View
238
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
MATEMATIKA 4
METODE NUMERIK PADA PERSAMAAN INTEGRAL
Bagus Hario Setiadji
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Universitas Diponegoro
DEFINISI
• Numerical Integration adalah suatu tool yang digunakan untuk memperoleh jawaban perkiraan (approximate answer) dari suatu integral tertentu (definite integral) yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.
• Tujuan dari numerical integration adalah untuk menyelesaikan suatu persamaan integral tertentu f(x) pada suatu interval [a, b] dengan melakukan evaluasi terhadap f(x) pada sejumlah titik sampel N.
• Ada 2 metode yang digunakan disini, yaitu:
– Penjumlahan luas (Riemann sum)
– Quadrature formula
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x
• Luasan dibagi menjadi N bagian pada interval [a, b], dimana a = x0 < x1 < … < xn = b dan xi = xi – xi-1; i = 1, 2, …, N
• Hitung luas Li, dimana Li = f(xi) . xi
x0 x1 x2 x3 x4 xn
y = f(x)
L0 L1 L2
x1 x2
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• 3 pendekatan pada metode penjumlahan Riemann:
– Persegi panjang kiri (left sum), yaitu apabila sudut kiri atas masing-masing persegi panjang menyentuk kurva
– Persegi panjang kanan (right sum), yaitu apabila sudut kanan atas masing-masing persegi panjang menyentuk kurva
– Persegi panjang tengah (middle sum), yaitu apabila titik tengah sisi atas masing-masing persegi panjang memotong kurva
Left sum Right sum Middle sum
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Persamaan umum penjumlahan Riemann:
L = L1 + L2 + L3 + … + Ln
= f(x1).x1 + f(x2).x2 + f(x3).x3 + … + f(xn).xn
= dimana xi = x1 = x2 = … = xn = = h
Maka: L = dan xi = a + ih
– Untuk left sum, L =
– Untuk right sum, L =
– Untuk middle sum, L =
N
i
ii xxf1
.N
ab
b
a
N
i
ixfhdxxf
b
a
N
i
ixfhdxxf1
0
b
a
N
i
ixfhdxxf1
b
a
N
i
ii xxfhdxxf
1
1
2
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Contoh 1 Penjumlahan Riemann:
Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1] dengan N = 10
Solusi:
Hitung nilai x = h = = 0.1
Maka:
Untuk Left Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L0 + L1 + L2 + … + L9 = 0.1 {(0)2 + (0.1)2 + (0.2)2 + … + (0.9)2}
= 0.1 (2.85) = 0.285
10
01
9
0
21
0
1.0i
i
N
i
i xxfh
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Untuk Right Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {(0.1)2 + (0.2)2 + (0.3)2 + … + (1.0)2}
= 0.1 (3.85) = 0.385
Untuk Middle Sum, L =
dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {0.5(0.1+0)2 + 0.5(0.2+0.1)2 + 0.5(0.3+0.2)2 + … + 0.5(1.0+0.9)2}
= 0.1 (3.325) = 0.3325
10
1
2
1
1.0i
i
N
i
i xxfh
210
1
1
1
1
21.0
2
i
iiN
i
ii xxxxfh
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Solusi eksak y =
Galat/error:
Dengan left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048
Dengan right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052
Dengan middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005
333.03
1
0
31
0
2 x
dxx
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Contoh 2 Penjumlahan Riemann:
Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5] dengan N = 10
Solusi:
Hitung nilai x = h = = 0.4 dan xi = 1 + i (0.4) = 1 + 0.4i
Maka:
Untuk Left Sum, L =
L = L0 + L1 + L2 + … + L9
10
15
ix
i i
N
i
i ex
xfh 29
0
1
0
14.0
8803.12175.0...5829.07751.01353.14.0
6.4
1...
8.1
1
4.1
114.0 2.96.38.22
eeee
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Untuk Right Sum, L =
L = L1 + L2 + L3 + … + L10
Untuk Middle Sum, L =
L = L1 + L2 + L3 + … + L10
ix
i i
N
i
i ex
xfh 210
11
14.0
5602.12000.0...4668.05829.07751.04.0
5
1...
2.2
1
8.1
1
4.1
14.0 104.46.38.2
eeee
10
1
5.02
11
1
5.0
14.0
i
xx
ii
N
i
iiie
xxxfh
6691.12084.0...5183.06658.09241.04.0
6.455.0
1...
