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Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos
Miguel Angel Olalla Acostamiguelolalla@us.es
Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla
Octubre de 2019
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 1 / 77
Contenido
1 Introduccion
2 Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn
3 Subgrupos. Teorema de Lagrange
4 Homomorfismos de grupos
5 Subgrupos normales. Grupo cociente
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 2 / 77
Introduccion
Permutaciones de un conjunto
(1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 6 4 2 9 7 5 3
)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 3 / 77
Introduccion
Permutaciones de un conjunto
(1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 6 4 2 9 7 5 3
)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 3 / 77
Introduccion
Permutaciones de un conjunto
Definicion (Permutacion de un conjunto)
Sea X un conjunto, se llama permutacion de X a cualquier aplicacionbiyectiva σ : X → X .
Nota
El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denota por
Sim(X ).
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Introduccion
Permutaciones de un conjunto
Definicion (Permutacion de un conjunto)
Sea X un conjunto, se llama permutacion de X a cualquier aplicacionbiyectiva σ : X → X .
Nota
El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denota por
Sim(X ).
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Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.1)
Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:
1 La composicion de dos permutaciones cualesquiera de X es tambienuna permutacion de X .
2 La aplicacion identidad en X es una permutacion de X .
3 La inversa de cualquier permutacion de X es tambien unapermutacion de X .
4 La composicion de permutaciones verifica la propiedad asociativa.
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Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.1)
Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:
1 La composicion de dos permutaciones cualesquiera de X es tambienuna permutacion de X .
2 La aplicacion identidad en X es una permutacion de X .
3 La inversa de cualquier permutacion de X es tambien unapermutacion de X .
4 La composicion de permutaciones verifica la propiedad asociativa.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 5 / 77
Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.1)
Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:
1 La composicion de dos permutaciones cualesquiera de X es tambienuna permutacion de X .
2 La aplicacion identidad en X es una permutacion de X .
3 La inversa de cualquier permutacion de X es tambien unapermutacion de X .
4 La composicion de permutaciones verifica la propiedad asociativa.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 5 / 77
Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.1)
Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:
1 La composicion de dos permutaciones cualesquiera de X es tambienuna permutacion de X .
2 La aplicacion identidad en X es una permutacion de X .
3 La inversa de cualquier permutacion de X es tambien unapermutacion de X .
4 La composicion de permutaciones verifica la propiedad asociativa.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 5 / 77
Introduccion
Operacion binaria
Definicion (Operacion)
Una aplicacion de G ×G en G tal que a cada par ordenado (a, b) ∈ G ×Gle asocia un unico elemento a ? b de G se denomina operacion.
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Introduccion
Grupo
Definicion (Grupo)
Un grupo es un par (G , ?), donde G es un conjunto y ? es una operacionsobre G verificando las siguentes propiedades:
1 La operacion es asociativa.
2 La operacion tiene elemento neutro. Es decir,
∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G , x ? e = e ? x = x .
3 Cada elemento de G posee un simetrico. Es decir,
∀x ∈ G ∃x−1 ∈ G tal que x ? x−1 = x−1 ? x = e.
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Introduccion
Grupo
Definicion (Grupo)
Un grupo es un par (G , ?), donde G es un conjunto y ? es una operacionsobre G verificando las siguentes propiedades:
1 La operacion es asociativa.
2 La operacion tiene elemento neutro. Es decir,
∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G , x ? e = e ? x = x .
3 Cada elemento de G posee un simetrico. Es decir,
∀x ∈ G ∃x−1 ∈ G tal que x ? x−1 = x−1 ? x = e.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 7 / 77
Introduccion
Grupo
Definicion (Grupo)
Un grupo es un par (G , ?), donde G es un conjunto y ? es una operacionsobre G verificando las siguentes propiedades:
1 La operacion es asociativa.
2 La operacion tiene elemento neutro. Es decir,
∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G , x ? e = e ? x = x .
3 Cada elemento de G posee un simetrico. Es decir,
∀x ∈ G ∃x−1 ∈ G tal que x ? x−1 = x−1 ? x = e.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 7 / 77
Introduccion
Grupo
Definicion (Grupo)
Un grupo es un par (G , ?), donde G es un conjunto y ? es una operacionsobre G verificando las siguentes propiedades:
1 La operacion es asociativa.
2 La operacion tiene elemento neutro. Es decir,
∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G , x ? e = e ? x = x .
3 Cada elemento de G posee un simetrico. Es decir,
∀x ∈ G ∃x−1 ∈ G tal que x ? x−1 = x−1 ? x = e.
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Introduccion
El Grupo Simetrico
Teorema (El grupo simetrico)
El conjunto Sim(X ) de las permutaciones de un conjunto X , junto con lacomposicion de permutaciones, es un grupo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 8 / 77
Introduccion
Ejemplos
Ejemplo (2.1.2)
Algunos grupos bien conocidos
1 Z, Q, R y C son grupos con la suma.
2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con lamultiplicacion.
3 El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.
4 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicacion dematrices.
5 Las simetrıas de un polıgono regular junto con la operacioncomposicion es un grupo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 9 / 77
Introduccion
Ejemplos
Ejemplo (2.1.2)
Algunos grupos bien conocidos
1 Z, Q, R y C son grupos con la suma.
2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con lamultiplicacion.
3 El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.
4 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicacion dematrices.
5 Las simetrıas de un polıgono regular junto con la operacioncomposicion es un grupo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 9 / 77
Introduccion
Ejemplos
Ejemplo (2.1.2)
Algunos grupos bien conocidos
1 Z, Q, R y C son grupos con la suma.
2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con lamultiplicacion.
3 El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.
4 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicacion dematrices.
5 Las simetrıas de un polıgono regular junto con la operacioncomposicion es un grupo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 9 / 77
Introduccion
Ejemplos
Ejemplo (2.1.2)
Algunos grupos bien conocidos
1 Z, Q, R y C son grupos con la suma.
2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con lamultiplicacion.
3 El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.
4 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicacion dematrices.
5 Las simetrıas de un polıgono regular junto con la operacioncomposicion es un grupo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 9 / 77
Introduccion
Ejemplos
Ejemplo (2.1.2)
Algunos grupos bien conocidos
1 Z, Q, R y C son grupos con la suma.
2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con lamultiplicacion.
3 El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.
4 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicacion dematrices.
5 Las simetrıas de un polıgono regular junto con la operacioncomposicion es un grupo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 9 / 77
Introduccion
Ejemplos
Ejemplo (2.1.2)
Algunos grupos bien conocidos
1 Z, Q, R y C son grupos con la suma.
2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con lamultiplicacion.
3 El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.
4 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicacion dematrices.
5 Las simetrıas de un polıgono regular junto con la operacioncomposicion es un grupo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 9 / 77
Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.3)
El elemento neutro de un grupo (G , ?) es unico.
Proposicion (2.1.4)
En un grupo (G , ?), el simetrico de un elemento x ∈ G es unico.
Gracias a este resultado, podemos denotar al simetrico de x por x−1 (opor −x si estamos usando notacion aditiva) sin ambiguedad, puesto quesolo hay un elemento simetrico.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 10 / 77
Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.3)
El elemento neutro de un grupo (G , ?) es unico.
Proposicion (2.1.4)
En un grupo (G , ?), el simetrico de un elemento x ∈ G es unico.
Gracias a este resultado, podemos denotar al simetrico de x por x−1 (opor −x si estamos usando notacion aditiva) sin ambiguedad, puesto quesolo hay un elemento simetrico.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 10 / 77
Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.3)
El elemento neutro de un grupo (G , ?) es unico.
Proposicion (2.1.4)
En un grupo (G , ?), el simetrico de un elemento x ∈ G es unico.
Gracias a este resultado, podemos denotar al simetrico de x por x−1 (opor −x si estamos usando notacion aditiva) sin ambiguedad, puesto quesolo hay un elemento simetrico.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 10 / 77
Introduccion
Propiedades
Proposicion (2.1.5)
Si x , y son elementos de un grupo (G , ?) tales que x ? y = e, entoncesy = x−1 y x = y−1.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 11 / 77
Introduccion
Propiedades
La composicion de permutaciones no verifica la propiedad conmutativa.
Ejemplo (2.1.6)
Sea X = {1, 2, 3} y sean las permutaciones de X
σ :
(1 2 32 1 3
)y τ :
(1 2 32 3 1
).
Entonces las composiciones de σ y τ son
τ ◦ σ :
(1 2 33 2 1
)y σ ◦ τ :
(1 2 31 3 2
).
De este ejemplo concluimos que si X tiene al menos tres elementos elgrupo Sim(X ) no es conmutativo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 12 / 77
Introduccion
Propiedades
La composicion de permutaciones no verifica la propiedad conmutativa.
