Mécanique du point matériel -...

Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER

Mécanique du point matériel

Oscillateurs mécaniques

A – Etude en régime libre

� 1 - Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :* En l’absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à :

20 =+=+ xxx

kx ω&&&&

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

)cos(sincos 000 ϕωωω −=+= tCtBtAx

� Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :* En présence de frottement fluide en :

Le PFD s’écrit alors, en projection sur l’axe (Ox) :

0=++−−= xm

kxhxsoitxhmkxxm &&&&&&

On pose : Q

k 000 22;

ωσωλω ====

σσσσ est le facteur d’amortissement de l’oscillateur et Q le facteur de qualité.

Alors : 022 20

20 =++=++=++ xx

Qxxxxxxx ω

ωωσωωλ &&&&&&&&&

Différents régimes, selon les valeurs prises par σσσσ (ou Q = 1/2σσσσ) : régime pseudo-périodique, régime apériodique ou régime apériodique.

� 2 - Méthode de résolution de l’équation différentielle :

022 20

20 =++=++=++ xx

Qxxxxxxx ω

ωωσωωλ &&&&&&&&&

On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :

02 200

2 =++ ωσω rr

Dont le discriminant est : )1(4 22

0 −=∆ σω

),(:10

−===∆

∈>>∆

∈−<<∆

runiqueracinecritiqueeapériodiqurégimesoit

Rrreapériodiqurégimesoit

Crrpériodiquepseudorégimesoit

σωϕ

σωω

)cos()(

)sin()cos()(

ttextx

Régime pseudo-périodique :

)1( 20

pulsationPseudo

−= σωω

)1( <σ (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)

Régime apériodique : )1( >σ (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)

001 −−−=−+−= σωσωσωσω rr

−−

tshtchextx

ωωσω

σωω

)()()(

Régime apériodique critique : )1( =σ (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)

tetxtx 0)1()( 00

ωω −+=

� 3 - Autres exemples d’oscillateurs : Le ressort vertical

0l kéql

xéq += ll

A vide A l’équilibre En mouvement

xéqxéqéq uxkTukTr

)(;)( 00 −+−=−−=

En l’absence de frottements :

En présence de frottements fluides :

mgumgukTgm éqxxéqéq +==+−−=+ 00 ;0)(;0 ll

xxxéq uxmumguxkamTgmr

=+−+−=+ )(; 0

A l’équilibre :

En mouvement :

En tenant compte de la relation obtenue à l’équilibre :

0 00k k

x x x x Avecm m

+ = + = =

Par un raisonnement similaire, on obtient :

xxxxéq uxmuxhmumguxkamvhmTgmr

llrrrr

=−+−+−=−+ )(; 0

)2(02 00200 het

kAvecxxxx

kxhx ===++=++ σωωωσω &&&&&&

Ressort sur un plan incliné :

mgoùd

0sin)(

=+−−

En présence d’une force de frottement fluide de la forme , l’équation différentielle vérifiée par la variable x peut encore s’écrire sous la forme canonique :

0200 =++=++=++ xx

Qxxxxx

kxhx ω

ωωσω &&&&&&&&&

Oscillateurs couplés :

Enoncé du problème : (fichier au format pdf)

Le pendule simple :

θθθ uv &l

−En présence d’une force de frottement fluide :

0sin2sin 200 =++=++ θωθσωθθθθ &&&

&&& gh

)(sin θθθ &l&&l hmmgm −−=

Soit :

Si l’angle θθθθ reste « petit », alors on retrouve l’équation habituelle :

02200 =++=++ θωθσωθθθθ &&&

&&& gh

PFD sur : θur

vhmfrr

Cet espace est le produit de l'espace ordinaire par l'espace des vitesses. En d'autres termes, un point matériel M est repéré dans cet espace par les coordonnées (x,y,z) de son vecteur position ainsi que par celles de son vecteur vitesse, notées (vx,vy,vz).

On se limite aux cas où un point matériel M est animé, dans l'espace ordinaire, d'un mouvement à une dimension, le long de l'axe (Ox).

Dans l'espace des phases, le point représentatif de l'état de M se déplace alors dans une région à deux dimensions.

Ce point, de coordonnées (x,v), décrit lors du mouvement de M une courbe appelée "courbe des phases". Cette "trajectoire" de M dans l'espace des phases a pour origine le point M0(x0,v0) correspondant à l'état initial de M.

