Matrik Invers Editing

MATRIKS INVERS

26/04/23 1

Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I

Maka :

Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

-1 2 -5 3 5A A

-1 3 1 2

-1 -1 1 0AA A A

0 1

Sifat-sifat matrik yang memiliki invers (invertibel)

11

1 1

1 1 1

1 TT 1

1 nn 1 n

1). A A

12). cA Ac

3). AB B A , A dan B memiliki ordo yang sama

4). A A

5). A A A , n bilangan bulat positip

Sifat-sifat Matriks Invers

(1) Matriks invers (jika ada) adalah tunggal (uniqe)Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku :AB = BA = I, dan jugaAC = CA = ITetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B ....................(*)

BAC = (BA)C = IC = C .....................(**)Dari (*) dan (**) haruslah B = C.

(2) Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri.

Andaikan matriks C = A-1, berarti berlaku :AC = CA = I (*)Tetapi juga berlaku C C-1 = C-1 C = I (**)Dari (*) dan (**) berarti :C-1 = A(A-1)-1 = A.

Sifat-sifat Matriks Invers

(3) Matriks invers bersifat nonsingular (determinannya tidak nol )det (A A-1) = det (A) det (A-1)det (I) = det (A) det (A-1)1 = det (A) det (A-1) ; karena det (A) 0 , maka :

det (A-1) =

ini berarti bahwa det (A-1) adalah tidak nol dan kebalikan dari det (A).

)det(1A

(4) Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut-turut A-1 dan B-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan : (AB)-1 = B-1 A-1

(AB) (AB)-1 = (AB)-1 (AB) = I (*)di sisi lain :(AB) (B-1 A-1) = A(BB-1) A-1 = A I A-1 = A A-1 = I(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1 I B = B-1 B = I (**)

Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena itu dari (*) dan (**) dapatlah disimpulkan bahwa (AB)-1 = B-1 A-1 .

Untuk A matriks persegi, A-1 adalah invers dari A jika berlaku :

A A-1 = A-1 A = I

Untuk mendapatkan A-1, dapat dilakukan dengan cara :

1. Metode matriks adjoint

2. Metode OBE dan/atau OKE

Mencari Invers dengan Matriks Adjoint

Ingat kembali sifat matriks adjoint, yaitu :

A adj(A) = adj(A) A = |A| I

Jika |A| ≠ 0, maka :

A = A = I

||)(

AAadj

||)(

AAadj

||)(

AAadj

Menurut definisi matriks invers :

A A-1 = A-1 A = I

Ini berarti bahwa :

A-1 = dengan |A| ≠ 0

Matrik kofaktor dan matrik adjoint

11 12

21 22

a aA

a a

Jika baris ke i dan kolom j dibuang, makadisebut minor ke ij dari matrik A.

Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :

ijA

ij ijM A

i+jij ijK ( 1) A

11 12

21 22

a aa a

2 121 12 12K ( 1) a a

2 222 11 11K ( 1) a a

Matrik kofaktor dari A adalah :

1 111 22 22K ( 1) a a

1 212 21 21K ( 1) a a 11 12

21 22

a aa a

11 12

21 22

a aa a

11 12

21 22

a aa a

Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik

kofaktor.

22 21

12 11

a -aK

-a a

Sehingga diperoleh matrik kofaktor A :

T22 21 22 12T

12 11 21 11

a -a a -aadj (A) K

-a a -a a

Matrik Adj (A) dari A2x2 =

dcba

C11 = M11 = d

C12 = - M12 = - c

C21 = - M21 = - b

C22 = M22 = a

=

2212

2111

CCCC

adj(A) =

acbd

Kesimpulan :

Contoh soal :1. Carilah matrik invers dari :

Jawab : Cara 1)

Misalkan :

=

3 7A

2 5

1A.A I

1 a bA

c d

3 72 5

a bc d

1 00 1

Carilah invers dari A =

dcba

Solusi :

