Metodi matematici per l'ottimizzazione Seminario Equazioni differenziali Ordinarie Metodi One Step...
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- Metodi matematici per l'ottimizzazione Seminario Equazioni
differenziali Ordinarie Metodi One Step Di Cunzolo Alessandro
Farioli Giuseppe 10 Gennaio 2012
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- Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Una equazione
differenziale unequazione che coinvolge una o pi derivate di una
funzione incognita. Se tutte le derivate sono calcolate rispetto ad
una sola variabile indipendente, lequazione si dir equazione
differenziale ordinaria (ODE). Quando sono presenti derivate
rispetto a pi variabili indipendenti, avremo invece una equazione
differenziale alle derivate parziali (PDE). Una equazione
differenziale avr ordine n, se n lordine massimo delle derivate che
vi compaiono. La forma generale di una ODE di ordine n : dove la
funzione cercata. Una funzione detta soluzione di una ODE se essa
riduce lequazione ad una identit quando viene sostituita
nellequazione.
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- Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Alcuni esempi: y
= 2 sin(x) ODE di ordine 1, sol : y(x) = -2 cos(x) + C y= -4y ODE
di ordine 2, sol : y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) (oscillatore armonico
y = e -x ODE di ordine 1, sol : y(x) = - e -x + C semplice) y = y
ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e x y = -ky ODE di ordine 1, sol :
y(x) = C e -kx (decadimento radioattivo) y = 3y-4x ODE di ordine 1,
sol : y(x) = C e 3x + 4/3 x + 4/9
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- Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Una equazione
differenziale ordinaria ha infinite soluzioni, come mostrato nel
seguente esempio: cio la soluzione generale contiene una costante
arbitraria c. Ogni volta che si fissa un valore per c, otteniamo
una soluzione particolare. La soluzione generale di una ODE di
grado n, conterr n costanti arbitrarie. Il grafico di ogni
soluzione particolare detto curva integrale della ODE.
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- Equazioni differenziali Ordinarie Grafico curve integrali Ad
esempio, consideriamo la funzione con soluzione ; il grafico delle
curve integrali della funzione il seguente:
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- Equazioni differenziali Ordinarie Es. condizioni iniziali Per
isolare una soluzione particolare dobbiamo aggiungere delle
condizioni che sono note come condizioni iniziali. Esempio: abbiamo
lequazione e vogliamo che in sia Allora la soluzione cercata Il
problema di cercare una soluzione particolare di una ODE con certe
condizioni iniziali e detto problema di Cauchy (problema ai valori
iniziali: IVP).
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- ODE di primo ordine Forma generale di una equazione
differenziale ordinaria di primo ordine: dove la funzione
incognita. Per semplicit assumiamo che lequazione sia scritta nella
forma: con la condizione quando cio :
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- ODE di primo ordine Interpretazione geometrica Interpretazione
geometrica della soluzione: Ogni soluzione particolare
rappresentata da una curva nel piano (x, y); preso un punto
arbitrario P(x,y), allora f(x,y) sar uguale alla pendenza della
tangente alla curva desiderata nel punto P.
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- ODE di primo ordine Campo delle direzioni Associando ad ogni
punto del piano la direzione della retta la cui pendenza f(x,y)
otteniamo il campo delle direzioni di una equazione differenziale
Esempio : y=y(2-y)
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- Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili Una
equazione differenziale ordinaria si dice integrabile per
quadrature, se la sua soluzione generale esprimibile in una forma
esplicita o implicita, che pu contenere quadrature (cio integrali
indefiniti) di qualche funzione incognita. Esempio di equazioni
differenziali integrabili sono le equazioni differenziali a
variabili separabili: Forma generale di cui soluzione generale
sar
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- Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili Esempio :
vogliamo risolvere lequazione differenziale Soluzione :
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- Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Una equazione
differenziale ordinaria detta lineare, se F una funzione lineare
nella funzione incognita e nelle sue derivate, cioe e del tipo: Se
si divide per a(x) si ottiene: (1) con Se f(x)=0 lequazione detta
omogenea lineare.
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- Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Se lequazione
non omogenea (f(x)0) bisogna dapprima risolvere lequazione omogenea
associata: (2) Separiamo le variabili e otteniamo: Risolvendola:
Con e ottenuta da z ponendo c=1. una soluzione particolare della
(2).
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- Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Avendo calcolato
z cerchiamo la soluzione della (1) nella forma: (3) In cui da
determinare. Sostituendo la (3) nella (1): Ma soluzione della (2)
quindi lespressione in parentesi nulla e si ha: e sostituendo nella
(3) otteniamo: Questa la soluzione generale della (1). Questo
metodo unapplicazione del metodo noto come metodo di variazione
delle costanti (di Lagrange).
