View
317
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/22/2019 Math Modul
1/50
1
7/22/2019 Math Modul
2/50
2
DAFTAR ISI
HalamanKATA PENGANTAR ..... iDAFTAR ISI .... iiKompetensi/sub kompetensi ..... iiiPeta Bahan Ajar ..... ivBAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1
A. Latar Belakang .......... 1B. Tujuan ............. 1C. Sasaran ......................................................................................... 1D. Ruang Lingkup ............. 1
BAB II KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN DAN ... 2PEMBAGIANA.Pengantar .......................... .................................................... 2B.Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar 2F. Konsep Penjumlahan dan Pengurangan ........................................... 2G.Konsep Perkalian dan Pembagian ..... ............... ............ 6
Latihan 1 ...................................................................................... 15H. Operasi Hitung Campuran . ........ 16
Latihan 2 ...................................................................................... 16
BAB III PEMBELAJARAN KPK DAN FPB DENGAN PENDEKATANKONTEKSTUAL ..... 17A.Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar 17E. Pembelajaran KPK .... 17F. Pembelajaran FPB ...... 20
Latihan 3 ....................................................................................... 29
BAB IV BILAGAN PERSEGI, KUBIK, DAN PENARIKAN AKARNYA .... 30A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi ................................................ 30B. Bilangan Persegi ....... 30C. Bilangan Kubik ........... 31D. Teknik Menguadratkan dan Menarik Akar ....... 32
Latihan 4 ....... 36
BAB V BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA ........................................ 38A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi ................................................. 38B. Konsep bilangan bulat ................................................................... 38C. Operasi pada bilangan bulat ......................................................... 38
Latihan 5....... 45
BAB VIII PENUTUP ........ 46
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 47
Kunci Jawaban Soal-soal Latihan ............................................................................ 48
7/22/2019 Math Modul
3/50
3
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Kurikulum 2004 atau yang dikenal sebagai kurikulum berbasis kompetensi
mengamanatkan bahwa pembelajaran kepada siswa harus mengacu pada siswa mencapai
kompetensi yang digariskan. Kompetensi merupakan pengetahuan, sikap, dan nilai-nilai yang
dapat ditunjukkan dalam berfikir dan bertindak oleh peserta didik di setiap saat.
Materi bilangan Asli, Cacah, dan Bulat yang disajikan pada tulisan ini dirancang sesuai
dengan tuntutan kurikulum agar siswa mampu mencapai kompetensi dari kenal masalah,
paham masalah, dan trampil memecahkan soal. Untuk maksud tersebut pendekatan
pembelajaran yang dikembangkan khususnya penawaran konsep untuk topik-topik esensial
dimulai dari mengenal masalah, memecahkan masalah secara informal menggunakan
kompetensi yang sudah dicapai sebelumnya, pendekatan formal secara matematis, dan
diakhiri dengan pembinaan ketrampilan.
B. TUJUAN
Modul ini ditulis untuk para peserta Diklat Matematika Sekolah Dasar dengan tujuan setelah
mengikuti diklat ini dapat:
1. Memperoleh pengetahuan secara konkrit materi-materi esensial bilangan asli, cacah, dan
bulat di Sekolah Dasar.
2. Memperoleh alternatif pendekatan pembelajaran yang tepat termasuk alat peraga dan
media pembelajaran yang diperlukan.
3. Memperoleh wawasan keilmuan mengenai materi metode dan strategi pembelajaran
bilangan asli, cacah, dan bulat di Sekolah Dasar
4. Menerapkan pengetahuan dan ketrampilan yang dimiliki kepada siswa di sekolahnya.
5. Mengimbaskan pengetahuan yang diperolehnya kepada rekan seprofesi.
C. SASARAN
Sasaran pengguna modul ini adalah guru SD peserta diklat pasca Uji Kompetensi Awal(UKA)
D. RUANG LINGKUP
Pokok-pokok materi yang dibahas melalui modul ini meliputi:
1. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan pembagian
2. KPK dan FPB
3. Bilangan kuadrat, kubik, dan penarikan akarnya
4. Bilangan Bulat dan operasinya.
7/22/2019 Math Modul
4/50
4
BAB II
KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, DAN PEMBAGIAN
A. PENGANTAR
Menurut Psikologi Bruner (Bruner, 1967: 124) pembelajaran akan lebih bermakna dan
lebih cepat mencapai tujuan jika dimulai dari tahapan konkret (enactive) yakni menggunakan
obyek sesungguhnya, kemudian semi konkret (econic) yakni obyeknya diganti gambar, dan
terakhir abstrak (symbolic) yakni sajiannya hanya dalam bentuk lambang/simbol yang hanya
berupa huruf-huruf saja atau angka-angka saja. Menurut Bruner jika siswa mengalami
pembelajaran matematika untuk setiap topiknya dengan perlakuan seperti ketiga tahapan
tersebut, maka siswa akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melampaui apa
yang pernah mereka terima dari gurunya.
Sajian Diklat untuk materi Bilangan Asli, Cacah, dan Bulat (ACB) ini dirancang mulai
dari tahapan kedua yakni semi konkret(econic) dan kemudian abstraknya/bentuk symbolicnya
yang hanya berupa huruf-huruf saja dan angka-angka saja. Tahapan kongkritnya langsung
diperagakan saat tatap muka. Harapannya peserta Diklat dapat membayangkan tingkat
kesuksesannya jika hal itu diterapkan di lapangan/sekolah masing-masing.
B. TUJUAN PEMBELAJARAN
Peserta diklat dapat memperagakan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagianyang mampu dicerna peserta didik kelas rendah sebagai bekal untuk mengembangkan
pengetahuan dan kompetensinya di kelas-kelas berikutnya hingga jenjang yang lebih tinggi.
C. KOMPETENSIPeserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan asli, cacah, bulat
dan operasinya.
D. STRATEGI BELAJAR
Fasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan
pada modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikanpendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain.
E. MEDIA BELAJAR
Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan).
F.KONSEP PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
1. Penjumlahan
Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III) pengertian/konsep yang dapat
diterima dengan jelas adalahpenjumlahansama dengan penggabungan 2 kumpulan benda
7/22/2019 Math Modul
5/50
5
menjadi 1 kumpulan benda (Marsudi Raharjo, 2007: Laporan Hasil Praktek Konsultansi di
SD Ngijon 1, Seyegan Sleman 2004 s.d 2007). Dari peragaan melalui beberapa gambar
siswa kelas rendah dapat melihat suatu pola/kecenderungan tertentu sehingga dapatmenyimpulkan sendiri di alam pikirannya bahwa ditambah = digabung dan akibat dari
ditambah adalah hasilnya akan menjadi lebih banyak.
Tahap kongkret/enactivepada penjumlahan.
Contoh : 3 + 5 = ...
Misalnya kita menggunakan tutup botol sebagai alat peraga.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Tunjukkan ada 1 kelompok isinya 3 tutup botol
2.
Tunjukkan lagi ada 1 kelompok lainnya yang berisi 5 tutup botol3. Tanyakan ke siswa jika kedua kelompok itu digabung hasilnya ada berapa tutup
botol? Ayo coba berapa hasilnya?
4. Tanyakan ke siswa siapa yang dapat menunjukkan bagaimana cara menggabungkan
keduanya (kedua kelompok itu)
5. Ajak siswa lainya mengamati bentuk gabungannya.
6. Guru: Mengucapkan sambil menuliskannya di papan tulis bahwa 3 ditambah dengan
5 hasilnya sama dengan 8 artinya bentuk yang kita tulis 3 + 5 = 8.
7. Guru: memberikan 2 atau 3 soal sejenis lagi dengan kata kunci digabung sehingga
secara kongkret sebanyak 3 hingga 4 contoh soal tersebut sudah cukup representatif
dalam memberikan gambaran kepada siswa secara kongkret arti penjumlahan.
Tahap semi kongkret/econic pada penjumlahan diawali dengan soal cerita yang kemudian
disajikan dalam bentuk gambar.
Contoh
Gambar berikut berasal dari soal cerita yang berbunyi :
1. ayam Ali 4 ekor 2. Cahya memetik jambu ... buah
ayam Budi 2 ekor memetik lagi ... buah
ayam Ali digabung dengan ayam Budi berapa jambu Cahya sekarang?
berapa Ayam mereka sekarang?.
Soal seperti di atas bagi siswa SD kelas I jelas sulit untuk dipahami karena ada 4 kalimat.
Akan sangat lain keadaannya jika sajian soal cerita itu diujudkan dalam bentuk gambar
yang sajian medianya dalam bentuk Lembar Kerja Siswa (LKS). LKS adalah media
pembelajaran tertulis yang memuat ciri-ciri konsep, sementara Lembar Tugas Siswa (LTS)
adalah media pembelajaran tertulis yang sudah tidak memuat lagi ciri-ciri konsep. Ciri-ciri
konsep sudah diperoleh siswa saat kegiatan kongkret (enactive) dan semi kongkret(econic)
(Elly Estiningsih:1994, 17). Soal nomor 2 bahkan banyaknya jambu tidak diketahui, namun
7/22/2019 Math Modul
6/50
6
karena sajiannya dalam bentuk gambar siswa ternyata tetap dapat menyelesaikan soal yang
dimaksud. Berikut adalah contoh bentuk LKS yang dimaksud.
Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 10 nomor dengan aneka macam kata
kunci (Modul Bermutu 2009: Soal Cerita Penjumlahan dan Pengurangan halaman 17 19
dan lampiran halaman 67 68) hasilnya 68 % siswa kelas I (yang baru masuk sekolah 2
bulan) mendapat nilai maksimal 10; 27 % mendapat nilai 9; dan hanya 5 % saja yang
mendapat nilai 5 asal LKS yang setiap nomor memuat gambar-gambar diberikan pada
setiap siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya.
Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya
hanya berupa kalimat tanpa gambar. Kalimat-kalimatnya hanya ditulis dalam bentuk huruf-
huruf dan angka-angka saja, dan Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswadan kalimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya cukup fantastis persentase siswa
yang mendapat nilai 10 bertambah menjadi 77 % siswa mendapat nilai maksimal 10.
Sisanya 9 % siswa mendapat nilai 8; dan 4,5 % siswa masing-masing mendapat nilai 9, 7,
dan 6 dengan tak seorang siswapun mendapat nilai di bawah 5.
2. Pengurangan
Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III),pengertian dari pengurangan yang
dapat mereka terima dengan baik secara kongkret/enactive melalui peragaan adalah
ayam Ali
digabungdengan
berapa
1
ayam mereka sekarang?ayam Budi
+ = 4
2
Cahya memetik jambu jambu Cahya sekarang
berapamemetiklagi
+ =
7/22/2019 Math Modul
7/50
7
pengambilan sebagian dari sejumlah obyek (Marsudi Raharjo, 2009: Modul Bermutu
Pembelajaran Operasi hitung Perkalian dan Pembagian Bilangan Cacah di SD). Dalam
bentuk kegiatan bermain peran kata-kata kunci yang nyaman digunakan adalah : diminta,dipinjam, dan diberikan kepada. Hasil pengurangannya adalah sisa obyek yang tidak
terambil. Sehingga dalam bentuk gambar (semi kongkret/enactive) sisa yang diperagakan
harus memperlihatkan bahwa bekas dari obyek terkena proses pengambilan adalah kosong.
Agar makna pengurangan ini cepat ditangkap siswa, sajian soal ceritanya seperti yang
digambarkan pada LKS berikut ini.
Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 10 nomor soal dengan aneka macam
kata kunci (Marsudi Raharjo, 2009: 17 19 dan 67 68) hasilnya 41% siswa kelas I (yang
baru masuk sekolah 2 bulan) mendapat nilai maksimal 10, sementara siswa lainnya 29 %
siswa mendapat nilai 9; 6 % siswa mendapat nilai 8; 11,8 % siswa mendapat nilai 7; dan 6
% siswa mendapat nilai 6. Syaratnya tentu saja asal lembar kerjanya diberikan pada setiap
siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya.
Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya
hanya berupa kalimat tanpa gambar hanya ditulis dalam bentuk huruf-huruf dan angka-
angka saja, asal Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswa dan kalimat-
kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya juga cukup fantastis ternyata 17 dari 22 siswa
(41 %) mendapat nilai maksimal 10; 35 % mendapat nilai 9; 6 % mendapat nilai 7; dan
12% mendapat nilai 6 dengan tak satupun siswa memperoleh skor di bawah 6.
di piring ada jambujambu yang masih
ada di piring
=
berapa
diambil
1
2
dijual
Budi punya kambing kambing Budi sekarang
berapa
=
7/22/2019 Math Modul
8/50
8
G.PERKALIAN DAN PEMBAGIAN
1. Perkalian
Untuk perkalian, pengalaman dengan anak sendiri yang sedang duduk di SD kelas II tahunajaran 2007/2008 anak lebih cepat menghapal perkalian dasar bila teknik yang kita gunakan
bersifat kontekstual. Contohnya antara lain adalah:
Perkalian dengan 1 obyek kontekstualnya kepala 1 orang = 1 kepala
Perkalian dengan 2 obyek kontekstualnya sepeda 1 sepeda motor = 2 roda
Perkalian dengan 3 obyek kontekstualnya becak 1 becak = 3 roda
Perkalian dengan 4 obyek kontekstualnya kambing 1 kambing = 4 kaki
Perkalian dengan 5 obyek kontekstualnya tangan 1 tangan = 5 jari
Perkalian dengan 6 obyek kontekstualnya daun singkong
1 daun singkong = 5 jariPerkalian dengan 7 obyek kontekstualnya minggu 1 minggu = 7 hari
Perkalian dengan 8 obyek kontekstualnya windu 1 windu = 8 tahun.
Ada penjelasan dari fasilitator (atau gambar) bahwa,
Kepala orang ada 1 ....
Roda sepeda ada 2 ....
Roda becak ada 3 ....
Kaki Kambing ada 4 ....
Jari tangan orang ada 5 ....
Daun singkong ada 6 ....
Satu minggu ada 7 ....
Satu windu ada 8 ....
Setelah obyek kontekstualnya dikenalkan langsung ditindak lanjuti dengan bentuk perkalian
yang bersesuaian. Sebagai contoh misalnya untuk perkalian dengan bilangan 4, anak kita beri
pertanyaan:
1 kambing kakinya berapa? dijawab 4
2 kambing kakinya berapa? dijawab 8
3 kambing kakinya berapa? dijawab 12
4 kambing kakinya berapa? dijawab 16
5 kambing kakinya berapa? dijawab 20, dan seterusnya hingga 10 kambing
10 kambing kakinya berapa? dijawab 40.
Kita sebagai guru mengusahakan agar pertanyaan di atas diulang-ulang hingga 3 kali. Jika
ingin siswa lebih cepat hapal, guru menuliskan di papan tulis dan siswa diminta mencatatnya.
1kambing kakinya = 4 1 4 = 42kambing kakinya = 8 2 4 = 83kambing kakinya = 12 3 4 = 12
7/22/2019 Math Modul
9/50
9
4kambing kakinya = 16 4 4 = 165kambing kakinya = 20 5 4 = 206kambing kakinya = 24 6 4 = 247kambing kakinya = 28 7 4 = 288kambing kakinya = 32 8 4 = 329kambing kakinya = 36 9 4 = 3610kambing kakinya = 40 10 4 = 40.
Teknik seperti di atas berlaku untuk perkalian-perkalian dasar lainnya. Jika susah mencari
obyek kontekstualnya misal perkalian dengan 6, 8, dan 9 langsung ditulis bentuk perkaliannya
saja kemudian siswa diminta untuk menghapalkan.
Pembagian panjang bersifat lanjut, jadi sudah bukan merupakan pembagian dasar lagi.
Pembagian panjang adalah pembagian yang tak dapat diperoleh langsung dari hafalan perkalian
dua bilangan 1 angka.
2.Pembagian
2.1 Pembagian Dasar
Untuk pembagian dasar (pembagian yang terkait dengan perkalian 2 bilangan 1 angka),
strategi pembelajaran pertama yang diberikan adalah seperti berikut. Disediakan 6 buah sedotan
minuman. Siswa diminta membagi 6 buah sedotan itu rata/sama banyak kepada 2 orang teman
sekelasnya. Mereka bebas membaginya dengan cara masing-masing.
Dari pengalaman, siswa dapat melakukan pembagiannya dalam 3 (tiga) cara, yakni
Cara 1:
Langsung dibagikan kepada 2 orang temannya sama rata masing-masing sebanyak 3 buah
sedotan. Guru menanyakan ke semua siswa masing-masing teman menerima berapa?, dijawab
3 (tiga). Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi
rata pada 2 orang hasilnya sama dengan 3, ditulis
6 : 2 = 3.
Cara 2:
Diberikan satu demi satu sampai habis secara bergantian pada 2 orang temannya. Ternyata
masing-masing menerima sebanyak 3 buah sedotan. Guru menegaskan sambil menuliskannya
di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada 2 orang hasilnya sama dengan 3, ditulis
6 : 2 = 3.
Cara 3:
Diberikan terlebih dahulu dua-dua pada 2 orang temannya. Ternyata masih tersisa 2 buah
sedotan. Maka langkah selanjutnya pasti 2 buah sedotan sisanya dibagi rata kepada kedua
orang temannya itu. Akhirnya tampak bahwa masing-masing teman mendapat 3 buah sedotan.
Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada 2
orang hasilnya sama dengan 3, ditulis
6 : 2 = 3.
7/22/2019 Math Modul
10/50
10
Catatan
Untuk diketahui bahwa dalam kehidupan sehari-hari ketiga cara di atas semua benar, tetapisecara matematika ketiga cara di atas salah. Secara matematika aturan pembagian yang benar
untuk 6 : 2 = ... adalah karena dibagi rata pada 2 orang, maka setiap kali mengambil sebanyak
2 sedotan. Kedua sedotan pada setiap kali mengambil itu kemudian dibagi rata (sama banyak)
kepada kedua orang penerima hingga pengambilannya habis. Hasil baginya adalah sejumlah
sedotan yang diterima oleh kedua orang penerima. Berikut adalah contoh peragaannya jika 6
buah bolpoin dibagi rata (sama banyak) kepada 2 orang yaitu Ali dan Budi.
Perhatikan bahwa semula (sebelum dibagi rata/sama banyak kepada Ali dan Budi) terdapat
kumpulan bolpoin sebanyak 6 buah. Pengambilan ke-1 (pertama) sebanyak 2 buah kemudian
dibagi rata pada Ali dan Budi masing-masing akan menerima 1 buah. Pengambilan ke-2
sebanyak 2 buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima 2 buah dan pengambilanke-3 sebanyak 2 buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima 3 buah. Ternyata
hingga pengambilan terakhir (ke-3) dan kemudian dibagi rata, masing-masing penerima (Ali
dan Budi) akan menerima bolpoin sebanyak 3. Hal itu berarti bahwa
6 : 2 = 3.
Catatan
1. Secara formal matematika pembagian 6 : 2 = ... yang didefinisikan adalah ada berapa kali
pengambilan dua-dua (2 an) sampai habis pada bilangan 6? Jawabanya adalah 3.
Hasil akhir = 3.Maka 6 : 2 = 3.
Ali Budi Ali Budi Ali Budi Ali Budi
Pengambilan ISemula Pengambilan II Pengambilan III
7/22/2019 Math Modul
11/50
11
Karena ada 3 kali pengambilan 2 an sampai habis pada bilangan 6, maka berarti
6 : 2 = 3.
