MATEMÁTICA FINANCEIRA Reinaldo Cafeo cafeo@economiaonline.com.br

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Reinaldo Cafeo

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Introdução

A Matemática Financeira teve seu início exatamente quando o homem criou os conceitos de Capital, Juros, Taxas e Montante. Daí para frente, os cálculos financeiros tornaram-se mais justos e exatos, mas é preciso conhecê-los, se possível muito bem.

Tópicos

Regime de Juros Simples Método Hamburguês Desconto de Duplicatas Juros Compostos Fluxo de Caixa Taxa Nominal x Taxa Efetiva Série Uniforme de Pagamentos Valor Presente Líquido Taxa Interna de Retorno

Conceitos

Capital (C ou PV) é o valor – normalmente dinheiro – que você pode aplicar ou emprestar. Também chamado de Capital Inicial ou Principal, representado pela letra “C” ou “PV” (Valor Presente – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Present Value. Adotaremos “PV”).

Conceitos

JURO é a remuneração do capital empregado.

Para o INVESTIDOR: é a remuneração do investimento

Para o TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo

Conceitos

TAXA DE JUROS: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.)

Esse período é representado pela letra “n” ou “t”.

Taxa percentual: 34% ao mês Taxa unitária: 0,34 ao mês

Conceitos

MONTANTE (M) ou VALOR FUTURO (FV – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra “M” ou “FV”, ou seja:

M = C + J ou FV = PV + J

Regime de Juros

Existem dois regimes de juros: A) simples B) compostos

Juros Simples

No regime de juros simples, a taxa incide sobre o capital inicial aplicado, sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação.

Juros Simples

Exemplo 1: Para um capital de $ 100.000, aplicado à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses, teríamos:

n PV J juros acumulados Montante (PV+J)10%

0 100.000 0 0 100.0001 100.000 10.000 10.000 110.0002 100.000 10.000 20.000 120.0003 100.000 10.000 30.000 130.000

Juros Simples

Dedução da fórmula: J = PV x i

Para os juros acumulados: J = PV . i . n

Juros Simples

Se: FV = PV + J, temos FV = PV + PV . i . n

100 Assim: FV = PV (1 + i . n)

Juros Simples

Os juros simples têm crescimento constante ao longo do período de aplicação.

Os juros simples podem ser: Exatos: calendário civil (365 ou 366

dias) Ordinários: calendário comercial

(mês 30 dias, ano de 360 dias)

Juros Simples

Exemplo 2: O Sr. Theobaldo aplicou $ 50.000, a juros simples de 5% ao mês, por 90 dias. Quanto rendeu sua aplicação? Quanto resgatou?

Juros Simples

Observe que o período da aplicação está em dias e taxa ao mês. Nesse caso precisamos transformá-los para mesma periodicidade, ou seja, ou passamos a taxa ao dia (dividindo-a por 30) ou encontramos o número de meses que temos em 90 dias (dividindo por 30). Vamos transformar “n” em meses:

Juros Simples

n = 90 / 30 = 3 meses Aplicando na fórmula: J = 50.000 x 5 x 3

100 J = 7.500 FV = 50.000 + 7.500 FV = 57.500

Juros Simples

Contas garantidas e o Método Hamburguês

Como calcular os juros sobre as contas garantidas de pessoas jurídicas, ou mesmo sobre contas de cheques especiais de pessoas físicas?

Juros Simples

Essas contas são, na realidade, formas de crédito rotativo nas quais são definidos limites máximos para utilização de recursos. O cliente saca a descoberto e juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado.

Juros Simples

Na maioria dos bancos, os encargos financeiros sobre os saldos devedores são calculados por capitalização simples, através do denominado “Método Hamburguês”.

Por este método, os juros devidos são calculados da seguinte forma: multiplica-se a taxa de juros pelo produto do saldo devedor e da quantidade de dias que esses valores tenham permanecido devedores.

Juros Simples

Exemplo 3: O Sr. João Oliveira mantém um cheque especial no Banco Millenium, com de limite de $ 25.000. Ao final do mês de abril/96, o Banco expede um extrato com a movimentação financeira naquele mês. Sabendo-se que os encargos eram de 12% ao mês, determinar o total a ser pago pelo Sr. João.

Juros Simples

Data Histórico Débito ou Crédito Saldo (D/C)$ $

01/04/96 Saldo anterior 0 2.250,00 C03/04/96 Cheque 10.000,00 D -7.750,00 D08/04/96 Débito automático 5.250,00 D -13.000,00 D10/04/96 Depósito On line 14.000,00 C 1.000,00 C24/04/96 Saque 1.500,00 D -500,00 D29/04/96 Transferência on line 2.500,00 D -3.000,00 D

Extrato de Movimentação Financeira

Juros Simples

Data Saldo (D/C) $ Número de dias a A x BA descoberto (B)

01/04/96 2.250,00 0 003/04/96 -7.750,00 5 38.750,00 08/04/96 -13.000,00 2 26.000,00 10/04/96 1.000,00 0 024/04/96 -500,00 5 2.500,00 29/04/96 -3.000,00 1 3.000,00

Total 70.250,00

Tabela para Cálcudo dos juros a serem pagos

Juros Simples

Juros = 70.250 x 0,12/30 Juros = $ 281,00

Descontos

Conceito: a chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual.

