Misura di figure Figure equivalenti e aree. Cosa vuol dire misurare una figura geometrica? Possiamo...

Misura di figureMisura di figure

Figure equivalenti e areeFigure equivalenti e aree

Cosa vuol dire misurare Cosa vuol dire misurare una figura geometrica?una figura geometrica?

Possiamo misurare la parte di piano che occupa Possiamo misurare la parte di piano che occupa cioè la sua estensione.cioè la sua estensione.

Parlando di misura la parola “uguaglianza”, Parlando di misura la parola “uguaglianza”, “congruenza” non è più sufficiente. “congruenza” non è più sufficiente.

Infatti due figure che Infatti due figure che hanno la stessa estensionehanno la stessa estensione nonnon è detto che siano è detto che siano congruenticongruenti!!

Introduciamo il concetto di Introduciamo il concetto di EQUIVALENZAEQUIVALENZA tra tra figure.figure.

Figure equivalentiFigure equivalenti

Due figure si dicono Due figure si dicono EQUIVALENTIEQUIVALENTI se vale se vale almeno una delle tre affermazioni che almeno una delle tre affermazioni che seguono:seguono:

1)1) Sono congruentiSono congruenti2)2) Sono equicomposte o equiscomponibiliSono equicomposte o equiscomponibili3)3) Sono ottenute per sottrazione di figure Sono ottenute per sottrazione di figure

uguali da figure uguali in partenzauguali da figure uguali in partenza

1)1) CongruentiCongruentiPerfettamente sovrapponibili mediante movimento Perfettamente sovrapponibili mediante movimento rigido (rotazione, traslazione, roto-traslazione)rigido (rotazione, traslazione, roto-traslazione)

2)2) Equicomposte Equicomposte o equiscomponibilio equiscomponibili

3)3) Ottenute per sottrazione di figure uguali da figure Ottenute per sottrazione di figure uguali da figure uguali in partenzauguali in partenza

Due poligoni equivalenti hanno la stessa Due poligoni equivalenti hanno la stessa estensioneestensione

AREA = misura dell’estensione di una AREA = misura dell’estensione di una superficie (parte di piano)superficie (parte di piano)

Quindi: Quindi: Due figure EQUIVALENTI Due figure EQUIVALENTI

hanno la stessa AREAhanno la stessa AREA

Come misurare un’area?Come misurare un’area? Misurare Misurare confronto confronto Come unità di misura conviene scegliere una Come unità di misura conviene scegliere una

piccola area quindi una piccola area quindi una piccola figurapiccola figura Proviamo ad effettuare un Proviamo ad effettuare un RICOPRIMENTORICOPRIMENTO

della figura da misurare della figura da misurare Per avvicinarsi il più possibile alla misura Per avvicinarsi il più possibile alla misura

“reale”, le unità di misura che affianchiamo non “reale”, le unità di misura che affianchiamo non devono soprapporsi, non devono creare buchi, devono soprapporsi, non devono creare buchi, non devono lasciare avanzi.non devono lasciare avanzi.

RicoprimentiRicoprimenti Ricopriamo un rettangolo con CERCHIRicopriamo un rettangolo con CERCHI

Ricopriamo un rettangolo con PENTAGONIRicopriamo un rettangolo con PENTAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONIRicopriamo un rettangolo con ESAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI e ROMBIRicopriamo un rettangolo con ESAGONI e ROMBI

Ricopriamo un rettangolo con ROMBIRicopriamo un rettangolo con ROMBI

Ricopriamo un rettangolo con RETTANGOLIRicopriamo un rettangolo con RETTANGOLI

Ricopriamo un rettangolo con QUADRATIRicopriamo un rettangolo con QUADRATI

Perché l’area si ottiene Perché l’area si ottiene da un prodotto di lunghezze?da un prodotto di lunghezze?

L’area come L’area come prodotto di lunghezzeprodotto di lunghezze deriva dal fatto deriva dal fatto che consideriamo come unità di misura un che consideriamo come unità di misura un poligonopoligono che si possa affiancare in modo tale da non lasciare che si possa affiancare in modo tale da non lasciare buchi e che abbia i lati sottomultipli dei lati della buchi e che abbia i lati sottomultipli dei lati della figura da misurare.figura da misurare.

Affinché l’unità di misura sia la stessa sia per la Affinché l’unità di misura sia la stessa sia per la lunghezza sia per la larghezza, conviene scegliere lunghezza sia per la larghezza, conviene scegliere come unità di misura un come unità di misura un QUADRATOQUADRATO di lato unitario. di lato unitario.

Area di poligoniArea di poligoni

RettangoloRettangolo

hbA N.BN.B. Tracciando una diagonale del rettangolo, si . Tracciando una diagonale del rettangolo, si ottengono due triangoli rettangoli congruenti. Quindi ottengono due triangoli rettangoli congruenti. Quindi per il per il triangolotriangolo rettangolo vale rettangolo vale

2

hbA

ParallelogrammoParallelogrammo Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo

avente la stessa base e la stessa altezza avente la stessa base e la stessa altezza

hbA

TriangoloTriangolo Ogni diagonale del parallelogrammo lo divide in Ogni diagonale del parallelogrammo lo divide in

due triangoli congruenti (acutangoli o ottusangoli) due triangoli congruenti (acutangoli o ottusangoli) quindi per ogni triangolo quindi per ogni triangolo

2

hbA

QuadratoQuadrato

2lA

llA l l

l l

RomboRombo

d1

d2

221 dd

A

Un rombo è equivalente Un rombo è equivalente alla metà di un alla metà di un rettangolo che ha per lati rettangolo che ha per lati le diagonali del rombole diagonali del rombo

Osservazione: Osservazione: Questo vale per qualsiasi Questo vale per qualsiasi quadrilatero avente le quadrilatero avente le diagonali perpendicolaridiagonali perpendicolari

Considerando il Considerando il quadrato come romboquadrato come rombo

d

d

2

ddA

Le due diagonali sono Le due diagonali sono congruenti, quindicongruenti, quindi

2

2dA

TrapezioTrapezio Un trapezio è equivalente alla metà di un Un trapezio è equivalente alla metà di un

parallelogrammo di uguale altezza ed avente per parallelogrammo di uguale altezza ed avente per base la somma delle basi del trapezio stesso. base la somma delle basi del trapezio stesso.

b1

b2 b1

b2

h

221 hbb

A