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M. Bocco - 2018
MATEMÁTICA II
M. Bocco - 2018
LÍMITE y CONTINUIDAD de FUNCIONES
“Así como el hierro se oxida por
falta de uso, así también la
inactividad destruye el intelecto.“
Leonardo DA VINCI (1452-1519)
M. Bocco - 2018
• Comprender el concepto de límite de una función y
su cálculo gráfico y analítico.
• Interpretar el concepto de continuidad así como las
propiedades de las funciones continuas.
• Utilizar el concepto de límite para representar
situaciones y tendencias, así como comportamientos
extremos.
Objetivos
M. Bocco - 2018
•Límite. Concepto, gráfico y definición.
•Continuidad en un punto. Función continua.
Comparación de ambos conceptos. Discontinuidades.
•Operaciones con Límites. Continuidad de funciones:
lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas.
Contenidos
M. Bocco - 2018
LÍMITE DE FUNCIONES
Situación – Problema 1:
Consideremos la función:
f (x) = altura del agua del dique San Roque el día x
“... De seguir lloviendo tres días más, la altura del aguadel dique estará a nivel del vertedero ( 36 m.)...”
=
lím3
f (x)x
36
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=
lím1
f (x)x
?
Situación 2:
= x + 3f (x)
Situación 3:
=
lím3
(x 2- 9)x (x - 3)
h(x) =(x 2- 9)
(x - 3)
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Situación 4:
x
y
1
4
2
3
-2
-2
)(
)(
•
=
lím-1
g (x)x
g (2) =
=
lím2
g (x)x
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Definición:(Provisoria)
El límite de f (x) cuando x se aproxima(tiende) al número a es un número L , y escribimos
si cada vez que con x nos aproximamos suficientementeal número a (por valores mayores y menores que a , perox a) los valores de las imágenes f (x) se aproximan alnúmero L.
=
líma
f (x)x
L
Límite de una función
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Límites de funciones más usadas
y límite notable
=
líma
cx
c
=
líma
xx
a
=
lím0
sen xx
= 1x
f (x) = c1.
f (x) = x2.
Límite Notable:3.
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lím
0
1x
x
=
f (x) = 1x
4.
No existencia del límite
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Unicidad del Límite
=
líma
f (x)x
L1 =
líma
f (x)x
L2
= L2L1
El límite, si existe, es único
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Límite lateral derecho:
Si cada vez que con x nos aproximamos suficientemente al
número a por valores mayores (por la derecha en la rectanumérica), los valores de las imágenes f (x) se aproximan al
número l 1.
=
líma +
f (x)x
l 1
x
y
l1
axx
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Límite lateral izquierdo:
Si cada vez que con x nos aproximamos suficientemente al
número a por valores menores (por la izquierda en la rectanumérica), los valores de las imágenes f (x) se aproximan al
número l 2.
=
líma -
f (x)x
l 2
x
y
l2
axx
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Importante !!!
existe
líma
f (x)x
y existen y son iguales
líma -
f (x)x
líma +
f (x)x
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x
y
ax= a
xx xx
=
líma
f (x)x
+
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Límites Infinitos:
1.
Si cada vez que con x nos aproximamos suficientemente al
número a sus respectivas imágenes f (x) toman valores positivoscada vez más grandes.
=
líma
f (x)x
+
2.
Si cada vez que con x nos aproximamos suficientemente al
número a sus respectivas imágenes f (x) toman valoresnegativos cada vez más pequeños.
=
líma
f (x)x
-
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Asíntota Vertical
Una recta vertical x = a es una asíntota vertical de la
función f (x) en el punto a si:
o
o bien
o
=lím
a +f (x)
x+ =
lím
a -f (x)
x+
=lím
a +f (x)
x- =
lím
a -f (x)
x-
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=
lím+
f (x)x
l
x
y
l
m
- +
xx xxxx
y = l
y = m
=
lím-
f (x)x
m
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Límites en el infinito:
1.
Si cada vez x toma valores positivos cada vez mayores, sus
respectivas imágenes f (x) se aproximan al número l .
=lím
+
f (x)x
l
2.
Si cada vez x toma valores negativos cada vez menores, sus
respectivas imágenes f (x) se aproximan al número m.