Ejemplo (2.1.6)
Sea X = {1, 2, 3} y sean las permutaciones de X
σ :
(1 2 32 1 3
)y τ :
(1 2 32 3 1
).
Entonces las composiciones de σ y τ son
τ ◦ σ :
(1 2 33 2 1
)y σ ◦ τ :
(1 2 31 3 2
).
De este ejemplo concluimos que si X tiene al menos tres elementos elgrupo Sim(X ) no es conmutativo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 12 / 77
Introduccion
Grupo abeliano
Definicion (Grupo abeliano)
Dado un grupo G , si la operacion de grupo es conmutativa entonces sedice que el grupo es abeliano o conmutativo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 13 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Soporte de una permutacion
Definicion
Sean X un conjunto y σ una permutacion de Sim(X ). Llamamos soportede σ al conjunto
sop(σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x}.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 14 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ciclos y trasposiciones
Definicion (Ciclos y trasposiciones)
Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud 0, o un 0-ciclo, si es laidentidad.
Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud r , o un r-ciclo (conr ≥ 2), si su soporte es un conjunto finito de r elementos
sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}
donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir ) = i1.Decimos que σ ∈ Sim(X ) es una trasposicion si es un ciclo de longitud 2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 15 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ciclos y trasposiciones
Definicion (Ciclos y trasposiciones)
Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud 0, o un 0-ciclo, si es laidentidad.Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud r , o un r-ciclo (conr ≥ 2), si su soporte es un conjunto finito de r elementos
sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}
donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir ) = i1.
Decimos que σ ∈ Sim(X ) es una trasposicion si es un ciclo de longitud 2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 15 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ciclos y trasposiciones
Definicion (Ciclos y trasposiciones)
Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud 0, o un 0-ciclo, si es laidentidad.Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud r , o un r-ciclo (conr ≥ 2), si su soporte es un conjunto finito de r elementos
sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}
donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir ) = i1.Decimos que σ ∈ Sim(X ) es una trasposicion si es un ciclo de longitud 2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 15 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion para ciclos
Nota (2.2.1)
Sea σ ∈ Sim(X ) un ciclo tal que sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir} donde σ(i1) = i2,σ(i2) = i3, . . ., σ(ir ) = i1.
En este caso el ciclo de escribira σ = (i1i2 . . . ir ), sabiendo que si x ∈ X noaparece en la lista entonces σ(x) = x .Siguiendo esta notacion podemos escribir el ciclo identidad como 1X = ().
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 16 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion para ciclos
Nota (2.2.1)
Sea σ ∈ Sim(X ) un ciclo tal que sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir} donde σ(i1) = i2,σ(i2) = i3, . . ., σ(ir ) = i1.
En este caso el ciclo de escribira σ = (i1i2 . . . ir ), sabiendo que si x ∈ X noaparece en la lista entonces σ(x) = x .
Siguiendo esta notacion podemos escribir el ciclo identidad como 1X = ().
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 16 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion para ciclos
Nota (2.2.1)
Sea σ ∈ Sim(X ) un ciclo tal que sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir} donde σ(i1) = i2,σ(i2) = i3, . . ., σ(ir ) = i1.
En este caso el ciclo de escribira σ = (i1i2 . . . ir ), sabiendo que si x ∈ X noaparece en la lista entonces σ(x) = x .Siguiendo esta notacion podemos escribir el ciclo identidad como 1X = ().
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 16 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion
Nota (2.2.1)
Observese que con esta notacion tenemos diferentes representaciones deun mismo ciclo:
σ = (i1i2 . . . ir ) = (i2i3 . . . ir i1) = · · · = (ir i1 . . . ir−1).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 17 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ejemplos
Ejemplo (2.2.2)
Veamos algunos ejemplos:
1 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por
σ :
(1 2 3 4 52 5 3 4 1
)es el 3-ciclo (1 2 5).
2 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por
σ :
(1 2 3 4 5 6 7 86 1 5 8 7 2 3 4
)no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) escomposicion de ciclos.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 18 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ejemplos
Ejemplo (2.2.2)
Veamos algunos ejemplos:
1 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por
σ :
(1 2 3 4 52 5 3 4 1
)es el 3-ciclo (1 2 5).
2 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por
σ :
(1 2 3 4 5 6 7 86 1 5 8 7 2 3 4
)no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) escomposicion de ciclos.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 18 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion por yuxtaposicion
En adelante, siempre que no haya posibilidad de equıvoco, prescindiremosen un grupo (G , ?) del sımbolo “?” para la operacion de dos (o mas)elementos. Escribiremos por yuxtaposicion xy en lugar de x ? y .
En particular, en el caso de permutaciones, escribiremos τσ en lugar deτ ◦ σ.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 19 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion por yuxtaposicion
En adelante, siempre que no haya posibilidad de equıvoco, prescindiremosen un grupo (G , ?) del sımbolo “?” para la operacion de dos (o mas)elementos. Escribiremos por yuxtaposicion xy en lugar de x ? y .
En particular, en el caso de permutaciones, escribiremos τσ en lugar deτ ◦ σ.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 19 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Permutaciones disjuntas
Definicion (Permutaciones disjuntas)
Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X ) se dicen disjuntas si sus soportes sondisjuntos.
Teorema (Permutaciones disjuntas y conmutatividad)
Si σ, τ ∈ Sim(X ) son permutaciones disjuntas entonces
τσ = στ.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 20 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Permutaciones disjuntas
Definicion (Permutaciones disjuntas)
Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X ) se dicen disjuntas si sus soportes sondisjuntos.
Teorema (Permutaciones disjuntas y conmutatividad)
Si σ, τ ∈ Sim(X ) son permutaciones disjuntas entonces
τσ = στ.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 20 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ejemplo
Hay permutaciones no disjuntas que sı conmutan.
Ejemplo (2.2.3)
Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X )
σ :
(1 2 3 4 53 4 5 2 1
)y τ :
(1 2 3 4 55 2 1 4 3
).
Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}.Sin embargo, no es difıcil comprobar que
τσ = στ :
(1 2 3 4 51 4 3 2 5
).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 21 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ejemplo
Hay permutaciones no disjuntas que sı conmutan.
Ejemplo (2.2.3)
Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X )
σ :
(1 2 3 4 53 4 5 2 1
)y τ :
(1 2 3 4 55 2 1 4 3
).
Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}.
Sin embargo, no es difıcil comprobar que
τσ = στ :
(1 2 3 4 51 4 3 2 5
).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 21 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Ejemplo
Hay permutaciones no disjuntas que sı conmutan.
Ejemplo (2.2.3)
Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X )
σ :
(1 2 3 4 53 4 5 2 1
)y τ :
(1 2 3 4 55 2 1 4 3
).
Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}.Sin embargo, no es difıcil comprobar que
τσ = στ :
(1 2 3 4 51 4 3 2 5
).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 21 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion. Potencia de un elemento
De igual manera que se usa la yuxtaposicion, xy , para expresar laoperacion de dos elementos de un grupo (G , ?), es natural definirpotencias de elementos de G .
Sean x ∈ G e i un entero no negativo. La i-esima potencia de x , x i , sedefine mediante la siguiente regla recursiva:
x0 = e, x i = x i−1x .
Esta definicion la podemos extender a potencias negativas poniendo
x−i = (x−1)i .
En adelante se usara esta notacion tambien para permutaciones.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 22 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion. Potencia de un elemento
De igual manera que se usa la yuxtaposicion, xy , para expresar laoperacion de dos elementos de un grupo (G , ?), es natural definirpotencias de elementos de G .Sean x ∈ G e i un entero no negativo. La i-esima potencia de x , x i , sedefine mediante la siguiente regla recursiva:
x0 = e, x i = x i−1x .
Esta definicion la podemos extender a potencias negativas poniendo
x−i = (x−1)i .
En adelante se usara esta notacion tambien para permutaciones.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 22 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion. Potencia de un elemento
De igual manera que se usa la yuxtaposicion, xy , para expresar laoperacion de dos elementos de un grupo (G , ?), es natural definirpotencias de elementos de G .Sean x ∈ G e i un entero no negativo. La i-esima potencia de x , x i , sedefine mediante la siguiente regla recursiva:
x0 = e, x i = x i−1x .
Esta definicion la podemos extender a potencias negativas poniendo
x−i = (x−1)i .
En adelante se usara esta notacion tambien para permutaciones.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 22 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Notacion. Potencia de un elemento
De igual manera que se usa la yuxtaposicion, xy , para expresar laoperacion de dos elementos de un grupo (G , ?), es natural definirpotencias de elementos de G .Sean x ∈ G e i un entero no negativo. La i-esima potencia de x , x i , sedefine mediante la siguiente regla recursiva:
x0 = e, x i = x i−1x .
