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Organización Industrial. Fiabilidad, renovación y mantenimiento.
Joaquín Bautista Valhondo
D-21/2011 (Rec. OP-BCC)
Departamento de Organización de Empresas
Universidad Politécnica de Cataluña
Cátedra Nissan -PROTHIUS-
Publica: Universitat Politècnica de Catalunya www.upc.edu
Edita:
Cátedra Nissan www.nissanchair.com
director@nissanchair.com
Fiabilidad de elementos y sistemas
Departament d’Organització d’EmpresesDOE d Empreses
Ref.: Companys, R; Corominas, A. (1994) Organización de la Producción I. Diseño de sistemas productivos 3. Edicions UPC, Barcelona.
OI _EQ-10
p y , ; , ( ) g p ,
Fiabilidad. Contenido
Introducción y conceptos generales
Fiabilidad de elementos• Ley de supervivencia • Función de distribución de fallos. Densidad de probabilidad de fallos (densidad de p (
averías). Tasa de averías• Vida media de un elemento (MTBF: Tiempo medio entre fallos)
Leyes de supervivencia usuales Leyes de supervivencia usuales• Ley exponencial• Ley de Weibull
Fiabilidad de Sistemas• Funciones de estructura• Redes de fiabilidad• Funciones de fiabilidad• Mejora de la fiabilidad: Reducción y canibalización
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -20
Concepto de Fiabilidad
Característica de un dispositivo expresada por la probabilidad de cumplir una función requerida bajo una serie de condiciones dadas y para una duración especificada (Comisión Electrotécnica Internacional).especificada (Comisión Electrotécnica Internacional).
Los resultados corresponden a muestras de componentes o sistemas y por tanto sólo sirven para procesos repetitivos y no singulares.
El cumplimiento de una función implica definir el fallo.
Las condiciones de funcionamiento del elemento o sistema vienen definidas por el pentorno físico (temperatura, presión, etc.) y el factor humano.
La duración es una magnitud genérica asociada al cambio de estado que puede representar tiempo, número de ciclos, distancia recorrida, volumen de líquido, etc.
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -30
Ley de supervivencia
Probabilidad de que en el instante t no se haya producido todavía la avería y porProbabilidad de que en el instante t no se haya producido todavía la avería y portanto el equipo esté funcionando.
avería de Instante,0)(lim1)0(
:)(
AtA Ttv
vTtPtv
)()(
ttvtv
Generalización: Magnitud de evolución de estado: tGeneralización: Magnitud de evolución de estado: t.• Tiempo• Ciclos• Distancia• Número de ensayos
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -40
Ley de supervivencia. Tipología
(t)A: Equipo eterno B: Equipo homogéneo
(t)v(t) v(t)
t tt
C: Equipo en fatiga D: Equipo comúnv(t)v(t)
t
v(t)v(t)
tt
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -50
tt
Ley de supervivencia. Conceptos
Función de distribución de fallos (probabilidad acumulada de avería) Función de distribución de fallos (probabilidad acumulada de avería)
)(1)( tvTtPtF A
Densidad de avería
)()( A
)()()()( '' tvtFdt
tdFtf
Tasa de averías
tf ' )()(
t
duuetv
tvtv
tvtft 0
)()(
)()(
)()()(
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -60
Tasas de avería
)(t)(t )(t
ktt )(
)(t
0)( t
)(t )(t
Mortalidad infantil
Desgaste0)( t infantil
Fatiga
ttTasa de avería constante. Tasa de avería creciente. Tasa de avería en curva de
t
Fatiga
Tasa de avería constante. Trabajo en fatiga
Tasa de avería creciente. Trabajo en desgaste
Tasa de avería en curva de bañera. Tres zonas.
