View
139
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
CĂTĂLIN ANGELO IOAN
Editura Universitară Danubius, Galaţi 2011
UNIVERSITATEA „DANUBIUS“ DIN GALAŢI
DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ SI FRECVENTA REDUSA
FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE
MATEMATICĂ
APLICATĂ ÎN ECONOMIE
Anul I, semestrul I
Matematică aplicată în Economie 2
© Toate drepturile pentru această lucrare sunt rezervate autorului. Reproducerea ei integrală sau fragmentară este interzisă.
Editura Universitară „Danubius” este recunoscută de Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice din Învăţământul Superior (cod 111/2006)
ISBN 978-606-533-035-1
Tipografia Zigotto Galaţi
Tel.: 0236.477171
Matematică aplicată în Economie 3
CUPRINS
1. Algebră liniară
Matrice şi determinanţi 9 Sisteme de ecuaţii liniare 16 Spaţii vectoriale reale 20 Aplicaţii liniare 25 Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii 28 Obiective specifice unităţii de învăţare Rezumat 41 Teste de autoevaluare 41 Bibliografie minimala 42
2. Analiză matematică
Spaţii topologice 44 Diferenţiabilitatea funcţiilor 53 Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea în serie Taylor
59
Extremele funcţiilor 68 Obiective specifice unităţii de învăţare Rezumat 72 Teste de autoevaluare 72 Bibliografie minimala 73 Lucrare de verificare 73
3. Teoria probabilităţilor
Elemente de teoria probabilităţilor 75 Variabile aleatoare. Funcţia de repartiţie. Densitatea de repartiţie 83 Procese stochastice. Lanţuri Markov 89 Principalele legi de repartiţie 92 Obiective specifice unităţii de învăţare Rezumat 93 Teste de autoevaluare 94 Bibliografie minimala 94
Matematică aplicată în Economie 4
4. Programare liniară
Probleme economice ce conduc la modelul matematic al programării liniare
96
Algoritmul simplex primal 97 Dualitate în programarea liniară 114 Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară 121 Problema de transport 128 Obiective specifice unităţii de învăţare Rezumat 134 Teste de autoevaluare 135 Bibliografie minimala 135
5. Matematici financiare
Dobânzi 137 Operaţiuni de scont 141 Plăţi eşalonate (rente) 145 Obiective specifice unităţii de învăţare Rezumat 151 Teste de autoevaluare 151 Bibliografie de elaborare a cursului 152 Lucrare de verificare 152
Bibliografie (de elaborare a cursului)
Răspunsuri la testele de autoevaluare
Matematică aplicată în Economie 5
INTRODUCERE Modulul intitulat Matematică aplicată în economie se studiază în anul I, semestrul I şi vizează dobândirea de competenţe în domeniul matematicii.
După ce se va învăţa modulul, vor fi dobândite următoarele competenţe generale:
• Cunoaşterea şi utilizarea adecvată a noţiunilor specifice disciplinei, explicarea şi interpretarea unor idei specifice acesteia, precum şi proiecte teoretice şi/sau practice de aplicare a noţiunilor specifice.
• Proiectarea şi evaluarea activităţilor practice specifice disciplinei; utilizarea unor metode, tehnici şi instrumente de investigare şi aplicare.
• Manifestarea unor atitudini pozitive şi responsabile faţă de domeniul ştiinţific în care se regăseşte disciplina, cultivarea unui mediu ştiinţific centrat pe valori şi relaţii democratice, valorificare optimă şi creativă a propriului potenţial în activităţile ştiinţifice, participarea la propria dezvoltare profesională.
Obiectivele cadru pe care le propun sunt următoarele:
• selectarea informaţiilor esenţiale din curs şi din bibliografie;
• formarea deprinderilor de calcul matematic în abordarea unor probleme economice complexe;
• dezvoltarea capacităţii de a modela o serie de obiecte economice.
Conţinutul este structurat în următoarele unităţi de învăţare:
- Algebră liniară - Analiză matematică - Teoria probabilităţilor - Programare liniară - Matematici financiare
În prima unitate de învăţare intitulată Algebră liniară se va regăsi operaţionalizarea următoarelor obiective specifice:
- să foloseşti în mod practic instrumentarul matriceal;
- să modelezi realitatea economică prin mijlocirea aplicaţiilor liniare şi transformarea biunivocă între spaţiile concrete şi cele abstracte;
- să recapitulezi, reformulând metodele de calcul al determinanţilor, inversei şi rangului unei matrice şi rezolvând sistemele de ecuaţii liniare;
Matematică aplicată în Economie 6
- să explici noţiunea de spaţiu vectorial ca generalizare a unor mulţimi studiate în anii anteriori;
- să operezi cu transportul de structuri de la aplicaţiile practice la cele teoretice şi invers;
- să utilizezi noţiunile de vector şi valoare proprie
după ce se va studia conţinutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciţii şi teste adecvate.
După ce se va parcurge informaţia esenţială, în a doua unitate de învăţare intitulată Analiză matematică se vor operaţionaliza, odată cu cunoştinţele oferite, noi obiective specifice:
- să explici noţiunea de spaţiu topologic;
- să defineşti diferenţiabilitatea funcţiilor;
- să descrii seriile numerice şi seriile de puteri;
- să determini extremele funcţiilor;
- să categoriseşti integralele improprii, duble şi triple
care vor permite să se aplice în probleme concrete de natură economică cunoştinţele învăţate. Ca să se poată evalua gradul de însuşire a cunoştinţelor, va fi rezolvată o lucrare de evaluare care după corectare va fi primită cu observaţiile adecvate şi cu strategia corectă de învăţare pentru modulele următoare.
În a treia unitate de învăţare intitulată Teoria probabilităţilor se va regăsi operaţionalizarea următoarelor obiective specifice:
- să defineşti noţiunea de probablitate;
- să aplici schemele de probabilitate;
- să explici indicatorii numerici ai variabilelor aleatoare;
- să determini regresia liniară
după ce se va studia conţinutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciţii şi teste adecvate.
În a patra unitate de învăţare intitulată Programare liniară se va regăsi operaţionalizarea următoarelor obiective specifice:
- să aplici corect algoritmul simplex;
- să interpretezi corect semnificaţia variabilelor duale;
- să modelezi rezolvând coprespunzător problemele de transport
după ce se va studia conţinutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciţii şi teste adecvate.
Matematică aplicată în Economie 7
După ce se va parcurge informaţia esenţială, în a cincea unitate de învăţare intitulată Matematici financiare se vor achiziţiona, odată cu cunoştinţele oferite, noi obiective specifice:
- să aplici noţiunile de dobândă simplă şi compusă;
- să calculezi scadenţe şi operaţiuni de scont;
- să detaliezi ratele de anuităţi şi împrumuturi
care vor permite să se aplice în probleme concrete de natură economică cunoştinţele învăţate. Ca să se poată evalua gradul de însuşire a cunoştinţelor, va fi rezolvată o lucrare de evaluare care după corectare va fi primită cu observaţiile adecvate şi cu strategia corectă de învăţare pentru modulele următoare.
Pentru o învăţare eficientă este nevoie de următorii paşi obligatorii:
• Să se citească modulul cu maximă atenţie; • Să se evidenţieze informaţiile esenţiale cu culoare, să fie notate pe
hârtie, sau adnotate în spaţiul alb rezervat; • Să se răspundă la întrebări şi să se rezolve exerciţiile propuse; • Să se simuleze evaluarea finală, autopropunându-vă o temă şi
rezolvând-o fără să apelaţi la suportul scris; • Să se compare rezultatul cu suportul de curs şi să vă explicaţi de ce aţi
eliminat (eventual) anumite secvenţe; • În caz de rezultat nesatisfăcător să se reia întreg demersul de învăţare.
Se vor primi, după fiecare capitol parcurs, lucrări de verificare, cu cerinţe clare, care vor trebui rezolvate, imediat ce s-au primit prin intermediul platformei de învăţământ sarcinile de rezolvat, în termen de maximum o săptămână; în acest fel vor fi îndeplinite obiectivele pe care le-am formulat. Se va răspunde în scris la aceste cerinţe, folosindu-vă de suportul de curs şi de resurse suplimentare (autori, titluri, pagini). Veţi fi evaluat după gradul în care aţi reuşit să operaţionalizaţi competenţele. Se va ţine cont de acurateţea rezolvării, de modul de prezentare şi de promptitudinea răspunsului. Pentru neclarităţi şi informaţii suplimentare veţi apela la tutorele indicat. 40% din notă va proveni din evaluarea continuă (cele două lucrări de verificare) şi 60% din evaluarea finală.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 8
1. ALGEBRĂ LINIARĂ
Matrice şi determinanţi 9
Sisteme de ecuaţii liniare 16
Spaţii vectoriale reale 20
Aplicaţii liniare 25
Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii
28
Obiectivele specifice unităţii de învăţare
Rezumat 41
Teste de autoevaluare 41
Bibliografie minimală 42
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
- să foloseşti în mod practic instrumentarul matriceal; - să modelezi realitatea economică prin mijlocirea aplicaţiilor liniare şi
transformarea biunivocă între spaţiile concrete şi cele abstracte; - să recapitulezi, reformulând metodele de calcul al determinanţilor,
inversei şi rangului unei matrice şi rezolvând sistemele de ecuaţii liniare;
- să explici noţiunea de spaţiu vectorial ca generalizare a unor mulţimi studiate în anii anteriori;
- să operezi cu transportul de structuri de la aplicaţiile practice la cele teoretice şi invers;
- să utilizezi noţiunile de vector şi valoare proprie.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 9
1.1. Matrice şi determinanţi
1.1.1. Noţiuni introductive
Pentru început să notăm Nm=1,...,m, m∈N*.
Definiţie
Se numeşte matrice de tipul m×n cu coeficienţi reali o funcţie A:Nm×Nn→R,
(i,j)→A(i,j)∈R.
Pentru ca operaţiile şi aplicaţiile matricelor să aibă o exprimare cât mai simplă vom conveni să aranjăm elementele unei matrice sub forma unui tablou:
A=
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
sau prescurtat A= ( )n,...,1jm,...,1iija
== , A=(aij), i=1,...,m, j=1,...,n (notaţie preferată aici din
motive de redactare) sau simplu A=(aij) dacă domeniile de variaţie ale lui i şi j sunt subînţelese din context. Elementul (ai1 ai2 ... ain) reprezintă linia “i” a
matricei A, i=1,...,m, iar
mj
j2
j1
a
a
a
M coloana “j” a matricei A, j=1,...,n. O matrice
cu o linie şi n coloane se numeşte matrice linie, iar o matrice cu m linii şi o coloană se numeşte matrice coloană. O matrice cu acelaşi număr de linii şi coloane, m=n, se numeşte matrice pătratică. Numărul n se numeşte ordinul matricei.
Vom nota cu Mmn(R) mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane şi cu Mn(R) mulţimea matricelor pătratice de ordinul n.
Considerând o matrice A∈Mn(R), mulţimea ordonată (a11,a22,...,ann) se numeşte diagonala principală a matricei, iar mulţimea ordonată (a1n,a2 n-1,...an1) se numeşte diagonala secundară a matricei.
Definiţie
Se numeşte aplicaţie de transpunere aplicaţia f:Mmn(R)→Mnm(R), f(A)=At
unde At=(a'ij), i=1,...,n, j=1,...,m iar a'ij=aji ∀i=1,...,n, j=1,...,m, A=(aji), j=1,...,m, i=1,...,n fiind matricea dată. Matricea At se numeşte transpusa lui A.
Transpusa unei matrice se obţine prin schimbarea liniilor în coloane sau a coloanelor în linii. Operaţia de transpunere nu păstrează tipul matricelor decât în cazul celor pătratice.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 10
Definiţie
Fie A,B∈Mmn(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte suma matricelor A şi B
matricea A+B=(cij)∈Mmn(R), cij=aij+bij ∀i=1,...,m, j=1,...,n.
Definiţie
Fie α∈R şi A∈Mmn(R), A=(aij). Se numeşte înmulţirea cu scalari a matricei
A cu α matricea αA=(cij)∈Mmn(R), cij=αaij ∀i=1,...,m, j=1,...,n.
Definiţie
Fie A∈Mmn(R), B∈Mnp(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte produsul matricelor
A şi B matricea AB=(cij)∈Mmp(R), cij=∑=
n
1kkjik ba ∀i=1,...,m, j=1,...,p.
Definiţie
Fie A∈Mn(R). Matricea A se numeşte inversabilă dacă ∃B∈Mn(R) astfel încât AB=BA=In.
Definiţie
Se numeşte permutare de m elemente (m≥1) o funcţie bijectivă σ:Nm→Nm.
Definiţie
Fie A∈Mn(R), A=(aij). Se numeşte determinantul lui A numărul:
det A= ∑∈σ
σσσεnS
)n(n)1(1 a...a)(
Definiţii
Fie o matrice A∈Mn(R), A=(aij). Fixăm liniile i1,...,ik şi coloanele j1,...,jk în matricea dată. Determinantul format cu elementele aflate la intersecţia liniilor şi coloanelor fixate se numeşte minor al matricei A şi se notează:
k1
k1
i...i
j...j∆ =
kk1k
k111
jiji
jiji
aa
aa
L
LLL
L
Determinantul obţinut prin eliminarea liniilor şi coloanelor fixate mai sus se
numeşte minor complementar lui k1
k1
i...ij...j∆ şi se notează k1
k1
i...ij...jδ . Numărul:
k1
k1
k1k1k1
k1
i...ij...j
j...ji...ii...ij...j )1( δ−=Γ +++++ se numeşte cofactorul sau complementul lui
k1
k1
i...ij...j∆ .
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 11
1.1.2. Rezultate esenţiale în calculul determinanţilor
Teoremă (Binet-Cauchy)
Fie m,n∈N*, m≤n şi A∈Mmn(R), B∈Mnm(R). Atunci:
∑≤<<≤ nj...j1
j...jj...j
m1
m1
m1B detA det=AB det
Corolar
Fie A,B∈Mn(R). Atunci det AB=det A⋅det B.
Definiţie
Fie A∈Mmn(R), A=(aij). Fie p∈N* astfel încât 1≤p<m şi r∈N* astfel încât
1≤r<n. Definim patru matrice B∈Mpr(R), C∈Mp,n-r(R), D∈Mm-p,r(R), E∈Mm-
p,n-r(R) astfel:
=
=
=
=
++++
+
+
mn1m
n 1p1+r 1p
mr1m
r 1p1 1p
pn1r p
n11r 1
pr1p
r111
aa
aa
E ,
aa
aa
D
,
aa
aa
C ,
aa
aa
B
L
LLL
L
L
LLL
L
L
LLL
L
L
LLL
L
Se spune în acest caz că am partiţionat matricea A în blocurile B, C, D, E.
Vom scrie A=
ED
CB.
Propoziţie
Fie A∈Mn(R) şi B∈Mk(R), C∈Mn-k(R) unde k<n astfel încât A=
C0
0B. Are
loc atunci următoarea egalitate:
det A=det B⋅det C
Teoremă (Laplace)
Fie A∈Mn(R) şi i1,...,ik linii fixate în matrice. Atunci:
det A= ∑≤<<≤
Γ∆nj...j1
i...ij...j
i...ij...j
k1
k1
k1
k1
k1
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 12
1.1.3. Rangul unei matrice
Definiţie
Se numeşte rang al unei matrice, maximul ordinelor minorilor nenuli ai matricei date.
Definiţie
Se numesc transformări elementare ale unei matrice următoarele:
i) permutarea liniilor sau coloanelor;
ii) înmulţirea unei linii (coloane) cu un factor nenul;
iii) adunarea a două linii (coloane).
Propoziţie
Rangul unei matrice este invariant la transformări elementare.
Propoziţie
Fie A=
C0
0B. Atunci: rang A=rang B+rang C
Sarcina de lucru 1
Aplicând teorema Laplace să se calculeze determinantul:
83402
34217
18453
10705
30102
−
−
−
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 13
Definiţii
O matrice de forma A=
kk
k222
k11211
A00
AA0
AAA
L
LLLL
L
L
unde Aii, i=1,...,k sunt matrice
pătratice se numeşte matrice superior cvasitriunghiulară. Transpusa unei matrice superior cvasitriunghiulare se numeşte matrice inferior cvasitriunghiulară. O matrice inferior (superior) cvasitriunghiulară cu
blocurile Aij=0 ∀i≠j=1,...,k se numeşte matrice cvasidiagonală. O matrice A în care blocurile Aij, i,j=1,...,k sunt matrice de ordin 1 se numeşte matrice superior triunghiulară, matrice inferior triunghiulară respectiv matrice diagonală. Dacă matricea Akk este nulă şi nu neapărat pătratică vom spune că A este matrice trapezoidală. Vom numi bloc diagonal principal (sau uneori bloc diagonal) un bloc al matricei care are diagonala principală inclusă în diagonala principală a matricei date.
Propoziţie
Determinantul unei matrice cvasidiagonale sau cvasitriunghiulare este egal cu produsul determinanţilor blocurilor diagonale principale.
1.1.4. Regula dreptunghiului
Fie deci A=(aij)∈Mmn(R). Fixăm două linii i şi j şi două coloane k şi p în matricea A astfel încât aik≠0. Avem deci:
Sarcina de lucru 2
Să se determine rangul matricei: A=
−
300000
850000
624100
916500
698342
687321
.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 14
Vom numi elementul aik≠0 pivot. Înmulţind linia i cu ik
jk
a
a− şi adunând-o la
linia j obţinem a'jk=0 unde notăm cu ' elementele transformate. Avem atunci
pentru un element oarecare ajp: a'jp=ik
jkipjpik
a
aaaa −. Regula de obţinere a lui a'jp
din ajp se numeşte regula dreptunghiului. Într-adevăr, împrumutând denumiri matriceale, construind dreptunghiul cu diagonala principală (în sensul de mai jos) determinată de pivot şi de elementul supus transformării, obţinem că noul element va fi dat de scăderea produsului elementelor de pe diagonala secundară din produsul celor de pe diagonala principală, rezultatul împărţindu-se la pivot. Cum pivotul este nenul, putem să mai facem o transformare elementară înmulţind linia i cu pivotul. În acest caz, avem: a'jp=aikajp-aipajk. Vom conveni să distingem regulile după cele două moduri de transformare numindu-le regula dreptunghiului cu împărţire la pivot, respectiv fără împărţire la pivot. Vom prefera însă regula dreptunghiului fără împărţire la pivot din două motive: pe de o parte reduce numărul de calcule, iar pe de alta, reduce erorile de rotunjire ce apar în urma prelucrării cu mijloace de calcul. Din acest motiv, vom spune simplu regula dreptunghiului (specificând explicit faptul că este cu împărţire la pivot atunci când va fi cazul).
Pentru determinarea rangului lui A vom proceda astfel: dacă A=0 atunci rang A=0. Dacă A≠0 atunci ∃aij≠0. Dacă i,j≠1 atunci prin permutări de linii şi coloane se poate aduce acest element în colţul din stânga-sus al matricei. Putem deci presupune că a11≠0. Considerându-l pe a11 drept pivot şi aplicând regula dreptunghiului pentru liniile 2,...,m obţinem matricea A1∼A:
A1=
mn3m2m
n33332
n22322
n1131211
'a'a'a0
'a'a'a0
'a'a'a0
'a'a'a'a
L
LLLLL
L
L
L
Procesul se continuă apoi pentru sub-matricea obţinută din A1 prin eliminarea primei linii şi primei coloane obţinându-se în final o matrice Ak∼A (relaţia este tranzitivă):
=
LLLLL
LLL
LLLLL
LLL
LLLLL
jpjk
ipik
aa
aa
A
pivot
+ -
ele
mentu
l de
transfo
rmat
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 15
Ak=
000
000
'a'a0
'a'a'a
knkk
n1k111
LL
LLLLL
LL
LL
LLLLL
LL
unde am notat tot cu ' elementele transformate fără a le confunda însă cu cele din A1. Ultimele linii pot evident lipsi în cazul în care k=m (să mai notăm aici
şi faptul că rang A≤minm,n). Conform corolarului 45, avem rang A=rang Ak=rang(a11)+...+ rang(akk)=k deci rangul este egal cu numărul pivoţilor.
1.1.5. Inversabilitatea matricelor
Teoremă Fie A∈Mn(R). A este inversabilă⇔det A≠0. Teoremă Dacă printr-o succesiune de transformări elementare asupra liniilor (coloanelor) unei matrice A se obţine matricea unitate I atunci considerând aceleaşi transformări aplicate matricii unitate I se obţine matricea inversă A-1. Teoremă
Fie matricea A=
43
21
AA
AA unde A∈Mn(R), A1∈Mk(R), A2∈Mk,n-k(R),
A3∈Mn-k,k(R), A4∈Mn-k,n-k(R), 1≤k≤n-1. Dacă matricele A1, A4, A1-A2A4-
Sarcina de lucru 3
Să se determine rangul matricei: A=
−−
−
−
353431
858350
624124
917643
698342
687321
folosind regula dreptunghiului.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 16
1A3 şi A4-A3A1-1A2 sunt inversabile atunci A-1=
43
21
BB
BB unde: B1=(A1-
A2A4-1A3)
-1, B4=(A4-A3A1-1A2)
-1, B2= -A1-1A2B4 şi B3= -A4
-1A3B1.
1.2. Sisteme de ecuaţii liniare 1.2.1. Noţiuni introductive
Definiţii
Se numeşte sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute problema determinării numerelor reale xi∈R astfel încât:
=+++
=+++
mnmn22m11m
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
L
unde aij∈R, bi∈R, i=1,...,m, j=1,...,n. Numerele reale aij se numesc coeficienţii sistemului, bi se numesc termenii liberi ai sistemului iar xi - necunoscutele
sau variabilele sistemului. Matricea A=(aij)∈Mmn(R) se numeşte matricea
sistemului, B=(bi)∈Mm1(R)-matricea termenilor liberi, iar X=(xi)∈Mn1(R)- matricea necunoscutelor. Definim, de asemenea, matricea Ae=(A,B) obţinută prin adăugarea lui B la dreapta matricei A. Matricea Ae se numeşte matricea extinsă a sistemului. Cu aceste notaţii, sistemul de mai sus se scrie şi sub forma AX=B. Dacă B=0 acesta se numeşte sistem omogen. O altă notaţie a
Sarcina de lucru 4
Să se inverseze matricea: A=
1274
2321
3435
4312
.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 17
unui sistem se obţine considerând vectorii coloană aj=(a1j a2j ... amj)t, j=1,...,n ai
matricei A. Sistemul se va scrie atunci: Bxan
1jj
j =∑=
.
Definiţie
Considerând un sistem de ecuaţii AX=B se numeşte soluţie a sistemului un
vector X=(x1,...,xn)t∈Mn1(R) ce satisface egalitatea matriceală AX=B.
Definiţii
Un sistem care admite soluţie se numeşte sistem compatibil. Dacă soluţia este unică, atunci el se numeşte sistem compatibil determinat, în caz contrar, numindu-se sistem compatibil nedeterminat. Un sistem care nu are soluţie se numeşte sistem incompatibil.
Teoremă (Kronecker-Capelli)
Un sistem este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei sale extinse.
Definiţie
Fiind dat sistemul AX=B numim sistem omogen asociat, sistemul AX=0.
Propoziţie
Fie sistemul AX=B şi X0 o soluţie a sa. Atunci, orice soluţie este de forma X=X0+Y unde Y este soluţie a sistemului omogen asociat. Reciproc, pentru orice soluţie Y a sistemului omogen asociat rezultă că X=X0+Y este soluţie a sistemului dat.
Sarcina de lucru 5
Să se studieze dacă sistemul:
=+
=+
=+
=+−+
75t2y
-23z4x
0t-3z5y-3x
2t7z3y5x2
este compatibil
determinat.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 18
1.2.2. Metoda lui Gauss
Fie sistemul AX=B cu n ecuaţii şi n necunoscute, iar rang A=n. Fie matricea extinsă Ae. Ideea folosită aici este cea de la determinarea rangului unei matrice. Dacă Ae este supusă transformărilor elementare cu pivoţi numai din A atunci rangurile celor două matrice rămân invariante, compatibilitatea sistemului conservându-se. Ne propunem să analizăm efectul transformărilor elementare asupra soluţiilor sistemului. Astfel, la permutarea a două linii ale lui Ae efectul va fi de permutare a ecuaţiilor sistemului ceea ce evident nu alterează soluţiile. Amplificarea unei linii cu un factor nenul se transpune în amplificarea ecuaţiei respective, iar adunarea a două linii reprezintă adunarea ecuaţiilor corespunzătoare, niciuna din variante nemodificând soluţiile. Transformările elementare aplicate coloanelor modifică în general soluţiile, singurul efect minor apărând la permutarea coloanelor ceea ce duce la renumerotarea variabilelor. Aplicând deci regula dreptunghiului pe linii, sistemul capătă forma:
=
=++
=+++
nnnn
2nn2222
1nn1212111
bxa
bxa...xa
bxa...xaxa
L
cu aii≠0, i=1,...,n (deoarece rang A=n). Înlocuind succesiv soluţiile în ecuaţiile de deasupra obţinem:
−=−−−
=
=
+ 1,...,1nk ,a
xa...xabx
a
bx
kk
1k1+k knknkk
nn
nn
Exemplu: Să se studieze compatibilitatea, iar în caz afirmativ să se rezolve
prin metoda Gauss sistemul:
=++++
=+−+
=+++
3z)3a(ayx)1a(3
a2zy)1a(ax
az2yx)3a(
, a∈R.
Soluţie Vom nota la permutarea a două coloane a matricei extinse noua
ordine a necunoscutelor deasupra acesteia pentru ca în cazul compatibilităţii
să le putem recupera corect din sistem.
Avem: Ae=
++
−
+
3
a2
a
3aa3a3
11aa
213a
zy x
∼
++
−
+
3
a2
a
3a33aa
a11a
3a21
x zy
∼
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 19
−
+−
−−
+−−−
+
2
2
2
2
a3
a3a
a
a3a30
3aaa230
3a21
x zy
. Dacă a=3
2 atunci rezultă că:
rang Ae=rang A=3 iar sistemul devine:
14=17x
23=23x+21z
2=11x+6z+3y
de unde:
119
326y ,
119
23z ,
17
14=x −== . Dacă a≠
3
2 atunci:
Ae∼
+−+
+−
−
+−−−
+
9a15a3a
a3a
a
)1a(a00
3aaa230
3a21
x zy
23
2
2
2 de unde se obţine că a=0 sau
a=1⇒rang(Ae)=3≠2=rang(A) deci sistemul este incompatibil iar în caz
contrar este compatibil iar soluţia este: x=)1a(a
9a15a3a2
23
−
+−+,
z=)1a(a
18a45a15a18a82
234
−
−+−−, y=
)1a(a
9a54a36a29a162
234
−
+−++−.
Sarcina de lucru 6
Să se studieze compatibilitatea, iar în caz afirmativ să se rezolve prin metoda Gauss sistemul:
=+++
=−++
=++−
4z)3a2(ayx
a5z3y)1a2(x
a3zy2x)2a(
, a∈R.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 20
1.3. Spaţii vectoriale reale 1.3.1. Definiţie, reguli de calcul, subspaţii vectoriale
Definiţie
Fie câmpul numerelor reale R şi V o mulţime nevidă. V se numeşte spaţiu vectorial real dacă există o lege de compoziţie internă +:V×V→V şi o lege de compoziţie externă ⋅:R×V→V astfel încât:
1) (x+y)+z=x+(y+z) ∀x,y,z∈V;
2) ∃e∈V astfel încât ∀x∈V⇒e+x=x;
3) ∀x∈V⇒∃x'∈V astfel încât x'+x=e;
4) α(x+y)=αx+αy ∀α∈R ∀x,y∈V;
5) (α+β)x=αx+βx ∀α,β∈R ∀x∈V;
6) (αβ)x=α(βx) ∀α,β∈R ∀x∈V;
7) 1x≠0 ∀x∈V, x≠0.
Vom nota în cele ce urmează V/R faptul că V este spaţiu vectorial peste câmpul R sau, uneori, simplu V.
Propoziţie (reguli de calcul)
Fie V/R. Atunci:
a) (V,+) este grup cu elementul neutru 0 şi -x elementul opus lui x∈V;
b) α(x-y)=αx-αy ∀α∈R ∀x,y∈V;
c) (α-β)x=αx-βx ∀α,β∈R ∀x∈V;
d) ∑∑∑∑= ===
α=αn
1i
m
1jji
m
1jj
n
1ii yy ∀m,n∈N* ∀αi∈R, i=1,...,n ∀yj∈V, j=1,...,m;
e) α0=0 ∀α∈R;
f) 0x=0 ∀x∈V;
g) 1x=x ∀x∈V;
h) αx=0⇒α=0 sau x=0;
i) α(-x)=(-α)x=-αx ∀α∈R ∀x∈V;
j) (-α)(-x)=αx ∀α∈R ∀x∈V;
k) x+y=y+x ∀x,y∈V;
l) Fie σ∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Atunci: ∑∑=
σ=
=n
1i)i(
n
1ii xx
∀n∈N* ∀xi∈V, i=1,...,n.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 21
Definiţie
Fie V/R şi U⊂V. U se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă operaţiile induse de pe V pe U conferă lui U o structură de spaţiu vectorial real. Vom nota U<V.
Definiţie
Fie V/R şi v1,...,vn∈V, α1,...,αn∈R, n∈N*. Vectorul v=α1v1+...+αnvn se numeşte combinaţie liniară a vectorilor vi, i=1,...,n.
Noţiunea de combinaţie liniară furnizează cea mai largă operaţie complexă care se poate efectua într-un spaţiu vectorial.
Teoremă
Fie V/R şi U⊂V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) U este subspaţiu vectorial al lui V;
2) ∀x,y∈U ∀α∈R⇒x+y∈U,αx∈U;
3) ∀α,β∈R ∀x,y∈U⇒αx+βy∈U;
4) ∀n∈N* ∀αi∈R ∀vi∈U, i=1,...,n⇒α1v1+...+αnvn∈U.
Propoziţie
Fie V/R şi v1,...,vn∈V, n∈N*. Atunci:
<v1,...,vn>= α1v1+...+αnvnαi∈R, i=1,...,n
este un subspaţiu vectorial al lui V şi este cel mai mic (în sensul incluziunii) subspaţiu care conţine pe v1,...,vn.
Definiţie
Numim <v1,...,vn> subspaţiul generat de sistemul de vectori v1,...,vn.
Propoziţie
Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1∩U2<V.
Propoziţie
Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1+U2=v+wv∈U1, w∈U2<V.
Exemplu:
Fie în R3 mulţimile U1=(a+b,2a-b,a)a,b∈R şi U2=(c+2d,2c+d,-3c-d)
c,d∈R.
1) Să se arate că U1<R3 şi U2<R
3;
2) Să se determine U1∩U2;
3) Să se arate, folosind definiţia, că U1∩U2<R3.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 22
Soluţie 1)Fie x=(a+b,2a-b,a)∈U1 şi y=(a'+b',2a'-b',a')∈U1 şi α,β∈R. Avem
αx+βy=α(a+b,2a-b,a)+β(a'+b',2a'-b',a')=(αa+αb,2αa-αb,αa)+
(βa'+βb',2βa'-βb',βa')=((αa+βa')+(αb+βb'),2(αa+βa')-(αb+βb'),
(αa+βa'))∈U1 deci U1<R3. Putem proceda însă mult mai simplu. Fie x∈U2.
