View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Physik für PharmazeutenPhysik für Pharmazeuten
MECHANIK IIArbeit, Energie, Leistung
Impuls
Rotationen
M h ik IIMechanik II
Flaschenzug
M h ik IIMechanik II
• Flaschenzug• Flaschenzug:beobachte: F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft),
aber: r größer als raber: r1 größer als r2
F1r1
F2, r2
M h ik IIMechanik II
• Flaschenzug• Flaschenzug:beobachte: F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft),
aber: r größer als raber: r1 größer als r2
F Fgenauer: , Produkt aus Kraft ×Weg ist konstant
1 1 2 2F r F r=
F1r1ähnliches auch bei:
schiefer Ebeneschiefer EbeneHebelFahrradübersetzung....
F2, r2
M h ik II 1 3 Arbeit Energie LeistungMechanik II 1.3 Arbeit, Energie, Leistung
• mechanische Arbeit W F Δ• mechanische ArbeitEinheit
b k l ( hl) k k b bh
W F r= Δ2 2[ ] (Joule)W Nm kgm s J= = =
Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkel zwischen Kraft und Weg
fü k ü t St k l ScosW F r F r α= Δ = Δ
für gekrümmte Strecken als Summe (Integral) über Teilstrukturen.
Änderung der Bewegung⇔ Arbeit zuführen/entnehmen⇔ Arbeit zuführen/entnehmen
⇒ Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichtenz.B. Änderung der Bewegung zu verursachen
M h ik II EnergieMechanik II Energie
• Energie für Massepunkte (MP)• Energie für Massepunkte (MP)
• MP in Bewegung: v
M h ik II EnergieMechanik II Energie
• Energie für Massepunkte (MP)• Energie für Massepunkte (MP)
• MP in Bewegung: vZuvor ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kraft auf MP während bestimmter Zeit, bzw. über best. Strecke (z.B. Auto)
2 2fü 0 ilat r02
2
2, für 0 gilt
2 2
at
F Wm m
rr vt v t a
v at ra r
= + = =
= = = =
• aufgewendete Arbeit:
m m
2 kinmvW E= =
2
kinetische Energie
2 kin
M h ik IIMechanik II
• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)⇒ potentielle Energie:
B i i l Kö f Höh h 0 it A f h i di k it hpotE mgh=
Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach oben (entgegengesetzt zur Kraft) ⇒ Körper wird abgebremst bis dann gilt:
0v =
0 b0 0 0
2 20
, 0 : , .
2 2
v v gt wenn v v gt bzw t v g
x at gh v
= − = = =
= → =220
, ,02pot t kin
mvE mgh E⇒ = = =
wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden i d f A höh b h i dindem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.
M h ik IIMechanik II
• allgemein:allgemein: Kraftfeld Kraft hängt nur von ab.
( )F F r=rKraft hängt nur von ab.r
grad GradientE
F Er
Δ= =Δ
⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie
W=0 für geschlossene Wege
Experiment: schiefe Ebene – ParabelPendel
• allgemeines Konzept: Potential (Energiefeld)
M h ik IIMechanik II
• Pendel• Pendel: Umwandlung potentielle Energie
kinetische Energiekinetische Energie• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant
M h ik IIMechanik II
• Versuch Pendel• Versuch: Pendelasymmetrisches Pendel
Höhe links und rechts gleich⇔ Energie bleibt erhalten
0
21
: 0,
: 0, /2
kin pot
pot kin
P E E mgh
P E E mv
= =
= =2
max maxaus Energieerhaltung: /2 2mgh mv v gh= ⇒ =
M h ik IIMechanik II
• Pendel• Pendel: Umwandlung potentielle Energie
kinetische Energiekinetische Energie• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant
• Leistung: Energieänderung pro ZeiteinheitP W t F r t F v= = Δ =
Einheit
P W t F r t F vΔ2 3[ ] (Watt)P J s kgm s W= = =
M h ik II
Energiebilanz für endotherme und exotherme ReaktionenMechanik II exotherme Reaktionen
M h ik II 1 4 ImpulsMechanik II 1.4 Impuls
in Kräfte freiem System:in Kräfte freiem System:(Geschwindigkeit konst.)
allgemeiner:0dv
dtF ma m= = =allgemeiner:
(es kann sich auch Masse ändern)
• Impuls:
( ) 0d mvdtF = =p mv• Impuls:
mehrere Massen m1, m2, ....
p mv=
1... 1...i i i
i n i n
p p mv= =
= =∑ ∑
⇒ ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant
für Analyse von Stößen definiere mr m r= ∑Schwerpunkt: “Zentrum“ vieler Massen
1..S i i
i n
mr m r=∑
M h ik II StoßgesetzeMechanik II Stoßgesetze
Stoß: vorher m v m vStoß: vorher m1, v1, m2, v2,....nachher m1, u1, m2, u2,....
Randbedingungen:Randbedingungen:Impulserhaltung:
Energieerhaltung:1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +
für elastische Stöße: , sonst <1
I l üb
1 1 2 2 1 1 2 2
2
2 1uv=
( ) 2 i θΔImpulsübertrag:
• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):tößt äh d ΔtM Δ it G h i di k it
( ) 22 sinp m v u mv θΔ = − =
stößt während ΔtMasse Δµmit Geschwindigkeit w aus, d.h. mit Impuls Δµw. Gesamtimpuls konst.⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:
( ) ( )w µ t m v t ma− Δ Δ = Δ Δ =
M h ik IIMechanik II
• Versuch elastischer inelastischer Stoß• Versuch: elastischer – inelastischer Stoß
v1v2
+ +vorher nachher
1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u+ = +
Vorzeichen beachten !
v1 v2v1 v2
u1 =u2=u1 1 2 2 1 2( )m v m v m m u+ = +
vorher nachher
M h ik II StoßgesetzeMechanik II Stoßgesetze
Stoß: vorher m v m vStoß: vorher m1, v1, m2, v2,....nachher m1, u1, m2, u2,....
