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8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014
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Introduccin al Anlisis Estructural
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CAPITULO 1
INTRODUCCIN AL ANLISIS ESTRUCTURAL
1.1 Clasificacin de las Estructuras.Una estructura, en general esta formada por elementos interconectados, los cuales
independientemente de su forma, se consideran en una, dos o tres dimensiones. Enrealidad un elemento tiene siempre tres dimensiones: longitud, anchura y espesor; sinembargo, si la anchura y el espesor son pequeos en comparacin con la longitud, como
en el caso de vigas y columnas, tales elementos pueden considerarse como
unidimensionales. En el caso de placas y cscaras, el espesor es normalmente ms
pequeo que la longitud y la anchura del elemento; de ah que las placas y cascaras se
consideran bidimensionales. Como para las relaciones entre longitud, anchura y espesor
no hay una delimitacin clara, de acuerdo con la cual los elementos puedan clasificarse
como unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, esto queda enteramente a
juicio del ingeniero y a la exactitud esperada de los resultados. Por ejemplo, la viga
continua, mostrada en la figura 1.1-1, se considera unidimensional en cambio la de la
figura 1.1-2 es bidimensional. Mientras las reacciones en A y C en la figura 1.1-1 son
cero, la fuerzaPen la figura 1.1-2 adoptando un mtodo de clculo adecuado se propaga
a travs de la altura del elemento de tal manera que las reacciones en A y C son
diferentes de cero. Las magnitudes de estas reacciones no dependen nicamente de la
relacin longitud-altura, sino tambin de las propiedades materiales y geomtricas de la
viga.
Las estructuras pueden dividirse en las tres categoras siguientes considerando sus
elementos como de una, dos o tres dimensiones.
Estructuras de esqueletoEstructuras laminares
Slidos
En este texto se trata el anlisis de aquellas estructuras que caen dentro de la
primera categora donde los elementos se consideran como unidimensionales.
La clasificacin anterior de las estructuras es el resultado de la idealizacin de lasestructuras reales con ciertas aproximaciones e hiptesis. Por ejemplo, un edificio se
idealiza normalmente en tal forma que su entramado, es decir, el conjunto de las vigas y
columnas de los pisos se considera como de tipo estructura de esqueleto y las placas sondel tipo laminar, aunque el sistema completo es realmente una combinacin de todos los
tres tipos antes mencionados.
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Estructuras Hiperestticas
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Figura 1.1-1 Viga continua unidimensional Figura 1.1-2. Viga continua bidimensional
An cuando es posible analizar una estructura completa como un sistema
integrado (cimientos, pisos y entramados) las dificultades que se encontrarn no
justifican el esfuerzo. Considerando otras incertidumbres tales como propiedades de los
materiales, cargas y tcnicas de construccin, hay algunas justificaciones para hacer la
modelizacin de la estructura separando las diferentes partes en diferentes grupos
(descomposicin) y analizarlas luego independientemente.
El tipo de estructuras de esqueleto a su vez puede dividirse en los siguientes
grupos.
Cerchas
Sistemas planos
Reticulados entramados
Marcos rgidos tridimensionales
En las cerchas, los elementos se unen entre si por articulaciones sin rozamiento y
las cargas se aplican en los nudos. En consecuencia, los elementos estn sometidosnicamente a fuerzas axiales (tensin o compresin). En la practica por supuesto, los
elementos estn unidos entre si por pernos, tornillos, o soldaduras, en lugar de estarunidos por un pasador sin rozamiento y estn sujetos a cierta flexin y fuerza cortante.
Sin embargo, como las rigideces a la flexin son muy pequeas, los errores introducidos
por tal idealizacin son tambin pequeos. Si se desearan conocer, por ejemplo, los
esfuerzos de flexin, normalmente considerados como esfuerzos secundarios en las
cerchas, las uniones pueden considerarse como uniones rgidas y el anlisis puede
desarrollarse de acuerdo con esto.
En los sistemas planos, los elementos estn unidos entre si por nudos rgidos lo
mismo que por articulaciones sin rozamiento y las cargas se pueden aplicar tanto en los
nudos como en los elementos. La rigidez a la flexin de estos elementos normalmente esgrande comparada con la de las cerchas. Los elementos no estn sujetos a torsin, pues laestructura y las cargas estn en el mismo plano.
Los reticulados entramadosson los sistemas planos que estn sujetos a cargas
en diferentes planos. En otras palabras la estructura y las cargas no estn en el mismo
plano y como consecuencia de esto los elementos pueden estar sujetos tanto a torsin
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como a flexin. Corresponden a esta categora los cobertizos, los sistemas de tableros de
puentes, los sistemas de pisos en edificios, etc.
Los marcos rgidos tridimensionalesson el tipo ms general de estructuras de esqueleto.Las cargas pueden estar aplicadas en cualquier punto y en cualquier direccin y los
elementos pueden estar unidos entre si en cualquier forma.
1.2 Grado de indeterminacin y Grado de libertadLas estructuras, en cuanto concierne a su comportamiento esttico, pueden
clasificarse como estables e inestables. Las estructuras estables son aquellas capaces de
soportar un sistema general de cargas cuyos valores tienen un lmite de manera que no
ocurra la falla por deformacin excesiva. Las estructuras inestables por el contrario, no
pueden sostener cargas a menos que estas sean de una naturaleza especial.
Las estructuras estables pueden ser estticamente determinadas o estticamente
indeterminadas tambin denominadas estructuras hiperestticas, dependiendo de si las
ecuaciones de equilibrio son por si solas suficientes para determinar tanto las reaccionescomo las fuerzas internas. Si son suficientes, la estructura se clasifica simplemente como
determinada; de lo contrario como indeterminada, la cual puede ser tambin
externamente e internamente indeterminada. Si el nmero de las componentes de lasreacciones es mayor que el nmero de ecuaciones independientes de equilibrio, se dice
que la estructura es externamente indeterminada. Sin embargo, si algunas fuerzas internasdel sistema no pueden determinarse por esttica a pesar de que todas las reacciones sean
conocidas, entonces la estructura se clasifica como internamente indeterminada. Encualquiera de los casos, su anlisis depende de las propiedades fsicas y geomtricas, es
decir, momentos de inercia, rea y modulo de elasticidad de sus elementos.
La indeterminacin implica restricciones o elementos adicionales a los mnimosrequeridos para la estabilidad esttica del sistema. A estas cantidades en exceso
(reacciones o fuerzas internas en los elementos) se las denomina como redundantes, y su
nmero representa el grado de indeterminacin de la estructura. Consideremos por
ejemplo, Las estructuras mostradas en las figuras 1.2-1, 1.2-2, 1.2-3, 1.2-4 y 1.2-5.
La estructura mostrada en la figura 1.2-1 es obviamente inestable debido a la falta
de sujecin para prevenir el movimiento, mientras que en la figura 1.2-2 aunque exista un
nmero adecuado de restricciones en los soportes su arreglo o distribucin puede ser de
tal forma que no pueda resistir el movimiento provocado por una carga arbitrariamente
aplicada.
Figura 1.2-1 Figura 1.2-2Estructura inestable debido a la Estructura inestable debido a la
carencia de soporte disposicin de los apoyos
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Estructuras Hiperestticas
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Figura 1.2-3 Figura 1.2-4 Figura 1.2-5
Estructura estable Estructura externamente indeterminada Estructura internamente indeterminadaEn lo que a esttica se refiere (independientemente de la resistencia), la estructura
mostrada en la figura 1.2-3 es suficientemente estable para soportar cualquier sistema de
cargas. La de la figura 1.2-4 es externamente indeterminada de primer grado, mientras la
de la figura 1.2-5 es internamente indeterminada de segundo grado. Fuera de la economay la seguridad hay muchas razones para disear una estructura indeterminada en lugar de
una determinada. Sin embargo, este asunto esta fuera del tema.El grado de libertad, por otra parte, se define como el nmero total de
desplazamientos desconocidos en los nudos de la estructura. Como mximo un nudopude tener seis desplazamientos desconocidos, tres rotacionales y tres lineales en los
marcos rgidos tridimensionales; dos rotacionales y uno lineal en los reticulados entramados; dos lineales y uno rotacional en los sistemas rgidos planos; dos y tres
lineales en cerchas bi y tridimensionales. El grado de libertad puede determinarse,
entonces, contando nicamente los desplazamientos desconocidos en los nudos.
En la mayora de los casos, el grado de libertad y el grado de indeterminacin
estn relacionados entre si cuando disminuye el uno aumenta el otro y viceversa. Sin
embargo, si se cambia el grado de indeterminacin del sistema aadiendo o suprimiendo
algunos elementos no necesariamente se altera su grado de libertad. Por ejemplo, la
armadura de la figura 1.2-5 tiene dos barras adicionales comparada con la determinada en
la figura 1.2-3, no obstante el grado de libertad de ambos sistemas es 13.En resumen, el grado de indeterminacin de una estructura es el nmero de
componentes de las reacciones y fuerzas internas desconocidas que sobrepasan al nmerode ecuaciones de condicin para el equilibrio esttico. El grado de libertad es el nmero
total de componentes de las deflexiones desconocidas de los nudos libres. Aunque estasdos cantidades se usan algunas veces para seleccionar el mtodo matricial ms adecuado
para el anlisis de una estructura dada, ninguno de los mtodos matriciales hace discusin
entre las estructuras determinadas e indeterminadas. Estos dos conceptos estn
involucrados en los mtodos de tal modo que ni el Mtodo de Flexibilidad ni el de
Rigidez alteran su curso o se modifican porque la estructura sea o no determinada. El
grado de indeterminacin o el grado de libertad determinan, respectivamente, el orden enque deben ser invertidas las matrices de flexibilidad y de rigidez. Considerando que la
mayor parte del tiempo de anlisis se gasta en la inversin (o solucin) de estas matrices,
el grado de libertad o de indeterminacin puede usarse como un factor para la seleccin
del Mtodo de Anlisis; fuera de lo cual no sirven para otro propsito.
