View
225
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
MODEL GELOMBANG SOLITER YANG DIHASILKAN OLEH ALIRAN
YANG MELALUI SEBUAH GUNDUKAN
SKRIPSI
Oleh:
FARIDA MASLUCHAH
NIM. 10610016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2014
MODEL GELOMBANG SOLITER YANG DIHASILKAN OLEH ALIRAN
YANG MELALUI SEBUAH GUNDUKAN
SKRIPSI
Diajukan kepada:
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Oleh:
FARIDA MASLUCHAH
NIM. 10610016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2014
MODEL GELOMBANG SOLITER YANG DIHASILKAN OLEH ALIRAN
YANG MELALUI SEBUAH GUNDUKAN
SKRIPSI
Oleh:
FARIDA MASLUCHAH
NIM. 10610016
Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji:
Tanggal: 02 April 2014
Pembimbing I
Mohammad Jamhuri, M.Si
NIP. 19810502 200501 1 004
Pembimbing II,
Dr. Abdussakir, M.Pd
NIP. 19751006 200312 1 001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Dr. Abdussakir, M.Pd
NIP. 19751006 200312 1 001
MODEL GELOMBANG SOLITER YANG DIHASILKAN OLEH ALIRAN
YANG MELALUI SEBUAH GUNDUKAN
SKRIPSI
Oleh:
FARIDA MASLUCHAH
NIM. 10610016
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan
Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan
untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Tanggal: 10 April 2014
Penguji Utama : Dr. Usman Pagalay M.Si
NIP. 19650414 200312 1 001 ________________
Ketua Penguji : H. Wahyu Henky Irawan, M.Pd
NIP. 19710420 200003 1 003 ________________
Sekretaris Penguji : Mohammad Jamhuri, M.Si
NIP. 19810502 200501 1 004 ________________
Anggota Penguji : Dr. Abdussakir, M.Pd
NIP. 19751006 200312 1 001
________________
Mengesahkan,
Ketua Jurusan Matematika
Dr. Abdussakir, M.Pd
NIP. 19751006 200312 1 001
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : FARIDA MASLUCHAH
NIM : 10610016
Jurusan : Matematika
Fakultas : Sains dan Teknologi
Judul : Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran yang
Melalui Sebuah Gundukan
menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar
merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan
atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya
sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka.
Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan,
maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.
Malang, 02 April 2014
Yang membuat pernyataan,
Farida Masluchah
NIM. 10610016
MOTTO
“Allah menghendaki kemudahan bagimu, dan tidak
menghendaki kesukaran bagimu”
HALAMAN PERSEMBAHAN
Dalam iringan doa dan rasa syukur yang teramat besar, sehingga penulis persembahkan karya tulis ini kepada:
Bapak tercinta (Mustajab), Ibu tercinta (Mutmainah) dan Kakak tercinta (Amir Farhan) yang tidak pernah berhenti
mencurahkan do’a dengan penuh ketulusan hati dan kesabaran jiwa demi keberhasilan penulis. Semoga engkau
selalu mendapat perlindungan Allah SWT .
Untuk orang terdekat penulis (Moh. Zainuddin Malik) yang selalu memberikan semangat, doa serta motivasi dalam
menyelesaikan skripsi ini.
viii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr.Wb
Alhamdulillah puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat, taufiq, hidayah serta inayahnya penulis dapat menyelesaikan studi di
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus menyelesaikan skripsi sebagai tugas
akhir dengan judul “Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran yang
Melalui Sebuah Gundukan” .
Keberhasilan penulisan skripsi ini tidak lepas dari bimbingan dan
pengarahan dari semua pihak, baik berupa motivasi, pikiran, tenaga maupun doa.
Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku Rektor Universitas Islam Negeri
Maulana Malik Ibrahim Malang.
2. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
4. Mohammad Jamhuri, M.Si dan Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku Dosen
Pembimbing skripsi yang tulus ikhlas serta penuh kesabaran dalam
membimbing dan mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini.
5. Evawati Alisah M.Pd, selaku Dosen Wali yang selalu memberikan motivasi
dan bimbingan mulai semester satu hingga semester akhir.
ix
6. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, terutama seluruh dosen,
terima kasih atas segenap ilmu dan bimbingannya.
7. Bapak Mustajab, Ibu Mutmainah dan Kakak Amir Farhan yang tidak pernah
lelah memberikan do’a, kasih sayang serta semangat dan motivasi kepada
penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
8. Sahabat-sahabat penulis (Chusnul Fathonah, Syifa’ul Amamah, Ayu Dewi
Purwandini, Afidah Karimatul L., Siska Dwi O., Khafidho , Khuriatul Hawin,
Binti tsamrotul, Fatma Mufidah, Rianti Mandasari, Masruroh, Nur Laili
Arofah) dan mahasiswa Jurusan Matematika 2010 khususnya Matematika A
yang selalu memotivasi penulis, terima kasih atas semua pengalaman berharga
dan kenangan terindah saat menuntut ilmu bersama.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, terima kasih atas do’a
dan dukungan dalam kelancaran skripsi ini.
Maka dengan iringan do’a semoga Allah SWT akan membalas semua
amalan mereka dengan pahala yang berlipat ganda, di dunia dan akhirat. Semoga
skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan bagi para pembaca
pada umumnya, Amin ya Robbal ‘alamiin...
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Malang, April 2014
Penulis
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
HALAMAN PENGAJUAN
HALAMAN PERSETUJUAN
HALAMAN PENGESAHAN
HALAMAN PERNYATAAN
HALAMAN MOTTO
HALAMAN PERSEMBAHAN
KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii
DAFTAR ISI ..................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii
ABSTRAK ........................................................................................................ xiii
ABSTRACT ...................................................................................................... xiv
xv ................................................................................................................... ملخص
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................................... 3
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................ 4
1.4 Asumsi Dasar ................................................................................... 4
1.5 Manfaat Penelitian .......................................................................... 4
1.6 Metode Penelitian ........................................................................... 4
1.7 Sistematika Penulisan ..................................................................... 5
BAB II KAJIAN PUSTAKA
2.1 Persamaan-persamaan Dasar .......................................................... 7
2.1.1 Persamaan Kontinuitas ......................................................... 8
2.1.2 Persamaan Momentum ......................................................... 12
2.1.3 Persamaan Bernoulli ............................................................. 18
2.1.3.1 Koordinat Cartesius ................................................. 19
2.1.4 Persamaan Laplace ............................................................... 22
2.2 Kajian Keagamaan ........................................................................ 23
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Penurunan Persamaan forced KdV ................................................ 27
3.1.1 Kondisi-kondisi Batas pada Fluida ..................................... 27
3.1.1.1 Kondisi Batas pada Permukaan Fluida ................... 27
3.1.1.2 Kondisi Batas pada Dasar Fluida ............................ 29
3.1.2 Penskalaan Variabel ........................................................... 31
3.1.3 Aproksimasi Variabel-variabel yang Digunakan ............... 41
3.1.4 Peninjauan pada Tiap-tiap Orde dari Deret Asimtotik ....... 48
3.1.5 Penyederhanaan Solusi dari Deret Asimtotik ..................... 50
xi
3.2 Solusi Gelombang Soliter .............................................................. 55
3.2.1 Solusi Homogen ................................................................. 56
3.2.2 Solusi Non Homogen .......................................................... 66
3.3 Kajian Keagamaan ......................................................................... 72
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan ................................................................................... 74
4.2 Saran ............................................................................................. 75
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 76
LAMPIRAN
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Bentuk Saluran Fluida dalam Dua Dimensi ................................... 7
Gambar 2.2 Ilustrasi Keseimbangan Massa ....................................................... 9
Gambar 3.1 Persamaan (3.100) untuk .................................................... 62
Gambar 3.2 Persamaan (3.100) untuk .................................................... 62
Gambar 3.3 Persamaan (3.100) untuk ................................................. 63
Gambar 3.4 Solusi Persamaan (3.90) untuk ........................................... 63
Gambar 3.5 Solusi Persamaan (3.90) untuk ........................................... 64
Gambar 3.6 Solusi Persamaan (3.90) untuk ........................................ 65
Gambar 3.7 Solusi Persamaan (3.89) untuk ........................................... 69
Gambar 3.8 Solusi Persamaan (3.89) untuk ........................................ 70
Gambar 3.9 Solusi Persamaan (3.89) untuk ..................................... 71
xiii
ABSTRAK
Masluchah, Farida. 2014. Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran yang
Melalui Sebuah Gundukan. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains
dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
Pembimbing: (I) Mohammad Jamhuri, M.Si
(II) Dr. Abdussakir, M.Pd
Kata Kunci: Gelombang Soliter, Persamaan forced KdV, Metode Koefisien Tak Tentu
Penelitian ini membahas penurunan model gelombang permukaan yang
dihasilkan oleh aliran yang melalui suatu gundukan, yang dilakukan dengan
mengasumsikan aliran fluida berada pada saluran dua dimensi yang mempunyai
kecepatan seragam dan dasar tidak rata, sehingga kecepatan aliran tersebut berubah dan
menimbulkan gelombang pada permukaan fluida. Adapun langkah-langkah penurunan
model gelombang permukaan tersebut sebagai berikut: menurunkan persamaan-
persamaan dasar fluida, penskalaan, aproksimasi dengan deret asimtotik, peninjauan tiap-
tiap orde, menyederhanakan solusi ke dalam model matematika dan interpretasi dari
model tersebut.
