Modelación en Educación Matemáca. Experiencias con futuros...

ModelaciónenEducaciónMatemá1ca.Experienciascon

futurosprofesores

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JhonyAlexanderVilla-OchoaPaulaRendón-Mesa;MónicaParra-Zapata;JuanMolina;

JonathanSánchezCardona,MaríaCamilaOcampo

RedColombianademodelaciónenEducaciónMatemá1ca

Modelación en Educación Matemática. Experiencias con futuros profesores

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Contenido

• ElcontextodeunSeminarioenlaformacióndeprofesores

• LamodelaciónMatemá1ca¿Quéesynoes?¿Porquéyparaqué?

• Modosdeactuaciónenlamodelaciónmatemá1ca.• Ejemplosdealgunastareas• Consideracionesfinales

JhonyAlexanderVilla-Ochoajavo@une.net.co 3

Muchasdelasprác1casdocentesintentanreflejarlamaneraenquelosprofesoresaprendierondurantesuformación.

Lapreocupaciónporlaformacióndeprofesorescobramayorsen1docuandoseconsideraquelasprác1casdeenseñanzadelosprofesoresestánbastantepermeadasporlasmanerasenqueellosaprendierondesusprofesoresdurantesuformación(Kennedy,1999;Zaslavsky,

1995)

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¿Quéexperienciasdebevivirlosestudiantesparaprofesordurantesuformación?

Estosestudiantesaprendendesusprofesoresmuchomásqueloscontenidosprescritos

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Algunas necesidades de formación

• Visionescompar1mentalizadasdelaactuacióndocente• Creenciasdelosformadoresdelosprofesores• Ampliasposibilidadesdeaprendermatemá1cas:“hacermatemá1cas”

• DiversidaddeEstrategias,demodosdeactuaciónypotencialidades.

• DiversosusosdelamodelaciónylasTecnologías• Desarrollodeproyectos• Experienciasautén1cas

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Programa de formación de inicial de profesores

SaberPedagógico SaberDisciplinar SaberDidác1co

Currículo

AspectosCulturales

Evaluación

Etc. S.E1 S.E2

S.E3 S.E4

Espaciosextracurriculares:SRM;SemillerosdeInves1gación,entreotros

Aritmé1ca

Cálculo

Álgebra

Estadís1ca…

Etc.

Didác1cadelaAritmé1ca

Didác1cadelÁlgebraypensamientovariacional

Etc.

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Programa de formación de inicial de profesores

SaberPedagógico SaberDisciplinar SaberDidác1co

Currículo

AspectosCulturales

Evaluación

Etc. S.E1 S.E2

S.E3 S.E4

Espaciosextracurriculares:SRM;SemillerosdeInves1gación,entreotros

Aritmé1ca

Cálculo

Álgebra

Estadís1ca…

Etc.

Didác1cadelaAritmé1ca

Didác1cadelÁlgebraypensamientovariacional

Etc.

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¿Cuántoscursosdecadacomponentedebetenerunprogramadeformación?

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¿Cuántoscursosdecadacomponentedebetenerunprogramadeformación?

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¿Cómorecons'tuirlosespaciosparaquehayamásymejoresconexionesentrelosdominios?

Cambiodecues1ón

ModelaciónenEducaciónMatemá1ca.Algunasgeneralidades

JhonyAlexanderVilla-Ochoajavo@une.net.co 11

Modelación matemá9ca

Puedeconsiderarsecomounamaneradediseñar,abordarypensarenotrosistema,enestecasomatemá1co,loselementosquesehacenconscientesdeotrosistema.Éstepuedeserexistenteenelmundoopuedesercreadoaunquenoocurranaturalmente.

Lesh&Caylor(2007)

12JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co

¿Qué no es modelación matemá9ca en Educación Matemá9ca

• Panacéa-receta• Solounaconstruccióndeunarepresentación• Soloun“actocogni1vo”detraducciónentresistemas.

