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este documento trata sobre como realizar las matrices de gauss/gauss jordan, inversa y cramer
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE
T.S.U. EN MECATRÓNICA
ASIGNATURA:
SISTEMAS LINEALES PARA LA AUTOMATIZACIÓN.
UNIDAD I.
REPORTE DE PROYECTO.
PRESENTAN:
JHONATAN ALEXANDER HERNANDEZ RODRIGUEZ.
GRADO & GRUPO:
“4º-B”
NOMBRE DEL DOCENTE:
ING. ROBERTO CARLOS CANTO CANUL.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE
T.S.U. EN MECATRÓNICA
INTRODUCCIÓN
Este trabajo el profesor nos enseñó a utilizar MATLAB con el fin de hacernos más
fácil el trabajo. Por sistema de ecuaciones lineales se entiende un conjunto de
ecuaciones que deben resolverse simultáneamente Ya habiendo terminado de ver
todos los métodos posibles para la resolución de matrices teníamos que hacer un
programa en MATLAB para poder resolver estas con solo poner el valor de la matriz.
Se debe hacer un programa para los métodos:
Cramer (2x2), (3x3)
Gauss-jordan (2x2), (3x3), (4x4) (5x5)
Matriz inversa (2x2), (3x3)
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METODO DE CRAMER 2x2
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que
cumplan las siguientes condiciones:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Se ingresan los valores de una columna de dimensiones 2x2 seguido de la
columna resultado.
Ya que es una matriz 2x2 se saca la determinante directamente de la matriz original,
la cual se conoce como determinante del sistema
Se sustituye la primera columna por la columna resultado obteniendo una nueva
matriz 2x2 a la cual se le saca la determinante llamada Determinante 1
Se sustituye la columna 2 por la columna resultado para obtener una nueva matriz
2x2, a esta se le encuentra la determinante la cual se llama Determinante 2
Ya teniendo las 3 determinantes proseguimos a buscar el valor de “x1” y “x2”
utilizando la fórmula:
X1= determinante 1 / determinante del sistema
X2= determinante 2 / determinante del sistema
Estos ya son los últimos resultados que encontramos en la matriz.
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METODO DE CRAMER 3X3
Para este método de matriz de 3x3 se siguen los siguientes pasos:
Sacar determinante del sistema utilizando método de pivote en la cual se elige una
fila y columna. Ya elegido se selecciona el primer valor, se elimina su fila y columna
y los 4 valores que quedan se multiplican cruzados siempre respetando los signos
jerárquicos. Esta se llama determinante del sistema.
Se remplaza la columna 1 por la columna resultado y se saca la determinante
utilizando el método ya mencionado. Esta se llama determinante 1.
Se remplaza la columna 2 por la columna resultado y se saca la determinante
utilizando el método ya mencionado, esta se llama determinante 2
Se remplaza la columna 3 por la columna resultado y se saca la determinante
utilizando el método ya mencionado, esta se llama determinante 3
Ya teniendo las 4 determinantes se prosigue a emplear la fórmula:
X1= determinante 1 / determinante de sistema
X2= determinante 2 / determinante del sistema
X3= determinante 3 / determinante del sistema
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Método matriz inversa 2x2
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas
(matriz cuadrada) y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de
cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos). Por
medio de MatLab, la solución del sistema se hace mediante la operación X =
inv(A)*B.
Para este método el primer paso es sacar la determinante de la matriz, ya teniendo
la determinante esta va a dividir a cada elemento de la matriz.
Ya hecho esto se va a multiplicar el primer valor de la columna resultado por la
primera columna. Después de va a multiplicar el segundo valor por la segunda
columna de la matriz.
Cada uno de estos valores nos darán x1 y x2.
EJEMPLO
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Matriz inversa 3x3
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas
(matriz cuadrada) y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de
cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos). Por
medio de MatLab, la solución del sistema se hace mediante la operación X =
inv(A)*B.
Para hacer la matriz inversa de dimensión 3x3 se tiene que utilizar el método de
pivote en cada uno de los elementos de la matriz original, todos los resultados se
podrán en orden para así tener una nueva matriz llamada matriz adjunta(A).
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Ya teniendo la nueva matriz el siguiente paso es intercambiar la fila 1 por columna
1, fila 2 por columna 2, fila 3 por columna 3. A esta nueva matriz se le llamara matriz
adjunta (A)T
Después hay que encontrar la determinante de la matriz original. |A|
Cada uno de los elementos se va a dividir entre la determinante |A|
Ta habiendo hecho la división, se multiplica la columna resultado por las columnas
de la matriz, donde b1 multiplica a cada elemento de la columna 1, b2 multiplica a
cada elemento de la segunda columna y b3 multiplica a cada elemento de la tercera
columna
El paso final es sumar cada renglón y simplificar, dándonos los resultados de x1, x2
y x3
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GAUSS-JORDÁN 2X2
Es una variante del método de Gauss y resulta ser más simple al final del proceso,
ya que no es necesario despejar las variables, pues la solución se obtiene
directamente. Se basa en diagonal izar la matriz de coeficientes, esto es, obtener la
matriz identidad, que consiste en hacer 1 la diagonal principal y 0 los demás
elementos de la matriz (Matriz escalonada) . MatLab calcula la solución del sistema
mediante el comando X=rref([A,B]).
El software MatLab encuentra la solución de ecuaciones algebraicas lineales
simultáneas, mediante el método de eliminación de Gauss usando la forma dada en
el sistema (3.2) mediante la operación: X = A \ B. Es decir, usa el operador aritmético
(División izquierda de la matriz).
Se observa que el método de eliminación de Gauss no puede encontrar la solución
del sistema dado en (4), debido a que es una matriz singular
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CONCLUSIÓN
La aplicación de los métodos de solución numérica para sistemas de ecuaciones
lineales mediante el software de aplicación MATLAB, nos facilita a los alumnos la
mejor comprensión de estos sistemas y de los procesos matemáticos. También
permite una participación constructivista por parte del alumno, ya que puede
conjeturar, experimentar y extraer conclusiones. MatLab es un potente recurso
matemático que acompañará siempre al alumno en su proceso de aprendizaje, ya
que con mínimos conocimientos informáticos ofrece toda una gama de
posibilidades para resolver los problemas de Métodos Numéricos, dando como
resultado un mejor aprendizaje.
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