= m
lím-
f (x)x
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Asíntota Horizontal
Una recta horizontal y = m es una asíntota horizontal de la función f (x) si:
o=lím
+ f (x)
xm =
lím
- f (x)
xm
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Definición 1:
Una función y = f (x) es continua en x = a si se verifican simultáneamente:
Continuidad de una función en un punto
Si alguna condición no se verifica, se dice que f esdiscontinua en x = a .
1. f (a)
=
líma
f (x)x
f (a)3.
lím
af (x)
x2.
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FUNCIÓN CONTINUA
Definición 2:
Una función y = f (x) es continua en todo su dominio si es continua en x = a para todo a Dom f
Importante !!!
Si una función y = f (x) es continua en x = a , entonces
calcular es encontrar el valor de f (a) , ya que
por la condición 3 de la definción se cumple:
líma
f (x)x
=
líma
f (x)x
f (a)
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Propiedades del Límite
Si y existen, entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
)(lím xfax
)(lím xgax
)(lím)(lím)()(lím xgxfxgxfaxaxax
=
)(lím)(lím)()(lím xgxfxgxfaxaxax
=
=
)(lím.)(lím)(.)(lím xgxfxgxf
axaxax
=
)(lím)(.lím f xgxgaxax
f
)(lím.)(.lím xfkxfkaxax
= k un número real.
0)(lím
xgax)(lím
)(lím
)(
)(lím
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
=
si
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Funciones Continuas
1. Función Constante f (x) = c en R
2. Función Lineal f (x) = a x + b en R
3. Función Cuadrática f (x) = a x2 + b x + c en R
4. Función Exponencial f (x) = a x en R
5. Función Logaritmo f (x) = log a x en R > 0
6. Función Seno f (x) = sen x en R
7. Función Coseno f (x) = cos x en R
8. Función Tangente f (x) = tg x en R – { k . (/2) }
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Propiedades de las Funciones Continuas
Si f y g son funciones continuas en x = a, entonces:
1. f + g es continua en x = a
2. f - g es continua en x = a
3. f . g es continua en x = a
4. f / g es continua en x = a si g(a) 0
5. f (g(x)) es continua en x = a si f es continua en g(a)
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DERIVADA de FUNCIONES
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OBJETIVOS
• Definir derivada y función derivada, e interpretarla apartir de la geometría, física y biología.
• Encontrar recta tangente a una función en un punto ycomprender su aplicabilidad.
• Calcular, utilizando reglas y teoremas, derivadas dedistintas funciones.
• Aplicar la derivada en situaciones propias en laresolución de problemas concretos de la ingenieríaagronómica, física, biología y economía.
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CONTENIDOS
Derivada de Funciones.
• Derivada de una función en un punto. Concepto ydefinición.
• Función derivada.
• Significado físico, biológico y geométrico.
• Recta tangente a una curva.
• Cálculo de derivadas.
• Derivadas sucesivas.
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¿Para qué la DERIVADA?
Situación 1:
N (t) = nº de individuos de una población en el tiempo t
(animal, vegetal o humana)
N (t 2) – N (t 1) = cambio total del tamaño de la población o incremento de la población
t
y =N (t)
•
t2t1
•
N(t1)
N(t2)
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Índice o razón promedio de cambio de la población enel intervalo de tiempo desde t 1 a t 2 es el:
Cociente incremental
N (t 2) – N (t 1) < 0 índice promedio de decrecimiento
N (t 2) – N (t 1) > 0 índice promedio de crecimiento
t
y =N (t)
•
t2t1
•
N(t1)
N(t2)
1
1 )()(
tt
tNtNr m
2
2
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t
y =N (t)
•
t1
N(t1)
t
N(t)
Índice o razón instantánea de cambio de la poblaciónen el instante de tiempo t 1 es
1
1
1
)()(
tt
tNtNlímr
tti
t
N(t)
t t
N(t)
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Situación 2:
e (t) = espacio recorrido por un móvil desde su partida,
en cada tiempo t
t
y = e (t)
•
t2t1
e(t1)
e(t2)
Velocidad Media = vm
vm =Espacio recorrido
Tiempo empleado
12
12 )()(
tt
tetev m
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Velocidad instantánea vi (t1) con la que el móvil sedesplaza en el instante de tiempo t 1 es:
1
1
11 tt
tetelímtv
tti
)()()(
t
y =e (t)
t1
e(t1) •
t
e(t)
t t
e(t)
t
e(t)
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Situación 3:
¿Cuál es la recta tangente al gráfico de
y = f (x) en el punto P = (x , f (x) ) ?