Avem x=(c+2d,2c+d,-3c-d)=(c,2c,-3c)+(2d,d,-d)=c(1,2,-3)+d(2,1,-1). U2 este
deci un spaţiu vectorial generat de vectorii (1,2,-3) şi (2,1,-1). 2)Fie
x∈U1∩U2. Atunci ∃a,b,c,d∈R astfel încât x=(a+b,2a-b,a)=(c+2d,2c+d,-3c-d).
Din sistemul:
−−=
+=−
+=+
dc3a
dc2ba2
d2cba
obţinem în final x=(-3c,0,-c), c∈R. Reciproc,
dacă x = (-3c,0,-c), c ∈ R, considerând a = -c, b = -2c ⇒ x ∈ U1 iar dacă d =
-2c⇒x∈U2 deci x∈U1∩U2. Prin urmare U1∩U2=(-3c,0,-c) c∈R. 3)Fie x =
(-3a,0,-a) şi y=(-3b,0,-b) vectori din U1∩U2. Pentru α,β∈R, arbitrari,
avem:αx+βy=(-3(αa+βb),0,-(αa+βb))∈U1∩U2 deci U1∩U2<R3.
1.3.2. Sisteme de generatori, dependenţă liniară, baze
Definiţie
Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V unde n∈N*. S se numeşte sistem (finit) de
generatori pentru V dacă ∀v∈V⇒∃α1,...,αn∈R astfel încât v=α1v1+...+αnvn. V se numeşte spaţiu vectorial finit generat şi vom scrie V=<v1,...,vn>.
Definiţie
Două sisteme de vectori ai unui spaţiu vectorial se numesc sisteme echivalente de vectori dacă generează acelaşi subspaţiu.
Propoziţie
Două sisteme de vectori sunt echivalente dacă şi numai dacă vectorii din fiecare sistem sunt combinaţii liniare de vectorii celuilalt sistem.
Sarcina de lucru 7
Fie d∈R–fixat şi U=aX3+bX2+cX+da,b,c∈R. Să se cerceteze
dacă U<R[X].
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 23
Definiţie
Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte
sistem liniar independent (finit) de vectori din V dacă ∀α1,...,αn∈R astfel
încât α1v1+...+αnvn=0⇒α1=0,...,αn=0. Vom scrie, pe scurt, ind S.
Definiţie
Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte sistem liniar dependent (finit) de vectori din V dacă nu este liniar
independent, adică ∃α1,...,αn∈R, nu toţi nuli, astfel încât α1v1+...+αnvn=0. Vom scrie, pe scurt, dep S.
Propoziţie
Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V. Atunci dep S⇔∃1≤k≤n, astfel încât vk=∑≠=
αn
ki1i
ii v .
Definiţie
Fie V/R. Un sistem de vectori din V se numeşte bază dacă este sistem de generatori şi sistem liniar independent.
Fie V/R şi B=v1,...,vn⊂V o bază. Fie v∈V, arbitrar. Atunci ∃α1,...,αn∈R
astfel încât v=∑=
αn
1iii v . Sistemul de scalari (α1,...,αn) fiind unic determinat de
vectorul v şi baza dată, poartă numele de coordonate ale vectorului v în baza
dată. Vom mai scrie şi vB=(α1,...,αn)t=
α
α
n
1
... unde αi, i=1,...,n sunt
coordonatele lui v în baza B. Dacă adoptăm o astfel de scriere condensată a unui vector, va trebui să considerăm baza ca fiind ordonată, în caz contrar, la o permutare a vectorilor bazei permutându-se şi coordonatele respective.
Fie acum V/R şi o bază B==v1,...,vn⊂V. Fie, de asemenea, vectorii v,w∈V,
v=∑=
αn
1iii v , w=∑
=
βn
1iii v , αi,βi∈R, i= n,1 . Avem: v+w= ∑∑
==
β+αn
1iii
n
1iii vv =
∑=
β+αn
1iiii v)( şi cum toate descompunerile sunt unice, rezultă că putem scrie
formal: (α1,...,αn)t+(β1,...,βn)
t=(α1+β1,...,αn+βn)t. Prin urmare, adunarea a doi
vectori se poate face adunându-i pe coordonate. Analog, pentru α∈R, arbitrar,
avem αv= ∑=
ααn
1iiiv = ∑
=
ααn
1iiiv , deci, formal: α(α1,...,αn)
t=(αα1,...,ααn)t, de
unde rezultă că înmulţirea unui vector cu un scalar se face pe coordonate.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 24
Din aceste consideraţii, vedem că noţiunea de bază este fundamentală în studiul spaţiilor vectoriale, deoarece reduce operaţiile definitorii la operaţii algebrice între coordonate.
Teoremă
Orice spaţiu vectorial nenul admite o bază.
Teoremă
Dacă B este o bază a lui V/R, atunci orice altă bază B' a lui V/R are card B'=card B.
Definiţie
Fie V/R. Se numeşte dimensiunea lui V numărul vectorilor unei baze. Vom nota aceasta cu dim V.
Exemplu:
Să se arate că în spaţiul vectorial R3 sistemul de vectori v1=(1,2,3)
t,
v2=(3,4,2)t, v3=(1,1,-1)
t este sistem de generatori.
Soluţie Pentru ca vectorii daţi să constituie un sistem de generatori trebuie ca
rangul matricei A=
−123
142
131
să fie maxim adică det A≠0. Avem însă det
A=1 deci sistemul dat este de generatori.
Sarcina de lucru 8
Fie în R4 vectorii v1=(1,0,1,2)t, v2=(2,1,0,3)t, v3=(1,4,α,2)t, v4=(5,1,3,2)t,
α∈R. Să se determine α∈R astfel încât sistemul de vectori v1,v2,v3,v4 să fie un sistem de generatori pentru R4.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 25
1.4. Aplicaţii liniare 1.4.1. Noţiuni introductive. Comportarea aplicaţiilor liniare la operaţiile cu subspaţii
Definiţie
Fie V/R şi W/R. O aplicaţie f:V→W se numeşte morfism de spaţii vectoriale sau aplicaţie R-liniară sau, simplu, aplicaţie liniară dacă satisface următoarele axiome:
1) f(x+y)=f(x)+f(y) ∀x,y∈V-aditivitatea;
2) f(αx)=αf(x) ∀x∈V ∀α∈R-omogenitatea.
Propoziţie
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci:
1) f(0)=0;
2) f(-v)=-f(v) ∀v∈V.
Propoziţie
Fie V/R, W/R şi f:V→W. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f este aplicaţie liniară;
2) f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) ∀α,β∈R ∀x,y∈V;
3) ∑∑==
α=
α
n
1iii
n
1iii )v(fvf ∀αi∈R ∀vi∈V, i=1,...,n, n≥1.
Propoziţie
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Dacă V'<V, W'<W atunci f(V')<W şi f-1(W')<V.
Corolar
Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). În acest caz, imaginea aplicaţiei liniare Im f<W, iar
nucleul acesteia (kernel (engl.)=nucleu) Ker f=x∈V f(x)=0<V.
Propoziţie
Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). Atunci:
1) f este injectivă ⇔Ker f=0;
2) f este surjectivă ⇔Im f=W.
Definiţie
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 26
Fie V/R, W/R. f∈L(V,W) se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale dacă
∃g∈L(W,V) astfel încât f°g=1W, g°f=1V.
Propoziţie
Fie V/R şi V1,V2<V astfel încât V=V1⊕V2. Fie f∈L(V,W), injectivă. Atunci:
f(V1⊕V2)=f(V1)⊕f(V2).
Teoremă (fundamentală de izomorfism)
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci V/Ker f≅Im f.
Corolar
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci: dim V=dim Ker f+ dim Im f.
Corolar
Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci:
1) f este injectivă⇒dim V≤dim W;
2) f este surjectivă⇒dim V≥dim W;
3) f este bijectivă⇒dim V=dim W.
Propoziţie
Fie V/R, W/R, Z/R. Dacă f,g∈L(V,W) şi h∈L(W,Z) atunci f+g∈L(V,W),
αf∈L(V,W) ∀α∈R, h°g∈L(V,Z).
Teoremă
Fie V/R, W/R. Atunci: V≅W⇔dim V=dim W.
Corolar
Fie V/R, dim V=n. Avem V≅Rn.
Fie acum V/R cu o bază B=e1,...,en şi W/R cu o bază B'=f1,...,fm. Fie
T∈L(V,W). Avem ∀i=1,...,n⇒T(ei)∈W şi cum B' este bază în W rezultă că
T(ei) se descompune după ea. Avem deci T(ei)=∑=
m
1jjjifa , aji∈R, i=1,...,n,
j=1,...,m. Vom numi matricea ( )n,...,1im,...,1jjia
== matricea asociată aplicaţiei liniare T
în bazele B şi B'. Vom mai scrie şi [T]BB' de câte ori va fi necesar. Avem astfel:
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 27
[T]BB'=
↓↓↓
→
→
→
mn2m1m
n22221
n11211
f dupa componenta
...
f dupa componenta
f dupa componenta
a...aa
............
a...aa
a...aa
)e(T
)e(T
)e(T
m
2
1
n21
Fie v∈V. Atunci v=∑=
αn
1iiie cu αi∈R, i=1,...,n. Avem:
T(v)=T(∑=
αn
1iiie )=∑
=
αn
1iii )e(T = ∑ ∑∑∑
= ===
α=α
m
1jj
n
1iiji
m
1jjji
n
1ii fafa
Ţinând seama de convenţia de scriere a unui vector pe coloană avem
(T(v))B'=[T]BB'vB.
Exemplu:
Fie aplicaţia f:R3→R
3, f(x1,x2,x3)=(3x1-x2+x3,2x1+x2,-x1+x3).
1) Să se arate că f este operator liniar;
2) Să se determine Ker f şi Im f;
3) Să se stabilească dacă f este injectivă, surjectivă, bijectivă.
Soluţie 1) Se procedează ca la problema 1 obţinându-se [f]=
−
−
101
012
113
.
2) Fie x=(x1,x2,x3)∈R3 astfel încât f(x)=0. Avem sistemul:
=+−
=+
=+−
0xx
0xx2
0xxx3
31
21
321
de unde x1=x2=x3=0 deci x=0 şi Ker f=0. Fie acum y=(y1,y2,y3)∈R3 şi
ecuaţia f(x)=y. Avem deci sistemul:
=+−
=+
=+−
331
221
1321
yxx
yxx2
yxxx3
care este compatibil
determinat de unde rezultă că ∃x∈R3 astfel încât f(x)=y. Prin urmare Im
f=R3. 3) Deoarece Ker f=0 rezultă f-injectivă iar faptul că Im f=R
3 implică
faptul că f este surjectivă, deci, în final, f-bijectivă.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 28
1.5. Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii 1.5.1. Aplicaţii multiliniare
Definiţie
Fie V1,...,Vn,W spaţii vectoriale peste R. O aplicaţie f:∏=
n
1iiV →W se numeşte
aplicaţie n-liniară (aplicaţie multiliniară) dacă este liniară în fiecare argument adică:
f(x1,...,xi-1,axi+byi,xi+1,...,xn)=af(x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn)+bf(x1,...,xi-1,yi,xi+1,...,xn)
∀xk,yk∈Vk, k=1,...,n ∀a,b∈R ∀i=1,...,n.
Observaţie
Dacă W=R aplicaţiile n-liniare se numesc forme n-liniare. Pentru n=1 se numesc simplu forme liniare sau funcţionale liniare, iar pentru n=2-forme biliniare.
Fie acum V/R şi B=e1,...,em o bază a lui V. Fie f∈Ln(V;R) o formă n-liniară.
Atunci ∀x∈V avem x=∑=
m
1ii
iex deci:
f(x1,...,xn)= ( ).e,...,efx...x...ex,...,exfm
1i
m
1iii
in
i1
m
1ii
in
m
1ii
i1
1 n
n1
n1
n
n
n
1
1
1 ∑ ∑∑∑= ===
=
Prin urmare, valoarea formei n-liniare este unic determinată de acţiunea ei
asupra bazei spaţiului vectorial. Notând ( )n1n1 i...iii ae,...,ef = ∈R, obţinem
forma generală a lui f:
Sarcina de lucru 9
Fie aplicaţia f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-4x3,2x1+x2,3x1+3x2-4x3). Să se determine Ker f şi Im f;
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 29
f(x1,...,xn)=∑ ∑= =
m
1i
m
1i
in
i1i...i
1 n
n1
n1x...xa...
Reciproc, orice aplicaţie de forma de mai sus este n-liniară deoarece ∀a,b∈R
∀x,y∈V avem pentru componenta k (1≤k≤n):
=+=+ ∑ ∑∑= ==
m
1i
m
1i
in
ppi1i...i
m
1pn1
1 n
n1
n1x)...byax...(xa......)x,...byax,...,x(f
).x,...y,...,x(bf)x,...x,...,x(af
x...y...xa......bx...x...xa......a
n1n1
m
1i
m
1i
in
pi1i...i
m
1p
m
1i
m
1i
in
pi1i...i
m
1p 1 n
n1
n1
1 n
n1
n1
+
=+ ∑ ∑∑∑ ∑∑= === ==
Definiţie
Fie V/R, W/R şi f:Vn→W, n≥1. Considerând Sn-grupul permutărilor de n
elemente definim aplicaţia: σf:Vn→W: (σf)(x1,...,xn)=f(xσ(1),...,xσ(n)), σ∈Sn
Definiţie
O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie simetrică dacă ∀σ∈Sn⇒σf=f.
Definiţie
O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie alternată (aplicaţie antisimetrică)
dacă ∀σ∈Sn⇒σf=ε(σ)f (ε(σ) este signatura permutării σ).
Teoremă
O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă:
f(x1,...,xi,...,xj,...,xn)=0 ∀xi∈V, i=1,...,n iar xi=xj, i≠j arbitrari.
Definiţie
Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de alternare:
Alt:Ln(V;W)→Ln(V;W), Alt(f)= ∑∈σ
σσεnS
f)(!n
1
Alt se numeşte operatorul de alternare.
Propoziţie
O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă Alt(f)=f.
Corolar
Operatorul de alternare este involutiv adică Alt°Alt= Alt.
Definiţie
Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de simetrizare:
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 30
Sim:Ln(V;W)→Ln(V;W), Sim(f)= ∑∈σ
σnS
f!n
1
Sim se numeşte operatorul de simetrizare.
Propoziţie
O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este simetrică dacă şi numai dacă Sim(f)=f.
Corolar
Operatorul de simetrizare este involutiv adică Sim°Sim=Sim.
În continuare, vom studia câteva aspecte privind formele liniare.
Fie deci V/R, dim V=n. O formă liniară este deci o aplicaţie f∈L(V,R) astfel
încât dacă B=e1,...,en este o bază a lui V/R atunci f(x)=∑=
n
1i
ii xa unde
x=∑=
n
1ii
iex , f(ei)=ai, i=1,...,n.
Exemplu:
Să arate că următoarea aplicaţie este formă liniară: f:R3→R, f(x,y,z)=4x-
5y+3z.
Soluţie f(a(x1,y1,z1)+b(x2,y2,z2))=4(ax1+bx2)-5(ay1+by2)+3(az1+bz2)=
a(4x1-5y1+3z1)+b(4x2-5y2+3z2)=af(x1,y1,z1)+bf(x2,y2,z2) deci f este liniară.
1.5.2. Forme biliniare. Forme pătratice
Vom studia acum câteva aspecte caracteristice privind formele biliniare.
Am văzut că expresia generală a unei forme biliniare într-o bază B=e1,...,en a
lui V/R este: f(x,y)=∑=
n
1j,i
jiij yxa unde ∑
n
1=ii
iex=x , ∑n
1=jj
jey=y . Dacă vom
Sarcina de lucru 10
Să arate că următoarea aplicaţie este formă liniară:
f:R3→R, f(x,y,z)=x-y+z.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 31
considera o altă bază B'=f1,...,fn a lui V/R, se pune în mod natural problema determinării matricei formei în această nouă bază în funcţie de matricea din
vechea bază. Notând deci [f]B=(aij), este evident că o formă biliniară se poate
scrie f(x,y)=xBt[f]ByB sau ţinând seama de faptul că f(x,y)∈R, deci
transpunerea îl lasă invariant, f(x,y)=yBt[f]B
txB. Considerând matricea de
trecere MBB' de la baza B la B' avem în baza B': f(x,y)=xB't[f]B'yB'=(MBB'
-
1)txBt[f]B'MBB'
-1yB de unde, după identificare, avem: [f]B=
(MBB'-1)t[f]B'MBB'
-1 sau altfel [f]B'=MBB't[f]BMBB'.
Propoziţie
Orice formă biliniară f se poate scrie ca suma unei forme biliniare simetrice cu una alternată: f=Sim(f)+Alt(f).
Definiţie
Fie o formă biliniară f:V2→R. Se numeşte formă pătratică asociată lui f,
aplicaţia: H:V→R, H(x)=f(x,x) ∀x∈V.
Dându-se o formă omogenă de grad 2, adică o aplicaţie H:V→R,
H(αx)=α2H(x) ∀x∈V ∀α∈R definim: g(x,y)=2
1(H(x+y)-H(x)-H(y)) ∀x,y∈V.
Avem g(x,x)=H(x) ∀x∈V, deci g este formă biliniară simetrică, a cărei formă pătratică asociată este H. Vom numi g-forma polară a lui H.
Se observă că matricele formei pătratice şi a formei polare sunt identice.
Fie acum în V/R baza B=e1,...,en şi x=∑=
n
1ii
iex ∈V. Fiind dată matricea
A=(aij), i,j=1,...,n a unei forme pătratice H, avem: H(x)=xtAx=∑=
n
1j,i
jiij xxa de
unde detaliat:
H(x)= 2nnn
2222
n1n1
2112
2111 )x(a...)x(axxa2...xxa2)x(a ++++++
Forma polară a lui H este:
g(x,y)=2
1(H(x+y)-H(x)-H(y))= ∑∑
≠==
+n
ji1j,i
jiij
n
1i
iiii yxayxa .
Prin urmare, forma polară lui H se poate obţine prin procedeul de dedublare care constă în următoarele transformări:
- Expresiile de forma aii(xi)2 se transformă în aiix
iyi;
- Expresiile de forma 2aijxixj se transformă în aij(x
iyj+xjyi) (∀i≠j).
Exemplu:
Fie aplicaţia f:R2×R
2→R, f(x,y)=x1y
1+x
1y
2-x
2y
2 unde x=(x
1,x
2), y=(y
1,y
2)∈R
2.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 32
1) Să se arate că f este o formă biliniară;
2) Să se determine σf ∀σ∈S2;
3) Este forma f simetrică?
4) Este forma f alternată?
5) Să se determine Alt f;
6) Să se determine Sim f.
Soluţie 1)Faptul că f este formă biliniară se arată folosind definiţia.
2)Permutările din S2 sunt: σ1=
21
21 şi σ2=
12
21. Avem σ1f=f deoarece σ1
este permutarea identică. De asemenea, σ2f se obţine prin permutarea
variabilelor x şi y deci: (σ2f)(x,y)=f(y,x)=y1x
1+ y
1x
2-y
2x
2.
3)f nu este simetrică deoarece σ2f≠f.
4)f nu este alternată deoarece σ2f≠-f.
5)Deoarece σ2 este o transpoziţie (deci ε(σ2)=-1) avem (Alt f)(x,y)=
2
1(σ1f-σ2f)(x,y)=
2
)x,y(f)y,x(f −=
2
1(x
1y
2-x
2y
1) ∀x,y∈R
2.
6)Analog cu 5) avem: (Sim f)(x,y)=2
1(σ1f+σ2f)(x,y)=
2
)x,y(f)y,x(f += x
1y
1-
x2y
2+
2
1(x
1y
2+x
2y
1).
Sarcina de lucru 11
Fie aplicaţia B:R2×R2→R, B(x,y)=x1y1-2x1y2+3x2y1-x2y2 unde x=(x1,x2),
y=(y1,y2)∈R2. 1) Să se arate că B este o formă biliniară; 2) Să se determine forma pătratică asociată H; 3) Să se determine forma polară f a lui H;
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 33
1.5.3. Vectori şi valori proprii
Definiţie
Fie V/R. Un subspaţiu W<V se numeşte subspaţiu invariant al lui V faţă de
un endomorfism f:V→V dacă f(W)⊂W adică f(x)∈W ∀x∈W.
Fie f:V→V şi W<V, invariant prin f. Să considerăm o bază B'=e1,...,ek a lui
W şi să o completăm până la o bază B=e1,...,ek, ek+1,...,en a lui V. Avem deci
f(B')⊂W de unde f(ei)∈W, i=1,...,k. Fie deci: k,...,1i ,ea)e(fk
1jjjii ==∑
=
iar
∑=
=n
1jjjss ea)e(f , s=k+1,...,n. Matricea lui f în baza B este:
[f]B=
++
+
nn1+k n
n 1k1+k 1k
kn1+k kkk1k
n11k 1k111
aa00
aa00
aaaa
aaaa
LL
LLLLLL
LL
LL
LLLLLL
LL
Considerând spaţiul Z generat de vectorii ek+1,...,en avem V=W⊕Z. Dacă şi Z este invariant atunci matricea lui f este cvasidiagonală, adică:
[f]B=
++
nn1+k n
n 1k1+k 1k
kk1k
k111
aa00
aa00
00aa
00aa
LL
LLLLLL
LL
LL
LLLLLL
LL
Generalizarea este imediată în sensul că dacă V=V1⊕...⊕Vp iar V1,..., Vp sunt
invariate de f atunci matricea lui f în baza B1∪...∪Bp (Bi-bază a lui Vi, i=1,...,p) este cvasidiagonală.
Reamintim că operaţiile cu matrice cvasidiagonale se fac ca şi când blocurile diagonale sunt simple elemente. În particular, inversarea unui operator implică inversarea blocurilor. Evident, cu cât ele vor fi mai mici (în sensul dimensiunii
acestora) cu atât operaţiile vor fi mai simple. Vom încerca, deci, să determinăm cele mai mici subspaţii invariante ale unui operator. Subspaţiile de
dimensiune nulă sunt întotdeauna invariante deoarece f(0)=0⊂0 ştiind că unicul subspaţiu de dimensiune 0 este subspaţiul nul. Cum acesta oricum nu are o bază, el nu prezintă importanţă pentru studiul nostru. Ne vom continua deci discuţia relativ la subspaţiile invariante de dimensiune 1.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 34
Fie deci W<V, dim W=1. Atunci, ∀w∈W, w≠0⇒B'=w este bază a lui W. În
acest caz, f(B')⊂W implică faptul că ∃λW∈R astfel încât f(w)=λWw.
Definiţie
Fie V/R şi f∈L(V). Un vector v∈V-0 se numeşte vector propriu pentru f
dacă ∃λ∈R astfel încât f(v)=λv. λ se numeşte valoare proprie a endomorfismului f.
Propoziţie
Orice vector propriu corespunde unei singure valori proprii.
Propoziţie
Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk∈R, k≥2, valori proprii distincte. Vectorii proprii v1,...,vk, corespunzători acestor valori proprii, sunt liniar independenţi.
Fie v≠0 un vector propriu al lui f∈L(V). Există atunci λ∈R astfel încât
f(v)=λv=λ1V(v) unde 1V este endomorfismul unitate al lui V. Avem deci: (f-
λ1V)(v)=0 de unde v∈Ker(f-λ1V) adică Ker(f-λ1V)≠0. Fie A=[f]B şi I=[1V]B
într-o bază oarecare B a lui V. Din cele de mai sus rezultă că rang(A-λI)<n
deci det(A-λI)=0.
Definiţie
Polinomul P(λ)=det(A-λI) se numeşte polinomul caracteristic al endomorfismului f iar ecuaţia P(λ)=0 se numeşte ecuaţia caracteristică a endomorfismului f.
Propoziţie
Polinomul caracteristic este invariant la schimbări de bază.
Teoremă
Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte. Atunci există o bază B a lui V astfel încât:
[f]B=
λ
λ
λ
++
nn1+k n
n 1k1+k 1k
kn1+k kk
2n1+k 22
n11+k 11
cc000
cc000
bb00
bb00
bb00
LL
LLLLLLL
LL
LL
LLLLLLL
LL
LL
unde bij∈R, i=1,...,k, j=k+1,...,n şi cpr∈R, p=k+1,...,n, r=k+1,...,n.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 35
Corolar
Dacă f are toate valorile proprii distincte, atunci există o bază a lui V în care matricea lui f are forma diagonală.
Teoremă
Fie f∈L(V) şi λ o valoare proprie a lui f. Fie mulţimea S(λ)=v∈Vf(v)=λv. Atunci:
1) S(λ) este un subspaţiu vectorial al lui V invariant faţă de f;
2) Dacă d(λ)=dim S(λ) atunci d(λ)=n-rang(A-λI) unde A=[f]B, B-bază arbitrară;
3) Dacă m(λ) este ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ atunci
d(λ)≤m(λ).
Observaţie
S(λ) se numeşte subspaţiul propriu asociat lui λ.
Definiţie
Un endomorfism f∈L(V) se numeşte endomorfism diagonalizabil dacă există
o bază B a lui V în care [f]B este matrice diagonală.
Teoremă
Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte ale lui f. Endomorfismul f este
diagonalizabil dacă şi numai dacă d(λi)=m(λi), i=1,...,k. În baza B formată cu
vectorii proprii corespunzători valorilor proprii λ1,...,λk avem:
[f]B=
linii )(d
linii )(d
000
000
000
000
k
1
k
k
1
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
M
LLL
LLLLLLL
LLL
LLLLLLL
LLL
LLLLLLL
LLL
Definiţie
Un endomorfism se numeşte endomorfism triangularizabil dacă există o bază în care matricea acestuia să fie (inferior sau superior) triunghiulară.
Teoremă
Un endomorfism f∈L(V) este triangularizabil dacă şi numai dacă polinomul său caracteristic se descompune în factori de gradul I (nu neapărat distincţi).
Definiţie
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 36
Fie un polinom P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] şi o matrice A∈Mm(R). Vom numi
polinom de matrice expresia: P(A)=anAn+...+a1A+a0Im∈Mm(R).
Definiţie
O matrice A se spune că este de tip celulă Jordan dacă este de forma:
λ
λ
λ
λ
=λ
0000
000
010
001
)(A
LLLLL
L
L
L
Definiţie
O matrice A se spune că are forma canonică Jordan dacă este de forma:
λ
λ
=
)(A0
0)(A
A
k
1
L
LLL
L
unde λ1,...,λk∈R nu neapărat distincte iar A(λi), i=1,...,k sunt celule Jordan.
Teoremă (Hamilton-Cayley)
Fie f∈L(V), B o bază a lui V, A=[f]B şi P polinomul caracteristic al lui f. Atunci P(A)=0.
Definiţie
Fie f∈L(V). f se numeşte endomorfism nilpotent dacă ∃p∈N* astfel încât
fp(x)=0 ∀x∈V. p se numeşte indicele de nilpotenţă dacă este cel mai mic cu această proprietate.
Teoremă
Fie V/R, dim V=n. Dacă f∈L(V) este nilpotent, atunci există o bază a lui V astfel încât:
[f]B=
ε
ε
ε
−
00000
0000
0000
0000
1n
2
1
L
L
LLLLLL
L
L
unde εi∈0,1, i=1,...,n-1.
Propoziţie
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 37
Fie V/R, dim V=n, f∈L(V) şi fie P polinomul său caracteristic. Dacă R este
algebric închis iar P(λ)=(-1)n ( ) ( ) j1 mj
m1 ... λ−λλ−λ cu λ1≠...≠λj, m1+...+mj=n
notăm Vk=Ker(f-λk1V), k=1,...,j. În aceste condiţii:
1) Vk≠0, k=1,...,j;
2) Vk<V, k=1,...,j;
3) Vk este invariant faţă de f;
4) V=V1⊕...⊕Vj.
Teoremă
Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Atunci există o bază în V în care matricea lui f are forma canonică Jordan.
Teoremă
Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Dacă [f]B=
[ ]
[ ]
j
1
B
B
f0
0f
L
LLL
L
cu B şi Bk, k= j,1 astfel încât Bk o bază pentru care
[ ]kBVk1f λ− are forma din teorema 35, iar B=B1∪...∪Bj, atunci
∀P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] avem: P([f]B)=
[ ]
[ ]
)f(P0
0)f(P
j
1
B
B
L
LLL
L
unde:
[ ]
λ
−
λλλ
−
λλλλ
=−
−
)(P000
)!2d(
)(P
!1
)('P)(P0
)!1d(
)(P
!2
)("P
!1
)('P)(P
)f(P
i
i
i)2d(
ii
i
i)1d(
iii
B
i
i
i
L
LLLLL
L
L
λi fiind valoarea proprie corespunzătoare blocului [ ]iBf iar di fiind ordinul lui
[ ]iBf , i=1,...,j.
Exemplu:
Să se determine vectorii şi valorile proprii ale operatorului liniar ce are
matricea: A=
−
−
−−
111
212
214
.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 38
Soluţie Pentru ecuaţia caracteristică avem:
λ−−
−λ−
−−λ−
111
212
214
=0 de unde
λ3-6λ2
+11λ-6=0 cu λ1=1, λ2=2, λ3=3-valorile proprii. Pentru λ=1 obţinem
sistemul: (A-1⋅I)(x,y,z)t=0 adică:
=
−
−
−−
0
0
0
z
y
x
011
202
213
de unde z=y=x=α
deci vectorii proprii sunt de forma v=(α,α,α)t,α∈R-0. Pentru λ=2 obţinem
analog v=(α,0,α)t, α∈R-0 iar pentru λ=3⇒v=(α,α,0)
t, α∈R-0.
1.5.4. Reducerea formelor pătratice la forma canonică
Fie V/R, dim V=n şi o formă pătratică H:V→R, H(x)=xtAx, A∈Mn(R)-simetrică. Ne propunem în această secţiune să determinăm o bază a lui V, în care matricea formei pătratice să aibă forma diagonală. În acest caz se spune că forma pătratică este adusă la forma normală. Dacă matricea formei pătratice în această nouă bază are pe diagonala principală numai 1 sau –1 spunem că forma este cea canonică.
Fie o bază B a lui V şi baza căutată B'. Dacă C este matricea de trecere MBB'
atunci A'=CtAC=
n
1
c0
0c
L
LLL
L
cu ci∈R, i=1,...,n. În această bază avem
H(x)=xtA'x=c1(x'1)2+... +cn(x'n)2 şi este evident că H are cel mai mic număr de termeni.
Metoda Gauss
Sarcina de lucru 12
Să se determine vectorii şi valorile proprii ale operatorului liniar ce are
matricea: A=
−132
014
301
.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 39
Fie H(x)=∑=
n
1j,i
jiij xxa ≠0 unde x=(x1,...,xn)t. Avem două situaţii:
I. ∃i=1,...,n astfel încât aii≠0. După o eventuală renumerotare putem considera
a11≠0. În acest caz formăm un pătrat perfect care să includă termenii ce-l conţin pe x1. Astfel:
H(x)= [ ]2nn1
212
nn1
212
111
21211
11
)xa...xa()xa...xa(xa2)x(aa
1++++++ +E(x2,...,xn)=
11a
1(a11x
1+...+a1nxn)2+E(x2,...,xn).
Fie transformarea:
>
=++=
1i,x
;1i,xa...xay
i
nn1
111i
Avem atunci H(y)=11a
1(y1)2+E(y2,...,yn) unde E este o formă pătratică în
y2,...,yn.
II. ∀i=1,...,n avem aii=0. Cum H≠0⇒∃aij≠0. După o eventuală renumerotare
putem presupune că a12≠0. Fie transformarea:
>
=−
=+
=
2i,x
;2i,xx
;1i,xx
yi
21
21
i
Înlocuind în expresia lui H obţinem a'11≠0 deci ne reducem la cazul I.