• Elseguimientodeunformatoorecorridodeunciclo

JhonyAlexanderVilla-Ochoajavo@une.net.co 13

¿Qué dice la literatura internacional?

JhonyAlexanderVilla-Ochoajavo@une.net.co 14

ICMIStudy14:Unestadoacercadelaconsolidacióndelamodelaciónanivelinternacional.

ICTMA:TheInterna1onalCommunityofTeachersofMathema1calModellingandApplica1ons

ModelaciónMatemá1caescolar:¿Quées?

Una mirada como ciclo/Proceso

Blum&Borromeo-Ferri(2009)JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 15

ModelaciónMatemá1caescolar:¿Quées?

Una mirada como ciclo/Proceso

Blum&Borromeo-Ferri(2009)

Algunoscues1onamientos-¿Quédiceestarepresentaciónsobreloquéeslamodelaciónmatemá1ca?-¿Eslamodelaciónunconjuntodeetapasquedebenserrecorridas?¿Endóndeseobservanenlosciclos:•  Lospropósitosdeformación?•  Manerasdehacer

modelación?•  Subje1vidaddelos

estudiantesydelprofesor?•  Elroldelprofesor?•  Elroldelestudiante?(Mesa,2013)JhonyAlexanderVilla-Ochoa

jhony.villa@udea.edu.co 16

1.  fosteramongstudentsgeneralcrea'veandproblemsolvingaqtudes,ac1vi1esandcompetences.

2.  generate,developandqualifyacri'calpoten'alinstudentstowardstheuse(andmisuse)ofmathema1csinextra-mathema1calcontexts.

3.  preparestudentstobeingabletoprac'ceapplica'onsandmodeling—inotherteachingsubjects;asprivateindividualsorasci1zens,atpresentorinthefuture;orintheirprofessions.

Niss(1989;quotedbyLinge5ärd,2006)

¿Porquélamodelaciónmatemá1caenelauladeclase?

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 17

4.  establisharepresenta1veandbalancedpictureofmathema'cs,itscharacterandroleintheworld.Suchapicturemustencompassallessen1alaspectsofmathema1cs,andtheapplica1onofmathema1csandmathema1calmodelinginotherareasdoformonesuchaspect.

5.  assiststudents’acquisi'onandunderstandingofmathema'calconcepts,no1ons,methods,resultsandtopics,eithertogiveafullerbodytothem,ortoprovidemo1va1onforthestudyofcertainmathema1caldisciplines.

Niss(1989;quotedbyLinge5ärd,2006)

¿Porquélamodelaciónmatemá1caenelaula?

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 18

¿Cómolamodelaciónpuedeposibilitartodoesto?

¿Cómodesarrollarlaenelauladematemá1cas?

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 19

¿Todamaneradehacermodelaciónenelauladeclasepromuevetalesaspectosenlos

estudiantes?

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 20

Kaiser (2014)

However,beyondthis[the]consensusontherelevanceofmodelling,itiss1lldisputedhowtointegratemathema1calmodellingintotheteachingandlearningprocesses;variousapproachesarediscussedandthereiss1llalackofstrongempiricalevidenceontheeffectsoftheintegra1onof

modellingexamplesintoschoolprac1ce.

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 21

¿Quéexperienciasdeberíantenerlosfuturosprofesoresacercadelamodelación

matemá1ca?

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 22

Tareas de modelación: Word Problems o Problemas en enunciados verbales

Tradicionalmente,loswordproblems(problemasverbales)sehanusadocomovehículoypicoparalaintroducciónde

problemasdemodelaciónyaplicaciónenelauladematemá1cas.Inclusoenparalaresolucióndeproblemas.

(Verschaffeletal.2010)

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 23

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

Colombia, MEN (1998)

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 24

Algunos cues9onamientos sobre los Word Problems

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 25

• ¿Cuálseríasuu1lidadenelauladeclase?