2. Definisi selengkapnya untuk pembagian a : b = c adalah a : b = c a = b c .Sehingga pengertian 6 : 2 = ... artinya adalah ada berapa kali pengambilan sebanyak 2an
pada bilangan 6 tanpa tampak adanya proses membagi sama sekali tidak dapat diterima
oleh siswa SD kelas II semester 2.
3. Setelah aturan (definisi) pembagian pada catatan nomor 2 di atas diganti dengan nomor 1
ternyata dapat diterima/dipahami oleh mayoritas siswa di kelas II/2 SD Ngijon 1, Seyegan,
Sleman, D.I Yogyakarta. Itulah alasannya mengapa definisi pembagian yang seharusnya
seperti nomor 2 diganti menjadi definisi pembagian seperti nomor 1 dengan tanpa
mengubah makna definisi pembagian yang seharusnya seperti nomor 2.
2.1 Pembagian Lanjut
Pembagian lanjut (pembagian panjang dengan cara bersusun) ialah pembagian yang tidak
berhubungan langsung dengan perkalian dasar (perkalian 2 bilangan 1 angka.). Untuk
pembagian panjang lambang yang umum digunakan adalah . Bilangan yang dibagi
diletakkan di dalam tanda itu, bilangan pembaginya diletakkan disebelah kirinya, dan bilangan
hasil baginya diletakkan di bagian atasnya. Sebagai contoh misalnya kita akan mencari hasil
bagi dari 72 : 3 = , kita tulis 3 7 2 . Berikut adalah langkah-langkah peragaan dan proses
penulisannya (peragaan dan proses penulisan harus seiring). Pembagian dimulai dari bagian
yang terbesar. Misalnya kalau bilangan yang dibagi berupa bilangan ratusan, maka yang dibagi
dimulai dari bagian ratusan, sesudah itu baru bagian puluhan danterakhir bagian satuan.Jika
yang dibagi bilangan puluhan, maka yang dibagi mulai dari bagian puluhan barulah bagian
satuannya.
7/22/2019 Math Modul
12/50
12
Contoh: Tentukan hasil pembagian 72 : 3 =
Proses peragaan dan penulisannya adalah seperti berikut.
72 : 3 artinya ada satu kelompok isinya 72 dibagirata pada 3 kotak, masing-masing kotak mendapatberapa?
Karena dibagi 3 maka yang 7 puluhan kita ambiltiga-tiga dengan setiap kali pengam-bilan tigaandibagi rata ke seluruh kelompok
Terakhir sisanya 1 puluhan dan 2 satuan. Sisa 1puluhan itu dapat dibagi 3 jika ikatan puluhannyadilepas sehingga menjadi satuan.
2.
No Proses Peragaan Proses Penulisan
1.
. . .3 7 2
Ikatan puluhan iniharus dilepassehingga menjadisatuan
2 . .3 7 2
yg terbagi 6
sisa 1
7/22/2019 Math Modul
13/50
13
Setelah yang puluhan dilepas ikatannya akan menjadisatuan. Gabungkan dengan satuan sebelumnyasehingga semuanya menjadi 12, ambil tiga-tiga danbagi rata ke masing-masing anggota kelompok sampaihabis.
No Proses Peragaan Proses Penulisan
2 . .3 7 2
yg terbagi 6
sisa 1 2
3.
7/22/2019 Math Modul
14/50
14
Dengan peragaan tersebut, kerangka berpikir dalam pengoperasionalnya adalah sebagaiberikut.
Langkah 172 dibagi 3, kita mulai dari kumpulan yang besar yaitupuluhan.
Puluhannya ada 7 dibagi pada 3 orang, maka hasilbaginya 2 ikat puluhan dan sisanya 1 ikat puluhan
Kita tulis hasil baginya 2 ikat di tempat hasil bagipuluhan, dan sisanya 1 ikat puluhan diletakkan lurusdengan puluhan.
Langkah 2Karena puluhan yang dibagi sebanyak 7 dan sisapembagiannya 1, berapa ikat puluhan yang terbagi?
Jawabannya tentu yang terbagi = 6 ikat puluhan, dan kitatulis 6 di tempatnya yang lurus dengan tempat puluhan.
Hingga langkah ini berarti urusan dengan puluhanselesai.
Langkah 3
No Proses Peragaan Proses Penulisan
2 43 7 2
yg terbagi 6
sisa 1 2yg terbagi 1 2
sisa akhir 0Artinya :
72 : 3 = 24.
4.
Sat
7 23
Pul
2
Sisa
yg terbagi
1
Pembagi Bil yg dibagi
Sat
7 23
Pul
2 Hasil bagi
Sat
7 23
Pul
2
Sisa
yg terbagi
1
6
Urusandg pul
Sat
7 23
Pul
2
7/22/2019 Math Modul
15/50
15
Urusan kita berikutnya adalah dengan satuan.Puluhan yang tersisa 1 ikat itu kita jadikan satuan,bagaimana caranya?
Caranya tentu kita lepas 1 ikat puluhan sisa itu, setelahdilepas menjadi berapa satuan?
Jawabannya tentu menjadi 10 satuan + satuan yang sudahada sebelumnya hingga satuan seluruhnya ada 12.Selanjutnya kita tulis 12 itu pada baris berikutnya.
Langkah 4
Ternyata satuan 12 itu sama dengan kalau kitamenurunkan bilangan 2 dari atas.
Nah selanjutnya satuan sebanyak 12 ini kita bagi pada 3orang. Masing-masing orang mendapat berapa dansisanya berapa?
Langkah 5
Jawabannya pertanyaan tadi tentu masing-masing orangmendapat 4 satuan (letakkan di kolom satuan pada hasilbagi) dan sisanya nol.
Karena sisanya 0 (nol), berarti yang terbagi adalahsemuanya, yaitu semua dari 12 satuan.
Jadi 72 : 3 = 24.
Contoh 2Diskripsikan penggunaan alat peraga pada pembagian bilangan 504 dibagi kepada 12 orang.Berapakah hasil baginya?
Jawab
Sat
7 23
Pul
2
1Sisa
6yg terbagi
1 2
Sat
7 23
Pul
2 4
1
6yg terbagi
1 2
Sisa 0
1 2
Urusandg pul
Urusandg sat
Sisa
yg terbagi
7/22/2019 Math Modul
16/50
16
Langkah 1
Urusan pembagian kita urut dari yang terbesar yaitupertama dari ratusan, kedua baru puluhan, dan terakhirsatuan.
Ratusannya 5 dibagi pada 12 orang, maka hasil baginya 0,sisanya 5, sehingga yang terbagi sebanyak 0 ikat ratusan.Kita tulis 0 di hasil bagi ratusan,
5 di sisa ratusan, dan0 di tempat yang terbagi.
Dengan demikian hingga langkah ini urusan pembagiankita dengan ratusan selesai.
Langkah 2
Urusan pembagian kita selanjutnya adalah dengan ikatanpuluhan. Untuk itu sisa ikatan ratusan seba-nyak 5 kitajadikan puluhan dengan cara melepas ikatannya.
Ada berapa ikat puluhan setelah ikatan ratusannyadilepas? Jawabnya tentu menjadi 50 ikat puluhan.
Jika ikatan puluhan sebanyak 50 itu kita tambah denganpuluhan yang sudah ada sebelumnya (yakni nol puluhan)
maka semuanya tetap 50 puluhan.Sama dengan kalau 0 nya diturunkan.
Langkah 3
Urusan kita sekarang pada ikatan puluhan.
Ikatan puluhan sebanyak 50 itu jika kita bagi rata pada 12orang, maka masing-masing orang akan mendapat 4 ikat,sisanya 2 ikat sehingga yang terbagi ada 48 ikat(puluhan).Hingga langkah ini urusan pembagian kita pada puluhanselesai.
5 0 4
RatPul
Sat
0 4
Sisa
yg terbagi 0
5 0 (ikat pul)
4 8
2 (ikat pul)Sisa
yg terbagi
1 2
RatPul
Sat
0
0
5 0 (ikat pul)
5 0 41 2
Sisa
yg terbagi
5 01 2 4
RatPul
Sat
0
0
5 (ikat ratusan)
Urusandg rat
Sisa
yg terbagi
7/22/2019 Math Modul
17/50
17
Langkah 4
Urusan pembagian kita yang terakhir adalah dengansatuan.
Untuk itu sisa ikatan puluhan sebanyak 2 ikat tadi kitalepas ikatannya sehingga menjadi satuan. Menjadi berapasatuan?. Jawabnya tentu 20 satuan.Dan bagaimana setelah dijadikan satuan kemudian
ditambah dengan satuan yang sudah ada sebelmnya, yaitu4?Jawabnya tentu = 20 sat + 4 sat = 24 satuan, sama dengankalau 4 nya diturunkan.
Langkah 5
Satuan sebanyak 24 ini kemudian kita bagi rata pada 12orang. Ternyata hasil banginya 2, dan sisanya 0. Berartiyang terbagi semuanya yakni 24.Kita tulis 2 di tempat hasil bagi (atas)0 sisanya (di sisa tempat terbawah)24 di tempat yang terbagi.Hasil baginya tertulis 042 = 42.
Jadi 504 : 12 = 42.
Latihan 1
1. Tentukan bilangan pada titik-titik isian di bawah ini1) 32 : 4 = 5) : 8 = 3 9) 35 : = 72) 36 : 9 = 6) : 5 = 6 10) 30 : = 53) 45 : 5 = 7) : 7 = 4 11) 27 : = 94) 40 : 8 = 8) : 9 = 3 12) 24 : = 6.