Cum E este o formă pătratică în y2,...,yn reluăm consideraţiile anterioare. În final H va avea forma normală: H(x)=b1(z
1)2+...+bk(zk)2 unde x=(z1,...,zn)t în
noua bază. Cu transformarea de variabile:
>=
=
=
ki ,zv
;zbv
...
;zbv
ii
kk
k
11
1
forma H are forma canonică şi devine H(x)=ε1(v1)2+...+εk(v
k)2 unde
x=(v1,...,vn)t în această ultimă bază iar εp=sgn(bp)∈-1,1, p=1,...,k. Transformarea generală de coordonate se obţine din compunerea celor succesive de mai sus.
Metoda Jacobi
Teoremă
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 40
Fie H:V→R o formă pătratică reală şi B=e1,...,en o bază a lui V/R. Fie A=(aij) matricea lui H în baza B. Fie, de asemenea:
Ai=
ii1i
i111
aa
aa
L
LLL
L
, i=1,...,n
Dacă ∆i=det Ai sunt nenuli atunci există o bază B'=f1,...,fn obţinută din B cu o matrice de trecere triunghiulară în care forma normală a lui H este:
2n
n
1n22
2
121
1
)(...)()(1
)x(H ξ∆
∆++ξ
∆
∆+ξ
∆= −
iar x=(ξ1,...,ξn)t este expresia lui x în noua bază.
Definiţii
Fie V un spaţiu vectorial real.
• o formă pătratică H:V→R se numeşte formă pozitiv definită dacă H(x)>0 ∀x≠0.
• H se numeşte formă negativ definită dacă H(x)<0 ∀x≠0.
• H se numeşte formă semidefinită sau formă nedefinită dacă ∃x1,x2∈V astfel încât H(x1)H(x2)<0.
• H se numeşte formă pozitiv semidefinită dacă H(x)≥0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-0 astfel încât H(x0)=0.
• H se numeşte formă negativ semidefinită dacă H(x)≤0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-0 astfel încât H(x0)=0.
Teoremă (de inerţie, Sylvester)
Numărul coeficienţilor strict pozitivi, numărul coeficienţilor strict negativi şi rangul unei forme pătratice în expresia canonică (normală) nu depind de baza aleasă.
Definiţie
Diferenţa între numărul termenilor pozitivi şi cel al termenilor negativi din expresia canonică (normală) a unei forme pătratice se numeşte signatura formei pătratice respective.
Teoremă
Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară
şi suficientă ca H să fie pozitiv definită este ca ∆i>0, i=1,...,n.
Corolar
Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară
şi suficientă ca H să fie negativ definită este ca ∆i<0, i=impar, i=1,...,n şi ∆i>0, i=par, i=1,...,n.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 41
Exemplu:
Să se aducă la forma normală, folosind metoda lui Gauss, forma pătratică:
H(x)=(x1)2-2x
1x
2+2x
1x
3-2x
1x
4+(x
2)2+2x
2x
3-4x
2x
4+(x
3)2-2(x
4)2, x= (x
1,x
2,x
3,x
4)∈
R4.
Soluţie Avem: H(x)=(x1)2-2(x
2-x
3+x
4)x
1+(x
2-x
3+x
4)2-3(x
4)2+4x
2x
3-6x
2x
4+
2x3x
4=(x
1-x
2+x
3-x
4)2-3((x
4)2+2(x
2-
3
1x
3)x
4+(x
2-
3
1x
3)2)+3(x
2)2+2x
2x
3+
3
1
(x3)2=(x
1-x
2+x
3-x
4)2-3(x
2+x
4-
3
1x
3)2+3(x
2+
3
1x
3)2. Prin urmare, cu ξ1
=x1-x
2+x
3-
x4, ξ2
=x2+ x
4-
3
1x
3, ξ3
=x2+
3
1x
3, ξ4
=x4 obţinem H(x)=(ξ1
)2-3(ξ2
)2+3(ξ3
)2.
Sarcina de lucru 13
Să se arate că forma pătratică H(x)=3(x1)2+6(x2)2+3(x3)2-4x1x2-
8x1x3-4x2x3, x=(x1,x2,x3)∈R3 este semidefinită.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 42
Test de autoevaluare
I. Fie în R3 mulţimile U1=(a+b,2a-b,a)a,b∈R şi U2=(c+2d,2c+d,-3c-d) c,d∈R. Să se determine U1∩U2 (3 puncte) a) U1∩U2=(2c,0,c) c∈R
b) U1∩U2=(-3c,0,-c) c∈R
c) U1∩U2=(3c,7c,c) c∈R
d) U1∩U2=(3c+d,d,c) c∈R
II. . Fie aplicaţia f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(3x1-x2+x3,2x1+x2,-x1+x3). Să se determine Ker f şi Im f (4 puncte)
a) Ker f=0, Im f=R3
b) Ker f=(3,2,7), Im f=R3
c) Ker f=0, Im f=R2
d) Ker f=(3,2,7), Im f=R4
III. Fie operatorul T:R4→R4 a cărui matrice în baza canonică este:
A=
−−−
3021
0200
3021
3021
Să se determine valorile proprii ale lui T (3 puncte)
a) Valorile proprii sunt: λ1=3, λ2=1, λ3=4, λ4=5
b) Valorile proprii sunt: λ1=λ2=2, λ3=λ4=4
Rezumat
Noţiunea de spaţiu vectorial generalizează dintr-un anumit punct de vedere categoriile matricelor, cea a polinoamelor, funcţiilor, mulţimilor numerice şi multe altele. Avantajul acestei noţiuni este acela că permite tratarea unitară a unor concepte, la prima vedere diferite, obţinând rezultate generalizatoare, dar, în acelaşi timp, permiţând noii structuri adaptarea la noi şi noi provocări ale practicii.
Noţiunea de “bază” este fundamentală şi ea permite simularea unui anumit proces economic (după transformarea matematică, eminamente necesară) printr-un altul mult mai simplu, reprezentat, de regulă, de spaţiul aritmetic n-dimensional.
Formele pătratice prezentate în ultima parte a modului au un rol bine conturat în geometria analitică, dar, în cazul de faţă, se vor dovedi esenţiale în studiul extremelor funcţiilor din modulul următor ceea ce va permite, în final, determinarea optimului unui proces economic arbitrar.
Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară
Matematică aplicată în Economie 43
c) Valorile proprii sunt: λ1=λ2=3, λ3=λ4=0
d) Valorile proprii sunt: λ1=λ2=0, λ3=λ4=2
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie
analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.
Ioan C. A. (2011). Matematică, Galați: Ed. Sinteze
Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.
2. ANALIZĂ MATEMATICĂ
Spaţii topologice 44
Diferenţiabilitatea funcţiilor 53
Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea
în serie Taylor
59
Extremele funcţiilor 68
Obiective specifice unităţii de învăţare
Rezumat 72
Teste de autoevaluare 72
Bibliografie minimala 73
Lucrare de verificare 73
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să explici noţiunea de spaţiu topologic;
• să defineşti diferenţiabilitatea funcţiilor;
• să descrii seriile numerice şi seriile de puteri;
• să determini extremele funcţiilor;
• să categoriseşti integralele improprii, duble şi triple.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 44
2.1. Spaţii topologice
2.1.1. Elemente de topologie
Definiţie
Fie Rn, n≥1 şi mulţimea T=D⊂R
n∀a=(a1,...,an)∈D⇒∃r>0 astfel încât
(a1-r,a1+r)×...×(an-r,an+r)⊂D. Perechea (Rn,T) se numeşte spaţiu topologic, T
purtând numele de topologie reală pe Rn. O mulţime D∈T se numeşte
mulţime deschisă.
Teoremă
Pe Rn au loc următoarele afirmaţii:
1) ∀(Di)i∈I⊂T ⇒UIi
iD∈
∈T, I-o mulţime oarecare de indecşi;
2) ∀(Di)i=1,...,m⊂T⇒Im
1iiD
=
∈T ∀m∈N*;
3) ∅,Rn∈T.
Definiţie
Fie Rn şi X⊂R
n. T'=D∩XD∈T este o topologie pe X şi se numeşte topologia indusă de T pe X.
Definiţie
Fie Rn şi A⊂Rn. O mulţime V⊂R
n se numeşte vecinătate a lui A dacă ∃D∈T
astfel încât A⊂D⊂V. Dacă A=x, x∈Rn, atunci V se numeşte vecinătate a
punctului x.
Propoziţie
Pe Rn o submulţime A⊂R
n este deschisă dacă şi numai dacă este vecinătate pentru orice punct al său.
Propoziţie
Mulţimea vecinătăţilor V(x) ale unui punct arbitrar x∈Rn are următoarele
proprietăţi:
1) V∈V(x)⇒x∈V;
2) V∈V(x), V⊂U⇒U∈V(x);
3) Vi∈V(x), i= n,1 ⇒In
1iiV
=
∈V(x);
4) V∈V(x)⇒∃U⊂V, U∈V(x) astfel încât U∈V(y) ∀y∈U.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 45
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct interior al unei submulţimi A⊂R
n dacă
A∈V(a)
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea
o
A =int A=a∈Rna este punct interior al lui A se
numeşte interiorul lui A.
Propoziţie
∀A⊂Rn avem: U
o
AD⊂∈
=TD
DA .
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct aderent unei submulţimi A⊂R
n dacă
∀V∈V(a)⇒V∩A≠∅.
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea A =a∈R
na este punct aderent pentru A se numeşte închiderea (aderenţa) lui A.
Definiţie
O submulţime F⊂Rn se numeşte mulţime închisă dacă Rn-F∈T.
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct de acumulare al unei submulţimi A⊂R
n
dacă ∀V∈V(a)⇒(V-a)∩A≠∅.
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea A’=a∈Xa este punct de acumulare al lui A se numeşte
mulţimea derivată (derivata) a lui A.
Definiţie
Un punct a∈Rn se numeşte punct izolat al unei submulţimi A⊂R
n dacă nu este
punct de acumulare, adică dacă ∃V∈V(a)⇒(V-a)∩A=∅.
Definiţie
Fie A⊂Rn. Mulţimea ∂A=Fr A= A ∩ CA se numeşte frontiera lui A.
Exemplu:
Fie mulţimea A=(3,8]∪[9,12]∪0,1,15. Să se determine:
1) interiorul lui A;
2) aderenţa lui A;
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 46
3) derivata lui A;
4) frontiera lui A.
Soluţie 1)Avem o
A=(3,8)∪(9,12); 2) A =[3,8]∪[9,12]∪0,1,15;
3)A’=[3,8]∪[9,12]; 4)∂A= A ∩ CA . Avem CA=(-∞,0)∪(0,1)∪(1,3]∪(8,9)∪
(12,15)∪(15,∞) de unde: CA =(-∞,0]∪[0,1]∪[1,3]∪[8,9]∪[12,15]∪[15,∞)=
(-∞,3]∪[8,9]∪[12,∞). Obţinem deci ∂A=([3,8]∪[9,12]∪0,1,15)∩((-∞,3]∪
[8,9]∪[12,∞))=0,1,3,8,9,12, 15.
2.1.2. Şiruri în Rn
Definiţie
Numim şir pe spaţiul topologic Rn o funcţie f:N→Rn.
Definiţie
Fie un şir (an)⊂Rn. Spunem că (an) este şir convergent dacă ∃a∈R
n
astfel încât ∀V∈V(a)⇒∃nV∈N astfel încât an∈V ∀n≥nV. Elementul a∈Rn se
numeşte limită a şirului (an) şi vom scrie:
a=∞→n
lim an
Teoremă
Limita unui şir convergent din Rn este unică.
Propoziţie
Fie A⊂Rn şi (an)⊂R
n un şir convergent. Dacă ∃n0∈N astfel încât an∈A ∀n≥n0
atunci lim an∈ A .
Propoziţie
Dacă A⊂Rn atunci ∀a∈ A ⇒ ∃(an)⊂A astfel încât lim an=a.
Sarcina de lucru 1
Fie mulţimea A=(1,2]∪[4,8)∪0,3. Să se determine: 1) interiorul lui A; 2) aderenţa lui A; 3) derivata lui A; 4) frontiera lui A.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 47
Teoremă
Şirul (am)=(am1,...,am
n)⊂Rn este convergent dacă şi numai dacă şirurile
(am1)⊂R,...,(am
n)⊂R sunt convergente şi în acest caz avem:
lim am=(lim am1,...,lim am
n)
Exemplu:
Să se calculeze limita următorului şir din R2:
1) an=
+−+
+−+
2nn5
5n,
2n3
5nn222
2
∀n≥1;
Soluţie lim an=lim
+−+
+−+
2nn5
5n,
2n3
5nn222
2
=
+−+
+−+
2nn5
5nlim,
2n3
5nn2lim
22
2
=
0,
3
2.
2.1.3. Spaţii metrice. Spaţii normate
Definiţie
Numim metrică (distanţă) pe Rn o funcţie d:Rn×R
n→R, (x,y)→d(x,y)
∀x,y∈Rn, astfel încât sunt satisfăcute următoarele axiome:
1) d(x,y)=0⇔x=y;
2) d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈Rn;
3) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈Rn.
Definiţie
Considerând o metrică d pe Rn, vom numi perechea (Rn,d) spaţiu metric.
Sarcina de lucru 2
Să se calculeze limita şirului din R2: an=
++−
++−+
1n2n15
15n2,
7n2n3
5n2n3224
3
∀n≥1.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 48
Definiţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Mulţimea B(a,r)=x∈Rnd(a,x)≤r, r≥0 se
numeşte bila închisă de centru a şi rază r. Mulţimea B(a,r)=x∈Rnd(a,x)<r,
r>0 se numeşte bila deschisă de centru a şi rază r.
Propoziţie
Un spaţiu metric (Rn,d) este spaţiu topologic.
Propoziţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Atunci ∀a∈Rn ∀r>0⇒B(a,r) este o mulţime
deschisă, B(a,r) este o mulţime închisă iar )r,a(B)r,a(B = .
Propoziţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci lim an este
unică.
Propoziţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂X. Atunci (an) este un şir convergent şi lim
an=a∈X dacă şi numai dacă ∀ε>0⇒ ∃nε∈N astfel încât d(an,a)<ε ∀n≥nε.
Definiţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir Cauchy (şir
fundamental) dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât d(an,am)<ε ∀n,m≥nε.
Propoziţie
Fie (Rn,d) un spaţiu metric şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci (an) este şir
Cauchy.
Reciproc, nu este în general adevărat, deci se impune următoarea:
Definiţie
Un spaţiu metric (Rn,d) se numeşte spaţiu metric complet dacă orice şir Cauchy din Rn este convergent.
Definiţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d). O mulţime A⊂Rn se numeşte mulţime mărginită
dacă ∃a∈Rn ∃r>0 astfel încât A⊂B(a,r).
Definiţie
Fie un spaţiu metric (Rn,d). Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir mărginit dacă
mulţimea valorilor acestuia este mărginită.
Lemă (Cesàro)
Orice şir mărginit din Rn conţine un subşir convergent.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 49
Definiţie
Numim normă pe Rn o funcţie ⋅:Rn→R, x→x ∀x∈Rn astfel încât sunt
satisfăcute următoarele axiome:
1) x=0⇒x=0;
2) αx=α⋅x ∀x∈Rn ∀α∈R;
3) x+y≤x+y ∀x,y∈Rn.
Definiţie
Fiind dată o normă ⋅ pe Rn, perechea (Rn,⋅) se numeşte spaţiu vectorial
real n-dimensional normat (sau simplu spaţiu normat).
Definiţie
Un spaţiu normat complet se numeşte spaţiu Banach.
Exemplu:
Fie pe o mulţime X≠∅, metricile d şi d’ şi a,b∈R+, a2+b
2>0. Să se arate că
aplicaţia d”:X×X→R, d”(x,y)=ad(x,y)+bd’(x,y) ∀x,y∈R este o metrică pe X.
Soluţie Avem x=y⇒d”(x,x)=ad(x,x)+bd’(x,x)=0 şi reciproc, dacă d”(x,y)=
ad(x,y)+bd’(x,y)=0⇒cum a,b≥0 şi cel puţin unul este nenul rezultă că x=y. De
asemenea, d”(x,y)=ad(x,y)+bd’(x,y)=ad(y,x)+ bd’(y,x)=d”(y,x) ∀x,y∈X. Fie
acum x,y,z∈X, arbitrari. Avem d”(x,z)=ad(x,z)+bd’(x,z)≤a[d(x,y)+d(y,z)]+
b[d’(x,y)+ d’(y,z)]=[ad(x,y)+bd’(x,y)]+[ad(y,z)+bd’(y,z)]=d”(x,y)+d”(y,z).
2.1.4. Limite de funcţii în Rn
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→R
m, n,m≥1 se numeşte funcţie vectorială reală de n variabile reale. Dacă m=1 vom spune pe scurt că f este funcţie de n variabile.
Sarcina de lucru 3
Fie pe un spaţiu vectorial real X două norme ⋅’ şi ⋅”. Să se arate că a⋅’+b⋅”, a,b∈R+ este de asemenea o normă pe X.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 50
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→R
m se spune că are limita y∈Rm într-un punct de
acumulare a∈A' dacă ∀V∈V(y)⇒ ∃U∈V(a) astfel încât:
f((U-a)∩A)⊂V
Propoziţie
Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→R
m şi a∈A'. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f are limita y∈Rm în a;
2) ∀(an)⊂A-a astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=y;
3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-a şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),y)<ε.
4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-a şi ax − <δε⇒ y)x(f − <ε.
Corolar
Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→R
m şi a∈A'. Funcţia f nu are limită în punctul “a” dacă
∃(an),(bn)⊂A-a cu lim an=lim bn=a şi fie unul din şirurile (f(an)),(f(bn)) nu este convergent, fie sunt amândouă convergente, dar au limite diferite.
În cazul funcţiilor de mai multe variabile, se poate defini limita unei funcţii
după o direcţie astfel: fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Ecuaţia unei drepte
ce trece prin “a” este:
λ+=
λ+=
nnn
111
vax
vax
L , λ∈R
unde v1,...,vn reprezintă parametrii directori ai dreptei (care dau “înclinarea”
dreptei faţă de axele de coordonate). Notând v=(v1,...,vn) putem scrie ecuaţia
dreptei succint sub forma: x=a+λv, λ∈R. Definim atunci limita unei funcţii
după direcţia dată de dreapta x=a+λv ca fiind:
0lim
→λf(a+λv)
Este evident că dacă o funcţie are limită într-un punct, atunci ea are limită după orice direcţie în acel punct. Reciproc, nu este adevărat.
Fie acum f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Să considerăm mulţimile
Ai=xi∈R(x1,...,xi,...,xn)∈A şi să presupunem că ai∈Ai', i=1,...,n. Atunci
ii axlim
→f(x) depinde de variabilele x1,...,xi-1,xi+1,..., xn. Considerând apoi acelaşi
proces obţinem în final o valoare reală notatăax
lim→
σf(x)=nini1i1i axax
lim...lim→→
f(x)
unde σ=
n21 iii
n21
L
L∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Vom numi
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 51
aceasta limita iterată după permutarea σ a funcţiei f în punctul a. Are loc următoarea:
Propoziţie
Fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Dacă f are limită în “a” şi, în plus, ∃σ∈Sn
astfel încât ax
lim→
σf(x) există atunci ax
lim→
σf(x)= ax
lim→
f(x).
Exemplu:
Să se calculeze 22
33
)0,0()y,x( yx
yxlim
++
→.
Soluţie Conform teoriei generale, dacă funcţia are limită atunci orice limită
iterată dacă există este egală cu limita căutată. Prin urmare, vom încerca
calcularea unei limite iterate şi în cazul determinării acesteia vom arăta cu
definiţia limitei (globale) că aceasta este tocmai limita căutată. Avem deci:
22
33
0y0x yx
yxlimlim
++
→→=
2
3
0x x
xlim
→=0. Fie deci ε>0, arbitar şi δε=
2
ε>0. Avem:
22
33
yx
yx
++
=22
2
yx
xx
++
22
2
yx
yy
+ de unde 0
yx
yx22
33
−++
=22
33
yx
yx
++
=
=+
++
≤+
++ 22
2
22
2
22
2
22
2
yx
yy
yx
xx
yx
yy
yx
xx ≤
++
+ 22
2
22
2
yx
yy
yx
xx
≤+≤+=++
+++ 22
22
22
22
22
yx2yxyx
yxy
yx
yxx ε=
ε2
2 .
2.1.5. Continuitatea funcţiilor
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→R
m se numeşte funcţie continuă în a∈A dacă
∀V∈V(f(a))⇒∃U∈V(a) astfel încât f(U∩A)⊂V.
Sarcina de lucru 4
Folosind definiţia limitei, să se arate că:2
1
y
xlim
2
)0,0()y,x(=
→
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 52
Propoziţie
Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→R
m şi a∈A. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f este continuă în a;
2) ∀(an)⊂A astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=f(a);
3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),f(a))<ε.
4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi ax − <δε⇒ )a(f)x(f − <ε.
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→R
m se numeşte funcţie continuă pe A dacă este continuă
în orice punct a∈A.
Propoziţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→R
m este continuă în a∈A’∩A dacă şi numai dacă are
limită în a şi ax
lim→
f(x)=f(a).
Teoremă
Fie o aplicaţie f:Rn→Rm. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f este continuă pe Rn;
2) ∀D-deschisă în Rm⇒f-1(D)-deschisă în Rm;
3) ∀E-închisă în Rm⇒f-1(E)-închisă în Rn.
Definiţie
O aplicaţie f:A⊂Rn→f(A)⊂R
m se numeşte homeomorfism dacă:
1) f este bijectivă;
2) f este continuă pe A şi f-1 este continuă pe f(A).
Exemplu:
Să se studieze continuitatea funcţiei f:R2→R,
≠
+−
=(0,0)=y)(x, daca 0
(0,0);y)(x, daca yx
yxxy
)y,x(f 22
22
Soluţie Pe R2-(0,0) funcţia este continuă deoarece ∀a,b∈R şi ∀(an), (bn)∈R
astfel încât lim an=a, lim bn=b rezultă lim f(an,bn)=f(a,b). Rămâne deci de
studiat continuitatea în (0,0). Fie ε>0. Alegem δε= ε2 . Avem deci f(x,y)-
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 53
f(0,0)=f(x,y=22
22
yx
yxxy
+−
=xy 22
22
yx
yx
+
−≤xy 22
22
yx
yx
+
+=xy≤
2
1(x
2+y
2)≤
2
2ε=ε. Prin urmare, funcţia f este continuă în (0,0) deci este continuă pe R
2.
2.2. Diferenţiabilitatea funcţiilor
2.2.1. Derivabilitatea după o direcţie şi cea parţială a funcţiilor
Vom considera în cele ce urmează funcţii de forma f:D⊂Rn→R, n≥1, D-
deschisă, (x1,...,xn)→f(x1,...,xn). Vom nota generic x=(x1,...,xn)∈ Rn.
Fie a∈D şi o dreaptă de parametri directori v=(v1,...,vn)∈Rn: x=a+λv, λ∈R.
Avem: v
vvax λ+= şi notând: vλ =α,
v
v=w, rezultă: α∈R şi w =1.
Putem scrie deci ecuaţia unei drepte sub forma d: x=a+αw, α∈R, w =1.
Deoarece a∈D⇒∃V∈V(a)∈Rn astfel încât a∈V⊂D. Vom alege V ca fiind o
bilă deschisă centrată în a. Fie deci r>0 astfel încât B(a,r)⊂D. Fie x∈D. Avem:
ax − = awa −α+ = wα = α ⋅ w = α . Dacă α∈(-r,r) atunci ax − <r
deci x∈B(a,r)⊂D. Definim acum funcţia: g:(-r,r)→R, g(α)=f(a+αw) ∀α∈(-r,r). Din cele de mai sus, rezultă că definiţia este corectă.
Definiţie
Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă după direcţia w în a∈Rn dacă
funcţia: g:(-r,r)→R, g(α)=f(a+αw) este derivabilă în originea 0∈R. Vom numi
în acest caz numărul real dw
df(a)=g'(0)-derivata după direcţia w în punctul a
al lui f.
Pentru n=1 se obţine definiţia clasică a derivatei într-un punct.
Sarcina de lucru 5
Să se studieze continuitatea uniformă a funcţiei:
f:R2→R, f(x,y)=2(x+y)-sin x+cos y.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 54
În Rn avem câteva direcţii “privilegiate” şi anume cele date de vectorii bazei canonice e1=(1,0,...,0),... ,en=(0,0,...,1).
Definiţie
Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă parţial în punctul a, în raport cu
variabila xk, 1≤k≤n, dacă există derivata după direcţia ek adică dacă există:
t
)a,...,a,...,a(f)a,...,ta,...,a(flim)a('f)a(
x
f nk1nk1
0tx
kk
−+==
∂∂
→
Numărul real )a(x
f
k∂∂
sau notat uneori )a)(fx
(k∂
∂ sau )a('f
kx se numeşte
derivata parţială a lui f în punctul a în raport cu xk.
Definiţie
Vom spune că f este derivabilă parţial în raport cu xk pe D dacă este
derivabilă parţial în raport cu xk în orice punct a∈D.
Definiţie
Vom spune că f este derivabilă parţial pe D dacă este derivabilă parţial în
raport cu orice xk k= n,1 în orice punct a∈D.
Definiţie
Dacă f este derivabilă parţial în fiecare punct x∈V unde V∈V(a), a∈D-fixat şi
dacă la rândul lor derivatele parţiale kx
f
∂∂
, k= n,1 , sunt derivabile parţial în a,
vom spune că f este derivabilă parţial de ordinul 2 în a. Vom scrie:
)a(xx
f)a))(
x
f(
x(
kj
2
kj ∂∂∂
=∂∂
∂∂
∀j,k= n,1
şi vom spune că kj
2
xx
f
∂∂∂
(a) este derivata parţială de ordinul 2 a lui f în punctul
a în raport cu variabilele xj şi xk. Pentru j=k adoptăm notaţia:
)a(x
f)a))(
x
f(
x(
2k
2
kk ∂∂
=∂∂
∂∂
∀k= n,1
Definiţie
Dacă f este derivabilă parţial de ordinul k, k≥1 în fiecare punct x∈V unde
V∈V(a), a∈D-fixat şi dacă la rândul lor derivatele parţiale de ordinul k:
k1 ii
k
x...x
f
∂∂∂
∀i1,...,ik∈1,...,n sunt derivabile parţial în a, vom spune că f este
derivabilă parţial de ordinul (k+1) în a. Vom scrie:
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 55
)a)(x...xx
f()a))(
x...x
f(
x(
k1k1 iii
1k
ii
k
i ∂∂∂∂
=∂∂
∂∂∂ +
În cazul mai multor variabile identice vom adopta notaţia:
)a)(x...x
f()a)(
x...x...x...x
f(
k
k
1
1
k1
k
kk
1
11
k1
ni
ni
n...n
orin
ii
orin
ii
n...n
∂∂
∂=
∂∂∂∂∂ ++
−−
++
4342143421
Teoremă (Schwarz)
Dacă f:D→R, D⊂Rn-deschisă admite derivate parţiale de ordinul 2 într-o
vecinătate V a lui a∈D şi dacă pentru 1≤i≠j≤n-fixaţi ji
2
xx
f
∂∂∂
este continuă în a,
atunci:
ij
2
xx
f
∂∂∂
(a)=ji
2
xx
f
∂∂∂
(a)
Exemplu:
Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul I şi II pentru funcţia f:R3→R,
f(x,y,z)=x2+e
xy+xyz
4 în punctul (x,y,z)∈R
3, verificându-se criteriul lui Schwarz
pe acest exemplu concret.
Soluţie Avem:
• x
f
∂∂
=2x+yexy
+yz4,
y
f
∂∂
=xexy
+xz4,
z
f
∂∂
=4xyz3;
• 2
2
x
f
∂∂
=x∂∂
(x
f
∂∂
)=x∂∂
(2x+yexy
+yz4)=2+y
2e
xy;
• yx
f2
∂∂∂
=x∂∂
(y
f
∂∂
)=x∂∂
(xexy
+xz4)=(xy+1)e
xy+z
4;
• xy
f2
∂∂∂
=y∂∂
(x
f
∂∂
)=y∂∂
(2x+yexy
+yz4)=(xy+1)e
xy+z
4;
• zx
f2
∂∂∂
=x∂∂
(z
f
∂∂
)=x∂∂
(4xyz3)=4yz
3;
• xz
f2
∂∂∂
=z∂
∂(
x
f
∂∂
)=z∂
∂(2x+ye
xy+yz
4)=4yz
3;
• 2
2
y
f
∂∂
=y∂∂
(y
f
∂∂
)=y∂∂
(xexy
+xz4)=x
2e
xy;
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 56
• zy
f2
∂∂∂
=y∂∂
(z
f
∂∂
)=y∂∂
(4xyz3)=4xz
3;
• yz
f2
∂∂∂
=z∂
∂(
y
f
∂∂
)=z∂
∂(xe
xy+xz
4)=4xz
3;
• 2
2
z
f
∂∂
=z∂
∂(
z
f
∂∂
)=z∂
∂(4xyz
3)=12xyz
2.
2.2.2. Diferenţiabilitatea funcţiilor
Definiţie
Fie f:D⊂Rn→R
m, D-deschisă şi a∈D. f se numeşte aplicaţie diferenţiabilă în
a dacă ∃T∈L(Rn,Rm) astfel încât
f(x)=f(a)+T(x-a)+ω(x) ax − ∀x∈D
unde ω:D-a→Rm satisface
axlim
→ ω(x)=0. Dacă f este diferenţiabilă în orice
punct din D vom spune că f este diferenţiabilă pe D.
Teoremă
Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→R
m, D-deschisă şi a∈D. Aplicaţia f este diferenţiabilă în a dacă şi numai dacă aplicaţiile f1,...,fm sunt diferenţiabile în a. În acest caz:
df(a)=(df1(a),...,dfm(a))
Teoremă
Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă.
1) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci f este continuă în a;
Sarcina de lucru 6
Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei de mai jos în
punctul indicat: f:R3→R, f(x,y,z)=arctgyz
x2
în punctul (1,1,1).
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 57
2) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci ∀w∈Rn, w =1 există derivata
după direcţia w în a şi avem dw
df(a)=df(a)(w). În particular, există
derivatele parţiale de ordinul I şi avem kx
f
∂∂
(a)=df(a)(ek), k= n,1 , unde ek
sunt vectorii bazei canonice din Rn;
3) Dacă f∈C1(D) atunci f este diferenţiabilă pe D.
Considerând acum diferenţialele dxi ale variabilelor xi, i=1,...,n după exemplul 3.c, avem:
Teoremă
Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D. Atunci:
∑= ∂
∂=
n
1ii
i
)a(dx)a(x
f)a(df
Definiţie
Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→R
m, D-deschisă şi a∈D. Matricea Jf(a) definită prin:
Jf(a)=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
)a(x
f)a(
x
f
)a(x
f)a(
x
f
n
m
1
m
n
1
1
1
L
LLL
L
se numeşte matricea jacobiană a lui f în punctul a. Dacă m=n vom numi det(Jf(a)) jacobianul sau determinantul funcţional al lui f în a. Vom mai nota:
det(Jf(a))=)x,...,x(D
)f,...,f(D
n1
n1 (a)
Propoziţie
Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă în a∈D. Atunci ∀w=(w1,...,wn)∈R
n
cu w =1 funcţia f are derivată după direcţia w şi
)a(x
fw...)a(
x
fw)a(
dw
df
nn
11 ∂
∂++
∂∂
=
Definiţie
Vom defini diferenţiala de ordin m a funcţiei f prin egalitatea:
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 58
fdxx
fd
mn
1ii
i
m
∂∂
= ∑=
unde suma din paranteză se dezvoltă formal cu ajutorul formulei generalizate a m-nomului şi apoi se aplică derivatele parţiale lui f.