C11 = M11 = d

C12 = - M12 = - c

C21 = - M21 = - b

C22 = M22 = a

adj(A) =

2212

2111

CCCC

=

acbd

| A | = ad – bc

A-1 = ||

)(AAadj

=

acbd

bcad 1

Carilah invers dari A =

321231442

Solusi : C11 = M11 = - 5

C12 = - M12 = 1

C13 = M13 = 1

C21 = - M21 = 4

C22 = M22 = - 2

C23 = - M23 = 0

C31 = M31 = - 4

C32 = - M32 = 0

C33 = M33 = 2

adj(A) =

332313

322212

312111

CCCCCCCCC

=

201021445

|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2

A-1 = ||

)(AAadj

= 21

201021445

=

100122

2121

25

Mencari invers dengan OBE

Jika A matriks persegi non singular, dengan OBE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :

P A = Idengan P hasil penggandaan matriks elementer (baris).Selanjutnya, P A = I

P-1 P A = P-1 II A = P-1

A = P-1

Ini berarti A-1 = P

Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (baris) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.

Teknis pencarian invers dengan OBE :

(A | I) ~ (I | A-1)

Invers matrik 2 x 2 :

Maka , A-1 diperoleh dengan rumus :

1. A.A-1 = I

2.

3.

Jika ad – bc = 0, maka matrik A non-invertibel

a bA dapat di invers jika ad - bc 0

c d

-1A I I AOBE

-1 1A adj(A)A

Metode Gauss-Jordan

Mencari invers dengan OKE

Jika A matriks persegi non singular, dengan OKE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :

A Q = Idengan Q hasil penggandaan matriks elementer (kolom).Selanjutnya, A Q = I

A Q Q-1 = I Q-1

A I = Q-1

A = Q-1

Ini berarti A-1 = Q

Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (kolom) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.

Teknis pencarian invers dengan OKE :

~

IA

1AI

1) Mencari invers dengan definisi Langkah-langkahnya : Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-

elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.

Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas

Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers.

A A-1 = A-1 A = I

2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer)

Langkah-langkah : Dilakukan OBE pada hingga diperoleh dengan memperhatikan definisi operasi berikut:

-1A I I AOBE

A I -1I A

ij

i

ij i j

b menukar baris ke i dengan baris ke j

b (p) mengalikan baris ke i dengan p 0b (p) b pb

ganti baris ke i dengan baris baru yang merupakan baris ke i ditambah dengan

baris ke j yang dikalikan dengan p.

Carilah invers dari B =

321231442

dengan melakukan OBE !

Solusi :

(B | I) =

100321010231001442 H13

001442010231100321 H21(1)

201200110110100321

H31(2)

H1(-1)

H3(-1/2)

10100110110100321

21

H13(-3)

H23(1)

101000101020021

2121

23 H12(-2)

101000101022001

2121

25

= (I | B-1)

Jadi B-1 =

100122

2121

25

~ ~ ~

~ ~

Carilah invers dari B =

321231442

dengan melakukan OKE !

Solusi :

IB

=

100010001

321231442

K21(-2)

K31(-2)

100010221101

011002

K12(-1)

100011223

101010002

K13(-1)

101011225

100010002

K1(1/2)

100122

100010001

2121

25

K3(-1)

100122

100010001

2121

25 =

1BI

~ ~ ~ ~

~

Jadi B-1 =

100122

2121

25

Sifat-sifat Matriks Invers

(5) Jika matriks persegi A berdimensi n adalah non singular, maka berlaku (AT)-1 = (A-1)T .

Menurut sifat determinan : AT = A 0, oleh sebab itu (AT)-1 ada, dan haruslah :(AT)-1 AT = AT (AT)-1 = I (*)Di sisi lain menurut sifat transpose matriks :(A A-1)T= (A-1)T AT

IT= (A-1)T AT

(A-1)T AT = I, hubungan ini berarti bahwa (A-1)T adalah juga invers dari AT. Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*),haruslah :(A-1)T = (AT)-1 .

Matriks Elementer: (E)Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas In.

3 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0I 0 1 0 E 0 5 0 I 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

B2(5) B2(1/5)

3 3

1 0 0 0 1 0 1 0 0I 0 1 0 E 1 0 0 I 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

B12B12

3 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0I 0 1 0 E 0 1 0 I 0 1 0

0 0 1 0 4 1 0 0 1

B32(4)

B3= B3+ 4B2

B32(-4)

B3= B3+(- 4)B2

A = EA

= . A

Contoh :

E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A.

