Maîtrisez les dates et les saisons · Ø 0 mars, donc 7, 14, 21 et 28 mars – le 21 mars, jalon...

MaîtrisezlesdatesetlessaisonsAVEC LE CALCUL MENTAL, TROUVER LA DURÉE DU JOUR, LE JOUR DE SEMAINE, LASEMAINE ISO,LA PHASE DE LUNE ET LA DATE DE PÂQUES

PRÉSENTÉ AU 21E SALON CULTURE ET JEUX MATHÉMATIQUES (MAI 2020)

Tirez-vouslemeilleurpartidevotrecalendrier?ØQuelleestladuréedujourle6juin?ØQuellejourdesemainetombele15août?ØLe6octobretombequelnumérodesemaine?ØQuelleestlaphasedelunele31mai2020?ØQuelleestladatedePâquesen1954?

Desméthodesdecalculmentalvouspermettentderépondreenquelquessecondesàcesquestions.

Maîtriser les dates et les saisons 27 au 9 6m 2020

Choisissezundomaine

Maîtriser les dates et les saisons 37 au 9 6m 2020

Laduréedujourselonladatedansl’année

Maîtriser les dates et les saisons 47 au 9 6m 2020

LesbasesAParis:ØLejourlepluscourtdureunpeuplusde8heures(8h30)ØLejourlepluslongdure16heures,soit8heuresdeplusØAupremierordre,laduréedujoursuitunefonctionsinusoïdaledutemps

ØOnpeutapproximercetteduréedujouraveclarègledesdouzièmes qu’utilisentlesmarinspourestimerlamarée

Ø Ilfautdécaler lesmoisde10jourspourfairelescalculs,ouutiliserlesmoisducalendriermilésien

Maîtriser les dates et les saisons 57 au 9 6m 2020

LecalendriermilésienàlarescousseØ12moisréguliersØDébutausolsticed’hiverØConversionsimpleaveclecalendriergrégorien

ØRendcomptedescaractéristiquesducycledessaisons

ØFacilitelescalculs

Maîtriser les dates et les saisons 67 au 9 6m 2020

Conversion(annéebissextile)1er milésien=22 dumoisgrégorienprécédentØ Sauf21 septembre,novembre,janvieretfévrier

1er grégorien=11 dumoismilésiendemêmerangØ Sauf10 3m,5m,7mØ Sauf12 2m=1er février

Maîtriser les dates et les saisons 77 au 9 6m 2020

Conversion(varianteannéecommune)1er milésien1m,2m,3munjourgrégorienplustôtØ21 décembre,20 janvier,20 février

1er janvieretfévrierunjourmilésienplustardØ12 1m=1er janvierØ13 2m=1er février

Maîtriser les dates et les saisons 87 au 9 6m 2020

RègledesdouzièmesPermetaumarind’estimerlahauteurd’eauheureparheurepourunemaréesemi-diurne.

Pourunepleinemeràminuit etunmarnagede12mètres:

LamerbaisseraØ De1mla1e heureØ De2mla2e heure(total3m)Ø De3mà3e heure(total6m)Ø De3mà4e heure(total9m)Ø De2mà5e heure(total11m)Ø De1mà6e heure(total12m)PuismonteraØ De1mla7e heure(total11m)Ø Etc.jusqu’àla12e heure

Maîtriser les dates et les saisons 97 au 9 6m 2020

IllustrationdelarègledesdouzièmesLedéroulementdutempsestreprésentéparunmouvementcirculaireuniformesurlecadranLahauteurestreprésentéesurlediamètre

111

57

210

48

39

6

121

2

3

3

2

1

Maîtriser les dates et les saisons 107 au 9 6m 2020

Laduréedujourenzonetempéréepeutêtrereprésentéedemanièreanalogue

Mini8h,maxi16h1/12de8h=40minØ1m:+40min(1,3min/j)Ø2m:+80min(2,6min/j)Ø3m:+120min(3min/j)Ø4m:+120min(3min/j)Ø5m:+80min(2,6min/j)Ø6m:+40min(1,3min/j)