• ¿Cuáleslavisióndemodelaciónqueestápresenteenlosenunciadosverbales(wordproblems)?

• ¿Cuálessonlaslimitacionesdeeste1pode“situaciones”enelauladeclase?

Se defiende el uso de word problems porque permite:

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 26

•  lacomprensióndeloselementosclaveenelenunciado/problema;•  laconstruccióndeun“modelomatemá1co”deloselementosrelevantesylasrelacionesimplicadasenelenunciado;

•  trabajaratravésdelmodelosmatemá1cosparaderivarresultadosmatemá1cos;

•  Interpretardelosresultadosquesedesprendedeunaejerciciodecálculo;•  evaluarsielresultadomatemá1coesinterpretadodemaneraadecuadayrazonable;

•  comunicarlasoluciónobtenidadelaproblemaoriginalenelmundoreal.Verschafeletal.(2010)

Reconceptualising Word Problems as Exercises in Mathema9cal Modelling

Verschaffel et al. (2010)

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 27

Durantelosúl1mos20años,muchosestudiososhansostenido,endiversasformas,quelaprác1ca(tradicional)deproblemasdematemá1casenlaescuelanofomentaenlosestudiantes,dehechoinhibe,unadisposicióngenuina

haciamodelosmatemá1cosyhacialasolucióndeproblemas.

SibienlosWordProblems(WP)parecenajustarseaunacomprensióndelamodelacióncomoconstruccióndeunarepresentación,ocomounatraducciónentredosdominios.Esnecesarioreconocertambiénquealgunasprác1casdemodelaciónatravésdelosWPseagotanenenunciadosestereo1padosqueenocasionesacarreancierta“pérdidadesen1do”enlosestudiantes.LosWPpuedenajustarseacurrículosconcaracterís1casrígidas.

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 28

Otro 9po de enunciados verbales Autén9cos que 9enen en cuenta la experiencia del estudiante LaempresadetelefoníacelularTIGOenvióunmensajedetextoconlasiguientepromoción:“Hoyhabla15minutosaTigohastalas11:59

PMPorsolo$1200.EnvíaTIGOal2555”

¿Cómoproblema1zaresteenunciado?

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 29

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

Tareas de modelación: “Autén9cas”

Enuncentrodepor1voenlasFilipinas,Floren1noAnonuevoJr.puleunpardezapatos.Loszapatos,segúnelLibroGuinnessRécords,sonelparmásgrandedelmundo,conunanchode2,37myunaalturade5,29m.Aproximadamente,¿quétanaltoseríaungigantequeseajustaríaaestoszapatos?Expliquesusolución

Blum&Borromeo-Ferri(2009)JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 30

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

Algunos cues9onamientos sobre las tareas Autén9cas

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 31

• ¿Cuálseríasuu1lidadenelauladeclase?

• ¿Cuáleslavisióndemodelaciónqueestápresenteenlastareasautén1cas?

• ¿Cuálessonlaslimitacionesdeeste1pode“situaciones”enelauladeclase?

Algunos alcances y propósitos • Unavisióndela“realidad”quetrasciendelaideadesituación“reves1da”oestereo1padaque,aveces,sepresentaenloslibrosdetexto.

• Laatención,confrecuencia,estápuestaeneldesarrollodehabilidadesyenelusodelamatemá1capararesolverasuntosclaveenlasituación.

• Porsuscaracterís1caspuedeajustarseacurrículoscentradoseneldesarrollodecompetenciasycontenidos.

• Lavisióndemodelaciónpresenteestáasociadarecorridodelciclodelamodelación.

• Puedensertareas“abiertas”JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 32

Modelación como construcción de presentaciones

En lugar de discu1r el vínculo entre dos prác1casaparentemente disímiles (prác1cas escolares y el mundoprofesional),sugerimosquesepuedehacermuchodentrodelasmatemá1casescolaresconelfindeenriquecerlaprác1caactualdelamodelaciónmatemá1caconelfindeaprenderelcontenidomatemá1co y herramientas ú1les de unamanerasignifica1va, incluso cuando las prác1cas profesionales"reales"aúnnoestánplenamenteincorporadas.