Luego de que se ha hecho la seleccin (la cual se hace frecuentemente por
muchas razones diferentes a las que acabamos de discutir), ambos mtodos siguen su
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desarrollo, aunque una estructura determinada se comporte de manera diferente bajo
circunstancias idnticas a una indeterminada. Por ejemplo, las variaciones de temperatura
producen fuerzas internas en el sistema indeterminado pero no en el determinado.
En los mtodos no matriciales, el concepto de indeterminacin desempea un
papel muy importante.
1.3 Mtodos de Anlisis.Entre los mtodos de anlisis utilizados podemos mencionar los mtodos
energticos, mtodos aplicados a estructuras con pequeo grado de hiperestaticidad y losdenominados Mtodos Matriciales, bsicamente existen dos tipos diferentes de Mtodos
Matriciales para analizar estructuras, llamados, Mtodo de Rigidez (desplazamientos) y
Mtodo de Flexibilidad (fuerzas); Tambin conocidos como los Mtodos de Equilibrio y
Compatibilidad, respectivamente. Existe tambin un tercer mtodo que no es tan comn
como los dos anteriores aunque tiene algunas ventajas cuando se aplica a ciertos tipos de
estructuras. Este es llamado elMtodo Combinado de Anlisis.
Antes de entrar a la descripcin de cada mtodo, el significado de la palabra
anlisisnecesita una aclaracin adicional. Si bien ahora se debe tener una idea acerca desu significado una definicin explicita de ella puede ser provechosa debido a que
analistas diferentes la entienden de diferentes maneras. Algunos pueden interpretarla
como la determinacin de fuerzas internas; y otros como la determinacin de las
deformaciones en varias partes de la estructura. Sin embargo, como hay una relacin
simple y nica entre la forma deformada de la estructura y las fuerzas internas, el obtener
la una, implica que las otras pueden determinarse con menos esfuerzo. Por consiguiente
si el analista define su fin inmediato como la obtencin de la forma deformada de la
estructura, entonces sigue un procedimiento que difiere de aquel que le da prioridad a lasfuerzas internas. Para algunas estructuras es mas fcil primero determinar los
desplazamientos y despus las fuerzas internas y viceversa. Es posible establecer losdiferentes Mtodos de Anlisis teniendo presente estos fines inmediatos.
Figura 1.3-1 Diagrama de cuerpo libre de un elemento ij(exagerado)
Consideremos la estructura de esqueleto mostrada en la figura 1.3-1 y
supongamos que uno de sus elementos, digamos el elemento i-j, se saca del sistema en su
forma deformada. Supongamos adems que se han calculado o se dan los
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desplazamientos de iy de j(o el relativo de uno con respecto al otro). Entonces puede
determinarse a partir de las relaciones fuerza-desplazamiento, las fuerzas internas de los
puntos i y j o en cualquier punto entre ellos, as como de la curva elstica (forma
deformada) de este elemento. Por ejemplo,
jijiiii KKP +=
da las fuerzas internas desarrolladas en el extremo ide este elemento en funcin de lasdeflexiones de los puntos iyj. Las matrices iiK y ijK , las cuales llamaremos las matrices
de rigidez directa y de rigidez cruzadadel elemento i-j, estando estas en funcin deE,A,I,Ldel elemento. Una vez conocidas las deflexiones el clculo de las fuerzas internas esbastante fcil. Entonces puede pensarse que lo que ms interesa en el anlisis estructural
es la determinacin de los desplazamientos de los extremos de cada elemento, sea decada nudo del sistema. Tal consideracin conduce al anlisis por el Mtodo Matricial de
Rigidez. Por el contrario, si el analista decide obtener primero las fuerzas internas,
entonces sigue el Mtodo de Flexibilidad.
Ambos mtodos satisfacen las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y lascondiciones de compatibilidad de los desplazamientos pero no en el mismo orden. En el
Mtodo de Rigidez primero se satisface el equilibrio de fuerzas y en el Mtodo de
Flexibilidad lo hacen las compatibilidades de los desplazamientos. La seleccin de un
mtodo o del otro depende de la estructura as como de la preferencia del analista. Para
ciertas estructuras es fcil decidir que mtodo de anlisis deber seguirse, mientras que
para otras puede aun ser preferible usar un mtodo en ciertas partes de la estructura y el
otro en las otras. Este concepto sienta las bases para el mtodo combinado de anlisis.
Cada mtodo involucra la solucin de ecuaciones simultneas en las cuales los
desplazamientos de los nudos son las incgnitas en el mtodo de rigidez, las fuerzas en
los elementos en el Mtodo de Flexibilidad y parcialmente desplazamientos en los nudosy fuerzas en los elementos en el mtodo combinado. El Mtodo de Flexibilidad esta
asociado con el grado de indeterminacin de la estructura y requiere resolver tantasecuaciones simultaneas como nmero de redundantes. El Mtodo de Rigidez, no tiene en
cuenta si la estructura es determinada o indeterminada; lo que importa en este caso es elgrado total de libertad del sistema. Contrariamente a lo que sucede en el Mtodo de
Flexibilidad o en cualquier otro mtodo clsico, el Mtodo de Rigidez es favorable en
una estructura indeterminada a medida que se hace menor el grado de libertad.
1.4 Principios fundamentalesLa clasificacin de las estructuras hecha en la seccin anterior se bas en su
geometra y en la misma seccin se mencion que los mtodos seran aplicables
solamente a las estructuras de tipo esqueleto. Para decidir sobre el mtodo de anlisis,
son importantes su comportamiento bajo cargas dadas y las propiedades del material de
que estn hechas. Los mtodos presentados, se aplican a aquellas estructuras para las
cuales los siguientes principios son vlidos o se suponen vlidos.
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1.4.1 Teora de las pequeas deflexionesSe supone que la geometra de una estructura no cambia apreciablemente bajo la
aplicacin de las cargas. Muchas estructuras cumplen este requisito; sin embargo en arcos
esbeltos, puentes colgantes, en torres altas, etc., el cambio de la geometra tiene un papel
importante. La teora de las pequeas deflexiones esta ilustrada en la figura 1.4.1-1. En
cualquiera de las condiciones de carga, la deflexin
producida se supone que es lamisma. Esto es, una hiptesis aceptable siempre que sea pequea y la presencia de P2
no altere la flexin en la columna. Por ejemplo, el momento en el apoyo en la figura 1.4-1 se supone que es P1L en vez de P1L+P2. En otras palabras, se supone que P2 es
despreciable comparado conP1L.
Figura 1.4.1-1 Columna sometida a cargas P1y P2
Existen otros mtodos tales como la teora de las grandes deflexiones o teora de
segundo orden que tiene en cuenta el cambio en la geometra para el anlisis de las
estructuras, dichas teoras no sern tratadas.
1.4.2 LinealidadEste principio supone que la relacin carga-deflexin es lineal. Dicho de otra
manera, si todas las cargas externas de la estructura son multiplicadas por un factor C, la
deflexin de cualquier punto de la estructura ser C veces la deflexin previa. Este
principio esta controlado por la teora de las pequeas deflexiones as como por las
propiedades fsicas de los materiales de los cuales la estructura esta hecha.
Primero que todo los materiales son elsticoso inelsticos; segundo, ellos pueden
ser lineales o no linealesen cuanto se refiere a la relacin esfuerzo-deformacin. Aun
para un material linealmente elstico, la relacin esfuerzo-deformacin es valida
normalmente hasta cierto punto. Por ejemplo, en acero estructural tal relacin sigue unacurva similar a la mostrada en la figura 1.4.2-1 donde y y y representan,respectivamente, el esfuerzo de fluencia y la deformacin de fluencia del material. Por
tanto este principio supone que bajo una condicin de carga dada en ningn punto los
esfuerzos o deformaciones debern exceder los delpunto de fluencia del material.
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Figura 1.4.2-1 Curva esfuerzo-deformacin
1.4.3 SuperposicinEste principio establece que la secuencia en la aplicacin de las cargas no altera
los resultados finales siempre que no se violen los dos principios previos, es decir, el de
las pequeas deflexiones y el de linealidad. La figura 1.4.3-1 ilustra este principio. Elprincipio de superposicin es bastante empleado en el mtodo de flexibilidad para
confirmar el hecho de que el comportamiento de la estructura real puede expresarse como
el comportamiento de estructuras primarias bajo dos efectos separados, el primero debido
a la carga real y el segundo a las redundantes. La figura 1.4.3-2 demuestra este fenmeno
para el anlisis de la estructura de la figura 1.4.3-1 suponiendo que la reaccin vertical en
D ha sido seleccionada como redundante DO y DD representan en esta figura las
deflexiones del punto D debidas a las cargas reales y a la redundante, respectivamente.
Como la redundante no se conoce, DDno puede evaluarse en esta etapa. Sin embargo, de
acuerdo al principio de linealidad
DDDDD x =
en donde DDrepresenta la deflexin del punto D debida a la carga unitaria aplicada en la
direccin de xD. Puesto que la deflexin vertical real de D en la estructura original es
igual a cero,
0=+ DDDDO x
Finalmente,
DD
DO
Dx
=
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Figura 1.4.3-1 Principio de superposicin.
Figura 1.4.3-2 Principio de superposicin con la aplicacin de una redundante.
Otra explicacin importante del principio de superposicin es el uso de fuerzas
equivalentes en el nudo calculadas a partir de las fuerzas de empotramiento cuando laestructura esta sujeta a cargas aplicadas sobre los elementos.
1.4.4 EquilibrioNormalmente existen dos clases de equilibrio, equilibrio esttico y equilibrio
dinmico. Cuando las cargas estn aplicadas sobre una estructura en forma cuasilineal
(partiendo desde cero y alcanzado su valor final gradualmente), la estructura se
deformara bajo estas cargas y quedara en reposo en su forma final. Desde este instante la
estructura no sufre cambios en su posicin ni en su forma deformada. Por el contrario, si
las cargas se aplican sbitamente, la estructura alcanzara diferentes deformaciones en
diferentes instantes.
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Figura 1.4.4-1 Equilibro esttico de un cuerpo elstico.