Descontos

Fórmula: D = FV – PV Onde: D = valor monetário do desconto FV = Valor Futuro (Valor de Face) PV = Valor Presente (Valor creditado

ou pago ao seu titular)

Descontos

O critério mais utilizado pelo mercado é o chamado desconto simples, que envolve cálculos lineares, com um detalhe: o taxa no período incide sobre o valor futuro e não sobre o valor presente (como são as demais operações)

Descontos

Conhecido no mercado financeiro como desconto bancário ou comercial, o desconto simples é obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:

Descontos

D = FV x i x n Onde: D = Valor do Desconto ($) FV = Valor Futuro ou de Face i = taxa de desconto n = o prazo

Descontos

Para se obter o chamado valor descontado (ou valor presente), basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:

PV = FV - D

Descontos

Assim, temos as duas fórmulas básicas:

D = FV x i x n PV = FV - D

Descontos

Exemplos: 1- Qual o valor do desconto simples de um

título de $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?

Dados: FV = 2.000,00 n = 90 dias = 3 meses i = 2,5% ao mês

Descontos

D = FV x i x n D = 2.000 x 0,025 x 3 D = 150,00

Descontos

Cálculo do valor do desconto simples para séries de títulos de mesmo valor:

Fórmulas:

PVt = FV x N - Dt

Dt = FV x N x i x t1 + t2

Descontos

Onde: Dt = valor do desconto total N = número de títulos i = taxa de juros t1 + t2 = prazo médio dos títulos

Descontos

Exemplo: Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.

Descontos

Dados: FV = 1.680,00 N = 12 t1 = 1

tn = 12 Pt = ? i = 2,5%

Descontos

Solução: Dt = 1.680,00 x 12 x 0,025 x 1 + 12

2 Dt = 3.276,00 Pt = (1.680,00 x 12) – 3.276,00 Pt = 16.884,00

Descontos

Taxa Efetiva de Desconto (ie) É aquela que, como o próprio nome diz,

remunera efetivamente uma operação de desconto.

Há uma mudança de enfoque, veja: A loja de eletrodomésticos, ao permitir que

seus clientes paguem 30 dias após a compra, está realidade, abdicando de receber $ 900,00, hoje, para receber $ 1.000,00 daqui a um mês. Quanto ganhará com isso?

Descontos

O rendimento será de $ 100,00 sobre os $ 900,00 de hoje. A taxa de remuneração ou taxa efetiva será:

Ie = 100/900 x 100 = 11,11%.

Descontos

Assim podemos dizer: A taxa nominal de desconto (id)

incide sobre o valor nominal do título. Já a taxa efetiva de desconto (ie) é aplicada sobre o valor líquido da operação.

Descontos

ie = id x 100

100 – id

ie = taxa efetiva de desconto

id = taxa nominal de desconto

Juros Simples: Exercícios

01- Qual o montante (capital + juros) acumulado em 7 meses, a uma taxa de 10% a.m., no regime de juros simples, a partir de um principal de $ 200,00?

02- Qual o capital necessário para obter um montante de $ 970,00, daqui a 3 semestres, a uma taxa de 42% ao semestre, no regime de juros simples?

03- Qual a taxa mensal de juros simples que transforma um capital de $ 350,00 num montante de $ 570,50, daqui a 7 meses?

04- Calcular os juros simples recebidos em uma aplicação de $ 100,00, a uma taxa de 10,00% a.m., num prazo de 15 dias.

05- A que taxa devemos emprestar $ 97,00, a juros simples, para que em 10 meses ele duplique?

06- Utilizar o Método Hamburguês para apurar os juros a serem pagos em uma conta de crédito rotativo de pessoa jurídica, que apresenta as seguintes características: taxa de juros: 10% ao mês; limite de crédito: $ 200.000,00

Data Histórico Débito ou Crédito Saldo (D/C)$ $

01/06/02 Saldo anterior 0 0,00 C05/06/02 Cheque 40.000,00 D -40.000,00 D09/06/02 Saque 8.000,00 D -48.000,00 D15/06/02 Depósito 48.000,00 C 0,00 C23/06/02 Av. de débito 32.000,00 D -32.000,00 D29/06/02 Saque 10.500,00 D -42.500,00 D

Extrato de Movimentação Financeira

07- Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 800,00?

08- Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de $ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

Juros Simples: Exercícios 09- Calcular o valor líquido creditado na conta

de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de $ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês.

10- O desconto de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata.

Juros Simples: Exercícios 11- Quatro duplicatas, no valor de $ 32.500,00

cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto.

12- Uma empresa apresenta 9 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do borderô, e que o valor líquido creditado a empresa foi de $ 25.000,00, calcular o valor de cada título.