y
x•
P
y
x
P•
y
x
• P
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y = f (x)
x
• P
x
•
f (x)
•
•
Recta tangente al gráfico de y = f (x) en el punto P = (x , f (x) )
h 2 h 3
Qh
x+h
Q1
x+h 1
f (x+h1) Q2
x+h 2
Q3
x+h 3
Q1
Q2
Q3
h 0
h1
x+h3 x+h2 x+h1
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Aplicación a la Biología:
N (t) = nº de individuos de una población en el tiempo t
(animal, vegetal o humana)
Índice o razón promedio de cambio de la población en elintervalo de tiempo desde t 1 a t 2 es el:
Cociente incremental
Índice o razón instantánea de cambio de la población en elinstante de tiempo t 1 es:
1
1
1
)()(
tt
tNtNlímr
tti
1
1 )()(
tt
tNtNr m
2
2
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Aplicación a la Física:
e (t) = espacio recorrido por un móvil desde su partida,
en cada tiempo t
12
12 )()(
tt
tetev m
Velocidad media vm (t) con la que el móvil se desplazaen el intervalo de tiempo desde t 1 a t 2 es:
Velocidad instantánea vi (t1) con la que el móvil se desplaza enel instante de tiempo t 1 es:
1
1
11 tt
tetelímtv
tti
)()()(
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h
xfhxf
xhx
xfhxfa
)()(
)(
)()(
Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
P = (x , f (x) ) y Q = (x+h , f (x+h) )
Aplicación a la Geometría:
¿Cuál es la recta tangente al gráfico de y = f (x) en el
punto P = (x , f (x) ) ?
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Definición:
La pendiente de la recta tangente al gráfico de y = f (x) en el punto P = (x, y) es:
f (x +h) - f (x)
hlím
0ha =
o bien
con P = (x1, f (x1)) y Q = (x2, f (x2))
f (x2) - f (x1)
x2 – x1lím
x2
a =x1
Pendiente de la Recta tangente a una función
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Definición:
El cociente incremental de la función y = f (x) en el punto P = (x, y) es:
f (x +h) - f (x)
hCI =
o bien
f (x2) - f (x1)
x2 – x1
CI =
Cociente incremental de una función
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DERIVADA de una función en un punto
Definición:
La derivada de una función y = f (x) en cadapunto (x, f(x)) de su dominio es:
si el límite existe.
Por el contrario:
f no es derivable en el punto x si dicho límite no existe.
f (x +h) - f (x)
hlím= f ’(x) =
d f
d x h0
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Función Derivada
Definición:
Una función y = f (x) es derivable en todo sudominio si existe f ’(x) para todo x Dom f .
La función f ’ se llama función derivada de f
Importante !!!
Dada y = f (x) f ’(x) es otra función (función derivada)
f ’(a) es un número (se obtiene a partir
de la función f ’(x) cuando x = a )
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¿Qué representa el número f ’(a) ?
f (x) = número de individuos de una población
f ’(a) = tasa instantánea de cambio del tamaño de la población en el instante a .
f (t) = distancia recorrida por un móvil en el tiempo t
f ’(a) = velocidad instantánea con que se desplaza un móvil en el instante a .
f (x) = una función cuyo gráfico es una curva.
f ’(a) = pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (a , f (a)) .
Biología
Física
Geometría
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✓ Derivada de la función f (x) = x 2
en el punto x = 3
Ejemplos:
✓ Función derivada de f (x) = x 2
✓ Recta tangente a la función f (x) = x 2
en el punto (3,9)
f ’ (x) = 2 x
y = 6 x - 9
f ’ (3) = 6
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Función Derivada
f (x) = c f ´(x) = 0
f (x) = x n f ´(x) = n . x n-1
f (x) = x f ´(x) = 1
f (x) = a x f ´(x) = a x ln a
f (x) = e x f ´(x) = e x
f (x) = sen x f ´(x) = cos x
f (x) = cos x f ´(x) = - sen x
f (x) = ln x f ´(x) =1
x
f (x) = log a x f ´(x) = 1
x ln a
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Si f (x) y g(x) son funciones, cuyas derivadas existen en todopunto x de sus respectivos dominios, entonces se cumple:
1.