Model gelombang yang dihasilkan berupa persamaan ketinggian permukaan,
persamaan ketinggian tersebut berupa persamaan differensial parsial nonlinier yang
dikategorikan ke dalam bentuk persamaan forced KdV, dengan bentuk forced-nya
merupakan representasi dari gundukan. Kemudian persamaan tersebut diselesaikan
menggunakan metode beda hingga skema eksplisit dan disimulasikan. Simulasi tersebut
menunjukkan bahwa, dengan kecepatan aliran dan besar kecilnya gundukan yang berbeda
menghasilkan ketinggian gelombang yang berbeda-beda. Untuk peneliti selanjutnya dapat
melakukan aproksimasi deret asimtotik sampai orde kelima.
xiv
ABSTRACT
Masluchah, Farida. 2014. The Solitary Wave Models Generated by Flow Passing a
Bump. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and
Tecnology, State Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang.
Advisor: (I) Mohammad Jamhuri, M.Si
(II) Dr. Abdussakir, M.Pd
Keywords: Solitery wave, forced Korteweg de Vries (fKdV) equation, Method of
indeterminate coefficients
This study discusses about derivation of surface wave models generated by flow
passing a bump. In the derivation, we assume a fluid flow is at two dimensional channel
having a uniform speed and flat bottom, so that the flow velocity changed and generated
waves on the fluid surface. The steps of a derivation surface wave models can be
generated as follows: derive a governing equation of fluid, scale the variabels, approximat
the system of equation using asymptotic series function, review the order of
approximation, simplify the solution of the mathematical model and interprete the model.
The obtained wave equation is an equation of surface height, the equation of
height is in the form of nonlinear partial differential equations which are categorized into
forced KdV equation, with the forcing term representing the bump. Then, the forced KdV
equation is solved with explicit finite difference schemes and simulation. The simulation
shows that, varied flow velocity and the size of bump generated different wave height.
For further research one can perform an asymptotic series approximation to the fifth
order.
xv
ملخص
كلية ، قسم الرياضيات .أطروحة.نماذج موجة االنفرادي منشأ بواسطة التدفق من خالل التلة.٤١٠٢ .فريدة،مصلحة
.العلوم والتكنولوجيا، جامعة والية اإلسالمية موالنا مالك إبراهيم ماالنج ، املاجستريحممد مجهوري .٠:مستشار
، املاجستريكريشعبد ال. د. ٤
املعادلة، معامل الطريقة غري متأكد( KdV)موجة االنفرادي، أجربت كدف:البحثكلمات ن تدفق خالل التلة، واليت تتم عن طريق افرتاض تدفق السائل يف قناة يعصلميناقش االخنفاض يف مناذج املوجات السطحية البعثهذه
خطوات اخنفاضا يف . ثنائية األبعاد وجود سرعة موحدة وقاعدة ليست مسطحة، حبيث تغري سرعة تدفق وموجات السبب على سطح السائل، رتبة، واستعراض كل ةقارباملالسلسلة بالتحجيم، وتقريب خفض املعادالت األساسية من السوائل، و : منوذج املوجات السطحية على النحو التايل
.وتبسيط حل النموذج الرياضي وتفسري النموذجشكل املعادالت التفاضلية اجلزئية غري . معادلة االرتفاع. منوذج معادلة املوجةاليت يتم إنشاؤها يف شكل املعادلة ارتفاع السطح
مث يتم حل املعادلة باستخدام طريقة الفروق احملددة . سري، مما اضطر أشكاله هو متثيل من التلالق KdVاليت تصنيفهايف شكل املعادلة اخلطيةللباحث القادم، ميكن أن . احملاكاةيبني أنه مع سرعة املوجة وحجم املطبات من ارتفاعات خمتلفة تنتج موجة خمتلفة.مع خطة واضحة ومث حماكاة
.تؤدي سلسلة تقريب مقارب للرتتيب اخلامس
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang mendasari berbagai
macam ilmu yang lain dan selalu menghadapi berbagai macam fenomena yang
semakin kompleks sehingga penting untuk dipelajari. Matematika merupakan alat
untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah. Dalam bahasa
matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,
dipahami, dianalisis, dan dipecahkan. Untuk keperluan tersebut, pertama dicari
pokok masalahnya, kemudian dibuat rumusan atau model matematikanya
(Purwanto, 1998).
Secara umum pengertian model merupakan usaha menciptakan suatu
replika dari suatu fenomena alam. Kesesuaian model terhadap fenomena alam
tergantung dari ketepatan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan
fenomena alam tersebut.
Abdussakir (2007) menyatakan bahwa alam semesta memuat bentuk-
bentuk dan konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum
matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan oleh Allah
dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan
yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi.
Allah SWT berfirman dalam Al-Qur’an surat Al-Qomar ayat 49:
2
Artinya: “Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.”
Ayat ini menjelaskan bahwa semua yang ada di alam ini, ada ukurannya, ada
hitungannya, ada rumusnya atau ada persamaannya. Sebagaimana dalam skripsi
ini bahwa fenomena alam yang terkait dengan gelombang permukaan yang
dihasilkan oleh aliran yang melalui suatu gundukan akan menghasilkan model
matematika dalam bentuk persamaan forced KdV (Korteweg-de Vries).
Berbagai fenomena alam banyak yang terkait dengan gelombang, di
antaranya adalah bunyi, cahaya, pergerakan air laut, aliran air sungai, riak pada air
kolam, dan contoh-contoh lain yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari.
Jika sekumpulan air dikenakan gaya, maka akan timbul gelombang yang disebut
sebagai gelombang permukaan. Gelombang permukaan adalah fenomena yang
dapat ditemui ketika mengamati permukaan air laut dan biasa disebut sebagai
ombak.
Jika suatu fluida yang memiliki kecepatan seragam mengalir pada sebuah
saluran dengan dasar yang tidak rata, kemudian mengalami gangguan berupa
gundukan pada dasar saluran, maka kecepatan aliran fluida tersebut akan berubah
dan menimbulkan gelombang pada permukaan fluida. Wiryanto (2010)
memodelkan gelombang permukaan yang muncul akibat gangguan yang terjadi
pada dasar saluran. Model yang dihasilkan adalah persamaan Bousinessq dengan
dasar saluran tak rata sebagai pembangkit gelombangnya. Solusi dari persamaan
tersebut berupa gelombang soliter yang berjalan dalam dua arah. Gelombang
soliter adalah gelombang yang memiliki satu puncak, dimana dalam
3
perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Persamaan gerak
yang dapat menggambarkan gerak gelombang soliter adalah persamaan Korteweg-
de Vries (KdV) (Hakim, 2009).
Dalam penelitian ini diturunkan model gelombang permukaan untuk
masalah yang sama dengan yang dikerjakan oleh Wiryanto (2010). Perbedaannya
gelombang permukaan yang diobservasi kemudian diturunkan ke dalam bentuk
persamaan KdV, yang diketahui sebagai bentuk dari perjalanan gelombang soliter
yang berjalan satu arah. Dalam penurunan model, penulis menyelesaikan
persamaan Laplace beserta kondisi-kondisi batasnya ke dalam bentuk persamaan
ketinggian permukaan pada fluida. Kemudian persamaan ketinggian tersebut
disederhanakan ke dalam persamaan forced KdV, dengan bentuk forced-nya
merupakan representasi dari gangguan yang berada pada dasar saluran.
Selanjutnya digunakan prosedur numerik dengan menggunakan metode beda
hingga untuk menentukan solusi dari persamaan forced KdV tersebut.
Berdasarkan latar belakang di atas maka penulis tertarik untuk melakukan
penelitian dan menyajikannya dalam judul “Model Gelombang Soliter yang
Dihasilkan oleh Aliran yang Melalui Sebuah Gundukan”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam
penelitian ini adalah bagaimanakah model gelombang soliter yang dihasilkan oleh
aliran yang melalui sebuah gundukan?
4
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini adalah menurunkan model gelombang soliter
yang dihasilkan oleh aliran yang melalui sebuah gundukan.
1.4 Asumsi dasar
Berikut beberapa asumsi dasar yang digunakan dalam membuat batasan
masalah:
1. Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.
2. Fluida diasumsikan ideal, yaitu tak termampatkan atau tidak bergantung pada
tekanan, tak kental dan mempunyai kerapatan konstan.
3. Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi atau tidak berputar terhadap sumbu
aliran.
4. Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan atau tidak
berubah terhadap waktu.
5. Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai model morfologi
pantai yang mempunyai dasar tidak rata atau alirannya mengalami gangguan.
1.6 Metode Penelitian
Teknik kajian yang digunakan dalam pembahasanan skripsi ini adalah
penelitian kepustakaan (Library Research). Penelitian kepustakaan merupakan
penampilan argumentasi penalaran keilmuan yang memaparkan hasil kepustakaan
5
berisi satu topik yang di dalamnya memuat beberapa gagasan yang berkaitan dan
harus didukung oleh data yang diperoleh dari berbagai sumber kepustakaan.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:
1. Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum-hukum kesetimbangan
yang terjadi pada aliran fluida.
2. Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk mengecilkan variabel , , dan
kecepatan.
3. Melakukan aproksimasi atau taksiran terhadap variabel-variabel yang
digunakan.
4. Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap orde dari
deret, mulai dari orde yang paling rendah sampai orde yang dikehendaki.
5. Menyederhanakan solusi dari deret asimtotik ke dalam sebuah model
matematika.
6. Memberikan interpretasi dari model yang dihasilkan.
1.7 Sistematika Penulisan
Secara umum penulisan penelitian ini terdiri dari empat bab. Masing-
masing bab dibagi ke dalam beberapa subbab dengan rumusan sebagai berikut:
Bab I Pendahuluan
Dalam bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, rumusan
masalah, tujuan masalah, asumsi dasar, manfaat penelitian, metode
penelitian, dan sistematika penulisan.