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -70
Funcionamiento promedio
Edad media de aparición de la avería MTBF
dttvdttvtdttftt
000
Vida media de un elemento con reposición en t0 o en el instante de fallar
dttvtvtdttfttttt
00
000 f 00000
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -80
Leyes de supervivencia. Ley exponencial
Condición: 0)( tCondición: 0)(t
tduuetvetv
t
00 )()()(
Ley de supervivencia:
Función de distribución de fallos: tetFtvtF 01)()(1)(
Densidad de avería: tetftvtf 00
' )()()(
MTBF: 0
00
10
tdtetdttvt t
0
Vida media hasta t0: 000
00 11)()()(
000000
tt ttettdtettdttvtt
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -90
0
Leyes de supervivencia. Ley de Weibull
Condición: 1)( tt Condición: )( tt
tduuetvetv
t
)()( 0
)( Ley de supervivencia: etvetv )()(y p
Función de distribución de fallos: tetFtvtF 1)()(1)( )()()(
Densidad de avería: tettftvtf 1' )()()(
MTBF:
)()1(;/1 xxx
tdtetdttvt tMTBF:
)2/1(
;00
tdtetdttvt
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -100
Ley de Weibull. Tasa de averías
fatiga)en trabajo:lexponenciaLey ()(1 t
desgaste)en (trabajo2infantil) d(mortalida1
2)(t
2
1
1
t
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -110
t
Leyes de supervivencia. Ley de Erlang
Hipótesis: la avería se produce si y sólo si ocurren exactamente k fenómenos aleatorios que siguen una ley de Poisson de tasa . Proceso de Erlang de parámetro k.q g y g p
)(: instante elen fenómenos producirse de adProbabilid
ettn
tn
:instanteelhastamáso fenómenosproducirsenode Fiabilidad!
)(
tkn
etpn
1
0
11
0110 !
)()!1(
)(..!1)(1..)(
p
nete
kettepppptv
k
n
tnt
tkt
k
nnk
1)()()(
: instante elen fenómenos para avería de Densidad
etetvtf
tktk
t
22;
)!1()()(
kkt
ketvtf
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -120
2
Fiabilidad de sistemas. Función de estructura
Función de estructura: Función booleana que representa el funcionamiento o í d i t l ió l f i i t f ll d tavería de un sistema en relación al funcionamiento o fallo de sus componentes.
nixxnix, ...,x,xxf=f iiin ,...,11;,...,11,0;)( 21
nii
ixi ,...,1
elemento el funciona no,0 elemento el funciona,1
f 212121
212121
)()1)(1(11)(
xxxx,xxfxxxx,xxf
2121 xx,xxf E1
E1 E2
Elementos en serie Elementos en paralelo
E2E1 E2
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -130
Función de estructura. Ejemplo sistema serie-paralelo
fE2 0 0 0 0
fxxx 321
E1 0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0E3 0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
32321321
)()(),(xxxxxxxxxxf
xxxxxx,xxf
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 13213121321 ),( xxxxxxxx,xxf 1 1 1 1
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -140
Red de fiabilidad
Red de fiabilidad: Representación gráfica de la función de estructura.
E3E2
E1
E5E4
Conjunto-1: Serie-paralelo de 5 elementos
)()()()()( xxfxxfxxfxxfxxxxxxf 5432154132154321
54325432154321
,,),(),(),(),(),,(
xxxxxxxxxxxx,xx,xxfxxfxxfxxfxxfxx,xx,xxf
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -150
Caminos y Cortes
Camino: Conjunto de elementos tales que si todos funcionan el sistema funciona.j q
1,...,1... 2121 pp x,xxfxxx
Camino mínimo: Camino que no contiene a cualquier otro camino.
Corte: Conjunto de elementos tales que si ninguno funciona el sistema no funciona.
0,...,0... 2121 cc x,xxfxxx
Corte mínimo: Corte que no contiene a cualquier otro corte.
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -160
Redes de fiabilidad equivalentes (1/2)
Construcción-1: Poner en paralelo todos los caminos mínimos con sus elementos en serie.
E1
E3E2
E5E4,E1,,E3E2,E1, :mínimos Caminos
E5E4
E3E2E1
E5E4E1 E5E4E1
5432154132154321 ,, xxxxxxxxxxxx,xx,xxf
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -170
Redes de fiabilidad equivalentes (2/2)
Construcción-2: Poner en serie todos los cortes mínimos con sus elementos en paralelo.