Si cualquier partcula o porcin de la estructura esta en equilibrio en cualquier
instante bajo la accin de cargas externas, fuerzas gravitacionales, fuerzas elsticas y
fuerzas inerciales que actan sobre ella, entonces se dice que existe el llamado equilibrio
dinmico de la estructura el cual no es tratado.
La condicin de equilibrio esttico establece que la suma de todas las fuerzas
externas que actan sobre la estructura (incluyendo las reacciones) trasladadas a un punto
comn, sern iguales a cero.
Supongamos que en un espacio fsico bidimensional el cuerpo elstico mostrado
en la figura 1.4.4-1 esta en equilibrio esttico bajo las cargas dadas (P1,P2, ,Pn) dondePirepresenta las fuerzas generalizadas (incluyendo los momentos) aplicadas en el puntoi. El equilibrio esttico establece que
0''' 21 =+++ nPPP (1.4.4-1)
donde iP' representa iPtrasladada a un sistema de coordenadas comunes localizado en
un punto arbitrario tal como el punto 0 en la figura 1.4.4-1.Adems de todo el equilibrio de la estructura, cualquier parte aislada de ella debe
estar tambin en equilibrio. Supongamos que el nudo ien la figura 1.4.4-1 se asla de la
estructura como muestra la figura 1.4.4-2.
Representaremos por ijP (j=2, n en la figura 1.4.4-2) las fuerzas internas
desarrolladas en el extremo idel elemento ijdebidas a las cargas aplicadas.
01
=+ =
m
j
iij PP (1.4.4-2)
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Figura 1.4.4-2 Fuerzas internas del nudo i.
Establece el equilibrio del nudo i, donde mes el nmero de elementos que concurren al
nudo i. Si esta ecuacin se satisface en cada nudo de la estructura, las condiciones de
equilibrio para todo el sistema en conjunto tambin se cumplirn (ecuacin 1.4.4-1). En
los mtodos presentados en este texto, se usaran frecuentemente las ecuaciones deequilibrio de los nudos
1.4.5 Compatibilidad
Figura 1.4.5-1 Estructura unida rgidamente Figura 1.4.5-2 Estructura unida por una articulacin
Este principio supone que la deformacin y consecuentemente el desplazamiento,
de cualquier punto particular de la estructura es continuo y tiene un solo valor.
Normalmente esta condicin se emplea, al igual que las condiciones de equilibrio, para
satisfacer que los desplazamientos son nicos en los extremos de los elementos que
concurren a un nudo.
Supongamos que unos pocos elementos estn rgidamente unidos entre si en elnudo icomo se muestra en la figura 1.4.5-1 se desplaza una cantidad i. La condicin de
compatibilidad requiere que
iibiaij === (1.4.5-1)donde ij representa el desplazamiento del extremo i del elemento i-j. La ecuacin
(1.4.5-1) es vlida siempre y cuando los elementos estn unidos entre si rgidamente y no
se produzca fluencia o falla en el nudo.
Si los elementos estn unidos entre si por uniones semirgidas o por articulaciones
sin rozamiento, entonces algunas de las componentes de la condicin de compatibilidaddadas en la ecuacin (1.4.5-1) no se cumplirn.
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Por ejemplo, si suponemos que la unin en el nudo iesta construida de tal manera que el
elemento i-besta unido a los otros por una articulacin sin rozamiento mientras que los
elementos i-j e i-a permanecen rgidamente unidos, la compatibilidad rotacional del
elemento i-bno se cumple; esto es,
ibiaiji ==
sin embargo la ecuacin (1.4.5-1) se mantiene an para todas las otras componentes delos desplazamientos.
1.4.6 Condiciones de contorno
Figura 1.4.6-1 Condiciones de contorno de una estructura.
Sin introducir ciertas condiciones en los contornos, los problemas estructurales,
como muchos otros problemas fsicos, no se consideran enteramente definidos. Estascondiciones se especifican o en funcin de fuerzas (fuerzas en los nudos o en los
elementos) o en funcin de desplazamientos. Por ejemplo, para la estructura mostrada enla figura 1.4.6-1 las condiciones de contorno en funcin de los desplazamientos son:
04111 ==== YYX (1.4.6-1)
mientras que las condiciones de contorno de las fuerzas son:
102 =XP
53 =YP (1.4.6-2)
03322 ==== MPMP XY
No obstante el uso de las condiciones de contorno se explica con mayor detalle
posteriormente, se advierte recordar independientemente del mtodo, los resultadosdeben satisfacer estas condiciones. Por ejemplo, los resultados del anlisis indicarn que
la rotacin del nudo 1 de la estructura mostrada en la figura 1.4.6-1 es nula. A los puntos
tales como los 1 y 4 en esta figura, que tienen el desplazamiento especificado por las
condiciones de contorno, se les denomina apoyos de la estructura, y los desplazamientos
en los apoyos prescritos, no necesariamente son iguales a cero como indica la
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ecuacin (1.4.6-1). Estos pueden especificarse como constantes o como funciones en los
problemas que involucran asentamientos en los apoyos o en las uniones semirgidas.
(a) (b) (c)Figura 1.4.6-2 Distintas condiciones de contorno
Adems de estos hay casos donde las condiciones de contorno pueden ser aun
dependientes de otras condiciones. Por ejemplo, en la figura 1.4.6-2(a), para el punto iseespera un asentamiento vertical de magnitud cy la condicin de contorno se especifica
como ciY = . En la figura 1.4.6-2(b), donde el punto iesta apoyado sobre un resorte
que tiene una constante de resorte k, lineal o no lineal, la condicin de contorno viene aser ( )kfiY= . En la figura 1.4.6-2(c), sin embargo, la condicin de contorno en io no
esta especificada o es igual ac, bajo las cargas dadas si ideflecta hacia abajo la cantidadc. Por consiguiente el anlisis del sistema, en ese caso, puede requerir dos etapas.Primero, suponer que no hay prescritas condiciones de contorno en iy ver si la deflexin
vertical de ies mayor o menor que c. Si es menor, la hiptesis es correcta; esto es, no hayapoyo en i, y el anlisis queda terminado. En el otro caso, la estructura deber volverse a
analizar tomando un asentamiento ciY = anlogamente al de la figura 1.4.6.-2(a).
1.4.7 Unicidad de las solucionesEste principio asegura que no son posibles soluciones alternativas a los problemasde anlisis estructural. Para un conjunto dado de cargas externas, tanto la forma
deformada de la estructura y las fuerzas internas as como las reacciones tienen un valor
nico. Este enunciado se conoce como el teorema de unicidad de Kirchhoff, y puede
comprobarse fcilmente con la hiptesis del contrario. Supongamos que un conjunto de
cargas externas puede dar origen a dos modos diferentes de desplazamiento como indica
la figura 1.4.7-1.
Si la figura 1.4.7-1(a) se resta de la figura 1.4.7-1(b), el resultado ser otra forma
deformada de la estructura sin ninguna carga externa sobre ella. Verdaderamente esto no
es posible, lo cual prueba el teorema de unicidad. Este principio tambin es validocuando las deformaciones son causadas por asentamientos de los apoyos, por cambio de
temperatura o por cualquier otra causa.Muy frecuentemente el analista verifica sus resultados por simple comprobacin
del equilibrio completo de toda la estructura (ecuacin (1.4.4-1)). Esta parece ser laverificacin ms simple, pero no puede garantizar que los resultados sean realmente
correctos. Por ejemplo, si del anlisis de la estructura resultan dos respuestas diferentes,
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tales como (a) y (b) de la figura 1.4.7-2, las ecuaciones de equilibrio no pueden
determinar por si solas si es (a) o es (b) la verdadera solucin del problema.
(a) (b)Figura 1.4.7-1 Estructura con dos modos diferentes de desplazamiento.
Un examen de las dos figuras muestra que las ecuaciones de equilibrio de fuerzas
se satisfacen completamente en ambos casos. Sin embargo, los clculos de deflexiones
indican que los desplazamientos relativos de los dos apoyos en la figura 1.4.7-2(a) no son
iguales a cero como deberan serlo de acuerdo con las condiciones de contorno. En la
figura 1.4.7-2(b), sin embargo, esta condicin se satisface tambin. La figura 1.4.7-2(b)es por consecuencia la nicasolucin al problema. Luego, repetimos aqu una vez mas
que la respuesta correcta a cualquier problema estructural es aquella que satisface las
tres condiciones denominadas, equilibrio, compatibilidad y de contorno.
(a) (b)Figura 1.4.7-2 Ejemplo del principio de la unicidad de las soluciones.
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Mtodos Energticos
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CAPITULO 2
MTODOS ENERGTICOSa. Energa de Deformacin
Para los fines de las aplicaciones en la ingeniera, se considera que los cuerpos o
sistemas mecnicos estn formados por materia que consiste en partculas denominadas
puntos materiales y cuyo conjunto constituye la configuracin del sistema. Se dice que el
sistema experimenta una deformacin cuando cambia su configuracin, o sea cuando se
desplazan sus puntos materiales cambiando las distancias relativas entre los puntos.
Si se supone un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, este se deforma hasta que el
sistema de fuerzas internas equilibra el sistema de fuerzas externas. Las fuerzas externas
realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo. Este trabajo o energa de
deformacin es utilizado por el cuerpo para recuperar su forma cuando cesa la accin delsistema de fuerzas externas. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice
que es un cuerpo perfectamente elstico, e indica que el trabajo de las fuerzas externasdurante la deformacin del cuerpo se transformo totalmente en energa de deformacin,
desprecindose la perdidas pequeas por cambio de temperatura. En cualquier caso, secumple siempre la ley de la Termodinmica: el trabajo efectuado por las fuerzas externas
ms el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energa cintica
ms el incremento de energa interna. Por otra parte, el incremento de energa cintica es
igual a la suma de los trabajos de las fuerzas externas y de las fuerzas internas.
En los sistemas elsticos se desprecian las perdidas por calor y la energa interna del
sistema (energa potencial de las fuerzas internas) es la energa o trabajo de deformacin
de dicho sistema.