Maîtriser les dates et les saisons 117 au 9 6m 2020

Enpratique,pourestimerladuréedujouràParisàunedatedel’annéeØAvancerde10jourspourladate(approximative)enmilésien

Ø Calculerladuréedejourendébutdumoismilésien

Ø Corrigerparuneinterpolationlinéaire

Exemple:6juinØ 166mØ Le16m,laduréeagagné7h20min->15h20min

Ø Le166m,ilfautajouter16x1,3min=21min

Ø Résultat:15h41minØ Incertitude:environ½heure

Maîtriser les dates et les saisons 127 au 9 6m 2020

Autresusagesducalendriermilésien

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 13

Convertisseuretcalendrierperpétuel

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 14

En inversé :jourspivots,tombantleclavedi

L’horlogemilésienneLadatedu76m2020(28mai 2020)

Versionen ligne

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 15

DatessymétriquesMêmeduréedujour

Mêmeparcoursdusoleilsurlavoûtecéleste

Mêmeensoleillement

Lesdifférencesclimatiquesobservéesentredeuxdatessymétriquesméritentuneanalyse

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 16

MIGUELDECERVANTESSAAVEDRA� (INHUMÉ)SAMEDI25M1616

23AVRIL1616GRÉGORIEN

WILLIAMSHAKESPEARE� MARDI125M161623AVRIL1616JULIEN

DifférencierlesdatesdedécèsdeShakespeareetCervantès

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 17

Analyserlesphénomènessaisonniersavecunréférentielpertinent

6

8

10

12

14

16

18

20

51m

2014

32m

2014

312m2014

283m2014

264m2014

235m2014

216m2014

187m2014

168m2014

139m2014

1110m

2014

811m2014

612m2014

41m

2015

22m

2015

302m2015

273m2015

254m2015

225m2015

206m2015

177m2015

158m2015

129m2015

1010m

2015

711m2015

512m2015

21m

2016

301m2016

282m2016

253m2016

234m2016

205m2016

186m2016

157m2016

138m2016

109m2016

810m2016

511m2016

312m2016

11m

2017

291m2017

Moyennehebdomadaireetcircumterrestredelatempératuredesurfacedesocéans

àlalatitude45,5° Ndel'hiver2014àl'hiver2017

Minimaversle13m(20/2)

Maximaversle19m(22/8)

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 18

Analyserlacalotteglaciairearctique

1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m 12m

Lescourbesd’évolutionannuelledelasurfacedela

calotteglaciairesontportéessurunrepèreenmoismilésiensaulieudegrégoriens

D’intéressantessymétriesapparaissent,invisiblesavecleréférentielgrégorien,quisuggèrentdediviserl’annéedelacalotteenquatre« saisons »décaléesd’unmoispar

rapportauxsaisonstempérées

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 19

Lejourdesemained’unedatequelconque

Maîtriser les dates et les saisons 207 au 9 6m 2020

Lesméthodesdecalculdejoursdesemainen’ontprogresséquelentementAl’origine,lecalendrierjuliennegéraitpaslasemaineØ Jalonsdesmois:NonesetlesIdes,respectivementpremierquartieretpleineluneØ Lasemaineaétéintégréeparlachrétientéàpartirdu4e siècle

L’anticipationdessemainesestd’abordrestél’apanagedesecclésiastiquesØ NécessairepourlaplanificationdesfêtesreligieusesØ Utilisaitdestables:voirLecalendrierperpétuelsurlestandvirtuel

Desméthodesalgorithmiquesn’ontétépubliéesqu’au19e siècleØ ChristianZellerenAllemagne,LewisCarollauRoyaume-Uni

Cen’estqu’en1973queJohnConwayconçoituneméthodedecalculmentalØ FondéesurlacapacitédecalculquechacundenousacquiertparexpérienceØ Etdontledernierperfectionnementdatede2011(Fong etWalkers)

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 21

Nousavonstousdescompétencespourcalculerlejourdesemained’unedateNouscalculonsunjourdesemainedansunmêmemoisØ Sachantquele7marstombesamedi…ØNoussavonsfacilementquele14,le21etle28marstombentaussisamedi