E1
E3E2
E5E3E4E3E5E2E4E2E1 :mínimos Cortes
E5E4
E5E3,E4E3,,E5E2,,E4E2,,E1
E2 E3E2 E3
E1
E4 E4E5 E5
))()()((
)1)(1)(1)(1)(1(,,
5353434352524242154321
53435242154321
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxx,xx,xxf
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -180
))()()((,, 5353434352524242154321 xxxxxxxxxxxxxxxxxx,xx,xxf
Red de fiabilidad. Ejemplo-conjunto-2 (caminos mínimos)
Conjunto-2: 3 generadores en serie con dos máquinas ix iy
G1
G1 M1
serie con dos máquinas
G3
M1 G3 M1
G2
M2 G3 M2
M1G3M1G1:mínimos Caminos
G2 M2
M2G2,,M2G3,
M1G3,,M1G1,)1)(1)(1)(1(1 22231311 yxyxyxyxf
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -190
Red de fiabilidad. Ejemplo-conjunto-2 (cortes mínimos)
Conjunto-2: 3 generadores en serie con dos máquinas
G1
:mínimos Cortes
serie con dos máquinas.
G3
M1
M1G3,G2,,M2G3,G1,
M2M1,,G2G3,G1,G2
M2
G1M1
G1 G2
G3
M2
G3 G3
G2 M2 M1
)1)(1)(1)(1( 13223121231 yxxyxxyyxxxf
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -200
))()()(( 13223121231 yyyyf
Función de estructura en forma simple
Obtención de la forma simple :f̂1. Poner en paralelo los caminos mínimos (en serie los cortes mínimos).2. Efectuar multiplicaciones, eliminar paréntesis, suprimir potencias y agrupar los
términos semejantes.j
)1)(1)(1)(1(12Conjunto
22231311 yxyxyxyxf
)()(
223221321322112311311
22231311
xyxyxyxyyxyxyxyxyxxyxyxyxyxyxf
ˆ
)(
22311
221322311223112311
yxxyxxyyxxyxyxyxxyxyxyx
)(
ˆ
2211223213311
2231122231311
yxyxxyxyyxxyxyxxyxyxyxyxyxf
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -210
Función de fiabilidad de un sistema (1/2)
Función de fiabilidad: Función que representa la probabilidad de funcionamiento de i t f ió d l b bilid d d f i i t d l tun sistema en función de las probabilidades de funcionamiento de sus elementos
componentes.
h h )(niip
nippnip, ...,p,pph=h
i
iiin
,...,1, elemento del entofuncionami de adprobabilid,...,11;,...,110;)( 21
h212121 )( pppp,pph
2121 pp,pph E1
E1 E2
Elementos en serie Elementos en paralelo
E2E1 E2
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -220
Función de fiabilidad de un sistema (2/2)
Obtención de la función de fiabilidad :ˆ1. Obtener la función de estructura en forma simple:
2. El desarrollo de h coincide con el de , sustituyendo xi por pi (para todo i).f̂
f̂
2Conjunto ip iq
)(
ˆ
2211223213311
2231122231311
yxyxxyxyyxxyxyxxyxyxyxyxyxf
G1
G3
M1
2231122231311 qppqpqpqpqpqph
G3
G2
M2
)( 2211223213311 qpqppqpqqppqp G2
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -230
Formas de incrementar la fiabilidad de un sistema (1/2)
Redundancia: Disponer varios j l d i l El tejemplares de un mismo elemento en
paralelo y requerir que sólo uno de ellos esté en funcionamiento.