13-Um consumidor deseja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes de um financiamento obtido para a compra de um bem. Sabendo-se que o valor de cada prestação é de $ 30.000,00; que a primeira prestação vence a 30 dias de hoje e a última a 180 dias; e que o desconto dado pelo credor é de 1% ao mês (desconto simples ou bancário), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o contrato.

Juros Simples: Exercícios 14- Oito títulos, no valor de $ 1.000,00

cada um, são descontados por um banco, cujo líquido correspondente, no valor de $ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto.

15- Calcular a taxa efetiva de desconto, dada a taxa nominal de 3% ao mês.

16- Calcular a taxa efetiva de desconto, para o prazo de 45 dias, para uma operação com taxa nominal de 3,3% ao mês.

Juros Compostos

No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas eles são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados.

Juros Compostos

PV = Capital inicial n = Números de períodos FV = Montante no regime de juros

compostos No regime de juros compostos, a taxa de

juros (i) incide sobre o montante (PV+J) do período anterior. Portanto, difere do regime de juros simples, em que a incidência é sempre sobre o capital inicial (PV).

Juros Compostos

Exemplo 1: Para um capital de $ 100.000,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, em juros compostos, por 3 meses, teríamos:

Juros Compostos

n PV J juros acumulados Montante (PV+J)10%

0 100.000 0 0 100.0001 100.000 10.000 10.000 110.0002 110.000 11.000 21.000 121.0003 121.000 12.100 33.100 133.100

Juros Compostos

Observe que os juros são cobrados a cada período de capitalização que, neste caso, é mensal. No período n=0, o capital ainda não rendeu juros, pois é nesse momento que a aplicação se inicia. A remuneração (juros) de cada período é obtida pela multiplicação do montante do período anterior pela taxa de juros.

Juros Compostos

A) Primeiro período: Juros: J1 = PV x i

J1 = 100.000 x 10/100 = 10.000

Montante: FV1 = PV + PV x i

FV1 = PV ( 1 + i )

Montante do primeiro período

Juros Compostos

B) Segundo Período Juros: J2 = FV1 x i

J2 = 110.000 x 10/100 = 11.000

Verifique que o juro aumentou em 1.000, que corresponde à parcela incidente sobre os juros do período anterior (10.000 x 10/100). Por isso os juros compostos são chamados de juros sobre juros.

Juros Compostos

Montante: FV2 = FV1 + J2

FV2 = FV1 + FV1 x i 100

FV2 = FV1 ( 1 + i ) 100

FV2 = PV ( 1 + i ) x ( 1 + i ) 100 100

FV2 = PV ( 1 + i )2 Montante 2.º período

Juros Compostos C) Terceiro Período: Juros: J3 = FV2 x i

J3 = 121.000 x 10/100 = 12.100

Montante: FV3 = FV2 + J3

FV3 = FV2 + FV2 x i 100

FV3 = PV ( 1 + i ) 2 x ( 1 + i ) 100 100

FV3 = PV ( 1 + i )3 Montante 3.º período

Juros Compostos

Portanto, generalizando a fórmula para “n” períodos, temos:

FVn = PV ( 1 + i )n

ESTA É A FÓRMULA GERAL DE JUROS COMPOSTOS.

Juros Compostos

Observação: A unidade de tempo utilizada para o

período (n) deve ser a mesma da taxa de juros (i), ou seja, se o período (n) é dado em:

Dia – taxa em dia (i% a.d.); Mês – taxa em mês (i% a.m.); Ano – taxa em ano (i% a.a.)

Juros Compostos

Outro exemplo: Uma aplicação de $ 50.000,00, pelo prazo de 3 meses, a uma taxa de 5% a.m. (0,05 a.m.), capitalizável mensalmente, quanto renderá?

FVn = PV ( 1 + i )n

Juros Compostos

FV = 50.000 ( 1,05 )3

FV = 57.881,25 Esse é montante, os juros (rendimentos)

são: J = MONTANTE – CAPITAL INICIAL J = 57.881,25 – 50.000,00 J = 7.881,25 Veja o que ocorreu em cada período no

quadro a seguir:

Juros Compostos

Período Capital Taxa Juros do Período Montanten PV i J FV1 50.000,00 5% 2.500,00 52.500,00 2 52.500,00 5% 2.625,00 55.125,00 3 55.125,00 5% 2.756,25 57.881,25

Juros Compostos - Exercícios 01- Encontrar o montante a ser recebido

por uma aplicação em juros compostos de $ 1.000,00, remunerada a 8,35% ao mês durante 10 meses.

02- Você deposita a importância de $ 150,00 em um banco que paga as seguintes taxas: 4,5% a.m. no primeiro mês de investimento, 5,30% a.m. no segundo mês e 5,89% a.m. no terceiro mês. Determine o montante que ela resgatará após os 3 meses de investimento.

Juros Compostos: Exercícios 03-Determine o montante produzido pelo

capital de $ 770,00, aplicado a uma taxa de 12,49% a.t., durante 15 meses, com capitalização trimestral.

