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Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica
Alexandre GonçalvesDECivil - IST
alexandre.goncalves@tecnico.ulisboa.pt
Aula 6Modelo matricial
Modelo matricial
1. Resolução2. Tipos de valores e dados3. Compatibilização4. Álgebra de mapas: funções locais, focais,
zonais e globais5. Interpolação6. Conversão vetorial�matricial7. Vetorial versus matricial
Modelo matricial
Divide a área de estudo numa grelha regular de células numa sequência específica formando uma tesselação ou pavimentação
– cada célula tem um valor numérico associado– todo o local no interior da área de estudo é
preenchido com uma célula
Modelo matricial
As células não têm de ser quadradas.Quais os polígonos regulares que formam
tesselações (pavimentações)?
com pentágonos não dá
Resolução espacial
5
Tipos de valores e dados
• Valores– Inteiros (pode ser uma grandeza
medida ou codificar algo)– Reais
• Dados– Funções contínuas (ex. temperatura,
altitude)– Dados categóricos (ex. uso do solo)
• Cada célula só tem um valor– muitas vezes inadequado: uma fronteira pode passar a meio de uma
célula• tem de haver alguma regra de decisão de classificação (ver
conversão vetorial�matricial, no fim)– onde não há dados, há o valor Sem valor / No Data / Null
No Data / NULL
6 (valor de um dos atributos
desta layer vetorial)
6aqui não há
nada
vetorial matricial
6
Estrutura de uma matriz
7
Zonas são grupos de células com o mesmo valor
– Cada zona está associada a uma linha da tabela de atributos da matriz
Regiões são zonas contíguas
– O número de regiões varia consoante a definição de contiguidade de células
4
0 4 4 11
0 4 4 11
0 0 4 11
4
4
0
0
4
4
Null 11
4 11 11
11
Estrutura: Zonas e Regiões
Nesta matriz há ___ zonas e ___ regiões
8
Quando se georreferencia uma imagem ou se transformam coordenadas é necessário “mover” e “alterar” um CDG matricial
• O valor da célula na imagem/grelha corrigida é o valor da célula mais próximo na imagem/grelha original, independentemente do desvio existente.
• Vantagens– Computacionalmente simples
– Não altera os valores originais
– Aplicável a escalas nominais
• Desvantagens– Objetos sofrem desvio de até meia célula
– Estruturas lineares ficam com aspeto zigzag
Compatibilização pelo método vizinho mais próximo
Imagem/grelha corrigida
9
Compatibilização pelo método da interpolação bilinear
• O valor da célula na matriz corrigida é uma média ponderada do valor das 4 células mais próximas na matriz original.
• Vantagens– Adequado a funções contínuas…
• Desvantagens– Pode suavizar demasiado os valores…– Altera os valores das células para
valores que não existiam na matriz original, pelo que não serve para dados nominais
Imagem/grelha original
Imagem/grelha corrigida
10
Álgebra de mapas (análise espacial matricial)• Funções locais
Usam o valor da célula na mesma posição na matriz(es) de entrada
• Funções focaisUsam os valores das células num foco de forma fixa
• Funções zonaisUsam os valores das células definidas segundo zonas
• Funções globaisTodas as restantes funções de álgebra de mapas
Funções locais
Populacao2010 Populacao2000 VarPop
_ =
Designam-se por funções locais as funções obtidas por combinação dos valores de uma ou mais matrizes com a mesma posição na matriz.
169 3 99 35 87 2 94 24 94 1 5 11
Null 62 46 19 Null 32 39 13 Null 30 7 6
Null 74 156 38 Null 74 89 35 Null 0 75 3
52 100 34 123 48 69 22 100 4 31 12 23
12
Funções locais
VarPop=((Pop2010–Pop2000)/(Pop2000))*100
169 3 99 35 87 2 94 24
Null 62 46 19 Null 32 39 13
Null 74 156 38 Null 74 89 35
52 100 34 123 48 69 22 100
0 0 0 0 94 50 5 46
Null 0 0 0 Null 94 18 46
Null 0 0 0 Null 0 75 9
0 0 0 0 8 45 55 23
Pop2010 Pop2000
resultado se se usar a
divisão inteira(onde 2/3 = 0)
resultado se se usar a
divisão real
13
Funções locaisOperadores Aritméticos
•Os operadores básicos (+,-,*,/) estão geralmente disponíveis.•Atenção aos problemas de arredondamento e precedência de operadores.
