los cuales cambi de direccin
d) El intervalo o los intervalos de tiempo durante los cuales el mvil iba
frenando.
e) El intervalo o los intervalos de tiempo durante los cuales el mvil se estaba
moviendo a la izquierda del origen, dirigindose a l aumentando su
velocidad.
Cuestionario:
Demostrar las siguientes derivadas:
= =
= ++ =
= =
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Materia: Clculo Diferencial
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= 1 2 = () = (2 3 ) () = 18 (2 3)() = 4 9 () = ()
= = ()
() = (2 5 ) () = ( )
= ( ) = ( )
= ( ) = 6
= = + +
= =
+
+
= + = (+)
= + =
()
= + =
+
=
=
(
)
= 3 4 = 6
= + = (+)
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Materia: Clculo Diferencial
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= + =
()
= +
= (+ ) ( )
Bibliografa:
Ayres Frank. Clculo diferencial e integral. Mc Graw Hill.
Granville William A. Clculo Diferencial e Integral. Edit. NoriegaLIMUSA
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MXIMOS Y MNIMOS
Prctica 5
Objetivo:
Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizacin y
de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de
aproximaciones.
Introduccin:
Muchos estudiantes estn capacitados para reconocer inmediatamente algunos
tipos bsicos de la variacin que correspondan a figuras en una grfica cartesiana.
Steve Monk ha entrevistado estudiantes de College al resolver el Problema de la
escalera (Monk,1990) usando un modelo fsico. El problema pide el movimientodel extremo superior de la escalera recargada sobre una pared cuando el extremo
inferior se mueve a velocidad constante sobre el piso. Mientras experimentan con
el modelo fsico a menudo los estudiantes expresan certeza acerca de la forma de
la grfica, an antes de determinar el eje o las unidades. Por ejemplo, uno de ellos
haba una forma como la de la figura 4 sera apropiada, y se esforzaban por
encontrar cules deberan ser las variables sobre los ejes de tal figura grfica para
mostrarla. Esta es una evidencia de que ha reconocido en el movimiento del
extremo superior de la ESCALERA como una variacin de crecimiento creciente y
su correspondencia con una figura grfica en particular. sta es una inversin del
supuesto ms usual de acerca de la construccin de una grfica cartesiana, esto
es, que primero se definen los ejes y las unidades y entonces se determina la
grfica; lo que muestra que el reconocimiento del tipo bsico de la variacin y su
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correspondiente figura pueden ser el primer paso en la construccin de la grfica
cartesiana, y el cual lleva a la seleccin apropiada de los ejes y las escalas.
Creemos que el enriquecimiento de las intuiciones de los estudiantes acerca de
los tipos bsicos de la variacin y de su comprensin de cmo estn conectadas
con el comportamiento de entidades matemticas, tales como nmeros, funciones
y ecuaciones, son objetivos centrales para la educacin matemtica. Las
investigaciones sobre la comprensin y el aprendizaje de los estudiantes acerca
de los tipos bsicos de la variacin tienen el potencial para describir la enseanza
de las matemticas del cambio, a travs de los niveles educacionales.
Figura 4
VolumenTasa
de
Tiempo Tiempo
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Materia: Clculo Diferencial
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Materiales:
Lap top
Software Winplot
Procedimiento:
Sabiendo que la velocidad de una partcula que se desplaza por una trayectoria
recta est representada analticamente por la expresin v(t)= t24t +2, en la que
v est medida en m/seg y t est medido en segundos, analiza y contesta las
siguientes cuestiones:
a) Analiza la variacin de la velocidad, bosqueja su grfica, descrbela y
determina:
i) Su valor inicial
ii) Los intervalos de tiempo en los cuales es positiva y aquellos en
los que es negativa
iii) Los instantes en los cuales vale cero.
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iv) Los intervalos de tiempo en los cuales es creciente y aquellos en
los cuales es decreciente.
v) El mximo y el mnimo valor en los primeros ocho segundos del
recorrido.
b) A partir del anlisis que hiciste de la variacin de la velocidad, contesta lo
pedido en los incisos b), c), d) y e) del problema # 2.
c) Sabiendo que la funcin velocidad es la derivada de la funcin posicin,
obtn esta ltima, es decir, determina cul es la funcin cuya derivada es la
funcin velocidad dada.
d) Utiliza la funcin posicin obtenida para calcular la distancia recorridadesde el instante t= 0, hasta el primer cambio de direccin.
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Unidad: Instituto Tecnolgico Superior de Edicin No. : 1
Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014
Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
e) Bosqueja la grfica de la funcin posicin y describe su variacin.
Cuestionario:
Calcular los mximos y mnimos de cada una de las funciones siguientes,
utilizando cualquiera de los dos criterios, hallar sus puntos de inflexin y bosquejar
su grfica:
2 12 3 2
3 2
3 4 12 2
Bibliografa:
Ayres Frank. Clculo diferencial e integral. Mc Graw Hill.
Granville William A. Clculo Diferencial e Integral. Edit. NoriegaLIMUSA
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Unidad: Instituto Tecnolgico Superior de Edicin No. : 1
Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014
Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
OPTIMIZACIN
Prctica 6
Objetivo:
Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizacin y
de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de
aproximaciones.
Materiales:
Lap top
Software Winplot
Procedimiento:
Resolver los siguientes problemas de optimizacin:
1. Se quiere disear un tanque de almacenamiento de crudo, para ello es
necesario hallar el dimetro que permite almacenar 10 000 litros, es
importante ahorrar en el material de acero al carbn que se requiere para
su construccin. Considere que el tanque debe estar tapado para evitar la
evaporacin del crudo y como medida de seguridad.
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Unidad: Instituto Tecnolgico Superior de Edicin No. : 1
Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014
Departamento: Ingeniera Mecatrnica
Materia: Clculo Diferencial
Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa
2. Se desea construir un depsito rectangular de base cuadrada, abierto por
arriba, Debe tener 125 de capacidad. Si el costo de las caras lateraleses de 2 pesos por , y el fondo es de 4 pesos por .Cules deben serlas dimensiones para que el costo sea mnimo?
Bibliografa:
Ayres Frank. Clculo diferencial e integral. Mc Graw Hill, 2005.
Granville William A. Clculo Diferencial e Integral. LIMUSA,2009
Leithold, Louis. El Clculo con Geometra Analtica, Editorial Oxford UniversityPress, 2009.