04- Calcule o valor de $ 250,00 para os próximos 2, 3 e 6 meses, se a taxa se mantiver em 3,8% a.m.

05- Quanto valia há 8 meses, e quanto valerá daqui a 5 meses $ 170,00, considerando-se uma taxa de 4,9% a.m.?

Juros Compostos: Exercícios 06- Calcular o montante de uma aplicação

de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% ao mês.

07- No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de $ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: qual o valor emprestado?

Juros Compostos: Exercícios 08- Determinar o montante correspondente a

uma aplicação de $ 10.000,00, pelo prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% ao mês.

09- Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.

10- Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.

Juros Compostos: Análise de Taxas Muitas vezes, no momento da tomada da

decisão de realizar uma Operação Financeira, nos deparamos com taxas em “tempos diferentes”. Essas diferenças se não forem reajustadas podem causar conclusões errôneas, como por exemplo, “achar” que 1% ao dias é igual a 30% ao mês.

Para que não ocorra tal conclusão, vamos utilizar sempre que for necessário, a fórmula de “Taxas Equivalentes” no regime composto.

Juros Compostos: Análise de Taxas Equivalência de Taxas (fórmula

adaptada) Fórmula :

Taxa que eu quero = [(1 + taxa que eu tenho) prazo que eu quero -1] x 100– prazo que eu tenho

Ou seja: iq = [(1+it)nq –1] x 100

Juros Compostos: Análise de Taxas

i tenho 20% a.m. 10% a.m. 5% a.d. 120%a.a.

i quero a.d. a.a. a.s. a.t.

Resultado

Juros Compostos: Análise de Taxas - Exercícios 01- Qual a taxa mensal equivalente a

460% ao ano? 02- Calcule a taxa anual equivalente a

13,14% ao mês. 03- Calcular a taxa trimestral equivalente a

uma taxa de 360% ao ano. 04- Calcule a taxa mensal equivalente a

413% ao ano. 05- Determinar a taxa diária equivalente a

25% ao trimestre.

Juros Compostos: Análise de Taxas - Exercícios 06- Calcule a taxa semestral equivalente a

5,3% ao mês. 07- Determine a taxa diária equivalente a

15% ao mês. 08- Determine a taxa bimestral equivalente

a 40% ao semestre. 09- Calcule as taxas diárias, mensal,

trimestral, semestral e anual para 365 dias, equivalente a 10,70% ao bimestre.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Taxa nominal (in) É uma taxa referente a um período

que não coincide com o período de capitalização de juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Lembre-se, na taxa nominal emprega-se

uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização!

Exemplo 1: 35% ao ano, com capitalização mensal; 16% ao ano, com capitalização semestral; 8 % ao mês, com capitalização diária.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada

no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio.

A taxa que representa o efetivo ganho/custo financeiro do negócio é a TAXA EFETIVA.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Taxa Efetiva (ie) É a que corresponde, de fato, ao

ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa, cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros, é uma taxa efetiva.

Exemplo 2: 40% ao ano, com capitalização anual; 18% ao semestre, com capitalização

semestral; 4% ao mês, com capitalização mensal.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Como se obtém a taxa efetiva para o

período de capitalização de juros? a) A partir de uma taxa nominal Neste caso, você aplica o conceito

de taxas proporcionais (juros simples):

Taxa Nominal x Taxa Efetiva

Ie = i n

i e = taxa efetiva para o período de capitalização

i n = taxa nominal

k = número de capitalizações contidas no período da taxa nominal

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Exemplo 3: 36% ao ano, com capitalização

mensal: (1 ano = 12 meses) k = 12 Ie = i n = 36 = 3 % ao mês

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Calcule: 01- 48% ao ano, com capitalização

semestral. 02- 10% ao ano, com capitalização

trimestral. 03- 30% ao mês, com capitalização

anual. 04- 2% ao dia, com capitalização

mensal.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva b) Obtenção da taxa efetiva a partir

de outra taxa efetiva, cuja unidade de tempo é diferente do período de capitalização dos juros.

Aqui se aplica o conceito de taxas equivalentes (juros compostos).

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Exemplo: A partir da taxa nominal de 36% ao ano, cuja

taxa efetiva é de 3% ao mês, determinar a taxa efetiva anual equivalente.

iq = [(1+it)^nq/nt – 1 ] x 100 iq = [(1,03)^12/1 – 1] x 100 Taxa equivalente = 42,58% ao ano. Assim: A taxa efetiva anual equivalente à

taxa efetiva de 3% ao mês é de 42,58%, enquanto que a taxa nominal ao ano é de 36%.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva 01- Qual a taxa efetiva mensal e a taxa

efetiva anual equivalente da caderneta de poupança?

02- Dada a taxa de 60% ao ano, com capitalização bimestral, calcule a taxa efetiva ao ano.

03- Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com período de capitalização mensal.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva 04- Determine a taxa efetiva mensal

equivalente a uma taxa nominal de 7,5% ao mês com capitalização diária (calendário comercial).

05- Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 78,01% ao ano com capitalização semestral.

06- Foi aplicado $ 10.000,00 à taxa de 60,00% ao mês capitalizada diariamente. Determine o montante resgatado ao final de 4 dias.

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Complete o quadro a seguir,

calculando as taxas efetivas correspondentes à taxas nominais dadas:

Taxa Nominal x Taxa Efetiva

Taxa Capitalização trimestre semestre ano 33 diasA 7,97% a.a. mensalB 45% a. s mensalC 8,5% a.a. semestralD 17% a.m. diáriaE 6% a.a. bimestralF 1,51% a.t. diária

Taxa Nominal Taxa Efetiva

Taxas Unificadas (iu)

Algumas modalidades financeiras possuem taxas compostas por um indexador e determinada taxa de juros.

É o caso, por exemplo, da caderneta de poupança. Seu rendimento é TR (Taxa Referencial) mais 0,5% ao mês.

O rendimento total é obtido com a unificação dessas duas taxas. Veja bem: unificar as taxas e não somar as taxas!

A utilização de taxas unificadas é muito útil em regimes de economia inflacionária, como no caso vivido no Brasil, onde vários indexadores – na verdade taxas de correção monetária – são colocadas no mercado (IGP-M, TR, etc) para tentar zerar ou equilibrar a perda monetária provocada pela inflação.

Nosso problema é, tendo duas taxas (i1 e i2), torná-las única iu de forma que provoque o mesmo ganho/custo financeiro, se aplicadas isoladamente uma sobre a outra.

Cuidado! Unificar duas taxas não significa somá-las:

i u i 1 + i 2

A fórmula de unificação é: i u = [ ( 1 + i1 ) x ( 1 + i2 ) –1 ] x 100

Taxas Unificadas 01: A TR que remunera a caderneta de

poupança para o dia 22/01 é 0,328%. Calcular o rendimento total proporcionado às poupanças desta data.

02- Unificar as taxas 10% ao mês e 5% ao mês. 03- O Governo resolve dar reajuste de 30% aos

funcionários públicos, sendo a primeira parcela de 10% em janeiro e o restante em março. Calcular o percentual da segunda parcela.

04- Encontrar a taxa unificada referente à atualização monetária de 15% e taxa de juros de 1,3% incidentes sobre o mesmo capital.

Taxas Unificadas

05- Unificar as seguintes taxas: a) 30% e 2% b) 115% e 10% c) 0,8426% e 0,5% d) 13%, 12%, 5% e 4% 06- Encontrar a taxa que atinja um reajuste

total de 80%, dado em duas parcelas, sendo a primeira de 40%.

07- Qual é o percentual de reajuste que falta para atingir o aumento salarial de 35%, em duas parcelas, sendo que a primeira foi de 10%?

Taxa Real

É importante ressaltar que muita gente confunde taxa efetiva com taxa real.

TAXA REAL (i r ) é a taxa efetiva (i e ) excluída dos efeitos inflacionários (I). TAXA REAL refere-se a JURO REAL, que pode ser um GANHO REAL ou um CUSTO FINANCEIRO REAL.

Taxa Real

Fórmula:

i r = ( 1 + i e - 1 ) x 100 1 + I

Taxa Real

01- Se um determinado banco conceder a seus funcionários um reajuste de 25% para um período de 12 meses em que a inflação tiver sido de 20%, qual será o ganho real?

02- Foi emprestado um capital, à taxa de 26,83%, a título de juros e correção monetária. Sabendo-se que a inflação no período foi de 23,79%, calcular a taxa real.

03- Emprestamos um dinheiro a 4,36%. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da operação?

Taxa Real

04- Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8,00% ao mês. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real?

05- Um capital de $ 300,00 foi aplicado durante 3 meses, e resultou $ 373,37. Sabendo-se que a inflação média mensal foi de 1,20%, calcule:

a) taxa efetiva mensal; b) taxa real mensal.

Taxa Real 06- Um cliente aplicou $ 2.500,00 em um

fundo de renda variável e obteve $ 2.518,75. Considerando que a inflação no período foi de 1,3%, calcular o ganho ou perda real do investimento.

07- Um capital de $ 789.000,00 foi aplicado durante 5 meses e resultou em $ 2.483.464,50. Se a inflação média mensal no período foi 25,10%, calcule:

a) taxa efetiva no período; b) taxa real no período; c) taxa efetiva mensal; d) taxa real mensal.

Taxa Over

Com base no cenário financeiro, o Banco Central do Brasil realiza, periodicamente, leilões de Títulos Públicos (LTN, LBC, etc), dando oportunidade às Instituições Financeiras de adquirirem esses papéis.

Diante da expectativa de inflação, os bancos interessados tentam obter o maior desconto (deságio) possível, como no exemplo:

Taxa Over

01- Um banco adquire um título, com vencimento para 30 dias, por $ 800,00, cujo preço de face é $ 1.000,00. Note que se trata de uma operação de desconto cuja taxa é de 20%.