Definiţie
Matricea formei pătratice d2f într-un punct a∈D se numeşte hessiana lui f în a şi avem:
Hf(a)=
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
)a(x
f)a(
xx
f
)a(xx
f)a(
x
f
2n
2
1n
2
n1
2
21
2
L
LLL
L
Exemplu:
Să se determine diferenţiala de ordinul I a funcţiei f:R3→R, f(x,y,z)=4xy+e
xz-
5zex în punctul (1,1,1).
Soluţie Avem: df(1,1,1)=x
f
∂∂
(1,1,1)dx+y
f
∂∂
(1,1,1)dy+z
f
∂∂
(1,1,1)dz=
(4-4e)dx+4dy-4edz.
Sarcina de lucru 7
Fie funcţiile f:R3→R2, f(x,y,z)=(x2,yz) şi g:R2→R, g(u,v)=u3+euv. Să se
calculeze derivatele parţiale ale funcţiei g°f în punctul (x,y,z)∈R3.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 59
2.3. Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea în serie
Taylor
2.3.1. Serii numerice
În această secţiune vom considera, până la menţiuni contrare, că toate şirurile sunt indexate după N.
Definiţie
Fie un şir (an)⊂R şi şirul (Sn)⊂R definit prin Sn= ∑=
n
0ina , n≥0. Numim serie
numerică de termen general an perechea de şiruri ((an),(Sn)). Vom numi şirul (Sn) şirul sumelor parţiale ale seriei.
Definiţie
O serie ∑∞
=0nna se numeşte serie convergentă dacă şirul sumelor parţiale (Sn)
este convergent. O serie se numeşte serie divergentă dacă nu este convergentă.
Definiţie
Dacă seria ∑∞
=0nna este convergentă numim lim Sn-suma seriei şi o vom nota
∑∞
=0nna .
Propoziţie
Fie o serie ∑∞
= 0nna şi m∈N, fixat. Considerând şirul bn=am+n ∀n≥0 seriile ∑
∞
=0nna
şi ∑∞
= 0nnb au aceeaşi natură.
Teoremă (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)
O serie ∑∞
= 0nna este convergentă dacă şi numai dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât:
an+1+...+an+m<ε ∀n≥nε ∀m≥1
Corolar
Dacă o serie ∑∞
=0nna este convergentă atunci lim an=0.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 60
Propoziţie
Fie seriile ∑∞
=0nna , ∑
∞
= 0nnb şi α,β∈R
*. Atunci:
1) Seria ∑∞
=
α0n
na are aceeaşi natură cu seria ∑∞
=0nna , iar dacă ∑
∞
=0nna este
convergentă are loc egalitatea ∑∞
=
α0n
na =α∑∞
=0nna ;
2) Dacă seriile ∑∞
=0nna şi ∑
∞
= 0nnb sunt convergente atunci şi ∑
∞
=
β+α0n
nn )ba(
este convergentă şi are loc egalitatea: ∑∞
=
β+α0n
nn )ba( =α∑∞
=0nna +β∑
∞
= 0nnb .
Definiţie
O serie ∑∞
=0nna se numeşte serie absolut convergentă dacă seria ∑
∞
=0nna este
convergentă. O serie convergentă care nu este absolut convergentă se numeşte serie semiconvergentă.
Propoziţie
O serie ∑∞
=0nna absolut convergentă este convergentă.
Definiţie
O serie ∑∞
=0nna se numeşte serie necondiţionat convergentă (serie comutativ
convergentă) dacă ∀σ:N→N o aplicaţie bijectivă (permutare a mulţimii
numerelor naturale) seria ∑∞
=σ
0n)n(a este convergentă.
Teoremă (Criteriul I de comparaţie)
Fie ∑∞
=0nna şi ∑
∞
= 0nnb două serii cu termeni pozitivi. Dacă an≤bn ∀n≥0 atunci:
1) ∑∞
= 0nnb este convergentă⇒∑
∞
=0nna este convergentă şi ∑
∞
=0nna ≤∑
∞
= 0nnb ;
2) ∑∞
=0nna este divergentă⇒∑
∞
= 0nnb este divergentă.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 61
Teoremă (Criteriul II de comparaţie)
Fie ∑∞
=0nna şi ∑
∞
= 0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă lim
n
n
b
a există şi
este nenulă şi finită atunci seriile au aceeaşi natură.
Teoremă (Criteriul III de comparaţie)
Fie ∑∞
=0nna şi ∑
∞
= 0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă
n
1n
n
1n
b
b
a
a ++ ≤
∀n≥0 atunci:
1) ∑∞
= 0nnb este convergentă⇒∑
∞
=0nna este convergentă;
2) ∑∞
=0nna este divergentă⇒∑
∞
= 0nnb este divergentă.
Corolar
Fie ∑∞
=0nna o serie cu termeni strict pozitivi.
1) Dacă ∃r∈(0,1) astfel încât ra
a
n
1n ≤+ ∀n≥0 atunci seria este convergentă;
2) Dacă ∃r∈[1,∞) astfel încât ra
a
n
1n ≥+ ∀n≥0 atunci seria este divergentă.
Teoremă (Criteriul raportului al lui D'Alembert)
Fie ∑∞
=0nna o serie cu termeni nenuli. Dacă L=lim∑
∞
=0nna există atunci:
1) L<1⇒∑∞
=0nna este absolut convergentă;
2) L>1⇒ ∑∞
=0nna este divergentă.
Teoremă (Criteriul radical al lui Cauchy)
Fie ∑∞
=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n
na există
atunci:
1) L<1⇒∑∞
=0nna este absolut convergentă;
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 62
2) L>1⇒ ∑∞
=0nna este divergentă.
Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel)
Fie ∑∞
=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n
−
+
1a
a
1n
n există
atunci:
1) L>1⇒∑∞
=0nna este absolut convergentă;
2) L<1 iar seria este numerică cu termeni strict pozitivi⇒∑∞
=0nna este
divergentă.
Teoremă (Criteriul Abel-Dirichlet)
Fie (an) şi (bn) două şiruri de numere reale având proprietăţile:
1) lim an=0;
2) ∑∞
=+ −
0nn1n aa este convergentă;
3) Dacă Sn=∑=
n
0iib atunci M= n
0nSsup
≥<∞.
În aceste condiţii seria ∑∞
=0nnnba este convergentă.
Teoremă (Leibniz)
Fie (an) un şir de numere reale convergent monoton la 0. Atunci seria alternată
∑∞
=
−0n
nn a)1( este convergentă.
Exemplu:
Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞
1=nnn
!n.
Soluţie Aplicăm criteriul D’Alembert şi obţinem lim
n
1n
n
!n)1n(
)!1n(++
+
=limn
n
)1n(
n
+=
lim n
n
1n
1
+
=e
1<1 deci seria este convergentă.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 63
2.3.2. Şiruri şi serii de funcţii
Definiţie
Fie D⊂R. Se numeşte şir de funcţii pe D o aplicaţie n∈N→(fn)∈RD.
Definiţie
Fie (fn) un şir de funcţii fn:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii
punctual convergent pe D dacă ∀a∈D⇒∃ba∈R astfel încât ∀ε>0⇒ ∃nε,a∈N
cu proprietatea că fn(a)-ba<ε ∀n≥nε,a.
Definiţie
Fie (fn) un şir de funcţii fn:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii
uniform convergent pe D către o funcţie f:D→R dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N cu
proprietatea că fn(a)-f(a)<ε ∀n≥nε ∀a∈D.
Propoziţie
Fie (fn) un şir uniform convergent de funcţii continue fn:[a,b]→R. Atunci f=lim
fn este continuă pe [a,b].
Definiţie
Fie un şir de funcţii mărginite fn:[a,b]→R, n≥0. Considerând şirul de funcţii
(Sn) unde Sn(x)=∑=
n
0kk )x(f ∀x∈[a,b], n≥0 perechea de şiruri de funcţii
((fn),(Sn)) se numeşte serie de funcţii pe [a,b]. Vom numi (Sn) şir al sumelor
parţiale ale seriei de funcţii. Vom nota o serie de funcţii simbolic: ∑∞
= 0nnf .
Definiţie
Fie o serie de funcţii ∑∞
= 0nnf . Numim mulţime de convergenţă a seriei
Sarcina de lucru 8
Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞
1=nn)n (lnn
1.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 64
mulţimea C=x∈[a,b]∑∞
= 0nn )x(f este convergentă.
Definiţie
Considerând mulţimea de convergenţă C putem defini funcţia f:C→R, f(x)=
∑∞
= 0nn )x(f . Funcţia f se numeşte suma seriei de funcţii iar ∑
∞
= 0nnf se numeşte
serie punctual convergentă pe C. Dacă în plus şirul sumelor parţiale (Sn)
converge uniform la f pe C spunem că ∑∞
= 0nnf este serie uniform convergentă
pe C.
Teoremă (Weierstrass)
Fie o serie de funcţii ∑∞
= 0nnf şi o serie numerică convergentă ∑
∞
=0nna astfel încât
fn(x)≤an ∀x∈[a,b] ∀n≥1. Atunci seria ∑∞
= 0nnf este uniform convergentă pe
[a,b].
2.3.3. Serii de puteri
Definiţie
Fie (an)⊂R. Se numeşte serie de puteri centrată în x0∈R seria de funcţii
∑∞
=
−0n
n0n )xx(a . Numerele reale an se numesc coeficienţii seriei de puteri.
Dacă x0=0 vom spune că seria ∑∞
= 0n
nn xa este centrată în origine.
Lemă (Abel)
Fie seria de puteri ∑∞
= 0n
nn xa şi r∈R
* astfel încât şirul (anrn) este mărginit.
Atunci:
1) ∀x∈(-r,r) seria ∑∞
= 0n
nn xa este absolut convergentă;
2) ∀0<r'<r seria ∑∞
= 0n
nn xa este uniform convergentă pe intervalul compact
[-r',r'].
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 65
Definiţie
Fie ∑∞
=0n
nn xa o serie de puteri. Numărul real
R=supr∈R+(anrn) este mărginit
se numeşte raza de convergenţă a seriei.
Teoremă
Fie ∑∞
=0n
nn xa o serie de puteri şi R raza sa de convergenţă. Atunci:
1) Dacă R∈(0,∞) atunci seria ∑∞
=0n
nn xa este absolut convergentă ∀x∈(-R,R)
şi divergentă pentru x∈(-∞,R)∪(R,∞). Seria este uniform convergentă pe
orice interval [-r,r],0<r<R;
2) Dacă R=0 atunci seria ∑∞
=0n
nn xa este convergentă (absolut) numai pentru
x=0;
3) Dacă R=∞ atunci seria ∑∞
=0n
nn xa este absolut convergentă pe R. Seria este
uniform convergentă pe orice interval [-r,r],r>0.
Teoremă (Cauchy-Hadamard)
Fie seria de puteri ∑∞
=0n
nn xa . Atunci:
R=n
nalim
1
unde vom considera 01
=∞
şi ∞=0
1.
Exemplu:
Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:
∑∞
−1=n
nn x)1(
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 66
Soluţie Fie D mulţimea de convergenţă a seriilor. 1)Avem R=1
1
(-1)lim
1
n n=
=1 de unde D⊃(-1,1). Pentru x=1 avem seria ∑∞
1=n
n(-1) pentru care şirul
sumelor parţiale este Sn= −
par=n daca 0
impar=n daca 1. Cum (Sn) nu este convergent,
rezultă că seria ∑∞
1=n
n(-1) este divergentă. Pentru x=-1 avem seria ∑∞
1=n
1 pentru
care şirul sumelor parţiale este Sn=n iar lim Sn=∞ deci din nou seria este
divergentă. Prin urmare, D=(-1,1).
2.3.4. Dezvoltarea în serie Taylor
Definiţie
Fie f:(a,b)→R, derivabilă de ordinul n+1, n≥1 pe (a,b). Numim polinomul
Taylor de grad n asociat funcţiei f în punctul x0:
Tn= n0
0)n(
00
0 )xX(!n
)x(f...)xX(
!1
)x('f)x(f −++−+
Observaţie
Definind restul de ordin n ca fiind Rn(x)=f(x)-Tn(x) ∀x∈(a,b) avem
f(x)=Tn(x)+Rn(x) ∀x∈(a,b) sau detaliat:
f(x)= n0
0)n(
00
0 )xx(!n
)x(f...)xx(
!1
)x('f)x(f −++−+ +Rn(x) ∀x∈(a,b)
numită formula lui Taylor de ordinul n.
Fie I=[x,x0] dacă x<x0 şi I=[x0,x] dacă x0<x. Fie funcţia h:I→R definită prin:
Sarcina de lucru 9
Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri: ( )∑∞
−1=n
nnx1n
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 67
−−
−−
+−= ∑∑=
+
+
=
k0
n
0k
)k(
1n0
1nk
n
0k
)k(
)xx(!k
)t(f)x(f
)xx(
)tx()tx(
!k
)t(f)t(h
Avem acum h(x0)=h(x)=f(x). Din faptul că f este derivabilă de ordinul n+1 pe
(a,b)⊃I rezultă că h este derivabilă pe o
I şi continuă pe I. Aplicând teorema lui
Rolle rezultă că ∃ξ∈o
I (deci x<ξ<x0 sau x0<ξ<x) astfel încât h’(ξ)=0. Calculând h' rezultă:
Rn(x)= 1n0
)1n(
)xx()!1n(
)(f ++
−+
ξ-restul lui Lagrange
iar formula lui Taylor cu restul lui Lagrange este:
f(x)= n0
0)n(
00
0 )xx(!n
)x(f...)xx(
!1
)x('f)x(f −++−+ + 1n
0
)1n(
)xx()!1n(
)(f ++
−+
ξ
∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)).
Dacă 0∈(a,b) atunci din formula lui Taylor cu restul lui Lagrange aplicată în x0=0 avem formula lui Mac Laurin:
1n)1n(
n)n(
2 x)!1n(
)(fx
!n
)0(f...x
!2
)0("fx
!1
)0('f)0(f)x(f +
+
+ξ
+++++=
∀x∈(a,b), ξ∈(0,x) (sau (x,0)).
Teoremă (Formula lui Taylor)
Fie x0∈Rn şi r>0. Fie de asemenea o funcţie f:B(x0,r)→R, derivabilă de n+1-
ori pe B(x0,r). Atunci ∀x∈ B(x0,r)⇒∃α∈(0,1) astfel încât:
∑
∑
∑∑
=
+
=
==
+
++
+−−α+α−
∂∂∂
+
+−−∂∂
∂+
+−−∂∂
∂+−
∂∂
+=
m
1i,...,i
i0
ii0
i0ii
1n
m
1i,...,i
i0
ii0
i0ii
n
m
1j,i
j0
ji0
i0ji
2m
1i
i0
i0i0
1n1
1n1n11
1n1
n1
nn11
n1
)xx)...(xx)(xx)1((x...x
f
)!1n(
1
)xx)...(xx)(x(x...x
f
!n
1
...)xx)(xx)(x(xx
f
2
1)xx)(x(
x
f)x(f)x(f
∀x=(x1,...,xm)∈B(x0,r)⊂Rm iar x0=(x0
1,...,x0m)∈R
m, α∈(0,1).
Teoremă (de dezvoltare în serie Taylor)
Fie f:(a,b)→R, f∈C∞((a,b)) astfel încât ∃M>0 cu f(n)(x)≤M ∀n∈N ∀x∈(a,b).
Seria Taylor:
n0
0n
0)n(
)xx(!n
)x(f−∑
∞
=
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 68
asociată lui f într-un punct x0∈(a,b) este uniform convergentă pe orice interval compact din (a,b) şi
f(x)= n0
0n
0)n(
)xx(!n
)x(f−∑
∞
=
∀x∈(a,b)
Exemplu:
Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=sin x, x∈R.
Soluţie sin x= ...!7
x
!5
x
!3
xxx
)!1n2(
)1( 7531n2
0=n
n
+−+−=+
− +∞
∑
2.4. Extremele funcţiilor
2.4.1. Extreme locale. Funcţii implicite
Definiţie
Fie D⊂Rn, deschisă şi f:D⊂R
n→R. Se numeşte punct de maxim local (punct
de minim local) un punct a∈D astfel încât ∃V∈V(a) cu proprietatea că
f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈V∩D. f(a)∈R se numeşte maxim local (minim local) al funcţiei f.
Definiţie
Fie D⊂Rn, deschisă şi o funcţie f:D⊂R
n→R. Numim punct de maxim (punct
de minim) un punct a∈D astfel încât f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈D. f(a)∈R se numeşte maxim (minim) al funcţiei f.
Observaţie
Vom spune, atunci când nu ne interesează explicit natura unui punct din definiţie, că “a” este punct de extrem (global) iar f(a)-extrem (global).
Observaţie
Un punct de maxim local (global) al funcţiei f este punct de minim local (global) pentru funcţia -f. Un punct de minim local (global) al funcţiei f este punct de maxim local (global) pentru funcţia –f.
Sarcina de lucru 10
Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=ex, x∈R.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 69
Definiţie
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D.
Spunem că “a” este un punct critic (punct staţionar) al lui f dacă df(a)=0.
Teoremă (Fermat)
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem
local a∈D al lui f. Atunci df(a)=0 (a este punct critic al lui f).
Corolar
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem
local a∈D al lui f. Atunci ix
f
∂∂
(a)=0,i=1,...,n.
Teoremă
Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă de ordinul 2 într-un punct
critic a∈D al lui f. Punctul “a” este un maxim local dacă forma pătratică d2f(a) este negativ definită. Punctul “a” este un minim local dacă forma pătratică d2f(a) este pozitiv definită.
Teoremă (a funcţiilor implicite, Goursat)
Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rm+n→R
n, D-deschisă, n≥1, m≥0,
(x1,...,xm,y1,...,yn)→(f1(x1,...,xm,y1,...,yn),...,fn(x1,...,xm,y1,...,yn)) şi
c=(a1,...,am,b1,...,bn)∈D Dacă: f(c)=0; fi∈C1(D), i= n,1 ;
)y,...,y(D
)f,...,f(D
n1
n1 (c)≠0 atunci:
∃W=U×V∈V(c) astfel încât U⊂Rm,V⊂R
n şi ϕ=(ϕ1,...,ϕn):U→V astfel încât
bi=ϕi(a1,...,am), i= n,1 iar fk(x1,...,xm,ϕ1(x1,...,xm),...,ϕn(x1,..., xm))=0, k= n,1 ,
∀(x1,...,xm)∈U; ϕk∈C1(U),k= n,1 , iar:
)y,...,y(D
)f,...,f(D)y,...,y,x,y,...,y(D
)f,...,f(D
x
n1
n1
n1ki1k1
n1
i
k +−−=∂∂ϕ
, k= n,1 ,i= m,1 ;
Dacă funcţiile fi∈Cs(D), i= n,1 , s≥1 atunci şi funcţiile ϕi∈C
s(U), i= n,1 .
Corolar
Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rn→R
n, D-deschisă, n≥1 şi a=(a1,...,an)∈D. Dacă:
fi∈C1(D), i= n,1 şi
)x,...,x(D
)f,...,f(D
n1
n1 (a)≠0 (f este transformare regulată) atunci:
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 70
1) ∃U∈V(a) astfel încât fU:U→f(U) este bijectivă;
2) Considerând aplicaţia inversă f-1:f(U)→U avem f-1k∈C
1(f(U)), k= n,1 , iar:
)a()x,...,x(D
)f,...,f(D1
))a(f()y,...,y(D
)f,...,f(D
n1
n1n1
1n
11 =
−−
Definiţie
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, i=1,...,m, m,n≥1. Spunem că funcţiile fi,
i=1,...,m sunt în dependenţă funcţională (sau că sunt dependente funcţional)
dacă ∃Φ:E⊂Rm→R astfel încât Φ(f1(x1,...,xn),...,fm(x1,...,xn))=0 ∀(x1,...,xn)∈D.
Funcţiile fi, i=1,...,m sunt în independenţă funcţională (sau independente
funcţional) dacă nu sunt dependente funcţional.
Teoremă
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C
1(D), i=1,...,m, 1≤m≤n. Funcţiile fi, i=1,...,m sunt dependente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar dependente în spaţiul vectorial L(Rn,R).
Corolar
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C
1(D), i=1,..., m, 1≤m≤n. Funcţiile fi, i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar independente în spaţiul vectorial L(Rn,R).
Corolar
Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C
1(D), i=1,..., m, 1≤m≤ n. Funcţiile fi, i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă rangul matricei jacobiene a funcţiilor fi, i=1,...,m este m.
Teoremă (Lagrange)
Fie o funcţie f:D⊂Rn+m→R, D-deschisă, m,n≥1 şi legăturile gk:D→R,
gk(x1,...,xn,y1,..., ym)=0, k=1,...,m, diferenţiabile pe D. Dacă un punct
(a1,...,an,b1,...,bm)∈D este un punct de extrem local astfel încât
gk(a1,...,an,b1,...,bm)=0, k=1,...,m şi dacă )y,...,y(D
)g,...,g(D
m1
m1 (a1,...,an,b1,...,bm)≠0
atunci există λ1,...,λm∈R şi funcţia Φ:D→R, Φ=f+λ1g1+...+λmgm astfel încât
ix∂Φ∂
(a1,...,an,b1,...,bm)=0, i=1,...,n, jy∂
Φ∂(a1,...,an,b1,...,bm)=0, j=1,...,m.
Observaţie
Metoda expusă mai sus se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange iar
numerele λi, i=1,...,m se numesc multiplicatorii lui Lagrange.
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 71
Exemplu:
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei:
(a) f:R2→R, f(x,y)=x3+y
3-3xy+2
Soluţie Punctele critice se determină rezolvând sistemul:
=−=∂∂
=−=∂∂
0x3y3y
f
;0y3x3x
f
2
2
de unde
==
xy
;yx2
2
. Avem deci x,y≥0 iar din x4-
x=0⇒x1=y1=0, x2=y2=1. Punctele critice sunt deci A(0,0) şi B(1,1). Avem
însă y6y
f ,3
yx
f ,x6
x
f2
22
2
2
=∂∂
−=∂∂
∂=
∂∂
de unde d2f(a,b)(u,v)=6au
2-6uv+
6bv2. Matricea formei pătratice este:
6b3-
3-6a de unde ∆1=6a, ∆2= 36ab-
9. Dacă a=b=0 avem d2f(a,b)(u,v)=-6uv şi cu ajutorul metodei lui Gauss,
obţinem în urma transformării u’=u+v, v’=u-v: d2f(0,0)(u’,v’)=-
)'v'u(2
3 22 − -formă pătratică semidefinită. Prin urmare, punctul A(0,0) nu
este de extrem fiind punct şa. Pentru a=b=1 avem acum ∆1=6, ∆2=27 şi
cum ambii sunt pozitivi rezultă că forma pătratică este pozitiv definită deci
punctul B(1,1) este punct de minim local. Minimul local al funcţiei este
f(1,1)=1.
Sarcina de lucru 11
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f(x,y)=xy cu legătura dată de g(x,y)=x+y-1=0.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 72
T
Test de autoevaluare
I. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul II ale funcţiei de mai jos în
punctul indicat: f:R3→R, f(x,y,z)=exysin yz în punctul (1,π,1) (3 puncte)
a) zy
f2
∂∂∂
(1,π,1)=1
b) yx
f2
∂∂∂
(1,π,1)=0
c) 2
2
x
f
∂∂
(1,π,1)=0
d) zx
f2
∂∂∂
(1,π,1)=1
II. Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞
+1=n3n1
1 (3 puncte)
a) convergentă
b) divergentă
c) semi-convergentă
d) condiționat convergentă
III. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:
Rezumat
Noţiunile de mulţime deschisă şi mulţime închisă sunt fundamentale în construcţia obiectelor specifice analizei matematice. De asemenea, punctul de acumulare este fundamental în definirea limitei unei funcţii, iar ulterior în definiţia diferenţiabilităţii acesteia. Noţiunile de derivată după o direcţie şi cea particulară a derivatei parţiale aduc conceptul de “viteză” a unui proces, de multe ori mai importantă decât procesul în sine.
Seriile numerice reprezintă o extensie a sumelor finite, aplicabile în calcule iterative de dimensiuni mari. De asemenea, seriile de funcţii şi cele de puteri în special, permit “simularea” unei funcţii printr-un “polinom de grad infinit” ceea ce înlesneşte ulterior calculul unor mărimi, de multe ori dificile, cum ar fi diferenţialele sau integralele.
Extremele funcţiilor îşi găsesc o aplicare firească la optimizarea proceselor economice general,e ce nu permit, de exemplu, aplicarea unor algoritmi
specifici (vezi mai târziu algoritmul Simplex).
Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica
Matematică aplicată în Economie 73
∑∞
++
1=n
n
2x
nn
nn (4 puncte)
a) D=[-2,2)
b) D=[-1,1)
c) D=[-4,4)
d) D=[-10,10)
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie
analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.
Ioan C. A. (2011). Matematică, Galați: Ed. Sinteze
Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.
LUCRARE DE VERIFICARE
I. Fie în R3 subspaţiile U1=(11a+12b;33a+31,73b;-44a-43,73b)a,b∈R şi
U2=(-20c+3d;5c-8d;1c-11d)c,d∈R. Să se determine U1∩U2. II. Fie în R
4 vectorii v1=(1,-6,-7,-7)t, v2=(-4,-8,-4,-3)t, v3=(7,1,-8,2)t, v4=(-2,-9,-
4,α)t. În care din intervalele de mai jos trebuie să se găsească α∈R, astfel încât
sistemul de vectori v1,v2,v3,v4 să nu fie un sistem de generatori pentru R4?
III. Să se calculeze diferenţiala a doua a funcţiei f:R3→R,
f(x,y,z)=-6x4+4e-7xy+9x4y9z-9 în punctul A(1,0,2)∈R3.
Lucrarea va fi predată in termenul specificat pe platformă spre a fi verificată și notată, ea fiind inclusă în nota finală.
3. TEORIA PROBABILITĂŢILOR
Elemente de teoria probabilităţilor 75
Variabile aleatoare. Funcţia de repartiţie. Densitatea de
repartiţie
83
Procese stochastice. Lanţuri Markov 89
Principalele legi de repartiţie 92
Obiectivele specifice unităţii de învăţare
Rezumat 93
Teste de autoevaluare 94
Bibliografie minimală 94
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să defineşti noţiunea de probablitate;
• să aplici schemele de probabilitate;
• să explici indicatorii numerici ai variabilelor aleatoare.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 75
3.1. Elemente de teoria probabilităţilor
3.1.1. Probabilităţi - câmp de evenimente, frecvenţă, probabilitate
Noţiunile de eveniment şi experienţă sunt noţiuni primare. Aşa cum în teoria mulţimilor sunt considerate uneori drept noţiuni primare cele de mulţime şi de element al acesteia, în mod analog vom proceda în această teorie. Vom sugera aceste două noţiuni pe baza unor exemple. De asemenea, trebuie să facem următoarea remarcă, fără de care teoria probabilităţilor poate părea vulgară. Majoritatea exemplelor şi aplicaţiilor se vor face pe situaţii uşor de înţeles. Astfel, vom prefera exemple privind aruncarea cu zarul sau cu banul, extrageri de bile din urne etc. în locul unor experienţe cu maşini şi utilaje sau altele de acest gen (în fond, oricâte maşini şi utilaje am avea în viaţă, tot în urnă ajungem!) Exemplu: Să considerăm experienţa aruncării cu zarul, gândit ca un cub omogen numerotat pe cele şase feţe de la 1 la 6. Cele de mai jos sunt câteva exemple de evenimente ce pot apare la o aruncare:
• E1:”apare faţa 2”;
• E2:”apare una din feţele 2 sau 5”;
• E3:”apare o faţă impară”;
• E4:”apare una din feţele 1, 3 sau 5”;
• E5:”apare faţa 5”;
• E6:”apare una din feţele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6”;
• E7:”apare faţa 7”;
• E8:”apare o faţă pară”;
• E9:”apare una din feţele 1, 2 sau 3” Definiţie Evenimentul care se realizează la fiecare experienţă se numeşte eveniment
sigur, iar cel care nu se realizează niciodată-eveniment imposibil. Astfel, la aruncarea cu zarul, E6 este evenimentul sigur, iar E7 este evenimentul imposibil (este evident că vom elimina aici cazuri extrem de rare cum ar fi oprirea zarului pe o muchie sau pe un colţ). De asemenea, trebuie să remarcăm că aceste două evenimente constituie într-un anumit sens “extreme” ale experienţelor. Ele se vor gândi ca nişte clase de situaţii notate, fiecare, printr-un singur simbol, aşa cum vom vedea mai departe. Este necesară o atare înţelegere deoarece, spre exemplu şi evenimentul “apare una din feţele 1,2,3,4,5,6 sau 7” este sigur aşa cum evenimentul “apare faţa 8” este şi el imposibil. Există o teorie generală, aşa-numita teorie a măsurii, care până într-un anumit punct, tratează în mod unitar teoria probabilităţilor, teoria mulţimilor, teoria integralei, teoria ariilor şi volumelor şi altele. Din acest motiv, vom utiliza în prezentarea unor concepte ale teoriei probabilităţilor notaţii din teoria mulţimilor, având grijă însă de interpretarea acestora în sensul primei dintre
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 76
teoriile de mai sus. În acest sens, vom nota evenimentul sigur cu E şi
evenimentul imposibil cu ∅. Definiţie Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe. Dacă realizarea
unui eveniment A∈E implică realizarea unui eveniment B∈E spunem că A
implică pe B sau că B este implicat de A şi scriem A⊂B sau B⊃A. Definiţie Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E. Dacă
A⊂B şi B⊂A spunem că A este echivalent cu B şi notăm A=B. Definiţie Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A∈E . Evenimentul care se realizează atunci când nu se realizează A şi care nu se realizează atunci când se realizează A se numeşte contrarul lui A şi se notează
non A, A (notaţie preferată aici) sau Ac. Definiţie Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E. Evenimentul care constă în realizarea fie a lui A, fie a lui B, fie a amândurora (deci a cel puţin unuia dintre evenimente) se numeşte A sau B şi se notează
A∪B. Definiţie Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E . Evenimentul care constă în realizarea fie numai a lui A, fie numai a lui B (deci a unuia singur dintre evenimente) se numeşte A sau exclusiv B şi se notează
A∆B. Definiţie
Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E . Evenimentul care constă în realizarea atât a lui A cât şi a lui B se numeşte A şi
B şi se notează A∩B. Definiţie Două evenimente A,B∈E pentru care A∩B=∅ (deci nu se pot realiza simultan) se numesc evenimente incompatibile, în caz contrar numindu-se evenimente compatibile. Definiţie Fie M=P(E), E-mulţime, mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei
experienţe. O familie nevidă K⊂P(E) finită, se numeşte câmp de evenimente dacă:
1) A∈K⇒A ∈K;
2) A∈K, B∈K⇒A∪B∈K. Vom nota (E,K) un câmp de evenimente. În cele ce urmează, vom analiza numai câmpuri finite de evenimente, acestea fiind cele mai întâlnite în aplicaţiile practice.