Las estructuras por lo general se hacen de madera, concreto y acero. Cada una de
ellas tiene diferentes propiedades materiales que deben ser consideradas para el anlisis y
el diseo. Debe conocerse el modulo de elasticidad E de cada material para cualquierclculo de desplazamiento.
Rangolineal
E
1
AceroConcretoMadera
linealRango
E
1
Rangolineal
1
E
Figura 2.1-1 Leyes de esfuerzo-deformacin.
En la figura 2.1-1, se muestran curvas tpicas esfuerzo-deformacin para los tres
materiales antes mencionados. El modulo de elasticidadEse define como la pendiente de
la curva esfuerzo-deformacin. Para deformaciones localizadas a la izquierda de las
lneas punteadas que se muestran en cada grfica, la curva es aproximadamente una lnea
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Estructuras Hiperestticas
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recta. La pendiente es constante y por ello tambin E lo es. Dentro de esta regin, elcomportamiento se lo denomina lineal.
Considrese la barra elstica de seccin transversal A y longitud L, sujeta a una
carga axialP, aplicada gradualmente, como se muestra en la figura 2.1-2.
L
0
P
( , )P1 1
P Figura 2.1-2 Barra sujeta a una carga axial P. Figura 2.1-3. Relacin P- lineal.
Se supone que se cumple la ley experimental de elasticidad lineal de Hooke,
como se indica en la figura 2.1-3. Donde la fuerza por unidad de rea que soporta unmaterial se suele denominar esfuerzo en el material, y se expresa matemticamente de la
forma:
A
P=
donde es el esfuerzo o fuerza por unidad de rea, Pes la carga aplicada y Aes
el rea de la seccin transversal.
El valor de la deformacin unitaria es el cociente del alargamiento (deformacin
total) y la longitudLen la que se ha producido. Por tanto.
L=
Consideremos de nuevo los diagramas de esfuerzo-deformacin representados en
la figura 2.1-1, y observemos las partes rectilneas. La pendiente de la recta es la relacin
entre el esfuerzo y la deformacin; representada por modulo de elasticidadE.
Pendiente de la lnea esfuerzo-deformacin =
=E
Que suele escribirse de la forma E= Esto no expresa otra cosa que la conocida ley de Hooke. En principio, Hooke solo
enuncio la ley de que el esfuerzo es proporcional a la deformacin. Fue Thomas Young,
quien introdujo la expresin matemtica con una constante de proporcionalidad que sellamo modulo de Young. Finalmente, este nombre se sustituyo por el modulo de
elasticidad o modulo elstico
Otra forma de expresin de la ley de Hooke, muy conveniente a veces, es la que
se obtiene al sustituir por su equivalenteP/Ay por /Lde modo que: E=
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Mtodos Energticos
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LE
A
P =
O lo que da igual
AE
PL= (2.1-1)
donde: : Deformacin en la barraE: Modulo de elasticidad de Young
La carga P se aplica gradualmente y la deformacin aumenta gradualmente segn
la ecuacin 2.1-1. El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es
= dPW (2.1-2)De (2.1-1)
L
EAP= (2.1-3)
Sustituyendo (2.1-3) en (2.1-2)
== 22
L
EAd
L
EAW (2.1-4)
Por lo tanto
PW2
1= (2.1-5)
C
P
W
W
C
P
Figura 2.1-4. Energa de deformacin Figura 2.1-5. Energa de deformacin
Caso Lineal Caso No Lineal
El trabajo realizado por una fuerza se define como el producto de la fuerza por la
distancia que esta recorre en su propia direccin. Cuando un cuerpo elstico esta
sometido a un conjunto de fuerzas externas, ciertos esfuerzos internos se desarrollan en el
cuerpo, y durante la deformacin de esta, estos esfuerzos realizan algn trabajo. Este
trabajo se designa normalmente como energa de deformacin del cuerpo, siendo W= U.El trabajo energa de deformacin U corresponde al rea sombreada del
triangulo mostrado en la figura 2.1-4, es decir, est representado por el rea bajo la recta.
La ecuacin (2.1-5) se conoce como la Ley de Clapeyron, que nos dice que la
energa de deformacin, cuando la carga se aplica paulatinamente vale la mitad de la
energa que se desarrolla cuando la misma carga se aplica instantneamente.
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Estructuras Hiperestticas
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En el caso de elasticidad no lineal (figura 2.1-5), la energa de deformacin es elrea bajo la curva, como se puede deducir de la ecuacin (2.1-2).
2.2 Energa Complementaria de DeformacinSe denomina energa complementaria de deformacin y se representa con C al
rea arriba de la curva Carga-Deformacin y limitada superiormente por la rectahorizontal que corresponde a la cargaP, cuyo valor se calcula con la integral
= dPC (2.2-1)y tiene importancia al considerar los Teoremas de Castigliano.
Cuando la aplicacin de la carga es instantnea, el trabajo o energa de
deformacin esP, es decir, el rea del rectngulo que corresponde a la suma C+ W.
2.3 Energa Especfica de DeformacinConsiderando el ejemplo de una barra con carga axial mostrado en la figura 2.1-2,
se tiene que el esfuerzo normal es:
A
P= (2.3-1)
y la deformacin unitaria
L
= (2.3-2)
Despejando valores de las ecuaciones (2.3-1) y (2.3-2), y sustituyendo en la ecuacin
(2.1-5)
LAU
2
1= (2.3-3)
donde A L representa un volumen que se puede considerar unitario, obtenindose la
llamada energa especifica de deformacin Uu, es decir la energa de deformacin
almacenada en la unidad de volumen
2
1=
uU (2.3-4)
Esta energa especfica de deformacin indicada en la ecuacin (2.3-4) es la debida al
esfuerzo normal.
Para el caso del esfuerzo cortante considrese una unidad de volumen como se
muestra en la figura 2.3-1 y un corte paralelo al plano xycomo se muestra en la figura
2.3-2.
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y
zx
xP
P
y
P
P
y
xz
Figura 2.3-1. Unidad de Volumen Figura 2.3-2. Elemento sujeto
a fuerza cortanteSe tiene
zx
P
= (2.3-5)
y
y= (2.3-6)
Despejando P y de las ecuaciones (2.3-5) y (2.3-6), y reemplazando en la ecuacin
(2.1-5)
zyxU = 2
1 (2.3-7)
es decir
2
1=uU (2.3-8)
y
z
xz
x
y
z
yxyz
zy
zx
x
xy
Figura 2.3-3 Elemento sujeto al caso general de esfuerzos.
En el caso general de esfuerzos normales y tangenciales que se indica en la
figura 2.3-3, la energa especfica de deformacin por aplicacin gradual de la carga es:
)(2
1zyzyzxzxyxyxzzyyxxu
U +++++= (2.3-9)
donde x, yy zson las deformaciones unitarias en direccin de los ejes respectivos y xy,
xz y yz son las deformaciones angulares en direccin de los planos coordenados
indicados con los subndices.
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Obsrvese que por la condicin de equilibrio:
yzzyxzzxyxyx === ,, (2.3-10)
La ecuacin (2.3-9) se obtuvo considerando independientemente los efectos de
los esfuerzos normal y cortante, y sumndolos posteriormente, basndose en el principiode la superposicin de causas y efectos.
Este principio es de uso frecuente en el anlisis estructural y es aplicable amateriales linealmente elsticos, permitindose el anlisis de efectos separadamente,
siendo la suma de ellos el efecto del sistema total. En lo que sigue, se supone que se
cumple siempre el requisito de elasticidad lineal y entonces se aplica el principio de
superposicin.
La energa de deformacin total se obtiene integrando la ecuacin (2.3-9) en todo
el volumen del cuerpo
=V
udVUU (2.3-11)
2.4 Energa de Deformacin en BarrasConsidrese una barra prismtica en el espacio tridimensional, que cumple la Ley
de Hooke y que se encuentra sujeta a los elementos mecnicos: fuerza normal, fuerzas
cortantes, momentos flexionantes y momento torsionante.
Se supone que se cumple el estado de esfuerzos de Saint Venant, o sea:
0=== yxyx
(2.4-1)
Cada uno de los elementos mecnicos se considera por separado y se aplica el principio
de superposicin de causas y efectos, mencionado anteriormente.
1
Efecto de Fuerza NormalSi acta la fuerza normalN, slo se produce el esfuerzo normal
A
Nz= (2.4-2)
Se tiene que
E
zz
= (2.4-3)
y por lo tanto
EU z
zzu 22
1 2 == (2.4-4)
Reemplazando la ecuacin (2.4-2) en la ecuacin (2.4-4) e integrando:
dAAE
NdsU
L
A
N = 0 22
2 (2.4-5)
dondeN,E yAson constantes de una seccin transversal y
AdAA
= (2.4-6)
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Finalmente,
= L
N ds
AE
NU
0
2
2 (2.4-7)
es el trabajo o energa de deformacin por fuerza normal.
2
Efecto del Momento FlexionanteSi acta el momento flexionanteMx, las tensiones normales en un punto cualquiera de la
seccin transversal de la viga en la flexin se determinan por la formula:
yI
M
x
x
z= (2.4-8)
dondeIxes el momento de Inercia de la seccin con respecto al eje x, e yes la distancia
del punto donde se calcula el esfuerzo al eje neutro (eje sin compresin ni tensin).Se cumple la ecuacin (2.4-4) y teniendo en cuenta la ecuacin (2.4-8)
dAyIE
MdsU
L
A x
x
Mx
2
0 2
2
2 = (2.4-9)
dondeMx,E eIxson constantes en una seccin entonces:
x
A
IdAy = 2 (2.4-10)
Por lo tanto
dsIE
MU
L
x
x
Mx = 02
2 (2.4-11)
es el trabajo o energa de deformacin por momento flexionante.
3 Efecto de la Fuerza Cortante
Se considera la fuerza cortante Ty , donde la magnitud de la tensin tangencial sedetermina por la formula de D. Zhuravski:
yx
y
bI
QT= (2.4-12)
donde:
Q= momento esttico del rea limitada entre la fibra en estudio y la fibra ms
alejada de la seccin.
by= ancho de la fibra en estudio
Se tiene
G= (2.4-13)
donde Ges el mdulo de elasticidad transversal y vara entre los valores 0,4Ey 0,5E.