8.12.25.0
1
4.18.15.0
1
14.15.0
1
4.06.455.028.12.25.02
4.18.15.0214.15.02
ee
ee
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Solusi eksak y =
Galat/error:
Dengan left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032
Dengan right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709
Dengan middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080
Kesimpulan:
Galat/error terkecil umumnya diperoleh dengan menggunakan middle sum
6771.12
ln1
5
1
25
1
2
x
x exdxe
x
QUADRATURE FORMULA
• Anggaplah a = x0 < x1 < … < xN = b. Persamaan dengan bentuk
dimana:
disebut sebagai numerical integration atau quadrature formula.
N
k
NNkk xfwxfwxfwxfwfQ0
1100 ...
b
a
fEfQdxxf
DEFINISI
• E [f] disebut sebagai truncation error atau kesalahan pemotongan yaitu kesalahan yang diperoleh dikarenakan tidak melakukan hitungan sesuai dengan prosedur yang benar (misalnya pada proses tidak berhingga diganti dengan proses berhingga)
disebut sebagai quadrature nodes. Besarnya nodes ini bisa bervariasi. Misalnya pada aturan trapezoidal, aturan Simpson dan aturan Boole, besarnya nodes ini adalah sama. Sedangkan untuk Gauss-Legendre quadrature, besarnya nodesnya ini adalah sama dengan nol (untuk Legendre polynomial tertentu).
disebut sebagai weight atau bobot.
Niix 0
Niiw
0
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Penurunan kuadratur formula didasarkan pada interpolasi polynomial. Jika terdapat persamaan polynomial PM (x) berderajat (degree) M melalui M + 1 titik-titik yang berjarak sama . Jika polynomial ini digunakan untuk menghampiri persamaan f(x) pada rentang [a, b], dan integral dari persamaan f(x) dihampiri oleh integral dari PM (x), maka persamaan yang dihasilkan disebut sebagai persamaan Newton-Coates Quadrature.
• Apabila titik-titik sampel x0 = a dan xm = b digunakan, maka persamaan tersebut disebut sebagai persamaan Closed Newton-Coates.
Miii xfx
0,
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Persamaan-persamaan Closed Newton-Coates dengan derajat M = 1, 2, 3, 4 pada interval [x0, xM] adalah sebagai berikut.
Step size, h = dan xi = x0 + ih
M = 1, trapezoidal rule dengan h = b - a
M = 2, Simpson’s rule dengan h =
M = 3, Simpson’s rule dengan h =
M = 4, Boole’s rule
dengan h =
102
1
0
ffh
dxxf
x
x
210 43
2
0
fffh
dxxf
x
x
8
3 3210 338
3
3
0
ffffh
dxxf
x
x
43210 7321232745
2
4
0
fffffh
dxxf
x
x
M
ab
2
ab
3
ab
4
ab
NEWTON-COATES QUADRATURE
Trapezoidal rule y = P1(x) pada [x0, x1) = [0.0, 0.5]
Simpson’s rule y = P2(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.0]
Simpson’s 3/8 rule y = P3(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.5]
Boole’s rule y = P4(x) pada [x0, x1) = [0.0, 2.0]
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Pembuktian persamaan Newton-Coates Quadrature
Untuk M = 1, Lagrange interpolating polynomial untuk P1(x) adalah
dengan [x0, xM] = [0, 1]
f0 dan f1 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, maka:
01
01
10
101
xx
xxf
xx
xxfxP
dthh
htfdth
h
thf
110
dtthfdtthf 11
0
1
1
0
0
dthxhx
xhtxfdth
hxx
hxhtxfxP
00
001
00
0001
10
1
0
2
1
1
0
2
0222
ffht
hft
thf
NEWTON-COATES QUADRATURE
Untuk M = 2, Lagrange interpolating polynomial untuk P2(x) adalah
dengan [x0, xM] = [0, 2]
f0 , f1 dan f2 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, maka:
1202
102
2101
201
2010
2102
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxfxP
NEWTON-COATES QUADRATURE
22
2
2
2
2
0000
00002
0000
00001
0000
000002
dthhxhxxhx
hxhtxxhtxf
dthhxhxxhx
hxhtxxhtxfdth
hxxhxx
hxhtxhxhtxfxP
210210 433
2
23
4
3
2
2 fff
hf
hhff
h
2
1
2
2
21 210 dth
hh
thhtfdth
hh
thhtfdth
hh
ththf
2
2 232
2
0
2
2
2
0
2
1
2
0
2
0 dtttfh
dttthfdtttfh
23232
2
3
32
2
0
23
2
2
0
23
1
2
0
23
0
ttf
ht
thft
ttf
h
1202
102
2101
201
2010
2102
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxfxP
NEWTON-COATES QUADRATURE
Silakan dicoba untuk M = 3 dan M = 4.