ØNoustrouvonsfacilementlesjeudis(5,12,19et26mars)ØNoustrouvonsaussiquele9marstombelundi

Maisilestdifficiled’extrapoleràunautremoisdelamêmeannée

Maîtriser les dates et les saisons 227 au 9 6m 2020

Laméthodedesjourspivotss’appuiesurcettecompétencenaturelleCertainesdatestombenttoujourslemêmejourdansunemêmeannéeØ Pourtouteslesannéesdontle1er marstombeunjourdesemainefixé,touteslesdatessuivantes

tombentchacunelemêmejourdesemaineØ Enannéebissextile,lesdatesdejanvieretfévriertombentunjourdesemaineplustôtqu’enannée

commune,comparerparexemple2020et2015

Lesjourspivotssontdesdatesfacilesàmémoriser,quitombenttoujourslemêmejourdesemained’uneannéedonnéesaufdécalage« bissextile »d’unjourenjanvieretfévrierCejourdesemainecommuns’appellelejourcléouclavediApartird’unjourpivotparmoisetduclavedidel’année,ontrouvelejourdesemainedetoutedatedecemoisIlsuffitdoncØ deconnaîtreparcœurunjourpivotdechaquemoisØ demémoriserleclavedidel’annéecourantepourlejourdesemainedetoutedatedansl’annéeØ decalculerleclavedipourtrouverlejourdesemainededateshorsdel’annéecourante

Maîtriser les dates et les saisons 237 au 9 6m 2020

Base:NumérotationjoursdesemaineØDimanche,premierjour,jour0ØLundi,l’un dit,1ØMardi,m’are dit,m’adit2fois:2ØMercredi,mer-cre-di,en3syllabes:3ØEtc.pourjeudi(4),vendredi(5),samedi(6)

Maîtriser les dates et les saisons 247 au 9 6m 2020

Base:jourspivotsMoispairs(sauffévrier):Ø 4/4,6/6,8/8,10/10,12/12(4avril,6juin,8août,10octobre,12décembre)

Moisimpairs(saufjanvier):« Jetravaillede9hà5hauSeven-Eleven »Ø 9/5et5/9Ø 11/7et7/11Ø 0mars,donc7,14,21et28mars– le21mars,jalonpourlecalculdePâques

JanvieretfévrierØ Le0mars->dernierjourdefévrier:29févrierbissextile,28févrierannéecommuneØ 28joursplustôt:1er février(annéebissextile)ou31janvier(annéecommune)Ø Enannéebissextile,le11/1etle22/2(111et222)Ø etdoncenannéecommunele10/1etle21/2(101et212)

Maîtriser les dates et les saisons 257 au 9 6m 2020

Leclavedioujourcléou« doomsday »Pourl’annéecouranteonletrouvesurlesiteducalendriermilésien,surWikipédia,etbientôtsurlesagendasdequalitéValeursrécentesØ 2017:mardi(2)Ø 2018:mercredi(3)Ø 2019:jeudi(4)Ø 2020:samedi(6),onsauteparcequel’annéeestbissextile

Maîtriser les dates et les saisons 267 au 9 6m 2020

Dèsmaintenantvouspouvezcalculerlesjoursdesemainedansl’annéecouranteRappel:en2020(annéebissextile),clavedi=samediØ 1er janvier?Ø Noëlarménien(6janvier)?Ø StValentin(14février)?Ø Fêtesdesgrand-mères

(1er dimanchedemars)?Ø JournéedelaTerre(22avril)?Ø Capitulation1945(8mai)?Ø Fêtedelamusique(21juin)?

Ø Fêtenationale(14juillet)?Ø Assomption(15août)?Ø Équinoxeastronomique

(22septembre)?Ø Fêtedesgrands-pères

(1er dimanched’octobre)?Ø Halloween(veilledeToussaint,

31octobre)?Ø 11-Novembre?Ø Noël(25décembre)?

