Materi teori bilangan

Implikasi

pq

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

Kontrapositif

~q~p

0 1 0

1 0 0

0 1 1

1 1 1

Pembuktian:

Bukti langsung: ( , diketahui , dibuktikan )

Bukti tidak langsung ( , diandaikan , didapat , kontradiktif)

Biimplikasi:

(i)

(ii)

Contoh Bukti Langsung: jika x, y genap maka x+y genap

Jawab:

Bukti langsung:

x genap u.s

y genap , u.s

genap

Contoh Bukti tidak langsung: jika genap maka genap

Jawab:

Bukti langsung:

p q

p

q

tidak dapat langsung dibuktikan, maka dapat dijawab dengan bukti tidak langsung

Bukti tidak langsung

Andaikan bukan genpa , berarti ganjil

, u.s

, u.s

Didapat ganjil, kontrakdiksi dengan yang diketahui genap

Jadi pengandaian salah, haruslah genap.

Latihan: Buktikan bilangan rasional!

Bukti:

Andaikan bukan bilanagn rasional

genap, maka genap, anggap

genap, maka b genap

Jadi pengandaian salah, haruslah bilangan rasional.

BILANGAN BULAT

SKEMA

b

kontradiksi dengan

Aksioma medan/ aksioma lapangan tidak bisa dibuktikan.

Nomor

Sifat Penjumlahan Perkalian

1 Tertutup

2 Komutatif

3 Asosiatif

4Elemen Identita

s

5 Elemen Invers

6 Distributif

Bukti Penting:

Buktikan !

Bukti:

(4)

(6)

(5) ))

INDUKSI MATEMATIKA

Teorema: Misalkan yang memenuhi:

(i)

(ii) Jika maka

Maka

Bukti:

Andaikan maka

Berdasarkan sifat Well Ordering: (setiap himpunan dnegan

bagian daru N yang tidak kosong memiliki elemen terkecil)

maka dengan menggunkan sifat Well Ordering:

memiliki elemen terkecil, sebut

dan

(i)

(ii) maka

p

pq

Tidak bisa pakai bukti langsung

S

N1

pm>1

Kontradiksi dengan ( elemen terkecil dari )

Jadi, pengandaian salah, haruslah

Pembuktian:

Deduksi: dari contoh universl ( )

Induksi: dari contoh-cohtoh bilanganmengambil kesimpulan

Contoh: Buktikan

Bukti:

Akan dibuktikan dengan induksi matematika:

(i)

(ii) Ambil maka

Akan ditunjukkan

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

Latihan Soal:Buktikan:

1.

2.

3. habis dibagi 8,

4.

Jawab:

(i) Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika

(i), maka

(ii) Ambil maka

Akan ditunjukkan

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

(ii) Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika

(i)

(ii) Ambil maka

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

(iii) Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika

(i)

habis dibagi 8,

(ii) Ambil maka

Akan ditunjukkan

habis dibagi 8

Dari (i) dan (ii) diperoleh: habis dibagi 8,

(iv)Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika

(i)

(ii) Ambil maka

Akan ditunjukkan

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

TUGAS: Buktikan!

1. Jumlah dari pangkat tiga habis dibagi 9

2.

3.

4. habis dibagi 15

TEOREMA BINOMIAL

Rumus Kombinasi :

Buktikan

Bukti:

SEGITIGA PASCAL

1

1 1

1 1

1 1

2

33

4 6 4

1

1

, Buktikan!

Bukti:

(i)

(ii) Ambil maka

Akan ditunjukkan

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan:

FPB (BELUM LENGKAP)

1. Buktikan

2.

3.

Jawab:

1.

2.

3.

ALGORITMA PEMBAGIAN

Teorema: Misalkan maka tunggal,

Bukti:

Bentuk

(i) Akan ditunjukkan

Pilih

Dengan menggunakan sifat Welll Ordering, karena maka memiliki elemen terkecil,

sebur .

