View
216
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1
zu 2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen
Risikofaktoren bestimmen auf lineare Weise den Marktpreis eines Portfolios: Delta-Normal-Methode
Annahme unproblematisch bei originären Finanzprodukten
Annahme problematisch bei einigen derivativen Finanzprodukten z.B. Aktienoptionen Änderung des Optionswertes abhängig von der Höhe des Kurses des Underlying nicht-linearer Fall: Delta-Gamma-Methode
...)S(dS
Vd61)S(
dSVd
21S
dSdV)S(V 3
3
32
2
2
SdSdV)S(V
Taylor-Reihe: Wertänderung V in Umgebung von S0 durch Ableitung von V nach S in S0
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 2
Taylor-Approximation: Option ( c = Delta der Option)
Berechnung des VaR
SSSVc c
Wertänderung der Optionsposition entspricht ungefähr der Wertänderung einer Position aus c Einheiten des Underlying
Option Position aus c Aktien = Deltaäquivalent Ä
)(ÄVaR rPFrPFn
n
- Anteilsvektor der Deltaäquivalente äT = (ä1, ä2, ..., äN) mit
-
-
N,...,2,1n,Ä
Ää
nn
nn
rPFT
rPF ä M
ää rPFT
rPF Σ
SÄ c
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 3
< 2.4 > Portfolio aus 2 Positionen:
1. 500 europäische Calls auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und einem Zins von 5% p.a.. Der Wert einer dieser Optionen beträgt 2,53 DM. Die Option hat ein Delta von 0,6627.
2. Shortposition mit 330 Einheiten des Underlyings. Die Rendite des Underlyings hat einen Erwartungswert von r = 0 und eine Standardabweichung von r = 1,5%.
Betrachtet wird ein Konfidenzniveau von 97,5 %.
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 4
2.3.2 Exponentielles Glätten
Verfahren zur Prognose aus Zeitreihen
Annahme: zeitlich jüngere Werte einer Zeitreihe geben mehr Information über die Zukunft als die zeitlich älteren Werte
Stärkere Gewichtung der jüngeren Werte
Mittelwerte, Volatilitäten und Korrelationen schwanken im Zeitablauf!
},...,{ 00 t)1B(t
},...,{ 00 t)1B(t
Elemente der geglätteten Zeitreihe t*
...)1()1( 2t2
1ttt
0jjt
jt )1(
(Summe der Gewichtungen = 1, wenn obere Summationsgrenze )
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 5
theoretische Anforderung: unendlich viele Beobachtungen!!
Rekursionsformel: jedes Zeitreihenglied kann aus dem letzten exponentiell geglät- teten Wert korrigiert um einen Anteil des „Fehlers“ der letzten Periode gebildet werden
Bestimmung des nächsten geglätteten Wertes basiert nur auf letztem geglättetem Wert und der neuesten Beobachtung !
...)1()1( 2t2
1ttt
...))1(()1( 2t1tt 1t)1(t
)( 1tt1t
1tt
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 6
Varianz der glätteten Zeitreihe
bei Liquidationsdauer von 1 Tag sehr klein t
2jt
0j
j2 )()1( 1t
0t
Volatilität
als Volatilität der Vorperiode korrigiert um einen Anteil des „Fehlers“
...)1()1( 22t
221t
2t
2t
21t
2t )1(
*)(* 22t
21t1t
22t 1t
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 7
< 2.5 > Wechselkurs DEM/FRF
Als Parameter wird die tägliche Rendite aus dem Halten der Währung definiert. Das Beispiel stammt aus einer Zeit, in der das Europäische Währungssystem unter Spannungen stand. Die Tabelle zeigt den Kurs des FRF gegenüber der DEM, die tägliche Rendite, die Schätzung einer empirischen Standardabweichung der letzten 90 Tage und die Schätzung durch exponentielles Glätten mit = 0,03.
Datum Kurs Rendite(%) Emp. Standard-
abweichung (%)
Volatilität bei
exponentieller Glättung
20.02.1995 28,7360
21.02.1995 28,7020 -0,1183 0,1014 0,1144
22.02.1995 28,6200 -0,2857 0,1026 0,1231
23.02.1995 28,6640 +0,0839 0,1017 0,1221
24.02.1995 28,5190 -0,4364 0,1107 0,1420
27.02.1995 28,3190 -0,70048 0,1315 0,1856
28.02.1995 28,3730 +0,1942 0,1335 0,1859
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 8
Vorteile bessere Reaktion auf Änderungen der Volatilität als empirische
Standardabweichungen
Bei Extremwerten (Schock) : Exponentielle Glättung: Vola-Schätzung steigt schnell an und fällt langsam ab Empirische Standardabweichung: Vola-Schätzung steigt langsam an und fällt schnell ab
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 9
Korrelationsschätzung (bei Mittelwert von 0)
Schocks werden zeitnaher abgebildet.
