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Modelo de Gerenciamento de Risco Cambial para
Dívida Pública
2
1 - INTRODUÇÃO
Recentemente, algumas crises econômicas ocorridas com as chamadas
economias emergentes, como a Crise Argentina e a Russa, realçaram a
importância de um programa de administração do passivo do setor público. No
contexto de uma economia globalizada, onde ocorrem intensos fluxos de
capitais, guiados muitas vezes por expectativas de desempenho econômico
futuro, uma eficiente administração do passivo pode ser um importante
elemento de sinalização para o mercado. Dessa forma, a administração do
passivo do setor público vem tendo ampliados sua importância e seu
reconhecimento.
Outro tema que vem recebendo uma quantidade cada vez maior de atenção ao
longo dos últimos anos é o do gerenciamento do risco. Existe uma percepção
generalizada de que, em virtude de uma crescente integração entre os
mercados, as unidades econômicas estão atualmente expostas a um risco
financeiro maior do que há algumas décadas. O crescimento do mercado de
derivativos pode ser visto como uma conseqüência da busca por maior
proteção contra riscos, embora as operações com esses ativos possam ser
também causa do aumento do risco potencial ao qual estão expostas as
unidades econômicas.
O presente trabalho aborda ambos os temas. Procura-se desenvolver um
modelo de administração de passivos do setor público, calcado no
3
gerenciamento do risco. Especificamente estaremos abordando a questão do
risco cambial.
É interessante notar que, embora a administração de ativos seja uma das
áreas da ciência das finanças que mais se desenvolveram nos últimos 15 ou
20 anos, a administração de passivos não obteve, nesse período, o mesmo
grau de atenção e desenvolvimento. A literatura sobre administração de
passivo é comparativamente mais escassa.
Existe um razoável volume de textos sobre administração de passivos que são
aplicáveis à realidade das empresas. Tais trabalhos discutem a estrutura ótima
de capital da empresa em função de seus ativos, receitas, etc. Nesta literatura
é possível obter-se importante conceitos, mas os modelos são claramente
inadequados à realidade de um país.
Existe também uma literatura aplicada à administração do passivo do setor
público que estuda o papel do endividamento, interno e externo, no
desenvolvimento econômico. Esta literatura, de enfoque macroeconômico,
analisa a dinâmica do endividamento e sua relação com crescimento do
produto, exportações, reservas internacionais, etc. Geralmente as análises
concentram-se na questão da dívida externa, ou seja, estuda-se como se
aproveitar a poupança externa e, ao mesmo tempo evitar uma crise cambial.
Existe uma boa quantidade de artigos analisando as crises de endividamento
ocorridas na América Latina, Europa Oriental e Ásia. Nessa abordagem, dívida
4
externa é definida como qualquer dívida de um residente junto a um não-
residente.
Este artigo apresenta uma abordagem alternativa. Entende-se que a
administração do balanço de pagamentos é função do Banco Central através
de seu Departamento de Administração das Reservas Internacionais. Ao
Tesouro cabe a política fiscal. Busca-se então elaborar um modelo onde a
variável relevante seja o fluxo de pagamentos do Tesouro. Mais
especificamente, o modelo aqui proposto está baseado no gerenciamento do
risco associado aos pagamentos decorrentes de compromissos denominados
em moedas estrangeiras, a serem realizados pelo Tesouro Nacional.
Este artigo está dividido em seis seções e três apêndices. A próxima seção
descreve a “filosofia” do modelo, sua fundamentação teórica e a sua estrutura.
A terceira seção explica a forma de implementação do modelo e discutem-se
as diversas alternativas de obtenção dos dados primários. A quarta seção
apresenta os resultados obtidos para uma carteira de 21 títulos denominados
em três moedas: dólar, euro e iene. Obviamente o modelo pode ser facilmente
aplicado a uma carteira com maior número de títulos e moedas. A seção cinco
apresenta as conclusões e naturalmente discute possíveis extensões e
aperfeiçoamentos do sistema proposto. Finalmente a sexta seção apresenta as
referências bibliográficas.
O apêndice A resume os principais aspectos da distribuição normal de duas
partes, que é uma importante alternativa para a modelagem dos dados. O
5
apêndice B descreve a distribuição t de Student, decomposição de Choleski e
suas relações matemáticas com as correlações encontradas em diversas
partes da modelagem. Finalmente o apêndice C fornece o enunciado preciso
do Lema de Ito, um resultado tradicional do cálculo estocástico.
6
2 - DESCRIÇÃO DO MODELO
2.1 Conceitos Subjacentes
O modelo aqui proposto visa a medir o risco cambial ao qual está sujeito o
Tesouro Nacional em função da composição da sua dívida denominada em
moedas estrangeiras.
A palavra risco deve ser entendida aqui dentro do seu conceito usual em
finanças, qual seja, de variação ou desvio padrão de resultados esperados. A
expressão risco cambial também possui um significado bastante intuitivo. Uma
unidade econômica incorre em risco cambial quando possui ou possuirá, ativos
ou passivos cujos valores deverão ser convertidos na moeda relevante para a
unidade, a uma taxa de câmbio desconhecida.