Passo 1: Calcular a taxa efetiva, no caso, 25% (para 30 dias).

O mercado financeiro considera apenas os dias úteis, não os dias corridos, como no cálculo acima. Imaginemos, assim, que este período (30 dias corridos) contenha 22 dias úteis e que desejamos encontrar a taxa efetiva para 1 dia útil.

Taxa Over

Passo 2: Calcular a taxa equivalente (importante: 25% já a taxa efetiva para 22 dias úteis):

Taxa Equivalente = 1,02% a.d. Se multiplicarmos este resultado por

30 obtemos uma taxa nominal mensal: 1,02 x 30 = 30,58% ao mês.

A ESTA TAXA NOMINAL DÁ-SE O NOME DE TAXA OVER.

Taxa Over

Taxa Over é uma taxa nominal, mensal, que o mercado adotou para mensurar e/ou comparar ativos financeiros. É tão somente a taxa efetiva de 1 (um) dia, multiplicado por 30.

Taxa Over = Taxa Efetiva (dia) x 30

Taxa Over

02- Determinar a taxa over considerando a compra de um título público, com vencimento para 28 dias corridos (17 dias úteis) por $ 918,70, cujo preço de face é $ 1.000,00.

Séries Uniformes de Pagamentos e de Desembolsos

Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou desembolsos) são iguais e é feita em períodos homogêneos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.).

Vejamos o fluxo abaixo: Série de Pagamentos

0 1 2 3 4 5

Série de desembolsos

0 1 2 3 4 FV

Quando as entradas ou saídas destinam-se ao pagamento de uma dívida, chamam-se SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

Quando destinam-se a constituir um capital futuro, tomam o nome de SÉRIES DE DESEMBOLSO.

Principais fórmulas utilizadas em séries uniformes

Tabela financeira; 1- FACs (Fator de Acumulação de

Capital) Dado o Valor Presente, achar o

Valor Futuro FACs = ( 1 + i ) n

02- FAC (relativo a uma série uniforme de pagamento)

Dada a Prestação, achar o Valor Futuro.

FAC = ( 1 + i ) n - 1 i

03- FVAs (Fator de Valor Atual) Dado o Valor Futuro, achar o Valor

Presente. FVAs = 1 ( 1 + i ) n

04- FVA (relativo a uma série uniforme de pagamentos)

Dada Prestação, achar Valor Presente

FVA = 1 - ( 1 + i ) – n

05- FFC (Fator de Formação de Capital)

Dado Valor Futuro, achar a Prestação.

FFC = i ( 1 + i )n - 1

06- FRC (Fator de Recuperação de Capital)

Dado o Valor Presente, achar a Prestação

FRC = i 1 - ( 1 + i ) - n

Sistemas de Amortização Amortização é o processo de liquidação de

uma dívida através de pagamentos periódicos. A amortização de uma dívida pode ser

processada de várias formas, dependendo das condições pactuadas.

Vejamos algumas situações: 1) Pagamento da dívida em prestações

periódicas, representadas por parcelas de juros mais capital;

2) Prestações constituídas exclusivamente de juros, ficando o capital pagável de uma só vez, no vencimento da dívida.

Sistemas de Amortização

03) Juros capitalizados para pagamento, junto com o capital, ao final da dívida.

Em razão disso, são conhecidos diversos sistemas de amortização, dos quais destacamos, em razão de serem mais utilizados, o SAC e o PRICE.

Sistemas de Amortizações Constantes (SAC)

No SAC as prestações são decrescentes e formadas por parcelas do capital mais juros.

O valor da amortização do capital é constante em todos os períodos. Já a parcela dos juros diminui a cada período, uma vez que a taxa de juros é aplicada sobre o saldo devedor.

Veja o gráfico:

Gráfico SAC

prestação

Amortização (capital)

prestação

períodos

Exemplo 1: Uma composição de divida de $ 8.000.000,00 a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos, seguiremos o seguinte procedimento:

1) Calcular a amortização – dividir o valor da operação pelo número de prestações.

2) Calcular a parcela de juros – fazer incidir a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior.

3) Calcular a prestação – somar o valor da amortização com a parcela de juros.

4- Apurar o saldo devedor do período – subtrair o valor da amortização do saldo devedor do período anterior.

SACn.º prestações 4taxa de juros (a a) 36%

Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0 - - - 8.000.000,00 1 4.880.000,00 2.880.000,00 2.000.000,00 6.000.000,00 2 4.160.000,00 2.160.000,00 2.000.000,00 4.000.000,00 3 3.440.000,00 1.440.000,00 2.000.000,00 2.000.000,00 4 2.720.000,00 720.000,00 2.000.000,00 -

Exemplo 2: Uma operação no valor de $

70.000,00 foi contratada para ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de juros de 17,00% ao ano. Como será sua planilha de pagamento?