0201
00
t,t,
21t21t
),(Cov),(
),(Cov 21t
...)()1()()1()( 2t,22t,12
1t,21t,1t,2t,1
).(voC)1()( 2,11tt,2t,1
aber auch exponentielle Glättung bildet Leptokurtosis der (Rendite-)Verteilungen und Volatility Clustering nicht ab
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 10
2.3.3 ARCH und GARCH Modelle an Finanzmärkten häufig beobachtete zeitliche Häufung von
starken oder geringen Kursveränderungen bedingt autoregressives Verhalten der Volatilität (des Underlyings)
z.B. auf einen großen Kursanstieg folgt tendenziell wieder eine große Kursveränderung mit nicht prognostizierbarem Vorzeichen
ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) bzw. GARCH (Generalized ARCH) : Heteroskedastizität - zeitvariable Varianzen Autoregression - Annahme, daß Volatilität abhängig von den
Kursschwankungen der Vergangenheit leptokurtische Verteilung - „fatter tails“ und stärkere Wölbung als
Normalverteilung empirische Verteilung wird treffender approximiert ?!
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 11
2.3.4 Implizite Volatilitäten Schätzung der Volatilität = Problem!
Schätzung von Volatilitäten bei Preisfindung von Optionen (Preisfindungsformel von Black&Scholes) bei effizienten Märkten: alle Parameter und Optionspreis sind
beobachtbar
Nachteile: Implizite Volas nur für Produkte, auf die Optionen an Börsen
gehandelt werden bei komplizierteren Optionen ist implizite Vola abhängig von
zugrunde gelegtem Optionspreismodell ...
Schluß von Optionspreis auf zugrundeliegende Voaltilitäts-schätzung = implizite Volatilität
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 12
2.4 Historische Simulation Neubewertung des Portefolios anhand von historischen
Veränderungen der Marktfaktoren über einen bestimmten Zeitraum Ergebnis Wahrscheinlichkeitsverteilung, für die das -Quantil als Value at Risk bestimmt werden kann
Vorgehensweise Festlegung der Prämissen Ermittlung aller relevanten Marktparameter für jeden Zeitpunkt
der ausgewählten Vergangenheitsperiode Bewertung des Portfolios pro Stichtag Berechnung des VaR
Keine Annahme über Verteilung nötig, da Veränderungen der Marktparameter aus historischen Daten gewonnen !
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 13
Festlegung der Prämissen Identifikation der relevanten Marktparameter Bewertungsfunktionen für Finanztitel des Portfolios
auf der Basis beobachteter Realisationen Erfassung der Marktparameter für jeden Zeitpunkt
),...( M,1
),...,( 00 t,mBt,m
auf der Basis absoluter oder relativer Änderungen über die Haltedauer
Lbt,mbt,mb,m 00
Lbt,m
Lbt,mbt,mb,m
0
00
(mit m = 1,…, M; b = 0,1,…, B-1)
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 14
Vektor der Beobachtungen zu einem Stichtag
alle Beobachtungsvektoren zusammen
B,...,1b),...( bt,Mbt,1 00 bS
Bt,MBt,1
1t,M1t,11
00
00
BS
S
Bewertung des Portfolios),...,(fV M1
Vektor der Portfoliowerte auf der Basis der Beobachtungs-werte zu den ausgewählten Stichtagen
TB1 )V,...,V()(f V
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 15
Berechnung des Value at Risk
Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert
Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert
empirische Häufigkeitsverteilung
Berechnung des VaR durch Quantilsbildung
B
1
t
t
B
1
V
V
V
V
V
V)f
0
00tV(ΔV
bei 5%-Quantil und einem Beobachtungszeitraum von 100 Tagen entspricht der fünftniedrigste Wert dem VaR
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 16
keine Verteilungsannahme der Marktparameter (Schiefe +/o. Leptokurtosis wird berücksichtigt)
universell einsetzbar: Einbeziehung von Derivaten und allen entscheidenden Parametern relativ unproblematisch
Vor-/Nachteile
sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des Portfolios
bei jeder Änderung des Portfolios muß der Wert des Portfolios für alle Stichtage neu berechnet werden
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 17
2.5 Monte Carlo-Simulation Neubewertung des Portefolios anhand von Zufallszahlen
Vorgehensweise Festlegung der Prämissen Bestimmung der hypothetischen Verteilung für die Marktparameter (Wiederholte) Simulation der Marktparameter durch Zufallszahlen (Wiederholte) Bewertung des Portfolios für die verschiedenen
Simulationen Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus
Zufallszahlen = Realisierungen von Zufallsvariablen, die einer vorgegebenen Verteilung genügen müssen
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 18
Verteilungsannahmen der Parameter hypothetische Verteilung basiert in der Regel auf - Vergangenheitsinformationen über Varianzen und Kovarianzen - subjektiver Schätzung
unabhängige Verteilungsannahme für jeden Marktparameter vs. multivariate Verteilung der Faktoren
< 2.6 > Europäische Call-OptionCall auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und einem Zins von 5% p.a.. Der Wert dieser Optionen beträgt 2,53 DM. K, t, rRF fix, lediglich die Entwicklung von S und ist risikobehaftet.Haltedauer = 1 Tag, Konfidenzniveau von 97,5 %.