Operadores Booleanos ou Lógicos•Os operadores básicos (AND, OR, NOT) estão geralmente disponíveis.•Output: 0=FALSE, 1=TRUE•Input: 0=FALSE, ~0=TRUE
AND =0 3 5 1 Null 0 2 Null Null 0 1 Null
Null 3 1 8 Null 2 0 7 Null 1 0 1
Null 9 5 4 Null 2 3 0 Null 1 1 0
6 5 7 3 0 3 2 1 0 1 1 1
14
Funções locais: Reclassificação
• é uma das operações mais usadas
3 1 [0,2]=0 ]2,6]=1 ]6,9]=2
2
7
6 5
9
1 5
8
0 1 0
1 1
2 2 2
http://giscommons.org
Funções focais
...
6 4 5 9
3 7 5 6
4 5 6 7
...
...
5
...
6
As funções focais têm em consideração não somente o valor de uma célula isolada mas também os valores das células situadas numa vizinhança próxima, definida em geral por uma janela, designada foco.
exemplo: média focal com janela de 3x3
16
Funções focais
Nas funções focais propriamente ditas há uma janela móvel, i.e., as vizinhanças sobrepõem-se.
Nas funções de bloco as vizinhanças são justapostas.
O valor de output é igual em todas as células de um dado bloco.
17
Funções focaisdefinição de um foco
O foco pode tomar qualquer forma
vizinhança circular
células incluídas no foco
célula a processar
vizinhança anelar (donut)
células incluídas no foco
célula a processar
18
Funções focais
© Paul Bolstad, GIS Fundamentals
Exemplos de aplicação:• Remoção do “ruído” (deteção de
erros/outliers)• Cálculo de declive e orientação• Índice de rugosidade
2
,
)( celji
ijcel XXR −= ∑
19
Funções zonais
• As funções zonais são semelhantes às focais, com a diferença de a vizinhança não ter uma forma fixa, podendo a zona ser definida numa outra matriz.
• Calculam para cada célula uma determinada função ou estatística usando o valor dessa célula e de todas as que pertencem à mesma zona.
• Algumas funções zonais (tipo I) nas quais as zonas são definidas por um valor isolado permitem obter estatísticas ou quantificar as características da geometria das zonas de input.
• Outras funções zonais (tipo II) nas quais as zonas são definidas através de uma segunda matriz permitem obter estatísticas ou preencher zonas específicas com valores da matriz de input.
20
Funções zonais
Exemplos do tipo I:Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal
Exemplos do tipo I:Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal
resposta a perguntas do tipo “Qual a área de cada zona”, “Qual o perímetro de cada zona”, “Qual a distância mínima a que se encontram células de outro valor?”
21
Funções zonais
A
G A A X
G A A X
G G A X
A
1
1
1
3
A
G
G
A
A
Null X
A X X
X
2 2
0 0
5 6
2 1
0 3
2 4
0 1
2
1 12
2
2
0
1
25
25
25
25
10 25
25 25
Null 14
14 14
10 10
25 10
10 10
25
25 25
14
14
14
14
resultado de uma soma zonal �
layer de zonas layer de valores a agrupar
Exemplos do tipo II:Maioria, Máximo, Média, Mediana, Mínimo, Minoria, Intervalo, Desvio-padrão, Variância, Soma, Variedade
Funções globais
Caminhos de menor custo
Cálculos hidrológicos
Cartas de visibilidades
Métricas de paisagem
(veremos + tarde)
• As funções globais são todas as que não são nem locais, nem focais, nem zonais. Exemplos:
23
Interpolação
• A interpolação é uma técnica para estimar valores desconhecidos de uma função a partir de valores conhecidos da mesma função
x f(x)
a f(a)
b ?
c f(c)
d f(d)
Interpolação na conversão de formatos
Necessária na conversão de pontos � matrizOpcional na conversão de matriz � pontos
Dois modos de considerar os valores da grandeza representada por uma matriz: com interpolação usando os valores mais próximos (esq.) ou usando só o mais próximo (dir.)