E1E2
E2’
Elementos
E2E1'
E3
E3'E2
E1
E3'
E2Sistema
E3
E1E3
E1'
E2'
E3'
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -240
Formas de incrementar la fiabilidad de un sistema (2/2)
Canibalización: Intercambiar N f i E2elementos de un mismo tipo cuando
uno de ellos falla.No funciona E2
E3
E1 E4
E1
E3
E5
E4No funciona E2 y se substituye por E4
E2
E5 E1 E3
Tipo I : E1,E3,E5Tipo II : E2,E4
E4 E5
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -250
Renovación y mantenimiento
Departament d’Organització d’EmpresesDOE d Empreses
Ref : Companys R; Corominas A (1996) Organización de la Producción II Dirección de operaciones 5 Edicions UPC Barcelona
OI _EQ-260
Ref.: Companys, R; Corominas, A. (1996) Organización de la Producción II. Dirección de operaciones 5. Edicions UPC, Barcelona.
Contenido
Conceptosp
Renovación de equipos importantes• Enfoque rendimientosq• Enfoque costes• Explotación con horizonte limitado
S b tit ió t d l í Substitución antes de la avería• Caso continuo• Caso discreto
Substitución en grupo
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -270
Conceptos
Renovación: Consiste en substituir equipos o elementos de un sistema productivo q p pcon el propósito de conseguir un incremento del rendimiento del sistema o una reducción de los costes de explotación del mismo.
Casos:
Renovación de equipos importantes : equipos utilizables indefinidamente pero que su eficacia (funcionamiento) se degrada progresivamente con la edad.
Renovación preventiva antes de la avería: substitución de equipos antes de que Renovación preventiva antes de la avería: substitución de equipos antes de que se produzca la avería con el propósito de anticiparse al fallo del sistema.
Renovación preventiva en fechas preestablecidas : substitución de equipos en p f p q pbloque con el propósito de aprovechar las ventajas de la substitución colectiva.
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -280
Renovación de equipos
Nomenclatura básica:
adquirir alerecuperabl , edadcon equipo del residualvalor :equipo. deln adquisició de coste:
tSC
t
entre ocomprendid período el para entofuncionami de osrendimient:equipo. nuevoun
trt
la defunción en períodopor ión actualizac de ecoeficient:.y 1 instanteslos
1
tt
id ld dli di l tlid d)(nuevo. otropor ón substituci la a procede se que laen equipo del edad:
.)1(:ión actualizac detasa 1
kkk
ii
equipos. de indefinidasucesión una de oactualizad neto orendimient : equipo.del edadlaaasociadaeequivalent anualidad:)(
R(k)kka
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -290
Renovación de equipos. Enfoque rendimientos
)1( actualizarSin
k
t tk rSCkak1
)(
k
t tk
t
rSCk
ka1
1
1)(
período) cada de inicio alinversión (imputar Actualizar
k
t tt
kkk
tt rSCka
111 )(
k
t tt
kk
k rSCkakR11
11
)()(
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -300
Renovación de equipos. Enfoque rendimientos. Ejemplo-1 (1/2)
Ejemplo-1: Renovación de equipos sin actualización (enfoque rendimientos).
El coste de adquisición de un equipo nuevo es 5000 um.
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -310
Renovación de equipos. Enfoque rendimientos. Ejemplo-1 (2/2)
Ejemplo-1: Renovación de equipos con actualización (enfoque rendimientos).
8929.012.1(anual)%12:iónactualizacdeTasa 1 i
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -320
8929.012.1(anual)%12:iónactualizacde Tasa i
Renovación de equipos. Enfoque costes
Nomenclatura adicional:d d)l( id did li id
equipos. de indefinidasucesión una de oactualizad neto coste : edad).lacon (creciente edadcon equipodelntomantenimie decoste:
(k)tct
k
t tk cSCkak1
)(
)1( actualizarSin
k
t tk cSCk
ka1
1)(
k tkk t cSCka1 )(
período) cada de inicio alinversión (imputar Actualizar
k
t tt
kk
k
t tkt
cSCkak
cSCka
1
11
11
1)()(
)(
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -330
Renovación de equipos. Enfoque costes. Ejemplo-2 (1/2)
Ejemplo-2: Renovación de equipos sin actualización (enfoque costes).
Coste de adquisición del equipo: C=5000 um. Se adjuntan valores id l t d f i i t f ió d l d d
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -340
residuales y costes de funcionamiento en función de la edad.