SACn.º prestações 4taxa de juros (a a) 17%

Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor01234

Sistema Francês ou Tabela Price As prestações são constantes em todos os

períodos e formadas por parcelas do capital mais juros. A parcela referente à amortização do capital aumenta a cada período, ao passo que a referente aos juros diminui no mesmo valor, mantendo assim iguais as prestações em todos os períodos.

Este sistema de amortização é um dos mais usados, pois o fato de as prestações terem valores constantes permite ao devedor um melhor planejamento dos pagamentos. É amplamente utilizado em CDC, leasing e outros.

Vejamos o gráfico:

prestação

amortização

períodos

prestação

Price Exemplo 1: O valor do financiamento é de $

600.000,00, à taxa de 37% ao ano, para ser pago em três parcelas. Para elaborar a planilha de pagamento, adotaremos os seguintes procedimentos:

1) Calcular a prestação (FRC – fórmula 6) 2) Calcular a parcela de juros – fazer incidir a taxa

de juros sobre o saldo devedor no período anterior.

3) Calcular a amortização – obtê-la pela diferença entre a prestação e os juros do período.

4) Apurar o saldo devedor do período – subtrair o valor da amortização do saldo devedor do período anterior.

n.º prestações 3taxa de juros (a a) 37%

Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0 - - - 600.000,00 1 363.279,52 222.000,00 141.279,52 458.720,48 2 363.279,52 169.726,58 193.552,94 265.167,53 3 363.279,52 98.111,99 265.167,53 -

Sistema SAC ou Tabela Price, qual dos dois é melhor?

Matematicamente não é possível afirmar qual o melhor plano, pois são equivalentes:

a) reembolsam ao financiador o principal; b) remuneram, a uma taxa contratada,

todo o capital, pelo tempo em que permanecer nas mãos do financiado.

Devem-se observar as condições que envolvem o negócio, como capacidade de pagamento, necessidade de caixa, etc.

SAC x PRICE

Utilize o exemplo 2 (SAC) e calcule o planilha de financiamento pela Tabela Price e compare as duas situações.

Lembrando que era: valor financiado $ 70.000,00, 4 prestações anuais, com juros de 17% ao ano.

SAC x PRICE

n.º prestações 4taxa de juros (a a) 17%

Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor01234

SAC e PRICE: Exercícios 01- Um cliente propôs pagar o saldo

devedor de um empréstimo de $ 120.000,00 em 4 parcelas mensais, mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim, o ideal seria a amortização pelo sistema SAC. Preencha a grade, sabendo que a taxa de juros é de 10% ao mês.

SAC e PRICE:Exercícios 02- A composição de uma dívida de

$ 5.000,00 será paga em 5 prestações, com taxa de 15% ao ano, pelo sistema SAC. Encontrar os valores de cada prestação, juros e amortização anual.

SAC e PRICE:Exercícios 03- Uma geladeira no valor de $

1.200,00 é financiada pela Tabela Price em 4 parcelas mensais, sem entrada. Encontrar o valor da prestação mensal e as parcelas de juros e amortização do capital de cada período, sabendo que a taxa de financiamento é de 11% ao mês.

ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA É o principal objetivo do matemática

financeira. O fluxo de caixa de um investimento,

empréstimo ou financiamento, ou mesmo de uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas do dinheiro ao longo do tempo.

Fluxo de Caixa A matemática financeira, portanto, nos

permite comparar fluxos de caixas distintos para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo, investimento ou financiamento.

Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de uma televisão, encontramos diversas alternativas de pagamento nas várias lojas pesquisadas:

Somente a vista Sem entrada + 2, + 3, + 4 prestações E assim por diante.

Fluxo de Caixa

Onde deverei comprar? Somente poderemos dizer qual é a melhor

opção de compra, se analisarmos cada fluxo de caixa e transformarmos cada proposta em seu valor equivalente à vista.

A matemática financeira dá as “ferramentas” básicas que nos permitem comparar diferentes alternativas de investimento de um mesmo período.

Fluxo de Caixa

Existem vários métodos de análise de investimento. Contudo, em função de serem os mais utilizados pelo mercado, iremos enfocar três: o Prazo de Retorno – Payback, o Valor Presente Líquido – NPV (Net Present Value) e a Taxa Interna de Retorno – IRR (Internal Rate Return).

Payback

O payback (prazo de retorno) é um método simples, fácil de calcular, é definido por: prazo de tempo necessário para que os desembolsos sejam integralmente recuperados.

Payback

Supondo o quadro (resultado do investimento)

Anos Fluxo de Caixa 0 $ (-) 30 1 $ (-) 15 2 $ 20 3 $ 25 4 $ 40

Payback

Fluxo de Caixa

20 25 40

0 1 2 3 4

Payback

No exemplo, temos: ANOS FLX CX ACUMULADO 0 - 30 - 30 1 - 15 - 45 2 20 - 25 3 25 0 4 40 40 O prazo de retorno foi de 3 anos.

Payback A aplicação do método na empresa é feito

do seguinte modo: a empresa fixa um prazo limite para recuperação dos investimentos e são aceitos projetos cujo tempo de recuperação for menor ou igual a este limite.

