mecanica de fluidos

FLUJO FLUJO POTENCIALPOTENCIAL

FLUJO POTENCIAL

Superponer varios flujos potenciales simples para construir un flujo.

El flujo potencial representa a los flujos sin viscosidad

Es posible estudiarlos teóricamente

Proporciona las condiciones de frontera a utilizarse en la solución de la capa límite.

Objetivo

CONCIDERACIONES BÁSICAS

- Flujo bidimensional, permanente, incompresible e irrotacional.- Condiciones de contorno para flujo no viscoso.- Conservación de masa- Física y matemáticas necesarias para la mecánica de fluidos

FISICA Y MATEMATICAS NECESARIAS PARA LA MECANICA DE FLUIDOS

DERIVADAS PARCIALES

2( , ) 2 cos(3 )

2 2cos(3 )

???

F x y yx x y

Fxy y

xF

y

REGLA DE LA CADENA

( , )

( , )

( , )

???

F F A B

A x y

B x y

F F A F B

x A x B xF

y

r

X

Y

Z

r xi yj zk

V ui vj wk

dr dx dy dzV i j k

dt dt dt dt

, ,dx dy dz

u v wdt dt dt

VECTORES

Considere el movimiento de una partícula. Denotando como r el vector posición (desplazamiento) de la partícula, y los vectores i, j, y k denotan a los vectores unitarrios en la dirección X, Y y Z, respectivamente. Luego

El vector velocidad V del movimientode un punto es dado por:

donde por definición

Por lo tanto:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

OPERADOR NABLA

Es un operador diferencial representado por el símbolo V (nabla).

Este operador puede aplicarse a campo escalares Ф o a campos vectoriales

Líneas de Corriente

Es un lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en instante t .

v

y

u

x

Ecuación de la línea de corriente en forma vectorial

CAPA LÍMITE

Prandtl 1904: Explica la resistencia de los cuerpos currentilineos, placas planas paralelas al flujo y similares en flujo de pequeña viscosidad

Los efectos friccionantes del flujo se confinan a la capa limite y quizá a una estela detrás de un cuerpo pero fuera de la capa limite la viscosidad del fluido no tiene efecto el fluido es sin fricción e irrotacional

V=0 en A y C Punto de estancamiento

En A y C V=0 Punto de estancamiento

En A y C la presión es máximo

En B la velocidad es máximo y la presión es mínimo

a) Flujo inviscido

b) Flujo existente

Flujo alrededor de una esfera

Región separada

Capa límite

FUNCIÓN CORRIENTE

Se basa en el principio de la continuidad y las propiedades de la línea de corriente.

)........(1 udyvdx

:es toralderivada la ),( : Si yx

.....(2) dyy

dxx

d

Comparando ambas expresiones se tiene :

.......(3) y

ux

v

El flujo entre las lineas de corriente puede ser cuantificado por:

La ecuación de Vorticidad:

y

uv

x

expresados en términos de :

2

2

2

2

x y

Para flujos irrotacionales z =0

0x

22

2

2

2

y

Ecuación de Laplace

POTENCIAL DE VELOCIDADEs una función (x,y) cuya derivada negativa con respecto a la distancia en cualquier dirección proporciona la velocidad en dicha dirección.

),(),(

vuVyx

y- v

dxu

gradV

Solo los campos irrotacionales pueden ser representado por una función potencial

Es perpendicular a la función de corriente

De la definición:

La función escalar se llama Potencial de Velocidad

Si el flujo es considerado incompresible y estable, introduciendo en la ecuación de continuidad.

0y

v

dx

u

Se obtiene:

02

2

2

22

yx

La ecuación de Laplace.

RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE LA CORRIENTE Y EL POTENCIAL DE VELOCIDAD

xyv

dxu

y

Ecuación de Cauchy-Riemann

RELACIÓN ENTRE LAS LÍNEAS DE CORRIENTES Y LAS LÍNEAS EQUIPOTENCIALES

Las líneas son constantes forman una familia de líneas de corrientes, ahora se vera que las líneas de son constantes o líneas equipotenciales constituyendo otra familia de líneas ortogonales a la líneas de corrientes, las dos familias de curvas constituyen una malla ortogonal conocida como red de flujo.

u

v

dx

dy

udyvdxdyy

dxx

c

0Línea de corrientes cte:

COORDENADAS POLARES

Es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cada punto (posición) en el plano esta determinado por una ángulo y una distancia

(1)

(2)

Las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadas polares.

......(3)

r

y

yr

x

xr

De (1) y (2) en (3):

sencos

yxr

Componentes radiales de velocidad:

r

Vr

Vr

Sustituyendo las derivadas parciales del Potencial de Velocidad por las componentes de la velocidad.

)sencos( VyVx

r

Vx y Vy componentes de la velocidad

en la dirección radial

En función de la función corriente:

rrVr

V

Relaciones polares en función de corrientes y en potencial de velocidad

rr

rr

FLUJOS BÁSICOS

Un Flujo Uniforme es aquel que tiene magnitud constante. (V0)

Flujo rectilíneo

1c

1k 2k 3ky

x

2c

3c

4c

0V

en una misma dirección.