Esta definicion la podemos extender a potencias negativas poniendo
x−i = (x−1)i .
En adelante se usara esta notacion tambien para permutaciones.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 22 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un elemento
Definicion (Orden de un elemento)
Sea (G , ?) un grupo.Diremos que un elemento x ∈ G tiene orden finito si existe un numeroentero positivo m tal que xm = e. En este caso, el orden de x , quedenotaremos o(x), es el menor entero positivo que cumple esta propiedad.
Diremos que x ∈ G tiene orden infinito si xm 6= e para todo m > 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 23 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un elemento
Definicion (Orden de un elemento)
Sea (G , ?) un grupo.Diremos que un elemento x ∈ G tiene orden finito si existe un numeroentero positivo m tal que xm = e. En este caso, el orden de x , quedenotaremos o(x), es el menor entero positivo que cumple esta propiedad.
Diremos que x ∈ G tiene orden infinito si xm 6= e para todo m > 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 23 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Elementos de orden infinito
Proposicion (2.2.4)
Un elemento x ∈ G tiene orden infinito si y solo si todas sus potencias xk
con k ∈ Z son distintas.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 24 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un elemento
Proposicion (2.2.5)
Sean G un grupo y x ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:
1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.
2 Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x−1 tambien y o(x) = o(x−1).
3 Si x ∈ G tiene orden infinito, x−1 tiene orden infinito.
4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.
5 Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.Dicho de otra forma, las potencias de x iguales a e son exactamentelas de la forma xkm con k ∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 25 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un elemento
Proposicion (2.2.5)
Sean G un grupo y x ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:
1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.
2 Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x−1 tambien y o(x) = o(x−1).
3 Si x ∈ G tiene orden infinito, x−1 tiene orden infinito.
4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.
5 Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.Dicho de otra forma, las potencias de x iguales a e son exactamentelas de la forma xkm con k ∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 25 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un elemento
Proposicion (2.2.5)
Sean G un grupo y x ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:
1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.
2 Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x−1 tambien y o(x) = o(x−1).
3 Si x ∈ G tiene orden infinito, x−1 tiene orden infinito.
4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.
5 Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.Dicho de otra forma, las potencias de x iguales a e son exactamentelas de la forma xkm con k ∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 25 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un elemento
Proposicion (2.2.5)
Sean G un grupo y x ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:
1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.
2 Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x−1 tambien y o(x) = o(x−1).
3 Si x ∈ G tiene orden infinito, x−1 tiene orden infinito.
4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.
5 Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.Dicho de otra forma, las potencias de x iguales a e son exactamentelas de la forma xkm con k ∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 25 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un elemento
Proposicion (2.2.5)
Sean G un grupo y x ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:
1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.
2 Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x−1 tambien y o(x) = o(x−1).
3 Si x ∈ G tiene orden infinito, x−1 tiene orden infinito.
4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.
5 Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.Dicho de otra forma, las potencias de x iguales a e son exactamentelas de la forma xkm con k ∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 25 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de un ciclo
Proposicion (Orden de un ciclo)
El orden de un ciclo de longitud m ≥ 1 es m.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 26 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Expresion en ciclos disjuntos
Teorema (Expresion en ciclos disjuntos)
Toda permutacion con soporte finito puede expresarse como producto deciclos disjuntos, ademas esta descomposicion es unica salvo el orden de losciclos.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 27 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Descomposicion en ciclos disjuntos
Ejemplo (2.2.6)
En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7
).
1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),
2 = {2, 6} = 6 (26),
7 = {7} ().
Luego σ = (1354)(26).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 28 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Descomposicion en ciclos disjuntos
Ejemplo (2.2.6)
En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7
).
1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),
2 = {2, 6} = 6 (26),
7 = {7} ().
Luego σ = (1354)(26).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 28 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Descomposicion en ciclos disjuntos
Ejemplo (2.2.6)
En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7
).
1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),
2 = {2, 6} = 6 (26),
7 = {7} ().
Luego σ = (1354)(26).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 28 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Descomposicion en ciclos disjuntos
Ejemplo (2.2.6)
En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7
).
1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),
2 = {2, 6} = 6 (26),
7 = {7} ().
Luego σ = (1354)(26).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 28 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Descomposicion en ciclos disjuntos
Ejemplo (2.2.6)
En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7
).
1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),
2 = {2, 6} = 6 (26),
7 = {7} ().
Luego σ = (1354)(26).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 28 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Descomposicion como producto de transposiciones
Corolario (2.2.7)
Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permutacion deSim(X ) con soporte finito puede expresarse como producto detrasposiciones.
La descomposicion en producto de trasposiciones no es unica,¿sabrıas poner un ejemplo que ilustre este hecho?
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 29 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Descomposicion como producto de transposiciones
Corolario (2.2.7)
Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permutacion deSim(X ) con soporte finito puede expresarse como producto detrasposiciones.
La descomposicion en producto de trasposiciones no es unica,¿sabrıas poner un ejemplo que ilustre este hecho?
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 29 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de una permutacion con soporte finito
Corolario (2.2.9)
Toda permutacion con soporte finito tiene orden finito.
¡Ojo! En la demostracion del corolario anterior no hemos probado que elorden de σ sea el producto de los ordenes de los ciclos en los que sedescompone. De hecho es un buen ejercicio para el proximo tema (Elanillo de los numeros enteros) demostrar que el orden de σ es el mınimocomun multiplo de los ni .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 30 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones
Orden de una permutacion con soporte finito
Corolario (2.2.9)
Toda permutacion con soporte finito tiene orden finito.
¡Ojo! En la demostracion del corolario anterior no hemos probado que elorden de σ sea el producto de los ordenes de los ciclos en los que sedescompone. De hecho es un buen ejercicio para el proximo tema (Elanillo de los numeros enteros) demostrar que el orden de σ es el mınimocomun multiplo de los ni .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 30 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn
Orden de un grupo
Definicion (Orden de un grupo)
Sea (G , ?) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G |, como elcardinal del conjunto G .
Nota
Sea el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, en este caso notaremos al conjunto delas permutaciones de n elementos por Sn.
Teorema (Orden de Sn)
El orden del grupo Sn es |Sn| = n!.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 31 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn
Orden de un grupo
Definicion (Orden de un grupo)
Sea (G , ?) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G |, como elcardinal del conjunto G .
Nota
Sea el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, en este caso notaremos al conjunto delas permutaciones de n elementos por Sn.
Teorema (Orden de Sn)
El orden del grupo Sn es |Sn| = n!.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 31 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn
Orden de un grupo
Definicion (Orden de un grupo)
Sea (G , ?) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G |, como elcardinal del conjunto G .
Nota
Sea el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, en este caso notaremos al conjunto delas permutaciones de n elementos por Sn.
Teorema (Orden de Sn)
El orden del grupo Sn es |Sn| = n!.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 31 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn
Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones
Teorema (Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones)
Toda permutacion de Sn se descompone de manera unica, salvo orden,como producto conmutativo de ciclos disjuntos.
Ademas toda permutacionde Sn se puede expresar como producto de trasposiciones, esta vez no demanera unica.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 32 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn
Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones
Teorema (Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones)
Toda permutacion de Sn se descompone de manera unica, salvo orden,como producto conmutativo de ciclos disjuntos. Ademas toda permutacionde Sn se puede expresar como producto de trasposiciones, esta vez no demanera unica.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 32 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Inversiones en una permutacion
Definicion (Inversiones en una permutacion)
Se dice que un par (i , j) es una inversion de σ ∈ Sn, si
i < j y σ(i) > σ(j).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 33 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo de una permutacion
Definicion (Signo de una permutacion)
Si σ ∈ Sn tiene un numero par de inversiones, diremos que σ es par, y quesigno(σ) = 1.
Si σ ∈ Sn tiene un numero impar de inversiones, diremos que σ es impar,y que signo(σ) = −1.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 34 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Contando inversiones
Ejemplo (2.2.12)
¿Es la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 76 3 1 5 4 7 2
)par o impar?
Hay 11 inversiones, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutacion impar.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 35 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Contando inversiones
Ejemplo (2.2.12)
¿Es la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 76 3 1 5 4 7 2
)par o impar?
Hay 11 inversiones, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutacion impar.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 35 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Contando inversiones
Ejemplo (2.2.12)
¿Es la permutacion
σ :
(1 2 3 4 5 6 76 3 1 5 4 7 2
)par o impar?