(Arcavi,2008).JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 33

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 34

Modelación como simulación de formas/fenómenos

h�ps://www.youtube.com/watch?v=JSrgM8Tnq74

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 35

Meier,M.&Gravina,M.(2012).

Algunos cues9onamientos sobre las tareas de modelación a través de gráficas y simulación de formas/fenómenos.

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 36

• ¿Cuálseríasuu1lidadenelauladeclase?

• ¿Cuáleslavisióndemodelaciónqueestápresenteenlas“laconstrucciónrepresentacionesgráficas”?

• ¿Cuálessonlaslimitacionesdeeste1pode“situaciones”enelauladeclase?

Algunos acercamientos •  Lamodelaciónseen1endecomounatraducciónounmovimientoentredos“mundos”.Delmundodel“problema”aotromundomásfamiliarcomoporejemploelmundodelossímbolos[matemá1cos](Arcavi,2008).

•  Este1podetareasseenfocanprincipalmenteeneldesarrollodeestrategiasdesimbolización,yrepresentacióndealgunosfenómenos[e.g.Lavariación]

•  Elnociónderealidad/fenómeno/mundoextramatemá1capierdeinterés,pararescatarlaac1vidadmatemá1camisma.¿ModelaciónIntramatemá1ca?

•  Elusodeso�waredinámicopararecrearelcomportamientodeunsistemasehacefundamentalparalaexperimentación,formulaciónyvalidacióndeconjeturas.

•  Lasdiferentesaccionesqueseobservanenlamodelacióncomounprocesopierdeninterésparacentrarseprincipalmenteenla“traducción”entrelosdos“mundos”.

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 37

Modelación matemá9ca y los proyectos

LamodelaciónmatemáDcasepuedevercomounaestrategiaparaquelos

estudiantesindaguen/invesDguenporalgunosfenómenososituacionesde

interés.

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 38

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

Modelación matemá9ca y los proyectos

• EltemaeslibreyportantoelcontenidomatemáDcovaemergiendodelasituación.(BorbayVillarreal,2005;Villa-OchoayBerrío

(2015)• ElfenómenoaestudiaressugeridoconelánimodeorientareldesarrollodeuncontenidomatemáDcoespecífico.

(Aravena,Caamaño,Giménez,2008)

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 39

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 40

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 41

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

Enunciadosverbales

Estereo1pados Autén1cos

Exp.Externaalsujeto

Exp.delsujeto

ConstruccióndeRepresentaciones Modelaciónatravésdeproyectos

Gráficas Mod.delasformas(simulación)

Orientadosaldesarrollodeuncontenido

Libre

UsoyAnálisisdemodelos

Par1cipacióndelprofesorydelosestudiantes

Propósitoforma1vo(Habilidades,competencias,

Mo1vación,compresión,…)

Alcancesdelamatemá1caenlasituación(descrip1vo,Prescrip1vo,control,etc.)

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 42

Manerasdeintegrarlamodelaciónmatemá1caenaula

Enunciadosverbales

Estereo1pados Autén1cos

Exp.Externaalsujeto

Exp.delsujeto

ConstruccióndeRepresentaciones Modelaciónatravésdeproyectos

Gráficas Mod.delasformas(simulación)

Orientadosaldesarrollodeuncontenido

Libre

UsoyAnálisisdemodelos

Otramaneradeintegrarlamodelación.Elusoanálisisdemodelos

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 43

Crecimiento fetal

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 44

Evoluciónsemanasdelpesoytamañodelfeto.Tomadodeh�p://www.papaenapuros.com/evolucion-del-peso-del-feto-en-el-embarazo/

Crecimiento fetal

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 45

Tamañoypesodeunfeto.Tomadodeh�p://www.papaenapuros.com/evolucion-del-peso-del-feto-en-el-embarazo/

Crecimiento fetal

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 46

Pesoalfinaldecadamesdelembarazo;h�p://www.portalesmedicos.com/publicaciones/ar1cles/1177/6/

Momento 1. ¿Qué es lo que modela el modelo?

