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Capítulo 1
Matemática ElementarConjuntos
19 de fevereiro de 2019
Igor Oliveiraigoroliveira@imd.ufrn.br
Instituto Metrópole DigitalUniversidade Federal do Rio Grande do Norte
Natal-RN
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IMD1001Matemática Elementar
Igor Oliveira
Apresentação
Introdução
Inclusão
Complementar
União e Interseção
Atividade Online
Lógica
Exercícios
Bibliografia
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op leó r Dt ie giM t ao ltutits
n IÍndice
Apresentação
Introdução
Inclusão
Complementar
União e Interseção
Atividade Online
Lógica
Exercícios
Bibliografia
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2 Apresentação
Introdução
Inclusão
Complementar
União e Interseção
Atividade Online
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Exercícios
Bibliografia
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op leó r Dt ie giM t ao ltutits
n IApresentação da Aula
Motivação
Praticamente toda a matemática atual é formulada na linguagemde conjuntos mesmo sendo a mais simples das ideias matemáti-cas. Portanto, o bom entendimento de como trabalhar com con-juntos é fundamental.
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Bibliografia
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n IA Noção de Conjunto
I Um conjunto é definido por seus elementos (e nada mais).Isso nos traz imediatamente que dois conjuntos são iguaisse, e somente se, possuem os mesmos elementos.
I Dados um conjunto A e um objeto qualquer b, há somenteuma pergunta cabível para nós: b é um elemento doconjunto A? Tal pergunta só admite sim ou não comoresposta. Isso se dá porque, na Matemática, qualquerafirmação é verdadeira ou é falsa, sem possibilidade deuma terceira opção ou de ser as duas coisas ao mesmotempo.
I O item anterior faz parecer que a Matemática é infalível seutilizada corretamente, mas ela não é. Gödel provou quetodo sistema formal é falho no sentido de que vai possuirverdades que não podem ser provadas – os chamadosparadoxos. Antes de assistir ao vídeo Este vídeo estámentindo, reflita se você vai acreditar nele ou não.
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Bibliografia
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n IA Noção de Conjunto
I Um conjunto é definido por seus elementos (e nada mais).Isso nos traz imediatamente que dois conjuntos são iguaisse, e somente se, possuem os mesmos elementos.
I Dados um conjunto A e um objeto qualquer b, há somenteuma pergunta cabível para nós: b é um elemento doconjunto A? Tal pergunta só admite sim ou não comoresposta. Isso se dá porque, na Matemática, qualquerafirmação é verdadeira ou é falsa, sem possibilidade deuma terceira opção ou de ser as duas coisas ao mesmotempo.
I O item anterior faz parecer que a Matemática é infalível seutilizada corretamente, mas ela não é. Gödel provou quetodo sistema formal é falho no sentido de que vai possuirverdades que não podem ser provadas – os chamadosparadoxos. Antes de assistir ao vídeo Este vídeo estámentindo, reflita se você vai acreditar nele ou não.
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n IA Noção de Conjunto
I Um conjunto é definido por seus elementos (e nada mais).Isso nos traz imediatamente que dois conjuntos são iguaisse, e somente se, possuem os mesmos elementos.
I Dados um conjunto A e um objeto qualquer b, há somenteuma pergunta cabível para nós: b é um elemento doconjunto A? Tal pergunta só admite sim ou não comoresposta. Isso se dá porque, na Matemática, qualquerafirmação é verdadeira ou é falsa, sem possibilidade deuma terceira opção ou de ser as duas coisas ao mesmotempo.
I O item anterior faz parecer que a Matemática é infalível seutilizada corretamente, mas ela não é. Gödel provou quetodo sistema formal é falho no sentido de que vai possuirverdades que não podem ser provadas – os chamadosparadoxos. Antes de assistir ao vídeo Este vídeo estámentindo, reflita se você vai acreditar nele ou não.
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n IA Noção de Conjunto
Exemplo 1
O conjunto PP dos números primos pares pode serrepresentado por PP = {x ; x é primo e par} = {2}. Nuncaescreva PP = {números primos pares}.
Exemplo 2
Temos V = {a,e, i ,o,u} como sendo o conjunto das vogais.
Quando um elemento pertence a um determinado conjunto,usamos o símbolo ∈, e, quando não pertence, usamos /∈.
Exemplo 3
Considere PP e V conforme definido anteriormente. Temosque e ∈ V e 3 /∈ PP.
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Inclusão
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n IA Noção de Conjunto
Definição 4
O conjunto que não possui elementos é chamado deconjunto vazio e é representado por ∅.