Hay 11 inversiones, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutacion impar.Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 35 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo de una trasposicion
Proposicion (2.2.13)
Las trasposiciones son siempre impares.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 36 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo de una trasposicion
Proposicion (2.2.13)
Las trasposiciones son siempre impares.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 36 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Propiedades de signo
Proposicion (2.2.14)
Sean σ, τ ∈ Sn. Se satisfacen las siguientes propiedades:
1 signo(στ) = signo(σ) signo(τ).
2 signo(σ−1) = signo(σ).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 37 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo del producto
Sean τ = (1 3 7 6 4 2) y σ = (1 5 6)(2 7 3 4) permutaciones de S7.Entonces στ es:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
στ 22− 2 · 4 = 14 inversiones
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 38 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo del producto
Sean τ = (1 3 7 6 4 2) y σ = (1 5 6)(2 7 3 4) permutaciones de S7.Entonces στ es:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
στ 22− 2 · 4 = 14 inversiones
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 38 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo del producto
Sean τ = (1 3 7 6 4 2) y σ = (1 5 6)(2 7 3 4) permutaciones de S7.Entonces στ es:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
στ 22− 2 · 4 = 14 inversiones
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 38 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo del producto
Sean τ = (1 3 7 6 4 2) y σ = (1 5 6)(2 7 3 4) permutaciones de S7.Entonces στ es:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
στ 22− 2 · 4 = 14 inversiones
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 38 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo del producto
Sean τ = (1 3 7 6 4 2) y σ = (1 5 6)(2 7 3 4) permutaciones de S7.Entonces στ es:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
στ 22− 2 · 4 = 14 inversiones
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 38 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Signo del producto
Sean τ = (1 3 7 6 4 2) y σ = (1 5 6)(2 7 3 4) permutaciones de S7.Entonces στ es:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
1 2 3 4 5 6 7
τ 7 inversiones
σ 15 inversiones
στ 22− 2 · 4 = 14 inversiones
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 38 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Trasposiciones y signo
Corolario (2.2.15)
Una permutacion σ ∈ Sn es par (impar) si y solo si es producto de unnumero par (impar) de trasposiciones.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 39 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Formula de Cauchy
Teorema (Formula de Cauchy)
Sea σ ∈ Sn el producto de c ciclos disjuntos entonces
signo(σ) = (−1)m−c ,
siendo m = #(sop(σ)) el numero de elementos del soporte de σ.
En particular, el signo de un ciclo de longitud m es (−1)m−1. Luego laparidad del ciclo esta cambiada respecto de su longitud: un ciclo delongitud par es impar y un ciclo de longitud impar es par.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 40 / 77
Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares
Formula de Cauchy
Teorema (Formula de Cauchy)
Sea σ ∈ Sn el producto de c ciclos disjuntos entonces
signo(σ) = (−1)m−c ,
siendo m = #(sop(σ)) el numero de elementos del soporte de σ.
En particular, el signo de un ciclo de longitud m es (−1)m−1. Luego laparidad del ciclo esta cambiada respecto de su longitud: un ciclo delongitud par es impar y un ciclo de longitud impar es par.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 40 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupo
Definicion (Subgrupo)
Sea (G , ?) un grupo. Un subconjunto H de G se dice que es un subgrupode (G , ?) si (H, ?) es un grupo. Es decir, si el conjunto H, y la operaciondefinida en G , cumplen las propiedades de la definicion de grupo.
Un subgrupo es, por tanto, un grupo dentro de otro grupo con la mismaoperacion.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 41 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Ejemplos
Ejemplo (2.3.1)
Vimos que los conjuntos de numeros Z,Q,R y C son grupos abelianos conla suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Lo mismo ocurre con los grupos Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} yC∗ = C \ {0} con la multiplicacion. Es tambien una cadena de subgruposQ∗ ⊂ R∗ ⊂ C∗.
Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices invertibles n × n conelementos en un cuerpo k , es un grupo con la multiplicacion de matrices.Sea SL(n, k) el subconjunto de GL(n, k) formado por las matrices condeterminante igual a 1. Comprobamos que SL(n, k) es un subgrupo deGL(n, k).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 42 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Ejemplos
Ejemplo (2.3.1)
Vimos que los conjuntos de numeros Z,Q,R y C son grupos abelianos conla suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Lo mismo ocurre con los grupos Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} yC∗ = C \ {0} con la multiplicacion. Es tambien una cadena de subgruposQ∗ ⊂ R∗ ⊂ C∗.
Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices invertibles n × n conelementos en un cuerpo k , es un grupo con la multiplicacion de matrices.Sea SL(n, k) el subconjunto de GL(n, k) formado por las matrices condeterminante igual a 1. Comprobamos que SL(n, k) es un subgrupo deGL(n, k).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 42 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Ejemplos
Ejemplo (2.3.1)
Vimos que los conjuntos de numeros Z,Q,R y C son grupos abelianos conla suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Lo mismo ocurre con los grupos Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} yC∗ = C \ {0} con la multiplicacion. Es tambien una cadena de subgruposQ∗ ⊂ R∗ ⊂ C∗.
Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices invertibles n × n conelementos en un cuerpo k , es un grupo con la multiplicacion de matrices.Sea SL(n, k) el subconjunto de GL(n, k) formado por las matrices condeterminante igual a 1. Comprobamos que SL(n, k) es un subgrupo deGL(n, k).
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
Ejemplos
Ejemplo (2.3.1)
El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupocon la composicion de permutaciones.
Veamos la tabla de multiplicar delos elementos de C :
◦ () (1234) (13)(24) (1432)
() () (1234) (13)(24) (1432)
(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()
(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)
(1432) (1432) () (1234) (13)(24)
Se da ası la circunstancia de que un subgrupo de un grupo noconmutativo, como S4, puede ser conmutativo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 43 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Ejemplos
Ejemplo (2.3.1)
El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupocon la composicion de permutaciones. Veamos la tabla de multiplicar delos elementos de C :
◦ () (1234) (13)(24) (1432)
() () (1234) (13)(24) (1432)
(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()
(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)
(1432) (1432) () (1234) (13)(24)
Se da ası la circunstancia de que un subgrupo de un grupo noconmutativo, como S4, puede ser conmutativo.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
Ejemplos
Ejemplo (2.3.1)
El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupocon la composicion de permutaciones. Veamos la tabla de multiplicar delos elementos de C :
◦ () (1234) (13)(24) (1432)
() () (1234) (13)(24) (1432)
(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()
(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)
(1432) (1432) () (1234) (13)(24)
Se da ası la circunstancia de que un subgrupo de un grupo noconmutativo, como S4, puede ser conmutativo.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
¿Es H ⊂ G un subgrupo?
Si G es un grupo y H ⊂ G es finito, para comprobar que es subgrupo essuficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemploanterior.
Si H es infinito hay que demostrar que la operacion es interna entreelementos de H, que el elemento neutro pertenece a H y que el simetricode cada elemento de H esta tambien en H.
En cualquier caso, la propiedad asociativa se “hereda” de G .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 44 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
¿Es H ⊂ G un subgrupo?
Si G es un grupo y H ⊂ G es finito, para comprobar que es subgrupo essuficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemploanterior.
Si H es infinito hay que demostrar que la operacion es interna entreelementos de H, que el elemento neutro pertenece a H y que el simetricode cada elemento de H esta tambien en H.
En cualquier caso, la propiedad asociativa se “hereda” de G .
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
¿Es H ⊂ G un subgrupo?
Si G es un grupo y H ⊂ G es finito, para comprobar que es subgrupo essuficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemploanterior.
Si H es infinito hay que demostrar que la operacion es interna entreelementos de H, que el elemento neutro pertenece a H y que el simetricode cada elemento de H esta tambien en H.
En cualquier caso, la propiedad asociativa se “hereda” de G .
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupos
El siguiente resultado nos permite “ahorrarnos” verificar alguna propiedada la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo.
Proposicion (2.3.2)
Sean (G , ?) un grupo y H ⊂ G un subconjunto no vacıo. Las condicionessiguientes son equivalentes:
1 H es un subgrupo de (G , ?).
2 H es no vacıo y se satisface la siguiente propiedad
∀x , y ∈ H, xy−1 ∈ H.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 45 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupos
El siguiente resultado nos permite “ahorrarnos” verificar alguna propiedada la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo.
Proposicion (2.3.2)
Sean (G , ?) un grupo y H ⊂ G un subconjunto no vacıo. Las condicionessiguientes son equivalentes:
1 H es un subgrupo de (G , ?).
2 H es no vacıo y se satisface la siguiente propiedad
∀x , y ∈ H, xy−1 ∈ H.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
El grupo alternado
Teorema (El grupo alternado An)
El conjunto An de las permutaciones pares de Sn es un subgrupo llamadogrupo alternado.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 46 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
El grupo alternado
Lema
Sean (G , ?) un grupo y A ⊂ G un subconjunto. Entonces para todo x ∈ Glos conjuntos A y xA = {xa | a ∈ A} son equipotentes.