OBE

I OBE

1 2 3 4A

3 4 1 2

B12

1 0 0 1I E

0 1 1 0

B12

E.A0 1 1 2 3 41 0 3 4 1 2

Notasi sebagai berikut :Ek…..E2E1A = In

1k 2 1 n

1k 2 1

1 1 11 2 k

A (E .....E E ) I

(E .....E E )

E E .....E

Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalianmatrik elementer !Jawab :

Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertibleDengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer.

2 3A

1 3

2

2 3 1 3 1 3

1 3 2 3 0 -3

1 0 1 0 I

0 -3 0 1

B12 B21(-2) B12(1)

B2(-1/3)

Kita memiliki E4E3E2E1A = I dengan :

Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas.

Dengan demikian :

1 2 3 4 13

1 00 1 1 0 1 1E , E , E , E

0 1 0 2 1 0 1

14 3 2 1

1 1 1 11 2 3 4

13

A (E E E E )

E E E E

1 00 1 1 0 1 1

0 1 0 2 1 0 1

3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint

Langkah-langkah :

Hitung

Cari matrik adjoint dengan terlebih dahulu

menentukan matrik kofaktor.

Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari

matrik kofaktor.

Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan

matrik adjoint dengan seper-determinan

|A| ≠ 0

-1 1A adj(A)A

3a 7c 3b 7d 1 02a 5c 2b 5d 0 1

3a 7c 1 3b 7d 02a 5c 0 2b 5d 1

3a 7c 1 x 2 6a 14c 2

2a 5c 0 x 3 6a 15c 0

-c 2 c -2

2a 5c 0 2a 5c 10 a 5

3b 7d 0 x2 6b 14d 0

2b 5d 1 x3 6b 15d 3

d 3 d 3

2b 5d 1 b 7

1 a b 5 7A

c d 2 3

Cara 2)(A | I) (I | A-1)OBE

7 13 31 0

2 5 0 1

21b ( 2)

7 13 3

1 23 3

1 00 - 1

2b (3) 7 13 31 0

0 1 -2 1

11 3b ( )

712 3b ( )

1 0 5 -70 1 -2 1

-1 5 -7A

-2 1

3 7 1 02 5 0 1

Cara 3) :

-1

-1

1A adj(A) A

a b d -bUntuk matrik A , maka adj(A)

c d -c a

5 7 5 71A2 3 2 31

2. Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut :

Jawab :

1 2A

3 4

(A | I) (I | A-1)OBE

1 1 1 12 2 2 2

-11 12 2

1 2 1 0 1 2 1 0

3 4 0 1 0 -2 -3 1

1 2 1 0 1 0 -2 1

0 1 1 - 0 1 1 -

-2 1Jadi A

1 -

B21(-3) B2(-1/2)

B12(-2)

3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini :

1 2 12 15A dan B

3 4 4 5

A 1(4) 2(3) 2 0, maka A memiliki invers

-1 1A adj(A)A

2 1 4 21 3 13 1 2 2 2

B 12( 5) ( 15)4 0, maka B tidak memiliki invers

3. Apakah matrik B merupakan matrik invers dari matrik A?

dan

Jawab :

Harus dibuktikan apakah A.B = B.A = I

A.B = B.A = I

Jadi matrik B merupakan invers matrik A

Invers matrik 3 x 3

Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya

diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari

invers matrik 2 x 2.

a b c

A d e f g h i

Contoh soal :0 1 2

Tentukan invers matrik A 1 0 34 -3 8

-11 1 1 2 1 3

Jawab:

1A(0( 1) (0 ( 9)) 1( 1) (8 12) 2( 1) ( 3 0))

(0 9) (8 6) (3 0)x (8 12) (0 8) (0 2)

( 3 0) (0 4) (0 1)

-1

9 14 31 x 4 8 2

( 2)3 4 1

9 3 7 2 2 A 2 4 1

3 1 2 2 2

Carilah invers dari A =

321231442

Jawab : C11 = M11 = - 5

C12 = - M12 = 1

C13 = M13 = 1

C21 = - M21 = 4

C22 = M22 = - 2

C23 = - M23 = 0

C31 = M31 = - 4

C32 = - M32 = 0

C33 = M33 = 2

adj(A) =

332313

322212

312111

CCCCCCCCC

=

201021445

|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2

A-1 = ||

)(AAadj

= 21

201021445

=

100122

2121

25

Mencari invers dengan Operasi Kolom Elementer (OKE)

Seperti halnya dengan OBE, OKE mengabungkan matrik A di atas matrik identitas, kemudian dilakukan operasi kolom elementer sehingga matrik A bertransformasi menjadi matrik identitas (I) dan matrik invers berada di bawahnya.