Maîtriser les dates et les saisons 277 au 9 6m 2020

SolutionsdelapageprécédenteRappel:clavedi=samediØ 1er janvier?

q mercrediØ Noëlarménien(6janvier)?

q lundiØ StValentin(14février)?

q vendrediØ Fêtesdesgrand-mères

(1er dimanchedemars)?q dimanche1er mars

Ø JournéedelaTerre(22avril)?q mercredi

Ø Capitulation1945(8mai)?q vendredi

Ø Fêtedelamusique(21juin)?q dimanche

Ø Fêtenationale(14juillet)?q mardi

Ø Assomption(15août)?q samedi

Ø Équinoxeastronomique(22septembre)?q mardi

Ø Fêtedesgrands-pères(1er dimanched’octobre)?q dimanche4octobre

Ø Halloween(veilledeToussaint,31octobre)?q samedi

Ø 11-Novembre?q mercredi

Ø Noël(25décembre)?q vendredi

Maîtriser les dates et les saisons 287 au 9 6m 2020

LecalculduclavediLaméthodedesjourspivotsaétédéfinieen1973parlemathématicienJohnH.Conway,Ø néleclavedi26décembre1937(lendemaindeNoël)Ø décédéleclavedi11avril2020(veilledePâques)JohnConwaycalculaitlejourdesemaineden’importequelledateen1ou2secondesNousdonnonsiciuneméthodeperfectionnéedite« 11surimpair »proposéeparFongetWalkers

Maîtriser les dates et les saisons 297 au 9 6m 2020

PrincipesetétapesLescalculsutilisentlesadditionsetsoustractionsmodulo7:14=7=0,22=1,-4=3etc.Oncommencepardécomposerl’annéeAensiècleetpartieinfraséculaire:A=S+N(0<=N<100)Onplace(mentalement!)Ø SurlepremierdoigtlabalisedesiècleØ Surleseconddoigtlerésultatdelaméthode« 11surimpair »

appliquéàN,lapartieinfraséculairedel’annéeLeclavediestlasommedecesdeuxélémentsmodulo7

Maîtriser les dates et les saisons 307 au 9 6m 2020

BalisedesiècleCALENDRIERGRÉGORIEN

160020002400etc.

170021002500etc.

180022002600etc.

190023002700etc.

2 0 5 3

CALENDRIERJULIEN

A=S+N(0<=N<100)Balise:–Smodulo7Exemple:pourl’an325,labalisedesiècleest–3,donc4.

Maîtriser les dates et les saisons 317 au 9 6m 2020

Méthode11surimpairSoitNlapartieinfraséculaire.OnrechercheRl’écartdejourclécorrespondantàN.ØSiNestimpair,luiajouter11ØDiviserlerésultatpar2ØSilerésultatestimpair,ajouter11ØSoitPlenombreobtenu(quiesttoujourspair).L’écartdejourcléRest–P(modulo7).

Maîtriser les dates et les saisons 327 au 9 6m 2020

Exemple1

11novembre1918Ø 1918=1900 +18BalisedesiècleØ 1900->3ÉcartdeclavediØ 18estpair->18Ø 18div2=9Ø 9estimpair->9+11=20Ø 20=21– 1=-1modulo7,R=1Clavedide1918=3+1=4 (jeudi)7/11/1918tombejeudi,donc11/11/1918tombelundi

Maîtriser les dates et les saisons 337 au 9 6m 2020

Exemple2

Noël800:couronnementdeCharlemagneØ 800=800 +0BalisedesiècleØ 800(calendrierjulien)->-8=6 mod7ÉcartdeclavediØ 0div2->0Ø 0=0 mod7Clavedi=6 +0 ->samediØ 12/12estsamedi,comme19et26/12ØNoël800estlevendredi 25/12/800

Maîtriser les dates et les saisons 347 au 9 6m 2020

NumérodesemaineISOPOURCOMPRENDRECETTESECTION,ILESTPRÉFÉRABLEDECONNAÎTRELES« JOURSPIVOTS »DELASECTIONDESSEMAINES

Maîtriser les dates et les saisons 357 au 9 6m 2020

LessemainesnormaliséesLanormeISO8601prescritlesnumérosdesemainedansl’annéegrégorienneØLasemainen° 1del’annéeestcelleoùtombelepremierjeudidumoisdejanvier