Proposicion (2.3.4)
Sea H ∈ Sn un subgrupo que tiene alguna permutacion impar, entonces Hposee tantas permutaciones pares como impares.
Corolario (2.3.5)
Si n ≥ 2, el numero de elementos de An es |An| = n!/2, es decir, haytantas permutaciones pares como impares.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 47 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
El grupo alternado
Lema
Sean (G , ?) un grupo y A ⊂ G un subconjunto. Entonces para todo x ∈ Glos conjuntos A y xA = {xa | a ∈ A} son equipotentes.
Proposicion (2.3.4)
Sea H ∈ Sn un subgrupo que tiene alguna permutacion impar, entonces Hposee tantas permutaciones pares como impares.
Corolario (2.3.5)
Si n ≥ 2, el numero de elementos de An es |An| = n!/2, es decir, haytantas permutaciones pares como impares.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 47 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
El grupo alternado
Lema
Sean (G , ?) un grupo y A ⊂ G un subconjunto. Entonces para todo x ∈ Glos conjuntos A y xA = {xa | a ∈ A} son equipotentes.
Proposicion (2.3.4)
Sea H ∈ Sn un subgrupo que tiene alguna permutacion impar, entonces Hposee tantas permutaciones pares como impares.
Corolario (2.3.5)
Si n ≥ 2, el numero de elementos de An es |An| = n!/2, es decir, haytantas permutaciones pares como impares.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 47 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupo generado
Teorema (Subgrupo generado)
Sean (G , ?) un grupo y A ⊂ G un subconjunto no vacıo. SeaA−1 = {x−1 ∈ G | x ∈ A} el conjunto de los elementos simetricos a los deA. Entonces el conjunto que se obtiene al operar sucesiones arbitrarias deelementos de A y A−1,
〈A〉 = {x1 ? · · · ? xn | xi ∈ A ∪ A−1, n ≥ 1},
es un subgrupo de G llamado subgrupo generado por A.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 48 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupo generado
Ejemplo (2.3.6)
En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉.
Hay que ir operando los elementos (124), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.
◦ () (124) (12)
(142) (14) (24)
() () (124) (12)
(142) (14) (24)
(124) (124) (142) (14)
() (24) (12)
(12) (12) (24) ()
(14) (142) (124)
(142) (142) () (24) (124) (12) (14)
(14) (14) (12) (124) (24) () (142)
(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()
En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 49 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupo generado
Ejemplo (2.3.6)
En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (124), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.
◦ () (124) (12)
(142) (14) (24)
() () (124) (12)
(142) (14) (24)
(124) (124) (142) (14)
() (24) (12)
(12) (12) (24) ()
(14) (142) (124)
(142) (142) () (24) (124) (12) (14)
(14) (14) (12) (124) (24) () (142)
(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()
En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupo generado
Ejemplo (2.3.6)
En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (124), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.
◦ () (124) (12)
(142) (14) (24)
() () (124) (12)
(142) (14) (24)
(124) (124) (142) (14)
() (24) (12)
(12) (12) (24) ()
(14) (142) (124)
(142) (142) () (24) (124) (12) (14)
(14) (14) (12) (124) (24) () (142)
(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()
En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupo generado
Ejemplo (2.3.6)
En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (124), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.
◦ () (124) (12) (142) (14) (24)
() () (124) (12) (142) (14) (24)
(124) (124) (142) (14) () (24) (12)
(12) (12) (24) () (14) (142) (124)
(142) (142) () (24) (124) (12) (14)
(14) (14) (12) (124) (24) () (142)
(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()
En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
Subgrupo generado
Ejemplo (2.3.6)
En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (124), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.
◦ () (124) (12) (142) (14) (24)
() () (124) (12) (142) (14) (24)
(124) (124) (142) (14) () (24) (12)
(12) (12) (24) () (14) (142) (124)
(142) (142) () (24) (124) (12) (14)
(14) (14) (12) (124) (24) () (142)
(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()
En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange
Grupo cıclico
Definicion (Grupo cıclico)
Se dice que un grupo G es cıclico si existe a ∈ G tal que
G = 〈a〉 = 〈{a}〉 = {am | m ∈ Z}.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 50 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Grupo cıclico
Ejemplo (2.3.7)
El grupo S3 no es cıclico, pues no existe ninguna permutacion que generetodo el grupo.
El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cıclico, puesA3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.
De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cıclico,hay que verificar si existe o no en el grupo algun elemento de orden m. EnS3 no hay elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par deelementos de orden 3.
El grupo de los enteros con la suma, (Z,+), es cıclico infinito, puesZ = 〈1〉 = 〈−1〉.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 51 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Grupo cıclico
Ejemplo (2.3.7)
El grupo S3 no es cıclico, pues no existe ninguna permutacion que generetodo el grupo. El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cıclico, puesA3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.
De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cıclico,hay que verificar si existe o no en el grupo algun elemento de orden m. EnS3 no hay elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par deelementos de orden 3.
El grupo de los enteros con la suma, (Z,+), es cıclico infinito, puesZ = 〈1〉 = 〈−1〉.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 51 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Grupo cıclico
Ejemplo (2.3.7)
El grupo S3 no es cıclico, pues no existe ninguna permutacion que generetodo el grupo. El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cıclico, puesA3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.
De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cıclico,hay que verificar si existe o no en el grupo algun elemento de orden m. EnS3 no hay elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par deelementos de orden 3.
El grupo de los enteros con la suma, (Z,+), es cıclico infinito, puesZ = 〈1〉 = 〈−1〉.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 51 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange
Grupo cıclico
Ejemplo (2.3.7)
El grupo S3 no es cıclico, pues no existe ninguna permutacion que generetodo el grupo. El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cıclico, puesA3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.
De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cıclico,hay que verificar si existe o no en el grupo algun elemento de orden m. EnS3 no hay elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par deelementos de orden 3.
El grupo de los enteros con la suma, (Z,+), es cıclico infinito, puesZ = 〈1〉 = 〈−1〉.
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Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Proposicion
Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Entonces los conjuntosxH = {xh | h ∈ H} para cada x ∈ G forman una particion de G .
Nota
Notaremos por G/H a la particion anterior. Es decir,
G
H= {xH | x ∈ G}.
Definicion (Indice de un subgrupo)
Dado un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , el ındice de H en G , denotado|G : H|, es el numero de elementos de G/H. Es decir:
|G : H| = #(G/H)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 52 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Proposicion
Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Entonces los conjuntosxH = {xh | h ∈ H} para cada x ∈ G forman una particion de G .
Nota
Notaremos por G/H a la particion anterior. Es decir,
G
H= {xH | x ∈ G}.
Definicion (Indice de un subgrupo)
Dado un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , el ındice de H en G , denotado|G : H|, es el numero de elementos de G/H. Es decir:
|G : H| = #(G/H)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 52 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Proposicion
Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Entonces los conjuntosxH = {xh | h ∈ H} para cada x ∈ G forman una particion de G .
Nota
Notaremos por G/H a la particion anterior. Es decir,
G
H= {xH | x ∈ G}.
Definicion (Indice de un subgrupo)
Dado un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , el ındice de H en G , denotado|G : H|, es el numero de elementos de G/H. Es decir:
|G : H| = #(G/H)
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Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Teorema (Teorema de Lagrange)
Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H| divide a |G |.
Teorema (Indice de un subgrupo en un grupo finito)
Si G es un grupo finito y H ⊂ G es un subgrupo, entonces
|G : H| =|G ||H|
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 53 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Teorema (Teorema de Lagrange)
Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H| divide a |G |.
Teorema (Indice de un subgrupo en un grupo finito)
Si G es un grupo finito y H ⊂ G es un subgrupo, entonces
|G : H| =|G ||H|
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 53 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Corolario (2.3.13)
Sea G un grupo finito y sea x ∈ G , entonces el orden de x divide al ordende G .
Corolario (2.3.14)
Si G es un grupo de orden un numero primo, entonces G es cıclico.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 54 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Corolario (2.3.13)
Sea G un grupo finito y sea x ∈ G , entonces el orden de x divide al ordende G .
Corolario (2.3.14)
Si G es un grupo de orden un numero primo, entonces G es cıclico.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 54 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Una relacion de equivalencia
Observacion
Dados un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , hemos visto que los conjuntosxH, con x ∈ G , forman una particion de G . Esto nos permite definir unarelacion de equivalencia.