2.
3.
4.
5.
)()()()( ''' xgxfxgxf
)()()()( ''' xgxfxgxf
)()(. '' xfkxfk k un número real.
)(.)()(.)()(.)( '''xgxfxgxfxgxf
0)( xg
2
'
)(
)('.)()(.)('
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
si
Derivada y Operaciones
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¿Toda función es derivable? NO
f ’ (2) =
f ’ (-1) = No existe
No existe
x
f (x)
1
4
2
3
-2
-2
f ’ (1) = No existe
f es continua en x = 1
x
1
4
2
3
-2
-2
)(
)(
•
f (x)
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Propiedad:
Si una función y = f (x) es derivable en todo
su dominio entonces es continua para todo x Dom f .
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Función Compuesta
x y = f (x)
f
f ’
g
g ’
z = g ( f (x))
x y = f (x)
f g
z = g ( f (x)) = g ( y)
g ( f (x) ) = g o f
Derivada de la Función Compuesta
M. Bocco - 2018
Derivada de la Función Compuesta
Regla de la Cadena:
Si la función f es derivable en x y g es derivable en f(x)
entonces la función compuesta y = g( f(x)) es derivable y severifica que
( g ( f (x)))’ = g’( f (x)) . f ’(x)
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Derivadas Sucesivas de Funciones
f (x)
f ’(x)
f ”(x)
f ’”(x)
f (n)(x)
.....
d (t ) d ’(t) = v(t) d ”(t ) = v ’(t ) = a (t )
En Física:
APLICACIONES de la DERIVADA Optimización - Gráficos
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OBJETIVOS
•Analizar propiedades de las distintas funcionesmediante el uso de la derivada.
•Seleccionar y aplicar criterios que le permitan obtenerlos extremos de una función.
•Interpretar características de funciones a partir de lafunción derivada y derivada segunda de una función.
•Desarrollar procedimientos para representar curvas.
•Resolver problemas de optimización de funcionesaplicados a situaciones agronómicas.
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CONTENIDOS
Aplicaciones de la derivada de Funciones.
•Gráficos de funciones: extremos absolutos yrelativos.
•Máximos y mínimos de funciones. Puntos de Inflexión.
• Intervalos de Crecimiento y decrecimiento, deconcavidad y convexidad.
•Optimización. Planteo y resolución de problemas conaplicaciones a las Ciencias Agropecuarias.
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Gráfico de Funciones
¿Qué podemos realizar con lo que estudiamos?
✓ Dom f e Img f
✓ Corte con los ejes coordenados▪ eje y ( f (0))
▪ eje x ( f (x) = 0)
✓ Continuidad de la función
✓ Comportamiento de la función en los extremos
▪ Dom f = R ylím f (x)
+x lím f (x)
-x
▪ Dom f = [a,b] f (a) y f (b)
✓ Comportamiento en los puntos de discontinuidad (asíntota vertical)
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Definición 1:
1. El punto xM es un punto de máximo absoluto de lafunción y = f (x) si verifica que:
para todo x perteneciente al Dom f
El valor f (xM) es el valor máximo absoluto de la función.
)()( xfxf M
2. El punto xm es un punto de mínimo absoluto de lafunción y = f (x) si verifica que:
para todo x perteneciente al Dom f
El valor f (xm) es el valor mínimo absoluto de la función.
)()( xfxf m
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Definición 2:
1. El punto xMR es un punto de máximo relativo de la función y
= f (x) si verifica que:
para todo x I incluido en el Dom f
El valor f (xMR) es el valor máximo relativo de la función.
)()( xfxf MR
2. El punto xmr es un punto de mínimo relativo de lafunción y = f (x) si verifica que:
para todo x I incluido en el Dom f
El valor f (xmr) es el valor mínimo relativo de la función.
)()( xfxf mr
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Importante !!!