Renovación de equipos. Enfoque costes. Ejemplo-2 (2/2)
Ejemplo-2: Renovación de equipos con actualización (enfoque costes).
8929.012.1 (anual) %12 :iónactualizac de Tasa 1 i
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -350
Renovación de equipos. Explotación limitada
í d1d dii:Hipótesis
períodos1próximoslosenequipoprimerdelrenovaciónPosibleperíodos. próximos los durante sistema deln Explotació -
.período1 edadcon equipoPrimer -
HH
n.explotació la durante renovación una realiza se sumo loA -períodos.1próximoslosen equipoprimer del renovaciónPosible - H-
1,...,1)(
: )1( actualizarsin totalCoste
11
12
HkScCSckG kHkH
t tkk
t t
: )1( oactualizad totalCoste
12
tt
1,...,1)( 111
11
21
HkScCSckG kH
kHkH
t tt
kkk
t tt
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -360
Renovación de equipos. Explotación limitada. Ejemplo-3 (1/3)
Ejemplo-3: Renovación de un equipo con horizonte de explotación limitado sin actualización de costes.
Coste de adquisición del equipo: C=5000 um Se considera un primerCoste de adquisición del equipo: C 5000 um. Se considera un primer equipo con edad 1; la explotación del sistema se hará durante los
próximos 5 años.
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -370
Renovación de equipos. Explotación limitada. Ejemplo-3 (2/3)
Ejemplo-3: Renovación de un equipo con horizonte de explotación limitado sin actualización de costes.
Grafo asociado al problema
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -380
Grafo asociado al problema.
Renovación de equipos. Explotación limitada. Ejemplo-3 (3/3)
Ejemplo-3: Renovación de un equipo con horizonte de explotación limitado con actualización de costes.de costes.
89290121(anual)%12:iónactualizacdeTasa 1 iCoste de adquisición del equipo: C=5000 um. Se considera un primer
equipo con edad 1; la explotación del sistema se hará durante los próximos 5 años.
8929.012.1 (anual)%12:iónactualizacde Tasa i
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -390
p
Substitución antes de la avería. Conceptos básicos
Nomenclatura básica:
.).defectos,. (paros, entofuncionami plenoen avería la de coste:elemento. del ciasuperviven deley :)(
actv
.renovación la de edad:no. o averiado elemento, del reposición de coste:
sc
. edad la a tiempode unidadpor renovación la de medio coste :)(
E t l di i En tales condiciones:
))(1())(1)(()()( cvcvccvc asass
)())((
)(
))()(()()(0
tdttv
asass
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -400
Substitución antes de la avería. Caso continuo (1/3)
Condición económica para substitución preventiva:
cccxvcx asas
))(1(lim)(lim)(
)()(:
txtx
xx
)(
lim)(lim)(
Condición de óptimo para substitución preventiva:
asa cvctdtcdvd
0))(1()()()(0)(
p p p
asa
dtdv
vv
ddvv
cvcd
tcdd
)()(;)()()(;)()(:como
0))(()(0
a
as
ccctv
dvd
)()()()(: :si renovaciónhay
)(
*****
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -410
Substitución antes de la avería. Caso continuo (2/3)
Análisis de la función Φ(θ):
ttv )()(lim)(1)(lim)0(
:)()()()( para extremos Valores 0
ccc
a
as 1)(:)( para óptimo deCondición *
t (desgaste) creciente)(0 )()()(creciente )( :Conclusión
cct
cc
cct
ccc
as
aa
as
a
as
)(es0renovarconvieneno)(
)()()()( :Casos
***
t
t )(es 0renovar convieneno)(
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -420
Substitución antes de la avería. Caso continuo (3/3)
Análisis de la función Φ(θ). Ejemplo-1: ley exponencial:
renovar no11)()(;1,)(,)(
a
ast
ccctttetv
1)( 21 tv
Análisis de la función Φ(θ). Ejemplo-2: ley lineal:
renovar)()(;)(1)()()()()(
)1(121)(;