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 77
Teoremă
Fie (E,K) un câmp finit de evenimente. Dacă Ai∈K ∀i=1,...,n atunci Un
1iiA
=
∈K. Teoremă Fie (E,K) un câmp finit de evenimente. Au loc următoarele afirmaţii:
1) E∈K, ∅∈K;
2) ∀Ai∈K, i=1,...,n⇒In
1iiA
=
∈K;
3) ∀A,B∈K⇒A-B∈K;
4) ∀A,B∈K⇒A∆B∈K. Să considerăm acum o experienţă pe care o efectuăm de n ori, la fiecare repetare a ei posibilitatea de realizare a unui anumit eveniment fiind aceeaşi. Dacă evenimentul se realizează de k ori, vom spune că frecvenţa acestuia este
n
k. Vom numi în general frecvenţa unui anumit eveniment A ca fiind:
posibilecazurilor numarul
realizatecazurilor numarulf A =
Definiţie Fie (E,K) un câmp finit de evenimente. Se numeşte probabilitate pe K o
funcţie P:K→R+ astfel încât: 1) P(E)=1;
2) ∀A,B∈K, A∩B=∅⇒P(A∪B)=P(A)+P(B). Definiţie
Numim tripletul (E,K,P) câmp de probabilitate. Teoremă Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci:
1. P(∅)=0;
2. ∀Ai∈K, Ai∩Aj=∅, i,j=1,...,n, i≠j⇒ ∑==
=n
1ii
n
1ii )A(P)A(P U ;
3. P( A )=1-P(A) ∀A∈K;
4. P(A)∈[0,1] ∀A∈K;
5. A⊂B⇒P(A)≤P(B) şi P(B-A)=P(B)-P(A). Teoremă Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) ∀A,B∈K
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 78
Corolar Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci are loc proprietatea de
subaditivitate finită:
∑==
≤n
1ii
n
1ii )A(P)A(P U ,∀Ai∈K, i=1,...,n.
Corolar Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci:
P(A∆B)=P(A)+P(B)-2P(A∩B) ∀A,B∈K Definiţie Fie M=P(E) mulţimea evenimentelor asociate unei experienţe şi I o familie de
indici cel mult numărabilă. O submulţime S=Aii∈I⊂P(E), Ai≠∅ se numeşte sistem complet de evenimente (partiţie) a lui E dacă:
1. Ai∩Aj=∅ ∀i,j∈I, i≠j;
2. UIi
iA∈
=E.
Exemplu:
Un muncitor a lucrat 3 piese. Notând cu A,B,C evenimentele care constau în faptul că prima, a doua respectiv a treia piesă este defectă, să se scrie formal următoarele evenimente: a) nici una din piese nu este defectă; b) cel puţin una este defectă; c) numai una este defectă; d) exact două sunt defecte; e) cel puţin două sunt defecte; f) cel mult două sunt defecte.
Soluţie Vom nota de asemenea evenimentele contrare A =”piesa 1 este
bună”, B=”piesa 2 este bună”, C=”piesa 3 este bună”. Avem atunci:
a) A ∩ B∩C;
b) A∪B∪C;
c) (A∩ B∩C)∪( A ∩B∩C)∪( A ∩B∩C);
d) (A∩B∩C)∪(A∩ B∩C)∪( A ∩B∩C);
e) ( A ∩ B∩C)∪(A∩ B∩C)∪( A ∩B∩C)∪( A ∩ B∩C);
f) A ∪ B∪C .
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 79
3.1.2. Probabilităţi condiţionate
Să presupunem că efectuăm un experiment de n ori şi un eveniment A s-a
realizat de k ori, k≠0. În cele k apariţii ale lui A s-a realizat de asemenea de p
ori, p≤k, un eveniment B. Avem deci fA=n
k şi fA∩B=
n
p. Dacă notăm fA(B)
frecvenţa lui B în ipoteza că A s-a produs avem fA(B)=k
p=
n
kn
p
=A
BA
f
f ∩ . Aceasta
conduce la o nouă definiţie şi anume: Definiţie Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi A,B∈K,P(A)≠0. Probabilitatea evenimentului B condiţionată de (realizarea lui) A se defineşte ca fiind:
)A(P
)BA(P)AB(P)B(PA
∩==
Propoziţie Probabilitatea condiţionată este o probabilitate pe K . Definiţie
Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Două evenimente A,B∈K se numesc
evenimente independente dacă P(A∩B)=P(A)P(B). Definiţie Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. O mulţime finită de evenimente
Aii∈I⊂K se numeşte independentă dacă ∀J⊂I implică:
IJj Jj
jj )A(P)A(P∈ ∈
∏=
Sarcina de lucru 1
La un examen, biletele conţin două probleme din părţi diferite de materie. Un student extrage un bilet. Probabilitatea ca el să rezolve prima problemă este 0,7, a doua problemă: 0,8 iar ambele probleme 0,6. Care este probabilitatea ca studentul să rezolve cel puţin o problemă?
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 80
Teoremă (formula probabilităţii totale) Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi S=Aii∈I⊂K un sistem complet de
evenimente cu P(Ai)≠0 ∀i∈I (I-cel mult numărabilă). Are loc egalitatea:
∑∈
=Ii
Ai )X(P)A(P)X(Pi
∀X∈K
Teoremă (formula lui Bayes) Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi S=Aii∈I⊂K un sistem complet de evenimente (I-cel mult numărabilă). Are loc egalitatea:
∑∈
=
IiAi
Ak
kX )X(P)A(P
)X(P)A(P)A(P
i
k ∀X∈K ∀Ak∈S
Teoremă (regula de înmulţire a probabilităţilor) Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi Aii=1,...,n⊂K un sistem de evenimente
pentru care P(A1∩...∩Ak)≠0 ∀k=1,...,n-1. Are loc următoarea egalitate:
)A(P)...A(P)A(P)A...A(P nA...A2A1n1 1n11 −∩∩=∩∩
Exemplu:
La un examen de an biletele cu subiecte sunt aşezate în două pachete. Primul pachet, ce conţine subiectele materiei din primul semestru conţine 30 de bilete iar al doilea, cu materia semestrului al doilea, conţine 40 de bilete. Un student se prezintă şi extrage câte un bilet din fiecare pachet. El cunoaşte bine 20 de bilete din semestrul I şi 35 de bilete din semestrul al II-lea. Care este probabilitatea ca el să promoveze examenul ştiind că pentru aceasta el trebuie să răspundă corect la ambele bilete? Soluţie Fie evenimentele A=”studentul a tras un bilet, din materia semestrului I, pe care-l cunoaşte”, B=”studentul a tras un bilet, din materia semestrului II,
pe care-l cunoaşte” şi C=”studentul promovează examenul”. P(A)=30
20
=0,667 şi P(B)=40
35=0,875. Avem C=A∩B. Cum evenimentele sunt
independente avem P(C)=P(A∩B)=P(A)P(B)= 0,667⋅0,875=0,584.
Sarcina de lucru 2
La un magazin se găsesc trei tipuri de televizoare de marcă necunoscută. Până în acel moment din 50 de televizoare de marca 1 cumpărate s-au defectat 10, din 70 de marca 2 s-au defectat 25 şi din 10 de marca 3 s-au defectat 4. O persoană cumpără un televizor fără să o intereseze marca. Care este probabilitatea ca acesta să se defecteze?
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 81
3.1.3. Scheme de probabilitate
I. Schema bilei neîntoarse (hipergeometrică) Într-o urnă sunt k tipuri de bile şi anume ai bile de culoarea ci, i=1,...,k. Dacă extragem n bile simultan (sau altfel, fără a returna bilele, ceea ce este acelaşi lucru) atunci probabilitatea ca să obţinem bi bile de culoarea ci, i=1,...,k (evident n=b1+...+bk) este:
P=k1
k1
i
i
b...ba...a
k
1=i
ba
C
C
++++
∏
Pentru demonstraţie, să remarcăm că la extragerea celor n bile avem na...a k1
C +
cazuri posibile. Un grup de bi bile poate fi ales din cele ai bile în i
i
baC moduri.
Extragerile bilelor de diferite culori fiind independente, vom avea în total
∏k
1=i
b
aC i
i cazuri favorabile. Prin urmare, probabilitatea căutată este: P=
k1
k1
i
i
b...ba...a
k
1=i
ba
C
C
++++
∏.
II. Schema lui Poisson Fie evenimentele independente A1,...,An cu P(Ai)=pi şi fie qi=1-pi, i=1,...,n. Probabilitatea ca în n experienţe să se realizeze k dintre ele este:
P=coef (xk) din polinomul (p1x+q1)...(pnx+qn)
Pentru demonstraţie, să considerăm evenimentele iA , i=1,...,n pentru care P(
iA )=qi. Evenimentul căutat (realizarea a k evenimente în cele n experienţe)
este:
)A...AA...A(
n1
n1
n1kk1
i...in,1i,...,i
iiiiU≠≠
=
∪∪∪∪∪ +
şi cum toate evenimentele reuniunii sunt disjuncte două câte două rezultă că probabilitatea este cea de mai sus. Trebuie remarcat că în schema lui Poisson evenimentele A1,...,An nu sunt neapărat legate de situaţii distincte. Este posibil ca să repetăm experienţa pentru acelaşi eveniment cercetat, dar probabilitatea acestuia să se schimbe pe parcursul derulării ei. III. Schema lui Bernoulli (binomială) Fie un eveniment A cu P(A)=p şi q=1-p. Probabilitatea ca în n experienţe evenimentul A să se producă de k ori este
P= knC pkqn-k
Demonstraţia acestui fapt este banală, considerând pur şi simplu în schema lui Poisson A1=...=An şi deci p1=...=pn=p, q1=...=qn=q. În acest caz, coeficientul
lui xk din dezvoltarea (px+q)n=(q+px)n este P= kknkn
kknknn pqCpqC −−− =
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 82
deoarece din formula combinărilor complementare, avem: kn
knn CC =−
∀k=0,...,n. IV. Schema multinomială Fie evenimentele independente Ai, i=1,...,k cu probabilităţile pi. Probabilitatea ca în n experienţe evenimentul Ai să se realizeze de ai ori, i=1,...,n (a1+...+ak=n) este:
P= k1 ak
a1
k1
p...p!a!...a
!n
Pentru demonstraţie, fie A evenimentul căutat. Evenimentul A este reuniunea tuturor n-uplelor de evenimente în care A1 apare de a1 ori,...,Ak apare de ak ori.
Probabilitatea unui astfel de eveniment este: P’= k1 ak
a1 p...p . Totalul n-uplelor
care se pot forma cu aceste evenimente este de n!. Pentru o distribuţie a evenimentelor în cadrul unui n-uplu, cum nu interesează ordinea de apariţie a evenimentelor vor trebui eliminate permutările de evenimente identice.
Acestea sunt în număr de a1!...ak! deci în total reuniunea va conţine !a!...a
!n
k1
evenimente. Obţinem deci (evenimentele reuniunii fiind incompatibile două câte două) formula căutată. Exemplu:
La un control de calitate se cercetează 4 lădiţe de câte 20 de banane. În prima lădiţă este o banană stricată, în a doua sunt două banane stricate, în a treia sunt trei banane stricate şi în a patra sunt patru banane stricate. Se ia la întâmplare câte o banană din fiecare lădiţă.
a) Care este probabilitatea ca să fie 3 banane bune şi una stricată? b) Care este probabilitatea să fie cel puţin 3 banane bune? Răspuns Se aplică schema lui Poisson. Se consideră astfel polinomul:
+
+
+
+20
4x
20
16
20
3x
20
17
20
2x
20
18
20
1x
20
19
a)P=Coef(x3)=0,95⋅0,9⋅0,85⋅0,2+0,95⋅0,1⋅0,85⋅0,8+0,95⋅0,9⋅0,15⋅0,8+0,05⋅0,9⋅ 0,85⋅0,8= 0,3432; b)P=Coef(x3)+Coef(x4)=0,34315+0,95⋅0,9⋅0,85⋅0,8=0,9246.
Sarcina de lucru 3
Într-o uzină se fabrică becuri. La acestea întâlnim 2% defecte de fabricaţie şi 5% defecte de montaj. Să se calculeze probabilitatea ca un bec să fie rebut.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 83
3.2. Variabile aleatoare. Funcţia de repartiţie. Densitatea de repartiţie
3.2.1. Evenimente elementare. Variabile aleatoare. Operaţii cu variabile aleatoare.
Funcţia de repartiţie. Densitatea de repartiţie.
Definiţie Fie E≠∅ şi K0=P(E). Numim eveniment elementar orice eveniment ω∈K0
astfel încât singurele evenimente din K0 care-l implică sunt ω şi ∅. Vom nota
mulţimea evenimentelor elementare cu Ω. Definiţie Fie Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui K0=P(E). O aplicaţie f:Ω→R,
ω→f(ω)∈R se numeşte variabilă aleatoare. Definiţie Fie K⊂P(E) un câmp de evenimente. O aplicaţie f:Ω→R se numeşte variabilă
aleatoare în raport cu K dacă ω∈Ωf(ω)<x∈K ∀x∈R. Definiţie Dacă mulţimea valorilor unei variabile aleatoare este cel mult numărabilă aceasta se numeşte variabilă aleatoare discretă, în plus dacă este finită se numeşte variabilă aleatoare simplă, iar dacă mulţimea valorilor este nenumărabilă se numeşte variabilă aleatoare continuă. Teoremă Fie Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui K0=P(E) şi f:Ω→R o
aplicaţie care ia valorile distincte vi, i∈I (I-cel mult numărabilă). Fie
Ai=f=vi. Mulţimea S=Aii∈I este un sistem complet de evenimente iar f este o variabilă aleatoare în raport cu câmpul K generat de S. Teoremă Fie Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui K0=P(E) şi f:Ω→R o aplicaţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) f <x∈K ∀x∈R;
2) f ≤x∈K ∀x∈R;
3) f >x∈K ∀x∈R;
4) f ≥x∈K ∀x∈R;
5) a<f<b∈K ∀a,b∈R;
6) a≤f<b∈K ∀a,b∈R;
7) a<f≤b∈K ∀a,b∈R;
8) a≤f≤b∈K ∀a,b∈R. Definiţie Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f:Ω→R o variabilă aleatoare în raport
cu K, discretă, având valorile vii∈I. Fie Ai=ω∈Ωf(ω)=vi şi pi=P(Ai). Şirul
(vi,pi)i∈I se numeşte distribuţia variabilei aleatoare f. Vom nota:
Iii
i
p
v
∈
sau
...p...pp
...v...vv
n21
n21
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 84
Deoarece Aii∈I formează un sistem complet de evenimente, avem întotdeauna p1+...+pn+...=1. Definiţie Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f o variabilă aleatoare în raport cu K.
Funcţia F:R→[0,1], F(x)=P(f<x) se numeşte funcţia de repartiţie a
variabilei aleatoare f. Vom scrie pe scurt F(x)=P(f<x), x∈R. Teoremă Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete este o funcţie în scară (constantă pe porţiuni). Teoremă Funcţia de repartiţie F a unei variabile aleatoare f are proprietăţile:
1) F este monoton crescătoare; 2) ;1)x(Flim ,0)x(Flim
xx==
∞→−∞→
3) F este continuă la stânga în orice punct x∈R. Teoremă Fie o variabilă aleatoare f şi F funcţia sa de repartiţie. Atunci:
1) P(f=x)=F(x+0)-F(x) ∀x∈R;
2) P(f=x)=0⇔F este continuă în x∈R;
3) P(a≤f<b)=F(b)-F(a) ∀a,b∈R;
4) P(a<f<b)=F(b)-F(a+0) ∀a,b∈R;
5) P(a≤f≤b)=F(b+0)-F(a) ∀a,b∈R;
6) P(a<f≤b)=F(b+0)-F(a+0) ∀a,b∈R. Definiţie Fie o variabilă aleatoare f şi F funcţia sa de repartiţie. Dacă există o funcţie
ρ:R→[0,∞), integrabilă pe R, astfel încât: ∫∞−
ρ=x
dt)t()x(F atunci ρ se numeşte
densitatea de repartiţie (sau densitatea de probabilitate) a variabilei aleatoare f. Teoremă Fie o variabilă aleatoare f ce admite densitatea de repartiţie ρ. Atunci:
a) P(a≤f<b)= ∫ ρb
a
dx)x( ;
b) ∫∞
∞−
ρ dx)x( =1;
c) În orice punct de continuitate al lui ρ, F este derivabilă şi F’(x)=ρ(x);
d) Dacă F este derivabilă în orice punct x∈R atunci F are ca densitate de
repartiţie pe ρ=F’.
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 85
Definiţie Fie (E,K) un câmp de evenimente şi Ω mulţimea evenimentelor elementare ale
lui P(E). O aplicaţie V=(f1,...,fn):Ω→Rn se numeşte vector aleator în raport cu
K dacă toate componentele acestuia sunt variabile aleatoare relativ la K. Definiţie Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi V=(f1,...,fn) un vector aleator. Numim
funcţia de repartiţie a vectorului aleator V, aplicaţia F:Rn→R, F(x1,...,xn)=P(f1<x1,...,fn<xn) unde convenim ca:
P(f1<x1,...,fn<xn)= )xf(Pn
1iiiI
=
<
Proprietăţile vectorilor aleatori sunt asemănătoare cu cele ale variabilelor aleatoare şi anume: Teoremă Fie F funcţia de repartiţie a unui vector aleator V=(f1,...,fn). Atunci:
1) F este crescătoare în raport cu fiecare variabilă xi;
2) Limita parţială a lui F în raport cu fiecare variabilă este: la -∞:0 iar la ∞ aceasta este 1; 3) F este continuă la stânga în raport cu fiecare variabilă.
Definiţie Considerând funcţia de repartiţie F a unui vector aleator V, dacă există o
aplicaţie ρ:Rn→[0,∞), integrabilă pe Rn astfel încât:
F(x1,...,xn)= ∫∫∞−∞−
ρn1 x
nn1
x
1 dt)t,...,t(...dt
atunci ρ se numeşte densitatea de repartiţie a vectorului aleator V. Teoremă Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f,g variabile aleatoare relativ la K.
Atunci f+g, f-g, fg, g
f (dacă g≠0), fn ∀n∈N
*, cf, f+c ∀c∈R, f
1 (dacă f≠0), f
sunt de asemenea variabile aleatoare în raport cu K. Exemplu:
Fie variabila aleatoare ξ cu distribuţia
4,02,03,01,0
151094.
Să se determine funcţia sa de repartiţie.
Soluţie Ştiind că F(x)=P(ξ<x) şi că F este continuă la stânga, avem:
≤≤≤
≤
=
x<15 daca 1
15;x<10 daca 6,0
10;x<9 daca 0,4
9;x<4 daca 0,1
4; xdaca 0
)x(F
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 86
3.2.2. Indicatori numerici ai variabilelor aleatoare.
Definiţie
Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f=Iii
i
p
x
∈
o variabilă aleatoare discretă.
Vom numi media variabilei aleatoare f numărul real:
∑∈
=Ii
iixp)f(M
Definiţie Fie f o variabilă aleatoare, F funcţia sa de repartiţie şi ρ densitatea de repartiţie,
dacă aceasta există. Dacă ∫∞
∞−
)x(xdF este absolut convergentă atunci definim
media lui f ca fiind:
M(f)= ∫∞
∞−
)x(xdF
şi cum ρ=F’:
M(f)= ∫∞
∞−
ρ dx)x(x
Definiţie
Variabila aleatoare u=f-M(f) se numeşte abaterea lui f. Teoremă Fie f,f1,...,fn variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Atunci:
1) M(f1+...+fn)=M(f1)+...M(fn) ∀n≥2;
2) M(c)=c ∀c∈R;
3) M(f+c)=M(f)+c ∀c∈R.
4) M(cf)=cM(f) ∀c∈R. Teoremă Dacă f şi g sunt două variabile aleatoare independente în raport cu acelaşi câmp K atunci M(fg)=M(f)M(g).
Sarcina de lucru 4
Să se arate că funcţia [ ]
∞∪∞∈∈−−
=ρ)(2,,0)(- x,0
;2,0x ,x11)x( este o densitate de
repartiţie. Să se determine apoi funcţia sa de repartiţie.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 87
Definiţie Fie f o variabilă aleatoare şi n∈N
*. Numim moment de ordin n al lui f numărul:
Mn(f)=M(fn) Definiţie Fie f o variabilă aleatoare şi n∈N
*. Numim moment centrat de ordinul n al lui f numărul:
Mn(f)=M(un)=M((f-M(f))n)
Dacă F este funcţia de repartiţie a lui f şi ρ densitatea de repartiţie (dacă există) atunci mărimile de mai sus devin:
,)x(dF))f(Mx()f(M ,)x(dFx)f(M nnnn ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−==
∫∫∞
∞−
∞
∞−
ρ−=ρ= dx)x())f(Mx()f(M ,dx)x(x)f(M nnnn
Definiţie Numim dispersia (sau varianţa) unei variabile aleatoare f momentul centrat de ordinul 2 şi o vom nota D(f). Avem deci:
D(f)=M2(f)=M((f-M(f))2)=M(f2+M(f)2-2M(f)f)=M(f2)-M(f)2. Definiţie Se numeşte abatere medie pătratică a unei variabile aleatoare f numărul
)f(D)f( =σ .
Definiţie Fie f,g variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Valoarea medie a produsului abaterilor lor se notează Cfg=Cov(f,g)=M(uv) şi se numeşte corelaţia (sau covarianţa) variabilelor f şi g. Definiţie Fie f,g variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Dacă Cfg=0 vom spune că f şi g sunt variabile necorelate în caz contrar numindu-se variabile
corelate.
Definiţie Fie f,g variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Numim coeficientul de
corelaţie al variabilelor f şi g numărul:
)g()f(
Cfgfg σσ
=ρ
dacă σ(f),σ(g)≠0. Teoremă Coeficientul de corelaţie are următoarele proprietăţi:
1) ρfg∈[-1,1];
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 88
2) ρfg∈-1,1⇒∃a,b,c∈R astfel încât af+bg+c=0;
3) Dacă ∃a,b,c∈R astfel încât a,b≠0 şi af+bg+c=0⇒ρfg∈-1,1. Exemplu:
Fie variabila aleatoare: X=
02,008,03,04,02,0
43210.
Să se calculeze valoarea medie şi dispersia lui X. Soluţie Variabila aleatoare fiind simplă vom calcula media cu ajutorul
formulei M(X)=∑=
n
1iii vp . Avem deci: M(X)=0⋅0,2+1⋅0,4+2⋅0,3+3⋅0,08+
4⋅0,02=1,32. Avem: D(X)=M(X2)-M(X)2=M((X-M(X))2) şi deci două metode:
Metoda 1. Fie X2=
02,008,03,04,02,0
169410 de unde M(X2)=1⋅0,4+
4⋅0,3+9⋅0,08+16⋅0,02=2,64 iar M(X)2=1,322=1,7427 deci D(X)=2,64-1,7424=0,8976. Metoda 2. Avem M((X-M(X))2)=0,8976 în virtutea faptului că:
X-M(X)=
−−02,008,03,04,02,0
68,268,168,032,032,1, iar
(X-M(X))2=
02,008,03,04,02,0
1824,78224,24624,01024,07424,1.
Sarcina de lucru 5
Fie variabila aleatoare: X=
2,01,02,035,015,0
108541.
Să se calculeze valoarea medie, dispersia şi abaterea medie pătratică a lui X.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 89
3.3. Procese stochastice. Lanţuri Markov
Definiţie Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi Ω mulţimea evenimentelor elementare
ale lui K0=P(E). O aplicaţie X:R×Ω→R, (t,ω)→X(t,ω)∈R se numeşte proces
aleator (proces stochastic). Procesele stochastice sau lanţurile au semnificaţia unei derulări (nenumărabile în cazul proceselor sau numărabile în cazul lanţurilor) de variabile aleatoare care la fiecare “moment” t descriu starea sistemului analizat.
Fie acum un sistem complet de evenimente S=Aii∈I⊂K cu I cel mult numărabilă şi câmpul de probabilitate (E,K,P) generat de S. Avem deci K=<S>
şi deci Ω=S. Considerând un şir de experimente, definim lanţul: X:N×Ω→R,
(n,Ai)→X(n,Ai)=Xn(Ai)∈R unde Xn(Ai)=i dacă evenimentul Ai se realizează în
experienţa “i”. Fie J=i∈I∃n∈N a.î. P(Xn=i)>0⊂I. Mulţimea J este cel mult numărabilă (fiind inclusă în I – cel mult numărabilă) şi reprezintă mulţimea indicilor evenimentelor care se pot realiza în desfăşurarea procesului. Ea se numeşte mulţimea stărilor lanţului. Definiţie Un şir de variabile aleatoare (Xn)n∈N se numeşte lanţ Markov dacă ∀n≥1
∀i0,...,in∈J are loc:
P(Xn=inX0=i0,...,Xn-1=in-1)=P(Xn=inXn-1=in-1) unde probabilităţile sunt cele condiţionate. Propoziţie Fie lanţul Markov (Xn)n∈N. Atunci ∀n≥1 ∀p≥0 ∀ik∈J k≥0 avem:
P(Xn=in,Xn+1=in+1,...,Xn+p=in+pX0=i0,...,Xn-1=in-1)=
P(Xn=in,Xn+1=in+1,...,Xn+p=in+pXn-1=in-1)
Să notăm acum (pi)i∈J probabilităţile evenimentelor Ai în starea 0 (iniţială) şi
cu pij(n)=P(Xn=jXn-1=i) ∀n≥1 – probabilităţile de trecere de la starea “n-1” la starea “n”. Definiţie Un lanţ Markov se numeşte staţionar sau omogen dacă probabilităţile de trecere nu depind de “timp”.
Vom nota deci pij=pij(n) ∀n≥1 şi vom vorbi în cele ce urmează numai de lanţuri Markov staţionare.
Datorită faptului că evenimentele (Ai)i∈J formează un sistem complet de
evenimente (am restricţionat acest sistem la J⊂I prin înlăturarea acelora ce nu
puteau fi “atinse” de procesul considerat) rezultă că ∑∈Ji
ip =1, ∑∈Jj
ijp =1 ∀i∈J.
Considerând matricea M=(pij)i,j∈J (numită matrice de trecere) obţinem deci că suma elementelor aflate pe fiecare linie a acesteia este egală cu 1 şi în plus toate aceste elemente (fiind probabilităţi) sunt pozitive. O astfel de matrice se mai numeşte şi matrice stochastică.
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 90
Definiţie Se numesc probabilităţi de trecere în n paşi următoarele probabilităţi notate
)n(ijp definite recurent prin ecuaţiile Chapman-Kolmogorov:
∈∀≥==
δ=
∑∈
− Jji, 1n ,ppp
pp
p
Jk
)1(kj
)1n(ik
)n(ij
ij)1(
ij
ij)0(
ij
unde δij este simbolul lui Kronecker. Propoziţie
Cantitatea )n(ijp reprezintă probabilitatea ca lanţul Markov să treacă de la starea
i la starea j exact în “n” paşi ∀i,j∈J ∀n≥1. Propoziţie
Pentru orice m,n∈N are loc: ∑∈
+ =Jk
)m(kj
)n(ik
)mn(ij ppp
Definiţie
Numim probabilitate absolută a variabilei aleatoare Xn cantitatea: )n(ip
=P(Xn=i) ∀i∈J ∀n∈N definită prin relaţia: ∑∈
−=Jk
ki)1n(
k)n(
i ppp şi care
reprezintă probabilitatea ca lanţul Markov să intre în starea “i” în exact “n” paşi. Se obţine imediat relaţia:
∑∈
=Jk
)n(jij
)n(i ppp ∀i∈J ∀n∈N.
Se observă că pentru a cunoaşte diversele probabilităţi ale stărilor trebuie calculată puterea a n-a a matricei de trecere. Ne vom folosi, în acest scop de
valorile proprii ale acesteia. Fie deci λ1,...,λs valorile proprii ale lui M. Ne
reamintim că un vector propriu v, corespunzător valorii proprii λk, satisfacve
condiţiile v≠0 şi Mv=λkv (îl vom mai numi şi vector propriu la dreapta).
Analog, un vector propriu la stânga satisface: vtM=λkvt.
Propoziţie Valorile proprii ale unei matrice stochastice satisfac următoarele relaţii:
a) λ=1 este valoare proprie;
b) ∀λ o valoare proprie a lui M avem: λ≤1; c) Orice valoare proprie de modul este rădăcină întreagă a unităţii. d) Dacă matricea M are numai valorii proprii simple, atunci: Mn=
∑=
λs
1k ktk
tkk
nk
vw
wv. ∀n≥1 unde vk sunt vectorii proprii la dreapta, iar wk cei la
stânga corespunzători valorii proprii λk. Exemplu:
Un cumpărător sesizează că politica unei firme comerciale este următoarea: dacă într-o lună are preţuri mici, atunci luna următoare va avea preţuri mari cu
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 91
probabilitatea p, iar dacă într-o lună are preţuri mari, luna următoare va avea
preţuri mici cu probabilitatea q (p,q∈(0,1)). Se pune problema, care este probabilitatea ca după un an firma să aibă preţuri mici? Aplicaţie pentru p=0,6 şi q=0,3.
Soluţie Fie Xn variabila aleatoare ce indică starea preţurilor în luna “n” şi cele două stări notate 1 – preţuri mici şi 2 – preţuri mari. Considerând o lună arbitrară n, avem:
p11=P(Xn=1Xn-1=1)=1-p, p12=P(Xn=2Xn-1=1)=p,
p21=P(Xn=1Xn-1=2)=q, p22=P(Xn=2Xn-1=2)=1-q.
Matricea de trecere este deci: M=
−−
q1q
pp1. Determinând valorile proprii
ale matricei, obţinem: λ−−
λ−−q1q
pp1=0 de unde:
λ2-(2-p-q)λ+(1-p-q)=0 ce are rădăcinile simple: λ1=1 şi λ2=1-p-q. Pentru vectorii proprii, avem:
• λ1=1⇒ 0y
x
pp=
−−
⇒
=−=+−0qyqx
0pypx⇒x=y şi vom lua v1=
1
1. La
stânga, avem: ( ) 0qq
ppyx =
−−
⇒
=−=+−0qypx
0qypx de unde x=
p
qy şi vom
lua w1=
p
q.
• λ2=1-p-q⇒ 0y
x
pq
pq=
⇒
=+=+
0pyqx
0pyqx⇒x=
q
p− y şi luăm v2=
− q
p. La
stânga, avem: ( ) 0pq
pqyx =
⇒
=+=+
0pypx
0qyqx de unde x=-y şi luăm: w2=
−1
1.
Din partea teoretică, avem: ( )
=
1
1pqvw 1
t1 =q+p şi ( )
−−=
q
p11vw 2
t2
=p+q.
Obţinem: Mn=∑=
λ2
1k ktk
tkk
nk
vw
wv= ( ) ( )11
q
p
qp
)qp1(pq
1
1
qp
1 n
−
−+−−
+
+=
=
−−
+−−
+
pp
qp
)qp1(
pq
pq
qp
1 n
+−−+
+−−−
+−−−
+−−+
qp
)qp1(qp
qp
)qp1(qqqp
)qp1(pp
qp
)qp1(pq
nn
nn
.
Considerând probabilităţile iniţiale p1 şi p2 (p1+p2=1), avem (ca urmare a definiţiei):
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 92
( ) ( ) n21
)n(2
)n(1 Mpppp = = ( )
+−−+
+−−−
+−−−
+−−+
qp
)qp1(qp
qp
)qp1(qqqp
)qp1(pp
qp
)qp1(pq
pp nn
nn
21 =
+−−+
++
−−−+
−−−+
+−−+
qp
)qp1(qpp
qp
)qp1(ppp
qp
)qp1(qqp
qp
)qp1(pqp
n
2
n
1
n
2
n
1
Pentru “n” luând valori mari, cantitatea (1-p-q)n→0, deci avem:
qp
q
qp
qpqpplim 21)n(
1 +=
++
= şi qp
p
qp
ppppplim 21)n(
2 +=
++
= .