2.Hitunglah hasil bagi pada masing-masing pembagian berikut dengan teknik susun ke bawah
(ikat sat)
5 0 4
RatPul
Sat
0 4
Sisa
yg terbagi 0
5 0 (ikat pul)
4 8
2Sisa
yg terbagi
4
1 2
5 0 4
RatPul
Sat
0 4 2
0
5 0
4 8
2 4
2 4
0Sisa
yg terbagi
1 2
Sisa
yg terbagi
Urusandg rat
Urusandg pul
Urusandg sat
7/22/2019 Math Modul
18/50
18
1) 528 : 4 = 2) 832 : 4 = 3) 5.838 : 7 = 4) 1.848 : 12 = 5) 2.912 : 14 =
H.OPERASI HITUNG CAMPURAN
Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu macamoperasi dalam suatu perhitungan (Wirasto, 1993: 54). Dalam suatu soal hitungan yangmenjadi prioritas untuk dihitung terlebih dahulu adalah bilangan-bilangan yang ada di dalamtanda kurung. Nah yang menjadi masalah adalah jika dalam soal operasi hitung campuran itutidak ada tanda kurung, bagaimana aturan perhitungannya?. Untuk meng-hindari kesimpangsiuran dalam penafsiran khususnya kalau dalam soal itu tidak ada tanda kurungnya, secara
internasional (dibuktikan menggunakan kalkulator bertanda Scientific) diberikan definisi(kesepakatan) sebagai berikut.
1. Tambah dan kurang sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu).2. Kali dan bagi sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu).3. Kali dan bagi lebih kuat dari tambah dan kurang.
Contoh
Hitunglah 48 : 3 2 + 24 4 : 2 5 =
Jawab
Berdasarkan aturan operasi hitung campuran di atas dan teknik penulisan yang nyaman untuk
difahami siswa, teknik penulisan dan pengerjaannya adalah seperti berikut.
Ruas kiri = 48 : 3 2 + 24 4 : 2 5
= 16 2 + 96 : 2 5
= 32 + 48 5
= 80 5
= 75.
Latihan 2
Hitunglah!
1. 5 4 : 2 + 12 : 2 3 =
2. 7 4 : 2 + 18 : 3 2 =
3. 24 : 2 3 2 3 : 2 =
4. 45 : 5 3 6 3 : 2 + 10 =
5. 7 4 : 2 + 18 : 2 3 6 =
BAB III
7/22/2019 Math Modul
19/50
19
PEMBELAJARAN KPK DAN FPB
DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
Peserta diklat dapat memberikan contoh pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dimulai dari pendekatan kontekstual, formal, pembinaan
ketrampilan, dan mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah
B. KOMPETENSI
Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil
(KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 2 (dua) atau 3(tiga) bilangan.
C.
STRATEGI BELAJARFasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan pada
modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikan
pendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain.
D. MEDIA BELAJAR
Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan).
E. PEMBELAJARAN KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
1.Pendekatan kontekstual untuk KPK.a. Soal tentang lampu kedip
Misalkan terdapat sebuah lampu berwarna merah dan sebuah lampu lagi berwarna kuning.
Lampu merah berkedip setiap 2 detik sedangkan lampu kuning berkedip setiap 3 detik.
Jika kedua lampu dinyalakan bersama-sama
1) pada detik ke berapa saja kedua lampu berkedip secara bersamaan.
2) pada detik ke berapa kedua lampu untuk pertama kalinya berkedip bersama.
b. Fasilitas yang perlu disiapkan guru
Fasilitas yang perlu disiapkan berupa lembar kerja (LK) dalam bentuk tabel seperti berikut
Lampu Berkedip pada detik ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Merah
Kuning
c. Aktifitas siswa.
Bekerja kelompok mengisi LK tersebut dengan tanda-tanda centang () pada kolom-
kolom yang disediakan.
Hasil kerja kelompok yang diharapkan adalah:
7/22/2019 Math Modul
20/50
20
Lampu Berkedip pada detik ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Merah
Kuning
Dari tabel dapat dilihat bahwa
1) kedua lampu akan berkedip bersama-sama pada detik ke 6, 12, 18, dan seterusnya.
2) kedua bola lampu berkedip bersama pertama kalinya pada detik ke-6.
Maka KPK dari 2 dan 3 hasilnya = 6. Ditulis KPK(2,3) = 6.
d. Peran guru sebagai fasilitator.
Menyiapkan soal, menyiapkan LK, mengawasi kerja kelompok, memberikan
klarifikasi/kejelasan tentang jawaban mana yang benar/paling benar.
2.KPK secara matematis (oleh guru).Soal:
Berapakah kelipatan persekutuan dari bilangan 2 dan 3?Berapakah kelipatan persekutuan yang terkecil (KPK) dari bilangan 2 dan 3?
Jawab:
Kelipatan 2 2, 4, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24 ,
Kelipatan 3 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 , 27,
Kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 adalah6, 12, 18, 24,
terkecilMaka KPK (2, 3) = 6.
3.Pemberian soal-soal lain untuk KPK (oleh guru).Soal:
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan berikut
a. 4 dan 6
b. 10 dan 15
c. 15 dan 20
d. 5 dan 10
e. 25 dan 50
Jawaban yang diharapkan adalah:
a. kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48,
sehingga KPK (4, 6) = 12.
b. kelipatan persekutuan dari 10 dan 15 adalah 30, 60, 90,
7/22/2019 Math Modul
21/50
7/22/2019 Math Modul
22/50
22
a. Soal tentang membagi sama banyak kepada beberapa orang
Misalkan ada 12 jambu dan 18 rambutan. Jambu dan rambutan sebanyak itu akan dibagi
rata (sama banyak) kepada beberapa orang.
Pertanyaan:
1) Yang memungkinkan jambu dan rambutan itu dapat dibagi sama banyak kepada berapa
orang?
(1 orang, 2 orang, 3 orang, 4 orang, 5 orang, 6 orang, dan lain-lain).
2) Dari hasil-hasil penyelidikan tersebut, paling banyak kepada berapa orang jambu dan
rambutan itu dapat dibagi secara merata (sama banyak).
3) Adakah cara yang paling singkat untuk memperoleh jawaban yang ditanyakan pada
pertanyaan b?
b. Fasilitas yang pelru disiapkan.
Untuk siswa setiap kelompok harus menyediakan kerikil-kerikil sesuai dengan warna
dan jumlah yang dimaksud, sedangkan guru mempersiapkan LK berupa isian tentang
kemungkinan-kemungkinan tentang kedua kelompok kerikil itu dapat dibagi sama
banyak kepada 2 orang, 3 orang, 4 orang, 6 orang dan 8 orang seperi berikut.
2 orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orangjambu ramb Jambu ramb jambu ramb
AB
ABC
ABCD
6 orang 8 orangjambu rambutan Jambu rambutan
ABC
DEF
ABC
DEFGH
Ada sisa/tidakAda sisa/tidak Ada sisa/tidak
Ada sisa/tidakAda sisa/tidak
7/22/2019 Math Modul
23/50
23
c. Bentuk kegiatanSiswa secara berkelompok mengerjakan lembar kerja, guru mengawasi kegiatan siswa
dan terakhir memberikan klarifikasi tentang jawaban yang benar. Jawaban yang
diharapkan.
2 orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orangJambu
12Ramb
18Jamb
12Ramb
18Jamb
12Ramb
18AB
66
99
ABC
444
666
ABCD
3333
4444
6 orang 8 orangjamb
12ramb
18jamb
12ramb
18ABCDE
F
22222
2
33333
3
ABCDE
FGH
11111
111
22222
222
sisa sisa 4 sisa 2
Kesimpulan:
Maksimal 12 jambu dan 18 rambutan dapat dibagi rata (sama banyak) pada 6 orang.
Maka FPB(12,18) = 6.
Guru kemudian menanyakan, adakah cara yang lebih cepat untuk memperoleh jawabantersebut, yakni jambu dan rambutan itu dapat dibagi rata (sama banyak) kepada maksimal
6 orang?
Jawabannya: Ada (oleh guru)
Yaitu FPB (12, 18) = 6, barulah membahas FPB secara matematika.
2.Pembahasan FPB secara matematika.FPB (12, 18) = ?
Tanpa sisajadi habis dibagi rata
pada 6 orang
Rambutan sisa 2
jadi tak habis dibagirata pada 4 orang
Ada sisa, jadi tidakmungkin dibagi 8
orang.
Tanpa sisa
jadi habis dibagi ratapada 2 orang
Tanpa sisa
jadi habis dibagi ratapada 3 orang
7/22/2019 Math Modul
24/50
24
Jawab:
12 18
1 122 63 4
1 182 93 6
Sesudah itu guru dapat memberikan soal-soal lainnya untuk dapat dikerjakan dengan cara
yang sama. Siswa boleh bekerja sama dalam memecahkan masalah tersebut.
Contoh:
Paling banyak (maksimal) dapat dibagi sama banyak kepada berapa orang sekumpulan
benda-benda berikut.
a. 30 kelereng merah dan 20 kelereng putih.
b. 40 bola merah dan 60 bola putih.
c. jeruk 12 buah, duku 16 buah dan rambutan 20 buah.
d. telur puyuh 40 buah, telur ayam 30 buah, telur bebek 20 buah.
Jawaban akhir yang diharapkan adalah
a. FPB (30, 20) = 10, maka maksimal kelereng-kelereng itu dapat dibagikansama banyak kepada 10 orang.
b. FPB (40, 60) = 20, maka maksimal bola-bola itu dapat dibagikan samabanyak kepada 20 orang.
c. FPB (12, 16, 20) = 40, maka maksimal jeruk, duku, dan rambutan itu dapat
dibagikan sama banyak kepada 4 orang.d. FPB (40, 30, 20) = 10, maka maksimal telur-telur itu dapat dibagikan sama
banyak kepada 10 orang.
3.Cara cepat menentukan FPB (oleh guru).Dari contoh-contoh yang telah dipelajari, siswa diajak mengamati hasilnya, ternyata nilai
FPB yang dimaksud adalah
FPB = bilangan terbesar yang dapat membagi habis
bilangan-bilangan itu.
Dari data akan dipeorlehFaktor dari 12 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 12
Faktor dari 18 1 , 2 , 3 , 6 , 9, 18
Faktor persekutuan dari 12 dan 18ialah 1 , 2 , 3 , 6
terbesar
Maka FPB (12, 18) = 6Sehingga 12 jambu dan 18 rambutan itu dapat
dibagi sama banyak maksimal pada 6 orang.