Randbedingungen:Randbedingungen:Impulserhaltung:
Energieerhaltung:1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +
für elastische Stöße: , sonst <1
I l üb
1 1 2 2 1 1 2 2
2
2 1uv=
( ) 2 i θΔImpulsübertrag:
• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):tößt äh d ΔtM Δ it G h i di k it
( ) 22 sinp m v u mv θΔ = − =
stößt während ΔtMasse Δµmit Geschwindigkeit w aus, d.h. mit Impuls Δµw. Gesamtimpuls konst.⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:
( ) ( )w µ t m v t ma− Δ Δ = Δ Δ =
M h ik II Chemische ReaktionenMechanik II Chemische Reaktionen
• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
KA BC AB C+ → +A BC AB C+ ⎯⎯→ +
CABBCA pppp +=+ CABBCA pppp
BCEAE )()(
chemkinkin
kinkin
ECEABEBCEAE
Δ++=+
)()()()(
Die kinetische Energie ist nicht erhalten sondern hängt von dererhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.
M h ik II 1 5 RotationenMechanik II 1.5 Rotationen
• Kreisbahn ⊥• Kreisbahn:.... Bahngeschwindigkeit
θ k l d k h
v r⊥vθ.... Winkel unter dem Massepunkt gesehen
wird, ändert sich mit der Zeit t.
Wi k l h i di k it2 1( ) ( )t t dθ θ θ ω−⇒ → = Winkelgeschwindigkeit
(Drei‐Finger‐Regel)
U l f it
2 1 2 1t t dtt tθ ω− →⇒ ⎯⎯⎯→ =
v r v rω ω= = ×
Umlaufzeit (Zeit innerhalb der Winkel von 2π überstrichen wird)
Einschub: Winkel Einheit: Radiant (° Grad)
2 2rvT π π
ω= =Einschub: Winkel Einheit: Radiant ( Grad)
(Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius)
60° π/3 90° π/2 120° 2π/3 180° π 360° 2π
M h ik II ZentripedalkraftMechanik II Zentripedalkraft
• evtl konstant aber nicht geradlinigv evtl. konstant, aber nicht geradlinig
⇒ Änderung von immer nur durch Kraft, bzw. Beschleunigung
vvg g
Analyse über ähnliche Dreieckev vAB r
r r vv
Δ ΔΔ= = =v
tvr r
v aΔΔΔ
Δ Δ= = =
⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft
Zentripedalkraft
r r vv tr vΔ
2 2 2va r F m rω ω= = = Zentripedalkraftnach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft
in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft:
ra r F m rω ω= = =
g yKugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,im rot. System wird sie aber abgelenkt ⇒ Kraft
vergleiche Ablenkung mit ⇒2 2/2at v tω= 2a v ω=vergleiche Ablenkung mit ⇒
Corioliskraft/2 Kat v tω= 2c Ka v ω=
2cF m vω=
M h ik II
ResumeeMechanik II
• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft
G it ti k ft i kt l Z t i t lk ft• Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft (Planeten)
M h ik IIMechanik II
• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation andere Größe !• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !
• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)kin i i
wenn ωmit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.
2 2 21 12 2rot i i i i
i i
E mv m rω= =∑ ∑
• Trägheitsmoment: ( )i iJ m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫
M h ik IIMechanik II
• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation andere Größe !• Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !
• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)kin i i
wenn ωmit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.
2 2 21 12 2rot i i i i
i i
E mv m rω= =∑ ∑
• Trägheitsmoment: ( )Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von
2i iJ m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫
Drehachse entfernt sind
Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunktsum Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt
• Drehmoment: ( )A S ASJ J Md= +
T rF= T r F= ×
• Drehimpuls: i i iL m r v= ×∑ ( ) 2i i i i im r r m rω ω= × × = =∑ ∑ Jω
M h ik IIMechanik II
M h ik II Drehmoment und Starre KörperMechanik II Drehmoment und Starre Körper
• Ungleiche Gewichte stehen im• Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wiesich umgekehrt verhalten wie die Gewichte. (Archimedes, um 250 v. Chr.)
I i b l H b l i⇒ Ist eine belasteter Hebel imGleichgewicht, so liegt seinSchwerpunkt über der AchseSchwerpunkt über der Achse
stabiles Gleichgewicht: SP unter Achse (sonst labil)SP unter Achse (sonst labil)(Stehaufmännchen)
M h ik II HebelgesetzeMechanik II Hebelgesetze
• Gleichgewicht (Körper in Ruhe) wenn Summe aller• Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet
0 d 0F T∑ ∑• "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"
1.. 1..
0 und 0i ii n i n
F T= =
= =∑ ∑
• z.B.: Drehmomente beim Fahrrad
• Bizeps gebeugt – gestreckt
M h ik II es fehltMechanik II es fehlt
• Relativitätstheorie• RelativitätstheorieÄquivalenz von Masse und Energie
Ä d d bÄnderung der Masse bei v cLängenkontraktion, Zeitdilatation (Zwillingsparadox)
• Kreisel, Planetenbahnen
• deformierbare KörperDehnung (siehe Feder, Hookesches Gesetz)
Kontraktion
etc.
M h ik II ZusammenfassungMechanik II Zusammenfassung
• Arbeit Energie Leistung• Arbeit, Energie, Leistungunterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...)
h l b hl ( d l)Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)
• ImpulsImpulserhaltung
Stoßgesetze, Rückstoß
• RotationWinkel – Winkelgeschwindigkeit – Drehmoment g g
Trägheitsmoment
Drehimpulsp
Recommended