În cazul nostru, putem afirma (chiar dacă n=12 este mic, eroarea este de
asemenea mică) că firma va avea preţuri mici cu probabilitatea qp
q
+ şi preţuri
mari cu probabilitatea qp
p
+. Aplicaţia dă valorile:
3
1, respectiv
3
2.
Un lanţ Markov ale cărui probabilităţi )n(ip converg la o valoare finită,
independentă de distribuţia probabilităţilor iniţiale se numeşte lanţ ergodic.
3.4. Principalele legi de repartiţie
Legea Laplace-Gauss (legea normală) Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:
2
2
2
)mx(
e2
1)x( σ
−−
πσ=ρ
Vom nota o astfel de lege N(m,σ). Graficul funcţiei ρ este prezentat în figură
(m=1 şi σ=1). Avem M(X)=m,σ(X)=σ.
Sarcina de lucru 6
Un cumpărător sesizează că politica unei firme comerciale este următoarea: dacă într-o lună are preţuri mici, atunci luna următoare va avea preţuri mari cu probabilitatea p=0,6, iar dacă într-o lună are preţuri mari, luna următoare va avea preţuri mici cu probabilitatea q=0,3. Să se determine probabilitatea ca dacă într-o lună preţurile sunt mari, peste trei luni acestea să fie mici.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 93
Legea stă la baza modelării multor fenomene naturale. Erorile întâmplătoare sau fluctuaţiile rezultatelor unor experienţe satisfac de regulă legi ce pot fi aproximate de legea Laplace-Gauss.
Legea uniformă Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:
[ ]
∞∈
∈−
−∞∈
=ρ
),b(x daca 0
;b,ax daca ab
1);a,(x daca 0
)x( [a,b]⊂R
Vom nota o astfel de lege U(a,b). Graficul funcţiei ρ este prezentat în figură.
Avem 32
ab)X( ,
2
ba)X(M
−=σ
+= .
xm
y
O
(x)ρ
xa
b-a1___
b
y
O
(x)ρ
x
y
O
(x)ρ
Rezumat
În acest modul am prezentat noțiunile de eveniment, frecvență, probabilitate.
Operațiile cu evenimente permit descrierea unor situații complexe a căror șansă de realizare se poate determina cu ajutorul proprietăților funcției de probabilitate.
Noțiunea de variabilă aleatoare descrie pasul următor de analiză a fenomenelor întâmplătoare, indicatorii numerici asociați dând informații
Cătălin Angelo Ioan Teoria Probabilităţilor
Matematică aplicată în Economie 94
T
Test de autoevaluare
I. Fie variabila aleatoare ξ cu distribuţia
5,03,01,01,0
5621. Să se determine
pentru funcţia F a sa de repartiţie valoarea F(2) (5 puncte) a) F(2)=1 b) F(2)=0,6 c) F(2)=0,1 d) F(2)=0 II. Fie vectorul aleator (X,Y) dat prin următorul tablou:
Să se afle mediile M(X), M(Y) (5 puncte) a) M(X)=22, M(Y)=41 b) M(X)=0, M(Y)=0 c) M(X)=1, M(Y)=1 d) M(X)=34, M(Y)=26
Bibliografie minimală Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All. Ioan C. A. (2011). Matematică, Galați: Ed. Sinteze
Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze. Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.
sugestive despre natura fenomenului studiat.
X Y
20 40 60
10 3λ λ 0
20 2λ 4λ 2λ
30 λ 2λ 5λ
4. PROGRAMARE LINIARĂ
Probleme economice ce conduc la modelul matematic al
programării liniare
96
Algoritmul simplex primal 97
Dualitate în programarea liniară 114
Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară 121
Problema de transport 128
Obiectivele specifice unităţii de învăţare
Rezumat 134
Teste de autoevaluare 135
Bibliografie minimală 135
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să aplici corect algoritmul simplex;
• să interpretezi corect semnificaţia variabilelor duale;
• să modelezi rezolvând corespunzător problemele de transport.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 96
4.1. Probleme economice ce conduc la modelul matematic al programării
liniare
Utilizarea optimă a capacităţii maşinilor
Să considerăm o uzină care produce cu ajutorul a m maşini identice n produse distincte. Maşinile au capacităţi de producţie limitate. Ne punem în mod natural problema utilizării optime a acestora. Pentru aceasta să notăm cu aij procentul din capacitatea maşinii i pentru producerea unei unităţi din produsul j în perioada necesară pentru producerea unei unităţi de produs. De asemenea, să notăm cu xj numărul unităţilor de produs j fabricate în cursul acestei perioade. Considerând de asemenea şi cj beneficiile pe unitatea de produs, obţinem că restricţiile problemei se pun sub forma:
=≥
=≤∑
∑
=
n,1j ,0x
m,1i ,1xa
xc max
j
n
1j
jij
n
1=j
jj
Problema regimului alimentar
Fie un număr de n alimente disponibile A1,...,An şi C1,...,Cm componentele caracteristice ale acestora (vitamine, substanţe minerale, proteine, calorii etc.). Să notăm cu aij cantitatea de Ci aflată într-o unitate de măsură a lui Aj. Matricea A=(aij) se numeşte matrice de nutriţie. Dacă vom considera x1,...,xn cantităţile de alimente corespunzătoare lui A1,...,An, pentru o perioadă de timp şi pentru un anumit număr de persoane, problema se pune în sensul minimizării cheltuielilor necesare pentru o alimentaţie optimă. Fie deci b1,...,bm cantităţile minime de caracteristică Ci pentru o alimentaţie sănătoasă şi c1,...,cn costul pe unitatea de produs Ai. Problema devine:
=≥
=≥∑
∑
=
n,1j ,0x
m,1i ,bxa
xc min
j
i
n
1j
jij
n
1=j
jj
Problema de transport
Să considerăm m depozite şi n centre de desfacere. Ne propunem determinarea unei strategii de transport pentru distribuirea unui produs care se află în cantitatea ai în depozitul i şi este cerut în cantitatea bj la centrul de desfacere j. Fie xij cantitatea ce va fi transportată de la depozitul i la centrul j şi cij preţul transportului unei unităţi de produs de la depozitul i la centrul j (presupus
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 97
independent de cantitatea transportată pe ruta respectivă). Vom presupune de asemenea că toată cantitatea de marfă din depozite va fi expediată şi că toate cerinţele centrelor vor fi satisfăcute. Pentru aceasta va fi necesar ca
∑∑==
=n
1jj
m
1ii ba . Cerinţele problemei se scriu sub forma:
==≥
==
==
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
4.2. Algorimul simplex primal
Din exemplele prezentate mai sus, se poate formula problema generală a
programării liniare. Aceasta este:
≤≥
≤++++++++
≤++++++++
=++++++++
=++++++++
≥++++++++
≥++++++++
++++++++
++
+
+
+
+
++
+
+++
+
++++
+
+
+
+
++
+
+++
+
++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
arbitrari x,..., x,0 x ,..., x,0 x ,...,x
bxa...xaxa...xaxa...xa
...
bxa...xaxa...xaxa...xa
bxa...xaxa...xaxa...xa
...
bxa...xaxa...xaxa...xa
bxa...xaxa...xaxa...xa
...
bxa...xaxa...xaxa...xa
xc...xcxc...xcxc...xc min(max)
n1pp1kk1m
nmn
1p1p,m
pmp
1k1k,m
kmk
11m
1rn
n,1r1p
1p,1rp
p,1r1k
1k,1rk
k,1r1
1,1r
rn
rn1p
1p,rp
rp1k
1k,rk
rk1
1r
1qn
n,1q1p
1p,1qp
p,1q1k
1k,1qk
k,1q1
1,1q
qn
qn1p
1p,qp
qp1k
1k,qk
qk1
1q
1n
n11p
1p,1p
p11k
1k,1k
k11
11
nn
1p1p
pp
1k1k
kk
11
Notând acum:
c1=
k
1
c
...
c∈M1k(R), c2=
+
p
1k
c
...
c∈M1,p-k(R), c3=
+
n
1p
c
...
c∈M1,n-p(R),
x1=
k
1
x
...
x∈Mk1(R), x2=
+
p
1k
x
...
x∈Mp-k,1(R), x3=
+
n
1p
x
...
x∈Mn-p,1(R),
b1=
q
1
b
...
b∈Mq1(R), b2=
+
r
1q
b
...
b∈Mr-q,1(R), b3=
+
m
1r
b
...
b∈Mm-r,1(R),
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 98
A11=
qk1q
k111
a...a
.........
a...a∈Mqk(R), A12=
+
+
qp1k,q
p11k,1
a...a
.........
a...a∈Mq,p-k(R),
A13=
+
+
qn1p,q
n11p,1
a...a
.........
a...a∈Mq,n-p(R), A21=
++
rk1r
k,1q1,1q
a...a
.........
a...a∈Mr-q,k(R),
A22=
+
+++
rp1k,r
p,1q1k,1q
a...a
.........
a...a∈Mr-q,p-k(R),A23=
+
+++
rn1p,r
n,1q1p,1q
a...a
.........
a...a∈Mr-q,n-p(R),
A31=
++
mk1m
k,1r1,1r
a...a
.........
a...a∈Mm-r,k(R), A32=
+
+++
mp1k,m
p,1r1k,1r
a...a
.........
a...a∈Mm-r,p-k(R),
A33=
+
+++
mn1p,m
n,1r1p,1r
a...a
.........
a...a∈Mm-r,n-p(R)
obţinem forma generală a problemei de programare liniară (scrisă matriceal):
≤≥
≤++
=++
≥++
++
arbitrar x,0 x,0x
bxAxAxA
bxAxAxA
bxAxAxA
xcxcxc min(max)
3213
333
232
131
23
232
221
21
13
132
121
11
3t3
2t2
1t1
inegalităţile matriceale fiind înţelese pe componente, iar cit reprezintă
transpunerea vectorului coloană ci, i=1,2,3. Funcţia c1tx1+c2
tx2+c3tx3 se
numeşte funcţie obiectiv, relaţiile de forma:
ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n R bi
unde R este una din relaţiile ≥, =, ≤ se numesc restricţii ale problemei, iar ultimele, condiţii asupra variabilelor.
O soluţie a problemei de programare liniară se numeşte program optim al acesteia.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 99
Definiţie
O problemă de programare liniară în care toate restricţiile sunt ecuaţii, iar toate variabilele sunt nenegative se spune că are forma standard.
Din definiţie, obţinem că expresia unui astfel de program este:
≥
=
0x
bAx
xc (max) min t
unde: c=
n
1
c
...
c∈M1n(R),x=
n
1
x
...
x∈Mn1(R),b=
m
1
b
...
b∈Mm1(R),A=
mn1m
n111
a...a
.........
a...a
∈Mmn(R)
Definiţie
O problemă de programare liniară se spune că are forma canonică dacă are una din următoarele forme:
≥
≥
0x
bAx
xc min t
sau
≥
≤
0x
bAx
xcmax t
Din definiţiile de mai sus se creează impresia că programele sub forma standard sau cea canonică sunt mai restrictive decât cele în forma generală. Nu este însă adevărat acest lucru, orice program scris sub una din forme putând fi adus cu transformările de mai jos în oricare altă formă. Aceste transformări sunt:
• folosind faptul că min f(x)=-max(-f(x)) şi max f(x)=-min(-f(x)) orice problemă de minimizare (maximizare) se transformă într-una de maximizare (minimizare).
• sensul unei inegalităţi, prin înmulţirea cu –1, se schimbă în cel contrar;
• fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+
ai,p+1xp+1+...+ainx
n≤bi, adunând o variabilă ecart, yi≥0 ea se transformă într-o ecuaţie: ai1x
1+...+aikxk+ai,k+1x
k+1+...+aipxp+ai,p+1 x
p+1+...+ainxn+yi=bi;
• fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+
aipxp+ai,p+1x
p+1+...+ainxn≥bi, scăzând o variabilă ecart, yi≥0 ea se
transformă într-o ecuaţie: ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1
xp+1+...+ainxn-yi=bi;
• orice ecuaţie ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n=bi se transformă în două inecuaţii:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 100
ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n≥bi,
ai1x1+...+aikx
k+ai,k+1xk+1+...+aipx
p+ai,p+1xp+1+...+ainx
n≤bi
• variabilă nepozitivă x≤0 se transformă prin substituţia x=-x' într-o variabilă nenegativă şi reciproc;
• variabilă arbitrară x, prin substituţia x=x'-x”, x',x”≥0, se înlocuieşte cu diferenţa a două variabile nenegative;
Problemele de programare liniară au o interpretare geometrică interesantă. Vom exemplifica aceasta pentru cazul a două variabile (cazul general impunând definiţii şi noţiuni suplimentare care ar încărca inutil expunerea).
Fie o problemă de programare liniară în forma standard:
≥
=
0x
bAx
xc min t
în care matricea A∈Mmn(R), m<n, rang(A)=m. Vom nota cu ai=(ai1,...,ain), i=1,...,m, vectorul corespunzător liniei i şi cu aj=(a1j,...,amj)
t vectorul corespunzător coloanei j.
Observaţie
Un sistem Ax=b, A∈Mmn(R), se poate prezenta într-una din următoarele situaţii:
a) m>n (numărul de ecuaţii este mai mare decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci din ecuaţiile ce furnizează rangul se determină valorile unice ale variabilelor x1,...,xn. În acest caz, există, de asemenea, două situaţii:
(1) dacă valorile acestora satisfac şi celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este compatibil determinat. În acest caz, problema de programare liniară devine banală, funcţia obiectiv fiind determinată prin simpla introducere a valorilor x1,...,xn în expresia c1x
1+...+cnxn;
(2) dacă valorile acestora nu satisfac cel puţin una din celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este incompatibil şi problema este încheiată (domeniul restricţiilor fiind vid).
b) m=n (numărul de ecuaţii este egal cu cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m=n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci sistemul este compatibil determinat şi se procedează ca mai sus.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 101
c) m<n (numărul de ecuaţii este mai mic decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m (obs.1). Dacă rang(A)=m atunci din coloanele ce furnizează rangul (corespunzătoare variabilelor principale), se obţine expresia acestora în funcţie de variabilele secundare. Sistemul fiind nedeterminat rezultă o infinitate
(∞n-m) de soluţii, care induc o serie de dificultăţi suplimentare. Pe de o parte, valorile arbitrare ale variabilelor secundare trebuie alese astfel încât să fie satisfăcută condiţia de pozitivitate a tuturor variabilelor (problemă practic imposibilă în cazul general), iar pe de altă parte, după înlocuirea în funcţia obiectiv a valorilor variabilelor aceasta trebuie optimizată. Chiar dacă aici dispunem de instrumentarul specific furnizat de analiza matematică, problema nu poate fi rezolvată acceptabil deoarece condiţiile de pozitivitate conduc la o situaţie asemănătoare cu cea de la început, schimbându-se practic doar variabilele.
Din observaţia 6, rezultă că este necesar ca să considerăm m<n, iar, pe de altă parte, condiţia rang(A)=m reprezintă faptul că vectorii ai sunt liniar independenţi (în caz contrar, eliminându-se condiţiile suplimentare; această situaţie apare în practică atunci când informaţiile provin din mai multe compartimente ale unei firme în care atribuţiile se intersectează).
Definiţie
Un vector x=(x1,...,xn)t se numeşte soluţie de bază a problemei de programare liniară dacă:
(1) x satisface sistemul Ax=b;
(2) coloanele matricei A care corespund elementelor nenule ale lui x sunt liniar independente.
Definiţie
O soluţie a sistemului Ax=b se numeşte admisibilă (program) dacă toate componentele ei sunt nenegative.
Definiţie
O soluţie de bază, admisibilă se numeşte nedegenerată dacă are toate componentele nenule şi degenerată în caz contrar.
Definiţie
O matrice pătrată nesingulară formată cu m coloane ale matricei A se numeşte bază iar componentele vectorului x corespunzătoare coloanelor ce formează baza se numesc variabile de bază (bazice). Componentele lui x ce nu sunt bazice se numesc variabile nebazice.
Vom nota cu B o matrice de bază a lui A, cu xB vectorul coloană format cu variabilele bazice, cu S matricea formată cu acele coloane ce nu sunt în B şi cu
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 102
xS vectorul coloană format cu variabilele nebazice. Sistemul Ax=b se poate scrie deci sub forma:
BxB+SxS=b
Cum B este inversabilă, obţinem:
xB=B-1b-B-1SxS
O soluţie de bază se poate obţine pentru xS=0 deci xB=B-1b.
Teoremă
Dacă o problemă de programare liniară are un program atunci ea are cel puţin un program de bază.
Teoremă
Dacă o problemă de programare liniară are un program optim atunci ea are un program optim de bază.
După aceste consideraţii, o metodă de rezolvare a problemelor de programare liniară ar putea consta în următoarele etape:
1) se determină toate matricele inversabile B din A;
2) pentru fiecare din aceste matrice se calculează B-1b şi se cercetează dacă toate componentele vectorului obţinut sunt nenegative;
3) pentru fiecare din vectorii punctul anterior se calculează cx şi reţin acelea pentru care se obţine minimul (maximul) acesteia.
Această metodă, elaborată de G.M. Dantzig în anul 1955, are la bază o metodă principial simplă, dar foarte eficientă. Se pleacă cu o bază iniţială şi apoi se înlocuieşte una din coloanele acesteia cu o alta (deci implicit o variabilă de bază schimbă rolul cu una secundară) astfel încât noua matrice să rămână de bază dar soluţia să se apropie de soluţia optimă. Prin această metodă se pot determina toate situaţiile posibile (probleme fără soluţii, optim infinit etc.).
Fie problema de programare liniară:
(1)
≥
=
0x
bAx
cx min
Să presupunem acum că soluţia de bază xB=B-1b este admisibilă adică xB≥0. O bază B ce verifică o astfel de condiţie se numeşte bază primal admisibilă.
Vom nota cu B mulţimea indicilor j care au proprietatea că aj⊂B şi cu S
mulţimea complementară de indici j pentru care aj⊂S. Notând de asemenea B
x =B-1b, Bjy =B-1aj obţinem, din relaţia: xB=B-1b-B-1SxS.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 103
(2) xB=B
x -∑∈Sj
jBj xy
Din definiţia lui B-1 se observă că dacă aj este coloana i în matricea B atunci,
cu notaţia ei=(δik)k=1,...,m avem yjB=ei. Pe componente, relaţia (2) se scrie
(3) ∑∈
−=Sj
jB iB i xxx Bijy ∀i∈B
Considerând acum cB=(ci)i∈B şi cS=(cj)j∈S funcţia obiectiv se poate scrie sub forma:
(4) z=ctx=cBtxB+cS
txS
sau altfel:
(5) z=cBt Bx -(cB
tB-1S-cSt)xS
Notând acum B
z =cBt Bx şi ∑
∈
==Bi
Bij
Bj
tB
Bj yycz ic ∀j=1,...,n, relaţia (5) se
poate scrie şi sub forma:
(6) z=B
z -∑∈
−Sj
jj x)cB
j(z
Teoremă
Dacă B este o bază primal admisibilă şi pentru orice j∈S avem zjB-cj≤0 atunci
programul de bază corespunzător bazei B (xB=B-1b, xS=0) este un program optim pentru problema (1).
Teoremă
Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:
1) ∃k∈S astfel încât Bkz -ck>0;
2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat
atunci programul de bază corespunzător lui B nu este optim.
Teoremă
Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:
1) ∃k∈S astfel încât Bkz -ck>0;
2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat;
3) yik≤0 ∀i∈B
atunci problema (1) are optimul infinit.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 104
Teoremă
Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:
1) ∃k∈S astfel încât Bkz -ck>0;
2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat;
3) ∃i∈B astfel încât yik>0
atunci valoarea maximă pe care o putem atribui lui k0x astfel încât x' să rămână
program este dată de:
(8) Bsk
B s
Bik
B i
i0y y
x
y
xmin
ik
=
∈>B
Observaţie
Dacă în teoremă atribuim lui k0x valoarea dată de (8) atunci noul program
rămâne soluţie de bază. Aceasta corespunde unei baze B' care se obţine din B prin înlocuirea coloanei as cu coloana ak. Pentru aceasta, să observăm că din (2) rezultă xs=0. Prin urmare, obţinem o nouă soluţie de bază formată din xi,
i∈B-s şi xk. Baza B' corespunzătoare acesteia se obţine din B prin înlocuirea
coloanei as cu ak. Din faptul că ysk≠0 rezultă că vectorii coloană ai lui B' sunt liniar independenţi.
Observaţie
Din faptul că z=B
z -( Bkz -ck) k
0x rezultă că în baza B’, valoarea funcţiei obiectiv
devine:
(9) sk
s
kBk
B'B
y
x)cz(zz −−=
Dacă există mai mulţi indici k cu proprietatea zk-ck>0 atunci, pentru a obţine cea mai mică valoare a funcţiei obiectiv, ar trebui ales acel indice k pentru care cantitatea ce se scade în (9) să fie maximă. Pentru simplificarea lucrurilor, se alege în practică acel indice ce maximizează expresia zj
B-cj.
Lemă (a substituţiei)
Fie B∈Mm(R) o matrice inversabilă şi C∈Mm(R) matricea obţinută din B prin
înlocuirea coloanei k cu un vector nenul a∈Mm1(R). Considerând vectorul d=B-1a=(di)i=1,...,m atunci:
• C este inversabilă dacă şi numai dacă dk≠0;
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 105
• Dacă dk≠0 atunci C-1=Ik(d)B-1 unde: Ik(d)=
−
−
−
−
+
−
100d
d0...0
.....................
0...1d
d0...0
0...0d
10...0
0...0d
d1...0
.....................
0...0d
d0...1
k coloana
k
m
k
1k
k
k
1k
k
1
.
Observaţie
Din lema substituţiei se observă că matricea Ik(d) se obţine prin înlocuirea coloanei k a matricei unitate cu vectorul coloană respectiv. Determinarea matricei C-1 se poate face, ţinând seama de formulele de mai sus, mai simplu astfel: se scrie matricea B-1=(eij) şi se adaugă în dreapta ei vectorul coloană d.
Vom numi elementul dk≠0 – pivot.
Elementul corespondent al lui C-1 se determină astfel: elementele de pe linia pivotului se împart la pivot, iar celelalte elemente (de exemplu e1j) se transformă astfel: se construieşte dreptunghiul a cărui diagonală se sprijină pe pivot şi elementul de transformat. Se înmulţesc elementele situate pe această diagonală (“principală”) şi se scade produsului elementelor de pe cealaltă diagonală (“secundară”). Rezultatul se împarte la pivot. Prin urmare, dacă C-
1=(fij) avem:
(10) fij=k
ikjkij
d
dede −, i∈1,...,m-k, j∈1,...,m
(11) fkj=k
kj
d
e, j∈1,...,m
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 106
Observaţie
La înlocuirea variabilei xs cu xk, deci a coloanei s din bază cu coloana k, noile cantităţi rezultate devin, conform lemei substituţiei (s-au notat cu două bare elementele după transformare):
• Bsk
Bik
sBBsk
B iB i
y
yxyxx
−= ∀i∈B-s, iar pentru i=k:
Bsk
B skB
y
xx = ;
• Bsk
Bsj
Bik
Bsk
Bij
B
ij y
yyyyy
−= ∀i∈B-s,
Bsk
Bsj
B
sj y
yy = ;
• Bsk
kBk
sBBsk
BB
y
)cz(xyzz
−−= ;
• Bsk
Bsjk
Bk
Bskj
Bj
j
B
jy
y)cz(y)cz(cz
−−−=− ∀j∈S-k, k
B
k cz − =0.
Din cele expuse mai sus, obţinem algoritmul simplex care constă în:
1) Se determină o bază primal admisibilă B (metodă ce va fi expusă ulterior);
2) Se construieşte tabelul simplex astfel:
V.B. V.V.B. x1
... xj
... xn
... ... ... ... ... ... ... ...
ci xi B i
x yi1
B ... yijB ... yin
B
... ... ... ... ... ... ... ...
cp xp B p
x yp1
B ... ypjB ... ypn
B
... ... ... ... ... ... ... ...
z Bz
z1B-c1 ... zj
B-cj ... znB-cn
c1 ... cj ... cn
3) Completarea tabelului simplex se face în următoarele etape:
3.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor ecart);
3.2) În coloana V.B. (variabile de bază) se introduc numele variabilelor de bază determinate la punctul 1);
3.3) În coloana V.V.B. (valorile variabilelor de bază) se introduc valorile
determinate pe baza relaţiei B
x =B-1b;
3.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de B-1aj, j=1,...,n;
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 107
3.5) În stânga tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători variabilelor de bază;
3.6) În subsolul tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor;
3.7) Penultima linie se completează astfel:
3.7.1) B
z =∑∈Bi
Bijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu
valorile coloanei V.V.B. şi se adună rezultatele (produsul scalar al vectorilor din aceste coloane);
3.7.2) jBj cz − =∑
∈Bi
Bijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei
coloane cu valorile coloanei xj şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie;
3.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zj
B-cj).
4) Dacă ∀j=1,...,n avem zjB-cj≤0 atunci programul de bază xB=
Bx , xS=0 este
optim. STOP.
5) Dacă există indici j astfel încât să avem zjB-cj>0 atunci:
5.1) dacă pentru un indice j pentru care zjB-cj>0 avem yij
B≤0 ∀i=1,...,m atunci conform teoremei 13 problema are optim infinit. STOP.
5.2) dacă ∀j=1,...,n astfel încât zjB-cj>0⇒∃i=1,...,m astfel încât yij
B>0 atunci se determină acel indice j pentru care se obţine maximul expresiei zj
B-cj. Dacă există mai mulţi indici cu această proprietate, se alege unul dintre aceştia (de regulă primul). În acest caz, vectorul coloană ak intră în bază, variabila xk devenind variabilă de bază;
6) Pentru j determinat la 5.2.) se determină variabila ce părăseşte baza cu
ajutorul relaţiei: Bpj
B p
Bij
B i
i0y y
x
y
xmin
ij
=
∈
>
B
. Dacă minimul este atins pentru mai
mulţi indici, se alege unul dintre aceştia. Variabila xp părăseşte baza devenind variabilă secundară;
7) Se înlocuieşte în baza B vectorul ap cu aj determinându-se noua bază B' şi se recalculează cantităţile de la punctul 3) în noua bază, astfel:
7.1) Se construieşte scheletul tabelului simplex, în care nu se mai trec coeficienţii funcţiei obiectiv;
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 108
7.2) În coloana V.B. se înlocuieşte numele variabilei xp cu xj;
7.3) Se marchează (eventual prin încercuire) în vechiul tabel elementul ypjB
care se numeşte pivot;
7.4) Coloanele actualelor variabile de bază se completează ca la punctul 3.8);
7.5) Linia pivotului se împarte la pivot;
7.6) Restul elementelor din noul tabel, se obţin cu ajutorul regulii
dreptunghiului care constă în următoarea formulă de transformare:
Bpj
Bps
Bij
Bpj
BisB
isy
yyyyy
−= ∀i=1,...,m+1 ∀s=0,...,n, unde am notat pentru
extensia formulei: sBs
Bs,1m czy −=+ ∀s=1,...,n,
BB0,1m zy =+ şi
B iB0i xy =
∀i=1,...,m.
8) Se reia algoritmul de la punctul 4) până la determinarea soluţiei.
Problema care se pune acum este determinarea unui program de bază iniţial. Un mod de a face acest lucru este dat de metoda celor două faze care constă în:
1) Se transformă toate restricţiile în ecuaţii Ax=b cu b≥0 (eventual prin înmulţire cu (-1));
2) Se identifică acele variabile care apar numai într-una dintre restricţii şi are coeficient pozitiv. În caz favorabil, se împarte ecuaţia respectivă la acest coeficient;
3) Se adaugă la fiecare ecuaţie care nu apare la punctul 2) câte o variabilă
artificială obţinând vectorul xa=(x1,a,...,xk,a)t obţinând egalitatea: Ax+I(k)xa=b unde I(k) reprezintă matricea obţinută din cea nulă prin plasarea, pe diagonala principală, de elemente egale cu 1 în liniile corespunzătoare variabilelor artificiale iar b este noul vector al termenilor liberi (după eventualele înmulţiri cu (–1) sau împărţiri la coeficienţi ai restricţiilor). Se recomandă ca indicii variabilelor artificiale să fie daţi în acord cu numerele de linie ale ecuaţiilor corespondente;
yisB y
ijB
+
element de transformat
pivot
-y
psB y
pjB
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 109
4) Se rezolvă apoi problema de programare liniară:
≥≥
=+
++
0 x,0x
bx)k(IAx
)x...xmin(
a
a
a ka 1
.
Din cauza variabilelor izolate şi a celor auxiliare, baza iniţială va fi matricea unitate Im.
5) Completarea primului tabel simplex se va face astfel:
5.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor auxiliare);
5.2) În coloana V.B. se introduc numele variabilelor de bază adică a celor izolate şi a celor auxiliare;
5.3) În coloana V.V.B. se introduc valorile determinate pe baza relaţiei B
x =I-
1b=b deci se copie vectorul termenilor liberi;
5.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de I-1aj=aj, j=1,...,n deci cu coloanele coeficienţilor variabilelor respective;
5.5) În prima coloană se trec coeficienţii noii funcţii obiectiv corespunzători variabilelor de bază (1 în dreptul variabilelor auxiliare şi 0 în rest);
5.6) În ultima linie se trec noii coeficienţi ai funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor;
5.7) Penultima linie se completează astfel:
5.7.1) B
z =∑∈Bi
Bijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu
valorile coloanei V.V.B. şi se adună rezultatele;
5.7.2) jBj cz − =∑
∈Bi
Bijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei
coloane cu valorile coloanei xj şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie;
5.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zj
B-cj).
6) Se aplică algoritmul simplex până la final. Trebuie remarcat că nu se poate obţine la această fază optim infinit deoarece funcţia obiectiv fiind
min(x1a+...+xka)≥ 0 nu se poate ajunge la -∞ printr-o creştere corespunzătoare a unei variabile;
7) În final, avem următoarele situaţii:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 110
7.1) Dacă min(x1 a+...+xk a)>0 rezultă că problema iniţială nu are programe. Într-adevăr, această valoare optimă implică faptul că există j=1,...,k astfel încât xj a>0. În acest caz, restricţia j din problema iniţială şi din cea auxiliară sunt incompatibile (implicând după scădere xj a=0-contradicţie);
7.2) Dacă min(x1 a+...+xk a)=0 atunci, cum xi a=0 ∀i=1,..., k rezultă că problema iniţială are programe. Avem însă două situaţii:
7.2.1) toate variabilele auxiliare au ieşit din bază. În acest caz, baza obţinută la problema auxiliară este bază pentru problema iniţială;
7.2.2) au rămas variabile auxiliare în bază, fiind evident nule. În acest caz, avem din nou două situaţii:
7.2.2.1) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, există un element nenul în dreptul unei variabile neauxiliare, se face transformarea cu pivotul respectiv;
7.2.2.2) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, toate elementele din dreptul coloanelor variabilelor neauxiliare sunt nule, atunci ecuaţia căreia i s-a ataşat variabila auxiliară este o consecinţă a celorlalte ecuaţii (cazul când rangul matricei A nu era m). În acest caz, linia respectivă a tabelului simplex se elimină, împreună cu variabila auxiliară respectivă.
8) Se trece la a doua fază prin recalcularea tabelului simplex pentru problema iniţială. Astfel:
8.1) Se copie ultimul tabel, mai puţin ultima linie a acestuia;
8.2) Se recalculează ultima linie în raport cu coeficienţii funcţiei obiectiv iniţiale c1,...,cn.