Máximo Absoluto o Relativo:
( xM , f (xM) )
Punto de Máximo Valor Máximo
Mínimo Absoluto o Relativo:
( xm , f (xm) )
Punto de Mínimo Valor Mínimo
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Puntos Extremos
Definición 3:
1.Un par ordenado (xa , f (xa)) es un extremo absoluto de lafunción y = f (x) si es un máximo absoluto o mínimo absoluto def .
2.Un par ordenado (xr , f (xr)) es un extremo relativo de lafunción y = f (x) si es un máximo relativo o mínimo relativode f .
M. Bocco - 2018
¿ Qué relación existe entre la derivada y los puntos extremos de una función f ?
Teorema 1:
Si la función y = f (x) tiene un punto extremo en xe
y es derivable en dicho punto, entonces f ’(xe) = 0.
y = f (x)
x xM
xmr xm
xMR
f (xM)
f (xm)
M. Bocco - 2018
Definición 4:
Un punto crítico de la función f es un punto xp que verifica
f ’(xp) = 0 o f no es derivable en xp
y
x
xp2 xp3 xp4xp1
M. Bocco - 2018
Condición necesaria para la existencia de extremos
Si la función y = f (x) es:
• derivable en xe y
• tiene un extremo en (xe , f (xe))
xe es un punto crítico de f
M. Bocco - 2018
Si xp es un punto crítico de la función f
¿ es (xp , f (xp)) un extremo de f ?
NO
Ejemplo:
f (x) = x 3
x = 0 es un punto crítico
y
x•
x 3
(0,0) NO es un punto extremo
M. Bocco - 2018
Propiedad:
Si la función y = f (x) es derivable en todo punto de unintervalo (a,b) entonces:
• Si f ’(x) = 0 para todo x (a,b) entonces f es constante
• Si f ’(x) > 0 para todo x (a,b) entonces f es creciente
• Si f ’(x) < 0 para todo x (a,b) entonces f es decreciente
M. Bocco - 2018
Sea f una función continua en un intervalo (a ,b), y c unpunto interior del intervalo, entonces:
Determinación de puntos extremos de una función
Criterio Local
y
x
c
f (c) •
(c , f (c)) es un máximo de f
crece decrece
f ’(x) > 0 para todo x en (a ,c) (a la izquierda de c) y
f ’(x) < 0 para todo x en (c ,b) (a la derecha de c),
✓ Si c es punto crítico de f ( f ’(c) = 0 o f ’(c) no existe).
M. Bocco - 2018
Sea f una función continua en un intervalo (a ,b), y c unpunto interior del intervalo, entonces:
Determinación de puntos extremos de una función
Criterio Local
y
x
c
f (c) •
(c , f (c)) es un mínimo de f
decrece crece
f ’(x) < 0 para todo x en (a ,c) (a la izquierda de c) y
f ’(x) > 0 para todo x en (c ,b) (a la derecha de c),
✓ Si c es punto crítico de f ( f ’(c) = 0 o f ’(c) no existe).
M. Bocco - 2018
Si f es una función continua en un intervalo (a ,b), y c unpunto interior del intervalo, entonces:
Determinación de puntos extremos de una función
Criterio Puntual
✓ Si c es punto crítico de f ( f ’(c) = 0 o f ’(c) no existe).
y f ”(c) < 0 y
x
c
f (c) •
(c , f (c)) es un máximo de f
M. Bocco - 2018
Sea f una función continua en un intervalo (a ,b), y c unpunto interior del intervalo, entonces:
Determinación de puntos extremos de una función
Criterio Puntual
y
x
c
f (c) •
(c , f (c)) es un mínimo de f
✓ Si c es punto crítico de f ( f ’(c) = 0 o f ’(c) no existe).
y f ”(c) > 0
M. Bocco - 2018
Curvatura de una función
Definición 5:
Si f es una función derivable en todo punto de un intervaloI = (a ,b), decimos que:
1. f es cóncava hacia arriba en el intervalo I si:
f ’(x) es creciente en todo punto x I , o bien
f ”(x) > 0 en todo punto x I .