ØC’estaussicelleoùtombele4janvierØL’annéecomporte52ouparfois53semaines,selonledébutdel’annéesuivante

Maîtriser les dates et les saisons 367 au 9 6m 2020

JourscaractéristiquesCertainesdatessontcaractéristiquesdessemaines,c’est-à-diretombenttoujoursdanslasemainedemêmenuméroquellequesoitl’annéeØLe4janviertombetoujourslasemaine1ØLe1er févriertombetoujourslasemaine5

Ilfauttoutefoisdistinguerentreannéecommuneetannéebissextile

Maîtriser les dates et les saisons 377 au 9 6m 2020

JourscaractéristiquesetjourspivotsAnnéesbissextilesØ Chaquedatetombantunclavedi,doncchaquejourpivot,estun

jourcaractéristiqued’unesemaineAnnéescommunesØ Lejourcaractéristiqued’unesemaineestlelendemain d’unjour

tombantleclavedi(lendemaind’unjourpivot)EnrésuméØ Lesjourspivotssontaussilesjourscaractéristiquesd’unesemaine,Ø sauflesannéescommunesdeclavedidimanche(2010,2021,2026,

2038…)->cesannées-là,c’estlelendemainquiestcaractéristique

Maîtriser les dates et les saisons 387 au 9 6m 2020

RègledesneufsemainesMOISPAIRS

Ø1/2(exception)->S05Ø4/4->S14(1+4=5)Ø6/6->S23(2+3=5)Ø8/8->S32(3+2=5)Ø10/10->S41(4+1=5)Ø12/12->S50

MOISIMPAIRS

Ø4/1(exception)->S01Ø« 0/3 »->S09Ø2/5->S18Ø4/7->S27Ø5/9->S36Ø7/11->S45

Maîtriser les dates et les saisons 397 au 9 6m 2020

Datecaractéristiqued’unn° desemaineØChercherleplusprochenuméroantérieurquisoit

q Multiplede9(sommedeschiffres=9)->moisimpairq Oucongruà5modulo9(sommedeschiffres=5)->moispair

ØAjouter1auchiffredesdizaines,multiplierpar2q Silemoisestpair,lerésultatestlen° demoisq Silemoisestimpair,ajouter1pourlen° demois

ØAjouteraujourpivotainsitrouvélenombredesemainesdedifférenceaveclenumérooriginal

Maîtriser les dates et les saisons 407 au 9 6m 2020

Exemple:datepourunn° desemaine

Semaine49?ØAntérieurleplusproche:45 (moisimpair)q 4+1->5 (ajouter1auchiffredesdizaines)q 5*2->10 (multiplierpar2)q 10 +1->11 (ajouter1pourunmoisimpair)q Novembre ->7/11 (jourpivotdumois)

Ø4semainesplustard:5/12ØSelonleclavedi,ondéterminelelundidecettesemaine

Maîtriser les dates et les saisons 417 au 9 6m 2020

Onpeutaussiseréféreràlasemaine50,plusproche,quicorrespondau12/12

SemaineISOd’unedateØSituerladateparrapportaujourcaractéristiqueprécédent(dumêmemois,parfoisdumoisantérieur)

ØSilemoisestimpair,retirer1àsonnuméroØDiviserpar2,puisretirer1->chiffredesdizainesØMoisimpair:compléterenunnombremultiplede9ØMoispair->compléterenunnombrecongruà5mod.9ØCompterlessemainesentrejourcaractéristiqueetdate

Maîtriser les dates et les saisons 427 au 9 6m 2020

Exemple:6octobreEN2020(CLAVEDI=SAMEDI)

Ø Pivotantérieur:5/9Ø 9 - 1->8Ø 8 div2->4,4 – 1->3ØMoisimpair->S36Ø 3/10estjourpivotdeS404 semainesaprès5/9

Ø 6/10estmardi desemainesuivante,S41

EN2017(CLAVEDI=MARDI)