Exemplo 5
Quais outros conjuntos você conhece? Que tal pensar sobre oconjunto A = {x ; x /∈ A}?
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n IA Relação de Inclusão
Definição 6
Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A for tambémelemento de B, diz-se que A é um subconjunto de B, que Aestá contido em B, ou que A é parte de B. Para indicar essefato, usa-se a notação A ⊂ B.
Quando A não é um subconjunto de B, escreve-se A 6⊂ B. Emoutras palavras, existe pelo menos um elemento a tal quea ∈ A e a /∈ B.
Definição 7
Quando A ⊂ B, dizemos que B contém A e escrevemos B ⊃ A.
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7 Inclusão
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n IA Relação de Inclusão
Exemplo 8
Sejam T o conjunto de todos os triângulos e P o conjunto dospolígonos do plano. Todo triângulo é um polígono, logo T ⊂ P.
Exemplo 9
Na Geometria, uma reta, um plano e o espaço são conjuntos.Seus elementos são pontos.Quando dizemos que uma reta r está no plano Π, estamosafirmando que r está contida em Π ou, equivalentemente, quer é um subconjunto de Π, pois todos os pontos que pertencema r pertencem também a Π.Nesse caso, deve-se escrever r ⊂ Π. Porém, não é corretodizer que r pertence a Π, nem escrever r ∈ Π. Os elementosdo conjunto Π são pontos e não retas.
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8 Inclusão
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Exercícios
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n IA Relação de Inclusão
Exemplo 10
Para todo conjunto A, vale ∅ ⊂ A.
Definição 11
Dizemos que A 6= ∅ é um subconjunto próprio de B quandoA ⊂ B e A 6= B.
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9 Inclusão
Complementar
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Exercícios
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n IA Relação de Inclusão
Proposição 12 (Propriedades da inclusão)
Sejam A, B e C conjuntos. Tem-se:i. Reflexividade: A ⊂ A;ii. Antissimetria: Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B;iii. Transitividade: Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.
Demonstração no quadro.
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10 Inclusão
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n IA Relação de Inclusão
Definição 13
Dado um conjunto A, chamamos de conjunto das partes de Ao conjunto formado por todos os seus subconjuntos, edenotamo-lo P(A).
Exemplo 14
Dado A = {1,2,3}, determine P(A).
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Inclusão
11 Complementar
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Exercícios
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n IO Complementar de um Conjunto
A noção de complementar de um conjunto só faz sentidoquando fixamos um conjunto universo, que denotaremos porU . Uma vez fixado U , todos os elementos consideradospertencerão a U e todos os conjuntos serão subconjuntos deU . Por exemplo, na geometria plana, U é o plano.
Definição 15
Dado um conjunto A (isto é, um subconjunto de U), chama-secomplementar de A ao conjunto AC formado pelos elementosde U que não pertencem a A.
Exemplo 16
Seja U o conjunto dos triângulos. Qual o complementar doconjunto dos triângulos escalenos?
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12 Complementar
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n IO Complementar de um Conjunto
Proposição 17 (Propriedades do complementar)
Fixado um conjunto universo U , sejam A e B conjuntos.Tem-se:
i. UC = ∅ e ∅C = U ;
ii.(AC
)C= A (Todo conjunto é complementar do seu
complementar);iii. Se A ⊂ B então BC ⊂ AC (se um conjunto está contido em
outro, seu complementar contém o complementar desseoutro).
Demonstração no quadro.
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13 Complementar
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Exercícios
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n IO Complementar de um Conjunto
Definição 18
A diferença entre dois conjuntos A e B é definida por:
B \ A = {x ; x ∈ B e x /∈ A} .
I Em geral, não temos B \ A = A\B. Pense em umcontraexemplo a essa igualdade.
I Note que AC = U \ A.
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14 União e Interseção
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n IUnião e Interseção de Conjuntos
Definição 19
Dados os conjuntos A e B:i. A união (ou reunião) A ∪ B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntosA e B;
ii. A interseção A ∩ B é o conjunto formado por elementosque pertencem a ambos A e B.
Exemplo 20
Sejam A = {1,2,3} e B = {2,5}. Determine A ∪ B, A ∩ B,A \ B e B \ A.
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15 União e Interseção
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Exercícios
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n IUnião e Interseção de Conjuntos
Proposição 21 (Propriedades da união e interseção)
Sejam A, B e C conjuntos. Tem-se:i. Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A;ii. Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);iii. Distributividade, de uma em relação à outra:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) eA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
iv. A ⊂ (A ∪ B) e (A ∩ B) ⊂ A;
v. Leis de DeMorgan: (A ∪ B)C = AC ∩ BC e(A ∩ B)C = AC ∪ BC .
