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Matemática BásicaUnidad 1: Preparación para el cálculo

Clase 1

Luis González Alcaino

Magister en Matemática

Universidad Santo TomasDepartamento Ciencias Básicas - Talca

Marzo de 2013

lgonzalez@santotomas.cl (UST) Matemática Básica: Clase 1 Marzo de 2013 1 / 14

Contenidos de la clase

Algebra

Término algebraico

Expresiones algebraicas

Clasificación de expresiones algebraicas

Polinomios

Valor numérico de una expresión algebraica

Términos semejantes

Reducción de términos semejantes

Eliminación de paréntesis

Ejercicios

Lecturas

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Algebra

Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo

más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de

la aritmética.

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las

operaciones fundamentales, en álgebra para lograr la generalización se

introducen, además, letras, para representar variables o cantidades

desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas

«fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.

Podemos sintetizar diciendo que el álgera constituye una generalización de la

aritmética ya que mediante mediante la combinación de números y letras

podemos dar solución a situaciones más complejas.

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Término algebraico

Un término algebraico es una expresión elemental donde se encuentran

solamente operaciones de multiplicación y división de números y letras. El

número se llama coeficiente numérico y las letras conforman la parte literal.

Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia.

Ejemplo

Término algebraico −9a3x5y2

−9 coeficiente numérico

a3x5y2 parte literal

3, 5 y 2 son exponentes

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Expresión algebraica

Cuando se combinan términos algebraicos mediante operaciones de suma,

resta, multiplicación, división, exponenciación o extracción de raíces,

entonces la expresión resultante se llama expresión algebraica.

Ejemplos de expresiones algebraicas

1 5ax3 − bx2 + 5

2 15− 4√

x+4y

5x

3(x+ 2z)2 − 5xz

x+ z2− 10xz3

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Clasificación de expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas que tienen exactamente un término se

denominan monomios. Aquellas que tienen exactamente dos términos son

binomios y las que tienen exactamente tres términos son trinomios. Las

expresiones algebraicas con más de un término se llaman en general

multinomios.

Ejemplo

1 4a3b2, en un monomio

2 5x3 − 3x, es un binomio

3 7x2 +√

y5 − 15, es un trinomio

4 2√

x− 3x2 − 3x+ 4x− 5, es un multinomio

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Polinomios

En matemáticas, un polinomio es una expresión algebraica especial la cual

está constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o

desconocidas) y constantes (números reales fijos llamados coeficientes),

utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y

multiplicación, así como también solamente exponentes enteros positivos.

En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de

potencias enteras positivas de una o de varias variables.

Ejemplos

1 3x2 + 3x− 1 polinomio en una variable, polinomio de grado dos

2 5xy3 − 2xy+ x− y+ 1 polinomio en dos variables, polinomio de grado 4

3 x−2 + 3x− 4 no es un polinomio

4x3 − 7x2 + 1

x+ y2− 2xy3 no es un polinomio

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Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma la

expresión cuando se le asignan valores numéricos a las variables.

Ejemplos

1 3x+ 2x2 − 5 cuando x = 12

3x+ 2x2 − 5 = 3( 12) + 2( 1

2)2 − 5 = 3

2+ 2 · 1

4− 5 = −3

2 9x3y+ 4x2y3 − 3xy cuando x = 13, y = − 1

2

9x3y+ 4x2y3 − 3xy = 9 · ( 13)3 · (− 1

2) + 4 · ( 1

3)2(− 1

2)3 − 3( 1

3)(− 1

2) = 5

18

3 Hallar el área de la figura (trapecio) la cuál se calcula mediante la

formula A = 12h(b+ c)

c = 8 m

b = 12 m

h = 6 m

A = 12h(b+ c) = 1

2(6)(12+ 8) = 3(20) = 60 m2

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Términos semejantes

Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte

literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían

solo en el coeficiente numérico. Solamente se pueden sumar o restar

términos semejantes. No se pueden sumar o restar términos que no sean

semejantes.

Ejemplos

1 Son términos semejantes 3x2y, −7x2y, 9x2y

2 No son términos semejantes 2x2y3, −4x2y, 12x2y4

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Reducción de términos semejantes

Es una operación cuyo objetivo es convertir en un sólo término dos o

más términos semejantes.

Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.

1) 3x2y+ 5x2y = 8x2y

2) −7a3b− 12a3b = −19a3b

Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.

1) 3xyz− 4xyz = −xyz

2) −6ab4 + 9ab4 = 3ab4

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Eliminación de paréntesis

El uso de paréntesis en Álgebra, es muy frecuente. Los paréntesis se utilizan

para separar expresiones, siendo necesario eliminarlos, para poder

simplificar una expresión algebraica que contenga términos semejantes. En

necesario, entonces, tener en cuenta las siguientes reglas:

Si delante de un paréntesis hay un signo + (más) se eliminan los

paréntesis sin hacer ningún cambio de signo.

Si delante de un paréntesis hay un signo − (menos) se eliminan los

paréntesis y se cambian TODOS los signos de los términos que estaban

en su interior. Si en una expresión algebraica hay más de un paréntesis,

siempre se comienza desde el interior hacia el exterior.

Ejemplos

1 7x+ (−5y+ 6z)− (8z− 3y+ 4x) = 7x− 5y+ 6z− 8z+ 3y− 4x =3x− 2y− 2z

2 3ab− {3a− (−5ab+ 8a)− 2a} = 3ab− {3a+ 5ab− 8a− 2a} =3ab− {−7a+ 5ab}3ab+ 7a− 5ab = 7a− 2ab

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)

14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))

3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =

3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

−(12x3y+ 7xy3)− (−4x3y− 8xy3) + 3xy3 − (5x3y− 8x3y)14 ab− 3

2 a2b+ 25 ab2 − 1

3 ab+ 23 ab2 − a2b

3x− (−2x+ 3y− (4x+ y))3a− [−(−b+ 3a)− a+ 2b− (10b− 3a)− 3b− 2(−b+ a)]

2 Si 2a = −5 , b = −1 , c = −2 y 2d = 4 , entonces 4a+ 2c− 2b− 4d =3 Al restar (2a2 − 3ab+ 2b2) de (5a2 − 3ab− b2) resulta:

4 En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,

relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus

lados a, b y c:

Área =√

s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s =a+ b+ c

2

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm

respectivamente

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Soluciones de los ejercicios

1 Reduzca los siguientes términos semejantes:

4xy3 − 5x3y

− 52 a2b+ 16

15 ab2 − 112 ab

9x− 2y

6a+ 8b

2 −20

3 (5a2 − 3ab− b2)− (2a2 − 3ab+ 2b2) = 3a2 − 3b2

4

√351 = 18, 7cm2 aproximadamente

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Lecturas

Páginas 16-26 del libro Introducción al Cálculo con aplicaciones en el área de

la salud.

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