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- Alcuni esempi: Funzione esponenziale Si consideri lequazione:
(k = costante) Separiamo le variabili: (4) Con. Se data una
condizione iniziale si avr: Da cui: Sostituendo il valore calcolato
di C, nella (4) si ha infine:
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- Problema di Cauchy in una dimensione Sia,, cerchiamo una
funzione, y derivabile in I, tale che: (5) con Tale problema detto
problema ai valori iniziali. Supponiamo che siano verificate le
ipotesi del teorema di esistenza ed unicit della soluzione.
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- Teorema di esistenza e unicit Sia un dominio ed una funzione
continua che soddisfi la condizione di Lipschitz: Comunque si
scelgano e qualche costante segue che: ha soluzione unica in tale
intervallo.
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- Metodi numerici: Introduzione Data unequazione differenziale
facile pensare che trovare una soluzione per via analitica
piuttosto difficile. In tal caso bisogna ricorrere ai metodi
numerici per ricavarne una soluzione approssimata, trasformando in
tal modo il problema matematico in un problema discreto.
Consideriamo una successione di nodi con (con punto della
condizione iniziale ed passo della discretizzazione) Supponiamo Se
a e b sono gli estremi di I, si ha:
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- Metodi numerici: Introduzione I metodi numerici si basano sul
Sviluppo in serie di Taylor. Sia la soluzione vera in e la
soluzione approssimata in, e supponendo che y(x) sia
sufficientemente regolare si ha: Sviluppo in serie di Taylor di
y(x) attorno xi Se tronchiamo la serie al k-esimo termine, si
ottiene: con:
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- Metodi numerici: Metodi ad un passo Data unequazione
differenziale, i metodi numerici per la risoluzione della stessa
possono essere ad un passo o a pi passi. Metodi a un passo: Un
metodo numerico detto ad un passo (one-step) se, per dipende solo
da :
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- Metodi numerici: Metodo di Eulero esplicito Se poniamo k=1 in
otteniamo : detto metodo di Eulero in avanti o esplicito. Es. test:
Applicando il metodo otteniamo:
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- Interpretazione geometrica Metodo di Eulero esplicito In ogni
intervallo si sostituisce all'integrale particolare cercato, il
segmento di retta tangente nel punto alla curva integrale che passa
in quel punto. Soluzione analitica Soluzione calcolata
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- Metodi numerici: Metodo di Eulero implicito possibile ottenere
anche la seguente relazione: detto metodo di Eulero allindietro o
implicito. Es. test: Applicando il metodo otteniamo:
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- Metodi numerici: Metodi espliciti e impliciti Quando un metodo
si dice esplicito? Quando implicito? Definizione: Un metodo detto
esplicito se dipende solo dai valori ai passi precedenti, mentre
detto implicito se dipende pure da se stesso tramite f. I metodi
impliciti richiedono la soluzione di una equazione non lineare se f
non lineare in y.
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- Metodi numerici: Metodo dei Trapezi Data, osserviamo che se f
una funzione continua rispetto ad ed integrabile tra e si ha: Se
approssimiamo lintegrale tra e con la regola del trapezio, si ha:
dove.
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- Metodi numerici: Metodo dei Trapezi Osservando la formula del
metodo dei Trapezi si capisce subito che tale metodo implicito. Es
test: Applicando il metodo otteniamo: da cui si ottiene
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- Metodi numerici: Metodo di Heun Tale metodo espresso dalla
relazione: si ottiene applicando il metodo dei trapezi ed il metodo
di Eulero in avanti per calcolare. Es. test: Applicando il metodo
otteniamo:
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- Metodi numerici: Zero-stabilit Un metodo numerico del tipo si
dice zero-stabile, se: dove ed sono le soluzioni del problema
perturbato e di quello non perturbato : con. Tale stabilit riguarda
il comportamento del metodo numerico quando h 0. Se il metodo
zero-stabile la soluzione poco sensibile alla perturbazione dei
dati.
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- Metodi numerici: Convergenza Definizione: Un metodo si dice
convergente se, con C(h) infinitesimo rispetto ad h; se si dice
convergente di ordine p. Teorema di convergenza Sia y(x) soluzione
di: ed la soluzione approssimata data da. Supponiamo, inoltre, che
sia lipschitziana nella seconda variabile: con Sia infine:
Allora:
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- Metodi numerici: Interpretazione geometrica errori Sia la
soluzione dellequazione differenziale: Dato un punto sia una
approssimazione di.Sia u(x) una curva integrale di y=f(x,y) che
passa per, cio che soddisfa: Se la soluzione approssimata calcolata
da: Allora si ha il seguente grafico:
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- Metodi numerici: Assoluta stabilit Un metodo numerico
assolutamente stabile se, soluzione numerica del problema test,
tale che : Assoluta stabilit: Riguarda la propagazione degli errori
accumulati ai passi precedenti. Un metodo si dice assolutamente
stabile, se per h fissato, limitato per Dato il problema test: La
soluzione sar del tipo Definiamo regione di assoluta stabilit
linsieme:. Se
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- Assoluta stabilit: Eulero esplicito Applicando Eulero esplicito
al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) vera se.