6
Bab II Kajian Pustaka
Dalam bab ini terdiri atas persamaan-persamaan dasar fluida yang
mendasari penulisan penelitian ini. Adapun persamaan-persamaan
dasar fluida yang termuat di dalamnya adalah persamaan
kontinuitas, persamaan momentum, persamaan Bernoulli, dan
persamaan Laplace.
Bab III Pembahasan
Dalam bab ini berisi tentang bagaimana model gelombang soliter
yang dihasilkan oleh aliran yang melalui sebuah gundukan dengan
melakukan penskalaan, melakukan aproksimasi atau taksiran
terhadap variabel-variabel yang digunakan, menyelesaikan sistem
dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap orde dari deret, mulai
dari orde yang paling rendah sampai orde yang dikehendaki,
menyederhanakan solusi dari deret asimtotik ke dalam sebuah
model matematika, interpretasi dari model tersebut.
Bab IV Penutup
Dalam bab ini berisi tentang kesimpulan dari materi yang telah
dibahas pada bab sebelumnya dan berisi saran untuk
pengembangan selanjutnya.
7
7
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Persamaan-persamaan Dasar
Penelitian ini berkaitan dengan gelombang permukaan yang disebabkan
oleh aliran fluida yang mengalami gangguan berupa gundukan pada dasar saluran,
bentuk dari aliran tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Bentuk Saluran Fluida dalam Dua Dimensi
Untuk melihat bagaimana perilaku dari gelombang tersebut, dapat diturunkan
model matematika yang merupakan representasi dari ketinggian gelombang pada
permukaan tersebut. Dalam penurunan model digunakan persamaan-persamaan
dasar yang berasal dari hukum-hukum kekekalan yang terjadi pada aliran fluida.
H
8
2.1.1 Persamaan Kontinuitas
Persamaan kontinuitas mengungkapkan bahwa massa fluida bersifat kekal
yakni tidak dapat diciptakan ataupun dimusnahkan. Kekekalan massa fluida
mempersyaratkan bahwa dalam suatu volume zat massa selalu konstan, karena itu
laju perubahan massanya sama dengan nol. Berbagai bentuk persamaan
kontinuitas untuk suatu volume kontrol diturunkan dengan menyatakan secara
matematik, bahwa laju massa rata-rata ke dalam suatu daerah tertentu sama
dengan laju perubahan massa di daerah tersebut (Olson, 1993).
Volume kontrol adalah suatu daerah sembarang dalam ruang yang dipilih
semata-mata untuk memudahkan pemecahan masalah-masalah aliran fluida,
sedangkan permukaan kontrol adalah permukaan-permukaan yang membatasi
volume kontrol (Olson, 1993).
Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa massa di dalam suatu sistem
adalah tetap konstan terhadap waktu. Dalam bentuk persamaan
dimana ialah massa total (Streeter, 1986).
Douglas (2001), menyatakan massa jenis dinotasikan yang didefinisikan
sebagai massa per satuan volume, yaitu
sehingga
=
=
(2.1)
9
dimana adalah massa jenis dan adalah volume .
Perubahan massa terhadap waktu dinyatakan dalam bentuk
(2.2)
Pada elemen volume, perubahan massa rata-rata merupakan selisih antara
massa yang masuk dan keluar, sebagaimana yang ditunjukkan dalam Gambar 2.2
Gambar 2.2 Ilustrasi Keseimbangan Massa
Berdasarkan Gambar 2.2, banyaknya massa yang masuk pada elemen
volume per satuan waktu (melintasi bidang ) adalah
.
Banyaknya massa yang keluar melewati bidang yaitu
,
sehingga perubahan massa antara massa yang masuk dengan massa yang keluar
dalam arah adalah
.
10
Sebagai catatan menyatakan komponen kecepatan dalam arah . Begitu juga,
banyaknya massa yang masuk dalam arah dan arah adalah
dan banyaknya massa yang keluar melewati bidang dan melewati bidang
yaitu
.
Perubahan massa antara massa yang masuk dengan massa yang keluar dalam arah
dan arah adalah
Sebagai catatan menyatakan komponen kecepatan dalam arah dan
menyatakan komponen kecepatan dalam arah .
Oleh karena itu, perubahan massa persatuan waktu sama dengan
perubahan massa dalam arah plus perubahan massa dalam arah plus
perubahan massa dalam arah
(2.3)
Bagi persamaan (2.3) dengan besaran yaitu volume daerah yang diamati
sehingga menjadi
11
(2.4)
Kemudian didekati dengan diperoleh
Sehingga persamaan (2.4) perubahan massa persatuan waktu menjadi
(2.5)
Fluida dengan kerapatan massa relatif konstan artinya tidak berubah-
ubah maka
, sehingga persamaan (2.5) menjadi
(2.6)
Persamaan (2.6) ini disebut sebagai persamaan kontinuitas. Dalam bentuk
vektornya dapat dituliskan
dimana
Operator gradien menyatakan differensiasi terhadap berbagai komponen arah,
sedangkan menyatakan vektor kecepatan dalam tiga dimensi.
12
Aliran yang kerapatan massanya dalam persamaan kontinuitas dianggap
konstan disebut aliran tak dapat mampat, aliran dianggap tak dapat mampat bila
perubahan kerapatan fluida dapat diabaikan. Sebetulnya semua fluida dapat
dimampatkan walaupun sangat sedikit, tetapi pada umumnya yang dianggap tidak
dapat mampat adalah fluida yang kerapatannya tidak tergantung pada tekanan
(Olson, 1993).
2.1.2 Persamaan Momentum
Dalam mekanika fluida, hukum Newton dinamakan kekekalan momentum
linier atau asas momentum. Hukum kedua Newton menyatakan bahwa gaya yang
bekerja pada suatu massa tertentu sebanding dengan laju perubahan momentum
linier massa tersebut terhadap waktu (Olson, 1993).
Douglas (2001) menyatakan bahwa momentum linier (atau “momentum”
untuk singkatnya dari sebuah benda didefinisikan sebagai hasil kali massa dan
kecepatannya. Momentum jamaknya adalah “momenta”) biasanya dinyatakan
dengan simbol . Karena kecepatan merupakan vektor maka momentum
dinyatakan dalam bentuk vektor. Arah momentum adalah arah kecepatan, dan
besar momentum adalah
(2.7)
Berdasarkan hukum kedua newton bahwa gaya total adalah perkalian massa
dengan percepatan, maka hukum kedua newton dapat dinotasikan sebagai
Dengan menggunakan definisi percepatan sebagai turunan dari kecepatan
terhadap waktu, persamaan tersebut dapat dinotasikan
13
Apabila diintegralkan kedua ruas terhadap diperoleh
(2.8)
ruas kanan dari persamaan (2.8) merupakan definisi dari momentum yang
ditunjukkan pada persamaan (2.7).
Dari persamaan (2.8), jika diturunkan terhadap t didapatkan
(2.9)
yang berarti bahwa gaya total adalah rata-rata perubahan momentum persatuan
waktu, karena = diperoleh hubungan sebagai berikut
(2.10)
Dalam tiga dimensi persamaan (2.10) dapat ditulis dalam bentuk
sehingga untuk rata-rata perubahan momentum persatuan waktu dapat dinotasikan
Olson (1993) menyatakan bahwa teorema momentum untuk mekanika
fluida, yaitu gaya netto yang bekerja pada fluida sama dengan laju perubahan
momentum fluida terhadap waktu plus laju gaya fluks atau pemindahan
momentum ke luar dari volume kontrol melalui permukaannya.
Teorema momentum dapat diterapkan pada aliran-aliran baik yang steady
maupun yang tidak steady, berdimensi satu, dua, atau tiga, dapat mampat atau
14
tidak dapat mampat. Aliran disebut steady bila kondisi-kondisi dalam aliran tidak
berubah terhadap waktu, aliran yang tidak demikian tentu saja disebut aliran
unsteady atau tidak steady. Aliran air yang konstan di dalam sebuah pipa bersifat
steady, akan tetapi pada saat katup alirannya sedang dibuka, aliran itu tidak steady
(Olson, 1993).
Berdasarkan teorema momentum maka keseimbangan momentum pada
elemen volume dapat dinyatakan dengan
perubahan momentum = rata-rata momentum masuk – rata-rata momentum keluar
+ jumlah gaya-gaya. Gaya yang digunakan dalam pembahasan ini adalah gaya
gravitasi dan gaya tekanan.
Chorlton (1967) menyatakan bahwa gaya gravitasi pada massa diferensial
di dalam volume kendali ialah
di sini secara umum boleh mempunyai orientasi sebarang terhadap sistem
koordinat yang dipakai.
Gaya tekanan fluida didefinisikan sebagai gaya tekan yang diterima
persatuan luas fluida dan dinotasikan sebagai berikut
Dengan cara yang sama dalam menghasilkan persamaan kontinuitas maka
dengan Gambar 2.2 juga dapat menghasilkan persamaan momentum, yaitu
perubahan momentum untuk arah , momentum yang masuk bidang adalah
massa yang melintasi bidang dan kecepatan yang melintasi bidang . Fluida
15
dengan rapat massa dan bergerak dengan kecepatan melintasi bidang maka
dalam selang satuan waktu terdapat sebanyak
Sehingga momentum yang melintasi bidang adalah
sedangkan momentum yang keluar bidang adalah massa yang melintasi bidang
dan kecepatan yang melintasinya adalah
Maka resultan dari gaya-gaya tersebut dalam arah yaitu
menyatakan tekanan pada bidang , sedangkan menyatakan percepatan
akibat gravitasi dalam arah .