O Tesouro Nacional incorre em risco cambial como decorrência da sua dívida
denominada em moedas diferentes do real. Ou seja, geram risco cambial a
dívida contraída no exterior, bem como a emissão de títulos internos indexados
ao valor do dólar (NTN-D).
Uma variação no valor da moeda nacional frente às demais moedas altera o
valor da dívida denominada em moeda estrangeira frente aos valores
expressos em reais como o produto interno, por exemplo. Na literatura esse
tipo de risco é denominado de risco de tradução (translation risk). No caso de
7
um país, a conseqüência prática desse tipo de evento é a alteração dos
índices usualmente adotados para se medir a saúde financeira da economia.
Um outro tipo de risco cambial é aquele usualmente denominado de risco de
transação (transaction risk), que poderíamos denominar, alternativamente, de
risco de fluxo de caixa. Para o passivo do Tesouro Nacional denominado em
moedas estrangeiras, o valor dos pagamentos futuros, sejam de principal ou
de juros, embora geralmente conhecidos na sua moeda original, só terão seus
valores em reais conhecidos na data do efetivo pagamento.
Uma apreciação do real frente às moedas de denominação da dívida reduz os
pagamentos em reais a serem feitos pelo Tesouro. Por outro lado, uma
depreciação da moeda nacional eleva esses pagamentos.
O modelo ora proposto preocupa-se exatamente com esse descasamento: as
receitas fiscais do Tesouro Nacional encontram-se em reais, enquanto que o
valor de alguns pagamentos depende do valor do Real frente às moedas
estrangeiras.
O risco considerado relevante é a volatilidade dos fluxos de caixa em reais.
Desta forma conhecer as probabilidades associadas as taxas cambiais em
diversos momentos no futuro, ou seja conhecer o processo estocástico,
indexado pelo tempo, dos vetores aleatórios das taxas de câmbio das três
moedas listadas acima, torna-se ferramenta fundamental para o planejamento
das captações em moeda estrangeira.
8
Por outro lado, o modelo não considera a variação em reais no valor do
estoque da dívida. O cálculo do valor de um ativo ou passivo pelas condições
vigentes de mercado é denominado de marcação a mercado (mark to market).
Trata-se de um conceito extremamente relevante no caso da administração de
ativos, pois o mark to market fornece o valor de uma carteira caso ela fosse
liquidada nas condições de mercado vigentes. Porém, no caso de
administração do passivo, especialmente soberano, esse conceito é menos
relevante, já que um devedor, diferentemente de um administrador de ativos,
usualmente não têm como liquidar seu portfólio. Por esse motivo, para o
devedor, em termos práticos, o mais importante é conhecer a distribuição dos
valores a serem efetivamente desembolsados.
2.2 Fundamentação Teórica
O modelo supõe que cada taxa de câmbio descreva um processo estocástico
unidimensional conhecido como movimento browniano geométrico. Este
processo estocástico com tempo contínuo é dado por:
. .dS S dt S dzµ σ= + , onde:
S representa o preço do ativo, neste caso a taxa de câmbio;
µ representa o drift;
σ representa a volatilidade;
9
t representa o tempo;
z representa um processo de Wiener, isto é, dz dtε= , onde ε indica uma
distribuição normal padrão. As diversas distribuições normais padrão são
independentes.
Aplicando o lema de Ito ao processo ( , ) ln( )G S t S= tem-se:
( ) ( )2
2ln( ) .dG d S dt dzσµ σ= = − +
Portanto trata-se de um processo de Wiener generalizado, isto é, da forma:
. .dx a dt b dz= + , com ,a b são constantes reais.
Desta forma pode ser provado que:
( ) ( )( ) ( )( )21
0
21 0 1 02ln ~ , .S
S N t t t tσµ σ− − −
Como é tradicional em cálculo estocástico se considera a capitalização
contínua. Logo tem-se ( )1
00,1 ln SSR =
, onde 0,1R representa o retorno obtido entre
os tempos 0t = e 1t = .
Portanto os retornos se distribuem conforme variáveis aleatórias normais, com
médias proporcionais ao intervalo de tempo e desvios padrões proporcionais a
raiz quadrada do tempo. Matematicamente:
10
( ) ( ) ( )( )2 20,1 1 0 1 02~ , .R N t t t tσµ σ− − −
2.3 Estrutura do Modelo
O modelo aqui discutido foi implantado através de um sistema de planilhas
eletrônicas, que produz o referido processo estocástico. A metodologia
empregada está dividida em três partes (ou etapas), o que facilita sua
compreensão, bem como a verificação da consistência interna e de possíveis
erros. Além disso alguns testes de robustez podem ser implementados
separadamente em cada parte do sistema. Este procedimento permite futuros
aperfeiçoamentos nas partes do sistema que se julgar mais conveniente.