� 4 - Notion d’espace des phases :

La position du point matériel est complètement déterminée par la donnée des conditions initiales et par la connaissance des équations du mouvement.

Comme l'évolution de la particule est univoque, deux trajectoires dans l'espace des phases ne peuvent pas se croiser. Si cela était possible, en prenant ce point d'intersection comme conditions initiales, on pourrait obtenir deux solutions distinctes des équations du mouvement, ce qui est interdit pour des raisons mathématiques.

Exemples de courbes des phases :

*** initialement en mouvement, M n'est soumis à aucune force.

*** initialement immobile, M est soumis à une force constante F.

*** initialement en mouvement, M est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse : F = -hmv (a : constante positive).

*** initialement immobile hors d'équilibre, M est soumis à une force de rappel proportionnelle à son élongation : F=-kx (k : constante positive).

La courbe des phases peut se retrouver en écrivant l’intégrale 1ère du mouvement.

Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (x,v/ωωωω0) ?

*** Déterminer, par la même loi de conservation, la courbe de phase pour un pendule simple (masse m et longueur L).

Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (θθθθ, ) ?0/ωθ&

� 5 - Portrait de phase d’un oscillateur :Lecture de portrait de phase : on considère le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide ( étant la vitesse de la masse m et on note x l’écart à la position d’équilibre). L’étude est réalisée dans le référentiel galiléen du laboratoire.

a) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.

b) Déterminer, par lecture graphique :

* La valeur initiale de la position x0.

* La valeur finale de la position xf.

* La pseudo période Ta.

* Le décrément logarithmique δδδδ.

c) En déduire la pulsation propre ωωωω0, le facteur de qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide λ.λ.λ.λ.

,λ−

a) Régime pseudo-périodique : présence de frottements, la courbe de phase n’est pas fermée. Elle se termine en un point d’équilibre stable (ici le point O), appelé attracteur.

b) x0 = 3 cm ; xf = 0 cm (attracteur) ; Ta = 315 ms ;

c) Q = 5 ;

)()()(;628,010.6,1

10.3lnln 0

0 txetxeTtxx

aσωδδ −−

1;.05,20 1

0 === −

Qsrad σω

mmNmk .2;.201 10120

−− ====ω

� Portrait de phase d’un pendule simple :

Trampoline :On considère la modélisation d’un trampoline à l’aide de deux ressorts de longueur à vide l0et de raideur k. Un homme, assimilé à un point matériel M de masse m monte sur le trampoline qui s’enfonce ; son mouvement est vertical le long de l’axe (Ox).

Données : mdkgmmmNk 5;80;1;.3003 01 ==== −

Dans les deux premières questions, on suppose que l’homme reste en contact avec le trampoline : il est solidaire du trampoline.

a) Déterminer la distance d’enfoncement xéq à l’équilibre lorsque l’homme monte sur le trampoline. En déduire l’allongement des ressorts.

b) L’oscillateur obtenu est-t-il harmonique ?O

M(m)xu

a) Bilan des forces à l’équilibre : xumgr

Le poids :

La tension du ressort de droite : MB

MBMBkTd )( 0l

2;)2/(

+=+−=

dxMBuduxMB yx

+= yxd u

, d’où :

De même :

+= yxg u

(tension du ressort de gauche)

A l’équilibre : 0rrrr

=++ gdx TTumg

En projection sur l’axe (Ox) :

−−

Une résolution numérique conduit à xéq = 19,8 cm. L’allongement des ressorts est alors :

xéq 5,12

22 =−

En mouvement, le PFD appliqué à la masse m donne, en projection sur (Ox) :

kxxm +

−−=2

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre non linéaire : l’oscillateur n’est pas harmonique.

Oscillateurs mécaniques

B – Etude en régime sinusoïdal forcé

� 1 - Intérêt de l’étude :

Système linéaire électrique ou mécanique

(réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes excités par des

ondes lumineuses, …

Contraintes extérieures

Réponse du système

e(t)=Emcosωωωωt« Filtres »

mécaniques ou électriques

s(t)=Smcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)

L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ωωωω.

Fonction de transfert complexe – Gain – phase – Diagramme de Bode – dB – Filtre du 1erordre – Filtre du 2ème ordre – Pulsation de coupure – Asymptotes – Coefficient d’amortissement ξ (= σ ξ (= σ ξ (= σ ξ (= σ !) – Pulsation propre – Résonance – Bande passante.