En el campo de Flujo: u=V v=0

CUydxVdy )0(

La función corriente se obtiene:

Para = 0 la línea de corriente coincide con el eje x

Función de corriente

Potencial de velocidad

Vy

Vx

En coordenadas polares donde: y = rsen

= Vrsen

Vy

x

r

0

0

Fuente y sumidero

Fuente y sumidero son dos conceptos matemáticos. Son dos puntos singulares en

medio del fluido, en el cual la materia (sale) o es extraída (Sumidero)

El componente radial y tangencial de la velocidad.

0

2

rV

r

q

rVr

r = módulo del vector posiciónq = Caudal (Intensidad) a través de cualquier

banda

A través de todos los círculos de radio r pasara el mismo régimen de flujo q.

Fuente :

2

q

Función de corriente

q= caudal por unidad de profundidad= arc tang. (y/x)

Potencial de velocidad

rq

ln2

= fuerza de la fuente2q

Sumidero :

2

q

Función de corriente

= arc tang. (y/x)q= caudal por unidad de profundidad

Potencial de velocidad

rq

ln2

= fuerza de la fuente2q

Vórtice libre o irrotacional El vórtice libre esta descrito por líneas de corriente circulares

concéntricas y con distribuciones de velocidades tal que el campo de flujo es irrotacional.

Las componentes radiales de velocidad en todas partes es igual a 0.

tVr 2

Ciculación La

r

Se obtiene un vórtice bidimensional si se toma la función de corriente de la fuente como función potencial

La circulación es la magnitud del vórtice

Función de corriente

dextrògiro Vórtice ln2

Votice del Fuerza ,ln2

02

0 ,2

r

r

cddrr

Vrr

V rt

Función potencial

2

• La circulación a lo largo de cualquier curva cerrada coincidente con cualquier línea de corriente se calcula:

2

ln2

VelocidaddePotencial

rCorrienteFunción

SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS

Fuente en un Flujo RectilíneoLa superposición de una fuente y un flujo rectilíneo

s

Xs

V

2

2

VelocidaddePotencial

qVrsenCorrienteFunción

La distancia entre el punto de estancamiento ‘s’ y el origen es ‘x’

q

vxs 2

Donde q es la intensidad de la fuenteY v la velocidad del flujo

Contorno de Cuerpo 22qqsenVr

Componente de Velocidad Vr y Vt

r

qV

qsenV

rrV rr

2cos

2

1

Vsenq

senVrr

V rt

2

FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA

El campo de flujo producido por una fuente y un sumiderode igual fuerza, el régimen de flujo total pasa de uno a otro

y se caracteriza por una familia de líneas de corrientes originadas en la fuente y que terminan en el sumidero.

La Función Corriente del campo de flujo es

12

2121

2

2

22

donde

qqqqt

La Función de Corriente en coordenadas cartesianas

ax

y

ax

yqarctanarctan

2

FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA EN UN FLUJO RECTILINEO

De la combinación de un fujo rectilíneo con una fuente y un sumidero de igual fuerza resulta el ovalo de Rankine.

V

f s

1 22

b

1r

2r

Función de Corriente

1.........arctanarctan2

ax

y

ax

yqVy

El contorno del cuerpo

Va

qa

l

1

2

b\2 se obtiene para x=0; y=b\2 y ψ=0 en (1)

Potencial de Velocidad

3........2

senVq

rsft

Función de Corriente

senVrrq

rsft lnln2

DobleteUn doblete se define como el resultado de la suma de la fuente y un sumidero de igual intensidad cuandoSe aproximan uno al otro.

21

22

0

0

:

rrr

sen

a

Como

asensenrAB 22

a a

1 2

Función de Corriente

r

asenq

2

2

Sea 2qa=m fuerza del doblete

r

mseny

2

DOBLETE EN FLUJO RECTILINEO

Cuando se combina el doblete con el flujo rectilíneo resulta uncaso limite del ovalo de Rankine.

S S

V

Función de Corriente

r

msensenVr 2

En contorno 0

senr

RrV

VmR

2

2 doblete del fuerza ,VR2m donde

cte.R 2

Componente Radial de la Velocidad:

Componente tangencial de la Velocidad:

cos)1( 2

2

r

RV

rvr

sen

r

RV

rvt )1( 2

2

Potencial de Velocidad:

Función de Corriente:

r

qvr cos

cos

r

senqsenvr

EL DOBLETE EN EL FLUJO RECTILINEO CON CIRCULACIÓN

Se puede construir otro campo de flujo útil por superposición de:Vórtice libre, un doblete y un flujo rectilíneo uniforme.

Obteniéndose la Función de corriente:

cos2

)(2

senr

RrV

Las Componentes de Velocidad

cos)1( 2

2

r

RV

rvr

rsen

r

RV

rvt 2

)1( 2

2

En el contorno del cuerpo r=R vr=0

RVsenvt

2

2

En el punto de estancamiento: 0tv

VRsen

4

Fx, Fy = Fuerzas ejercidas

por el fluido sobre el circulo.

1.sen ntoestancamie depuntos dos loson confundier se ,

es d'' de grande ams valor el Para

2

vertical.ejesu sobrey cìrculo del debajolugar algun en encontrara se

ntoestancamie de punto el ,1VR4

Para

VR41

R

14

VR

R

Conociendo u y v la función corriente es:

Cdyy

dxx

La ecuación de continuidad:

......(4) 0 x

y

vu

Sustituyendo el (3):

xyyxx

22

o )x

( y

)y

(