2.2.1 Primeira Etapa: Cálculo dos Dados Básicos
Na primeira parte da modelagem obtêm-se os chamados dados básicos que
indicarão a tendência (drift), a volatilidade e as correlações associadas as três
moedas que compõem a dívida externa brasileira. Mais precisamente, as
variáveis de interesse são os retornos associados as variações cambiais das
moedas em questão.
Estes números são extraídos de dados históricos (chamados também de dados
crus), de expectativas das taxas de câmbio dadas pelo mercado ou
diretamente introduzidos no sistema.
11
Os dados básicos serão os parâmetros das simulações estocásticas
(simulações de Monte-Carlo) a serem realizadas na segunda etapa.
Para se achar as correlações entre os retornos associados as três taxas de
câmbio utilizam-se sempre os dados históricos. Por outro lado, pode-se
escolher entre as seguintes quatro alternativas para o cálculo das volatilidades
dos retornos e de seus drifts:
1) Dados históricos supondo distribuições normais dos retornos associados as
variações cambiais. Os estimadores são a média e a variância amostral.
2) Dados históricos supondo distribuições distribuição normal-de-duas-partes
(N2P) dos retornos. (Esta distribuição de probabilidade é assimétrica e
generaliza a normal. Maiores detalhes são dados no apêndice A.) Neste caso
são calculados os estimadores de máxima verossimilhança (EMV).
3) Cenários Macroeconômicos. Neste caso são inicialmente entrevistados
cinco especialistas em taxas de câmbio. Com um nível de confiança
preestabelecido (que é arbitrário, mas usualmente 95% ou 99%), pergunta-se
aos especialistas quais os valores máximos e mínimos que as taxas de câmbio
vão estar um ano a frente, com aquele nível de confiança. Pergunta-se
também quais os valores mais prováveis (moda da distribuição) que as
moedas estarão em um ano.
12
A seguir calculam-se os retornos relativos a estas variações nas taxas de
câmbio com relação ao seu valor atual. Estes retornos (máximo, mínimo e valor
mais provável) são modeladas segundo uma distribuição normal-de-duas-
partes (N2P).
Desta forma se extraem as volatilidades e os drifts associados as três taxas de
câmbio que estão sendo consideradas.
4) Livre entrada dos dados básicos (parâmetros a serem utilizados nas
simulações estocásticas).
2.2.2 Segunda Etapa: Simulações Estocásticas
Esta fase consiste no núcleo do modelo, ou seja, no processo gerador dos
vetores aleatórios de dimensão três que descreverão as probabilidades das
taxas de câmbio atingirem determinado nível.
Com base neste processo estocástico a próxima etapa irá explicitar as
distribuições de probabilidade do valor dos pagamentos da dívida externa,
bem como vai se poder ver as distribuições relativas a um determinado título
ou relativas a um determinado período de tempo.
13
3 - IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO
A seguir os procedimentos computacionais envolvidos na implementação do
sistema serão brevemente explicados.
Na primeira etapa da modelagem devem ser extraídos os dados básicos. Esse
conjunto de números é definido pela matriz de correlações (histórica) entre
retornos associados a portfolios comprados nas três moedas, pelos drifts e
pelas volatilidades dos retornos dos referidos portfolios.
Como se sabe, para o cálculo da matriz de correlações entre os retornos
associados a investimentos nas três moedas serão sempre utilizadas as
correlações históricas nos últimos dois anos.
Porém para o cálculo do drift e da volatilidade de cada moeda, vários
procedimentos podem ser utilizados. A seguir eles estão detalhados.
3.1 Dados Históricos (supondo normalidade)
Nesta alternativa, que é a mais usualmente empregada em sistemas deste
tipo, são extraídas as médias e volatilidades históricas dos retornos de acordo
com os estimadores de média amostral e variância amostral. Estes
estimadores são não-viesados (supondo-se que a verdadeira população é
distribuída normalmente) e de máxima verosimilhança, o que são duas
características desejáveis.
14
Pode-se argumentar sobre a forte hipótese que se está introduzindo:
normalidade. Entretanto grande parte da teoria das finanças está construída
com este tipo de hipótese. Além disso muitos testes empíricos já foram
realizados com bons resultados.
3.2 Dados Históricos (estimativa de máxima verossimilhança supondo
uma distribuição de probabilidade N2P)
Aqui se utiliza uma distribuição que generaliza a normal. Desta forma tenta-se
capturar a assimetria dos retornos, bem como o caráter platocúrtico
característico da distribuição N2P e dos mercados cambiais. No apêndice A
mostra-se como são definidos os estimadores de máxima verossimilhança de
uma distribuição N2P.
Numericamente os resultados são próximos da estimação supondo-se
normalidade. Deste forma esta opção representa um pequeno refinamento do
procedimento mais tradicional (que supõe normalidade).