Ø Pivotantérieur:5/9Ø 9- 1->8Ø 8 div2->4,4 – 1->3ØMoisimpair->S36Ø 3/10estjourpivotdeS404 semainesaprès5/9

Ø 6/10estvendredi suivant,mêmesemaineS40

Avecunpeud’expérience,onpeutseréférerau10octobre(S41),plusproche

Maîtriser les dates et les saisons 437 au 9 6m 2020

L’âgedeluneetPâquesencalculmentalMÉTHODESINÉDITES

Maîtriser les dates et les saisons 447 au 9 6m 2020

Qu’est-cequel’âgedeluneÂgedeluned’unedateØNombredejoursdepuisladernièrenouvelleluneØQuantièmedanslemoislunaireÂgeetphasesdeluneØ7:premierquartierØ14ou15:pleineluneØ22:dernierquartierØAudessusde30:ilfautprendrelerésultatmodulo30

Maîtriser les dates et les saisons 457 au 9 6m 2020

PâquesLadatedePâquesdéterminedenombreusesfêtesdanslespaysdetraditionchrétiennePâquestombeledimanche quisuitle14e jourdelune quiarrivele21mars oujusteaprès(ConciledeNicée,325)LecalculdePâquesestfondésurunalgorithme,lecomputecclésiastique,quireprésentelalunedemanièreimparfaitemaissuffisante:marged’incertitudededeuxjoursparrapportàlalune« vraie »

Maîtriser les dates et les saisons 467 au 9 6m 2020

UneméthodeinéditedecalculmentalLaprésenteméthodepermetlecalculmental desdonnéeslunairesetdePâquesjusqu’à2199

Maîtriser les dates et les saisons 477 au 9 6m 2020

Notiond’épacteL’épacteestl’âgedelunelaveilledu1er janvier.Lecomputecclésiastiquecalculel’épactedechaqueannée.Al’aidedel’épactedel’année,onpeutévaluerl’âgedelaluneàtoutedatedel’année.L’épacteestaussienrelationtrèssimpleavecladatedelapleinelunequisuitle21mars.

Maîtriser les dates et les saisons 487 au 9 6m 2020

Utiliserl’épactepourl’âgedelaluneExemplepour2020,l’épacteest5ØL’âgedel’unele1er janvierest5+1->6ØL’âgedelunele9janvierest5+9->14,pleineluneØL’âgedelunele26janvier5+26=31=1 modulo30

Pourlesautresmois,ilfautconsidérerun« écartd’épacte »chaquemois,carchaquemoislunairedure29ou30jours,et2moislunairesfont59jours

Maîtriser les dates et les saisons 497 au 9 6m 2020

Écartd’épactedechaquemoisMois Janv Fév Mars Avr Mai Juin Juil Août Sept Oct Nov Déc

Écart 0 1 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10

Onnetientpascomptedu29févrierdesannéesbissextilesLesirrégularitésdutableausontenrouge:

• Janvier+février=59jours=deuxlunaisons,doncmars estcommejanvier

• Juillet+août=62jours=3joursdeplusquedeuxlunaisonsdoncseptembre décaléde3joursparrapportàjuillet

Remarquerquelesécartsd’épactedeseptembreàdécembresontlesnumérosétymologiquesdesmois(7tembre,8bre,…)

Maîtriser les dates et les saisons 507 au 9 6m 2020

Âgedelaluned’unedateSommemodulo30 deØÉpactedel’annéeØÉcartd’épactedumoisØQuantièmedumois

Exemple:31mai2020ØÉpactede2020:5ØÉcartd’épactedemai:2ØQuantième:31ØÂge:38 mod30->8,unjouraprès1er quartier

Maîtriser les dates et les saisons 517 au 9 6m 2020

L’épactepermetdecalculersimplementladatedelapleinelunepascaleReliquatpascal,nombredejoursentrele21marsetlapleinelunelaplusproche:ØReliquatpascal=(23– Épactedel’année)modulo30