7/22/2019 Math Modul
25/50
25
Contoh:Tentukan FPB (12, 18) =
Jawab:3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 12
3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 18.
Tetapi FPB (12, 18) 3 sebab masih ada
bilangan lain yang lebih dari 3 yang
dapat membagi habis 12 dan 18.
Bilangan itu adalah 6. Maka
FPB (12, 18) = 6.
Catatan
Cara mencongak hanya tepat dilakukan untuk bilangan-bilangan yang mudah dibayangkan.
4.Pembinaan keterampilan menentukan FPB.Kaidah yang digunakan untuk membina keterampilan, yakni menentukan FPB dari 2bilangan atau lebih secara mencongak adalah seperti pada langkah 3. Guru kemudian
memilih dan mempersiapkan bilangan-bilangan yang mudah dicongak dalam mencariFPB. Bilangan-bilangan itu misalnya:
Tentukan FPB dari
a. 20 dan 30
b. 20 dan 40
c. 25 dan 50
d. 50 dan 75
e. 100 dan 150 dan lain-lain.
Jawaban yang diharapkan secara cepat (mencongak) adalah
a. FPB (20, 30) = 10
b. FPB (20, 40) = 20
c. FPB (25, 50) = 25
d. FPB (50, 75) = 25
e.
FPB (100, 150) = 505.Menentukan KPK dan FPB dengan faktorisasi prima
Faktorisasi prima digunakan untuk menyelesaikan permasalahan mencari KPK dan
FPB dari bilangan-bilangan yang sulit dibayangkan/diangankan. Teknik menentukan KPK
dan FPB dengan faktorisasi prima dilakukan dengan 2 (dua) cara, yaitu
KPK = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar
FPB = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil
KPK = hasil kali faktor prima yang ada maupun tak ada pasangannya
FPB = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya
FPB Secara Mencongak
DicobaFPB (12, 18) = 1 (sukses membagi 12 dan
sukses membagi 18, tapikurang besar)
2 (sukses tapi kurang besar)3 (sukses tapi kurang besar)4 (salah, ada yang tak sukses)5 (salah, keduanya tak sukses)6 (sukses dan yang terbesar)
Maka (12, 18) = 6.
7/22/2019 Math Modul
26/50
26
ContohTentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300 dan 350.
Jawab1. Berdasarkan fakta yang ada (konsep), maka
2.Dengan pemfaktoran primayang dimaksud adalah
Dengan demikian maka dari faktorisasi prima teknik 1, diperoleh
KPK (300,350) = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya dan yang tidak adapasangannya = 223557
= 2.100FPB (300,350) = 255
= 50.
3. Dengan faktorisasi prima teknik 2 KPK dan FPB dua atau beberapa bilangan diperolehdengan cara seperti berikut. Untuk KPK hasilnya sama dengan hasil kali faktor-faktor primagabungannya pangkat yang terbesar. Sementara FPB hasilnya sama dengan hasil kali faktor-
faktor prima sekutunya pangkat yang terkecil.
300 = 22 3 52 300 = 22 3 52
350 = 21 52 7 350 = 21 52 7
KPK (300, 350) = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar.
300
150
75
5
25
5
3
2
2
350
175
35
75
5
2yang ada pasangannya
yang ada dan tak ada pasangannya
300 = 2 2 3 5 5 = 2 35
350 = 2 5 5 7 = 2527
FPB(300,350) = ... Secara mencongak,Dicoba
FPB(300,350) 10 (kurang besar)20 (salah)sebab 20 suksesmembagi 300 tetapi
tidak sukses membagi35025 (kurang besar)50 (tepat)
Maka FPB(300,350) = 50.
Kelipatan 1 300 3502 600 7003 900 10504 1200 14005 1500 1750
6 1800 21007 2100 KPK = 2100
21 52FPB = 22 3 5
2 7 KPK =
7/22/2019 Math Modul
27/50
7/22/2019 Math Modul
28/50
28
b. Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana untuk pecahan96
72.
Jawaba. ...
6
1
4
1
3
2
KPK penyebut = KPK (3, 4, 6) = 12.
Maka :
12
7
12
2
12
3
12
8
12
...
12
...
12
...
6
1
4
1
3
2 .
b. Dengan faktorisasi prima
Sehingga .4
3
22
3
322222
33222
96
72
Perhatikan bahwa bagian yang dicoret adalah FPB dari 72 dan 96 yakniFPB (72, 96) = 2 2 2 3 = 24Dengan begitu bila kita sudah mengetahui bahwa FPB (72, 96) = 24 maka untuk
menyederhanakan pecahannya dilakukan dengan cara .4
3
24:96
24:72
96
72
Ada contoh terapan lainnya yang cukup menarik untuk pelajaran matematika SD adalah
terapan KPK dalam perhitungan jarak, waktu, dan kecepatan.
Contoh 2
Ali bersepeda dari kota P ke kota Q dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam berangkat pukul07.00. Satu setengah jam kemudian Budi menyusul Ali menggunakan sepeda motor
dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pada pukul berapa Budi menyusul Ali?
Jawab
Selisih waktu perjalanan antara Ali dan Budi =2
11 jam. Selisih waktu itulah yang nantinya
akan dipakai sebagai dasar perhitungan KPK. Perhatikan bahwa:
Ali 1 jam menempuh jarak 20 km 2
11 jam =
2
11 20 km = 30 km.
72
36
18
3
9
3
2
2
2
72
36
18
3
9
3
2
2
2
72
36
18
3
9
3
2
2
2
96
48
24
3
12
2
2
2
2
62
7/22/2019 Math Modul
29/50
29
Budi 1 jam menempuh jarak 30 km 2
11 jam =
2
11 30 km = 45 km.
Berdasarkan uraian diatas apabila dibuat diagram, pengerjaannya sebagai berikut :
Diagram jarak, waktu, dan kecepatan yang digambarkan di atas ternyata cukup dapatmemberikan kejelasan bahwa :a) Budi menyusul Ali tepatnya pada km 90 = KPK (30, 45)
b) Waktu Budi menyusul Ali adalah
Untuk Ali waktu dihitung dari pukul 07.00, yakni
pukul 07.00 + 3 2
1
1 jam = 07.00 + 2
1
4 jam = 11.30
Untuk Budi waktu dihitung dari pukul 08.30, yakni
pukul 08.30 + 2 2
11 jam = 08.30 + 3 jam = 11.30
Contoh 3
Ali bersepeda motor berangkat dari kota P pukul 07.00 menuju kota Q yang berjarak 250
km dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Pada saat yang bersamaan Budi berangkat dari
kota Q menuju kota P dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam.
Pertanyaan
a. Pada km berapa dan pada pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan?b. Jika waktu berangkatnya tidak bersamaan, yaitu Ali berangkat pukul 07.00 sementara
Budi berangkatnya pukul 08.30. Pada km berapa dan pukul berapa Ali dan Budi
berpapasan di jalan?
Jawab :
250 km QP
07.00 07.00BudiAli 40 km/jam 60 km/jam
100 km 150 km
2
12 jm
2
12 jm
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 km
| | | | | | | | | | |
07.00 Ali
08.30 Budi
2
11 jam
2
11 jam
2
11 jam
2
11 jam
2
11 jam
7/22/2019 Math Modul
30/50
30
a. Ali 1 jam menempuh jarak 40 km (dari kiri)
Budi 1 jam menempuh jarak 60 km (dari kanan)
Ali dan Budi 1 jam menempuh jarak 100 km.
Karena jarak yang harus mereka tempuh berdua = 250 km maka waktu tempuhnya =
100
250 jam =
2
12 jam. Itu berarti Ali dan Budi berpapasan di jalan setelah keduanya
melakukan perjalanan selama2
12 jam yakni
pukul 07.00 +2
12 jam = 09.30.
Tempat keduanya berpapasan adalah
Ali = 40jam
km
2
12 jam = 100 km (dari kiri/dari kota P)
Budi = 60jam
km
2
12 jam = 150 km (dari kanan/dari kota Q)
Total = 250 km
b.
Karena waktu berangkatnya tidak sama maka perhitungannya dimulai dari saat
keduanya mulai berjalan, berarti pukul 08.30 yaitu2
11 jam dari Ali mulai bergerak
barulah Budi mulai bergerak.
Dari pukul 08.30
Ali telah menempuh jarak 40 jam
km 2
11 jam = 60 km (tiba di R). Kini jarak yang harus
ditempuh keduanya = 250 km 60 km = 190 km.Karena 1 jam Ali dan Budi menempuh total jarak 100 km maka waktu pertemuannya
dicapai saat keduanya menempuh perjalanan selama100
190jam = 1,9 jam = 1 jam 54
menit.
Waktu keduanya berpapasan adalah
Ali = pukul 07.00 +2
11 jam + 1 jam 54 menit
+
190 km QP
07.00 08.30BudiAli
40 km/j 60 km/j40 km/j
R60 km
08.30
7/22/2019 Math Modul
31/50
31
= 07.00 + 1 jam 30 menit + 1 jam 54 menit= 10.24
Budi = 08.30 + 1 jam 54 menit= 10.24
Jarak keduanya berpapasan adalah
Ali = 60 km + 40jam
km
10
91 jam = (60 + 76) km = 136 km
Budi = 60jam
km
10
91 jam = (60 + 54) km = 114 km
Total = 250 km
Latihan 31. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut
2. Ali berkunjung ke bank sekali dalam 10 hari, Budi sekali dalam 15 hari. Jika sekarang iabertemu di bank itu, dalam berapa hari lagi mereka akan saling bertemu kembali padabank tersebut?
3. Misalkan tersedia cat-cat dalam kemasan kaleng-kaleng kecil. Cat merah 150 kaleng, catputih 120 kaleng dan cat kuning 90 kaleng. Jika cat-cat itu akan dibagi rata (samabanyak) pada para tukang cat, maksimal kepada berapa orang cat-cat itu dapat dibagirata?