3.3 Expectativas do Mercado
Para se extrair as expectativas de mercado será adotado um procedimento que
tenta capturar a opinião de 5 especialistas em taxas de câmbio e adotar uma
“espécie de média”. Mais precisamente tem-se o seguinte algoritmo:
15
Inicialmente fixa-se arbitrariamente um nível de confiança . Tipicamente =
95%. Este valor deve ser adequado para que os especialistas tenham uma boa
sensibilidade ao trabalhar com ele.
Em seguida para cada entrevistado e para cada moeda fixada utilizam-se os
seguintes procedimentos:
Com base na cotação cambial atual e das 3 previsões relativas aos valores
mínimo, máximo e mais provável, doravante chamado de moda, da taxa de
câmbio um ano à frente, calculam-se os três retornos anuais correspondentes.
Depois disso acham-se os três parâmetros (entre eles a moda µ ) definidores
de uma distribuição de probabilidade ~ 2X N P tal que:
( )( )
( )
12
12
P X mín
Moda X
P X máx
α
α
µ
−
+
≤ =
= ≤ =
Observa-se que usualmente tem-se:
95%α = ⇒
12
12
2,5%
97,5%
α
α
−
+
=
=
Em seguida calculam-se a média (drift) e a variância desta distribuição, em
termos anuais. As fórmulas do valor esperado e da variância desta distribuição
estão explicitadas no apêndice A.
16
Nossas médias (drifts) e nossas variâncias (volatilidades) anuais,
correspondentes as três moedas serão dadas, respectivamente, pelas médias
aritméticas dos drifts e variâncias dos cinco entrevistados.
As variâncias semanais relativas a cada moeda serão dadas pelas variâncias
anuais divididas pela raiz quadrada de 52.
Os drifts semanais serão dados pela fórmula:
( )521 1semanal anualµ µ+ = +
3.4 Livre Entrada
Nesta alternativa pode-se entrar livremente no sistema com quaisquer valores
numéricos para os drifts e as volatilidades.
A grande vantagem desta alternativa é a enorme flexibilidade que ela oferece.
A desvantagem é o fato de se estar entrando com parâmetros completamente
arbitrários, podendo-se deste modo alterar os resultados finais de forma
relevante.
17
3.5 Implementação das Simulações Estocásticas
Uma simulação estocástica é construída da seguinte forma: a partir do sorteio
segundo uma variável aleatória conhecida verifica-se qual a evolução do
sistema em um pequeno (e arbitrário) intervalo de tempo. No presente caso o
intervalo de tempo foi de um mês. Fazendo este “sorteio” repetidamente,
sempre tomando como ponto de partida (input) de uma etapa o resultado da
anterior (output da etapa anterior) tem-se um caminho aleatório, ou uma
realização do processo estocástico. Esta realização do processo será
chamada também de um path.
Repete-se este procedimento um grande número de vezes. No presente
sistema foram considerados 1000 paths. O ideal é que sejam realizados 10000
ou mais paths. Porém, devido as limitações computacionais o número 1000 foi
escolhido.
A seguir descreveremos o algoritmo que fornece a estrutura de sorteios em
distribuições normais padrão tri-variadas com uma matriz, ρ , de correlações
preestabelecida. Tal matriz terá, por hipótese, coeficientes reais, será
quadrada de ordem 3, simétrica e positiva definida.
Os referidos sorteios estão relacionados aos choques estocásticos que
ocorrerão ao longo de cada um dos 1000 paths. Vai-se agora construir os
choques estocásticos em um determinado período futuro fixado.
18
Considere a matriz 3 1000xX , formada por sorteios, supostamente independentes,
de uma normal padrão. Nesta matriz cada linha está relacionada a cada uma
das três moedas. Assim na primeira linha tem-se o dólar, na segunda o euro e
na terceira o iene.
A j-ésima coluna representa o vetor (matriz 3 x 1000) choque estocástico
relativo ao j-ésimo caminho aleatório.
Inicialmente considera-se cada linha da matriz 3 1000xX como um vetor linha. Ou
seja:
, 1, 2, 3iX i∀ =
Sejam os vetores linha , 1, 2, 3iY i∀ = obtidos dos vetores iX pela subtração da
média seguida da divisão de cada coordenada pelo desvio padrão amostral.
Matematicamente tem-se 1, 2,3i∀ = :
10001
,10001
i i jj
Xµ=
= ∑
( )1000 2
1,1000 1
1i i j i
j
Xσ µ−=
= −∑
,
,i j i
i
X
i jYµ
σ−=
19
Dessa forma se constrói a matriz 3 1000xY que terá por finalidade garantir
números aleatórios normalmente distribuídos com média 0 e variância 1 -
N~(0,1). A grande maioria dos geradores de números aleatórios normalmente
distribuídos, que na verdade são pseudo-aleatórios, acabam não fornecendo
variáveis com média igual a 0 e variância igual a 1 precisamente, no entanto
podemos conseguir a N~(0,1) aplicando a transformação que nos leva a matriz
3 1000xY descrita acima. Pode ser provado facilmente que a correlação entre
duas linhas quaisquer da matriz 3 1000xX é igual a correlação entre as linhas
correspondentes da matriz 3 1000xY .