Perubahan momentum untuk arah , momentum yang masuk bidang adalah
massa yang melintasi bidang dan kecepatan yang melintasinya. Massa yang
melintasi bidang dengan kecepatan yang melintasi bidang adalah
Sehingga momentum yang melintasi bidang sebesar
sedangkan momentum yang keluar bidang adalah massa yang melintasi bidang
dan kecepatan yang melintasinya adalah
Maka resultan dari gaya-gaya tersebut dalam arah yaitu
16
menyatakan tekanan pada bidang , sedangkan menyatakan percepatan
akibat gravitasi dalam arah .
Perubahan momentum untuk arah , momentum yang masuk bidang adalah
massa yang melintasi bidang dan kecepatan yang melintasinya. Massa yang
melintasi bidang dengan kecepatan yang melintasi bidang adalah
Sehingga momentum yang melintasi bidang sebesar
sedangkan momentum yang keluar bidang adalah massa yang melintasi bidang
dan kecepatan yang melintasinya adalah
Maka resultan dari gaya-gaya tersebut dalam arah yaitu
menyatakan tekanan pada bidang , sedangkan menyatakan percepatan
akibat gravitasi dalam arah .
Berdasarkan keseimbangan momentum maka perubahan momentum untuk
arah dalam elemen volume
sama dengan momentum yang masuk
dikurangi momentum yang keluar plus jumlah gaya-gaya, yaitu
17
(2.11)
Kemudian bagi persamaan (2.11) dengan besaran yaitu volume daerah
yang diamati sehingga menjadi
Kemudian didekati dengan maka
Sehingga perubahan momentum dalam arah diperoleh
(2.12)
18
Dengan cara yang sama, perubahan momentum dalam arah dan adalah
(2.13)
(2.14)
Persamaan (2.12)-(2.14) disebut sebagai persamaan momentum. Bentuk vektor
persamaan (2.12)-(2.14) dapat dituliskan:
(2.15)
Kemudian kedua ruas persamaan (2.15) dibagi dengan didapatkan
(2.16)
dimana:
Operator gradien menyatakan differensiasi terhadap berbagai komponen arah,
sedangkan menyatakan vektor kecepatan dalam tiga dimensi dan merupakan
percepatan akibat gravitasi.
2.1.3 Persamaan Bernoulli
Integrasi persamaan-persamaan Euler untuk aliran nonrotasi yang tidak
dapat mampat menghasilkan persamaan Bernoulli. Persamaan ini menghubungkan
kecepatan, tekanan, dan perubahan ketinggian dalam fluida yang tidak viskous.
Persamaan Bernoulli sering digunakan untuk aliran berdimensi satu yang efek-
19
efek viskous dapat diabaikan. Persamaan Euler boleh juga diintegrasi untuk aliran
rotasi yang tidak dapat mampat, sebagaimana halnya untuk aliran yang dapat
mampat (Olson, 1993).
Persamaan–persamaan untuk fluida-fluida tidak viskous akan
dikembangkan baik dalam sistem koordinat natural (streamline atau garis arus)
maupun dalam sistem koordinat Cartesius. Apabila diintegrasi, persamaan-
persamaan tersebut akan menjadi persamaan-persamaan Bernoulli baik untuk
aliran tak dapat mampat maupun aliran dapat mampat. Streamline atau garis arus
adalah garis yang setiap saat menjadi tempat singgungan vektor-vektor kecepatan
(Olson, 1993).
Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah elemen fluida secara umum ada dua
macam: body forces dan gaya-gaya permukaan (surface forces). Body forces
adalah gaya-gaya yang bekerja pada volume atau massa elemen fluida. Gaya-gaya
ini meliputi gaya gravitasi dan gaya pada fluida penghantar dalam sebuah medan
magnet. Untuk fluida-fluida tidak viskous, gaya-gaya permukaan pada sebuah
elemen fluida tidak viskous yang terdapat di dalam fluida adalah gaya-gaya
normal yang disebabkan oleh tekanan (Olson, 1993).
2.1.3.1 Koordinat Cartesius
Misalkan X, Y, dan Z adalah body forces per satuan massa dalam arah-arah
, , dan sedemikian rupa sehingga resultanya adalah , dan
misalkan vektor kecepatan adalah (Olson, 1993).
20
Olson (1993) menyatakan gaya-gaya permukaan pada sebuah elemen
dengan sisi-sisi , , dan serta massa hanya ditimbulkan oleh
tekanan, sehingga resultan gaya itu dalam arah x adalah
Ini sama dengan hasil kali antara massa dan percepatan dalam arah x, bila
percepatan adalah
Karena jumlah komponen-komponen gaya dari luar persatuan volume sama
dengan komponen percepatan
(2.17)
Demikian pula untuk arah-arah dan
(2.18)
dan
(2.19)
Untuk persamaan (2.17)-(2.19) bentuk vektornya dapat dituliskan sebagai berikut
(2.20)
dengan
21
Operator gradien menyatakan differensiasi terhadap berbagai komponen arah,
sedangkan menyatakan vektor kecepatan sebagai medan vektor
konservatif, yaitu adanya fungsi skalar .
Chorlton (1967) menyatakan perkalian vektor
, maka hasil kali vektor untuk adalah
(2.21)
Untuk aliran yang seragam dan fluida tak berotasi maka
persamaan (2.21) diperoleh
Dengan
, persamaan (2.20) menjadi
(2.22)
Dengan mengintegralkan persamaan (2.22) terhadap variabel , , dan diperoleh
dengan
, sehingga menjadi
22
(2.23)
Persamaan (2.23) merupakan persamaan Bernoulli dan merupakan fungsi
sebarang dari akibat integrasi yang dilakukan terhadap , , dan .
2.1.4 Persamaan Laplace
Aliran potensial adalah aliran nonrotasi yang komponen-komponen
kecepatannya boleh diturunkan dari fungsi-fungsi potensial kecepatan. Kondisi ini
berlaku untuk fluida tak dapat mampat dan karena aliran fluida tersebut nonrotasi,
persamaan Bernoulli berlaku untuk medan aliranya secara keseluruhan. Variasi-
variasi kecepatan dan tekanan untuk sebuah medan aliran dapat diketahui dari
pola arus dan dari penerapan Bernoulli (Olson, 1993).
Olson (1993) menyatakan aliran rotasi atau nonrotasi tergantung apakah
partikel-partikel dalam fluida berputar terhadap sumbu aliran. Untuk aliran
nonrotasi terdapat sebuah fungsi yang disebut potensial kecepatan. Fungsi ini
sedemikian rupa sehingga komponen-komponen kecepatan dan dapat
diperoleh dari
Dengan penggunaan tanda negatif pada fungsi di atas menunjukkan
bahwa aliran bergerak ke arah berkurangnya potensial. Kalau fungsi potensial ini
digabungkan dengan definisi untuk (curl V) maka didapatkan
23
Vortisitas didefinisikan sebagai curl V, yang besarnya sama dengan
kecepatan sudut atau rotasi. Pada umumnya, besaran vektor vortisitas merupakan
fungsi posisi dan waktu dalam sebuah fluida. Kalau vortisitas di seluruh fluida
yang bergerak sama dengan nol, aliran fluida itu disebut aliran nonrotasi. Dengan
demikian curl V = 0 dan
,
,
yang didapatkan dengan
menetapkan koefisien-koefisien i, j, dan k dalam curl V masing-masing sama
dengan nol (Olson, 1993).
Dengan demikian, kondisi nonrotasi menjamin pendefinisian potensial
kecepatan. Dari penggabungan di atas dengan persamaan kontinuitas
,
diperoleh
(2.23)
atau dalam bentuk vektor
Aliran nonrotasi juga disebut aliran potensial, persamaan (2.23) merupakan
persamaan Laplace dalam fungsi potensial (Olson, 1993). Persamaan (2.23) ini
merupakan persamaan diferensial parsial orde-2 yang memerlukan syarat batas
untuk memperoleh solusinya.
2.2 Kajian Keagamaan
Berdasarkan ayat sebelumnya bahwa semua yang ada di alam ini, ada
rumusnya atau ada persamaannya. Ahli matematika tidak dapat membuat rumus
sedikitpun, mereka hanya menemukan rumus atau persamaan. Albert Einstein
24
tidak membuat rumus tetapi dia hanya menemukan dan
menyimpulkannya. Archimedes menemukan hitungan mengenai volume benda
melalui media air. Hukum Archimedes itu sudah ada sebelumnya dan dialah yang
menemukan pertama kali melalui hasil menelaah dan membaca ketetapan Allah
(Abdussakir, 2007).
Matematika juga dapat digunakan dalam mengungkapkan kejadian
menjadi ungkapan yang sistematis. Ditemukannya pemodelan-pemodelan
matematika adalah salah satu keajaiban Allah. Pada hakikatnya manusia hanya
mencari persamaan atau rumus-rumus yang berlaku pada suatu fenomena. Dalam
penelitian ini fenomena alam yang terkait dengan gelombang permukaan akan
menghasilkan model matematika dalam bentuk persamaan fKdV. Dalam
menentukan rumus atau persamaan perlu adanya pembuktian kebenaran, apakah
rumus atau persamaan tersebut benar atau salah.
Allah berfirman dalam surat Al-Israa’ ayat 36 :
Artinya: “Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai pengetahuan
tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan hati, semuanya itu akan
diminta pertanggungan jawabnya.”.
Kemudian apabila hal tersebut benar, maka tunjukkan bukti dari kebenaran
tersebut. Allah SWT berfirman dalam surat Al-Baqarah ayat 111:
25
Artinya: “Dan Dia mengajarkan kepada Adam Nama-nama (benda-benda) seluruhnya,
kemudian mengemukakannya kepada Para Malaikat lalu berfirman: "Sebutkanlah
kepada-Ku nama benda-benda itu jika kamu mamang benar orang-orang yang benar!".