Teniendo en cuenta la ecuacin (2.3-8)
GU
u 22
1 2 == (2.4-14)
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Sustituyendo la ecuacin (2.4-12) en la ecuacin (2.4-14) e integrando:
dAbIG
QTdsU
L
A yx
y
Ty = 0 2222
2 (2.4-15)
Recordando que2AI
x= (2.4-16)
dondees el radio de giro de la seccin, entonces se tiene
dAbI
Q
AG
TdsU
yx
L
A
y
Ty 22
2
0
2
2 = (2.4-17)
donde Ty, GyAson constantes en una seccin, entonces:
dAbI
Qk
A yx
= 222
(2.4-18)
k. solo depende de la forma de la seccin (que puede cambiar a lo largo de la barra) y se
denomina coeficiente de forma. En general, la forma de la seccin se conserva aun para
secciones variables a lo largo de la pieza.
Por lo tanto,
dsAG
TkU
L y
Ty = 02
2 (2.4-19)
es el trabajo o energa de deformacin por fuerza cortante.
El coeficiente de forma kvale 1.2 para secciones rectangulares y triangulares, 10/9para secciones circulares yAseccin/Aalmapara perfiles laminados.
4 Efecto de Momento Torsionante
Se ha determinado que una barra sujeta a momento torsionante Mz produce esfuerzos
tangenciales, que para secciones circulares o anulares estn dados por
rJ
Mz= (2.4-20)
donde:
J= momento polar de inerciar= distancia del centro de la seccin al punto en estudio
Se cumple la ecuacin (2.4-14) y se tiene
dArJG
MdsU
L
A
z
Mz = 02
2
2
2 (2.4-21)
dondeMz, G yJson constantes en una seccin, entonces =A
JdAr2 (2.4-22)
Por lo tanto,
= L
z
M ds
JG
MU
z 0
2
2 (2.4-23)
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Mtodos Energticos
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En la mayora de los casos las secciones no son circulares o anulares y se utiliza elmomento polar de inercia modificado,Jm.
Finalmente,
= L
m
z
M ds
JG
MU
z 0
2
2 (2.4-24)
Para secciones rectangulares3
3
1tbJm= (2.4-25)
donde brepresenta el lado de mayor dimensin y tel de dimensin menor. La frmula se
puede aplicar tambin a secciones cuadradas, en cuyo caso b= t.
zM
M x
M y
NTx
yTy
xz
Figura 2.4-1. Barra curva sujeta a los seis elementos mecnicos.Las frmulas encontradas se aplican a barras de eje recto y de eje curvo. En el
caso general de una barra sujeta a los seis elementos mecnicos (figura 2.4-1), se obtiene
que:
dsGJ
Mds
EI
Mds
EI
Mds
GA
Tkds
GA
Tkds
EA
NU
L
m
zL
y
yL
x
xL y
y
Lx
x
L
+++++= 02
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
222222
(2.4-26)Para una barra en el espacio de tres dimensiones se supone que el eje longitudinal
de la barra pasa por el centroide de las secciones transversales y que las direcciones
principales son tangentes: normal y binormal, coincidiendo las dos ltimas con los ejes
centroidales y principales de la seccin transversal.
Existe una limitacin en cuanto a la curvatura de la pieza ya que en barras de eje
recto la distribucin del esfuerzo normal es lineal, transformndose dicha distribucin en
una curva cuando la barra no es de eje recto. El error es importante cuando la ecuacin
(2.4-26) se aplica a una barra de eje curvo en la cual el radio de curvatura en un punto es
del mismo orden que la dimensin mayor de la seccin transversal en ese punto. Sinembargo, cuando el radio de curvatura en un punto es igual a tres veces la dimensin
mayor de la seccin, el error es de un 2%* y por consiguiente la ecuacin (2.4-26) sepuede aplicar a barras de eje curvo en donde el radio de curvatura en un punto del eje no
es menor que cinco veces la dimensin mxima en ese punto.
*Ver el libro Stregth of Materialsde S. Timoshenko
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Es conveniente observar que para el clculo de la energa de deformacin, losefectos de varias cargas aplicadas sucesivamente no son en general simplemente aditivos.
Por ejemplo, si se aplica la fuerza normalN1y despus la fuerza normalN2, la energa de
deformacin no es:
ds
AE
Nds
AE
N LL + 0
22
0
21
22
,
que correspondera a las reas W1y W2, respectivamente, de la figura 2.4-2, sino que vale
dsAE
NNU
L
+
=0
221
2
)( (2.4-27)
que corresponde al rea total bajo la recta.
1W
2W1N
N
N1
2N
Figura. 2.4-2. Aplicacin gradual sucesiva de las fuerzas normales N1y N2.
2.5 Teorema de BettiEnunciado: El trabajo de las fuerzas de un sistema debido a los desplazamientos
que en sus puntos de aplicacin le produce otro sistema de carga es igual al trabajo delas fuerzas del segundo sistema debido a la aplicacin del primer sistema de fuerzas.
Considrese un cuerpo elstico en equilibrio al que se aplican dos sistemas de
cargaAyB, como se indica en las figuras 2.5-1 y 2.5-2, respectivamente
Cada uno de los sistemas de carga se encuentra en equilibrio independientemente,
al igual que su aplicacin simultnea, y se calcula la energa de deformacin debido a la
aplicacin sucesiva de dichos sistemas de carga, aplicados gradualmente.
Si se aplica primero el sistemaAy despus el sistemaB, se tiene
ijijjii PFPU ++=
2
1
2
1 (2.5-1)
donde los ndices repetidos indican suma,* correspondiendo los desplazamientos ia lasfuerzasPiy los ja las fuerzasFj, respectivamente, indicando ijlos desplazamientos de
los puntos de aplicacin de las fuerzasPidebido a la aplicacin del sistemaFj.
*La notacin simplificada de la ecuacin (2.5-1) corresponde al clculo de
=
=
=
++= n
i
m
j
n
i ijiP
jjF
iiPU
1 1 12
1
2
1
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FuerzasPi F
Fuerzasj
(i= 1, 2, , n) (j= 1, 2, , m)
Figura. 2.5-1. SistemaA, aplicando Figura. 2.5-2. SistemaB, aplicando
gradualmente las gradualmente lasfuerzasPi fuerzasFj
El ltimo trmino de la ecuacin (2.5-1) representa el trabajo del primer sistema
de fuerzas debido a los desplazamientos que le causa la aplicacin del segundo sistema
de cargas. Con el trmino de fuerzas se indican fuerzas concentradas y momentos y el
trmino desplazamientos se aplica a desplazamientos lineales y angulares.
De manera semejante, si se aplica primero el sistemaBy despus el sistemaA, se
obtiene:
jijiijj FPFU ++=
21
21 (2.5-2)
Las ecuaciones (2.5-1) y (2.5-2) son iguales ya que representan la misma energade deformacin, debido a que no dependen del orden de aplicacin de los sistemas de
carga.Igualando las ecuaciones (2.5-1) y (2.5-2) se obtiene:
jijiji FP = (2.5-3)
que es el Teorema de Betti
2.6 Teorema de MaxwellSe conoce tambin con el nombre de Teorema de los trabajos recprocos y esun caso particular del Teorema del Betti.
Considrese un cuerpo elstico en el acta una fuerza Pen un punto 1y despus
una fuerzaPen un punto 2, como se muestra en las figuras. 2.6-1y 2.6-2.C
P
A
2
D
B
1
B
D
21
C
A
P
Figura 2.6-1. Aplicacin de la carga Figura 2.6-2. Aplicacin de la carga
Pen el punto 1. Pen el punto 2
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Por el Teorema de Betti
2112 = PP (2.6-1)
2112 = (2.6-2)
donde 12es el desplazamiento en 1cuando Pse aplica en 2y 21es el desplazamiento
en 2cuandoPse aplica en 1.
Enunciado: El desplazamiento de un punto 1 en la direccin AB cuando en el
punto 2 acta una fuerza P en la direccin CD es igual al desplazamiento del punto 2 en
la direccin CD cuando en el punto 1 acta una fuerza P en la direccin AB.
Como ejemplos de aplicacin de este Teorema, considrense las estructuras presentadasen la figura 2.6-3.
Estructura I
1
32
4
P
2 3
b) Estructura II
13 23
P
c) Estructura III
M31
Figura 2.6-3. Estructuras para la aplicacin del Teorema de Maxwell.
De las estructuras I y II
3223 = PP (2.6-3)
3223 = (2.6-4)
Estos resultados permiten, en un trabajo experimental con una carga mvil,
verificar la exactitud de las mediciones o la posibilidad de efectuar la mitad de dichas
mediciones.De las estructuras II y III
1331 MP = (2.6-5)
SiPyMson iguales o unitarios
1331 = (2.6-6)
lo que permite medir desplazamientos lineales producidos por un par de fuerzas o giros
producidos por una fuerza, siendo dichas deformaciones iguales numricamente, salvo la
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existencia de un factor de escala debido a la diferencia entre las unidades de fuerza y lasde momento.
2.7 Teoremas de CastiglianoEn el ao 1870, el ingeniero ferroviario italiano Alberto Castigliano public en
dos partes su trabajo sobre la variacin de la energa de deformacin de los sistemaselsticos. Las partes I y II de su trabajo se conocen frecuentemente como primer y
segundo teorema de Castigliano respectivamente.
Primer Teorema de Castigliano:
Enunciado: Si se aplica un conjunto de cargas sobre una estructura linealmente
elstica y la energa de deformacin U se expresa como una funcin de los
desplazamientos en los puntos de aplicacin de las cargas y acta en sus direcciones, la
derivada parcial de U con respecto a uno de estos desplazamientos ies igual a la carga
(esfuerzo) correspondiente Pi.
i
i
PU =
(2.7-1)
La ecuacin (2.7-1) se conoce como el primer Teorema de Castigliano cuando seaplica a fuerzas concentradas y desplazamientos lineales.
