Modellieren am Beispiel des ‚Dosenproblems‘. Situation Mathematisches Modell Lösung im Modell...

Modellierenam Beispiel des

‚Dosenproblems‘

Situation MathematischesModell

Lösung im ModellLösungIn der

Realität

Von der Situation zum

mathematischen Modell zur

Lösung

Brainstorming:Was muss bei der Wahl der Verpackung beachtet werden?

• Herstellungsart• Form der Dose (rund, eckig,...)

Materialverbrauch Stapeln Herstellungsprozess

Ästhetik

Gestaltung des Etiketts

• Handhabbarkeit (Öffnen, Kinder,...)• Lagerungsdichte (Transport nach Taiwan)• Dicke und Art des Materials

Ziel der Modellierung an der Dose

• Herstellungskosten möglichst gering, bzw. Gewinn möglichst hoch ansiedeln

• Möglichst kleiner Materialverbrauch bei großem Inhalt

Optimale Maße einer Konservendose herausfinden! optimales Verhältnis zwischen Radius r und Höhe h

Rechnung:V=π • r² • h O= 2 • r² • π + 2 • π • r • hh = V / r² • π = 0,84 / r² • πO= 2 • r² • π + 2 π • r • 0,84 / r² • πO= 2 • r² • π + 1,68 / rf(r)=2 • r² • π + 1,68 / rf‘(r)=4 • r • π - 1,68 / r² |geringste Oberfläche wenn f‘(r)=O

O= 4 • r • π – 1,68 / r² ________1,68 / r² = 4 • r • π => r=³ 1,68 / 4π 0,511328h= 0,84 / 0,511² • π 1,02 Verhältnis: h = 2 • r

Allgemeine Rechnung:V= r² • π • h => h= V / r² • πO= 2 • r² • π + 2 • π • r • h O= 2 • r² • π + 2 • π • r • V / r²•π = 2 • r² • π + 2 V / rf(r)= 2 • r² • π + 2 • V / rf‘(r)= 4 • r • π -2•V / r² |f‘(r)=OO= 4 • r • π – 2 • V / r²2 • V / r² = 4 • r • πV= 4•r³•π / 2 =2•r³•πh= V / r² • π = 2•r³•π /r²•π h=2r

Ergebnis

Optimale Dose – Quadratisches ProfilFALSCHEchte Dose hat Überlappungen am

VerschlussÜberlappungsmaße am Original abnehmen

Überlappungsmaße

• r2=r+0,7• h2=h+0,6

Rechnung an der 840ml-Dose

O= 2 • π • r2² + 2 • π • r • h2

O=2 • π • ( r + 0,7 )² + 2 • π • r • (h + 0,6)O=2•π•(r²+1,4•r+0,49)+2•π•r•(V/π•r²+0,6)=2•π•r²+2•π•1,4•r+2•π•V/π•r+2•π•r•0,6=2 • π • r² + 4 • π • r + 0,89 • π + 2 • V / r