Le pont de Tacoma

� 2 - Description et équation de l’oscillateur étudié :

)( 0ll&&& −−+−−= Aéq xxkxhmmgxm

Aéq xx −+= ll

A l’équilibre En mouvement

Dans le référentiel terrestre galiléen :

kxhx =++ &&&

En utilisant la condition d’équilibre :

Soit, avec :

Axxxx20

2002 ωωσω =++ &&&

Qh ==== 2

0 22 ωλω

)cos(, tXx mAA ω=

:,),(1

CCuqavecsoitteqC

qRqL ==++ &&&

Cette équation est formellement identique à celle vérifiée par la tension aux bornes d’un condensateur dans un circuit série (RLC) alimenté par un GBF (voir cours d’électricité) :

Méthode de résolution choisie : la même qu’en électricité !

Ru CCC =++&&

))cos((; )(, ϕωϕωω +=== +

tXxeXxeXx mti

xxixixetxix22

)( ωωωω −==== &&&&

Soit :

Ou encore :

� 3 - Détermination de la réponse en amplitude x(t) :

ωωσωωω

ωωωσωω

ωωσω

=++−

=++ &&&

ωσωωω

2)( +−=

2)( ωσωωω

Etude de l’amplitude maximale Xm(ωωωω) :

En prenant le module de l’expression précédente :

mAm XX ,22

4)( ωωσωω

Etude mathématique : 0lim;lim ,0

==∞→→

mmAm XXXωω

On note : 220

22220 4)()( ωωσωωω +−=D

Alors Xm(ωωωω) sera extrémale si D(ωωωω) l’est aussi. On calcule ainsi une dérivée plus simple :

( ) 02)(48)(4)( 2

2220 =+−−=+−−= ωσωωωωωσωωω

On obtient ainsi : 02)(020

2220 =+−−= ωσωωω ou

Soit, en oubliant la solution non harmonique (correspondant à ω ω ω ω = 0) :

)21( 220

2 σωω −=r

Cette pulsation de « résonance d’amplitude » (c’est à dire correspondant à une réponse harmonique en amplitude maximale) n’existe que si :

1021 2 <>− σσ soit

Elle vaut alors : 20 21 σωω −=r

Et l’amplitude maximale à la « résonance d’amplitude » est :

mArm XX ,212

σσω

Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d’amortissement σσσσ (Q = 1/2σσσσ) :

20 >−= QavecQ

r ωω

mArm X

Remarque : pour de faibles amortissements (σσσσ «faible» et Q «grand»), alors :

mArm QXX ,)( ≈ω

Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

0ωω ≈r et

Tracés des courbes Xm(ωωωω) pour différentes valeurs de σσσσ (ou Q) :

* On a choisi : XA,m = 1

* u = ωωωω/ωωωω0 désigne la pulsation réduite

* On vérifie bien que, pour σσσσ faible, la résonance est obtenue pour u ~ 1 (soit ω ω ω ω ∼∼∼∼ ωωωω0).

* L’oscillateur constitue un filtre passe-bas

* Bande passante du filtre

Etude du déphasage ϕϕϕϕ(ωωωω) :

La réponse complexe est :

Le déphasage ϕϕϕϕ est l’opposé de l’argument θθθθ du complexe .

Par conséquent :

2)( ωσωωω

ωσωωω 022

0 2)( i+−

02tantan

ωσωθϕ

−−=−=

)2(0sinsin 0σωωθϕ −<−= designe

[ ]0,πϕ −∈→ donc

Tracé des courbes ϕϕϕϕ(ωωωω) :

Fonction de transfert complexe en amplitude :

La fonction de transfert complexe en amplitude est définie par :

ωσωωω

ωω ϕ

, 2)()(

+−==

Soit :

)( =ω est le gain (réel) en amplitude.

Diagramme de Bode : c’est l’ensemble des deux courbes en fonction de la pulsation ωωωω, tracées en échelle semi-logarithmique (voir l’étude des filtres en électricité).