4. Ali bersepeda dari kota A ke kota B dengan kecepatan 20 km/jam, berangkat pukul 07.00.satu setengah jam kemudian Budi menyusul berangkat dari tempat yang sama (kota A)dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pukul berapa Budi menyusul Ali?
5. Dodi bersepeda motor dari kota A ke kota B yang berjarak 125 km dengan kecepatan 20
km/jam berangkat pukul 07.00. Pada saat yang bersamaan Eka berangkat dari kota B kekota A denagn kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapakeduanya berpapasan di jalan?
6. Jika untuk soal nomor 2 (jarak kota A ke kota B adalah 125 km) Eka berangkat dari kotaB menuju kota A pukul 07.00 dengan kecepatan rata-rata 30 km/jam. Sementara Dodiberangkatnya dari kota A menuju kota B pada pukul 08.30. Pada km berapa dari kota Adan pada pukul berapa Dodi dan Eka berpapasan di jalan?
+
a. 9 dan 12b. 8 dan 20c. 8 dan 16d. 12 dan 16e. 20 dan 24
f. 10 dan 30g. 20 dan 25h. 40 dan 60i. 50 dan 60j. 80 dan 120
k. 4, 6, dan 9l. 8,10, dan 12m. 40,50, dan 60n. 200,400, dan 600o. 250,300, dan 400.
7/22/2019 Math Modul
32/50
32
BAB IVBILANGAN PERSEGI, BILANGAN KUBIK, DAN PENARIKAN AKAR
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
Peserta diklat dapat menguadratkan suatu bilanagan asli, memangkatkan tiga, menarik akar
kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat tiga suatu bilangan kubik hingga
bilangan 1.000.000.
B. KOMPETENSI
Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran menguadratkan suatu bilanagan
asli, memangkatkan tiga, menarik akar kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat
tiga suatu bilangan kubik hingga bilangan 1.000.000.
C. BILANGAN KUADRAT/PERSEGI (SQUARE NUM BER)Sebagai pendekatan kontekstual, pertama perhatikan pola pada 4 persegi berikut
Perhatikan bahwa panjang sisi dan luas dari masing-masing persegi itu adalah:
Gambar I : Panjang sisi = 1, Luas persegi I = 1Gambar II : Panjang sisi = 2, Luas persegi II = 4Gambar III : Panjang sisi = 3, Luas persegi III = 9
Gambar IV : Panjang sisi = 4, Luas persegi IV = 16.
Selanjutnya bilangan-bilangan 1, 4, 9, 16, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilanganpersegi.Amati bahwa hubungan antara pola persegi dengan luas persegi itu (banyaknya persegisatuan penyusunnya) adalah seperti berikut.
, ,,,
1 4 9 16
. . .
. . .,,,,
Pola
Luas
, A,,
I II III IV
. . .
7/22/2019 Math Modul
33/50
33
Bila bilangan-bilangan persegi tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .
Pola itu dikenal sebagai pola bilangan persegi, dan bilangan yang tertulis disebut 10 bilanganpersegi yang pertama.
Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan persegi berikutnya atau bagaimana
kita dapat menentukan bilangan-bilangan persegi yang lain?Jawabannya adalah pola dari
1, 4 , 9 , 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . . sama dengan
12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, . . .
Sehingga bilangan persegi (square number) juga disebut sebagai bilangan kuadrat yakni
bilangan yang diperoleh dengan menguadratkan suatu bilangan asli.
D. BILANGAN KUBIK (CUBE NUMBER)
Sebagai ilustrasi, perhatikan pola dari 4 kubus dengan 4 macam ukuran seperti berikut .
Jika disediakan sejumlah kubus satuan, maka untuk membentuk kubus yang panjang rusuknnya
1 satuan, 2 satuan, 3 satuan, 4 satuan, dan seterusnya masing-masing akan diperlukan sebanyak
1, 8, 27, dan 64 kubus satuan. Sehingga hubungan antara panjang rusuk dan volum dari masing-
masing kubus itu adalah:
Gambar I : Panjang rusuk = 1 satuan, Volum kubus I = 1 satuan
Gambar II : Panjang rusuk = 2 satuan, Volum kubus II = 8 satuan
Gambar III : Panjang rusuk = 3 satuan, Volum kubus III = 27 satuan
Gambar IV : Panjang rusuk = 4 satuan, Volum kubus IV = 64 satuan.
Selanjutnya 1, 8, 27, 64, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilangan kubik.Dengan
begitu
, , , , . . .
I II III IV , . . .,,,
Bilangan kubik bersesuaian dengan volume kubus yang ukuran
panjang rusuknya bulat.
7/22/2019 Math Modul
34/50
34
Hubungan antara pola kubus dan volum kubus yang ditunjukkannya adalah sebagai berikut:
Bila bilangan-bilangan kubik tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . .
Kesepuluh bilangan yang tertulis di atas disebut 10 bilangan kubik yang pertama.
Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan kubik berikutnya atau bagaimana
kita dapat menentukan bilangan-bilangan kubik lainnya?
Jawabannya adalah pola dari
1 , 8 , 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . . sama dengan13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83 , 93, 103, . . .
sehingga bilangan kubik (cube number) juga disebut sebagai bilangan berpangkat tiga yaitu
bilangan yang diperoleh dengan memangkatkan tiga suatu bilangan asli.
B.TEKNIK MENGUADRATKAN DAN MENARIK AKAR
1. Teknik Menguadratkan Dilanjutkan Menarik Akar KuadratTeknik menguadratkan telah dibahas di bagian depan, teknik menarik akar (akar kuadrat)
pertamakali ditemukan olehCalandra (seorang matematikawan India) pada tahun 1491.
Untuk menarik akar (akar kuadrat ) digunakan teknik seperti berikut.
, ,1 9 16. ..
, . . .
1 8 27 64 . . .,,
,
,,
Pola
Volum
7/22/2019 Math Modul
35/50
35
Contoh 1
2062=
Teknik menarik akar
pisahkan angka-angka dari bilangan yang ditarik akarnya dua angka-dua angkadari satuan (bagian pengelompokan paling kanan)
kerjakan mulai dari angka paling kiri (setelah ada pemisahan)
nyatakan angka paling kiri itu sebagai perkalian dua bilangan yang sama besar,
hasil kali 2 bilangan yang sama itu tidak boleh melebihi bilangan yang dimaksud,
sama adalah yang paling diharapkan.
cari sisa dari bilangan pertama dikurangi dengan hasil kali dua bilangan sama
yang dikalikan itu, kemudian turunkan sekaligus dua angka yang ada di bagian
angka paling kanan angka pertama yang diproses untuk dijadikan sebagai angka
kedua yang akan diproses
jumlahkan dua bilangan sama besar itu untuk disambungkan dengan suatu
bilangan 1 angka yang bila dikalikan dengan bilangan 1 angka yang dimaksud itu,
hasilnya tidak melebihi bilangan pada angka kedua yang diproses
cari sisa dari bilangan pada kelompok angka kedua yang diproses dikurangi
dengan hasil kali yang dimaksud di atas.
200 206 212
6 6
2062 = 200 212 + 62
= (2212)100 + 36
= 42400 + 36
= 42436
206236.24.4
2 2
=
= 4
+
+
4 0 0 =
0
36
24
24
0
40 6 6 24
36
0=Sisa terahir
2 0 6
Maka:
42436 = 206
Teknik menarik akar
7/22/2019 Math Modul
36/50
36
Contoh 2
4252=
Agar anda lebih tertantang cobalah untuk membuat soal sendiri misal 4152 = , carilah
hasilnya dengan teknik seperti yang telah dicontohkan di atas kemudian gunakan teknik
penarikan akar yang dimaksud.
3.2. Teknik Menarik Akar Pangkat Tiga Bilangan Kubik
Berbeda dengan penarikan akar kuadrat, penarikan akar pangkat tiga tidak memiliki teknik
yang bersifat umum seperti halnya penarikan akar pangkat dua (akar kuadrat). Sudah banyak
matematikawan yang berusaha ke arah itu diantaranya adalah matematikawan Italia Gerolamo
Cardano (1501 1576) di tahun 1535. Namun hingga kini belum ditemukan teknik yang
berlaku secara umum.Ada suatu teknik menarik akar pangkat tiga dan teknik itu hanya berlaku efektif untuk
penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik hingga 1.000.000. Teknik yang dilakukan
menggunakan daftar seperti berikut.
400 425 450
25
4252 = 400 450 + 252
= (4451000 + 625
= 180.000 + 625
= 180.625
425
25
25.06.18
4
=
=16
+
+
8 =
2 06
42
1 64
84 5
25
0=Sisa terakhir
4 2 5
Maka:
625.180 = 425
Teknik menarik akar
4
2
25425
2
7/22/2019 Math Modul
37/50
37
Contoh penggunaan tabel
Tentukan akar pangkat tiga dari bilangan kubik 103.823, yakni tentukan 3 823.103 =
Jawab:
Letak bilangan kubik 103.823 adalah 64.000 < 103.823 < 125.000, maka
40 < 3 823.103 < 50 atau 3 823.103 = empat puluh sekian
=Langkah-langkah penyelidikan lebih lanjut adalah
Lihat angka terakhir dari bilangan kubik itu
Angka terakhir dari 103.823 adalah 3
Lihat bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya sama dengan itu
Bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya 3 adalah 343
Lihat akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar yang dimaksud
Berdasar tabel, diperoleh 3 343 = 7.
Maka satuannya = 7, sehingga disimpulkan bahwa
3 823.103 = = 47.