Observarlosgráficosylatabla.¿Quédicenacercadelcrecimientofetal?

¿Cuálespreguntaspuedenrespondersea

travésdelmodelo?¿Cuálesno?

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 47

Momento 2.

1.  ¿Puedeverun“patrón”decrecimientofetalduranteelembarazo?

2.  ¿Cuálesfactorespuedeninfluenciarodeterminarelpesoalnacer?

3.  ¿Cómocreequelosmatemá1cos,biólogos,médicoshanllegadoaconsolidaresosmodelosmatemá1cos?

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 48

Momento 3. Los modelos en el aula

Modeloscomoelpresentadoenesteseminariotambiénpuedeserusadocomomediosparadesarrollaralgunasaccionesenlaclasedematemá1cas.Discutaconsuscompañerossobrelamaneraenqueustedpodríausarloparaprepararydesarrollar

algunassecuenciasdeclase.JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 49

En el momento 1, los estudiantes hacen:

- Observarlasmagnitudes- Comprenderlas“reglas”delgráfico- Observarcomportamientos(crecimientosy,nosiempre,latasadevariación)

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 50

Losestudiantespreguntan:¿Cuáleselmodelo?¿Cuáleslaecuación?

Una aproximación al estudio de la variación

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 51

Posada&Villa-Ochoa(2006)

Análisis de la variación en una tabla ¿Correspondeelpesoaunpatróncuadrá1co?

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 52

Conlainformacióndelasdiferencias¿Sepodriasabersiescuadrá1co?

Una aproximación al estudio de la variación en funciones cuadrá9cas

JhonyA.Villa-Ochoajavo@une.net.co 53

Villa-Ochoa(2008)

Algunasconsideracionesenla

formacióndeprofesores

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 54

• ¿Quéesloquesubyaceatodasesasmanerasdehacermodelación?

• Proceso/ambientedeaprendizaje/competencia/estrategia/métododeenseñanza.

• Lamodelaciónmatemá1caalinteriordelaulanoobedeceaunacomprensiónhomogénea. JhonyAlexanderVilla-Ochoa

jhony.villa@udea.edu.co 55

• Notodaslasmanerasdehacermodelación1enenlosmismospropósitoseduca1vos.

• Losalcancesdelamodelaciónmatemá1caenelauladeclasenosonabsolutos,porelcontrario,estánencorrespondenciaconlasmanerasenquesedesarrolleesteprocesoenelauladeclase.

• Lamodelaciónmatemá1cainvolucraalosprofesoresylosestudiantesendinámicasdiferentesquedependendelospropósitosconlosquesevealamodelaciónenelauladeclase.

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 56

•  ¿Porquédebeonoimplementarseprocesosdemodelación?• Generarespacios(comunidades)enloscualeslosprofesorestengandiversidaddeexperienciasdemodelación,peroquealavez,puedanreconocerlasposibilidadesylimitacionesqueesasformasofreceyplanearestrategiasparaatenderlosdesa�osque1enesimplementarcadaunadeellasenelauladeclase.

•  Trascenderlasdenominaciones• Reconocerestereo1posypromoverestrategiasparasuperarlos

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 57

En nuestros espacios de formación

Referencias •  Aravena,M.;Caamaño,C.;Giménez,J.(2008).Modelosmatemá1cosatravésdeproyectos.Relime,11(1),49-92

•  Arcavi,A(2008).Modellingwithgraphicalrepresenta1ons.ForthelearningMathema'cs.28(2),2-10

•  Bono�o,C.(2007).Howtoreplacewordproblemwithac1vi1esofrealis1cmathema1calmodelling.InW.Blum,P.Galbraith,H.Henn,&M.Niss(Eds.),Modellingandapplica'oninMathema'csEduca'ons.The14thICMIStudy(pp.185-192).NewYork:Springer.