Selain itu juga terdapat dalam surat Al-Baqarah ayat 111 sebagai berikut:
Artinya: “Dan mereka (Yahudi dan Nasrani) berkata: "Sekali-kali tidak akan masuk
surga kecuali orang-orang (yang beragama) Yahudi atau Nasrani". demikian itu (hanya)
angan-angan mereka yang kosong belaka. Katakanlah: "Tunjukkanlah bukti
kebenaranmu jika kamu adalah orang yang benar".
Dalam ayat tersebut bahwa Allah SWT seakan-akan meminta bukti
kebenaran yang menguatkan anggapan mereka apabila mereka dapat
mengemukakan bukti-bukti yang benar maka dugaan mereka benar. Sebagaimana
dalam skripsi ini dijelaskan mengenai model gelombang permukaan yang
diturunkan ke dalam bentuk persamaan fKdV, yang diketahui sebagai bentuk dari
perjalanan gelombang soliter yang berjalan satu arah. Dalam penurunan model
tersebut, dengan menyelesaikan persamaan Laplace beserta kondisi-kondisi
batasnya ke dalam bentuk persamaan ketinggian permukaan pada fluida kemudian
persamaan ketinggian tersebut disederhanakan ke dalam persamaan forced KdV.
Kebenaran persamaan yang diperoleh dilengkapi dengan bukti.
26
BAB III
PEMBAHASAN
Dalam bab ini dijelaskan penurunan model gelombang permukaan yang
dihasilkan oleh aliran yang melalui sebuah gundukan. Penurunan model dilakukan
dengan mengasumsikan aliran fluida berada pada saluran dua dimensi yang
mempunyai dasar tidak rata dan memiliki kecepatan seragam, kemudian aliran
mengalami gangguan berupa gundukan pada dasar saluran, sehingga kecepatan
aliran tersebut berubah dan menimbulkan gelombang pada permukaan fluida.
Model gelombang permukaan diperoleh dengan menyederhanakan persamaan-
persamaan kesetimbangan yang diturunkan dari hukum-hukum kekekalan yang
terjadi pada aliran fluida berupa persamaan ketinggian permukaan fluida.
Persamaan ketinggian tersebut berupa persamaan diferensial parsial nonlinier
yang dapat dikategorikan ke dalam bentuk persamaan forced KdV. Adapun
langkah-langkah penurunan model tersebut sebagai berikut: menurunkan
persamaan-persamaan dasar fluida kemudian dilakukan penskalaan, aproksimasi
variabel dengan deret asimtotik, peninjauan tiap-tiap orde dengan deret asimtotik,
menyederhanakan solusi ke dalam sebuah model matematika, dan yang terakhir
interpretasi dari model tersebut.
27
3.1 Penurunan Persamaan forced KdV
3.1.1 Kondisi-kondisi Batas pada Fluida
Dalam gerak partikel fluida mempunyai kondisi batas yaitu kondisi batas
dinamik dan kondisi batas kinematik. Kondisi batas dinamik terjadi karena adanya
gaya-gaya yang bekerja pada fluida sedangkan kondisi batas kinematik terjadi
karena gerak partikel (Hakim, 2009).
3.1.1.1 Kondisi Batas pada Permukaan Fluida
Pada permukaan fluida terdapat kondisi batas kinematik dan kondisi batas
dinamik, yaitu:
a) Kondisi batas kinematik
Kondisi batas kinematik diturunkan berdasarkan ide dasar dari sifat
kontinum fluida. Misalkan adalah kurva yang membatasi air dan
udara dan dinyatakan oleh persamaan permukaan
. Ketika suatu partikel di dan partikel tersebut tetap pada permukaan maka
. Didefiniskan suatu operator untuk turunan total terhadap waktu , atau
dinamakan turunan mengikuti gerakan dan dinotasikan sebagai
Karena telah didefinisikan untuk vektor kecepatan dalam dua dimensi ,
maka turunan total tersebut dapat dituliskan sebagai
Adapun penurunan untuk kondisi batas kinematik pada permukaan fluida yaitu
28
dimana , sehingga
(3.1)
Dengan
menyatakan komponen kecepatan dalam arah dan
menyatakan komponen kecepatan dalam arah , maka persamaan (3.1) menjadi
Jadi kondisi batas kinematik pada permukaan fluida adalah
(3.2)
b) Kondisi batas dinamik
Kondisi batas dinamik diturunkan dari persamaan Bernoulli yang berlaku
pada permukaan fluida. Adapun persamaan Bernoulli yaitu
dimana merupakan fungsi sebarang dari t akibat integrasi yang dilakukan
terhadap dan .
Diasumsikan bahwa fluida tak kental dan tekanan pada permukaan sama
dengan tekanan pada udara adalah konstan maka , sehingga persamaan
Bernoulli menjadi
29
Pada keadaan seragam (uniform) maka ruas kiri dari persamaan Bernoulli
berlaku kecepatan vertikal
, kecepatan horizontal
dan
dimana merupakan kecepatan mula-mula, karena tidak ada perubahan terhadap
waktu, maka
Sehingga kondisi batas dinamik pada permukaan fluida yaitu
(3.3)
3.1.1.2 Kondisi Batas pada Dasar Fluida
Pada dasar fluida hanya berlaku kondisi batas kinematik sedangkan
kondisi batas dinamik tidak diamati karena partikel pada dasar fluida tidak
bergerak.
Nyatakan fungsi posisi untuk fluida yang tidak rata
. Ketika suatu partikel di dan partikel tersebut tetap pada
permukaan fluida maka
. Didefinisikan suatu operator untuk turunan total
terhadap waktu , atau dinamakan turunan mengikuti gerakan dan dinotasikan
sebagai
30
Karena telah didefinisikan untuk vektor kecepatan dalam dua dimensi ,
maka turunan total tersebut dapat dituliskan sebagai
Adapun penurunan untuk kondisi batas kinematik pada dasar fluida yaitu
(3.4)
Dengan
menyatakan komponen kecepatan dalam arah dan
menyatakan komponen kecepatan dalam arah , maka persamaan (3.4) menjadi
Jadi kondisi batas kinematik pada dasar fluida adalah
(3.5)
Berdasarkan persamaan Laplace beserta kondisi batas pada permukaan fluida dan
kondisi batas pada dasar fluida akan dilakukan penskalaan variabel ( , c, ,
, h, dan ). Penskalaan variabel tersebut bertujuan untuk mengecilkan variabel ,
, dan kecepatan c. Namun sebelumnya variabel tersebut akan digunakan tanda
31
bar yang bertujuan untuk membedakan sebelum dilakukan penskalaan dengan
setelah dilakukan penskalaan.
3.1.2 Penskalaan Variabel
Skala disini didefinisikan sebagai perbandingan antara keadaan nyata
dengan model atau gambarnya dan penskalaan didefinisikan sebagai mengubah
ukuran baik memperbesar atau mengecilkan. Sebagai gambarannya, ketika ingin
mengambar sebuah rumah cukup sulit apabila mengambar sesuai keadaan aslinya,
sehingga terlebih dahulu dilakukan penskalaan pada panjang dan lebarnya. Begitu
juga sebelum diperoleh model gelombang soliter, terlebih dahulu dilakukan
penskalaan terhadap persamaan Laplace beserta kondisi batas pada permukaan
fluida dan kondisi batas pada dasar fluida.
Suatu saluran fluida yang memiliki panjang L jauh lebih besar
dibandingkan dengan kedalamannya H, sehingga dapat didefinisikan sebuah
parameter yang sangat kecil sebagai
. Dengan mengasumsikan
amplitudo dari gundukan sangat kecil dibandingkan dengan kedalaman dari
saluran maka kita dapat menyatakan gundukan tersebut sebagai ,
sehingga fungsi potensialnya dapat ditulis sebagai ,
dimana menyatakan kecepatan aliran fluida yang seragam.
Sebagaimana dalam Wiryanto (2010), skala-skala lain yang digunakan di
antaranya satuan kecepatan dalam ,
,
,
,
, dan
32
dimana menyatakan gravitasi, H menyatakan kedalaman fluida, menyatakan
waktu, menyatakan perbedaan kecepatan aliran, menyatakan representasi
gundukan, dan menyatakan ketinggian permukaan.
Selanjutnya dilakukan penskalaan dengan mensubstitusikan skala-skala ke
persamaan (2.23), (3.2), (3.3) dan (3.5) sebagai berikut:
Pertama, penskalaan variabel pada persamaan Laplace (2.23)
Skala-skala ,
,
,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
33
(3.6)
Skala-skala , , ,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
34
(3.7)
Persamaan (3.6) dan persamaan (3.7) disubstitusi ke persamaan (2.23), sehingga
diperoleh penskalaan pada persamaan (2.23)
(3.8)
Kedua, penskalaan pada persamaan (3.2)
Skala-skala , , ,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
35
(3.9)
Skala-skala dan
disubstitusi ke
diperoleh
(3.10)
Skala-skala dan
disubstitusi ke
diperoleh
(3.11)
36
Skala-skala ,
,
,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
(3.12)
Persamaan (3.9)-(3.12) disubstitusi ke persamaan (3.2)
(3.13)
37
Ketiga, penskalaan pada persamaan (3.3)
Skala-skala ,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
(3.14)
Skala-skala ,
,
,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
38
(3.15)
(3.16)
Skala-skala , , ,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
39
(3.17)
Persamaan (3.14)-(3.17) disubstitusi ke persamaan (3.3) diperoleh
(3.18)
Keempat, penskalaan pada persamaan (3.5)
Skala-skala , , ,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
40
(3.19)
Skala-skala
,
disubstitusi ke
diperoleh
(3.20)
Skala-skala ,
,
,
dan
disubstitusi ke
diperoleh
41
(3.21)
Persamaan (3.19)-(3.21) disubstitusi ke persamaan (3.5)
(3.22)
Setelah dilakukan penskalaan, kemudian mencari solusi dari persamaan (3.8)
beserta kondisi batas persamaan (3.13), persamaan (3.18) dan persamaan (3.22)
dengan menggunakan deret asimtotik, dengan dilakukan aproksimasi (hampiran)
terhadap variabel-variabel tak bebasnya dalam deret pangkat sampai orde ketiga.