Deficiência do método: 1) Não reconhece as entradas de caixa

previstas para ocorrerem após a recuperação do investimento;

2) Não avalia adequadamente o valor do dinheiro no tempo.

Exercícios

01- Escolha o melhor projeto do ponto de vista do payback, justificando a escolha:

Payback: exercícios

Dados PROJETOS A B C

Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000

Entradas Líquidas de Caixa ($)

1.º ano 6.000 7.500 9.000

2.º ano 7.000 7.500 8.000

3.º ano 8.000 7.500 7.000

4.º ano 9.000 7.500 6.000

Valor Presente Líquido (NPV) Antes de aplicar o método do VPL

vamos recordar a capitalização e descapitalização.

Capitalizar – a partir de um valor presente (PV) obter um valor futuro (FV).

PV (conhecido)

FV (desconhecido)

0 1 2... nperíodos

Descapitalizar – a partir de um valor futuro (FV) obter um valor presente (PV).

0 1 2 n períodos

PV (desconhecido)

FV (conhecido)

Exemplo 1: Considere que você tomou um empréstimo

de $ 1.000,00, no dia 10 de janeiro para pagar após 6 meses, ou seja, no dia 10 de julho, de uma só vez, à taxa de 5% ao mês (capitalizados mensalmente).

a) encontre o valor a ser pago no vencimento (10/7);

b) caso você deseje liquidar antecipadamente a dívida, em 10 de abril, que valor deverá ser pago?

NPV é a soma das entradas e saídas, descapitalizadas, uma a uma, até o momento zero.

Modelo matemático do Valor Presente Líquido – NPV:

Sejam: PV = investimento inicial (momento zero) PMTj = fluxos subseqüentes ao momento

“zero” (j = 1,2,...,n)

NPV = -PV + PMT1 + PMT2 + ... + PMTn

(1+i)1 (1+i)2 (1+i)n

Exemplo 1: O Sr. Chico Cavalcante emprestou

hoje $ 100.000,00 a um amigo que lhe prometeu pagar $ 60.000,00 daqui a 1 mês e $ 75.000,00 daqui a 2 meses.

Sabendo que a taxa é de 20% ao mês, calcule o valor presente líquido.

02- Calcule o valor presente líquido do fluxo abaixo, considerando que a taxa de juros é de 25% ao ano.

03- Calcule o NPV dos projetos abaixo, considerando uma taxa de juros anual de 20%, avaliando quais serão aceitos e qual a sua indicação para a tomada de decisão do empresário:

1.º ano 6.000 7.500 9.000

2.º ano 7.000 7.500 8.000

3.º ano 8.000 7.500 7.000

4.º ano 9.000 7.500 6.000

TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) É a taxa que torna nulo o Valor

Presente Líquido (NPV) de um fluxo de caixa.

Exemplo 1: Suponhamos o seguinte fluxo de

caixa:

Dados PROJETO

Investimento Inicial ($) 4.500

1.º ano 1.000

2.º ano 2.000

3.º ano 3.000

Calcule o NPV para a taxa de juros igual a 10% ao ano e 15% ao ano.

Teremos: A) 10% NPV = 315,93 B) 15% NPV = (-) 145,60 Portanto, a taxa está entre 10% e 15% ao

ano. Agora vem a técnica da interpolação linear. Neste caso aplica-se a regra de 3 simples:

IRR Quando variamos as taxas: 10% para 15%, portanto, 5%, o valor em $

variou de 315,93 para (-) 145,60, ou seja: Variando: 5 pontos percentuais, o valor variou $

461,53. Pergunta-se: quanto deve variar a taxa para

absorver somente $ 315,93? Assim: 5 p.p está para $ 461,53, assim como X

p.p. está para $ 315,93. Resultado: 3,42 p.p. Desta forma a IRR = 10% + 3,42% = 13,42%

ao ano.

Importante: como trata-se de interpolação linear, quanto maior for a diferença entre as taxas, menos preciso será o resultado. Por este método chegamos a uma taxa aproximada.

As calculadoras financeiras indicam uma taxa mais precisa.

315,93

-145,60 5%

GRÁFICO DO IRR

10% 15%

13,42%

IRR: Exercícios

01- Calcular a Taxa Interna de Retorno para:

IRR: Exercícios

02- Calcule o IRR dos projetos abaixo, escolhendo o melhor, justificando sua escolha:

1.º ano 6.000 7.500 9.000

2.º ano 7.000 7.500 8.000

3.º ano 8.000 7.500 7.000

4.º ano 9.000 7.500 6.000

IRR: Exercícios

03- Uma geladeira é vendida por $ 800,00 a vista, ou em 5 parcelas, sem entrada, de $ 184,78. Qual a taxa de juros deste crediário?

04- Uma TV é vendida por $ 900,00 a vista, ou podendo ser parcelada em 6 vezes (entrada + 5), de $ 180,26. Qual a taxa de juros deste crediário?

MATEMÁTICA FINANCEIRA Reinaldo Cafeo cafeo@economiaonline.com.br

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