2. f es cóncava hacia abajo en el intervalo I si:
f ’(x) es decreciente en todo punto x I , o bien
f ”(x) < 0 en todo punto x I
M. Bocco - 2018
Definición 6:
Un par ordenado (xi , f (xi)) donde el gráfico de lafunción f cambia su concavidad se llama punto de inflexión.
y
x
x i 1 x i 2
f cóncava h. abajo: (-, x i 1) f cóncava h. arriba: (x i 1 , x i 2)
f es lineal (curvatura nula): (x i 2 , +)
M. Bocco - 2018
Sea f una función continua en un intervalo (a ,b), y xi unpunto interior del intervalo, entonces:
Determinación de puntos de inflexión de una función
Si f ”(xi) = 0 ( o bien la f ” no existe) y
(xi , f (xi)) es un punto de inflexión de f
f ”(x) cambia de signo en xi
y = f (x)
x xi
M. Bocco - 2018
M. Bocco - 2018
Para graficar una función:
1. Dom f
2. Corte con los ejes coordenados
▪ eje y ( f (0) )
▪ eje x ( f (x) = 0 )
3. Continuidad de la función
4. Comportamiento de la función en los extremos
▪ Dom f = R ylím f (x)
+x lím f (x)
-x
▪ Dom f = [a,b] f (a) y f (b)
5. Puntos críticos ( f ’(x) = 0 )
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▪ Máximo: ( xM , f (xM) ) ( f ”(x) < 0 )
▪ Mínimo: ( xm , f (xm) ) ( f ”(x) > 0 )
7. Intervalos donde f :
8. Puntos de Inflexión
6. Extremos de la función
▪ crece ( f ’ > 0 )
▪ decrece ( f ’ < 0 )
▪ constante ( f ’ = 0 )
▪ ( xi , f (xi) ) ( f ”(xi) = 0 y cambio de signo en xi )
9. Intervalos donde f :
▪ cóncava hacia arriba ( f ” > 0 )
▪ cóncava hacia abajo ( f ” < 0 )
Para resolver Problemas de Optimización:
2. Determinar: datos conocidos e incógnitas
3. Encontrar una función que modelice el problema,expresando la situación que se pretende optimizar.
4. Expresar la función encontrada en términos de unavariable.
5. Determinar los extremos de la función, que permitirándecidir los óptimos del sistema.
1. Realizar, cuando sea posible, un esquema o diagrama querepresente la información del problema
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INTEGRAL DE FUNCIONES
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OBJETIVOS
•Definir la función primitiva, relacionando derivación eintegración.
•Calcular, utilizando reglas y teoremas, funcionesprimitivas de distintas funciones.
•Aplicar distintas técnicas de integración para laresolución de integrales indefinidas y definidas.
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CONTENIDOS
Integral de Funciones.
•Cálculo Integral. Integral Indefinida.
•Técnicas de Integración.
• El diferencial de una función. Integral definida deuna función continua en un intervalo.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Situación 1:
¿Cuál es, o son, las funciones F(x) para las que se verifica:
Las rectas tangentes al gráfico de F en el puntox = 1 tienen pendiente 3 ?
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Definición:
Dada una función y = f (x) se llama FunciónPrimitiva a la función F (x) que verifica:
F ’(x) = f (x)
para todo x Dom f
Función Primitiva
Ejemplo:
F(x) = x 4
F(x) = x 4 + 2
F(x) = x 4 - 7
F(x) = x 4 + c
f (x) = 4 x 3
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Propiedad 1:
Si F 1(x) y F 2(x) son funciones primitivas de la
función y= f (x) entonces
F 2(x) = F 1(x) + c
con c una constante real
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INTEGRAL INDEFINIDA
Definición:
La integral indefinida de la función y = f (x)con respecto a la variable x es:
La función F es una función primitiva de f
)()('c)()( xfxFxFdxxf
Notación:símbolo de integración
función integrando
Diferencial de x (variable de integración)
f (x)
dx
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Integral Indefinida
k un número real
n -1
cxdx11.
cxkdxk2.
c1
1
n
xdxx
nn3.
cxx
edxe5.
ccos xdxxsen6.
ccos xsendxx7.
ccos
xtgdxx
2
18.
cln xdxxdx
x
114. x > 0
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Si f (x) y g(x) son funciones integrables en todo punto x desus respectivos dominios, entonces se cumple:
1.
2.
3.