Bilangan KubikDasar
Bilangan KubikRibuan
1233343536373
83
93
10
182764
1252163435127291000
10203303403503603703
803
903
100
1.0008.00027.00064.000125.000216.000343.000512.000729.000
1.000.000
103.823
Puluhannya 4
Satuannya 7
4
7/22/2019 Math Modul
38/50
38
Latihan 4
1. Hitunglah penguadratan berikut secara mencongak dengan cara seperti di atas. Setelah hasil
penguadratan diperoleh tarik akarnya dan periksa hasilnya.a. 142= ... b. 232= c. 462= d. 2072= e. 4252=
2. Tentukan luas masing-masing persegi yang panjang sisinya diketahui seperti berikut
a. b. c. d.
3. Tentukan panjang sisi masing-masing persegi yang luasnya diketahui seperti berikut:
a. b. c. d.
4. Tentukan volume kubus yang panjang rusuk-rusuknya adalaha. 14 cm b. 25 cm c. 45 dm d. 75 dm
e. 8 satuan f. 18 satuan g. 53 satuan h. 65 satuan.
5. Hitunglah akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan kubik
a. 6.859 b. 13.824 c. 32.768 d. 97.336
e. 148.877 f. 592.704 g. 804.357 h. 941.192.
6. Tentukan panjang rusuk kubus yang volumenya
a. 50.653 cm3 b. 140.608 cm3 c. 405.224 cm3 d. 571.787 cm3.
7. Dengan menggunakan cara menguadratkan seperti yang telah dicontohkan sebelumnya,
cobalah untuk menguadratkan bilangan-bilangan berikut kemudian tariklah akarnya
a. 19 b. 26 c. 48 d. 57 e. 65 f. 75
g. 85 h. 88 i.96 j. 108 k. 225 l. 512
8. Dengan menggunakan sifat a2= (a + b)(a b) + b2 , sifat a3= a2a, dan perkalian
menggunakan batang Napier, tentukan (coba tanpa kalkulator) pangkat tiga dari :
a. 16 b. 25 c. 36 d. 49 e. 64 f. 81
Setelah hasil ditemukan cobalah tarik akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan yang Andahasilkan itu.
14 cm
55 m
25 cm
94 m
169 cm2
18.225 cm2784 cm
99.225 cm2
7/22/2019 Math Modul
39/50
39
9.Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah akar pangkat tiga dari masing-masing bilangankubik berikut.
a. 2197 e. 50653 i. 205.379b. 2744 f. 59.319 j. 636.056
c. 4913 g. 79.507 k. 778.688
d. 9261 h. 97.336 l. 941.192.
7/22/2019 Math Modul
40/50
40
BAB V
BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA
A. TUJUAN PEMBELAJARAN
Peserta diklat dapat menuliskan letak suatu bilangan bulat pada suatu garis bilangan jika titik
pangkal 0 dari bilangan bulat itu diketahui dan mencari hasil operasi antara dua bilangan bulat.
B. KOMPETENSI
Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan bulat dan operasinya.
C. BILANGAN BULAT
Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang utuh dalam arti bukan berupa pecahan
(sumber kutipan). Dengan demikian bilangan bulat dapat berupa bilangan positip, nol,maupun bilangan negatip. Bilangan negatip dipandang sebagai lawan dari bilangan positip
demikian pula sebaliknya. Sebagai contoh misalnya lawan dari 5 adalah 5 (baca negatip
lima) sedangkan lawan dari 12 adalah 12, demikian pula untuk yang lainnya.
Dipandang dari wawasan tentang himpunan, himpunan bilangan bulat merupakan perluasan
dari himpunan bilangan cacah. Perluasan yang dimaksud adalah keanggotaannya. Sehingga
himpunan yang diperluas itu menjadi tertutup terhadap operasi pengurangan. Dalam bentuk
himpunan, himpunan bilangan bulat yang dimaksud adalah B = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }.
Apabila digambarkan dengan garis bilangan bentuknya akan seperti berikut:
-3 -2 -1 0 1 2 3
D. OPERASI PADA BILANGAN BULAT
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi yang akan diterapkan pada bilangan bulat adalah (+, , , :) yakni penjumlahan,
pengurangan, dan pembagian. Khusus untuk pembagian tidak diperlukan atas semua
bilangan bulat tetapi hanya dikhususkan pada bilangan-bilangan tertentu sehingga hasil
baginya juga bilangan bulat.
Karena penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat bersesuaian dengan kaidah
perhitungan vektor berdimensi satu, maka cara yang mudah, cukup menarik, dan mudah
ditangkap oleh siswa SD, cara penanaman konsepnya adalah sebagai berikut:
Bermula dari titik pangkal nol dan menghadap ke kanan
positip maju tambah terus
Bilangan negatip mundur Operasi
nol diam kurang balik arah
7/22/2019 Math Modul
41/50
7/22/2019 Math Modul
42/50
42
Ternyata hasil akhirnya 4. Jadi 3 (7) = 4.
Cara lain untuk menemukan hasil-hasil operasi pada bilangan bulat secara umum adalah
denganmenggunakan pola bilangan.
Alasannya karena dengan pola bilangan akan diperoleh konsistensi hukum/kaidah/aturanyang sesuai dengan sifat matematika yang deduktif dan konsisten.
Dengan pola bilangan bentuk langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Soal Pola yang diciptakan Pengamatan pola
2 + 5 = 3 + 5 = 3 + 5 = 8
2 + 5 = 2 + 5 = 7
1 + 5 = 1 + 5 = 6
Stop, amati polanya 0 + 5 = 0 + 5 = 5
1 + 5 = 1 + 5 = 4
2 + 5 = 2 + 5 = 3
Dengan demikian maka 2 + 5 = 3
Soal Pola yang diciptakan Pengamatan pola
2 (3) = 2 3 = 2 3 = 1
2 2 = 2 2 = 0
2 1 = 2 1 = 1
Stop, amati polanya 2 0 = 2 0 = 2
2 (1) = 2 (1) = 3
2 (2) = 2 (2) = 4
2 (3) = 2 (3) = 5
Dengan demikian maka 2 (3) = 5
turun 1
turun 1
turun 1
naik 1
naik 1
naik 1
23 1 0 1 3 42 5 6 7 8
7/22/2019 Math Modul
43/50
43
2. Perkalian dan Pembagian
Secara konsep, mengali adalah menghitung anggota seluruh kelompok benda bila masing-
masing kelompoknya beranggota sama banyak. Karena secara konsep banyaknya kelompokjuga harus berupa bilangan positip, maka secara konsep mengali juga harus berupa bilangan
positip. Sebagai pemahaman makna dari konsep tersebut berikut diberikan peragaan-
peragaannya.
a. Peragaan untuk 3 2 = 6 b. Peragaan untuk 3 (2) = 6
Jika 1 kelompok berisi + 2 (positip 2), Jika 1 kelompok berisi 2 (negatip 2),
berapakah isi dari 3 kelompok? berapakah isi dari 3 kelompok?
Jawab: Jawab:
Isi dari Isi dari:
3 kelompok = 3 (+2) 3 kelompok = 3 (2)
= 3 2 = (2) + (2) + (2)
= 2 + 2 + 2 = 6 = 6
Untuk operasi pembagian demikian pula halnya. Secara konsep membagi adalah menjadikan
sekelompok benda menjadi beberapa kumpulan benda sama banyak. Dengan demikian secara
konsep bilangan pembagi juga harus berupa bilangan positip. Gambaran konsepnya adalah
seperti berikut.
a. Peragaan untuk (+6) : 3 = +2 atau 6 : 3 = 2
Cara membacanya
Ada satu kelompok berisi positip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak.
Berapakah isi masing-masing kelompok yang baru itu?
Jawab:
Dari hasil peragaan berarti secara konsep:
(+6) : 3 = +2 atau cukup ditulis 6 : 3 = 2.
7/22/2019 Math Modul
44/50
44
b. Peragaan untuk (6) : 3 = (2) atau 6 : 3 = 2.
Cara membacanya:
Ada 1 kelompok berisi negatip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak.
Berapakah isi dari masing-masing kelompok yang baru itu?
Jawab:
Dari hasil peragaan berarti secara konsep:
(6) : 3 = (2) atau cukup ditulis 6 : 3 = 2.
Mengingat matematika bukanlah ilmu yang bersifat diam, tetapi merupakan ilmu yang terus
berkembang, para ahli kemudian mengembangkannya ke arah bentuk yang lebih umum
walaupun tampaknya tidak sesuai dengan konsep yang semula. Pertimbangan mereka adalah
asal kaidahnya dapat bersifat konsisten. Sebab sifat dasar matematika adalah deduktif dan
konsisten (GBPP Matematika SD 1994 : bagian pembukaan). Bentuk yang lebih umum yang
dimaksud adalah pengali maupun pembagi yang seharusnya berupa bilangan positip
diusahakan dapat berlaku pula untuk bilangan negatip. Untuk maksud tersebut, ide
pengembangannya didasarkan atas pola bilangan. Dari pola bilangan itu, jawaban-jawaban
yang dihasilkan kemudian diamati pola kecenderungannya. Nah dari pola kecenderungan
yang diamati itulah kemudian pengembangan (yang sebenarnya berada di luar konsep) dapatditentukan/dicari jawabannya hingga sampai pada tujuan yang dimaksud. Terakhir dari
terjawabnya tujuan yang dimaksud itu kemudian diadakan generalisasi.
Dalam matematika, pola bilangan digunakan untuk menjelaskan pengembangan pemikiran
karena kaidah yang diperoleh dari pola itu memiliki azas konsisten sesuai dengan sifat
matematika yang hakiki yakni bersifat deduktif dan konsisten. Seperti telah diketahui bahwa
secara konsep dapat dikemukakan bahwa bilangan positip dikalikan dengan bilangan negatip
hasilnya adalah bilangan negatip. Sedangkan bilangan negatip dibagi dengan bilangan positip
hasilnya adalah bilangan negatip. Kini dengan pola bilangan akan dijelaskan mengapabilangan negatip dikalikan bilangan positip hasilnya berupa bilangan negatip.