Também é muito importante salientar que a transformação aplicada em 3 1000xX
para se obter 3 1000xY não afeta a normalidade dos sorteios. De fato como tem-se
, ,,
i j i
i
X i j ii j
i i
XY
µσ
µσ σ
−= = − então pode ser verificado que cada coeficiente da matriz
3 1000xY será assintoticamente normal, pois o primeiro termo do lado direito da
expressão é uma variável aleatória normal sob uma v.a. que converge para 1,
enquanto que o segundo termo é uma distribuição t de Student com 999 graus
de liberdade. Como se sabe quando o número de graus de liberdade é
superior à 30 na distribuição t de Student tem-se uma distribuição muito
próxima da normal.
20
Seja portanto
12 13
12 13
13 13
1
1
1
e e
e e e
e e
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρ
= a matriz de correlações obtidas entre as 3
séries numéricas consideradas (vetores linha da matriz 3 1000xX ou 3 1000xY ).
Mesmo tendo-se realizado os sorteios de forma independente as correlações
encontradas provavelmente serão não triviais.
Desta forma irá se proceder de forma a retirar tais correlações dos vetores
linha , 1, 2, 3iY i∀ = . Para tanto utiliza-se uma decomposição de Choleski de
modo a fazer uma correção nestes sorteios iniciais com a finalidade de se ter
uma distribuição descorrelacionada.
Com esta intuito faz-se a decomposição de Choleski .e te eL Lρ = , ou seja:
12 13 11 11 12 13
12 23 12 22 22 23
13 23 13 23 33 33
1 0 0
1 0 0
1 0 0
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
d d d d
d d d d
d d d d
ρ ρρ ρρ ρ
= ⋅
A matriz 3 1000xZ que tem linhas descorrelacionadas será calculada por:
1.eZ L Y−=
A idéia matemática deste procedimento inicial é ortogonalizar os vetores linha.
21
Em seguida aplica-se outra transformação linear para introduzir as correlações
teóricas já calculadas na primeira etapa do sistema de gerenciamento de risco
cambial.
Seja portanto a matriz ρ , de correlações históricas, dada por:
12 13
12 23
13 23
1
1
1
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρ
=
Considera-se novamente uma decomposição de Choleski . tL Lρ = , ou seja:
12 13 11 11 12 13
12 23 12 22 22 23
13 23 13 23 33 33
1 0 0
1 0 0
1 0 0
d d d d
d d d d
d d d d
ρ ρρ ρρ ρ
= ⋅
A matriz 3 1000xW que tem os sorteios normais padrão tri-variados com
correlações definidas por ρ será dada pela equação:
.W L Z=
Do ponto de vista matemático esta etapa corresponde a se aplicar uma
transformação linear aos 3 vetores linha (que formam um conjunto ortogonal)
da matriz 3 1000xZ de modo que eles tenham produtos internos (intuitivamente
pode-se pensar nos produtos internos como sendo os ângulos entre os
vetores) preestabelecidos.
22
O coração da modelagem consiste na simulação de Monte-Carlo multivariada.
Para cada uma das 3 moedas, utilizam-se as 1000 trajetórias aleatórias, cada
trajetória sendo composta de 60 períodos mensais.
A primeira planilha do sistema sorteia, de acordo com distribuições normais
padrão, 180.000 valores (observa-se facilmente que 180.000 = 1.000 x 60 x 3).
Esse número ocorre porque deseja-se ter 1000 trajetórias (paths), cada uma
delas com 60 períodos mensais, ou seja 5 anos, e contemplando 3 moedas
distintas; a saber o dólar, o euro e o iene.
Conhecendo-se as trajetórias aleatórias para os preços das 3 moedas, torna-
se bastante simples a tarefa de obter os valores em reais dos pagamentos
associados a um título específico ou à carteira total. A partir daí obtemos a
distribuição dos valores em reais a serem pagos pelo Tesouro Nacional.
23
4 - RESULTADOS
O objetivo desta seção do trabalho é mostrar, a partir da geração de taxas de câmbio
futuras, a distribuição de probabilidades de pagamentos semestrais em Reais a serem
feitos pelo Tesouro Nacional considerando uma determinada carteira de dívida.
O Tesouro Nacional possui um passivo externo denominado em diferentes moedas,
sendo as principais dólar, euro, e iene. O presente trabalho concentrou-se na análise
de uma carteira de 21 títulos1 de dívida externa de responsabilidade do Tesouro
Nacional. O gráfico abaixo nos dá uma idéia do percentual da dívida analisada em
relação ao total da dívida externa securitizada.
Conforme podemos ver, a dívida considerada nos cálculos que se seguirão
representa mais da metade da dívida externa na forma de títulos de responsabilidade
do Tesouro Nacional. Cabe-se ressaltar que os cálculos feitos neste trabalho aplicam-
1 A carteira de dívida externa analisada foi composta com os seguintes títulos: Bônus Globais 04, 06, 07, 08, 09, 20, 24, 27,
30 e 40; Samurais 03, 06 e 07 e os Euros 02, 03, 04, 05, 06, 07, 10 e 11.