Demonstração no quadro.
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16 Atividade Online
Lógica
Exercícios
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n IAtividade Online
Atividade 01 - Notação Básica de ConjuntoVeja o desempenho na Missão O Mundo da Matemática -Probabilidade
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Exercícios
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n IConjuntos e Lógica
Em toda essa seção, considere P e Q propriedades aplicáveisaos elementos de U . Considere também A = {x ; x possui P}e B = {x ; x possui Q}.
I Inclusão e implicação: A ⊂ B é equivalente a P =⇒ Q.I Igualdade e bi-implicação: A = B é equivalente a
P ⇐⇒ Q.
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18 Lógica
Exercícios
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n IConjuntos e Lógica
Exemplo 22
Analise as implicações abaixo:
x2 + 1 = 0 =⇒(x2 + 1
) (x2 − 1
)= 0 ·
(x2 − 1
)=⇒ x4 − 1 = 0
=⇒ x4 = 1=⇒ x ∈ {−1,1}
Isso quer dizer que o conjunto solução de x2 + 1 = 0 é{−1,1}?
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Exercícios
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n IConjuntos e Lógica
I Complementar e negação: AC é equivalente a ∼ P;I Podemos combinar os itens (ii) e (iii) da Proposição 17
(Propriedades do complementar) e obter que
P =⇒ Q se, e somente se, ∼ Q =⇒ ∼ P.
Chamamos ∼ Q =⇒ ∼ P de contrapositiva de P =⇒ Q.I Chamamos Q =⇒ P de recíproca de P =⇒ Q e
P∧ ∼ Q de negação de P =⇒ Q.
Exemplos no Exercício 29.
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Exercícios
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n IConjuntos e Lógica
Exemplo 23
Observe as afirmações abaixo:I Todo número primo maior do que 2 é ímpar;I Todo número par maior do que 2 é composto.
Essas afirmações dizem exatamente a mesma coisa, ou seja,exprimem a mesma ideia, só que com diferentes termos.Podemos reescrevê-las na forma de implicações vendoclaramente que uma é a contrapositiva da outra, todas sob ahipótese que n ∈ N, n > 2:
n primo =⇒ n ímpar∼ (n ímpar ) =⇒ ∼ (n primo )
n par =⇒ n composto
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n IConjuntos e Lógica
I União e disjunção: A ∪ B é equivalente a P ∨Q (P ou Q).I Interseção e conjunção: A ∩ B é equivalente a P ∧Q (P e
Q).
Observação 24
O conectivo lógico ou tem significado diferente do usadonormalmente no português. Na linguagem coloquial, usamosP ou Q sem permitir que sejam as duas coisas ao mesmotempo. Analisem a seguinte história:Um obstetra que também era matemático acabara de realizarum parto quando o pai perguntou: “É menino ou menina,doutor?”. E ele respondeu: “sim”.
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Exercícios
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n IConjuntos e LógicaResumo
A = B P ⇐⇒ QA ⊂ B P =⇒ Q
AC ∼ PA ∪ B P ∨QA ∩ B P ∧Q
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23 Lógica
Exercícios
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n IConjuntos e Lógica
Problema: A polícia prende quatro homens, um dos quaiscometeu um furto. Eles fazem as seguintes declarações:
I Arnaldo: Bernaldo fez o furto.I Bernaldo: Cernaldo fez o furto.I Dernaldo: eu não fiz o furto.I Cernaldo: Bernaldo mente ao dizer que eu fiz o furto.
Se sabemos que só uma destas declarações é a verdadeira,quem é culpado pelo furto?
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24 Exercícios
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n IExercícios
1. Decida quais das afirmações a seguir estão corretas.Justifique suas respostas.a. ∅ ∈ ∅;b. ∅ ⊂ ∅;c. ∅ ∈ {∅};d. ∅ ⊂ {∅}.2. Complete as demonstrações da Proposição 21 que nãoforam feitas em sala de aula.3. Demonstre que os seguintes itens são equivalentes:a. A ∪ B = B;b. A ⊂ B;c. A ∩ B = A.Dica: Para tanto, é preciso provar a. ⇐⇒ b. e b. ⇐⇒ c..Outra maneira é provar a. =⇒ b., b. =⇒ c. e por fim,c. =⇒ a..