3.1.3 Aproksimasi Variabel-variabel yang Digunakan
Persamaan (3.8) beserta kondisi batas persamaan (3.13), persamaan (3.18)
dan persamaan (3.22) sulit untuk diselesaikan secara langsung, sehingga
dilakukan aproksimasi atau hampiran dengan menggunakan deret asimtotik.
Hakim (2009) menyatakan deret asimtotik adalah suatu teknik yang
digunakan untuk menentukan suatu fungsi yang merupakan penyelesaian dari
42
suatu masalah nilai awal atau batas, dimana fungsi tersebut dinyatakan dalam
deret pangkat terhadap parameter kecil .
Dalam deret asimtotik, persamaan (3.8) beserta kondisi-kondisi batasnya
diaproksimasi dengan memisalkan variabel-variabel tak bebasnya dalam bentuk
deret asimtotik. Variabel-variabel tak bebas yang digunakan dalam bentuk deret
asimtotik tersebut adalah
a) Variabel tak bebas (gundukan) dalam bentuk deret asimtotik dengan
menuliskan
(3.23)
dimana , , dan merupakan bentuk orde pertama, kedua, dan ketiga
dengan adalah parameter yang kecil.
b) Variabel tak bebas (tinggi permukaan) dalam bentuk deret asimtotik dengan
menuliskan
)3(3)2(2)1( (3.24)
dimana , , dan merupakan bentuk orde pertama, kedua, dan ketiga
dengan adalah parameter yang kecil.
c) Variabel tak bebas (perbedaan kecepatan aliran) dalam bentuk deret
asimtotik dengan menuliskan
)2(2)1(1)0( ccc (3.25)
dimana , , dan merupakan bentuk orde pertama, kedua, dan ketiga
dengan adalah parameter yang kecil.
43
Adapun aproksimasi atau hampiran persamaan (3.8), (3.13), (3.18), (3.22) dengan
memisalkan variabel-variabel tak bebasnya dalam bentuk deret asimtotik sebagai
berikut
a) Aproksimasi pada persamaan (3.8)
Variabel tak bebas (gundukan) pada persamaan (3.8) dalam bentuk deret
asimtotik
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Substitusikan persamaan (3.27)-(3.28) ke persamaan (3.8) sehingga diperoleh
hampiran dari persamaan (3.8) adalah
(3.29)
b) Aproksimasi pada persamaan (3.13)
Variabel tak bebas (gundukan) dan (ketinggian permukaan) pada persamaan
(3.13) dalam bentuk deret asimtotik
(3.30)
(3.31)
(3.32)
44
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Substitusikan persamaan (3.31)-(3.36) ke persamaan (3.15) sehingga diperoleh
hampiran dari persamaan (3.15) adalah
(3.37)
45
c) Aproksimasi pada persamaan (3.18)
Variabel tak bebas (gundukan), (ketinggian permukaan) dan c (perbedaan
kecepatan aliran) pada persamaan (3.18) dalam bentuk deret asimtotik
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
Substitusikan persamaan (3.39)-(3.46) ke persamaan (3.18) sehingga diperoleh
hampiran dari persamaan (3.18) adalah
46
kemudian diuraikan menjadi
47
(3.47)
d) Aproksimasi pada persamaan (3.22)
Variabel tak bebas (gundukan) dan c (perbedaan kecepatan aliran) pada
persamaan (3.22) dalam bentuk deret asimtotik
(3.48)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Substitusikan persamaan (3.49)-(3.51) ke persamaan (3.22) sehingga diperoleh
hampiran dari persamaan (3.22) adalah
(3.52)
Setelah dilakukan aproksimasi variabel-variabel tak bebasnya kemudian
didapatkan solusi dari masing-masing persamaan (3.8), (3.13), (3.18) dan (3.22)
dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap orde sampai orde ketiga dari deret
asimtotik.
48
3.1.4 Peninjauan pada Tiap-tiap Orde dari Deret Asimtotik
Berdasarkan persamaan (3.29), (3.37), (3.47), dan persamaan (3.52) akan
ditinjau setiap orde untuk mendapatkan solusi dari deret asimtotik.
a) Orde
Berdasarkan orde didapatkan solusi dari persamaan (3.29), (3.37), (3.47), dan
persamaan (3.52) yaitu
(3.53)
dan
(3.54)
(3.55)
dan
(3.56)
b) Orde 2
Berdasarkan orde didapatkan solusi dari persamaan (3.29), (3.37), (3.47), dan
persamaan (3.52) yaitu
(3.57)
dan
(3.58)
49
(3.59)
dan
(3.60)
c) Orde 3
Berdasarkan orde didapatkan solusi dari persamaan (3.29), (3.37), (3.47), dan
persamaan (3.52) yaitu
(3.61)
dan
(3.62)
(3.63)
dan
(3.64)
Selanjutnya dari persamaan (3.53) sampai dengan (3.64) disederhanakan ke dalam
model matematika.
50
3.1.5 Penyederhanaan Solusi dari Deret Asimtotik
Adapun langkah-langkah dalam penyederhanaan solusi dari deret
asimtotik ke dalam model matematika sebagai berikut:
a) Pada orde diperoleh
(3.65)
Integralkan persamaan (3.65) terhadap yaitu
(3.66)
Dengan menggunakan kondisi batas (3.54) maka diperoleh
,
sehingga persamaan (3.66) menjadi
(3.67)
Untuk kondisi batas (3.56) sama seperti kondisi batas (3.54) didapatkan
Selanjutnya untuk kondisi batas (3.55) dengan
dihasilkan
51
(3.68)
Kemudian integralkan persamaan (3.67) terhadap yaitu
(3.69)
(3.70)
Dengan menggunakan kondisi batas pada persamaan (3.69) diperoleh
(3.71)
Dari persaman (3.68) dan persamaan (3.71) didapatkan
Maka persamaan (3.69) dan persamaan (3.70) menjadi
(3.72)
52
b) Pada Orde
Substitusikan persamaan (3.72) ke persamaan (3.57) diperoleh
(3.73)
Integralkan persamaan (3.73) terhadap yaitu
(3.74)
Dengan menggunakan kondisi batas (3.60) maka didapatkan
, (3.75)
sehingga persamaan (3.74) menjadi
(3.76)
Kemudian dengan menggunakan kondisi batas (3.58) pada persamaan (3.76) akan
diperoleh
. (3.77)
Dengan 1)0( c , persamaan (3.76) menjadi
(3.78)
Integralkan persamaan (3.78) terhadap yaitu
53
(3.79)
Dengan menggunakan kondisi batas (3.59) untuk persamaan (3.79) didapatkan
(3.80)
sehingga persamaan (3.79) menjadi
(3.81)
Dengan
maka persamaan (3.81) diperoleh
(3.82)
c) Pada orde diperoleh
54
(3.83)
Substitusikan persamaan (3.82) ke persamaan (3.83) didapatkan
(3.84)
Integralkan persamaan (3.84) terhadap yaitu
(3.85)
Dengan menggunakan kondisi batas (3.64) pada persamaan (3.85) maka diperoleh
(3.86)
sehingga persamaan (3.85) menjadi
(3.87)
Kemudian dengan menggunakan kondisi batas (3.62) didapatkan
55
Dengan diperoleh
(3.88)
Dengan mengabaikan tanda superscript maka persamaan (3.88) dapat
disederhanakan menjadi
(3.89)
Persamaan (3.89) merupakan model matematika untuk gelombang permukaan
yang berbentuk persamaan forced KdV, dimana adalah ketinggian
permukaan fluida, adalah representasi dari gundukan pada dasar saluran,
adalah perbedaan kecepatan aliran. Grimshaw, dkk (2007) menyatakan adalah
perbedaan kecepatan aliran, dimana jika disebut aliran subkritis (subcritical
flow), jika disebut aliran kritis (critical flow), jika disebut aliran
superkritis (supercritical flow). Pada keadaan menunjukkan tidak
adanya gangguan pada dasar saluran yang dikenal dengan persamaan KdV dan
mempunyai solusi analitik yang berbentuk secant-hiperbolik.
3.2 Solusi Gelombang Soliter
Penurunan model matematika untuk gelombang permukaan diperoleh
dengan cara menyelesaikan persamaan Laplace beserta kondisi-kondisi batasnya
ke dalam bentuk persamaan ketinggian permukaan fluida. Persamaan ketinggian
56
tersebut disederhanakan ke dalam persamaan forced KdV. Adapun persamaan
forced KdV yang dihasilkan yaitu
dengan adalah ketinggian permukaan fluida, adalah representasi dari
gundukan pada dasar saluran dan adalah perbedaan kecepatan aliran. Persamaan
forced KdV dikenal sebagai salah satu bentuk persamaan diferensial parsial yang
tidak memiliki solusi analitik, sehingga untuk menentukan solusinya dapat
digunakan prosedur numerik. Namun sebelum itu ditinjau solusi untuk dasar
saluran rata dengan menggunakan metode koefisien tak tentu.