Definicion (2.3.8)
Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos la relacion deequivalencia ∼H de la manera siguiente: Dados x , y ∈ G ,
x ∼H y ⇔ xH = yH.
Observacion
Observese quexH = yH ⇔ x−1y ∈ H.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 55 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Una relacion de equivalencia
Observacion
Dados un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , hemos visto que los conjuntosxH, con x ∈ G , forman una particion de G . Esto nos permite definir unarelacion de equivalencia.
Definicion (2.3.8)
Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos la relacion deequivalencia ∼H de la manera siguiente: Dados x , y ∈ G ,
x ∼H y ⇔ xH = yH.
Observacion
Observese quexH = yH ⇔ x−1y ∈ H.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 55 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Una relacion de equivalencia
Observacion
Dados un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , hemos visto que los conjuntosxH, con x ∈ G , forman una particion de G . Esto nos permite definir unarelacion de equivalencia.
Definicion (2.3.8)
Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos la relacion deequivalencia ∼H de la manera siguiente: Dados x , y ∈ G ,
x ∼H y ⇔ xH = yH.
Observacion
Observese quexH = yH ⇔ x−1y ∈ H.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 55 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Una relacion de equivalencia
Nota (2.3.10)
Lo usual es notar al conjunto cociente de G por la relacion de equivalencia∼H como
G
H:=
G
∼H.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 56 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Clases a izquierda y a derecha
Nota (2.3.12)
Las clases de equivalencia para ∼H , de la forma xH, se llaman clases aizquierda.
Observemos que podrıamos haber definido otra relacion deequivalencia H∼ de la siguiente forma:
x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.
En este caso las clases de equivalencia son de la forma Hx , con x ∈ G , yse llaman clases a derecha. En principio, las clases a izquierda no tienenpor que coincidir con las clases a la derecha (salvo en el caso evidente1H = H1 = H).
Cuando coinciden, se dice que el grupo H es normal: esto se estudiara alfinal de este tema.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 57 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Clases a izquierda y a derecha
Nota (2.3.12)
Las clases de equivalencia para ∼H , de la forma xH, se llaman clases aizquierda. Observemos que podrıamos haber definido otra relacion deequivalencia H∼ de la siguiente forma:
x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.
En este caso las clases de equivalencia son de la forma Hx , con x ∈ G , yse llaman clases a derecha. En principio, las clases a izquierda no tienenpor que coincidir con las clases a la derecha (salvo en el caso evidente1H = H1 = H).
Cuando coinciden, se dice que el grupo H es normal: esto se estudiara alfinal de este tema.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 57 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Clases a izquierda y a derecha
Nota (2.3.12)
Las clases de equivalencia para ∼H , de la forma xH, se llaman clases aizquierda. Observemos que podrıamos haber definido otra relacion deequivalencia H∼ de la siguiente forma:
x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.
En este caso las clases de equivalencia son de la forma Hx , con x ∈ G , yse llaman clases a derecha.
En principio, las clases a izquierda no tienenpor que coincidir con las clases a la derecha (salvo en el caso evidente1H = H1 = H).
Cuando coinciden, se dice que el grupo H es normal: esto se estudiara alfinal de este tema.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 57 / 77
Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange
Clases a izquierda y a derecha
Nota (2.3.12)
Las clases de equivalencia para ∼H , de la forma xH, se llaman clases aizquierda. Observemos que podrıamos haber definido otra relacion deequivalencia H∼ de la siguiente forma:
x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.
En este caso las clases de equivalencia son de la forma Hx , con x ∈ G , yse llaman clases a derecha. En principio, las clases a izquierda no tienenpor que coincidir con las clases a la derecha (salvo en el caso evidente1H = H1 = H).
Cuando coinciden, se dice que el grupo H es normal: esto se estudiara alfinal de este tema.
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Homomorfismos de grupos
Homomorfismos de grupos
Definicion (Homomorfismo de grupos)
Dados dos grupos (G , ?) y (H, ∗), un homomorfismo
f : (G , ?) −→ (H, ∗)
es una aplicacion f : G → H que sastisface
f (x1 ? x2) = f (x1) ∗ f (x2), ∀x1, x2 ∈ G .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 58 / 77
Homomorfismos de grupos
Notacion por yuxtaposicion
Seguiremos usando la yuxtaposicion para expresar la operacion entre doselementos. Aunque ahora intervienen dos grupos con operaciones quepueden ser distintas, normalmente por el contexto sabremos si loselementos que intervienen estan en el primer grupo o en el segundo. Ası,escribiremos por ejemplo
f (x1x2) = f (x1)f (x2), ∀x1, x2 ∈ G .
Igualmente se notara por e tanto al elemento neutro de G como al de H.Si hiciera falta distinguir, para evitar confusiones, se usara eG y eHrespectivamente.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 59 / 77
Homomorfismos de grupos
Notacion por yuxtaposicion
Seguiremos usando la yuxtaposicion para expresar la operacion entre doselementos. Aunque ahora intervienen dos grupos con operaciones quepueden ser distintas, normalmente por el contexto sabremos si loselementos que intervienen estan en el primer grupo o en el segundo. Ası,escribiremos por ejemplo
f (x1x2) = f (x1)f (x2), ∀x1, x2 ∈ G .
Igualmente se notara por e tanto al elemento neutro de G como al de H.Si hiciera falta distinguir, para evitar confusiones, se usara eG y eHrespectivamente.
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Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).
2.- La inclusion de un subgrupo K ⊂ G , i : (K , ?)→ (G , ?).
3.- El signo de una permutacion, signo: Sn → {±1}.4.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = n · x es un
homomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para todo entero n.
5.- Si (G , ∗) es un grupo abeliano, la exponenciacion f : G → G , definidacomo f (x) = xn es un homomorfismo f : (G , ∗)→ (G , ∗) para todoentero n.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 60 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).
2.- La inclusion de un subgrupo K ⊂ G , i : (K , ?)→ (G , ?).
3.- El signo de una permutacion, signo: Sn → {±1}.4.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = n · x es un
homomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para todo entero n.
5.- Si (G , ∗) es un grupo abeliano, la exponenciacion f : G → G , definidacomo f (x) = xn es un homomorfismo f : (G , ∗)→ (G , ∗) para todoentero n.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 60 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).
2.- La inclusion de un subgrupo K ⊂ G , i : (K , ?)→ (G , ?).
3.- El signo de una permutacion, signo: Sn → {±1}.
4.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = n · x es unhomomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para todo entero n.
5.- Si (G , ∗) es un grupo abeliano, la exponenciacion f : G → G , definidacomo f (x) = xn es un homomorfismo f : (G , ∗)→ (G , ∗) para todoentero n.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 60 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).
2.- La inclusion de un subgrupo K ⊂ G , i : (K , ?)→ (G , ?).
3.- El signo de una permutacion, signo: Sn → {±1}.4.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = n · x es un
homomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para todo entero n.
5.- Si (G , ∗) es un grupo abeliano, la exponenciacion f : G → G , definidacomo f (x) = xn es un homomorfismo f : (G , ∗)→ (G , ∗) para todoentero n.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 60 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).
2.- La inclusion de un subgrupo K ⊂ G , i : (K , ?)→ (G , ?).
3.- El signo de una permutacion, signo: Sn → {±1}.4.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = n · x es un
homomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para todo entero n.
5.- Si (G , ∗) es un grupo abeliano, la exponenciacion f : G → G , definidacomo f (x) = xn es un homomorfismo f : (G , ∗)→ (G , ∗) para todoentero n.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 60 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
6.- Si GL(n,R) es el grupo de matrices invertibles n × n de numerosreales, el determinante det : GL(n,R)→ R \ {0} es un homomorfismorespecto de la multiplicacion en ambos lados.
7.- La aplicacion exponencial f : R→ (0,+∞), f (x) = ex , es unhomomorfismo f : (R,+)→ ((0,+∞), ·).
8.- Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , la aplicacion cx : G → Gdada por cx(y) = x−1yx es un homomorfismo, llamado conjugacionpor x .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 61 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
6.- Si GL(n,R) es el grupo de matrices invertibles n × n de numerosreales, el determinante det : GL(n,R)→ R \ {0} es un homomorfismorespecto de la multiplicacion en ambos lados.
7.- La aplicacion exponencial f : R→ (0,+∞), f (x) = ex , es unhomomorfismo f : (R,+)→ ((0,+∞), ·).
8.- Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , la aplicacion cx : G → Gdada por cx(y) = x−1yx es un homomorfismo, llamado conjugacionpor x .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 61 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de homomorfismos
6.- Si GL(n,R) es el grupo de matrices invertibles n × n de numerosreales, el determinante det : GL(n,R)→ R \ {0} es un homomorfismorespecto de la multiplicacion en ambos lados.