Untuk M = 3, Lagrange interpolating polynomial untuk P3(x) adalah
dengan menggunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,
dan x3 = x0 + 3h.
231303
2103
321202
3102
312101
3201
302010
32103
xxxxxx
xxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxfxP
• Contoh 1 Closed Newton-Coates:
Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1]
Solusi:
Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 1 – 0 = 1
xi = x0 + ih sehingga x0 = 0 dan x1 = 1
Untuk M = 2, Simpson’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.5 dan x2 = 1
NEWTON-COATES QUADRATURE
5.0102
1
2
22
10
1
0
21
0
xfxfh
dxxdxxf
x
x
5.0
2
01
2
ab
333.015.0403
5.04
3
222
210
1
0
22
0
xfxfxfh
dxxdxxf
x
x
Untuk M = 3, Simpson’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.333, x2 = 0.666 dan x3 = 1
Untuk M = 4, Boole’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75 dan x4 = 1
NEWTON-COATES QUADRATURE
333.0
3
01
3
ab
8
3
333.01667.03333.030
8
333.03
338
3
2222
3210
1
0
23
0
xfxfxfxfh
dxxdxxf
x
x
25.0
4
01
4
ab
333.01775.0325.01225.03207
45
25.02
7321232745
2
22222
43210
1
0
24
0
fffffh
dxxdxxf
x
x
NEWTON-COATES QUADRATURE
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
Trapezoidal rule Simpson’s rule
Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule
Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048
Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052
Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005
Dengan Trapezoidal Rule = 0.333 – 0.500 = -0.167
Dengan Simpson’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000
Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000
Dengan Boole’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Contoh 2 Closed Newton-Coates:
Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]
Solusi:
Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 5 – 1 = 4
xi = x0 + ih sehingga x0 = 1 dan x1 = 5
Untuk M = 2, Simpson’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 3 dan x2 = 5
NEWTON-COATES QUADRATURE
6708.25
1
1
1
2
4
2 e
1 5212
10
5
1
2x-1
0
eexfxfh
dxx
dxxf
x
x
2
2
15
2
ab
7858.1
5
1
3
14
1
1
3
24
3
1 523212
210
5
1
22
0
eeexfxfxfh
dxex
dxxf x
x
x
Untuk M = 3, Simpson’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2.333, x2 = 3.667 dan x3 = 5
Untuk M = 4, Boole’s rule, h =
xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 dan x4 = 5
NEWTON-COATES QUADRATURE
333.1
3
15
3
ab
8
3
7343.1
5
1
667.3
13
333.2
13
1
1
8
333.13
338
3
x
1
52667.32333.2212
3210
5
1
23
0
eeee
xfxfxfxfh
dxedxxf x
x
x
1
4
15
4
ab
6877.1
5
17
4
132
3
112
2
132
1
17
45
12
7321232745
2
x
1
)5(2)4(2)3(2)2(2)1(2
43210
5
1
24
0
eeeee
fffffh
dxedxxf x
x
x
NEWTON-COATES QUADRATURE
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Trapezoidal rule Simpson’s rule
Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule
Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032
Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709
Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080
Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937
Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087
Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 1.6771 – 1.7343 = -0.0572
Dengan Boole’s Rule = 1.6771 – 1.6877 = -0.0106
Kesimpulan:
Metode Newton-Coates Quadrature mempunyai kelemahan dalam menghampiri persamaan yang kompleks.
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Seperti telah disebutkan, bahwa permasalahan utama dari Newton-Coates Quadrature adalah apabila digunakan untuk menghampiri fungsi y = f(x) yang kompleks.
• Untuk mengatasi hal ini, maka pendekatan yang dapat dilakukan adalah mendekati fungsi y = f(x) yang berinterval [a, b] tersebut dengan sejumlah bentuk trapezoidal.
• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, M.
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
• Composit Trapezoidal Rule dengan subinterval M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut.
Bentuk 1:
atau
Bentuk 2:
atau
Bentuk 3:
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
M
i
ii xfxfh
hfT1
12
,
MMM ffffffh
hfT 12210 22...222
,
1
12,
M
i
ixfhbfafh
hfT
• Dari contoh 2 :
Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]
Solusi: Asumsikan nilai M = 5, maka h =
xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.8, x2 = 2.6, x3 = 3.4, x4 = 4.2 dan x5 = 5
Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
8.0
5
15
M
ab
432150
1
1 22, xfxfxfxfhxfxf
hxfhbfaf
hhfTdxxf
M
i
i
b
a
7394.12383.02952.03901.05828.08.02000.01353.14.0
2.4
1
4.3
1
6.2
1
8.1
18.0
5
1
1
1
2
8.0
2.424.326.228.12
5212
eeee
ee
Dicoba dengan menggunakan M = 10, maka h =
xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,
x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5
Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
4.0
10
15
M
ab
432150
1
1 22, xfxfxfxfxfxf
hxfbfaf
hhfTdxxf
M
i
i
b
a
6933.12175.02383.0...5829.07751.04.02000.01353.12.0
6.4
1
2.4
1...