D í v i d a A n a l i s a d a x D í v i d a n ã o a n a l i s a d a
4 7 %
5 3 %
D í v i d a S e c u r i t i z a d a N ã o A n a l i s a d a
D í v i d a S e c u r i t i z a d a A n a l i s a d a
T o t a l D ív id a S e c u r i t i z a d a : U S D 5 6 b i lh õ e s
24
se a qualquer dívida que o Tesouro Nacional possa ter em moeda estrangeira.
Apenas a título de simplificação, restringimos a carteira de dívida considerada.
Utilizando séries históricas das taxas de câmbio diárias de dólar, euro e iene contra o
real no período compreendido entre 09/04/1999 a 10/10/20012, obtivemos as
estimativas dos parâmetros mensais para as volatilidades e correlações que serviram
como entrada de dados na geração das 1000 taxas de câmbio futuras mensais de
cada moeda. A metodologia adotada, portanto, foi a descrita no item 3.1 – Dados
históricos supondo normalidade.
O horizonte de análise foi de 5 anos divididos mensalmente, e por intermédio do
método de simulação de Monte-Carlo obtivemos 60.000 previsões de taxas de câmbio
para cada moeda, 1000 previsões para cada mês, perfazendo-se um total de 180.000
previsões quando contabilizamos as três moedas em questão nos 60 meses.
A título de ilustração, apresentamos abaixo as previsões obtidas para o dólar, euro e
iene. A taxa de câmbio está expressa de modo a representar quantos reais seriam
necessários para comprarmos uma unidade de moeda estrangeira. As linhas mais
fortes nos gráficos que seguem representam a tendência de apreciação ou
depreciação das moedas frente ao Real. A tendência é determinada pelas médias
(drifts) obtidas dos dados históricos e por qualquer outro método descrito. Em nossa
análise, consideramos médias (drifts) iguais a zero para as três taxas de câmbio em
2 Não consideramos um período maior de análise maior pelo fato do Euro só ter sido criado no início de 1999, e
ainda expurgamos também o período logo após a mudança de regime cambial no país, fevereiro de 1999, pois tal
período demonstrou incerteza acentuada no mercado, o que gerou uma volatilidade anormal.
25
questão. Desta forma não teríamos nenhuma perspectiva de apreciação ou
depreciação. Esta premissa serve para simplificarmos a análise. Outras médias (drifts)
poderiam ser usadas, dependendo do critério do pesquisador.
As previsões para o dólar em 5 anos estão representadas pelo gráfico a seguir.
Em relação ao Real/Euro, as previsões em 5 anos estão demostradas no que segue
abaixo.
U S D F X P a t h s
1 , 1 0
1 , 6 0
2 , 1 0
2 , 6 0
3 , 1 0
3 , 6 0
4 , 1 0
4 , 6 0
5 , 1 0
5 , 6 0
6 , 1 0
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
T e m p o ( A n o s )
E U R F X P a t h s
0 ,60
1 ,60
2 ,60
3 ,60
4 ,60
5 ,60
6 ,60
7 ,60
8 ,60
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
T e m p o ( A n o s )
26
Quanto a taxa de câmbio Real/Iene obtivemos as seguintes previsões em 5 anos
conforme gráfico abaixo.
Conforme podemos ver, aparentemente a maior volatilidade estaria na variável
Real/Dólar, pois conforme vimos pelos gráficos, o cone é mais aberto para esta
variável, o que significa dizer que valores mais altos ou mais baixos para esta taxa de
câmbio poderiam ser obtidos. Valores mais altos são considerados desfavoráveis,
pois implicariam um desembolso maior em Reais quando do pagamento da dívida
externa.
Finalmente, mostramos a distribuição de probabilidades dos desembolsos em reais
que o Tesouro Nacional realizaria no primeiro semestre de 2002, considerando-se o
fluxo de caixa dos títulos analisados e as previsões das taxas de câmbio obtidas pela
simulação de Monte-Carlo.
JPY FX Paths
0,005
0,015
0,025
0,035
0,045
0,055
0,065
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
Tempo (Anos)
27
O que chamamos de Worst Case seriam os desembolsos acima de 4,9 bilhões de
Reais, obtidos adotando-se um intervalo de confiança de 95% para a distribuição
acima.