Considerando linsieme dei punti con otteniamo il bordo di un
cerchio di centro (-1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta
stabilit data : Im z Re z
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- Problema test:con Soluzione analitica Soluzione calcolata
Assoluta stabilit per
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- Assoluta stabilit: Eulero implicito Applicando Eulero implicito
al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) vera se.
Considerando linsieme dei punti otteniamo il bordo di un cerchio di
centro (1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta stabilit data : Im
z Re z 1
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- Assoluta stabilit: Metodi dei trapezi e di Heun Analogamente
per il metodo dei trapezi avevamo ottenuto: In questo caso la (6)
vera, cio se Per il metodo di Heun avevamo ottenuto: La (6) vera se
:
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- Metodi numerici: Metodi di Runge-Kutta I metodi ad un passo
possono essere dedotti dallo sviluppo in serie di Taylor: con: I
metodi di Runge-Kutta sono costituiti da formule del tipo: con
concidente con per un certo numero di termini senza utilizzare le
derivate. Per un metodo di k-ordine si ha:
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- Metodi di Runge-Kutta di quarto ordine Il metodo pi noto quello
del quarto ordine: dove: Metodi di ordine maggiore non sono
convenienti poich richiedono un numero troppo grande di valutazioni
della funzione f.
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- Implementazione Matlab
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- Implementazione Matlab Metodo di Eulero Applico il metodo di
Eulero in avanti al problema test: con = -5 Confronto della
soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo di
Eulero. Osservazione dellandamento del metodo variando i passi di
discretizzazione h. : Gui_Eulero.m Applicazione_Eulero_avanti.m
eulero_avanti.m
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- Implementazione Matlab Metodo di Runge-Kutta Applico il metodo
di Runge Kutta del 4 ordine al problema test: con = -5 Confronto
della soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo
Runge-Kutta. Osservazione dellandamento del metodo variando i passi
di discretizzazione h. : Gui_RK4.m Applicazione_RK4.m rk4.m
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- Implementazione Matlab Eulero vs Runge-Kutta Applico i 2 metodi
al problema test: con = -5 Confronto tra i due metodi. Osservazione
dellandamento dei metodi variando i passi di discretizzazione h.
Confronto del tempo di esecuzione tra i due metodi. :
Applicazione_Confronto.m Eulero_avanti.m rk4.m Gui_Confronto.m
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- Applicazioni Reali Uso delle equazioni differenziali per
risolvere problemi della vita reale
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- Problema 1 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un nuovo
prodotto di cereali Oat Puffs, viene introdotto attraverso una
campagna pubblicitaria per una popolazione di 1 milione di
potenziali clienti. La velocit con cui la popolazione sente parlare
del prodotto si presume essere proporzionale al numero di persone
che non sono ancora a conoscenza del prodotto. Entro la fine di 1
anno, la met della popolazione ha sentito parlare del prodotto.
Applicazioni Reali - Pubblicit Quante persone avranno sentito
parlare del prodotto entro la fine di due anni?
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- Ricaviamo lequazione differenziale associata al problema: Sia y
il numero (in milioni) di persone che al tempo t hanno sentito
parlare del prodotto. Ci significa che (1-y) il numero di persone
che non sono a conoscenza del prodotto, ed il tasso alla quale la
popolazione sente parlare del prodotto. Dalle osservazioni appena
fatte possibile scrivere l'equazione differenziale come segue :
Applicazioni Reali - Pubblicit Il tasso del cambiamento di y
proporzionale alla differenza tra 1 e y Svolgimento
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- Applicazioni Reali - Pubblicit Conoscenza della pubblicit
Potenziali clienti (in millioni) Tempo (in anni)
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- Problema 2 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un
serbatoio contiene 40 litri di una soluzione composta da 90% dacqua
e da 10% dalcool. Una seconda soluzione contenente met acqua e met
alcool aggiunta al serbatoio al ritmo di 4 litri al minuto. Allo
stesso tempo, il serbatoio viene svuotato al ritmo di 4 litri al
minuto, come mostrato nella figura seguente : Applicazioni Reali -
Serbatoio 4 litri/min Supponendo che la soluzione si mescoli
costantemente, quanto alcool sar presente nel serbatoio dopo 10
minuti ?
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- Ricaviamo lequazione differenziale associata al problema: Sia y
il numero di litri di alcool nel serbatoio in un qualsiasi istante
t. La percentuale di alcool nel serbatoio da 40 litri in qualsiasi
istante . Inoltre, visto che 4 litri di soluzione vengono drenati
ogni minuto, il tasso di variazione di y : Applicazioni Reali -
Serbatoio Il tasso del cambiamento di y pari alla quantit di alcool
drenata fuori pi lammontare di alcool uscente Svolgimento