Segundo Teorema de Castigliano
Enunciado: La derivada parcial de la energa de deformacin con respecto a una
fuerza que acta en un cuerpo es igual al desplazamiento del punto de aplicacin de la
fuerza en la direccin de dicha fuerza.
Considrese un cuerpo elstico sujeto a la accin de un sistema de fuerzas, como
se muestra en la figura 2.5-1. El trabajo o energa de deformacin esta en funcin de las
fuerzas es decir,
)( iPUUW == (2.7-2)
Si esta funcin se supone diferenciable
ii
i
PPP
UU +
= (2.7-3)
donde tiende a cero cuando Pitiende a cero y recprocamente.
Supngase que se aplica primero el sistema Pi, y despus el sistema Pi,
obtenindose:
iiiiiiPP PPPU
ii ++= 2
1
2
1, (2.7-4)
donde
iiiP PU 2
1= (2.7-5)
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o sea que
iiiiPPP PPUUU
iii +== 2
1, (2.7-6)
Igualando las ecuaciones (2.7-3) y (2.7-6)
iiiiii
i
PPPP
P
U +=+
2
1 (2.7-7)
Dividiendo ambos miembros entre Piy tomando lmites cuando Pi tiende a cero, seobtiene finalmente que
i
iP
U=
(2.7-8)
Similarmente la derivada parcial de la energa de deformacin con respecto a un
momento que acta en un cuerpo es igual a la rotacin del punto de aplicacin del
momento en la direccin de dicho momento lo que se expresa con:
i
iM
U=
(2.7-9)
Las ecuaciones (2.7-8) y (2.7-9) corresponden al caso particular representado por
el diagrama de la energa de deformacin caso lineal figura 2.1-4, es decir, cuando la
energa de deformacin es una expresin cuadrtica en los desplazamientos como se
presentan en la ecuacin (2.1-4). Si la ecuacin (2.1-5) se expresa solo en funcin deP,
sustituyendo en ella la ecuacin (2.1-1), y se deriva con respecto a P se obtiene la
ecuacin (2.7-8).
El Teorema de Castiglianogeneralizadose refiere a la energa complementaria de
deformacin y se deriva con respecto aPen la ecuacin (2.2-1), obteniendo la ecuacin *
i
iP
C=
(2.7-10)
La ecuacin (2.7-10) se conoce tambin como el verdadero teorema deCastigliano. La derivacin presentada de los Teoremas de Castigliano se ha efectuado
entonces para el caso particular en que la energa de deformacin complementaria esigual a la energa de deformacin C = U, debido a que se trata estructuras linealmente
elsticas, que es la hiptesis usual en la mayora de los casos. Para condiciones distintas
se deber hacer uso de la ecuacin (2.7-10).
* La derivacin de la integral (2.2-1) se efecta aplicando el Teorema Fundamental del Clculo Diferencial eIntegral, que establece que la derivada de una integral con respecto a la variable de integracin es igual al
integrando, para funciones continuas (consltese cualquier libro sobre Clculo Diferencial e Integral).
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2.8 Principio del Trabajo VirtualEl trabajo realizado por las fuerzas externas durante la deformacin del cuerpo
ocasionado por estas fuerzas se denomina trabajo externo o simplemente trabajo. Ahora
el concepto de trabajo se extender al fenmeno en el cual el trabajo es realizado por un
sistema de cargas durante su desplazamiento debido a causas diferentes a las cargas en si
mismas. Por ejemplo, si se toma un cuerpo rgido en equilibrio bajo el sistema de fuerzasP como se muestra en la figura 2.8-1, y se supone que el cuerpo se mueve como un
cuerpo rgido a causa de algunos otros efectos independientes del sistema P, y que toma
una nueva posicin como se indica con las lneas a trazos, el trabajo realizado por lasfuerzas P durante este pequeo movimiento se llama trabajo virtual y a los
desplazamientos vilos llamaremos desplazamientos virtuales.
11
n
n
i
2
2
iP
P
P
PFigura 2.8-1 Cuerpo rgido en equilibrio bajo el sistema de fuerzas P.
En consecuencia, el trabajo virtual es
=
=n
i
iid vPW1
(2.8-1)
Puesto que el cuerpo ha experimentado un movimiento de cuerpo rgido, viser el mismo
en todas partes, o sea 0vvi = ; por consiguiente
=
=n
i
id PvW
10 (2.8-2)
Sin embargo, como se estableci previamente, el cuerpo estaba en equilibrio bajo el
sistema de cargasP, luego
01
==
n
i
iP (2.8-3)
que hace
0=d
W (2.8-4)
La ecuacin (2.8-4) establece que si un sistema de fuerzas que acta sobre uncuerpo rgido esta en equilibrio, cuando al cuerpo se le de un pequeo desplazamiento
virtual, el trabajo total realizado por esas fuerzas es igual a cero. Inversamente, si eltrabajo realizado por un sistema de fuerzas que acta sobre un cuerpo rgido es cero,
entonces dicho cuerpo esta en equilibrio.
Este enunciado que normalmente se conoce como el principio de trabajo virtual
de Bernoulli, puede aplicarse tambin a un cuerpo deformable. Por ejemplo, supongamos
8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014
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Estructuras Hiperestticas
30
que el cuerpo elstico mostrado en la figura 2.8-2 esta sometido a un conjunto de fuerzasPy permanece en equilibrio en su forma deformada. Un elemento diferencial sacado del
cuerpo estar tambin en equilibrio bajo la accin de los esfuerzos desarrollados en su
contorno interior por el sistema de fuerzasP.
n+1
n
n-1
1i
2
i
i
P
PP
PP
P
Figura 2.8-2. Cuerpo elstico sometido a un conjunto de fuerzas P.
Supongamos ahora que por alguna razn, por ejemplo otro conjunto de cargas, la
temperatura, etc., el cuerpo se deforma mientras el sistema de cargasPesta presente.Verdaderamente, durante su deformacin cualquier elemento diferencial como el
que se muestra achurado en la figura 2.8-2 se desplazara y los esfuerzos virtuales sobre
sus contornos realizaran algn trabajo. Designemos este trabajo por dWs. Parte de este
trabajo se debe al movimiento como cuerpo rgido del elemento y la otra parte se debe al
cambio de forma del elemento. Ya que al cambio de forma del elemento lo hemos
llamado deformacin del elemento, el trabajo realizado por los esfuerzos Pdurante tal
deformacin se llamara dWd. En consecuencia, la parte remanente del trabajo, dWs dWd, se realiza por los esfuerzos P durante el movimiento del elemento como cuerpo
rgido, sin embargo como los esfuerzos sobre los contornos del elemento estn en
equilibrio, el trabajo realizado por ellos durante el movimiento de cuerpo rgido es igual acero.De donde
0= ds WdWd (2.8-5)
o, para el cuerpo completo
0= ds WW (2.8-6)
donde Wsrepresenta la suma de los trabajos virtuales realizados por los esfuerzosPsobre
los contornos de cada elemento del cuerpo. Sin embargo, cada elemento tiene superficiesde contorno comunes con el elemento adyacente en las cuales los esfuerzos son iguales y
opuestos uno a otro. Verdaderamente, el trabajo realizado por los esfuerzos iguales yopuestos durante el mismo desplazamiento es igual a cero. Como resultado de esto, el
trabajo realizado por los esfuerzosPen todas las superficies de contorno interiores suma
cero. Por tanto, Ws ser nicamente el trabajo realizado por las fuerzas externas P
aplicadas sobre los contornos externos.
8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014
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Mtodos Energticos
31
En consecuencia, la ecuacin (2.8-6) establece que si un sistema de fuerzas P
acta sobre un cuerpo deformable est en equilibrio cuando en el cuerpo se presentan
pequeas deformaciones ocasionadas por otros efectos, el trabajo virtual externo
realizado por las fuerzas P es igual al trabajo virtual interno realizado por los esfuerzos
P.
Este enunciado es vlido independientemente de la causa o el tipo de deformacinvirtual teniendo en cuenta que durante las deformaciones virtuales la geometra de las
estructuras no se altera apreciablemente y que las fuerzasPpermanecen en equilibrio.
2.9 Energa PotencialLa energa potencial es la capacidad que tiene un cuerpo o un sistema mecnico
de realizar un trabajo debido a su posicin o configuracin.
La energa potencial V del sistema es la suma de la energa potencial de las
fuerzas externas y de la energa potencial de las fuerzas internas. Para sistemas elsticos,la energa potencial de las fuerzas internas es igual a la energa o trabajo de deformacin
del sistema, por consiguiente V = U.
2.10 Energa Potencial EstacionariaEl principio de trabajo virtual es equivalente a la condicin V = U = 0, en
donde U es la diferencial de primer orden de la energa potencial y se refiere a los
desplazamientos virtuales xi.
Si el sistema tiene ncoordenadas generalizadasxi,
i
n
i i
xx
UU
=
=1
i.= 1, 2,, n (2.10-1)
La condicin de que Usea nula para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales
xise cumple si:
0=
ix
U i = 1, 2,, n (2.10-2)
lo que se conoce como el principio de energa potencial estacionaria, que se puede aplicar
en el anlisis de las estructuras.
8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014
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Estructuras Hiperestticas
32
h/2
h/2
b
y
y
x
Ejemplos de Aplicacina. Calcular el coeficiente de forma de una seccin rectangular. Considrese la
seccin rectangular siguiente:
Se tiene
bbhbh
Iyx
=== ,12
,12
22
3
+
=
+
= yh
yhbyh
yyh
bQ2222
2
2
= 2
2
42 yhbQ
Sustituyendo estos valores en la ecuacin (2.4-18)
dAbI
Qk
A yx
= 222
en la regin[ ]2/,2/,2/,2/ hhbbRx =
dyb
hbh
yhb
dxk
b
b
h
h
=
2/
2/
2/
2/2
32
2
22
1212
42
+=
2/
2/
4224
5 216
36 hh
dyyyhh
hk
2/
2/
5324
5 53216
36 h
h
yyhy
h
hk
+=
60
72
80
1
24
1
16
136 =
+=k
2,1=k
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Mtodos Energticos
33
b.