8.1
1
4.1
14.0
5
1
1
1
2
4.0
6.422.428.124.12
5212
eeee
ee
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
Comp. Trapezoidal Rule, M = 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Comp. Trapezoidal Rule, M = 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Trapezoidal rule
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
Galat/error: Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032 Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709 Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080 Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937 Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 5) = 1. 6771 – 1.7394 = -0.0623 Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162 Kesimpulan: Composite Trapezoidal Rule memberikan perbaikan terhadap pendekatan Trapezoidal Rule, walaupun galat yang diberikan masih relatif cukup besar. Penghalusan (refinement) bisa dilakukan dengan meningkatkan nilai M.
• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi 2M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/2M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, 2M.
• Composit Simpson’s Rule dengan subinterval 2M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut.
Bentuk 1:
atau
Bentuk 2:
atau
Bentuk 3:
COMPOSIT SIMPSON’S RULE
M
i
iii xfxfxfh
hfS1
21222 43
,
MMM fffffffh
hfS 212223210 42...4243
,
1
1
12
1
1
23
4
3
2
3,
M
i
i
M
i
i xfh
xfh
bfafh
hfS
• Dari contoh 2 :
Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]
Solusi: Asumsikan nilai 2M = 10, maka h =
xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,
x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
4.0
10
15
2
M
ab
Gunakan bentuk 3 dari Composite Simpson’s Rule
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
1
1 1
1223
4
3
2
3,
M
i
M
i
ii
b
a
xfh
xfh
bfafh
hfSdxxf
97531
8642
3
4
3
2
3
xfxfxfxfxfh
xfxfxfxfh
bfafh
6779.1
2175.0...7751.05333.02383.0...5829.02667.0)2000.01353.1(333.1
6.4
1
8.3
1
0.3
1
2.2
1
4.1
1
3
4.04
6.4
1
4.3
1
6.2
1
8.1
1
3
4.02
5
1
1
1
3
4.0
6.428.320.322.224.12
6.424.326.228.12
5212
eeeee
eeee
ee
Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032
Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709
Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080
Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162
Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087
Dengan Composite Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.6779 = -0.0008
Kesimpulan:
Composite Simpson’s Rule memberikan perbaikan yang signifikan terhadap pendekatan Simpson’s Rule. Dan galat yang diberikan jauh lebih baik dibandingkan dengan metode Penjumlahan Riemann maupun Composite Trapezoidal Rule.
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
• Contoh 3 :
Bandingkan solusi hampiran yang diberikan Composite Trapezoidal Rule dan Composite Simpson’s Rule untuk y = 2 + pada interval [1, 6] dengan nilai M = 10 (Composite Trapezoidal Rule) dan M = 5 atau 2M = 10 (Composite Simpson’s Rule).
Mohon dicek jawabannya dan penyelesaian dengan Penjumlahan Riemann!
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
x2sin
• Solusi dengan Composite Trapezoidal Rule.
h =
xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,
x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
5.010
16
921100
1
1
...2
2
, xfxfxfhxfxfh
xfhbfafh
hfTM
i
i
5.5...25.1612
fffhffh
0002.10287.11083.12432.14353.16831.19793.13081.26382.25.0
0174.19093.22
5.0
1939.84244.145.0 9267.3.250
• Solusi dengan Composite Simpson’s Rule.
h =
xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,
x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
05.020
01
2
M
ab
975313
48642
3
261
3
3
4
3
2
3,
1
1 1
122
fffffh
ffffh
ffh
xfh
xfh
bfafh
hfSdxxfM
i
M
i
ii
b
a
0002.11083.14353.19793.16382.2
3
5.04
0287.12432.16831.13081.23
5.020174.19093.2
3
5.0
1830.81613.83
22630.6
3
19267.3
6
1
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Solusi eksak y =
(lihat http://integrals.wolfram.com/index.jsp untuk mencari solusi eksak)
Galat/error:
Dengan Composite Trapezoidal Rule = 8.1835 – 8.1939 = -0.0104
Dengan Composite Simpson’s Rule = 8. 1835 – 8.1830 = 0.0005
1835.8
2
2sin2cos22sin2
5
1
6
1
x
xxxdxx
AKHIR MATERI METODE NUMERIK
TERIMA KASIH.
Recommended