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Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos
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Ensino Superior
Matemática Básica
11.2 – Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos
Amintas Paiva Afonso
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)
3
45 512
1320
21 29
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS
qq=
CatetoOpuestoasen
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cosHipotenusa
Hipotenusasec
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
cscCatetoOpuestoa
CatetoAdyacentea
cotCatetoOpuestoa
CatetoOpuestoa
tanCatetoAdyacentea
CATETO
OPOSTO
A
CATETO ADJACENTE A
HIPOTENUSA
SENO COSSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSSECANTE
12
35
H2 2 2H 12 35
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369 37
sen
cos
tan 12373537
1235
cot
sec
csc 3512
37353712
EXEMPLO :
EXEMPLO :
Sabendo que é um ângulo agudo tal que sen=2/3.....
23
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPRIEDADES DAS RAZÕES TRIGOMOMÉTRICAS DE
ÂNGULOS AGUDOS
1sen
csc
1
cossec
1tan
cot
EXEMPLOS
o
1A)
sen36ocsc 36 o
1B)
cos 17osec 17
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1
D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1
oE)cos 63 sec 1 o63
F) tan 2 cot 1 2
PROPRIEDADES DAS RAZÕES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES
ÀS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO TANGENTE E COTANGENTE; SECANTE E COSSECANTE DENOMINAMOS :CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
PROPRIEDADE:
“AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÂNGULO AGUDO SÃO RESPECTIVAMENTE IGUAIS ÀS CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
DE SEU ÂNGULO COMPLEMENTAR”
sen cos
cos
tan
sen
cot a
b ccot
sec
csc
tan
csc
sec
EXEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60
ocos 65ocot 47ocsc 30
...............
...............
...............
o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90
oD)sen cos 20 o O20 90 o70
E) tan 5 cot o5 90 o15
F)sen5
cos
5 2
2 5
3
rad10
TRIÂNGULOS NOTÁVEIS
1 2
3
o30 (
)
O601
1
2
o45
o45
(
)
3
4
5
o37
o53
(
)
osen30 12
otan 60 3
osec 45 2 ocot 37 43
otan 30 1
3
3x
333
osen45 1
22
x2
22
))
((o30
o37 o45
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cot
83 3
cot4
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
HHsen
H cos
L sec L tan
L
5
o62
o5sen62
o5 cos 62
8
8 tan8 sec
CASO1 – DADOS: HIPOTENUSA E ÂNGULO AGUDO
CASO 2 – DADOS: CATETO ADJACENTE E ÂNGULO AGUDO
L
L cot
L csc k
o24
ok csc 24
ok cot 24
EXEMPLO
)
)
mCalcular L e M termos de
m y ;
L
CASO 3 – DADOS: CATETO OPOSTO E ÂNGULO AGUDO
SOLUÇÃO
m
m tanLL m tan
m
cot L m tan m cot
L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA: DESCOMPOSIÇÃO DE UM VETOR
F
yF
xF X
Y
xF F cos
yF Fsen
ÁREA DO TRIÂNGULO
A B
C
ab
c
abS senC
2
bcS senA
2
acS senB
2
EXEMPLO
5m
8m
O60
o(5)(8)S sen60
2
(5)(8) 3S ( )
2 2 210 3m
ÂNGULOS VERTICAIS
Os ângulos verticais são ângulos agudos contidos em um plano vertical e formados por duas linhas imaginárias chamadas horizontal e visual
ÂNGULO DE ELEVAÇÃO
ÂNGULO DE DEPRESSÃO
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
))
UMa pessoa observa em um mesmo plano vertical dois ovnis voando a uma mesma altura com ângulos de elevação de 530 e 370 se a distância entre os ovnis é de 70m. A que altura estão os ovnis?
EXEMPLO:
SOLUÇÃO
) ) o37O53
70
12k 12k
) O539k
) o37
16k
+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
ÂNGULOS HORIZONTAISOs ângulos horizontais são ângulos agudos contidos em um plano horizontal, se determinam tomando como referência os pontos cardinais norte (N), sul (S), leste (L) e oeste (O).
DIREÇÃOA direção de B em relação a A é
E30N o N60E o
A direção de C em relação a A é oS56 O S34O o
o
o
CURSOO curso de Q em relação a P
o47
O curso de M em relação a P o27 ao leste do sul
al oeste del norte
N
S
EO
O30
O56A
B
C
EO
S
N
P
Qo47
o27
M
)(
()
ROSA NÁUTICA
Gráfico que contém 32 direções notáveis, cada direção forma entre elas um ângulo cuja medida é 'o1511
No gráfico adjunto só se mostran 16 direções notáveis, cada uma forma entre elas um ângulo cuja medida é 'o3022
N
S
EO
NNE
ENE
NNO
ONO
OSO
SSO
ESE
SSE
NENO
SO SE
As outras 16 direções obtemos traçando as bissetrizes dos 16 ângulos que se mostram no gráfico anterior.
E
NE
NNNE
ENENE41E
E41NE
NE41N
N41NE
NNO
NO41N
N41NO
NOO41NO
ONONO41O
O
Quanto mede o ângulo entre as direções
NE1/4N y NO1/4O ?
Rpta.o90
Um inseto parte de um ponto F e percorre 40 km na direção N530O logo percorre 402 km na direção SO, finalmente percorre 60 km para o leste. A que distância se encontra o inseto de F?
EXEMPLO:
SOLUÇÃON
S
EO
o53 )
o45
o45
4040 2
60
x
o37
24
3216
40 20 12
16
OBSERVE QUE O TRIÂNGULO DE COR
VERMELHA É NOTÁVEL
X = 20
F
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DA METADE DE UM ÂNGULO AGUDO (método gráfico)
2
2
a
bc
c))
(
) 2
tan2
b
c a
c a
b
+
EXEMPLO :
Sabendo que: tan 8=24/7, calcule tan2SOLUÇÃO
8
24
7
25
425
24tan 4
25 7
24
tan 432
3tan 4
4
4 2
3
4
5
5
3tan 2
9 1
tan 23
(
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