7.- La aplicacion exponencial f : R→ (0,+∞), f (x) = ex , es unhomomorfismo f : (R,+)→ ((0,+∞), ·).
8.- Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , la aplicacion cx : G → Gdada por cx(y) = x−1yx es un homomorfismo, llamado conjugacionpor x .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 61 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de aplicaciones que no son homomorfismos
1.- Si (G , ∗) no es abeliano, la exponenciacion f : G → G definida en elanterior punto 5 no es un homomorfismo, al menos para n = 2.
2.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = xn no es unhomomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para ningun n ≥ 2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 62 / 77
Homomorfismos de grupos
Ejemplos de aplicaciones que no son homomorfismos
1.- Si (G , ∗) no es abeliano, la exponenciacion f : G → G definida en elanterior punto 5 no es un homomorfismo, al menos para n = 2.
2.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = xn no es unhomomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para ningun n ≥ 2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 62 / 77
Homomorfismos de grupos
Propiedades
Proposicion (2.4.2)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un homomorfismo,
f (e) = e, f (x−1) = f (x)−1, ∀x ∈ G .
Es decir, los homomorfismos preservan el elemento neutro y los simetricos.
Proposicion (2.4.3)
Dados tres grupos y dos homomorfismos como en el siguiente diagrama,
(G , ?)f−→ (H, ∗) g−→ (K , •),
la composiciong ◦ f : (G , ?) −→ (K , •)
tambien es un homomorfismo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 63 / 77
Homomorfismos de grupos
Propiedades
Proposicion (2.4.2)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un homomorfismo,
f (e) = e, f (x−1) = f (x)−1, ∀x ∈ G .
Es decir, los homomorfismos preservan el elemento neutro y los simetricos.
Proposicion (2.4.3)
Dados tres grupos y dos homomorfismos como en el siguiente diagrama,
(G , ?)f−→ (H, ∗) g−→ (K , •),
la composiciong ◦ f : (G , ?) −→ (K , •)
tambien es un homomorfismo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 63 / 77
Homomorfismos de grupos
Propiedades
Proposicion (2.4.2)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un homomorfismo,
f (e) = e, f (x−1) = f (x)−1, ∀x ∈ G .
Es decir, los homomorfismos preservan el elemento neutro y los simetricos.
Proposicion (2.4.3)
Dados tres grupos y dos homomorfismos como en el siguiente diagrama,
(G , ?)f−→ (H, ∗) g−→ (K , •),
la composiciong ◦ f : (G , ?) −→ (K , •)
tambien es un homomorfismo.Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 63 / 77
Homomorfismos de grupos
Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos
Definicion (Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos)
Decimos que un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo,epimorfismo o isomorfismo si la aplicacion f es inyectiva, sobreyectiva obiyectiva, respectivamente. Los isomorfismos se denotan del siguientemodo
f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).
Ejemplo (2.4.4)
De los homomorfismos del ejemplo anterior, 2 y 4 son monomorfismos, y 3y 6 son epimorfismos y 1, 7 y 8 son isomorfismos. En general 5 no es unmonomorfismo ni un epimorfismo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 64 / 77
Homomorfismos de grupos
Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos
Definicion (Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos)
Decimos que un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo,epimorfismo o isomorfismo si la aplicacion f es inyectiva, sobreyectiva obiyectiva, respectivamente. Los isomorfismos se denotan del siguientemodo
f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).
Ejemplo (2.4.4)
De los homomorfismos del ejemplo anterior, 2 y 4 son monomorfismos, y 3y 6 son epimorfismos y 1, 7 y 8 son isomorfismos. En general 5 no es unmonomorfismo ni un epimorfismo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 64 / 77
Homomorfismos de grupos
Isomorfismos
Proposicion (2.4.5)
La composicion de dos isomorfismos es un isomorfismo.
Proposicion (2.4.6)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo la aplicacion inversa f −1 : H → Ges un isomorfismo
f −1 : (H, ∗) −→ (G , ?).
Ejemplo (2.4.7)
Los inversos de los isomorfismos 1, 7 y 8 del ejemplo anterior son,respectivamente, 1−1
G = 1G , el isomorfismo f −1 : ((0,+∞), ·)→ (R,+)definido por f −1(x) = log(x), y el isomorfismo (cx)−1 = cx−1 definido porcx−1(y) = xyx−1.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 65 / 77
Homomorfismos de grupos
Isomorfismos
Proposicion (2.4.5)
La composicion de dos isomorfismos es un isomorfismo.
Proposicion (2.4.6)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo la aplicacion inversa f −1 : H → Ges un isomorfismo
f −1 : (H, ∗) −→ (G , ?).
Ejemplo (2.4.7)
Los inversos de los isomorfismos 1, 7 y 8 del ejemplo anterior son,respectivamente, 1−1
G = 1G , el isomorfismo f −1 : ((0,+∞), ·)→ (R,+)definido por f −1(x) = log(x), y el isomorfismo (cx)−1 = cx−1 definido porcx−1(y) = xyx−1.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 65 / 77
Homomorfismos de grupos
Isomorfismos
Proposicion (2.4.5)
La composicion de dos isomorfismos es un isomorfismo.
Proposicion (2.4.6)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo la aplicacion inversa f −1 : H → Ges un isomorfismo
f −1 : (H, ∗) −→ (G , ?).
Ejemplo (2.4.7)
Los inversos de los isomorfismos 1, 7 y 8 del ejemplo anterior son,respectivamente, 1−1
G = 1G , el isomorfismo f −1 : ((0,+∞), ·)→ (R,+)definido por f −1(x) = log(x), y el isomorfismo (cx)−1 = cx−1 definido porcx−1(y) = xyx−1.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 65 / 77
Homomorfismos de grupos
Grupos isomorfos
Definicion (Grupos isomorfos)
Dos grupos (G , ?) y (H, ∗) son isomorfos si existe un isomorfismo
f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).
Corolario (2.4.8)
La relacion de ser isomorfos es de equivalencia.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 66 / 77
Homomorfismos de grupos
Grupos isomorfos
Definicion (Grupos isomorfos)
Dos grupos (G , ?) y (H, ∗) son isomorfos si existe un isomorfismo
f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).
Corolario (2.4.8)
La relacion de ser isomorfos es de equivalencia.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 66 / 77
Homomorfismos de grupos
Nucleo de un homomorfismo
Definicion (Nucleo de un homomorfismo)
Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), el nucleo de f es
Ker(f ) = {x ∈ G ; f (x) = e} ⊂ G .
Ejemplo (2.4.9)
El nucleo de signo: Sn → {±1} es el grupo alternado.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 67 / 77
Homomorfismos de grupos
Nucleo de un homomorfismo
Definicion (Nucleo de un homomorfismo)
Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), el nucleo de f es
Ker(f ) = {x ∈ G ; f (x) = e} ⊂ G .
Ejemplo (2.4.9)
El nucleo de signo: Sn → {±1} es el grupo alternado.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 67 / 77
Homomorfismos de grupos
Nucleo e imagen de un homorfismo
Proposicion (2.4.10)
Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), su nucleo (Ker(f ), ?) es unsubgrupo de (G , ?), y su imagen (Im(f ), ∗) es un subgrupo de (H, ∗).
Proposicion (2.4.11)
Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), se tiene:
1 f es inyectivo si y solo si Ker(f ) = {e}.2 f es sobreyectivo si y solo si Im(f ) = H.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 68 / 77
Homomorfismos de grupos
Nucleo e imagen de un homorfismo
Proposicion (2.4.10)
Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), su nucleo (Ker(f ), ?) es unsubgrupo de (G , ?), y su imagen (Im(f ), ∗) es un subgrupo de (H, ∗).
Proposicion (2.4.11)
Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), se tiene:
1 f es inyectivo si y solo si Ker(f ) = {e}.2 f es sobreyectivo si y solo si Im(f ) = H.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 68 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , recordemos el isomorfismocx : G → G que conjuga por x a los elementos de G , es decir,cx(y) = x−1yx para todo y ∈ G .
Dado un subgrupo K ⊂ G , podemos aplicarle el isomorfismo cx a todos suselementos y obtendremos un subgrupo de G (el conjugado de K por x):
cx(K ) = x−1Kx = {x−1yx ; y ∈ K}.
El grupo x−1Kx podrıa ser el propio K , o podrıa ser distinto. Diremos queK es normal en G cuando obtenemos siempre el propio K , sea cual sea elelemento x ∈ G escogido.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 69 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , recordemos el isomorfismocx : G → G que conjuga por x a los elementos de G , es decir,cx(y) = x−1yx para todo y ∈ G .Dado un subgrupo K ⊂ G , podemos aplicarle el isomorfismo cx a todos suselementos y obtendremos un subgrupo de G (el conjugado de K por x):
cx(K ) = x−1Kx = {x−1yx ; y ∈ K}.