Misalkan

(ii) Akan ditunjukkan

jelas karena

Akan ditunjukkan (menggunakan bukti tidak langsung)

Andai

Kontradiksi dengan r elemen terkecil dari , jadi pengandaian salah, haruslah

(iii) Misalkan

Akan ditunjukkan dan

akibatnya

Contoh Soal:

Buktikan:

Bukti:

Misalkan ,

(teorema algoritma pembagian)

(i)

(ii)

Dari (i) dann (ii) diperoleh maka

Latihan Soal:

Buku Teobil

14.a) Buktikan

Bukti:

Maka diperoleh . karena dan

20.d) dan

Jawab:

...(i)

...(ii)

Substitusi (ii) ke (i):

ALGORITMA EUCLIDES

Misalkan , dengan menggunakan algoritma pembagian berkali-kali diperoleh:

,

Contoh 1:

Jawab:

Contoh 2:

Untuk mencari solusi FPB

Untuk mencari x0 dan y0

Tentukan Solusi !

Jawab:

3

(mempunyai solusi)

3

dan

Solusi: dan ;

Contoh 3:

Tentukan dan dari !

Jawab:

dan

*) Bukti: Akan ditunjukkan

(i)jelas

(ii)

(iii)

Dari (i), (ii) dan (iii) disimpulkan

PERSAMAAN DEOPHANTINE

Bentuk persamaan:

Solusi dari persamaan ini merupakan bilangan bulat.

Teorema:

Persamaan Deophantine mempunyai solusi jika

Misalkan merupakan solusi dari . (cari dahulu )

Maka solusi umum dari adalah: dan; ;

Jika tanda solusinya terbalik, maka dikalikan dengan (-1)

KPK

Teorema:

Misal

Bukti:

Akan ditunjukkan

Syarat: 1)

2)

3)

(i)

(Terbukti)

(ii)

(Terbukti)

(iii)

(Terbukti)

Dari (i), (ii) dan (iii) disimpulkan:

BILANGAN PRIMA

Definisi: bilangan prima jika: bilangan prima jika (i)

(ii)

Teorema: Jika bilangan prima dan maka atau

*) Bilangan Prima=2,3,5,7,...

dan bilangan relatif prima

Contoh: dan

Bukti: Misalkan , akan ditunjukkan

...(i)

...(ii)

Substitusi (ii) ke (i), maka

Untuk akan didapat (caranya serupa)

KEKONGGRUENAN

Definisi:

Misalkan

konggruen modulo

Ditulis

Didefinisikan:

Contoh:

Residu terkecil modulo 5=0,1,2,3,4

Residu lengkap modulo 5=5,6,12,53,-11

Teorema:

Misalkan

dan mempunyai hasil yang sama bila dibagi

Bukti:

*) (artinya dibagi memiliki sisa )

Maka:

Terbukti

Teorema 4.2

c) Jika

Bukti:

d) Jika dan maka dan

Bukti:

(i)

(ii)

e) Jika maka dan

Bukti:

(i)

(ii)

f) BELUM

Tugas!

Aplikasi Konggruen

Buktikan Teorema konggruen!

a. Tentukan sisanya jika dibagi 7

b. Tentukan sisanya jika dibagi 10

c. Tentukan sisanya jika dibagi 25

Jawab:

a.

Sisanya adalah 2

b.

Sisanya adalah 1c. Belum

Latihan:

1. Tentukan 1 digit angka terakhir dari

2. Tentukan 2 digit angka terakhir dari

Jawab:

1.

Satu digit terakhir dari yaitu 9

2. Belum

APLIKASI KONGGRUENSI

Teorema:

Misalkan

Misal

(basis 10bilangan romawi)

Teorema:

Contoh: 13765 S=1+3+7+6+5=22

Bukti:

Terbukti

Teorema:

Bukti:

Terbukti

PERSAMAAN LINEAR KONGGRUENSI

Teorema:

Jika maka

Teorema:

Jika mempunyai solusi dan memiliki solusi

Bentuk persamaan:

Contoh 1:

... *

maka * memiliki 1 solusi

HP=

Cek: 1+3=4, , maka solusinya memang hanya 1

Contoh 2

... *

maka * memiliki 3 solusi

HP= residu terkecil dari 21

Contoh 3

... *

maka * memiliki 20 solusi

Jika dikerjakan dengan cara seperti di atas, terlalu banyak, maka dapat diselesaikan degan cara lain sbb:

HP=

TEOREMA CINA

Misalkan

Sistem persamaan konggruensi:

Bukti:

(i) , maka

(ii)

Latihan:

Tentukan Solusi dari:

Jawab:

Mempunyai solusi modulo

Solusi: