MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 - suthami.files.wordpress.com · MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1...

MATERI 2

MATEMATIKA TEKNIK 1

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

1

Persamaan diferensial orde satu

Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara

variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya

hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah,

dan karena itu persamaan persamaan diferensial sering

muncul dalam persoalan - persoalan teknik .

2

Persamaan diferensial orde satu

3

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan

tertinggi yang terdapatd alam persamaan diferensial

tersebut.

Persamaan diferensial orde satu

4

Setelah mempelajari persamaan diferensial orde

satu maka diharapkan dapat :

1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial

orde satu dengan bermacam macam metode.

2. Dapat menyelesaikan keadaan transien

rangkaian RL atau rangkaian RC.

Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu

5

Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu :

1. Metode Integrasi Langsung.

2. Metode Pemisahan Variabel.

3. Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vt

4. Metode Faktor Integral – Persamaan diferensial linear.

5. Metode Persamaan Bernoulli.

Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu

6

Rangkaian RL

Contoh :

Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat switch menutup adalah nol.

Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu.

Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.

1. Metode Integrasi Langsung

Metode Penyelesaian PDB1

1. Metode Integrasi Langsung

8

Dalam bentuk :

Contoh

1.

2.

3.

923 2 xxdx

dy

Tabel Integral9

Basic Integrals with Exponentials

2. Metode Pemisahan Variabel

Metode Penyelesaian PDB2

2. Metode Pemisahan Variabel

11

Persamaan dalam bentuk :

Contoh

1.

2.

dttfdyyF )( )(

3. Metode Persamaan Homogen – dengan

Substitusi y = vx

Metode Penyelesaian PDB3

3. Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vx

13

Jika :

dttfdyyF )( )(

Metode Persamaan Homogen – dengan

Substitusi y = vx

3. Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vt

14

Jika suatu persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan

antara faktor y disebelah kiri dan faktor t disebelah kanan

maka dapat dilakukan dengan cara substitusi (y = vt).

Kunci utama untuk menggunakan metode substitusi y = vt

adalah persamaan diferensial tersebut haruslah homogen.

Persamaan diferensial dikatakan homogen jika pangkat t dan

pangkat y yang terlibat dalam masing masing suku sama

derajatnya.

Contoh

1.t

yt

dt

dy

3

4. Metode Faktor Integral – Persamaan

diferensial linear

Metode Penyelesaian PDB4

4. Metode Faktor Integral – Persamaan

diferensial linear16

Persamaan diferensial yang berbentuk :

dengan : P dan Q adalah fungsi atau Konstanta

Faktor Integral

Contoh

1.

2. dengan x = 0 ; y = 4; 241

ydx

dy

x

4. Metode Faktor Integral – Persamaan

diferensial linear17

5. Metode Persamaan Bernoulli

Metode Penyelesaian PDB5

5. Metode Persamaan Bernoulli

19

Ide dasar metode persamaan Bernoulli diambil dari

metode Faktor Integrasi

Dalam bentuk :

Penyelesaian persamaan Bernoulli adalah dengan

mengubahnya menjadi bentuk metode Faktor

Integrasi yaitu

5. Metode Persamaan Bernoulli

20

Langkah :

1. Membagi kedua ruas persamaan Bernoulli dengan yn ,

sehingga menghasilkan :

..........................................(1)

2. Substitusi persamaan (1) dengan z = y1-n sehingga

3. Persamaan (1) dikalikan dengan (1 – n) sehingga

persamaan (1) menjadi :

QPydt

dyy nn 1

dt

dyyn

dt

dz n 1

QnPyndt

dyyn nn 111 1

5. Metode Persamaan Bernoulli

21

Contoh:

1.

2.

3. dikalikan dengan (1 – n) = –1

Faktor

Integral

LATIHAN22

Latihan23

1.

2.

3.

4.

5.

TUGAS24

25

Aplikasi Persamaan Diferensial Orde

Satu

HOW??26

Rangkaian Listrik27

Prinsip dasar kelistrikan

Potensial yang dihasilkan pada resistor adalah, ER= I.R

Potensial yang dihasilkan pada induktor adalah, EL = L. dI/dt

Potensial yang dihasilkan pada kapasitor adalah, EC = Q/C,

Rangkaian Listrik28

Persamaan Umum

Rangkaian RL Seri

Rangkaian Listrik29

Contoh Rangkaian RL Seri

Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus

pada induktor pada saat switch menutup adalah nol. Tentukanlah

arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu.

Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.

Rangkaian Listrik30

Persamaan Umum

Rangkaian RC Seri

Rangkaian Listrik31

Contoh Rangkaian RC Seri

Switch S pada gambar 7 menutup pada t = 0, keadaan awal

kapasitor Vc = 0, tentukanlah tegangan pada kapasitor dan

plotlah tegangan terhadap waktu.

E = 12 volt, R = 2,2 ohm, C = 220F .

TUGAS 232

Tugas 233

1.

tentukan I, Jika pada saat I(t=0)=0

2. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 4te-8t

3. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 16 sin 8t (Tegangan berupa Sumber AC)

Diketahui. E = 128 V, R = 4 ohm, L = 1 H.

Tugas 234

4.

tentukan q dan I, Jika pada saat t=0 nilai q=0

5. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 20te-2t

6. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 50 cos 2t (Tegangan berupa Sumber AC)

Diketahui. E = 30V, R = 100 ohm, C = 0,1 F.

Tugas 235

7.

Tugas 236

8.

Penerapan Dalam Ekonomi Teknik37

Penerapan Dalam Ekonomi Teknik38

Contoh :

Uang sejumlah 250 Juta didepositokan dengan

bunga 18% tiap tahun dan bertambah secara

kontinu. Berapa jumlah uang setelah setelah 22

tahun.

Referensi39

Google

Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta:

Penerbit Erlangga, 1987.

Buku ajar matematika Teknik I Jurusan Teknik Elektro

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diktat matematika Teknik I Jurusan Teknik Elektro

Fakultas Teknik Universitas Mataram