9) Se rezolvă problema cu ajutorul algoritmului simplex.
Observaţie
La finalul primei faze, dacă toate variabilele auxiliare au ieşit din bază atunci
toate cantităţile jBj cz − din dreptul variabilelor iniţiale sunt nule.
Observaţie
Dacă în final nu este nevoie de determinarea lui B-1 atunci, la prima fază, pe măsura ieşirii variabilelor auxiliare din bază acestea se pot elimina din tabel prin tăierea coloanei respective. Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la a doua fază, ele nu se mai iau în considerare, la determinarea variabilelor ce intră sau ies din bază. Coloanele respective vor fi calculate cu aceeaşi regulă a dreptunghiului, mai puţin ultimul element care se va înlocui printr-un simbol (o linioară, un asterisc etc.).
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 111
Observaţie
Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la sfârşitul algoritmului, în coloanele corespunzătoare primelor variabile de bază (inclusiv cele izolate) de la prima fază, se va afla B-1.
Observaţie
Dacă problema de programare liniară este degenerată, obţinându-se în final soluţii optime care au componente de bază nule, atunci prin investigarea liniei corespunzătoare unei astfel de variabile, ea se poate scoate din bază şi înlocui cu o alta (evident prin satisfacerea condiţiilor specifice). În acest caz, din
formula: sk
s
kBk
B'B
y
x)cz(zz −−= cum
sx =0 rezultă că soluţia obţinută rămâne
optimă. Procedând în acest mod până la efectuarea tuturor schimbărilor posibile se obţine soluţia optimă sub forma unei combinaţii convexe de variabilele respective (combinaţie liniară cu parametri pozitivi şi a căror sumă
este 1). Analog se procedează dacă există cantităţi )cz( jBj − nule cu j∈S.
Observaţie
Dacă funcţia obiectiv este de minim şi toţi coeficienţii acesteia sunt pozitivi
atunci nu putem avea optim infinit (deoarece min≥0). Analog, dacă funcţia obiectiv este de maxim şi toţi coeficienţii acesteia sunt negativi atunci nu
putem avea optim infinit (deoarece max≤0).
a) Exemplu:
Să se rezolve problema de programare liniară:
≥
=−+−
=−+−
−≥+−
=+−+
−−+
0x,x,x,x
11xx9x4x
3xx5x2x
1xxx3
5xxx3x2
x6xx2 xmax
4321
4321
4321
321
4321
4321
Soluţie Aducem problema la forma standard:
≥
=−+−
=−+−
−=−+−
=+−+
++−−
0y,x,x,x,x
11xx9x4x
3xx5x2x
1yxxx3
5xxx3x2
x6xx2x- min
14321
4321
4321
1321
4321
4321
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 112
Cum a doua restricţie are termenul liber negativ, aceasta va fi amplificată cu –1:
≥
=−+−
=−+−
=+−+−
=+−+
++−−
0y,x,x,x,x
11xx9x4x
3xx5x2x
1yxxx3
5xxx3x2
x6xx2x- min
14321
4321
4321
1321
4321
4321
Singura variabilă izolată fiind y1, vom introduce variabile auxiliare corespunzătoare primei, celei de-a treia respectiv a patra restricţii. Avem deci:
≥
=+−+−
=+−+−
=+−+−
=++−+
++
0x,x,x,y,x,x,x,x
11xxx9x4x
3xxx5x2x
1yxxx3
5xxxx3x2
xx xmin
a 4a 3a 114321
a 44321
a 34321
1321
a 14321
a 4a 3a 1
Succesiunea tabelelor simplex este următoarea:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x1 a x3 a x4 a
1 x1 a 5 2 3 -1 1 0 1 0 0
0 y1 1 -3 1 -1 0 1 0 0 0
1 x3 a 3 1 -2 5 -1 0 0 1 0
1 x4 a 11 4 -1 9 -1 0 0 0 1
z 19 7 0 13 -1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x1 a x4 a
x1 a 28/5 11/5 13/5 0 4/5 0 1 0
y1 8/5 -14/5 3/5 0 -1/5 1 0 0
x3 3/5 1/5 -2/5 1 -1/5 0 0 0
x4 a 28/5 11/5 13/5 0 4/5 0 0 1
z 56/5 22/5 26/5 0 8/5 0 0 0
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 113
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x4 a
x2 28/13 11/13 1 0 4/13 0 0
y1 4/13 -45/13 0 0 -5/13 1 0
x3 19/13 7/13 0 1 -1/13 0 0
x4 a 0 0 0 0 0 0 1
z 0 0 0 0 0 0 0
Cum cantităţile zjB-cj sunt acum toate nepozitive, rezultă că prima fază este
încheiată. Funcţia obiectiv este nulă dar variabila x4 a nu a ieşit din bază. Cum toţi coeficienţii variabilelor neauxiliare sunt nuli, rezultă că aceasta nu poate fi înlocuită cu o altă variabilă. În acest caz, este cunoscut faptul că ecuaţia respectivă (la noi a patra) este consecinţă a celorlalte ecuaţii şi deci va putea fi eliminată. Într-adevăr, ecuaţia a patra se obţine din ecuaţia întâi adunată la ecuaţia a treia înmulţită cu 2.
Tabelul simplex pentru problema iniţială devine:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1
-2 x2 28/13 11/13 1 0 4/13 0
0 y1 4/13 -45/13 0 0 -5/13 1
1 x3 19/13 7/13 0 1 -1/13 0
z -37/13 -2/13 0 0 -87/13 0
-1 -2 1 6 0
Soluţia optimă este deci: x1=0, x2=13
28, x3=
13
19, x4=0 iar maximul funcţiei
obiectiv este: -(-13
37)=
13
37.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 114
4.3. Dualitate în programarea liniară
Definiţie
Fie problema generală de minim a programării liniare:
(P1)
≤≥
≤++
=++
≥++
++
arbitrar x,0 x,0x
bxAxAxA
bxAxAxA
bxAxAxA
xcxcxc min
3213
333
232
131
23
232
221
21
13
132
121
11
33
22
11
Se numeşte problemă duală a acesteia problema:
(D1)
≤≥
=++
≥++
≤++
++
0u ,arbitrar u ,0u
cuAuAuA
cuAuAuA
cuAuAuA
ububub max
321
t3
3t33
2t23
1t13
t2
3t32
2t22
1t12
t1
3t31
2t21
1t11
3t3
2t2
1t1
Sarcina de lucru 1
Să se rezolve problema de programare liniară:
≤≥
≥−
≤+−
≥+−
−
arbitrar x ,0x ,0x
20xx2
2xx
4xxx
x2x max
321
21
31
321
21
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 116
Definiţie
Fie problema generală de maxim a programării liniare:
(P2)
≤≥
≤++
=++
≥++
++
arbitrar x,0 x,0x
bxAxAxA
bxAxAxA
bxAxAxA
xcxcxc max
3213
333
232
131
23
232
221
21
13
132
121
11
33
22
11
Se numeşte problemă duală a acesteia problema:
(D2)
≥≤
=++
≤++
≥++
++
0u ,arbitrar u ,0u
cuAuAuA
cuAuAuA
cuAuAuA
ububub min
321
t3
3t33
2t23
1t13
t2
3t32
2t22
1t12
t1
3t31
2t21
1t11
3t3
2t2
1t1
Observaţie
Problemele (P1) şi (P2) se mai numesc şi probleme primale. Este evident că duala problemei duale este cea primală.
Observaţie
Problema duală se obţine din cea primală astfel:
1) problemele de minimizare (maximizare) se transformă în probleme de maximizare (minimizare);
2) termenii liberi ai lui (P) devin coeficienţii funcţiei obiectiv în (D);
3) coeficienţii funcţiei obiectiv din (P) devin termeni liberi în (D);
4) matricea coeficienţilor din (D) este transpusa matricei coeficienţilor din (P);
5) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor concordante în (P)
(adică restricţii de forma ≥ în probleme de minimizare şi de forma ≤ în probleme de maximizare) sunt nenegative;
6) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor neconcordante în (P)
(adică restricţii de forma ≤ în probleme de minimizare şi de forma ≥ în probleme de maximizare) sunt nepozitive;
7) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor de tip ecuaţii în (P) sunt arbitrare;
8) variabilelor din (P) nenegative le corespund restricţii în (D) concordante;
9) variabilelor din (P) nepozitive le corespund restricţii în (D) neconcordante;
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 117
10) variabilelor din (P) arbitrare le corespund restricţii în (D) de tip ecuaţii.
Să considerăm acum problema de programare liniară în forma standard:
(1)
≥
=
0x
bAx
xc min t
şi duala acesteia:
(2)
≤
arbitraru
cuA
ub maxt
t
Definiţie
O bază B a lui A astfel încât: cBB-1A-c≤0 ( jBj cz − ≤0 ∀j=1,...,n) se numeşte
bază dual admisibilă. O soluţie x a problemei primale ce corespunde unei baze dual admisibile se numeşte soluţie dual admisibilă.
Fie acum cuplul de probleme duale:
(3)
≥
≥
0x
bAx
xc min t
(4)
≥
≤
0u
cuA
ub maxt
t
Observaţie
Se arată că dacă avem o bază primal şi dual admisibilă B atunci avem programul optim pentru problema (1): xB=B-1b, xS=0 şi programul optim al problemei (2): uB
t=cBtB-1. Pentru aceste două programe funcţiile obiectiv au
valori egale. Într-adevăr, uBtaj=cB
tB-1aj=zjB≤cj de unde rezultă că uB
t este soluţie a problemei duale. Pe de altă parte, dacă x este o soluţie a problemei primale
(3), iar u a problemei duale (4), avem: Ax≥b şi cum u≥0⇒utAx≥utb. Pe de altă
parte: Atu≤c şi cum x≥0⇒xtAtu≤xtc şi cum cantităţile sunt scalari, rezultă după
transpunere: utAx≤ctx. Obţinem deci că ctx≥utb=btu. Să considerăm acum o
soluţie x a problemei primale şi o soluţie u a celei duale astfel încât ct x =bt u .
Dacă x nu ar fi program optim al problemei primale, atunci ar exista x* astfel
încât ctx*<ct x . Dar atunci ctx*<bt u , iar din cele de mai sus avem: ctx*≥bt u
deci contradicţie. Prin urmare, x este program optim al problemei primale.
Analog, dacă u nu ar fi program optim al problemei duale, atunci ar exista u*
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 118
astfel încât btu*>bt u . Dar atunci btu*>ct x , iar din cele de mai sus avem: btu*≤ct
x deci contradicţie. Prin urmare, u este program optim al problemei duale. În
final, cum valoarea optimă a funcţiei obiectiv este B
z =btuB=uBtb=cB
tB-
1b=cBtxB rezultă că funcţiile obiectiv ale problemelor primală respectiv duală
au valori egale.
În aplicarea algoritmului simplex primal se porneşte de la o bază primal admisibilă şi în urma înlocuirii succesive a vectorilor din bază se obţine, în final, o bază dual admisibilă.
Algoritmul simplex dual constă în procesul invers. Se porneşte cu o bază dual admisibilă şi după un sistem de calcul oarecum asemănător, se obţine în final o bază primal admisibilă.
În cele ce urmează, vom considera perechea de probleme duale:
(P)
≥
=
0x
bAx
xc min t
, (D)
≤
arbitraru
cuA
ub maxt
t
Teoremă (fundamentală a dualităţii)
Fie problemele duale (P) şi (D).
1) Dacă ambele probleme au programe atunci ele au programe optime şi valorile funcţiilor obiectiv coincid;
2) Dacă una din probleme are programe, iar cealaltă nu, atunci cea care are programe are optim infinit.
Teoremă
Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:
1) ∃k∈B astfel încât kB
x <0;
2) ykjB≥0 ∀j∈S
În acest caz, problema primală nu are programe.
Teoremă
Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:
1) ∀k∈B astfel încât kB
x <0 ⇒ ∃j∈1,...,n astfel încât ykjB<0;
2) Fie pentru k∈B, s∈S astfel încât Bks
sBs
Bkd
dBd
0y y
cz
y
czmin
Bkd
−=
−
<
.
În acest caz, înlocuind în baza B coloana k cu coloana s, valoarea funcţiei obiectiv a problemei duale este mai mare sau egală cu cea anterioară.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 119
Din cele de mai sus se pot enunţa acum:
Etapele de aplicare a algoritmului simplex dual
Fie x o soluţie dual admisibilă.
1) Fie J=j x j<0;
2) Dacă J=∅ atunci x este soluţie optimă. STOP.
3) Dacă J≠∅ atunci:
3.1) Dacă ∃j∈J astfel încât componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu fac parte din bază sunt pozitive atunci problema primală nu are soluţie. STOP.
3.2) Dacă ∀j∈J componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu
fac parte din bază au şi valori negative atunci fie Jj
min∈
x j= x k şi
kp
pp
kj
jj
0yJj y
cz
y
czmin
kj
−=
−
<∈
. Vectorul care va părăsi baza va fi ak iar cel care va
intra în bază va fi ap;
4) După transformarea cu pivotul ykp se revine la pasul 1.
Cu ajutorul observaţiei, rezultă că la finalul algoritmului simplex dual suntem în măsură să cunoaştem soluţia problemei primale.
Ca şi la algoritmul simplex primal se pune problema determinării unei baze dual admisibile. Pentru a face acest lucru vom proceda astfel:
1) Dacă problema este sub formă canonică:
≥
≥
0x
bAx
xc min t
ea se transformă în
≥
−≤
0x
bAx-
xc min t
. Introducând variabilele ecart, acestea formează o bază a
problemei. Dacă în plus, toţi coeficienţii funcţiei obiectiv sunt pozitivi, atunci acestea formează o bază dual admisibilă.
2) Dacă punctul 1) nu are loc (orice problemă poate fi adusă la una din formele de mai sus, însă numărul restricţiilor creşte foarte mult ceea ce este inadmisibil – de exemplu la transformarea egalităţilor în inegalităţi, numărul restricţiilor se dublează), atunci se adaugă o restricţie
suplimentară: xn+1+∑∈Si
ix =M unde în prealabil s-a determinat o bază B, iar
S reprezintă indicii restului coloanelor lui A. Numărul M este ales suficient de mare. Problema care se obţine are următoarea formă:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 120
(5)
≥≥
=
=+
+
∈
+ ∑
0 x,0x
bAx
Mxx
xc min
1n
Ii
i1n
t
3) Se determină apoi k∈S astfel încât să avem ( ) kBki
Bi
iczczmax −=−
∈S.
4) Considerând baza B’ obţinută din B prin înlocuirea coloanei lui xn+1 cu coloana lui xk se obţine o bază dual admisibilă.
5) În final, există mai multe situaţii:
5.1) Dacă problema (5) nu are programe, atunci nici problema (P) nu are programe;
5.2) Dacă problema (5) are programe atunci există trei variante:
5.2.1) xn+1 rămâne în baza optimă şi atunci restul variabilelor constituie soluţia optimă;
5.2.2) xn+1 nu rămâne în baza optimă, dar valoarea optimă a funcţiei
obiectiv depinde de M. În acest caz, pentru M→∞ rezultă că problema iniţială are optim infinit;
5.2.3) xn+1 nu rămâne în baza optimă, iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv nu depinde de M. În acest caz, se poate obţine soluţia optimă, descrescându-l pe M până în momentul în care una din variabilele de bază ce este funcţie de M devine nulă.
Observaţie
Din cauza dificultăţilor de aplicare în determinarea unei baze iniţiale dual admisibile, nu vom aplica acest algoritm decât în cadrul problemelor de reoptimizare pe care le vom studia mai jos.
Observaţie
Problema duală are o interpretare imediată. Dacă în problema primală x are o anumită semnificaţie, din faptul că funcţiile obiectiv ale celor două probleme coincid la optim, rezultă că:
i
i
mm
11
i
nn
11 u
b
)ub...ub(
b
)xc...xc(=
∂
++∂=
∂
++∂, i=1,...,m
Aceasta înseamnă că la modificarea cu o unitate a termenului liber bi (ce poate avea semnificaţie de resursă arbitrară) valoarea funcţiei obiectiv creşte cu cea a variabilei duale ataşate restricţiei “i”. Prin urmare, mărimea valorilor variabilelor duale, dau un indiciu asupra “sensibilităţii” unor restricţii ale problemei primale.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 121
b) Exemplu:
c) Fie problema de programare liniară:
≥≤
≤++
−≥−+−
−=++
−+
0x arbitrar, x ,0x
5x5x2x3
5x8x5x
1xxx3
xx32x max
321
321
321
321
321
Să se scrie problema duală.
Soluţie Avem:
≥≤
≥+−
=++
≤+−
+−
0u ,0u ,arbitrar u
0u5u8u
0u2u5u
0u3uu3
u5u5u- min
321
321
321
321
321
Sarcina de lucru 2
Să se scrie problema duală problemei de programare liniară:
≤≥
≥−
≤+−
≥+−
−
arbitrar x ,0x ,0x
20xx2
2xx
4xxx
x2x max
321
21
31
321
21
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 123
4.4. Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară
Modificarea termenilor liberi
Să presupunem că termenii liberi ai problemei iniţiale:
≥
=
0x
bAx
cx min
se modifică în sensul că b se înlocuieşte cu vectorul b’. Din modul de completare a tabelului simplex, am văzut că acesta influenţează numai coloana V.V.B. în care apare vectorul B-1b. Prin urmare, vom modifica ultimul tabel simplex, astfel:
1) toate coloanele tabelului în afara celei a V.V.B. rămân neschimbate;
2) coloana V.V.B. devine B-1b’;
3) funcţia obiectiv se recalculează în funcţie de valorile obţinute la 2).
Cum ultima linie a tabelului rămâne neschimbată rezultă că baza B este dual admisibilă, deci se aplică în continuare algoritmul simplex dual.
Modificarea coeficienţilor funcţiei obiectiv
Să presupunem că vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv devine c’. Acesta modifică numai ultima linie a tabelului simplex, care va fi calculată corespunzător. Evident baza rămâne primal admisibilă deci se continuă cu algoritmul simplex primal.
Introducerea unei variabile suplimentare
Să presupunem acum că introducem o variabilă suplimentară xn+1. În acest caz se ataşează tabelului o coloană suplimentară corespunzătoare variabilei nou introduse.
Cum am obţinut deja o bază primal admisibilă, rezultă că avem două situaţii:
1) dacă zn+1B-cn+1≤0 atunci soluţia optimă rămâne neschimbată;
2) dacă zn+1B-cn+1>0 atunci se aplică agoritmul simplex primal.
Modificarea coeficienţilor unei variabile
Să presupunem că vectorul coeficienţilor unei variabile xi se modifică astfel încât ai se schimbă în a’i. Din modul de completare a tabelului simplex, s-a văzut că vectorul ai nu influenţează decât coloana corespunzătoare lui xi. Problema care apare însă este dacă variabila xi era variabilă de bază sau nu.
4.1) Dacă variabila xi nu face parte din bază atunci se recalculează coloana xi cu formula B-1a’i şi cantitatea zi
B-ci aferentă. Se aplică apoi, dacă este cazul, algoritmul simplex primal.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 124
4.2) Dacă variabila xi face parte din bază atunci, pentru simplificare, recomandăm reîntoarcerea la ultimul tabel simplex care nu conţinea variabila xi în bază şi aplicarea punctului 4.1).
O altă metodă, aplicabilă îndeosebi situaţiei în care nu sunt cunoscute bazele succesive, constă şi în introducerea unei variabile auxiliare xn+1 având drept coeficienţi componentele vectorului a’ iar xi să fie considerată drept variabilă artificială. Problema se reduce la cea a introducerii unei noi variabile (vezi 3)). Aplicând metoda celor două faze cu funcţia obiectiv min (xi) şi eliminând această variabilă se obţine soluţia optimă.
Parametrizare în programarea liniară
Problema parametrizării constă în determinarea comportării soluţiei optime atunci când unele din componentele problemei (termeni liberi, coeficienţi ai funcţiei obiectiv, coeficienţi ai variabilelor) depind de parametri.
Problema parametrizării se soluţionează, principial, destul de simplu. Astfel se dă o valoare arbitrară parametrului (de exemplu 0) şi se rezolvă problema. La final, se modifică componenta respectivă după metodele reoptimizării. Evident că în funcţie de valorile parametrului se va obţine o soluţie optimă sau alta.
d) Exemplu:
Fie problema de programare liniară:
≥
≤+−−
≥+
=++
+
0x,x,x,x
1xxx
4xx
6xxx
x xmin
4321
321
42
321
41
1) Să se rezolve problema de programare liniară cu ajutorul algoritmului simplex primal;
2) Să se determine B-1 inversa matricei de bază;
3) Să se determine soluţia optimă a problemei duale.
4) Să se determine soluţia optimă a problemei dacă termenii liberi se
înlocuiesc cu b’=
0
0
1
şi să se interpreteze noua valoare a funcţiei obiectiv
în funcţie de variabilele duale determinate la punctul 3).
5) Să se determine soluţia optimă a problemei dacă funcţia obiectiv devine min x2+x3-2x4;
6) Să se determine soluţia optimă a problemei:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 125
≥
≤+−−
≥+
=+++
+
0x,x,x,x,x
1xxx
4xx
6xxxx
x xmin
54321
321
42
5321
41
;
7) Să se determine soluţia optimă a problemei:
≥
≤+−−
≥+
=++
+
0x,x,x,x
1xxx2
4xx
6xxx2
x xmin
4321
321
42
321
41
Soluţie 1) Forma standard este:
≥
=++−−
=−+
=++
+
0y,y,x,x,x,x
1yxxx
4yxx
6xxx
x xmin
214321
2321
142
321
41
Variabilele x4 şi y2 fiind izolate, introducem o variabilă auxiliară x1 a. Avem deci:
≥
=++−−
=−+
=+++
0x,y,y,x,x,x,x
1yxxx
4yxx
6xxxx
xmin
a 1214321
2321
142
a 1321
a 1
Tabelele simplex devin:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
1 x1 a 6 1 1 1 0 0 0 1
0 x4 4 0 1 0 1 -1 0 0
0 y2 1 -1 -1 1 0 0 1 0
z 6 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 126
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x1 6 1 1 1 0 0 0 1
x4 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 7 0 0 2 0 0 1 1
z 0 0 0 0 0 0 0 -1
Am obţinut deci baza x1,x4,y2. Trecem la faza a doua şi obţinem:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
1 x1 6 1 1 1 0 0 0 1
1 x4 4 0 1 0 1 -1 0 0
0 y2 7 0 0 2 0 0 1 1
z 10 0 2 1 0 -1 0 -
1 0 0 1 0 0
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x1 2 1 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 7 0 0 2 0 0 1 1
z 2 0 0 1 -2 1 0 -
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x3 2 1 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 3 -2 0 0 2 -2 1 -1
z 0 -1 0 0 -1 0 0 -
Soluţia optimă este deci: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv este 0.
2) Avem B-1=
−
−
121
010
011
obţinută din coloanele lui x1 a, x4 şi y2 din
ultimul tabel.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 127
3) Avem ( )321 uuu = ( )000
−
−
121
010
011
= ( )000
4) Avem B-1b’=
−
−
121
010
011
0
0
1
=
−1
0
1
. Din ultimul tabel simplex,
rezultă:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 1 1 0 1 -1 1 0
x2 0 0 1 0 1 -1 0
y2 -1 -2 0 0 2 -2 1
z 0 -1 0 0 -1 0 0
Soluţia nu mai este primal admisibilă, dar a rămas dual admisibilă. Vom aplica deci algoritmul simplex dual. Avem deci:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 1/2 0 0 1 0 0 1/2
x2 1/2 1 1 0 0 0 -1/2
y1 1/2 1 0 0 -1 1 -1/2
z 0 -1 0 0 -1 0 0
Soluţia optimă a devenit deci: x1=0, x2=2
1, x3=
2
1, x4=0 valoarea optimă a
funcţiei obiectiv fiind egală cu 0. De la punctul 3) se observă că variabilele duale fiind toate nule, rezultă că termenii liberi ai restricţiilor problemei iniţiale nu pot influenţa valoarea optimă a funcţiei obiectiv.
5) Ultimul tabel simplex devine:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
1 x3 2 1 0 1 -1 1 0
1 x2 4 0 1 0 1 -1 0
0 y2 3 -2 0 0 2 -2 1
z 6 1 0 0 2 0 0
0 1 1 -2 0 0
Obţinem mai departe:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 128
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 7/2 0 0 1 0 0 1/2
x2 5/2 1 1 0 0 0 -1/2
x4 3/2 -1 0 0 1 -1 1/2
z 3 3 0 0 0 -2 1
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
x3 7/2 0 0 1 0 0 1/2
x1 5/2 1 1 0 0 0 -1/2
x4 4 0 1 0 1 -1 0
z -9/2 0 -3 0 0 -2 5/2
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2
y2 7 0 0 2 0 0 1
x1 6 1 1 1 0 0 0
x4 4 0 1 0 1 -1 0
z -22 0 -3 -5 0 -2 0
Soluţia optimă a devenit deci: x1=6, x2=0, x3=0, x4=4 valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind egală cu -22.
6) Problema formulată se obţine din cea iniţială prin adăugarea unei variabile suplimentare x5 la prima restricţie. Avem deci:
B-1
0
0
1
=
−
−
121
010
011
0
0
1
=
−1
0
1
de unde:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x5
x3 2 1 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 3 -2 0 0 2 -2 1 -1
z 0 -1 0 0 -1 0 0 0
Se observă că soluţia optimă rămâne aceeaşi: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind 0.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 129
7) Problema formulată se obţine din cea iniţială prin modificarea coeficienţilor variabilei x1 care nu face parte din bază. Avem deci:
B-1a1=
−
−
121
010
011
− 2
0
2
=
− 4
0
2
.
Din ultimul tabel simplex, rezultă:
VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a
x3 2 2 0 1 -1 1 0 1
x2 4 0 1 0 1 -1 0 0
y2 3 -4 0 0 2 -2 1 -1
z 0 -1 0 0 -1 0 0 -
Se observă că soluţia optimă rămâne aceeaşi: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind 0.
Sarcina de lucru 3
Să se rezolve problema de programare liniară:
≥
−=−
≤−
α+≥+
+
0x,x
2x3x
2xx2
1xx
x32x min
21
21
21
21
21
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 130
5.5. Problema de transport
Am văzut la prezentarea problemelor de programare liniară că problema de transport în forma standard are următoarea expresie:
==≥
==
==
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
unde ∑∑==
=n
1jj
m
1ii ba , ai,bj≥0.
În legătură cu această problemă avem câteva situaţii concrete care se reduc însă la problema de mai sus.
Problema de transport cu cerere excedentară
==≥
=≤
==
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
unde ∑∑==
≤n
1jj
m
1ii ba , ai,bj≥0.
Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea cerută de beneficiar şi cea trimisă efectiv. Considerând un depozit fictiv cu disponibil
de resurse: am+1= ∑∑==
−m
1ii
n
1jj ab obţinem condiţia suplimentară:
1m
n
1j
j,1m ax +
=
+ =∑ . Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate
după caz fie ca penalităţi stabilite prin contracte cu beneficiarii pentru neonorarea cererilor fie vor fi luate nule în situaţia în care nu există astfel de contracte.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 131
Problema de transport cu ofertă excedentară
==≥
==
=≤
∑
∑
∑∑
=
=
= =
n,1j ,m,1i ,0x
n,1j ,bx
m,1i ,ax
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
m
1i
n
1j
ijij
unde ∑∑==
≥n
1jj
m
1ii ba , ai,bj≥0.
Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea oferită de furnizor şi cea trimisă efectiv. Considerând un beneficiar
fictiv cu cerere de resurse: bn+1= ∑∑==
−n
1jj
m
1ii ba obţinem condiţia suplimentară:
1n
m
1i
1n,i bx +
=
+ =∑ . Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate
după caz fie ca fiind costuri de stocare fie vor fi luate nule.
Algoritmul de transport
1) Se construieşte tabelul:
c11 c12 ... c1n a1
c21 c22 ... c2n a2
... ... ... ... ...
cm1 cm2 ... cmn am
b1 b2 ... bn
Într-un tabel vom numi celulă o pereche de numere (i,j) aflată la intersecţia liniei i cu coloana j din tabel şi ciclu o secvenţă ordonată de celule de forma: (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2), (i2,j3),...,(ik,jk), (ik,j1).
2) Se obţine o soluţie iniţială de bază astfel:
2.1) se dă unei variabile de bază oarecare xij valoarea x’ij=minai,bj;
2.2) se înlocuiesc ai şi bj prin ai-x’ij,respectiv bj-x’ij şi se suprimă linia i dacă x’ij=ai sau coloana j dacă x’ij=bj (în situaţia în care ai=bj alegându-se una dintre variante);
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 132
2.3) în tabelul simplificat astfel se repetă operaţiile anterioare până când se determină soluţia de bază.
2.4) alegerea lui xij se poate face în mai multe moduri:
2.4.1) metoda colţului de Nord-Vest (G.M.Dantzig): alegerea se face în celula din prima linie şi coloană a tabelului redus;
2.4.2) metoda costului minim (H.S.Houthakker): alegerea se face din celula în care este cea mai mică valoare cij.
3) Dacă notăm cu I mulţimea celulelor (i,j) corespunzătoare variabilelor de
bază, se rezolvă sistemul: ui+vj=cij, (i,j)∈I prin alegerea arbitrară a unei valori iniţiale pentru una din variabilele ui sau vj. Soluţiile ui' şi vj' se scriu
pe marginea tabelului şi se calculează expresiile dij=ui'+vj'-cij pentru (i,j)∉I. Avem două situaţii:
3.1) dacă dij≤0 pentru orice (i,j)∉I rezultă că soluţia (xij) este optimă;
3.2) dacă ∃(i,j)∈I astfel încât dij>0 se calculează dab= ijI)j,i(
dmax∉
şi se determină
ciclul format de celula (a,b) cu alte celule ce corespund variabilelor bazice.
4) Se stabileşte o orientare de parcurs în ciclu şi se marchează celulele ce ocupă un rang par (celula (a,b) având numărul 1). Fie xcd variabila şi x’cd valoarea cea mai mică dintre celulele marcate.
5) Se scade această valoare din valorile variabilelor aflate în celule marcate şi se adună la celulele din ciclu ce au rămas nemarcate.
6) Noua soluţie de bază este formată din variabila xab=x’cd şi vechile variabile bazice din care se va exclude xcd.