Integral y Operaciones
dxxgdxxfdxxgf )()()(
dxxgdxxfdxxgf )()()(
dxxfkdxxfk )()(. k un número real
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Técnicas o Métodos de Integración
Método de Sustitución: Regla de la Cadena
Si la función f es derivable en x y g es derivable en f (x)
con función primitiva G (x) entonces se verifica que
c))(()('.))(( xfGdxxfxfg
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INTEGRAL
DEFINIDA
Area entre curvas
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• Utilizar el cálculo de integrales para la obtención de
áreas de regiones planas, volúmenes de cuerpos y otras
aplicaciones.
•Aplicar los desarrollos básicos para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden.
• Plantear problemas que representen modelos de
evolución y obtener sus correspondientes soluciones.
OBJETIVOS
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• Partición y sumas de Riemann.
•Áreas de figuras planas.
•Aplicación a problemas concretos: cálculo de
superficies y volúmenes.
•Ecuaciones diferenciales de primer orden.
CONTENIDOS
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Si el agua entra a un establecimiento rural por un canal
de riego, a razón de 5 m/seg ¿Qué distancia recorrerá
en 2 minutos, a partir del momento de la entrada?
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Cálculo de área
Región R del plano:
¿ Área de R ?
▪ una función y = f (x) continua en [a,b] y f (x) 0
▪ el eje x
▪ las rectas verticales x= a y x =b
x
f
ba
R
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x
f
ba
Sumas inferiores de Riemann
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x
f
ba
Sumas superiores de Riemann
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x
f
ba
Sumas inferiores y superiores de Riemann
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Teorema: Área de una región del plano
Si una función f es continua, f 0 para todo x [a,b].
El área A de la región R del plano limitada por:
el gráfico de y = f (x)
el eje x
las rectas verticales x = a y x = b
Está dada por:
Área (R) = A =
si dichos límites existen.
Con f (xMi) y f (xmi) los valores máximos y mínimos de f en cada
intervalo [xi-1, xi] con 1 i n, que forman la partición del intervalo
[a,b].
n
i
min
nn n
abxflímslím
1
)(
n
i
Min
nn n
abxflímSlím
1
)(
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Definición:
Para una función y = f (x), el límite de las sumas
superiores (Sn) o inferiores (sn) de Riemann de dicha función, se
llama Integral Definida de la función f y se denota por:
a = límite inferior y b = límite superior de integración.
b
an
nn
nslímSlímdxxf )(
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Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Regla de Barrow
Si f es una función continua, f 0 para todo x [a,b] y F una
función primitiva de f , entonces:
b
aaFbFdxxf )()()(
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Si f (x) es una función integrable en [a,b], se verifican:
1.
2.
3.
4.
Propiedades de la integral definida
0a
adxxf )(
a
b
b
adxxfdxxf )()(
b
a
b
adxxfdxxf )()(
b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()( a < c < b
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Área de una región bajo el eje x
Área de R = Área de R’
Región R del plano:
▪ una función y = f (x) continua en [a,b] y f (x) < 0
▪ el eje x
▪ las rectas verticales x = a y x = b
R
R’- f
x
ba
y
f
Área de R = b
adxxf )(
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Área entre dos curvas:
Región RDos funciones f y g integrales en [a,b]
x
ba
y
f (x) g (x)
R
a y b puntos de intersección de f y g
Área de R1= b
adxxf )(
Área de R2 = b
adxxg )(
Área de R = b
adxxgxf )()(
R1
R2
Rg
f
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ECUACIONES
DIFERENCIALES
Aplicaciones de la Integral
•Aplicar los desarrollos básicos para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden.
• Plantear problemas que representen modelos de
evolución y obtener sus correspondientes soluciones.
OBJETIVOS
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•Ecuaciones diferenciales de primer orden.
•Ejemplos de crecimiento poblacional.
•Ejemplos de química. Ley de Newton.
CONTENIDOS
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Observación: las incógnitas que aparecen en las ED son funciones.
Una ecuación diferencial se expresa, en su forma general:
o bien )(,)( xfxFxf ), yxFy
Definición:Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación
que relaciona una función (no conocida) y sus derivadas.Una función es una solución de una ecuación diferencial sisatisface la ecuación dada.
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Orden de la ecuación diferencial: es el mayor orden de laderivada que aparece en la ED.