Notasi pencarian invers dengan OKE :

-1

IA

I A

OKE

Carilah invers dari B =

321231442 dengan melakukan OKE !

Jawab:

100010221101

011002

IB

=

100010001

321231442 K21(-2)

K31(-2)

~

101011225

100010002

K12(-1)

100011223

101010002

K13(-1)

~ ~

100122

100010001

2121

25

K1(1/2)

~K3(-1)

100122

100010001

2121

25

~

Jadi B-1 =

100122

2121

25

1BI=

100122

100010001

2121

25

Carilah invers dari B =

321231442

dengan melakukan OBE !

Jawab :

(B | I) = B13~

100321010231001442

~

001442010231100321 B21(1)

B31(2)

201200110110100321 B1(-1)

B3(-1/2)

~

10100110110100321

21

B13(-3)

B23(1)

~

101000101020021

2121

23 B12(-2)

~

101000101022001

2121

25

= (I | B-1)

Jadi B-1 =

100122

2121

25

Cari matrik invers dari

Jawab : -1A I I AOBE

B21(-2)

B31(1)

B32(1) Karena elemen baris ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka matrik A tidak punya invers (non-invertibel)

Mencari nilai x dari persamaan linier berikut ini:

Dalam bentuk matrik persamaan tersebut ditulis menjadi : A x = b, dengan :

Dengan menggunakan OBE diperoleh matrik invers dari matrik A :

Sehingga nilai x dari persamaan di atas adalah :

Faktorisasi Matrik

Faktorisasi suatu bilangan misalnya 30 = 2.3.5, juga

berlaku pada matrik. Jadi sebuah matrik dapat

dituliskan dalam perkalian dua atau lebih matrik yang

disebut : faktorisasi matrik.

Contoh : 3 1 1 0 3 19 5 3 1 0 2

Faktorisasi LU

Suatu matrik bujursangkar A dapat difaktorisasi menjadi matrik L (matrik segitiga bawah) dan matrik U (matrik segitiga atas), sehingga A = LUContoh :

Terdapat 3 matrik elementer yang mereduksi A menjadi matrik U.

2 1 3 2 1 3 2 1 3A 4 1 3 0 3 3 0 3 3 U

2 5 5 0 6 8 0 0 2

B21(-2)

B31(1)B32(2)

1 2 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0E 2 1 0 , E 0 1 0 , E 0 1 0

0 0 1 1 0 1 0 2 1

Oleh karena itu :

Sehingga diperoleh :

3 2 1E E E A U

1 1 11 2 3A E E E U

1 0 0 1 0 0 1 0 02 1 0 0 1 0 0 1 0 U0 0 1 1 0 1 0 2 1

1 0 0 2 1 0 U LU

1 2 1

A = LU

Pemakaian faktorisasi LU pada sistem persamaan linier.

Jika didefinisikan y = Ux, maka x dapat diperoleh dengan

2 langkah yaitu :

1. Menyelesaikan persamaan Ly = b

2. Menyelesaikan persamaan Ux = y

Ax = b

Jika A = LU, LUx = b atau L(Ux) = b

Contoh soal :Selesaikan persamaan Ax = b dengan menggunakan faktorisasi LU jika diketahui :

Jawab :

Langkah 1: menyelesaikan persamaan Ly = b.