Aveclecomputgrégorien,silereliquatpascalbrutaunevaleurtropélevée(29ouparfois28),ilestcorrigéd’unjour(détailsinfra)

Maîtriser les dates et les saisons 527 au 9 6m 2020

PourobtenirladatedePâques,onenchaînelesopérationsmentalessuivantes

Épactedel’année

•Calculdétailléci-après

Reliquatpascalcorrigé

•Datedelapleinelunepascale

Clavedidel’année

• Jourdesemainedelapleinelunepascale

Joursjusqu’auprochaindimanche

•DatedudimanchedePâques

Maîtriser les dates et les saisons 537 au 9 6m 2020

UtilisationduclavediLecalculduclavedi(jourclé,« doomsday »)estexpliquéàlasectionSemainesLe21marsestunjourpivot,iltombeleclavedi,donclapleinelunetombelejourdesemainedenuméro

(clavedi+reliquatpascal)modulo7Ilestalorsfaciledetrouverladatedudimanchesuivant

Maîtriser les dates et les saisons 547 au 9 6m 2020

Principesducalculd’épacteLavaleurdel’épactesuituncyclede19ans,lecycledeMéton-Callippe.Chaqueannéeducycleestcaractériséeparlenombred’or,de1à19.Ilestplussimpled’utiliserleNomu,Nombred’OrMoinsUn:pourl’annéeA,Nomu =Amod19.L’épacteaugmentede11joursmodulo30chaqueannéeducyclede19ans.Audébutd’unnouveaucycle,l’épacteretrouvelavaleurdudébutdecycle,soit12joursdeplusmodulo30queladernièreannéeducycle.Certainesannéesdesiècle,ilyaunsautd’épacte quitientcomptedesannéesdesièclenonbissextilesetdeladériverésiduelledelaluneparrapportaucycledeMéton-Callippe.Iln’yaaucunsautd’épacteentre1900et2199.

Maîtriser les dates et les saisons 557 au 9 6m 2020

Valeurdel’épactepourl’annéeAÉpacte(A)=(Nomu(A)*11+E0(S))mod30,oùØNomu(A)=Amod19ØE0(S):« Épacteendébutdecycle »,peutchangerlorsdesannéesdesiècle(« sautd’épacte »)q Calendrierjulien:E0=8,quicorrespondà« l’an0 »(1av.J.-C.)q 1583– 1699:E0=+1q 1700– 1899:E0=0q 1900–2199:E0=-1 valeuràretenirpourlaplupartdescascourants

Maîtriser les dates et les saisons 567 au 9 6m 2020

CalculerNomu(Nombred’OrMoinsUn)Nomu=Amodulo19Lerested’unedivisionpar19estfacileàtrouveràpartirdel’expressiondudividendeenbase20Ø PourA>=1900,posonsa =A – 1900ØAmod19=amod19(car1900estmultiplede19)ØDécomposonsa =v *20+w (0<=w<20)ØAlorsNomu =amod19=v +w

q PropriétégénéraledecongruencemoduloB– 1pourunnombreexpriméenbaseB,utiliséenotammentpourlapreuvepar9desécoliers

Maîtriser les dates et les saisons 577 au 9 6m 2020

Multiplicationpar11Pourmultiplierunnombrepar11:ØOnlemultipliepar10ØOnajoutelenombreaurésultat

Exempleavec18Ø180+18=198

Maîtriser les dates et les saisons 587 au 9 6m 2020

Restedeladivisionpar30Ilsuffitdecomparerauxmultiplesde30,simplesàserappeler:30,60,90,120,150,180Exemple:197mod30=197– 180=17

Maîtriser les dates et les saisons 597 au 9 6m 2020

ReliquatpascaletcorrectionReliquatpascalbrut=(23– Épacte)modulo30Ø Enpratique:soustrairel’épactede23oude53

pourobtenirunrésultatentre0et29RèglegénéralepourlacorrectionØ Reliquatpascalbrut=29->corrigeren28Ø Reliquatpascalbrut=28etNomu >=11->corrigeren27Danslapériode1900– 2199,ilfautcorrigerlereliquatpascaldansdeuxcas:Ø Épacte24->reliquatpascalcorrigéen28 aulieude29Ø Épacte25->reliquatpascalcorrigéen27 aulieude28