Ejemplo 1:
Ecuación de primer orden: 123 xyy
Ecuación de segundo orden xxyxyxy )(4)('2)(''
Condiciones Iniciales o de Borde:Las ED tienen, en general, infinitas soluciones. Una solución
que verifica una condición inicial, es decir pasa por un puntoespecífico, se llama solución particular y la expresión que contienetodas las soluciones particulares se llama solución general.
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Ejemplo 2:
Ecuación diferencial: 3y
Solución general: c xxyy 3)(
73)( xxy
Solución particular para condiciones
iniciales:
10)1( yCondición Inicial:
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Importante:* NO existe un método general para resolver ED, es
decir, no siempre es posible encontrar la familia de soluciones.Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados síse tienen procedimientos para calcular la solución general o bienuna solución particular.
* En muchos casos se utilizan en cambio métodosnuméricos para encontrar soluciones aproximadas de la soluciónde una ED.
* O bien otra posibilidad, sólo para el caso de ED deprimer orden y funciones de una variable real es a partir delprocedimiento geométrico de dibujar su campo vectorial.
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ED en variables separables
Esta ED es de la forma:
o
donde a es una constante.
yay yadx
dy
Esta ecuación tiene una solución trivial y (x) = 0
La ecuación diferencial en variables separables .
tiene por solución general la función exponencial
yay
axecxy )(
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Representación Gráfica de las soluciones de la
ecuación en variables separables: . axecxy )(
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Ecuación diferencial de Variables Separables
y´ = a y
Movimiento de un cuerpo
(con aceleración) Ley de Enfriamiento
de Newton
Cambios de masa
de un cuerpo
Intereses producidos
por un capital
Dilución de
una sustancia
Decaimiento Radioactivo
Proceso de crecimiento
de una célula
Procesos de crecimiento de
una población (nac-muerte)
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Aplicación1: Crecimiento de una célula
Supongamos que una célula tiene una masa inicial m0 y que creceen un medio ideal; así su masa m se puede considerar comofunción del tiempo: m = m (t).
Si los compuestos químicos pasan rápidamente la pared de lacélula, su crecimiento se puede suponer sólo determinado por lavelocidad del metabolismo dentro de la célula. Como elmetabolismo depende de la masa de las moléculas participantes,se puede pensar que la velocidad de crecimiento es proporcionala la masa en cada instante
)(tmadt
dm ( a > 0 )
taemtm 0)(
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Aplicación 3: La solución general de la ED de primer orden que
representa la Ley de enfriamiento de Newton, para
diferentes temperaturas iniciales T0 es:
Si k = 0.1°C/seg. El tiempo que tardará en alcanzar una taza de café a
distintas temperaturas, si la temperatura ambiente es de Ta=15°Cse observa en las soluciones posibles se muestran en el siguientegráfico
Familia de curvas solución
Condiciones iniciales: Sondiferentes temperaturasiniciales de la taza de café.
)( aTTkdt
dT
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En modelos de poblaciones con individuos (personas, animales,vegetales) de una misma especie se presentan necesidades muysimilares para sobrevivir, crear y reproducirse, así…
Cuando se combinan las necesidades de
todos los individuos (interacción)
por un recurso en un medioambiente,
éste puede verse limitado,
entonces deben competir.
Crecimiento poblacional dependiente de la densidad
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En un medioambiente restringido y con alimento limitado la
población no puede exceder un tamaño máximo B, valor que
significa que ya no tiene espacio (o bien suministro de alimentos,por ej.)
Así la tasa de crecimiento de la población r es proporcional tanto
al tamaño de la población N(t), como a la cantidad de población que
resta para alcanzar el tamaño máximo (B – N(t)), entonces la
ecuación que representa el crecimiento es:
Esta ecuación se conoce como Ecuación diferencial logística.
)()()(' tNBtNrtN
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Propiedad: La ED logística.
Se debe esta ecuación al matemático Riccati y es una ED, cuyasolución general es:
La función solución tiene como gráfico la curva sigmoidea y el valorB se denomina capacidad de carga del medioambiente.
)()()()()(' 2 tNrtNBrtNBtNrtN
rBtek
BtN
1)(
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Dijo Martin Luther King
Da tu primer paso, no importa que no veas el camino completo.Sólo da tu primer paso y el resto del camino irá apareciendo amedida que camines….
¡Muchas gracias!
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