Calcular el desplazamiento en el centro de la viga considerando losefectos del momento flexionante y de fuerza cortante. Qu porcentajedel desplazamiento por momento es el desplazamiento por cortante?
EI= constante,G= 0.5Eh/L= 0.1seccin rectangular
LxL
L
xPx
P
M
LxxP
M
+=
=
2;22
20;2
2
1
LxL
P
T
LxP
T
=
=
2;2
20;2
2
1
Por simetra de geometra y de cargas slo se necesita considerar la mitad de la viga,duplicando los resultados. Se tiene,
dxAG
Tkdx
IE
MU
L L yx +=2/
0
2/
0
22
22
22
dxP
AG
kdxx
P
IEU
L L
+
=2/
0
2/
0
22
22
2
22
2
2483
1
4
1 232 LP
AG
kLP
IEU +=
AG
LP
IE
LPU
8
2.1
96
232
+=
Aplicando el Teorema de Castigliano
AG
LP
IE
LP
P
U
4
2.1
48
3
+=
=
Se tiene
024.04.25.0
12/)12(2.148
4
2.12
2
3
3 =
===L
h
LhbE
bhE
LP
IE
AG
LP
x
y
M
T
Es decir
xM%2.4=
yT
En los casos usuales, el efecto de la fuerza cortante es muy pequeo en comparacin con elefecto del momento flexionante, y por lo tanto en lo que sigue slo se considera el efecto demomento flexionante.
8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014
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Estructuras Hiperestticas
34
Mtodo energtico de clculo para sistemas hiperestticos2.11. Determinacin de los desplazamientos elsticos generalizados
La expresin que determina la energa potencial de la deformacin elstica U
acumulada por el cuerpo o el sistema durante la accin esttica de las fuerzas, puede ser
representada por una funcin homognea, de segundo orden, de las fuerzas generalizadas
Pi o de los desplazamientos generalizados i, si entre los ltimos existe dependencialineal.
Las fuerzas generalizadas Pi estn constituidas por cualquier tipo de accin
(fuerzas, momentos, grupo de fuerzas, grupo de momentos, etc.) que convienen destacar
para la obtencin de la energa potencial.
Los desplazamientos generalizados i son magnitudes que determinan los
desplazamientos en los que las fuerzas generalizadas realizan trabajo (por ejemplo, a la
fuerza concentrada le corresponde un desplazamiento lineal, al momento un
desplazamiento angular, etc.).El desplazamiento generalizado elstico que ocurre en el cuerpo o en el sistema,
bajo la accin de las fuerzas generalizadas, se puede obtener por la formula deCastigliano,
0=
=FP
F
F
P
U
siendoPFla fuerza ficticia generalizada correspondiente al desplazamiento generalizadoque se busca. Esta fuerza se aplica al cuerpo o sistema en el lugar donde se halla el
desplazamiento; UF, la energa potencial de la deformacin elstica del cuerpo o sistemadado por una funcin homognea de segundo orden de todas las fuerzas generalizadas
que actan Piy de la fuerza ficticia generalizada PF. Si en el lugar donde se busca el
desplazamiento generalizado existe una fuerza generalizada dada P, correspondiente aldesplazamiento generalizado que se halla, entonces desaparece la necesidad de aplicarPF
y entonces:
P
U
=
Si 00
=FPF
F
P
U 0
P
U, la direccin del desplazamiento generalizado
coincidir con la direccin de la fuerzaPFP.
Si 00
=FPF
F
P
U
0
P
U
, la direccin del desplazamiento generalizado ser
opuesta a la direccin de la fuerzaPFP.
El desplazamiento lineal obtenido por la formula de Castigliano constituye la
proyeccin del desplazamiento lineal del punto de aplicacin de la fuerza
correspondiente, sobre la direccin de la lnea de accin de esta fuerza.
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Mtodos Energticos
35
2.12. Mtodo de la fuerza ficticia generalizada unitaria mtodo de la cargaunitaria
En el caso ms general de solicitacin sobre un sistema elstico de barras,
constituido por los elementos rectos cuyo eje centroidal coincide con el eje x, los
desplazamientos generalizados conviene calcularlos por la formula de Maxwell-Mohr,
x
z
ytM
M y
M z
NTy
zT
dxAG
tTkdx
AG
tTkdx
JG
mMdx
IE
mMdx
IE
mMdx
AE
nNzz
z
yy
y
m
tt
y
yy
z
zz +++++=
siendo:N, Mz, My, Mt, Ty, Tz, respectivamente, los esfuerzos en una seccin transversal
arbitraria de cada tramo del sistema, originados por todas las fuerzas
generalizadas que actan sobre el sistema;n, mz, my, mt, ty, tzlos mismos esfuerzos pero originados solamente por la fuerza
ficticia generalizada unitaria aplicada al sistema y correspondiente aldesplazamiento generalizado que se busca;
E y G los mdulos de elasticidad longitudinal y tangencial del material delcorrespondiente tramo del elemento;
Ael rea de la seccin transversal donde se determinan los esfuerzos;
IzeIylos momentos centrales principales de inercia del reaA;Jmel momento de inercia a la torsin del reaA o momento de inercia polar
kyy kzlos coeficientes que dependen de la forma de la seccin y que caracterizan
la desuniformidad de las tensiones tangenciales en la flexin;
dxel elemento geomtrico del tramo.
La integracin se lleva a cabo sobre la longitud de cada tramo y la suma, sobre
todos los tramos.
En el caso de sistemas planos constituidos por barras articuladas, con fuerzas
aplicadas en los nudos,
lAE
nN
= siendo llas longitudes de los tramos.
En el caso de sistemas cuyos tramos sufren exclusivamente torsin,
dxJG
mM
m
tt=
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Estructuras Hiperestticas
36
En el caso de sistemas planos constituidos por vigas y columnas que formanprticos en los que la influencia deNy Tsobre la deformacin es pequea,
dxIE
mM=
En el caso de sistemas de elementos de curvatura pequea,
dsIE
mM=
siendo dsel elemento del eje geomtrico del tramo curvilneo.
Si el clculo se realiza con mayor exactitud,
dsIE
mMds
AE
nN +=
2.13. Principio del trabajo mnimo para el clculo de sistemas hiperestticos
El clculo de los sistemas elsticos hiperestticos se puede realizar basndose enel principio del trabajo mnimo. Segn este principio los valores de las incgnitas
superfluas denominadas redundantesconstituidas por fuerzas generalizadas son tales que
realizan el trabajo mnimo posible.
La resolucin de los problemas se realiza segn el esquema siguiente:
El sistema hiperesttico se libra de las ligaduras superfluas hasta convertirse en
isosttico y cinemticamente invariable, obteniendo el as llamadosistema base.
Para que el sistema base sea equivalente al dado, el primero se solicita por todas
las fuerzas Pi, que actan sobre el sistema dado, ms todas las fuerzas generalizadas xi
superfluas desconocidas que constituyen las incgnitas.
Se determinan despus la energa potencial de la deformacin elstica del sistemabase en funcin de segundo orden dePiyxi
Puesto que los desplazamientos generalizados correspondientes a las fuerzas
generalizadas superfluas desconocidas son iguales a cero, se plantean las ecuaciones
siguientes:
( ),3,2,10 ==
ix
U
i
(2.13-1)
De estas ecuaciones se determinan todas las fuerzas generalizadas superfluasdesconocidasxi.
Las ecuaciones (2.13-1) constituyen las condiciones del mnimo de la energapotencial de la deformacin elstica del sistema en funcin de las fuerzas generalizadas
superfluas desconocidas.En el caso de sistemas constituidos por barras las ecuaciones del principio del
trabajo mnimo pueden ser expresadas por la formula de Maxwell-Mohr.
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Mtodos Energticos
37
Si el sistema consta de elementos rectilneos sometidos a traccin, compresin,flexin recta y torsin, entonces cada ecuacin del tipo (2.13-1) se puede escribir en la
forma siguiente:
0=+++ dxJGmM
dxAG
tTkdx
IE
mMdx
AE
nN
m
tt (2.13-2)
siendo N, M, T y Mt los esfuerzos correspondientes en una seccin cualquiera de cadatramo del sistema base equivalente, originados por todas las fuerzas dadasPiy las fuerzas
generalizadas superfluas desconocidasxi;n, m, t y mt los mismos esfuerzos en el sistema base pero originados
exclusivamente por una de las fuerzas generalizadas superfluas desconocidasxi=1.Por consiguiente, para resolver un problema hiperesttico de grado de
hiperestaticidad n se debe analizar n+1 estados: el estado bsico equivalentecorrespondiente a la accin de las fuerzas Piy xi; y nauxiliares cada uno de los cuales
corresponde a la accin de cada una de las fuerzasxi=1.
En el caso de sistemas planos constituidos por barras articuladas con fuerzas
aplicadas en los nudos, las ecuaciones (2.13-2) se simplificaran considerablemente,
0= dxAE
nN
En el caso de sistemas planos constituidos por vigas y columnas que dan lugar a
los prticos, en los que el valor de los esfuerzos axialesNy de las fuerzas cortantes Tes
pequeo, se puede emplear la ecuacin simplificada,
0= dxIEmM
En los sistemas cuyos elementos estn sometidos a torsin exclusivamente,
0= dxJGmM
m
tt
En las barras hiperestticas planas de curvatura pequea,
0= dsIEmM
Si se desea realizar un clculo ms preciso, las ecuaciones se deben plantearteniendo en cuenta tambin los esfuerzos axiales,
0=+ dsIEmM
dsAE
nN
La eliminacin de las ligaduras superfluas en el sistema estticamente
indeterminado debe realizarse de manera tal que el sistema base resulte lo ms simple y
cmodo posible para el clculo.
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Estructuras Hiperestticas
38
Figura 2.13-1 Figura 2.13-2Prtico geomtricamente simtrico Prtico geomtricamente simtrico
con cargas simtricas. con cargas antisimtricas.