7) Se repetă operaţiunile anterioare până când toate cantităţile dij devin nepozitive în care caz se obţine soluţia optimă.
e) Exemplu:
Să se rezolve problema de transport căreia îi corespunde tabelul de mai jos:
8 3 5 2 10
4 1 6 7 15
1 9 4 3 25
5 10 20 15
Soluţie Vom căuta pentru început o soluţie de bază prin metoda colţului de
NV. Fie deci x11=min10,5=5. După eliminarea primei coloane şi înlocuirea lui a1 cu 10-5 obţinem tabelul redus:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 133
8 3 5 2 5
4 1 6 7 15
1 9 4 3 25
0 10 20 15
Avem aici x12=min5,10=5 deci:
8 3 5 2 0
4 1 6 7 15
1 9 4 3 25
0 5 20 15
Mai departe x22=min5,15=5 şi
8 3 5 2 0
4 1 6 7 10
1 9 4 3 25
0 0 20 15
Avem acum x23=min10,20=10
8 3 5 2 0
4 1 6 7 0
1 9 4 3 25
0 0 10 15
x33=min10,25=10
8 3 5 2 0
4 1 6 7 0
1 9 4 3 15
0 0 0 15
x34=min15,15=15
8 3 5 2 0
4 1 6 7 0
1 9 4 3 0
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 134
0 0 0 0
deci am obţinut o soluţie de bază. Vom scrie soluţia în tabel şi acesta va arăta astfel:
v1 v2 v3 v4 u1 8
5 3 5
5 2 10
u2 4 1 5
6 10
7 15
u3 1 9 4 10
3 15
25
5 10 20 15 Rezolvăm sistemul:
=+
=+
=+
=+
=+
=+
3vu
4vu
6vu
1vu
3vu
8vu
43
33
32
22
21
11
de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v1=8, v2=3, u2=-2, v3=8, u3=-4, v4=7. Scriem acum în colţul din stânga sus al celulelor nebazice cantităţile dij=ui+vj-cij şi obţinem tabelul:
8 3 8 7 0 8
5 3 5
5 3
2 5
10
-2 4 2
1 5
6 10
7 -2
15
-4 1 3
9 -10
4 10
3 15
25
5 10 20 15 Cantitatea d14=5 este cea mai mare dintre valorile pozitive ale lui dij. Ciclul
format plecând de la celula (1,4) este marcat în tabel cu săgeţi.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 135
Se observă din graful prezentat în figură modul de determinare a ciclului: (1,4)-(3,4)-(3,3)-(2,3)-(2,2)-(1,2)-(1,4). Celulele scrise îngroşat sunt cele de ordin par (în practică celulele se marchează cu un asterisc). Variabila de valoare minimă este x12=5. Obţinem acum tabelul:
v1 v2 v3 v4 u1 8
5 3 5 2
5 10
u2 4 1 10
6 5
7 15
u3 1 9 4 15
3 10
25
5 10 20 15 Rezolvăm sistemul:
=+
=+
=+
=+
=+
=+
3vu
4vu
6vu
1vu
2vu
8vu
43
33
32
22
41
11
de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v1=8, v4=2, u3=1, v3=3, u2=3, v2=-2. Avem acum:
8 -2 3 2 0 8
5
3 -5
5 -2
2 5
10
3 4 7
1 10
6 5
7 -2
15
1 1 8
9 -10
4 15
3 10
25
5 10 20 15 Valoarea 8 este maximul cantităţilor dij iar ciclul este marcat pe tabel.
Valoarea minimă a lui xij din celulele îngroşate este 5. Obţinem deci tabelul:
v1 v2 v3 v4 u1 8 3 5 2
10 10
u2 4 1 10
6 5
7 15
u3 1 5
9 4 15
3 5
25
5 10 20 15 Rezolvăm sistemul:
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 136
=+
=+
=+
=+
=+
=+
3vu
4vu
1vu
6vu
1vu
2vu
43
33
13
32
22
41
de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v4=2, u3=1, v3=3, u2=3, v2=-2, v1=0. Avem în final:
0 2 3 2 0 8
-8 3 -5
5 -2
2 10
10
3 4 -1
1 10
6 5
7 -2
15
1 1 5
9 -10
4 15
3 5
25
5 10 20 15 Cum toate cantităţile dij sunt negative rezultă că am obţinut soluţia optimă a
problemei şi anume x14=10, x22=10, x23=5, x31=5, x33=15, x34=5 celelalte fiind nule iar valoarea minimă a cheltuielilor de transport este
10⋅2+10⋅1+5⋅6+5⋅1+15⋅4+ 5⋅3=140.
Rezumat
Problemele de programare liniară apar în procesele de modelare matematică. Agoritmul Simplex oferă o cale relativ rapidă de rezolvare a acestora, spre deosebire de situaţia determinării extremelor funcţiilor ce poate conduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii neliniare.
Algoritmul simplex dual apare, de regulă, în situaţia reoptimizării şi/sau parametrizării unei probleme de programare liniară, conducând la obţinerea, de la o soluţie preexistentă, a soluţiei problemei transformate.
Problema de transport este deosebit de utilă în situaţia alocării unor rute de transport în situaţia în care cheltuielile de transport sunt suportate de către o singură firmă.
Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară
Matematică aplicată în Economie 137
Test de autoevaluare
I. Să se rezolve problema de programare liniară:
≥
=++
=+−+−
=++−
+
0x,x,x,x
6x2x4x
2xxx5x
3xxxx2
x xmin
4321
421
4321
4321
31
a) x1=0, x2=0, x3=7, x4=5
b) x1=1, x2=1, x3=1, x4=1
c) x1=0, x2=0, x3=0, x4=0
d) x1, x2, x3, x4∈∅
Bibliografie minimală
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.
Ioan C. A. (2011). Matematică, Galați: Ed. Sinteze
Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.
5. MATEMATICI FINANCIARE
Dobânzi 179
Operaţiuni de scont 184
Plăţi eşalonate (rente) 189
Obiectivele specifice unităţii de învăţare
Rezumat 196
Teste de autoevaluare 196
Bibliografie minimală 196
Lucrare de verificare 196
Obiective specifice:
La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
• să aplici noţiunile de dobândă simplă şi compusă;
• să calculezi scadenţe şi operaţiuni de scont;
• să detaliezi ratele de anuităţi şi împrumuturi.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 4 ore
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 137
5.1. Dobânzi
Definiţii
Dobânda este noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare. Ea reprezintă un surplus monetar care se adaugă unei sume plasate sau împrumutate.
Dobânda unitară reprezintă dobânda furnizată de 1 u.m. pe timp de un an şi va fi notată convenţional cu i.
Dobânda procentuală reprezintă dobânda unitară pentru 100 u.m. şi vom conveni să o notăm cu d.
Avem deci:
d=100⋅i
Definiţie
Dobânda simplă reprezintă dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de bani pe toată durata împrumutului.
Fie S suma depusă sau împrumutată şi t numărul de ani de împrumut. Dacă D este dobânda simplă, avem:
D=S100
dt=
100
Sdt=Sit
Uneori se practică împrumuturi sau depuneri pe perioade mai mici de un an.
Fie deci n numărul de părţi egale în care se împarte un an şi k numărul de părţi pentru care se calculează dobânda. Avem:
D=n100
Sdk=
n
Sik
Suma totală la sfârşitul perioadei de t ani este:
St=S+D=S+100
Sdt=S
+
100
dt1 =S(1+it)
Reciproc, pentru a obţine suma St după t ani va trebui plasată la începutul perioadei de depunere suma:
S=
100
dt1
St
+
=it1
St
+
Definiţie
Dobânda compusă este dobânda obţinută în urma adăugării dobânzii simple la suma plasată iniţial în scopul producerii unei noi dobânzi.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 138
Dacă i este dobânda unitară, vom numi:
u=1+i - factorul de fructificare
Avem astfel: S1=S+Si=S(1+i), S2=S1+S1i=S1(1+i)= S(1+i)2. Să presupunem că după n ani avem: Sn=S(1+i)n. Avem: Sn+1=Sn+Sni=Sn(1+i)= S(1+i)n+1 deci prin inducţie matematică rezultă:
Sn=S(1+i)n=Sun ∀n≥0
Dobânda compusă este:
D=Sn-S=S[(1+i)n-1]=S(un-1)
Să studiem acum cazul în care n∉N. În această situaţie se poate proceda în două moduri:
1) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse pentru numărul întreg de perioade de timp şi se aplică formula dobânzii simple pentru partea fracţionară, soluţie numită soluţia raţională.
2) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse atât pentru partea întreagă cât şi pentru partea fracţionară, soluţie numită soluţia comercială.
Să studiem acum fiecare din cele două cazuri:
1) Fie t=n+m
k durata de depunere în care n reprezintă numărul de ani, m-
numărul de perioade de timp egale ale unui an şi k numărul de perioade pe
care s-a plasat împrumutul. Avem după n ani: Sn=S(1+i)n iar în restul de m
k
ani avem dobânda simplă la Sn: D=Sni m
k. Obţinem deci:
St=Sn+D=S(1+i)n+S(1+i)nim
k=S(1+i)n(1+i
m
k)
2) În acest caz funcţia S:[0,∞)→R, S(t)=S(1+i)t ∀t∈[0,∞) fiind continuă pe tot domeniul de definiţie, avem:
St=S m
kn
)i1(+
+ =S m
kn
u+
=Sun m
k
u
În problema dobânzilor compuse, de o importanţă foarte mare este perioada la care se calculează procentul de dobândă. Fie deci dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unităţi de timp şi dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unităţi de timp. Dobânzile se numesc proporţionale dacă ele produc acelaşi efect în cazul dobânzilor simple. Avem deci pentru o perioadă de mn unităţi de timp dnm dobânda produsă în primul caz şi dmn în cel de-al doilea. Prin urmare: dnm=dmn de unde:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 139
m
n
d
d
m
n =
Observaţie
Dobânda corespunzătoare unei perioade de o lună se numeşte dobândă mensuală, pentru o perioadă de trei luni: dobândă trimestrială, pentru şase luni: dobândă semestrială iar pentru o perioadă de un an: dobândă anuală.
Astfel, o dobândă anuală de 100% este proporţională cu una semestrială de 50% şi cu una trimestrială de 25%.
În cazul dobânzilor compuse, dobânzile proporţionale nu produc acelaşi efect. Astfel, dacă d1 este dobânda mensuală iar d12 este dobânda anuală avem după
un an: 12
1d
100
d1SS
1
+= ,
+=
100
d1SS 12
d12. Cum
12
1
d
d
12
1 = rezultă d12=12d1
de unde:
12
11d
100
d1S
100
d121SS
12
+≤
+=
unde am folosit inegalitatea lui Bernoulli: (1+a)x≥1+xa ∀x≥1 ∀a>-1.
Propoziţie
Două dobânzi proporţionale produc efecte inverse în raport cu numărul de luni la care se calculează.
Definiţie
Două dobânzi se numesc echivalente dacă ele conduc la aceeaşi sumă finală în cazul dobânzii compuse.
Astfel în cazul general de mai sus, avem:
[ ]n
n,m
n
100
d1S
+ =
[ ]m
n,m
m
100
d1S
+ de
unde:
m
n
100
d1
+ =
n
m
100
d1
+
sau altfel:
1100
d1
100
dn
m
nm −
+=
Fie acum o sumă S plasată cu dobânda d pe an în două perioade egale. După
primul semestru, vom avea suma S1=S
+
200
d1 , iar după a doua: S2=S
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 140
2
200
d1
+ . Dobânda rezultată va fi deci: D=
S
SS2 −=
2
200
d1
+ -1=
2
2
200
d
200
d2 + de unde:
d’=100D=d+400
d 2
Astfel, pentru d=50% obţinem: d’=56,25%.
Definiţie
Dobânda d se numeşte dobândă nominală iar d’ se numeşte dobândă reală sau efectivă.
Fie deci acum n perioade de timp în care împărţim un an şi d: dobânda
nominală iar d’: dobânda efectivă. Avem: S1=Sn
n100
d1
+ =S
+
100
'd1 de
unde:
d’=100
−
+ 1
n100
d1
n
care reprezintă dobânda efectivă în funcţie de dobânda nominală.
De asemenea, din aceeaşi formulă, avem:
d=100n
−+ 1
100
'd1n
care reprezintă dobânda nominală în funcţie de cea efectivă.
Exemplu:
Fie o dobândă trimestrială de 15%. Să se calculeze dobânda echivalentă mensuală, cea semestrială şi cea anuală.
Soluţie Pentru dobânda mensuală avem n=3 şi m=1. Din formula:
1100
d1
100
dn
m
nm −
+= ⇒ 1
100
d1
100
d3 31 −
+= =4,77% Pentru dobânda
semestrială avem n=3 şi m=6. Rezultă deci 1100
d1
100
d3
6
36 −
+= =32,25%.
Pentru dobânda anuală avem n=3 şi m=12. Rezultă deci
1100
d1
100
d3
12
312 −
+= =74,90%.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 141
5.2. Operaţiuni de scont
Definiţie
Scontul reprezintă operaţiunea de cumpărare de către o bancă comercială a unei poliţe înainte de termenul limită de scadenţă a acesteia în schimbul unui comision. De asemenea, scontul mai reprezintă şi diminuarea unor datorii atunci când acestea se achită în avans (de exemplu atunci când în cazul unui credit, debitorul achită o rată mai mare decât cea prevăzută).
Scontul simplu
Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+nd). În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 – numită valoare finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc se va numi valoare scontată. Diferenţa S=Sf-Ssc se numeşte taxă de scont (sau simplu, scont).
Să presupunem că banca C2 aplică o dobândă simplă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma:
Sf=Ssc(1+s(n-n1))
de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf-)nn(s1
S
1
f
−+=
)nn(s1
)nn(sS
1
1f
−+
−=
)nn(s1
)nn(s)nd1(S
1
10
−+
−+ - numit scont simplu (sau scont simplu raţional).
Relaţia se mai poate scrie şi sub forma:
Sarcina de lucru 1
Fie o dobândă trimestrială de 15%. Să se calculeze dobânda reală corespunzătoare dobânzii nominale date.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 142
Ss= 21
2
21
2f1f
)nn(s1
)nn(sS)nn(sS
−−
−−− şi cum s2 este foarte mic se poate considera că
s2(n-n1)2≈0 de unde: Sc= )nn(sS 1f − = )nn(s)nd1(S 10 −+ - numit scont simplu
comercial. Dacă vom calcula diferenţa Sc-Ss= )nn(sS 1f − -)nn(s1
)nn(sS
1
1f
−+
−=
)nn(s1
)nn(sS
1
21
2f
−+
−>0 observăm că scontul comercial este mai mare decât cel
simplu, avantajând, în mod evident, creditorul C2.
Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:
• Ssc=Sf-Ss=)nn(s1
)nd1(S
1
0
−+
+ în cazul scontului simplu şi
• Ssc=Sf-Ss=Sf- )nn(sS 1f − = ( ))nn(s1S 1f −− = ( ))nn(s1)nd1(S 10 −−+ în cazul
scontului comercial.
Se observă că în cazul scontului comercial, durata de scontare n-n1 trebuie să
satisfacă condiţia 1-s(n-n1)>0 adică: n-n1<s
1 altfel obţinând o valoare
nepozitivă pentru valoarea scontată (imposibil din punct de vedere practic).
Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0(1+n1d) şi Sf=S0(1+nd).
Din formulele de mai sus deducem:
• Ssc=( ))nn(s1)dn1(
)nd1(S
11
1
−++
+ în cazul scontului simplu şi
• Ssc=( )
dn1
)nn(s1)nd1(S
1
11
+
−−+ în cazul scontului comercial
Prin urmare avem:
• Ssc-S1=( ))nn(s1)dn1(
)dsnsd)(nn(S
11
111
−++
−−−
în cazul scontului simplu şi
• Ssc-S1=dn1
)ndssd)(nn(S
1
11
+
−−− în cazul scontului comercial.
Pentru a avea deci Ssc<S1 va trebui ca:
• s>dn1
d
1+ în cazul scontului simplu şi
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 143
• s>nd1
d
+ în cazul scontului comercial.
Scontul compus
Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+d)n. În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 –valoarea finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc este valoarea scontată. Notăm, de asemenea, S=Sf-Ssc - taxa de scont.
Să presupunem acum că banca C2 aplică o dobândă compusă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma
Sf=Ssc ( ) 1nns1 −+
de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf-( ) 1nn
f
s1
S−
+=
( )( )( ) 1
1
nn
nnf
s1
1s1S−
−
+
−+=
( )( )( ) 1
1
nn
nnn0
s1
1s1)d1(S−
−
+
−++. Dacă notăm u=
s1
1
+ - numit factor de scont,
obţinem: Sr= ( )1nnf u1S −− = ( )1nnn
0 u1)d1(S −−+ - numit scont compus (sau
scont compus raţional).
Obținem:
Sc=s)nn(1
s)nn()d1(S
1
1n
0−+
−+ - numit scont compus comercial.
Se observă că scontul compus comercial are acceaşi valoare ca şi scontul simplu raţional.
Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:
• Ssc=Sf-Sr=Sf- ( )1nnf u1S −− = 1nn
f uS − = 1nnn0 u)d1(S −+ în cazul scontului
compus raţional şi
• Ssc=Sf-Sc=Sf-)nn(s1
)nn(sS
1
1f
−+
−=
)nn(s1
S
1
f
−+=
)nn(s1
)d1(S
1
n0
−+
+ în cazul scontului
compus comercial.
Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0 ( ) 1nd1+ şi Sf=S0(1+d)n.
Din formulele de mai sus deducem:
• Ssc= 1nnn0 u)d1(S −+ = 11 nnnn
1 u)d1(S −−+ în cazul scontului raţional şi
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 144
• Ssc=)nn(s1
)d1(S
1
n0
−+
+=
)nn(s1
)d1(S
1
nn1
1
−+
+ −
în cazul scontului comercial
Exemplu:
O poliţă cu valoarea iniţială de 1000 euro şi dobândă anuală simplă de 12% este scadentă peste 18 luni. După un an de la emitere, posesorul poliţei o prezintă pe aceasta la scontare simplă cu dobânda de 15%. Să se determine
i) valoarea finală la scontare;
ii) valoarea scontată în cazurile scontului simplu şi al celui comercial;
iii) valoarea taxei de scont în cazurile scontului simplu şi al celui comercial.
Soluţie i) Avem S1=1000⋅
⋅+
12
12,0121 =1120 euro.
ii) În cazul scontului simplu, avem: Ssc=
12
15,061
12
12,0181
1000⋅+
⋅+
⋅ =1000⋅1,098=
1098 euro, iar în cazul celui comercial: Ssc=
⋅−⋅+⋅
12
15,061)
12
12,0181(1000
=1000⋅1,092=1092 euro.
iii) În cazul scontului simplu, avem: Ss=6
12
15,01
612
15,0
12
12,0181
1000⋅+
⋅⋅
⋅+
⋅ =
1000⋅0,082=82 euro,iar în cazul celui comercial:
Sc= 612
15,0
12
12,01811000 ⋅⋅
⋅+⋅ =1000⋅0,088=88 euro.
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 145
5.3. Plăţi eşalonate (rente)
Definiţii
Prin plată eşalonată sau rentă se înţelege o sumă de bani plătită la intervale de timp egale. Dacă plata este anuală se numeşte anuitate, dacă este semestrială: semestrialitate, trimestrială: trimestrialitate iar lunară: mensualitate.
Rentele se pot face fie în vederea constituirii unor sume numite plăţi de plasament sau plăţi de fructificare, fie pentru rambursarea unor datorii către diverşi creditori în care caz se numesc plăţi de rambursare sau de amortizare.
Plăţile efectuate la începutul perioadei se numesc anticipate iar cele de la sfârşitul perioadei posticipate.
Plăţile mai pot fi temporare atunci când numărul lor este finit, perpetue dacă numărul acestora este infinit şi viagere dacă numărul acestora este finit dar limitat de viaţa persoanei.
De asemenea, plăţile mai pot fi constante sau variabile.
Mensualităţi. Anuităţi
Toate rezultatele prezentate în continuare sunt valabile atât pentru mensualităţi, cât şi pentru anuităţi (cu simpla înlocuire a termenului de lună cu cel de an şi a dobânzilor corespunzătoare).
I. Valoarea finală a unui şir de mensualităţi temporare
Fie o perioadă de n luni, dobânzile unitare i1,i2,...,in corespunzătoare lunilor 1,2,...,n şi A1,A2,...,An mensualităţile acestor perioade. Fie, de asemenea, S
valoarea finală a acestui şir de mensualităţi şi ε∈[0,1] fracţiunea din an la care
Sarcina de lucru 2
O poliţă cu valoarea iniţială de 1000 euro şi dobândă compusă de 1% pe lună este scadentă peste 18 luni. După un an de la emitere, posesorul poliţei o prezintă pe aceasta la scontare compusă cu dobânda de 15%. Să se determine
i) valoarea finală la scontare; ii) valoarea scontată în cazurile scontului raţional şi al celui comercial.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 146
se plăteşte mensualitatea. Vom nota cu uk=1+ik – factorul de fructificare
corespunzător dobânzii ik, k= n,1 .
Avem:
(1) S=A1u11-εu2u3...un+A2u2
1-εu3...un+...+Apup1-εup+1...un+...+Anun
1-ε
În condiţiile mensualităţilor constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde:
(2) S=A(u11-εu2u3...un+u2
1-εu3...un+...+up1-εup+1...un+...+un
1-ε)
Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:
(3) S=A(un-ε+un-ε-1+...+un-ε-p+...+u1-ε)=Au1-ε
i
1u n −
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
(4) S=Aui
1u n −
iar pentru posticipate, ε=1:
(5) S=Ai
1u n −
Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 –
descreştere), atunci avem up+1=up⋅(1+100
r), p= 1n,0 − de unde:
(6) up=u1⋅(1+100
r)p-1, p= n,1
Să notăm pentru simplificare 1+100
r=s.
Din (1) şi (6) rezultă:
(7) S= ∑=
ε+−
ε−+ε+
+− n
1p2
)23p(p
p1
p1n1
2
)1n)(2n(
su
Aus
Dacă mensualităţile sunt constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde:
(8) S= ∑=
ε+−
ε−+ε+
+− n
1p2
)23p(p
p1
1n1
2
)1n)(2n(
su
1uAs
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
A 1
i 1 i 2
ε0 1 2
εA 2
. . . . . .
i p i p + 1
p - 1 p + 1pε ε
A p A p + 1
i n
nn - 1εA n
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 147
(9) S= ∑=
−
+
+− n
1p2
)3p(p
p1
1n1
2
)1n)(2n(
su
1uAs
iar pentru posticipate, ε=1:
(10) S= ∑=
−
− n
1p2
)1p(p
p1
n1
2
n)1n(
su
1uAs
În cazul constituirii depozitului la k luni de la data formulării problemei, în toate formulele mai sus-menţionate se consideră în loc de n valoarea n-k.
Dacă vom considera r=0 avem s=1 şi formulele (9) şi (10) devin (4), respectiv (5).
II. Valoarea actuală a unui şir de mensualităţi temporare
Ne interesează acum problema inversă. Pentru constituirea unui şir de mensualităţi ce urmează a fi încasate după o perioadă de k luni de la constituire timp de n luni, care este suma ce trebuie depusă la momentul iniţial ?
Fie vk=ku
1 - factorul de actualizare corespunzător lui uk, k= n,1 .
Avem: 1-vk=1-ku
1=
k
k
u
1u −=
k
k
u
i=ivk. Pentru constituirea sumei S avem
S=Sk+1+Sk+2+...+ Sn unde Sp reprezintă depozitul iniţial constituit pentru
retragerea mensualităţii Ap. Suma iniţială Sp produce până la momentul p+ε o
sumă totală Ap=Spu1u2...up-1upε de unde: Sp= ε
− p1p21
p
uu...uu
A=Apv1v2...vp-1vp
ε.
Obţinem deci:
(11) S= ∑+=
ε
−
n
1kpp1p21p vv...vvA
În condiţiile mensualităţilor constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:
(12) S=A ∑+=
ε
−
n
1kpp1p21 vv...vv
Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 148
(13) S=i
v1Av
1v
1vAvvA
kn1k
knk
n
1kp
1p−
−ε+−
ε+
+=
ε+− −=
−
−=∑
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
(14) S=i
v1Av
kn1k
−− −
iar pentru posticipate, ε=1:
(15) S=i
v1Av
knk
−−
În cazul plăţilor imediate, avem k=0 şi este normal ca să presupunem că plata
este posticipată (deci ε=1) şi suma ce trebuie constituită este:
(16) S=i
v1A
n−
Dacă plata mensualităţilor va fi perpetuă, obţinem din formulele (15) şi (16)
trecând la limită pentru n→∞:
(15’) S=i
Avk
respectiv:
(16’) S=i
A
Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 –
descreştere), atunci avem up=u1⋅sp-1, p= n,1 de unde: vp=v1s
1-p. Din formula
(11) rezultă:
(17) S= ∑∑+=
ε+−−
ε+−
+=
ε−−− =n
1kp2
)22p)(1p(
1p1
p
n
1kp
p11
p21
111p
s
vA)sv(sv...svvA
Dacă mensualităţile sunt constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:
(18) S= ∑+=
ε+−−
ε+−n
1kp2
)22p)(1p(
1p1
s
vA
Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:
(19) S= ∑+=
−−
−n
1kp2
)2p)(1p(
1p1
s
vA
iar pentru posticipate, ε=1:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 149
(20) S= ∑+=
−
n
1kp2
p)1p(
p1
s
vA
Împrumuturi
Definiţie
Împrumutul reprezintă o sumă de bani primită în schimbul rambursării ei prin anuităţi (mensualităţi) constante formate din rata curentă (constantă sau nu) numită amortisment şi dobânda asupra restului de plată.
Fie deci S suma împrumutată, S1,...,Sn anuităţile succesive, A1,...,An amortismentele succesive, R0,...,Rn resturile de plată după fiecare rată, i1,...,in dobânzile unitare ale împrumutului (în condiţiile unei economii inflaţioniste, dobânzile pot varia chiar lunar) şi n numărul de ani (perioade de timp) pentru rambursare.
Pentru organizarea calculelor, vom întocmi un tabel de forma:
Momentul de timp
Anuitatea Suma rămasă de plată
0 - R0=S
1 S1=A1+R0i1 R1=R0-A1
2 S2=A2+R1i2 R2=R1-A2
... ... ...
k Sk=Ak+Rk-1ik Rk=Rk-1-Ak
k+1 Sk+1=Ak+1+Rkik+
1 Rk+1=Rk-Ak+1
... ... ...
n Sn=An+Rn-1in Rn=Rn-1-An=0
Avem în mod evident S=A1+...+An. De asemenea:
Sk+1-Sk=Ak+1-Ak+Rkik+1-Rk-1ik=Ak+1-Ak+Rk-1ik+1-Akik+1-Rk-1ik=
Ak+1-Ak(1+ik+1)+Rk-1(ik+1-ik)
Rk=Rk-1-Ak=Rk-2-(Ak-1+Ak)=...=S-(A1+...+Ak), k=1,...,n
Dacă amortismentele sunt constante: A1=...=An=n
S atunci: Rk=S-k
n
S= S
n
kn − de unde:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 150
Sk+1-Sk=n
S-
n
S(1+ik+1)+S
n
1kn +−(ik+1-ik)= S
n
i)1kn(i)kn( k1k +−−− +
Dacă dobânda este constantă i, avem: Sk+1-Sk=-Sn
i deci anuităţile formează o
progresie aritmetică descrescătoare cu raţia -Sn
i.
Dacă anuităţile sunt constante, avem S1=...=Sn de unde:
Ak+1=Ak(1+ik+1)-Rk-1(ik+1-ik)
Dacă dobânda este constantă i avem: Ak+1=Ak(1+i) de unde:
Ak=A1(1+i)k-1
deci amortismentele formează o progresie geometrică cu raţia 1+i.
În cazul anuităţilor constante avem:
∑ ∑∑∑=
−
=
−
=
−
=
− −+−−++=n
2k
2k
1pp1kk
n
2k1kk
n
2kk1k1 A)ii()ii(S)i1(AAS
Dacă dobânda este constantă “i” avem: S= ∑=
− ++n
2kk1k1 )i1(AA şi cum
An=A1(1+i)n-1 rezultă: S=A1i
1)i1( n −+ sau altfel: A1=S
1)i1(
in −+
.
Suma totală de plată după p anuităţi este:
Stot=S∑=
p
1kki +A1+∑ ∑
=
−
=
−
p
2k
1k
1rkrk iAA .
Dacă amortismentele sunt egale, avem:
Stot=S
+−+∑
=
p
1kki
n
1kn
n
p
Dacă dobânzile sunt constante şi egale cu i, avem:
Stot=n2
S[2p+i(2np-p2+p)].
La sfârşitul perioadei de plată avem (pentru p=n):
Sfinală=S
++
2
1ni1
Suma rămasă de plată după plata a p anuităţi se constituie ca diferenţă între suma totală de plată la sfârşitul perioadei şi cea totală după anuitatea p.
Exemplu:
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 151
O persoană împrumută de la o bancă suma de 9.000 lei pe o perioadă de 3 ani cu dobândă anuală de 50%. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, să se întocmească graficul de plată.
Soluţie Avem S=9.000, n=3, i=100
50=0,5. Graficul de plată este următorul:
Momentul de timp Anuitatea Suma rămasă de plată
0 - 9.000 1 7.500 6.000 2 6.000 3.000 3 4.500 0
Rezumat
Problemele de matematici financiare se regăsesc, de regulă, în actvitatea bancară sau în cea a caselor de asigurări, pensii etc.
Metodele de calcul al dobânzilor (simplă sau compusă) se întrepătrund în practica economică fiind adaptate sau adaptabile necesităţilor şi exigenţelor firmei.
Calculul anuităţilor (mensualităţilor) apare pregnant astăzi, fiind util oricărui cetăţean, nu numai economiştilor, pentru determinarea valorii finale a unui depozit depus regulat sau a determinării unei rate de rambursare periodică sau nu.
Modul de calcul al împrumuturilor este deosebit de util în orice societate ce practică un astfel de sistem de cumpărare.
Sarcina de lucru 3
O persoană împrumută de la o bancă suma de 18.000 lei pe o perioadă de 10 ani cu dobândă anuală de 60%. Datorită unei inflaţii galopante, în primele 4 luni dobânda creşte cu 110% lunar. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, lunare, să se întocmească graficul de plată pentru primele 4 luni.
Această sarcină de lucru va fi verificată de către tutore în cadrul întâlnirilor tutoriale
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 152
Test de autoevaluare
I. O persoană depune la bancă suma de 1.000 lei cu dobândă compusă de 50% pe an. Ce sumă va avea persoana după 3 ani şi 7 luni în cazul în care se aplică pentru fracţiunea de an soluţia raţională ? Care este dobânda corespunzătoare întregii perioade? (5 puncte) a) D=5.359 lei b) D=4.359 lei c) D=2.359 lei d) D=3.359 lei
II. O persoană doreşte să constituie un depozit de bani astfel încât după o perioadă de 20 ani să poată retrage timp nelimitat suma de 2000 lei anual. Dacă dobânda anuală este de 50% iar depunerea se face la începutul fiecărui an, care este suma pe care trebuie să o depună la acest moment? (5 puncte)
a) S=104 lei b) S=108 lei c) S=110 lei d) S=99 lei
Bibliografie de elaborare a cursului
Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.
Ioan C. A. (2011). Matematică, Galați: Ed. Sinteze
Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.
Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.
LUCRARE DE VERIFICARE
I. Să se determine coeficientul de corelaţie ρXY al vectorului aleator (X,Y) dat
prin următorul tablou, unde λ∈R:
X Y
17 0 14
8 2λ 1λ 1λ
0 2λ 1λ 1λ
15 1λ 2λ 2λ
Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare
Matematică aplicată în Economie 153
II. Să se determine pentru problema de programare liniară, valoarea optimă “z” a funcției obiectiv:
max(-10x1+2x2-10x3)
2x1-10x2+2x3≤7
18x1+7x2+8x3≤9
2x1-19x2+2x3≤5
x1,x2,x3≥0
III. O persoană împrumută suma de 1910 lei de la o bancă pentru o perioadă de 3 luni, cu dobânda anuală de 9%, cu mensualități constante (rate totale de plată egale). Care este valoarea lunară a mensualității?
Lucrarea va fi predată in termenul specificat pe platformă spre a fi verificată și notată, ea fiind inclusă în nota finală.
Răspunsuri la testele de autoevaluare
Modul 1 – Algebră liniară
I. b II. a III. d
Modul 2 – Analiză matematică
I. c II. a III. b
Modul 3 – Teoria probabilităților
I. c II. a
Modul 4 – Programare liniară
I. d
Modul 5 – Matematici financiare
I. d II. a
Recommended