1)()()(;,0 1)(
12
21
cctvtvttttvt
tttttv
tvttttv
as
10122
1)(
renovar)()(;)(2
)()()()()(
222
*
vvvvv
ctvtvttttvt
a
)1()1)(1(
)1(1)1)(1(
2
**** vv
v
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -430
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -440
Substitución antes de la avería. Caso discreto (1/2)
Nomenclatura básica:
. períodos edad la a períodopor renovación la de medio coste :. período elen ón substitucicon fallo el hasta medio tiempo:
. período elen avería de tasa:. período elen fiabilidad :
. período elen avería de adprobabilid :período. al asociado índice
.preventivaón substituci la produce se queen (período) instante :
k
kt
t
tv
tp
t:
k
k
k
t
t
t
Relaciones:
)5()1()4()3(
)2()1(
011
1
k
aksk
k
ttkkkk
tttttt
t
cvcvtvtt
vppvv
Substitución antes de la avería. Caso discreto (2/2)
Ejemplo: Un sistema automático sufre averías de acuerdo con una tasa de averías dependiente del número de turnos (t\k) transcurridos desde la última substitucióndependiente del número de turnos (t\k) transcurridos desde la última substitución.
umcumc as 60,100
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -450
Substitución en grupo (1/7)
Nomenclatura básica:
kt:N
elementoslostodosdeónsubstitucilaproducesequeen(período)instante: tiempo.de (período) instante al asociado índice
0. instante elen instalan se que nuevos elementos de número :
t
t
ttptv
k
.1, período elen elementoun de avería de nalincondicio adprobabilid :cia).superviven de(ley instante elen elementoun de fiabilidad :
elementos.lostodosdeón substitucilaproducesequeen (período) instante :
i
t
um/unidadcum/unidadc
tt
)(grupoenónsubstituciunadeunitariocoste:).( individualón substituci una de unitario de coste :
.1, período elen elementoun de avería de tasa:
k
t
g
kts
um/unidadc
.instante elen grupoen renuevasecuandoperíodopor coste:. instante elen menteindividual ossubstituid elementos de número :
).(grupoen ón substituciuna de unitariocoste:
ig
k
cc :Hipótesis
g ppp
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -460
Substitución en grupo (2/7)
1
01
01con ;
:Relacionesttt
Ttvvvpvvvp
0
1 ,..,0:Relacionest
t
t
tt
t
tt
Ns
Ttvv
vvv
vp
10121001102
100001
0
)()()(
vvsvvspspssvvspss
1022113200211203
...)()()( vvsvvsvvspspspss
1
011
1
0
)( tk
k
ttkttk
k
ttk vvspss
1
10
1min :Objetivok
ttigkk
sccsk
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -470
1tk
Substitución en grupo (3/7)
Casos:
kk
kk
Caso-1: Mínimo coste por período para el primer mínimo relativo.
Caso-2: Mínimo coste por período para un valor impropio de k.
scNstsvsvvvssN
)(
:permanenterégimen en deObtención
sct
stsvsvvvssN it t 02100 ...)(
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -480
Substitución en grupo (4/7)
Ejemplo: Determinar el coste mínimo por período para el caso N=1000, ci=1 y c =0 8 con la siguiente ley discreta de supervivenciacg 0.8 con la siguiente ley discreta de supervivencia.
utvt 03600409309801
:permanenterégimen en deObtención
ututNs
utvtt
t
/8.165036
1000
03.6004.0...93.098.010
utumsct
i /8.1658.165103.6
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -490
Substitución en grupo (5/7)
Supervivientes en el instante t (1 de 2) Ejemplo:
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -500
Substitución en grupo (6/7)
Supervivientes en el instante t (2 de 2) Ejemplo:
DOE www.nissanchair.com OI_EQ -510
Substitución en grupo (7/7)
Cálculo de costes por período Ejemplo:
p p
Primer mínimo
)9.192()8.165( 6
utumsccsct
tigg /9.1426
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