Poderíamos adotar a metodologia do CaR (Cost at Risk) para análise de passivos,
poderíamos estabelecer um benchmark de forma a termos um valor máximo de
desembolso para nossa carteira de dívida dadas as distribuições de probabilidades
subjacentes as taxas de câmbio e aos desembolsos em Reais. Dado que geramos
previsões para as taxas de câmbio futuras com distribuições de probabilidades que
Distribuição dos Desembolsos em Reais - 1Sem./2001
0,0%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
5,0%
6,0%
7,0%
8,0%
9,0%
2.94
0.25
8
3.12
9.42
5
3.35
6.42
5
3.58
3.42
5
3.81
0.42
5
4.03
7.42
5
4.26
4.42
5
4.49
1.42
5
4.71
8.42
5
4.94
5.42
5
5.17
2.42
5
5.39
9.42
5
5.62
6.42
6
5.85
3.42
6
Milhões - Reais
Worst Case (95%) - 4,897,513.74
Média: 4,127,0385.39DP: 442,912.46
28
seguem uma distribuição normal e distribuição de probabilidades de desembolsos em
Reais, poderíamos encontrar qualquer valor para os percentis daquelas distribuições,
o que não nos limitaria, portanto, apenas ao nível de confiança de 95% arbitrado.
Uma extensão do trabalho aqui apresentado seria a definição de um portfolio ótimo de
dívida para o Tesouro Nacional considerando toda a metodologia aqui descrita.
29
5 - CONCLUSÕES
Deve-se estar claro que este sistema gera como resultado distribuições de
probabilidade e não valores determinísticos. A forma de apresentação dos
resultados lembra bastante a da metodologia denominada de VaR (Value at
Risk). O modelo não permite afirmar qual será a despesa futura do Tesouro
com uma determinada carteira de títulos denominados em moedas
estrangeiras, mas sim que as despesas apresentam uma certa probabilidade
de serem menores (ou maiores) do que um determinado valor.
Uma extensão bastante natural desse tipo de modelagem é a busca de uma
carteira ótima dentro de uma perspectiva de custo e retorno. A análise desse
tipo de relação é análoga à relação entre risco e retorno de uma carteira de
ativos. Pode-se construir uma fronteira eficiente que represente a relação de
troca entre variações no risco e variações no custo esperado. Uma vez
definido o nível máximo de risco aceitável, pode-se definir a carteira de custo
mínimo.
Outra extensão natural do modelo diz respeito à incorporação do risco
decorrente das taxas de juros. São bastante comuns os compromissos
externos atrelados a taxas de juros flutuantes. Tais compromissos apresentam,
portanto, uma fator adicional de risco, pois a taxa futura de juros também é
desconhecida. Por outro lado pode-se perceber empiricamente que o impacto
de variações nos juros nas despesas com as dívidas em moeda estrangeira
30
tende a ser menor do que o impacto decorrente de variações nas taxas de
câmbio.
Uma limitação da modelagem aqui proposta diz respeito ao prazo para o qual
são realizadas as previsões. Pode-se obter previsões consistentes para as
taxas de câmbio para prazos de até dois anos. Para prazos de até cinco anos
a confiabilidade também é considerada boa, porém não se recomenda o uso
em períodos superiores a esse. Diferentemente das taxas de juros que
tendem a apresentar um padrão histórico, as taxas de câmbio não costumam
apresentar padrões minimamente regulares.
Finalmente, observou-se que, para a ampliação do modelo e implementação
de processos de otimização, são necessários recursos superiores aos
disponíveis nos atuais computadores pessoais.
31
6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MARDIA, K.V., KENT, J.T., BIBBY, J.M. Multivariate Analysis. Academic
Press, 1979.
JOHNSON, R.A., WICHERN, D.W. Applied Multivariate Statistical Analysis,
Prentice Hall, 1998.
HULL, John. Options, Futures and Other Derivative Securities, Prentice
Hall, 1989.
WILMOTT, Paul. Derivatives: The Theory and Practice of Financial
Engineering. John Wiley and Sons, 1998.
RETIRADO PELA ESAF RIELLA, G., BLASS, R.S. A Distribuição Normal de
Duas Partes: Algumas Extensões Working Paper Series. Banco Central do
Brasil, 2001.
JORION, Philippe. Value at Risk, BM&F, 1999.
32
APÊNDICE A - A Distribuição Normal de Duas Partes (N2P)
A distribuição Normal de Duas Partes (N2P) é definida a partir de três
parâmetros e generaliza a distribuição normal.
É dito que X é uma variável aleatória com distribuição N2P, com parâmetros µ,
σ1 e σ2 se a função densidade de probabilidade de X é dada por:
( )( )
( )
( )( )
>
−−
+
=+
<
−−
+
=
.,2
exp2
,,2
,,2
exp2
)(
22
2
21
21
21
2
21
,, 21
µσ
µ
σσπ
µσσπ
µσ
µ
σσπ
σσµ
xx
x
xx
xf
onde:
µ é a moda da distribuição de probabilidade N2P;
σ1 é o desvio padrão da normal que define a N2P quando x<µ;
σ2 é o desvio padrão da normal que define a N2P quando x>µ.
Valor esperado e variância de uma N2P
Seja a variável aleatória ),,(2~ 21 σσµPNX com µ=EX . Então pode ser
provado que:
33
( )12
2σσ
πµµ −+=
Portanto 12 σσµµ >⇔> , ou seja, se a distribuição for assimétrica à direita.
Além disso, a variância de X é dada por:
])[( 2EXXEXVar −=
logo, ( ) 212
12
21 σσσσ
π+−⋅
−=XVar
Estimadores de máxima verossimilhança (EMV)
Seja X uma v.a. com distribuição ),,(2 21 σσµPN .
Supondo inicialmente que o parâmetro µ esteja fixado, pode-se demonstrar
que a função de verossimilhança será dada por:
2
22
2
2
12
1
2121 )(2
1)(
2
1)ln(),( ∑∑ −−−−+−= µ
σµ
σσσσσ ii xxNl
Onde ∑1
representa a soma sobre o conjunto dos pontos ix tal que µ≤ix e
∑2
representa a soma sobre o conjunto dos pontos ix tal que µ≥ix .
A EMV do parâmetro µ será o valor deste parâmetro que minimiza a função:
1 13 3
2 2
1 2
( ) ( ) ( )i ix xλ µ µ µ = − + − ∑ ∑
34
Conhecido o valor de µ , as EMV dos parâmetros 1σ e 2σ são:
2 1 13 3 3
2 2 2 211
1 1 2
2 1 13 3 3
2 2 2 212
2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i i iN
i i iN
x x x
x x x
σ µ µ µ
σ µ µ µ
= − − + −
= − − + −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
35
APÊNDICE B - Decomposição de Choleski e Correlações, Distribuição t de
Student
No contexto deste trabalho, a idéia da seguinte decomposição é ajudar a
sortear vetores segundo uma distribuição normal multivariada (neste caso tri-
variada, embora a extensão para mais dimensões seja imediata).
Ira-se decompor uma matriz de correlações. Lembra-se que tal tipo de matriz
sempre terá as propriedades de ser quadrada, com todos os elementos da
diagonal principal sendo um, simétrica, positiva definida e com todos os
coeficientes sendo números reais.
Teorema: Considere uma matriz quadrada 3x3 com coeficientes reais,
simétrica, positiva definida e com diagonal principal um:
12 13
12 23
13 23
1
1
1
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρ
=
Então a decomposição de Choleski garante que existe uma matriz L ,
triangular inferior e com coeficientes reais, tal que:
. tL Lρ = , ou seja,
12 13 11 11 12 13
12 23 12 22 22 23
13 23 13 23 33 33
1 0 0
1 0 0
1 0 0
d d d d
d d d d
d d d d
ρ ρρ ρρ ρ
= ⋅
36
Para se demonstrar tal resultado deve-se multiplicar as duas matrizes da
direita e igualar os coeficientes com os respectivos coeficientes da matriz da
esquerda. Calculam-se os valores ijd através da resolução do sistema de
equações resultante.
A hipótese de se ter a matriz ρ positiva definida garante que neste algoritmo
nunca há divisões por zero, nem vai-se ter uma raiz quadrada negativa. Desta
forma os valores ijd estão bem definidos (sempre existem e são únicos). Ao se
resolver o sistema de equações tem-se:
L =( )( )2
23 12 1323 12 13221212
212 12
213 13 11
1 0 0
1 0
1 ρ ρ ρρ ρ ρ
ρρ
ρ ρ
ρ ρ −−
−−
− − − ;
( )( )23 12 13
212
223 12 13
212
12 13
212 1
213 1
1
0 1
0 0 1
tL ρ ρ ρ
ρ
ρ ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
−
−
−
−
= − − −
Distribuição t de Student
Sejam as variáveis aleatórias independentes 2~ (0,1), ~ ( )X N Y nχ . Logo diz-
se que a variável aleatória ~ ( )
Yn
XT t n=
tem distribuição t de Student com n
graus de liberdade.
Sejam ( )
1
1
22 11
1
n
jnj
n
jnj
X X
S X X
=
−=
=
= −
∑
∑ a média e a variância amostrais ( jX
são
independentes, identicamente distribuídas).
37
Pode ser provado que 2,X S são variáveis aleatórias independentes e que
,
,i j i
i
X
i jYµ
σ−=
é ~ ( 1)
nXT t n
S= −
assintoticamente.
38
APÊNDICE C - Lema de Ito
Seja o processo estocástico x definido pela equação ( , ) ( , )dx a x t dt b x t dz= + ,
onde dz dtε= representa um processo de Wiener. Neste caso diz-se que x
descreve um processo de Ito.
Seja ( , )G G x t= um processo estocástico dependente de x . Então o lema de
Ito garante que:
( ) ( )2 2
22G G b G Gx t xx
dG a dt b dz∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂
= + + +
Aplicação: o modelo aqui apresentado utiliza o processo estocástico definido
pela equação . .dS S dt S dzµ σ= + .
Seja ( , ) ln( )G S t S= .
Logo ao se derivar esta função obtém-se:
2
2 21 1; 0;G G G
S S t S S∂ ∂ ∂ −∂ ∂ ∂
= = =.
Desta forma fica claro que:
( ) ( )2
2ln( ) .dG d S dt dzσµ σ= = − +
39
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