2 1 3 1A 4 1 3 dan b 4

2 5 5 9

1 0 0 2 1 3A 2 1 0 0 3 3 LU

1 2 1 0 0 2

Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :

1

2

3

1 0 0 1 2 1 0 4

1 2 1 9

yyy

y1 = 1

2y1 + y2 = – 4

–y1 – 2y2 + y3= 9

Diperoleh nilai y1 =1, y2 = – 6, y3 = – 2

1Sehingga : y 6

2

Langkah 2 : menyelesaikan persamaan Ux = y

Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :

1

2

3

x2 1 3 10 3 3 x 60 0 2 2x

2x1+ x2 + x3 = 1 – 3x2 – 3x3 = –6 2x3 = –2

Diperoleh nilai x1=1/2, x2 = 3, x3 = – 1

1 2Oleh karena itu hasil akhir diperoleh : x 3

1

Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara LU jika matrik A :

Jawab :Reduksi matrik A dalam bentuk eselon baris :

3 1 3 -4 6 4 8 -10

A 3 2 5 -1-9 5 -2 -4

3 1 3 -4 6 4 8 -10

A 3 2 5 -1-9 5 -2 -4

3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 1 2 3 0 8 7 -16

B21(-2)

B31(-1)

B41(3)

3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 1 2 3 0 8 7 -16

3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 0 1 4 0 0 -1 -8

3 1 3 -4 0 2 2 -2

U 0 0 1 4 0 0 0 -4

B32(-1/2)

B42(-4)

B43(1)

Untuk mendapatkan matrik L, kita hanya memasukkan nilai perkalian pada subdiagonal matrik identitas.

Tiga nilai perkalian operasi pertama yaitu 2, 1 dan – 3 : 1 0 0 0 2 1 0 0

L 1 * 1 0 -3 * * 1

Dua nilai perkalian operasi kedua yaitu 1/2 dan 4 :

Nilai perkalian operasi terakhir yaitu – 1:

12

1 0 0 0 2 1 0 0

L 1 1 0 -3 4 * 1

12

1 0 0 0 2 1 0 0

L 1 1 0 -3 4 -1 1

Jadi hasil faktorisasi matrik A dengan metode LU adalah

3 1 3 -4 6 4 8 -10

A 3 2 5 -1-9 5 -2 -4

12

1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 -3 4 -1 1

-3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 0 1 4 0 0 0 -4

LU

Matrik permutasi (P)Matrik permutasi diperoleh dari matrik identitas yang

elemennya berpindah posisi/urutannya.Contoh :

Apabila matrik A adalah matrik bujursangkar, maka faktorisasi matrik A dapat dituliskan :

0 1 0 01 0 0

0 1 0 0 0 1, 0 0 1 ,

1 0 1 0 0 00 1 0

0 0 1 0

A = PTLU = P-1LU

Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara PTLU jika

0 0 6A 1 2 3

2 1 4

Jawab :

Langkah pertama, kita harus mereduksi A ke bentuk eselon baris. Minimal satu baris yang tukar posisi.

0 0 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3A 1 2 3 0 0 6 0 0 6 0 -3 -2

2 1 4 2 1 4 0 -3 -2 0 0 6

B12B31(-2) B23

Dalam kasus ini, terjadi 2 perubahan posisi baris yaitu : , maka perlu matrik permutasi :

Selanjutnya dicari faktorisasi dari PA

1 2 2 3B B dan B B

2 1

1 0 0 0 1 0 0 1 0P P P 0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 6 1 2 3 1 2 3PA 0 0 1 1 2 3 2 1 4 0 -3 -2 U

1 0 0 2 1 4 0 0 6 0 0 6

B21(-2)

Jadi, L12 = 2 sehingga diperoleh faktorisasinya adalah :

T

0 0 1 1 0 0 1 2 3A P LU 1 0 0 2 1 0 0 -3 -2

0 1 0 0 0 1 0 0 6

Invers matrik n x n (n > 3) Untuk menyelesaikan invers matrik 2 x 2 dengan

metode OBE diperlukan 4 persamaan, sedangkan matrik 3 x 3 membutuhkan 9 persamaan dan jika diteruskan untuk matrik 4 x 4 membutuhkan 16 persamaan. Jadi untuk matrik n x n membutuhkan n2

persamaan, tentu saja memerlukan tingkat ketelitian yang sangat rumit.

Oleh karena itu, matrik berukuran besar akan lebih mudah dikerjakan secara bertahap yaitu dengan membagi matrik menjadi submatrik.