Los sistema geomtricamente simtricos solicitados por cargas simtricas figura2.13-1(a) o antisimtricas figura 2.13-2(a) conviene librarlos de las ligaduras superfluas,
cortndolos por el plano de simetra. Esto conduce a la disminucin del nmero defuerzas generalizadas superfluas desconocidas y solo permite analizar una de las partes
seccionadas del sistema figura 2.13-1(b) y figura 2.13-2(b).
Figura 2.13-3 Esfuerzos producidos al seccionar un elemento por simetra.
En la seccin que coincide con el plano de simetra, en el caso de carga simtrica,
desaparecen los esfuerzos antisimtricos Ty Mty, en el caso de carga antisimtrica, los
esfuerzos simtricosNyMfigura 2.13-3.
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8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014
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Estructuras Hiperestticas
40
Si el sistema hiperesttico se somete solamente a una variacin de la temperatura,entonces los trminos independientes de las ecuaciones cannicas sern it,
desplazamientos generalizados correspondientes a la fuerza generalizada superflua
unitaria i en el sistema base originados por la variacin de la temperatura. Si sobre el
sistema actan simultneamente una carga y una variacin de la temperatura, entonces
los trminos independientes de las ecuaciones cannicas sern la suma de ip +it.Durante el montaje, para tener en cuenta los errores cometidos en la fabricacin
de los elementos del sistema, se introducen en los trminos independientes de las
ecuaciones cannicas las magnitudes ique expresan los desplazamientos generalizados
correspondiente a la fuerza generalizada superflua ien el sistema base, originados por los
errores de fabricacin.
Se escoge el signo positivo o negativo de estos desplazamientos it y isegn
coincidan o no las direcciones de los desplazamientos con la direccin admitida paraxi.
En el caso de sistema de un grado de hiperestaticidad la ecuacin cannica delmtodo de las fuerzas ser:
01111 =+ px
resultando para la fuerza generalizada superflua desconocida:
11
11
p
x = (2.14-2)
Si se calculan los sistemas formados por vigas y columnas que dan lugar a los
prticos de un grado de hiperestaticidad o sistemas de elementos curvilneos de poca
curvatura, en los cuales la influencia de los esfuerzos axiales y de la fuerza cortante es
pequea, entonces:
dsIE
mMip
= ; ds
IE
M
=
2
11
y
dsIE
M
dsIE
mM
x
=
21 (2.14-3)
siendo dsun elemento de la longitud del eje geomtrico del tramo.
2.15 Clculo de anillos planos de paredes delgadas
Se entiende por anillo plano de paredes delgadas cualquier sistema elstico planode barras cerrado, cuyas longitudes de los tramos son mucho mayores que las
dimensiones de las secciones transversales. Este sistema es de triple hiperestaticidad. Son
incgnitas superfluas el momento flector,x1, el esfuerzo axialx2y la fuerza cortantex3, es
decir, los esfuerzos interiores que surgen en la seccin transversal que se traza paraobtener el sistema base, figura 2.15-1. Entonces, los sistemas cerrados son de
hiperestaticidad interna.
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Mtodos Energticos
41
Figura 2.15-1 Esfuerzos interiores de la seccin transversal de anillos de paredes delgadasLa hiperestaticidad de los anillos se puede vencer ya sea por el principio del
trabajo mnimo o (lo que es ms cmodo) mediante ecuaciones cannicas del mtodo de
las fuerzas. Puesto que los anillos son de paredes delgadas, al plantear las ecuaciones
para vencer la hiperestaticidad es suficiente considerar solamente la deformacin
originada por el momento flector.
Figura 2.15-2 Figura 2.15-3Si el anillo y la carga son simtricos respecto a uno de los ejes figura 2.15-2(a),
entonces en las secciones transversales que coinciden con el eje de simetra, las fuerzas
cortantes sern iguales a cero. Por lo tanto, sern incgnitas superfluas solamente el
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Estructuras Hiperestticas
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momento flector (x1 x1) y el esfuerzo axial (x2 o x2). Entonces, se puede analizar,solamente la mitad simtrica del anillo en lugar de analizarlo todo figura 2.15-2 (b) (c)
Si el anillo y la carga son simtricos respecto a dos ejes figura 2.15-3(a), entonces
en las secciones situadas en los ejes de simetra las fuerzas cortantes sern iguales a cero
y las fuerzas axiales se podrn obtener de las ecuaciones de la esttica como la suma de
las proyecciones de las fuerzas y esfuerzos aplicados a la mitad de anillo, sobre el eje desimetra correspondiente. En este caso solamente el momento flector (x1 o x1) ser
incgnita superflua. Entonces es suficiente analizar en lugar de todo el anillo solamente
la cuarta parte ubicada entre los ejes de simetra figura 2.15-3 (b) (c).
Si el anillo tiene ms de dos ejes de simetra, entonces se podr analizar
solamente la parte del anillo ubicada entre las secciones que se encuentran entre los ejes
contiguos de simetra.
En estas secciones las fuerzas cortantes sern nulas, los esfuerzos axiales se
obtendrn de las ecuaciones de la esttica y solo el momento flector ser incgnitasuperflua.
8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014
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Mtodos Energticos
43
a.
Dado q, a,E,Ien un anillo de paredes delgadas solicitado simtricamente
respecto al eje y. Determinar , la variacin de la longitud del dimetro
vertical del anillo por accin de la carga q.
SOLUCION:
ceng = g: grado de hiperestaticidad035 =g n: nmero de reacciones
2=g redundantes e: ecuaciones de equilibrio de la estticac: ecuaciones especiales de la esttica
Carga distribuida:
dsqR= dads=
Descomponiendo:
===
0 0
qadaqdsqVq
==
000dsH
q
===
0
2
0
2 2 qadsenaqsenadsqMqA
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Estructuras Hiperestticas
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Esttica
22 00 xHxHH AA ==+=
qaVqaVV AA === 00
( ) qaxxaMaxMxMMA
q
AAA
21221 22020 +==+=
( ) ( ) ( ) +===
0 0
22 sen1cossen-sensensen qadaqaadsqMq
0( ) cos21 aaxxMM
q =
( ) ( )
cos1cossen 212 aaxxqaM +=
11
=
x
M cos
2
aax
M+=
==
= l
ii
l
dxx
MM
x
Uds
IE
MU
011
0
2
02
==
= l
i
i
l
dxx
MM
x
Uds
IE
MU
022
0
2
02
( ) ( )( )( ) ++==
0 21
2
1
coscos1cossen2
10 daaaaaxxqaEIx
U
064 212 =++ xaxqa (1)
( ) ( )( )( ) +==
0 21
2
2
1cos1cossen2
10 daaaxxqa
EIx
U
021 =+ xax (2)Resolviendo (1) y (2)
qax 21 2
1= qax
2
12=
Deformacin
0
senam =
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Mtodos Energticos
45
= l
ii dsmM
EI 01
=
0dsmMEI
( ) ( ) ( )
++=
0
22 sencos2
1
2
11cossen daaaaqaqaqaIE
EI
aq 422
4
=
Resolviendo por el mtodo de las fuerzasAnalizamos la mitad del anillo; en la seccin que se encuentra el eje y, la fuerza
cortante x3 es igual a cero; el momento flector x1 y la fuerza axial x2 se interpretan comofuerzas generalizadas superfluas desconocidas o redundantes.
Las ecuaciones cannicas del mtodo de las fuerzas son:
=++=++
00
2222121
1212111
p
p
xxxx
Calculamos el momento flector en una seccin transversal arbitraria determinada por elngulo, debido a la carga dada q.
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Mtodos Energticos
47
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
qaxqax2
1;
2
12
21 ==
El momento flector en la seccin :( ) ( ) cos1cossen 21
2 aaxxqaM +=
( ) ( ) cos21
211cossen 22 aaqaqaqaM ++=
Para determinar la variacin de la longitud dimetro vertical del anillo, aplicamos una fuerzaverticalP=1 dirigida hacia abajo.
El momento flector originado por esta fuerza en la seccin es: senam =
=
0dsmMEI
( ) ( ) ( )
++=
0
22 sencos2
1
2
11cossen daaaaqaqaqaIE
EI
aq 422
4
=
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Estructuras Hiperestticas
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Ejemplos de Aplicacin.
1-1. Calcular el desplazamiento lineal en el punto medio de la viga y el giro en el apoyo A;dondeEIes constante.
20;22
2
1 Lxxq
xqL
M +=
20;22
2
2 Lxxq
xqL
M =
xm2
11 = 2/0; Lx
Teniendo en cuenta la simetra de geometra y cargas en las dos vigas anteriores
= l
ii dsmM
EI 01
= 20 112L
dxmMEI
+= 20
2
222
12
L
dxxxq
xqL
EI
EI
qLqLqL
EI 384
5
25696
2 444=
=
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Mtodos Energticos
49
Para calcular el giro en el apoyo A:
L
xm += 11 20; Lx
L
xm =2 20; Lx
= l
ii dsmMEI 0
1
+=2
0 22
2
0 11
LL
A dxmMdxmMEI
+
+
+= 2
0
2
2
0
2
22
11
22
1
LL
A dx
L
xxqx
qL
EIdx
L
xxqx
qL
EI
EI
qLA 24
3
=
2.5. Encontrar el giro en el apoyo A de la siguiente viga; dondeEIes constante.
xP
M21
= 2/0; Lx
xP
M
22= 20; Lx
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Estructuras Hiperestticas
50
L
xm += 11 20; Lx
L
xm =2 20; Lx
= l
ii dsmM
EI 0
1
+= 20 2220 111LL
dxmMdxmMEI
+
+= 20
2
01 2
11
2
1
L L
dxL
xx
P
EIdx
L
xx
P
EI
EI
PL
16
2
1=
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Mtodos Energticos
51
2.6. Calcular el desplazamiento del punto medio de la viga; dondeEIconstante
Se puede utilizar los resultados obtenidos en el ejemplo 2.4 y sumarle a la viga simplementeapoyada
La estructura
MM =1 Lx0;
Con la condicin de que MProduzca el giro A calculado en el ejemplo 2.4. Se utiliza laestructura
11 +=L
xM Lx0;
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Estructuras Hiperestticas
52
Y se tiene
( ) ==
+=
L
EI
LM
E
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