Maîtriser les dates et les saisons 607 au 9 6m 2020

Exempledétaillé:Pâquesen20201. Décomposition:2020 =1900+1202. Nomu:120 =6 *20+0->Nomu=63. Épacte=(6 *11– 1)mod30=65 mod30=5

L’épactedonneaussil’âgedelunedechaquedatedel’année

4. Reliquatpascal=23– 5 =18 (pasdecorrectionàfaire)Lapleinelunepascaletombele21mars+18 jours->8avril

5. Clavedide2020=6 (samedi),voircalculdujourdesemaine6. Jourdesemainedelapleinelunepascale:

18+6 =24=3 mod7->mercredi7. Dimanchesuivant:4 joursplustard,soit21mars+18 +4 ->12avril

Maîtriser les dates et les saisons 617 au 9 6m 2020

2e exemple:Pâquesen19541. Décomposition:1954 =1900+542. Nomu:54 =2 *20+14->Nomu=163. Épacte=(16 *11– 1)mod30=160+16– 1=175 mod30=25

L’épacte25estl’undescasdecorrectionpourlapériode1900-2199

4. Reliquatpascal(corrigé)=30+23– 25 =28corrigé->27Lapleinelunepascaletombele17avril

5. Clavedide1954=0 (dimanche)6. Jourdesemainedelapleinelunepascale:

27+0 =6 mod7->samedi7. Dimanchesuivant:1 jourplustard,soit21mars+27 +1 ->18avril

Maîtriser les dates et les saisons 627 au 9 6m 2020

Danscetexemple,sionoublielacorrection,onplacePâquesdemanièreerronéele25avril

Pourlesannéesantérieuresà1900IlfautdécomposerAenbase20ØA=u*400+v*20+wØ Exemple:1855 =1600 +200+40 +15

=4*400 +(10+2)*20 +15Nomu =4 +12 +15 =31=12 modulo19

Pourlecalculd’épacte,E0changeselonlapériodeØ 0– 1582(etmêmeaprèsencalendrierjulien):E0=8Ø 1583– 1699(grégorien):E0=1Ø 1700– 1899(grégorien):E0=0

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 63

3e exemple:Pâquesen12481. Nomu:1248 =3*400+2*20+8->Nomu=132. Épacte=(13 *11+8)mod30=(143+8)mod30=151 mod30=1

Pasdecorrectiond’épacteaveclecalendrierjulien

3. Reliquatpascal=23– 1 =22Lapleinelunepascaletombele12avril

4. Clavedide1248calculéencalendrierjulien =6 (samedi)5. Jourdesemainedelapleinelunepascale:

22+6 =28 mod7->dimanche6. Dimanchesuivant:7 joursplustard,soit21mars+22 +9 ->19avril

Maîtriser les dates et les saisons 647 au 9 6m 2020

Remarque:Conversionnombredejoursaprès21/3Ø 0à10:ajouterà21pourobtenirlequantièmeenmars

q Exemples:7 +21->28 mars,10 +21->31 mars

Ø 11etplus:soustraire10pourlequantièmeenavrilq Exemples:11 – 10->1er avril,35 – 10->25 avril

Sil’onutiliselecalendriermilésien(voirduréedujour):Ø lenombredejoursaprèsle21marsestlequantièmedanslemoismilésiendequartème(4m)carle21marsestle30tertèmeou« 0quartème »

Maîtriser les dates et les saisons 657 au 9 6m 2020

Ladated’unephasedeluneExemple:datedelapleineluned’avril1880(voirlejeudesdatationsded’événements)Ø1880=4*400+10*20+4*20ØNomu =4 +10 +4 =18ØÉpacte=(18*11+0)=198=18 modulo30ØÉpactepouravril=18 +1=19ØProchainepleinelune:(14– 19)modulo30->25avril

7 au 9 6m 2020 Maîtriser les dates et les saisons 66

Pourensavoirplus…

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