7/22/2019 Math Modul
45/50
45
1. Bilangan
negatip positip = bilangan negatip
Pola yang dikembangkan Pola isian 4 baris yang
pertama
Isian selengkapnya
4 2 =
3 x 2 =
2 2 =
1 2 =
0 x 2 =
-1 2 =
-2
2 = -3 2 =
4 2 = 8
3 2 = 6
2 2 = 4
1 2 = 2
0 2 =
-1 2 =
-2 2 = -3 2 =
4 2 = 8
3 2 = 6
2 2 = 4
1 2 = 2
0 2 = 0
-1 2 = -2
-2 2 = -4-3 2 = -6
Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan positif =
bilangan negatif
2. Bilangan
negatip negatip = bilangan positip.
Dengan mengadopsi hasil sebelumnya yakni bilangan positip negatip = negatip.
Pola yang dikembangkan Pola isian 4 baris yang
pertama
Isian selengkapnya
4 (-2) =
3 (-2) =
2 (-2) =
1 (-2) =
0 x (-2) =
-1 2 =
-2 2 =
-3 2 =
4 (-2) = -8
3 (-2) = -6
2 (-2) = -4
1 (-2) = -2
0 (-2) =
-1 (-2) =
-2 (-2) =
-3 (-2) =
4 (-2) = -8
3 (-2) = -6
2 (-2) = -4
1 (-2) = -2
0 (-2) = 0
-1 (-2) = 2
-2 (-2) = 4
-3 (-2) = 6
Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan negatif =
bilangan positif.
Pembagian Bilangan Bulat
Seperti yang pernah dikemukakan sebelumnya bahwa secara konsep bilangan pembagi
adalah bilangan positip. Bagaimana pengembangannya untuk pembagi yang berupa
bilangan negatip, apakah juga dapat dilakukan menggunakan pola seperti perkalian?
Jawabnya adalah tidak. Sebab untuk membuat pola akan berhadapan dengan bilangan
Stop amatipola hasilisiannya
turun 2
turun 2
turun 2
Stop amatipola hasilisiannya
naik 2
naik 2
naik 2
7/22/2019 Math Modul
46/50
46
nol. Padahal pembagian dengan bilangan nol hasilnya tak ada (does not exist). Oleh
karena itu akan lebih baik bila ditanyakan ke siswa apa hubungannya antara bilangan
yang dibagi dengan pembagi dan hasil bagi seperti misalnya apa hubungan antara:
a. 15 dengan 3 dan 5 pada pembagian 15 : 3 = 5
b. 12 dengan 4 dan 3 pada pembagian 12 : 4 = 3
c. 6 dengan 3 dan 2 pada pembagian 6 : 3 = -2 dan lain-lain.
Setelah siswa menjawab dikalikan atau lebih lengkapnya bilangan yang dibagi =
pembagi kali hasil bagi guru kemudian mengarahkan siswa pada bentuk umum:
a:b= cbila dan hanya bila a= bc
Pernyataan itu dapat pula ditulis dengan notasi lainnya seperti:
a:b= ca= bc atau cb
a a= bc
Dari bentuk umum itu guru dapat menjelaskan kasus-kasus seperti bilangan (yang
dimaksud adalah bilangan tidak nol) dibagi nol, nol dibagi bilangan, dan nol dibagi nol.
Hasil yang dimaksud masing-masing adalah:
(1) nol
bilangantak ada (does not exist)
Sebab dari bentuk seperti n0
5 5 = 0 n ternyata tak ada nilai n yang
memenuhi.
(2)bilangan
nol= nol
Sebab dari bentuk seperti n50 0 = 5 nmakanyang memenuhi agar 0 = 5 n
adalah n= 0.
(3)nol
nol= tak tentu (semua bilangan memenuhi)
Sebab dari bentuk seperti n0
0 0 = 0 n maka berapapun nilai n yang
dimasukkan akan selalu memenuhi bentuk 0 = 0 n.
Latihan 5
7/22/2019 Math Modul
47/50
47
1.Uraikan jawabannya dengan kata-kata seperti maju sekian, mundur sekian, terus, balik
arah, dan hasilnya berapa.a. 2 + 2 = , 2 disebut lawan dari 2
b. 3 + 3 = , 3 disebut lawan dari 3
c. 4 + (6) =
d. 5 + (3) =
e. 4 (3) =
f. 3 (5) =
g. 2 (5) =
h. 3 (7) =
2. Hitunglah
a. 5 ( 4) = e. 10 4 ( 2) =
b. 4 ( 20) = f. 15 + 4 (2 5) =
c. 20 : ( 4) = g. 25 2 (10 5) =
d. 100 : ( 4) = h. 5 10 + 75 =
3. Hitunglah
. 10 : ( 2) 4 + 30 3 ( 4) =
b.16 ( 4) : 2 40 : ( 4) 2 =
7/22/2019 Math Modul
48/50
48
BAB VI
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Bilangan asli, cacah, dan bulat yang kita kenal sebagai bilangan ACB pada matematikaSekolah Dasar meliputi konsep bilangan dihubungkan dengan banyaknya satuan (unit) benda
dalam suatu kumpulan. Operasi (penjumlahan, pengu-rangan, perkalian, dan pembagian)adalah operasi biner (operasi yang menghubungkan antara 2 unsur/bilangan sehinggamenghasilkan unsur tunggal) yang diterapkan pada bilangan. Sajian materi berikutnya adalah
kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesr (FPB), penguadratan,
pemangkatan tiga, dan penarikan akar (pangkat dua dan tiga), serta bilangan bulat (positip,nol, negatip) dan operasinya. Suatu lingkup bahasan yang cukup luas untuk dibahas dalam
diklat guru Sekolah Dasar. Namun semuanya ternyata dapat dilalui secara menarik danmenyenangkan. Resep apa sebenarnya sehingga yang membuat matematika yang dibahas
pada kegiatan diklat dapat menarik dan menyenangkan? Jawabnya tidak lain adalah karenasajian materinya diawali secara kontekstual (berangkat dari konteks kehidupan siswa sehari-
hari) dan mengikuti teori Bruner, yakni pembelajaran berangkat dari kongkrit, ditindaklanjutidengan gambar-gambar (semi kongkrit), dan diakhiri dengan lambang yang sifatnya abstrak.
Menurut Bruner, jika pembelajaran berjalan seperti itu, maka siswa akan mampu
mengembangkan pengetahuannya jauh lebih luas dari apa yang pernah mereka terima darigurunya. Apabila itu semua dialami oleh peserta diklat (guru), mengapa siswa tidakmengalaminya?. Semuanya tentu tergantung kepada komitmen (niat baik) dan realisasi
(pelaksanaan riil/ sesungguhnya) saat kembali ke tempat tugas masing-masing.
B. SARAN
Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anakdidik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran sebagaiberikut.
1.Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama
menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan2.Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-
rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk
diterapkan di kelas yang diampunya, selanjutnya kepada sesama guru di sekolahnya,kemudian pada kegiatan KKG
3.Susunlah perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa di masadepan
4.Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan kepada
pengawas5.Bersemboyanlah Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk
kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa. Tuhan mahamengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu yang
tak terduga di masa depan.
7/22/2019 Math Modul
49/50
49
Amin.
DAFTAR PUSTAKA
Bruner, Jerome. 1967. Toward a Theory of Learning. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata pelajaran Matematika SD/MI).Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
-------------. (2006). Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional.
Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran).Yogyakarta: PPPG Matematika.
Edi Prayitno. (1997). KPK dan FPB (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPGMatematika.
Niven, IvanZuckerman, Hurbert S. (1978). An Introduction to the Theory of Numbers (ThirdEdition).New York : John Wiley & Sons, Inc.
Wirasto. (1993). Matematika Untuk Orang Tua Murid Dan Guru (Jilid I). Jakarta : PT.Indira.
7/22/2019 Math Modul
50/50
KUNCI JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN
Kunci Lat 1 (halaman 15)
No. 1
1) 8 2) 4 3) 9 4) 5 5) 24 6) 30 7) 28 8) 27 9) 5 10) 6
11) 3 12) 4.
No. 2
1) 132 2) 208 3) 834 4) 154 5) 208
Latihan 2 Halaman 16
1. 28 2. 26 3. 33 4. 46 5. 35.
Latihan 3 halaman 29
1. a. 3 b. 4 c. 4 d. 4 e. 4 f. 10 g. 5 h. 5
i. 10 j. 40 k. 1 l. 2 m. 10 n. 200 o. 50
2. 30 3. 30 orang 4. km 90 pukul 11.30 5. km 50 pukul 09.30 6. km 32 pukul 09.06
Latihan 4 halaman 36
1. a. 196 b. 529 c. 2.116 d. 42.849 e. 180.625
2. a. 196 cm2 b. 625 cm2 c. 3.025 cm2 d. 8. 836 cm2
3. a. 13 cm b. 28 cm c. 135 cm d. 315 cm4. a. 2.744 cm3 b. 15.25 cm3 c. 91.125 dm3 d. 421.875 dm3
e. 512 f. 5.832 g. 148.877 h. 274.25
5. a. 19 b. 24 c. 32 d. 46
e. 53 f. 84 g. 93 h. 98
6. a. 37 cm b. 52 cm c. 74 cm d. 83 cm
7. a. 361 b. 676 c. 2.304 d. 3.249 e. 4.225 f. 5.625
g. 7.225 h. 7.744 i. 9.216 j. 11.664 k. 50.625 l. 262.144
8. a. 4.096 b. 15.625 c. 4.656 d. 117.649 e. 262.144 f. 531.441
9. a. 13 b. 14 c. 17 d. 21 e. 37 f. 39g. 43 h. 46 i. 59 j. 86 k. 92 l. 98.
Latihan 5 halaman 45
1. a.0 b. 0 c. 2 d. 2 e. 7 f. 8 g. 3 h. 21
2. a. 20 b. 80 c. 5 d. 25 e. 18 f. 3 g. 15 h. 25
3. a. 22 b. 9
Recommended