•  D’Ambrósio,U.(2005).Sociedade,cultura,matemá1caeseuensino.EducaçãoePesquisa,31(1),99–120.

•  Giere,R.N.(1999).UsingModelstoRepresentReality.InL.Magnani,N.J.Nersessian&P.Thagard(Eds.),Model-BasedReasoninginScien'ficDiscovery(pp.41-57).NewYork:SpringerUS.

•  Guerrero,G.(2010).Lanocióndemodeloenelenfoquesemán1codelasteorías(TheNo1onofModelwithintheSeman1cApproachofTheories).PraxisFilosófica(31),169-185.

•  Kaiser,G.(2014).Mathema1calModellingandApplica1onsinEduca1on.InS.Lerman(Ed).EncyclopediaofMathema'csEduca'on.(pp.396-404).Dordrecht:Springer

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 58

Referencias •  Linge�ärd,T.(2006).Facesofmathema1calmodeling.ZDM,38(2),96-112•  Meier,M.&Gravina,M.(2012).ModelagemnoGeoGebraeodesenvolvimentodopensamentogeométricono

EnsinoFundamental.1ª.ConferênciaLa'noAmericanadeGeoGebra.h�p://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/ar1cle/download/9583/7124

•  Verschaffel,L.D.;DeCorte,E.yBorghart,I.(1997).Pre-serviceteachers'concep1onsandbeliefsabouttheroleofreal-worldknowledgeinmathema1calmodellingofschoolwordproblems.LearningandInstruc'on,7(4),339-359.

•  Verschaffel,L.,VanDooren,W.,Greer,B.,&Mukhopadhyay,S.(2010).Reconceptualisingwordproblemsasexercisesinmathema1calmodelling.JournalfürMathema'k-Didak'k,31(1),9-29.

•  Villa-Ochoa,J.A.,&Jaramillo,C.M.(2011).SenseofRealitythroughmathema1calmodeling.InG.Kaiser,W.Blum,R.BorromeoFerri,&G.S1llman(Eds.),Trendsintheteachingandlearningofmathema'calmodelling–ProceedingsofICTMA14.NewYork:Springer.

•  Villa-Ochoa,J.A.,&Ruiz,M.(2009).ModelaciónenEducaciónMatemá1ca.UnamiradadesdelosLineamientosyEstándaresCurricularesColombianos.RevistaVirtual-UniversidadCatólicadelNorte(27),1-21.

•  Villa-Ochoa,J.A.,Bustamante,C.A.,Berrio,M.,Osorio,J.A.,&Ocampo,D.A.(2009).Sen1doderealidadymodelaciónmatemá1ca.ElcasodeAlberto.ALEXANDRIA.RevistadeEducaçãoemCiênciaeTecnologia,2(2),159–180.

•  Villa-Ochoa,J.A.(2015).Modelaciónmatemá1caapar1rdeproblemasdeenunciadosverbales:unestudiodecasoconprofesoresdematemá1cas.magis,RevistaInternacionaldeInves'gaciónenEducación,8(16),xx-xx.doi:10.11144/Javeriana.M8-16.MMPE

•  Villa-Ochoa,J.A.&Berrío,M.J.(2015).Mathema1calModellingandCulture.AnEmpiricalStudy.EnGloriaA.S1llman,WernerBlum&MariaSallet-Biembengut(eds.).Mathema'calModellinginEduca'onResearchandPrac'ce:Cultural,SocialandCogni'veInfluences,chapter19.NewYork:Springer.

JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 59

Muchas gracias por su atención Jhony Alexander Villa-Ochoa

jhony.villa@udea.edu.co JhonyAlexanderVilla-Ochoajhony.villa@udea.edu.co 60