El grupo x−1Kx podrıa ser el propio K , o podrıa ser distinto. Diremos queK es normal en G cuando obtenemos siempre el propio K , sea cual sea elelemento x ∈ G escogido.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 69 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , recordemos el isomorfismocx : G → G que conjuga por x a los elementos de G , es decir,cx(y) = x−1yx para todo y ∈ G .Dado un subgrupo K ⊂ G , podemos aplicarle el isomorfismo cx a todos suselementos y obtendremos un subgrupo de G (el conjugado de K por x):
cx(K ) = x−1Kx = {x−1yx ; y ∈ K}.
El grupo x−1Kx podrıa ser el propio K , o podrıa ser distinto. Diremos queK es normal en G cuando obtenemos siempre el propio K , sea cual sea elelemento x ∈ G escogido.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 69 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Definicion (Subgrupos normales)
Dado un grupo (G , ?) y un subgrupo K ⊂ G , decimos que K es normalen G si
x−1Kx ⊂ K , ∀x ∈ G .
Lema (2.5.1)
Si K ⊂ G es un subgrupo normal, la inclusion de la definicion anterior esde hecho una igualdad.
Del lema anterior se deduce que un subgrupo K es normal en G si y solo siaK = Ka para todo a ∈ G . En otras palabras, un subgrupo K es normalen G si y solo si las clases a izquierda (definidas para K) coincidencon las clases a derecha.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 70 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Definicion (Subgrupos normales)
Dado un grupo (G , ?) y un subgrupo K ⊂ G , decimos que K es normalen G si
x−1Kx ⊂ K , ∀x ∈ G .
Lema (2.5.1)
Si K ⊂ G es un subgrupo normal, la inclusion de la definicion anterior esde hecho una igualdad.
Del lema anterior se deduce que un subgrupo K es normal en G si y solo siaK = Ka para todo a ∈ G . En otras palabras, un subgrupo K es normalen G si y solo si las clases a izquierda (definidas para K) coincidencon las clases a derecha.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 70 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Definicion (Subgrupos normales)
Dado un grupo (G , ?) y un subgrupo K ⊂ G , decimos que K es normalen G si
x−1Kx ⊂ K , ∀x ∈ G .
Lema (2.5.1)
Si K ⊂ G es un subgrupo normal, la inclusion de la definicion anterior esde hecho una igualdad.
Del lema anterior se deduce que un subgrupo K es normal en G si y solo siaK = Ka para todo a ∈ G . En otras palabras, un subgrupo K es normalen G si y solo si las clases a izquierda (definidas para K) coincidencon las clases a derecha.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 70 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Es importante observar que la igualdad x−1Kx = K no implica que loselementos de K quedan fijos al conjugarlos por x . Lo que queda fijo es elconjunto K , pero sus elementos pueden permutarse. Por tanto, K esnormal si y solo si conjugar K por x corresponde a una permutacion de K ,para todo x ∈ G .Esta permutacion puede ser trivial o no. En el siguiente caso, lapermutacion sı es trivial para todo x .
Proposicion (2.5.2)
Si (G , ?) es abeliano, todo subgrupo K ⊂ G es normal.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 71 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Es importante observar que la igualdad x−1Kx = K no implica que loselementos de K quedan fijos al conjugarlos por x . Lo que queda fijo es elconjunto K , pero sus elementos pueden permutarse. Por tanto, K esnormal si y solo si conjugar K por x corresponde a una permutacion de K ,para todo x ∈ G .Esta permutacion puede ser trivial o no. En el siguiente caso, lapermutacion sı es trivial para todo x .
Proposicion (2.5.2)
Si (G , ?) es abeliano, todo subgrupo K ⊂ G es normal.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 71 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Ejemplo (2.5.3)
Los subgrupos trivial y total {e},G ⊂ G son normales en cualquier grupoG . El subgrupo K = {1, (1 2)} ⊂ S3 no es normal puesto que
(1 3)−1(1 2)(1 3) = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) /∈ K .
El nucleo de un homomorfismo es un subgrupo normal...
Proposicion (2.5.4)
El nucleo de f : (G , ?)→ (H, ∗) es un subgrupo normal de G .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 72 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Ejemplo (2.5.3)
Los subgrupos trivial y total {e},G ⊂ G son normales en cualquier grupoG . El subgrupo K = {1, (1 2)} ⊂ S3 no es normal puesto que
(1 3)−1(1 2)(1 3) = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) /∈ K .
El nucleo de un homomorfismo es un subgrupo normal...
Proposicion (2.5.4)
El nucleo de f : (G , ?)→ (H, ∗) es un subgrupo normal de G .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 72 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Subgrupos normales
Ejemplo (2.5.3)
Los subgrupos trivial y total {e},G ⊂ G son normales en cualquier grupoG . El subgrupo K = {1, (1 2)} ⊂ S3 no es normal puesto que
(1 3)−1(1 2)(1 3) = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) /∈ K .
El nucleo de un homomorfismo es un subgrupo normal...
Proposicion (2.5.4)
El nucleo de f : (G , ?)→ (H, ∗) es un subgrupo normal de G .
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Subgrupos normales. Grupo cociente
Grupo cociente
Teorema (Grupo cociente)
Si (G , ?) es un grupo y K ⊂ G es un subgrupo normal entonces elconjunto cociente G/K posee una unica estructura de grupo (G/K , ?) talque la proyeccion natural p : G → G/K es un homomorfismo
p : (G , ?) −→ (G/K , ?).
... y todo subgrupo normal es nucleo de un homomorfismo.
Proposicion (2.5.5)
El nucleo de la proyeccion natural p : (G , ?)→ (G/K , ?) es Ker p = K .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 73 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Grupo cociente
Teorema (Grupo cociente)
Si (G , ?) es un grupo y K ⊂ G es un subgrupo normal entonces elconjunto cociente G/K posee una unica estructura de grupo (G/K , ?) talque la proyeccion natural p : G → G/K es un homomorfismo
p : (G , ?) −→ (G/K , ?).
... y todo subgrupo normal es nucleo de un homomorfismo.
Proposicion (2.5.5)
El nucleo de la proyeccion natural p : (G , ?)→ (G/K , ?) es Ker p = K .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 73 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Grupo cociente
Teorema (Grupo cociente)
Si (G , ?) es un grupo y K ⊂ G es un subgrupo normal entonces elconjunto cociente G/K posee una unica estructura de grupo (G/K , ?) talque la proyeccion natural p : G → G/K es un homomorfismo
p : (G , ?) −→ (G/K , ?).
... y todo subgrupo normal es nucleo de un homomorfismo.
Proposicion (2.5.5)
El nucleo de la proyeccion natural p : (G , ?)→ (G/K , ?) es Ker p = K .
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Subgrupos normales. Grupo cociente
La imagen de un homomorfismo no es un subgrupo normal
Ejemplo (2.5.6)
Si (G , ?) es un grupo y K ⊂ G es un subgrupo cualquiera, la imagen de lainclusion i : (K , ?)→ (G , ?) es Im(i) = K , por tanto la imagen de unhomomorfismo en general no es normal en la llegada.
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Subgrupos normales. Grupo cociente
Factorizacion canonica
Teorema (Factorizacion canonica)
Todo homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗) factoriza como la composicionf = i ◦ f ◦ p de un epimorfismo p, un isomorfismo f y un monomorfismo idel siguiente modo
(G , ?)f //
p
��
(H, ∗)
(G/Ker(f ), ?)∼=f// (Im(f ), ∗)
i
OO
Aquı p es la proyeccion natural sobre el cociente e i es la inclusion delsubgrupo imagen.
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Subgrupos normales. Grupo cociente
Factorizacion canonica
Corolario (2.5.7)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un epimorfismo entoncesf : (G/Ker(f ), ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo.
Corolario (2.5.8)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo entoncesf : (G , ?)→ (Im(f ), ∗) es un isomorfismo
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 76 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente
Factorizacion canonica
Corolario (2.5.7)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un epimorfismo entoncesf : (G/Ker(f ), ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo.
Corolario (2.5.8)
Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo entoncesf : (G , ?)→ (Im(f ), ∗) es un isomorfismo
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 76 / 77
Subgrupos normales. Grupo cociente Teorema de Cayley
Teorema de Cayley
Teorema (Teorema de Cayley)
Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. Siel grupo es finito de orden n, entonces es isomorfo a un subgrupo de Sn.
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