3.2.1 Solusi Homogen
Pada bagian ini akan dijelaskan solusi untuk dasar saluran rata atau tidak
ada gundukan pada dasar saluran . Untuk dasar saluran rata maka
persamaan (3.89) dapat dinyatakan sebagai
(3.90)
Model gelombang permukaan (3.90) merupakan representasi dari
gelombang yang berjalan satu arah tanpa mengalami perubahan dan tanpa adanya
interaksi antar satu gelombang dengan gelombang yang lain. Solusi persamaan
(3.90) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu dengan
memisalkan profil dari gelombang permukaan yang dihasilkan berbentuk secant
hiperbolik, sehingga dapat diperoleh solusi persamaan (3.90) dalam bentuk fungsi
secant hiperbolik juga. Misalkan solusi persamaan (3.90) dalam bentuk fungsi
secant hiperbolik adalah
57
(3.91)
dengan merupakan ketinggian permukaan, A merupakan amplitudo
gelombang, B merupakan lebar dari gelombang, C merupakan kecepatan aliran
dari gelombang dan D merupakan sebarang konstanta. Konstanta-konstanta
tersebut diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (3.91) ke persamaan (3.90),
tujuannya untuk memenuhi konstanta-konstanta A, B, dan C. Adapun langkah-
langkahnya sebagai berikut:
a) Hitung
,
, dan
58
b) Substitusi
,
, dan
ke persamaan (3.90) dan kumpulkan koefisien
dan , sehingga diperoleh
59
(3.92)
Persamaan (3.92) dapat diuraikan menjadi
Kemudian kumpulkan koefisien dan
menjadi
(3.93)
Untuk memperoleh bentuk yang lebih sederhana bagi persamaan (3.93) dengan
, sehingga diperoleh
60
(3.94)
Karena maka persamaan (3.94)
menjadi
(3.95)
Persamaan (3.95) dapat diuraikan menjadi
Kumpulkan koefisien dan diperoleh
(3.96)
Persamaan (3.96) dapat disederhanakan menjadi
. (3.97)
Misalkan
dan sehingga
persamaan (3.97) menjadi
(3.98)
Kemungkinan persamaan (3.98) dapat dipenuhi dengan
atau dan , apabila dapat dipenuhi jika
61
dan . Sehingga digunakan dan
untuk memenuhi persamaan (3.98) sebagai berikut
dan . Dari dan
menghasilkan ,
, dan
.
Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi dari persamaan (3.90) dalam bentuk fungsi
secant hiperbolik adalah
(3.99)
dengan koefisien A, B, dan C harus memenuhi hubungan-hubungan sebagai
berikut ,
dan
.
Misalkan
,
,
, dan diberikan kondisi awal
, maka diperoleh solusi
(3100)
Berdasarkan persamaan (3.100) dapat dilustrasikan pada Gambar 3.1, Gambar 3.2,
dan Gambar 3.3 dengan menggunakan perbedaaan kecepatan aliran ,
dan
62
Gambar 3.1 Persamaan (3.100) untuk
Gambar 3.2 Persamaan (3.100) untuk
-150-100
-500
50100
150
0
10
20
30
40
500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
xt
Tin
gg
i P
erm
uka
an
-150-100
-500
50100
150
0
10
20
30
40
500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
xt
Tin
ggi P
erm
ukaan
63
Gambar 3.3 Persamaan (3.100) untuk
Kemudian simulasi dari hasil solusi persamaan (3.90) dapat juga diilustrasikan
pada Gambar 3.4, Gambar 3.5, dan Gambar 3.6 berikut
Gambar 3.4 Solusi Persamaan (3.90) untuk
-150-100
-500
50100
150
0
10
20
30
40
500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
xt
Tin
ggi P
erm
ukaan
64
Solusi persamaan (3.90) dengan dapat diilustrasikan pada gambar
3.4 yang menunjukkan perambatan gelombang mengalami perubahan pada
ketinggian gelombang. Hal ini terlihat, ketika dan ketinggian
gelombang 0.3932, sedangkan ketika dan ketinggian gelombang
0.0013. Selain itu, perambatan gelombang berjalan menuju ke hulu dengan
kecepatan fase sebesar . Kecepatan fase dapat dilihat dari puncak
gelombang satu dengan puncak gelombang yang lainnya sehingga seberapa cepat
puncak gelombang berpindah persatuan waktu.
Gambar 3.5 Solusi Persamaan (3.90) untuk
Selanjutnya solusi persamaan (3.90) dengan dapat diilustrasikan
pada gambar 3.5 yang menunjukkan perambatan gelombang mengalami
65
perubahan pada ketinggian gelombang. Hal ini terlihat, ketika dan
ketinggian gelombang 0.3932, sedangkan ketika dan ketinggian
gelombang . Selain itu, perambatan gelombang berjalan ke arah
hilir dengan kecepatan fase sebesar 0.9167. Kecepatan fase dapat dilihat dari
puncak gelombang satu dengan puncak gelombang yang lainnya sehingga
seberapa cepat puncak gelombang berpindah persatuan waktu.
Sebaliknya solusi persamaan (3.90) untuk dapat diilustrasikan
pada gambar 3.6 perambatan gelombang berjalan ke arah hulu dengan kecepatan
fase sebesar 1.0833. Kecepatan fase dapat dilihat dari puncak gelombang satu
dengan puncak gelombang yang lainnya sehingga seberapa cepat puncak
gelombang berpindah persatuan waktu. Selain itu perambatan gelombang
mengalami perubahan pada ketinggian gelombang. Hal ini terlihat, ketika
dan ketinggian gelombang 0.3932 sedangkan ketika dan
ketinggian gelombang .
Gambar 3.6 Solusi persamaan (3.90) untuk
66
Selain perbedaan kecepatan aliran (c) yang mempengaruhi perambatan
gelombang, amplitudo gelombang dan lebar dari gelombang juga mempengaruhi
perambatan gelombang, semakin besar nilai amplitudo menyebabkan amplitudo
gelombang semakin tinggi akibatnya lebar dari gelombang semakin kecil.
3.2.2 Solusi Non Homogen
Bentuk tak homogen dari persamaan KdV disebut persamaan forced KdV
sebagaimana pada persamaan (3.89). Persamaan forced KdV dikenal sebagai
salah satu bentuk persamaan diferensial parsial yang tidak memiliki solusi
analitik, sehingga untuk menentukan solusinya digunakan prosedur numerik.
Dalam skripsi ini metode yang digunakan adalah metode beda hingga
skema eksplisit atau CTCS (central time central space). Adapun persamaan beda
CTCS yang digunakan adalah
(3.101)
(3.102)
(3.103)
(3.104)
Selanjutnya persamaan (3.101), (3.102), (3.103) dan (3.104) disubstitusi ke dalam
persamaan (3.89) sebagai berikut
67
(3.105)
Persamaan (3.105) dapat diuraikan menjadi
68
(3.106)
Persamaan (3.106) adalah model pendekatan persamaan (3.89) dengan
menggunakan metode beda hingga skema eksplisit atau CTCS (central time
central space).
Persamaan fKdV merupakan representasi dari gelombang yang dihasilkan
oleh aliran yang melalui sebuah gundukan, maka dalam simulasi ini gaya luar
yang digunakan sebagaimana yang terdapat dalam Grimshaw, dkk (2007), yaitu
Bentuk gaya luar yang digunakan di atas, berupa gundukan dengan puncak datar
dengan lebar L dan tinggi gundukan sebesar , sedangkan merupakan sudut
kemiringan antara dan sebagai lebar kaki dari gundukan tersebut.
Kemudian dilakukan simulasi dengan menggunakan perbedaan kecepatan aliran
yaitu , dan , serta , dan . Hasil
dari perhitungan numerik tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 3.7, Gambar
3.8 dan Gambar 3.8 sebagai berikut
69
Gambar 3.7 Solusi Persamaan (3.89) untuk
Solusi persamaan (3.89) untuk dapat diilustrasikan pada Gambar 3.7
yang menunjukkan bahwa adanya gangguan pada dasar saluran mengakibatkan
timbulnya riak-riak gelombang pada permukaan. Pada saat riak-riak
gelombang berjalan ke arah hulu dan pada saat riak-riak gelombang
berjalan ke arah hilir.
Riak-riak gelombang berjalan dengan mengalami perubahan pada
ketinggian riak-riak gelombang tersebut yaitu , dan
diperoleh tinggi gelombang sebesar 0.4695 sedangkan , dan
diperoleh tinggi gelombang sebesar 0.6874. Besar kecilnya gundukan
70
mempengaruhi tinggi gelombang permukaan. Semakin besar gundukan maka
semakin besar pula amplitudo pada gelombang permukaan tersebut.
Gambar 3.8 Solusi Persamaan (3.89) untuk
Selanjutnya solusi persamaan (3.89) untuk dapat diilustrasikan
pada Gambar 3.8 yang menunjukkan bahwa adanya gangguan pada dasar saluran
mengakibatkan timbulnya riak-riak gelombang pada permukaan. Pada saat
riak-riak gelombang berjalan ke arah hulu dan pada saat riak-riak
gelombang berjalan ke arah hilir.
Riak-riak gelombang berjalan dengan mengalami perubahan pada
ketinggian riak-riak gelombang tersebut yaitu , dan
diperoleh tinggi gelombang sebesar 1.0581 sedangkan , dan
71
diperoleh tinggi gelombang sebesar 1.2499. Besar kecilnya gundukan
mempengaruhi tinggi gelombang permukaan. Semakin besar gundukan maka
semakin besar pula amplitudo pada gelombang permukaan tersebut.
Gambar 3.9 Solusi Persamaan (3.89) untuk
Sebaliknya solusi persamaan (3.89) untuk dapat diilustrasikan
pada Gambar 3.9 menunjukkan bahwa adanya gangguan pada dasar saluran
mengakibatkan timbulnya riak-riak gelombang pada permukaan. Pada saat
riak-riak gelombang berjalan ke arah hulu dan pada saat riak-riak
gelombang berjalan ke arah hilir. Riak-riak gelombang berjalan dengan ,
dan diperoleh tinggi gelombang sebesar 0.2194.