ϕetGG xdBx )log(20, =

En notation réelle :

Ou encore :

� 4 - Détermination de la réponse en vitesse v(t) :

ωσωωω

22)( 0

)cos()( ψω += tVtv m

En notation complexe : )()( ψω += timeVtv

La vitesse complexe v s’obtient à partir de l’amplitude complexe x en remarquant que . Par conséquent :

xixv ω== &

Etude de l’amplitude maximale Vm(ωωωω) de la vitesse :

En prenant le module de l’expression précédente :

Etude mathématique : 0lim;0lim0

==∞→→

mm VVωω

Vm(ωωωω) sera maximale (on parle alors de résonance de vitesse, si le dénominateur est minimal, c’est à dire pour une pulsation telle que :

mAm XV ,2

0 ωωω

ω==− soit

L’amplitude de la vitesse valant alors : mAmAm XQXV ,0,0

)( ωσ

ωω ==

Tracés des courbes Vm(ωωωω) pour différentes valeurs de σσσσ (ou Q) :

* On a choisi :

XA,m = 1 et ωωωω0=1 rad.s – 1.

* u = ωωωω/ωωωω0 désigne la pulsation réduite

* Pour σσσσ faible (ou Q grand), la résonance est très aiguë.

* L’oscillateur constitue un filtre passe-bande.

* Bande passante du filtre

Fonction de transfert complexe en vitesse et bande passante :

La fonction de transfert complexe en vitesse est définie par :

ωω ψ

Soit :

)( =ω est le gain (réel) en vitesse. Il est maximal pour ω = ωω = ωω = ωω = ω0 et vaut :

)( ωσ

ωω QGv ==

Bande passante du filtre passe-bande : c’est l’ensemble des pulsations ωωωω pour lesquelles le gain en vitesse reste, par convention, supérieur au gain maximal (obtenu pour ωωωω0) divisé par .

Les pulsations ωωωωc1 et ωωωωc2 sont appelées pulsations de coupure. Elles vérifient :

0 ccvv pourGG ωωωσ

ωωω ∈=≥

ωωω

1)()( 0

21== cvcv GG (Les placer sur les courbes fournies)

Ces pulsations de coupure vérifient ainsi l’équation :

En élevant au carré et en prenant l’inverse :

2 484 σω

ωσ =

−+ soit

−=−

La 1ère équation conduit à : 02 200

2 =−− ωωσωω

Dont la seule racine positive est : 200 1

2σωσωω ++=c

La 2ème équation conduit à : 02 200

2 =−+ ωωσωω

Dont la seule racine positive est : 200 1

1σωσωω ++−=c

La largeur de la bande passante est :

Elle est d’autant plus faible (résonance aiguë) que l’amortissement est faible (et le facteur de qualité grand).

ωσωωωω ==−=∆

Etude du déphasage ϕϕϕϕ(ωωωω) :

La réponse complexe est :

−−=

σψ 0

)2(0cos σψ designe>

−∈→

ππψdonc

Tracé des courbes ϕϕϕϕ(ωωωω) :

Remarque : 2

πϕψ +=

� 5 - Bilan énergétique, réponse en puissance :

En multipliant par v l’équation différentielle du mouvement :

Akxkxxhmxm =++ &&&

On fait apparaître différents termes énergétiques :

Akvxkvxxhmvxmv =++ &&& soit hmvvkvxxxkxxm A −=+ &&&&

D’où : 222)

1( hmvkvxx

dm A −=+&

Soit : 222)

1( hmvkvxkxmv

dA −=+

Le 1er membre est la dérivée temporelle de l’énergie mécanique de l’oscillateur :

1kxmvEm +=

Le 2nd membre est la somme de la puissance Pd dissipée par les forces de frottement et la puissance Pf fournie par l’excitation :

vkxPethmvP Afd =−= 2

On note P la puissance instantanée totale reçue par l’oscillateur :

fd PPP +=

De la même manière qu’en électricité, déterminons la puissance moyenne sur une période :

fd PPP +=

Avec :

2)(cos

hmVdttV

Thmdtv

ThmhmvP −=+−=−=−= ∫∫ ψω

∫ +==T

mmAAf dtttVXT

kvkxP0

, )cos(cos1

ψωω

Or, avec :

ψψψω cos2

cos)2cos(2

, mmAT T

VXkdtdtt

VXkP =

++= ∫ ∫

f PhmVVh

kP −==

ωωω

Finalement :

0=+= df PPP

En définitive :

En régime forcé, la puissance moyenne fournie par l’excitation est égale à la puissance moyenne dissipée en chaleur par l’oscillateur.

� 6 - Autres oscillateurs :

* Modélisation d’un haut parleur

* Étude d’un sismographe

* Pourquoi le ciel est-il bleu par beau temps ?

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