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25 Exercícios
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n IExercícios
4. O diagrama de Venn para os conjuntos X , Y , Z decompõeo plano em oito regiões. Numere essas regiões e exprimacada um dos conjuntos abaixo como união de algumas dessasregiões. (Por exemplo: X ∩ Y = 1 ∪ 2.)
a.(X C ∪ Y
)C;
b.(X C ∪ Y
)∪ Z C ;
c.(X C ∩ Y
)∪(X ∩ Z C
);
d. (X ∪ Y )C ∩ Z .5. Exprimindo cada membro como união de regiõesnumeradas, prove as igualdades:a. (X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z ) ∪ (Y ∩ Z );
b. X ∪ (Y ∩ Z )C = X ∪ Y C ∪ Z C .6. Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condiçãonecessária e suficiente para que se tenhaA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C.
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n IExercícios
7. Recorde a definição da diferença entre conjuntos:
B \ A = {x ; x ∈ B e x /∈ A} .
Mostre quea. B \ A = ∅ se, e somente se, B ⊂ A;b. B \ A = B se, e somente se, A ∩ B = ∅;c. Vale a igualdade B \ A = A \ B se, e somente se, A = B;d. Determine uma condição necessária e suficiente para que
se tenhaA \ (B \ C) = (A \ B) \ C.
8. Dê exemplos de implicações, envolvendo conteúdos deensino médio, que sejam: verdadeiras com recíprocaverdadeira; verdadeiras com recíproca falsa; falsas, comrecíproca verdadeira; falsas, com recíproca falsa.
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n IExercícios
9. Considere P, Q e R condições aplicáveis aos elementos deum conjunto universo U , e A, B e C os subconjuntos de U doselementos que satisfazem P, Q e R, respectivamente.Expresse, em termos de implicações entre P, Q e R, asseguintes relações entre os conjuntos A, B e C.a. A ∩ BC ⊂ C;b. AC ∪ BC ⊂ C;c. AC ∪ B ⊂ CC ;d. AC ⊂ BC ∪ C;e. A ⊂ BC ∪ CC .10. Considere as seguintes (aparentes) equivalências lógicas:
x = 1 ⇐⇒ x2 − 2x + 1 = 0
⇐⇒ x2 − 2 · 1 + 1 = 0
⇐⇒ x2 − 1 = 0⇐⇒ x = ±1
Conclusão (?): x = 1 ⇐⇒ x = ±1. Onde está o erro?
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n IExercícios
11. Escreva as recíprocas, contrapositivas e negaçõesmatemáticas das seguintes afirmações:a. Todos os gatos têm rabo; (G =⇒ R)
Recíproca: Se têm rabo então é gato; (R =⇒ G)Contrapositiva: Se não tem rabo então não é gato;(∼ R =⇒ ∼ G)Negação: Existe um gato que não tem rabo. (G∧ ∼ R)
b. Sempre que chove, eu saio de guarda-chuva ou fico emcasa;
c. Todas as bolas de ping pong são redondas e brancas;d. Sempre que é terça-feira e o dia do mês é um número
primo, eu vou ao cinema;e. Todas as camisas amarelas ou vermelhas têm manga
comprida;f. Todas as coisas quadradas ou redondas são amarelas e
vermelhas.
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n IExercícios
12. Considere os conjuntos: F composto por todos osfilósofos; M por todos os matemáticos; C por todos oscientistas; e P por todos os professores.a. Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a
linguagem de conjuntos:(i) Todos os matemáticos são cientistas; (ii) Algunsmatemáticos são professores; (iii) Alguns cientistas sãofilósofos; (iv) Todos os filósofos são cientistas ouprofessores; (v) Nem todo professor é cientista.
b. Faça o mesmo com as afirmativas abaixo:(vi) Alguns matemáticos são filósofos; (vii) Nem todofilósofo é cientista; (viii) Alguns filósofos são professores;(ix) Se um filósofo não é matemático, ele é professor; (x)Alguns filósofos são matemáticos.
c. Tomando as cinco primeiras afirmativas como hipóteses,verifique quais das afirmativas do segundo grupo sãonecessariamente verdadeiras.
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13. Considere um grupo de 4 cartões, que possuem uma letraescrita em um dos lados e um número do outro. Suponha queseja feita, sobre esses cartões, a seguinte afirmação: Todocartão com uma vogal de um lado tem um número ímpar dooutro. Quais dos cartões abaixo você precisaria virar paraverificar se essa afirmativa é verdadeira ou falsa?
A 1 B 4
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n IBibliografia
[1] LIMA, Elon L.Números e Funções Reais.1. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013.
[2] LIMA, Elon L; CARVALHO, Paulo César P; Wagner,Eduardo; MORGADO, Augusto C.A Matemática do Ensino Médio. Vol. 1.9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
[3] OLIVEIRA, Krerley I M; FERNÁNDEZ, Adán J C.Iniciação à Matemática: um Curso com Problemas eSoluções.2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
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