72
3.3 Kajian Keagamaan
Model gelombang permukaan yang dihasilkan dalam bentuk persamaan
forced KdV pada persamaan (3.89) adalah
Persamaan (3.89) diturunkan dari persamaan Laplace beserta kondisi batas pada
permukaan fluida dan kondisi batas pada dasar fluida, sehingga membuktikan
bahwa terdapat model matematika untuk fenomena alam yang terkait dengan
gelombang permukaan. Adanya model matematika ini, dapat meningkatkan
keimanan dan ketaqwaan kepada Allah SWT, sebab Allah SWT telah menciptaan
alam semesta ini dengan perhitungannya masing-masing. Sebagaimana Allah
berfirman dalam surat Al-Furqan ayat 2:
Artinya: “ Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai
anak, dan tidak ada sekutu baginya dalam kekuasaan(Nya), dan Dia telah menciptakan
segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya”.
Selain itu, Allah berfirman dalam surat Al-Hijr ayat 21:
Artinya: “Dan tidak ada sesuatupun melainkan pada sisi Kami-lah khazanahnya dan
Kami tidak menurunkannya melainkan dengan ukuran yang tertentu”.
Namun demikian, perlu diingat bahwa apa yang diketahui sekarang,
hanyalah sebagian kecil dari apa yang tidak diketahui. Oleh karena itu, Allah tidak
73
membolehkan untuk bersikap sombong. Sebab sungguh amat luas apa yang
diciptakan Allah SWT.
Allah berfirman dalam surat Al-Isra’ ayat 37:
Artinya: “Dan janganlah kamu berjalan di muka bumi ini dengan sombong, karena
Sesungguhnya kamu sekali-kali tidak dapat menembus bumi dan sekali-kali kamu tidak
akan sampai setinggi gunung”.
Selain itu, firman Allah di atas juga dipertegas dengan surat Lukman ayat 18:
Artinya: “Dan janganlah kamu memalingkan mukamu dari manusia (karena sombong)
dan janganlah kamu berjalan di muka bumi dengan angkuh. Sesungguhnya Allah tidak
menyukai orang-orang yang sombong lagi membanggakan diri”.
74
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Skripsi ini membahas penurunan model matematika untuk gelombang
permukaan yang dihasilkan oleh aliran yang melalui suatu gundukan. Model
tersebut dihasilkan dengan menyederhanakan persamaan-persamaan
kesetimbangan yang diturunkan dari hukum-hukum kekekalan yang terjadi pada
aliran fluida, kemudian dilakukan penskalaan, aproksimasi variabel, peninjauan
tiap-tiap orde dengan deret asimtotik, menyederhanakan solusi ke dalam sebuah
model matematika. Berdasarkan pembahasan diperoleh model gelombang
permukaan dalam bentuk persamaan ketinggian permukaan yang disederhanakan
ke dalam persamaan forced KdV sebagai berikut
dimana adalah ketinggian permukaan fluida, adalah representasi dari
gundukan pada dasar saluran, adalah perbedaan kecepatan aliran.
Hasil simulasi untuk dasar tidak rata dengan menggunakan metode beda
hingga skema eksplisit menunjukkan perambatan gelombang mengalami
perubahan pada ketinggian gelombang. Perubahan pada ketinggian gelombang
berjalan seiring dengan perubahan waktu. Selain itu, dalam simulasi tersebut
digunakan perbedaan kecepatan aliran yaitu , , dan .
75
Hasil simulasi untuk dasar rata ( dengan menggunakan metode
koefisien tak tentu menunjukkan gelombang berjalan mengalami perubahan pada
ketinggian gelombang. Selain itu, dalam simulasi tersebut digunakan perbedaan
kecepatan aliran yaitu , , dan . Untuk menunjukkan
perambatan gelombang berjalan menuju ke hilir dengan kecepatan fase sebesar
, sedangkan untuk menunjukkan perambatan gelombang menuju ke
arah hilir dengan kecepatan fase sebesar 0.9167 dan untuk menunjukkan
perambatan gelombang ke arah hulu dengan kecepatan fase sebesar -1.0833.
4.2 Saran
Dalam penelitian ini dilakukan aproksimasi/hampiran dalam bentuk deret
asimtotik sampai orde ketiga, sehingga peneliti menyarankan untuk melakukan
aproksimasi deret asimtotik sampai orde kelima. Bertambahnya orde maka orde
erornya semakin besar dan akurasinya semakin meningkat sehingga didapatkan hasil
aproksimasi yang lebih baik.
76
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir. 2007. Ketika Kiai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang
Press.
Chorlton, F.. 1967. Textbook of Fuid Dynamics. London: D.Van Nostrand
Company LTD London.
Douglas, G.. 2001. Fisika Edisi kelima. Jakarta: Erlangga.
Grimshaw, R.H.J., Zhang, D.H., & Chow, K.W.. 2007. Generation of Solitary
Waves by Transcritical Flow Over a Step. J.Fluid Mech. Hal.235-254.
Hakim, A.. 2009. Prediksi Kecepatan Phase Gelombang Soliter Terganggu.
Thesis. Tidak diterbitkan. Bogor: Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian
Bogor.
Olson, R.. 1993. Dasar-dasar Mekanika Fluida. Jakarta: PT Gramedia Pustaka
Utama.
Purwanto. 1998. Matematika Diskrit . Malang: IKIP Malang.
Streeter, V.L.. 1986. Mekanika Fluida Edisi Delapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Wiryanto, L.. 2010. A Solitary-like Wave Generated by Flow Passing a Bump.
ICMSA 2010. Hal.1176-1183.
Lampiran 1
Program MATLAB untuk persamaan (3.100) , , pada Gambar
3.1, Gambar 3.2, dan Gambar 3.3
clc,clear,clf
c=0 [x,t] = meshgrid(-150:0.6:150,0:0.2:50); z = (1/2)*sech((1/2)*x+(((1/12)-(c*(1/2)))*t)+2).^2; surf(x,t,z) xlabel('x') ylabel('t') zlabel('tinggi permukaan')
Lampiran 2
Program MATLAB untuk solusi persamaan (3.90) , , pada
Gambar 3.4, Gambar 3.5, dan Gambar 3.6
clc,clear,clf
dx=0.5; dt=0.2; x=-150:dx:150; t=0:dt:50;
c=-2;
Mx=length(x); Nt=length(t); z=sparse(Mx,Nt);
figure(1), clf
k=0; for n=1:Nt for j=1:Mx z(j,n+1) = (1/2).*sech((1/2).*x(j)+(((1/12)-
c.*(1/2)).*t(n))+2).^2;
end
if mod(n,10)==0 k=k+1; plot(x,z(:,n)+k), hold on pause(0.01) n end
end
Lampiran 3
Program MATLAB untuk solusi persamaan (3.89) , ,
pada Gambar 3.7, Gambar 3.8, dan Gambar 3.9
clc,clear,clf
dx=0.5; dt=0.2; x=-300:dx:300; t=0:dt:300; A=dt/dx; B=dt/(6*(dx.^3));
FM=0.1; gama=0.25; L=50; c=0; s=abs((dt/dx)*(gama-0.5)-dt/(3*(dx^3)))
F=(FM/2)*(tanh(gama*x)-(tanh(gama*(x-L)))); Fx= diff(F);
Mx=length(x); Nt=length(t); u=sparse(Mx,Nt);
figure(1), clf
k=0; for n=2:Nt-1 for j=3:Mx-2 C=(B*(u(j+2,n)-(2*u(j+1,n))+(2*u(j-1,n))-u(j-2,n)));
D=(A*(((u(j+1,n)+u(j,n)+u(j-1,n))/3)-c)*(u(j+1,n)-u(j-
1,n)));
u(j,n+1)=u(j,n-1)+C+D+(dt*Fx(j)); end
if mod(n,30)==0 k=k+1; plot(x,u(:,n)+0.2*k), hold on pause(0.01)
end end
KEMENTERIAN AGAMA RI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
Jl. Gajayana No. 50 Dinoyo Malang Telp./Fax.(0341)558933
BUKTI KONSULTASI SKRIPSI
Nama : Farida Masluchah
NIM : 10610016
Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/ Matematika
Judul Skripsi : Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran
yang Melalui Sebuah Gundukan
Pembimbing I : Mohammad Jamhuri, M.Si
Pembimbing II : Dr. Abdussakir, M.Pd
No Tanggal Hal Tanda Tangan
1. 31 Oktober 2013 Konsultasi BAB I dan BAB II 1.
2. 05 Nopember 2013 Revisi BAB I BAB II
Konsultasi BAB III
2.
3. 14 Nopember 2013 ACC BAB I BAB II
Revisi BAB III
3.
4. 12 Nopember 2013 Konsultasi Keagamaan 4.
5. 20 Nopember 2013 Revisi Keagamaan 5.
6. 03 Desember 2013 ACC Keagamaan 6.
7. 16 Januari 2014 Revisi BAB III 7.
8. 30 Januari 2014 Revisi BAB III
Konsultasi BAB IV
8.
9. 20 Februari 2014 Revisi BAB IV
ACC BAB III
9.
10. 27 Februari 2014 ACC Bab IV 10.
11. 05 Maret 2014 Konsultasi Abstrak 11.
12. 13 Maret 2014 Konsultasi Keagamaan BAB III 12.
13. 02 April 2014 ACC Keseluruhan 13.
Malang, 03 April 2014
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Dr. Abdussakir, M.Pd
NIP. 19751006 200312 1 001
Recommended