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 19
Verteilungsannahmen für S und :
S: absolute Werte der Veränderung der Werte von S sind normalverteilt, Schätzung = 0 und = 0,10
Volatilität : subjektive Schätzung der Verteilung
20% 22,5% 25% 27,5% 30%
p() kum. 0,1 0,3 0,7 0,9 1,0
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 20
Simulation der Marktparameter - Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen - Güte der Pseudozufallszahlengeneratoren - Transformation in anders verteilte Zufallszahlen
Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen Zufallszahlengeneratoren: echte Zufallszahlen erzeugt durch das Werfen eines Würfels,
Lottoziehungsgeräte, Roulettespiel etc. nur geeignet für kleine Stichprobenumfänge
Pseudozufallszahlen erzeugt mit der Hilfe mathematischer Bildungsvorschriften
Produktion möglichst vieler verschiedener Zufallszahlen aus einem Startwert mit Hilfe einer Rekursionsformel Problem: Zyklen, Entartungen
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 21
Mid-Square-MethodeAlgorithmus: Quadrierung eines n-stelligen Startwertes neuer Wert mit maximal 2n Stellen (bei weniger als 2n Stellen Ergänzung mit führenden Nullen) mittlere n Stellen = Nachkommastellen der neuen Zufallszahl
< 2.7 > n = 4
x1 = 5643 x12 = 31843449 xneu,1 = 0,8439
x2 = 8434 x12 = 71132356 xneu,2 = 0,1323
x3 = 1323 x12 = 01750329 xneu,3 = 0,7503 ....
Problem: häufig zu kurze Periodenlängen und Nullfolgen
Startwert: 1600, 5600, 3600, 9600, 1600
Startwert: 7662 - nach 6 Rekursionen Nullfolge
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 22
Kongruenzverfahren (Lehmergeneratoren)rekursive Bildungsgesetz:
< 2.8 > a = 21, x0 = 7, c = 3, m= 17
x1 = (217+3) mod 17 = 150 mod 17 = 14 z1 = 0,823529
mmod)cxa(x i1i
n mod m: Rest, der entsteht, wenn n durch m dividiert wird
neue Zufallszahl ergibt sich als Rest der Division durch die Konstante m
weitere Division durch m ergibt (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen
x2 = (2114+3) mod 17 = 297 mod 17 = 8 z2 = 0,823529 ....
maximale Periodenlänge von 4
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 23
Güte der Pseudozufallszahlen
Algorithmus muß schnell arbeiten und wenig Speicherplatz benötigen
Folge der Zufallszahlen muß bei gleicher Startbedingung reproduzierbar sein
Zufallszahlen müssen der Gleichverteilung im Intervall [0, 1] genügen
erzeugte Zufallszahlen müssen voneinander unabhängig sein
aufgrund der Begrenztheit der Zufallszahlen können nicht alle Werte angenommen werden, aber alle Bereiche der Verteilung sollten gleich dicht besetzt sein (große Periode!)
statistische Tests (2-Anpassungstest, Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest etc.)
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 24
Transformation (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen in anders verteilte Zufallszahlen
Erzeugung von beliebig verteilten Zufallszahlen durch 1. Erzeugung von (0, 1)-gleichverteilten Zufallszahlen2. Transformation in die gewünschte Verteilung durch Anwendung der
Umkehrfunktion dieser Verteilung auf die Zufallszahlen aus 1.
F sei die monotone Verteilungsfunktion der zu erzeugenden Zahlen, d.h. F besitzt eine Umkehrfunktion
Transformation erfolgt
durch Inversion:
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 25
bei sehr kleinem Stichprobenumfang oder bei unzureichender Güte der (0,1)-gleichverteilten, generierten Zufallszahlen evtl. „Klumpenbildung“
Teilung des Wertebereichs [0, 1] der Verteilungsfunktion in gleich große Intervalle
per Zufall Auswahl eines Intervalls, aus dem zufällig eine Probe entnommen wird
Wiederholung des Vorgangs so lange, bis aus jedem Intervall ein Zufallswert vorliegt
Latin-Hypercube-Methode bei gleicher Anzahl von Stichproben bessere Annäherung an die gewünschte Verteilung:
Schichtung der Verteilungen der gleichverteilten Zufallszahlen
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 26
„Probenerhebung ohne Rückstellung“
gleichmäßigere Verteilung der Zufallszahlen auf das Intervall [0,1] , weniger Lücken, Erhöhung der Güte
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 27
Zusammenfassung der Vektoren in Szenario-Matrix, z.B.
1000,
1,
1000,S
1,S
S
S
S
S
Bewertung des Portfolios
Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen
TD1 )V,...,V()(f V
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 28
Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)
Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert
Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert
empirische Häufigkeitsverteilung
Berechnung des VaR durch Quantilsbildung (aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung
wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen Simulation)
D
1
t
t
D
1
V
V
V
V
V
V)f
0
00tV(ΔV
Recommended