3D
latt
ice –
su
ave
3D
gri
d –
po
r b
loco
s
25
Interpolação na reamostragem
• Vizinho mais próximo– para dados categóricos (discretos)
• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica
Matriz original
Nova matriz
Reamostragem é a alteração da resolução espacial de uma
matriz, ou o recálculo dos valores das células que é
necessário quando se faz uma transformação de coordenadas
26
Interpolação na reamostragem
• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear
– para funções contínuas
• Convolução cúbica/bicúbica Matriz original
Nova matriz
27
Interpolação na reamostragem
• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica
– para funções contínuas
28
Interpolação na reamostragem
ww
w.c
hri
sm
ad
de
n.c
o.u
k
29
Interpolação na reamostragemOutra maneira, como função focal
30
Interpolação
Interpolação linear (grau 1)
Interpolação polinomial (grau >1)
31
Interpolação
• Splines (regularized / tension)• Utilizam splines baseados nos pontos
de input mais próximos• Criam superfícies suavizadas de
curvatura mínima• Exatas nos pontos de input
• Triangulações• A mais simples interp. linear
K
J
I
AOJKAOIJ
AOIK
O
f(x,y) = z = ax + by + c
z1 = ax1 + by1 + c z2 = ax2 + by2 + c z3 = ax3 + by3 + c
Interpolação
• IDW – Inverse Distance Weighted
Parâmetros:• Potência n• Número máximo de
vizinhos ou raio de procura máximo
33
Interpolação
• IDW– quanto maior a potência, maior a
diferença entre células vizinhas– quanto maior a vizinhança, mais
suave será a superfície– estima exctamente nos pontos
amostrais– à medida que se afasta destes, tende
para a média da região– necessita de boa distribuição das
amostras
Interpolação
• Exemplo de IDWx y f(x,y)=zi Dist. à obs.
8 = diwi=1/ di
(1/di) / (ΣΣΣΣ1/di)
1 61 139 477 4.5 0.2222 0.2088
2 63 140 696 3.6 0.2778 0.2610
3 64 129 227 8.1 0.1235 0.1160
4 68 128 646 9.5 0.1053 0.0989
5 71 140 606 6.7 0.1493 0.1402
6 73 141 791 8.9 0.1124 0.1056
7 75 128 783 13.5 0.0741 0.696
8 65 137 ? 0 0 0
ΣΣΣΣ1/di = 1.0644 1.0
f ^(65,137) = 594.0
pesos normalizadospesos
Interpolação
• Vizinho mais próximo
Interpolação
• Vizinho natural– a área de cada polígono de
Thiessen dá o peso de cada ponto/polígono para calcular o valor
Interpolação
• Raio fixo
Interpolação
• Trend– Polinómio ajustado por mínimos
quadrados (até grau 12 no ArcGIS)– Não exata
Interpolação
• Krigagem– baseada na variabilidade espacial, segundo direções e segundo a
distância entre pontos– considera autocorrelação (relação estatística entre pontos amostrais)– múltiplos métodos, e cada um usa fórmulas para avaliar a relação
entre a posição dos pontos e os respetivos valores da grandeza a interpolar
– fornecem ainda medida (e mapa) da incerteza de estimação
Interpolação
• Quantificação de margens de erro
e = f^(x,y) - f(x,y) erro de estimação
e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro médiopara os n pontos
MAE =e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro absolutomédio
MSE = 1/n Σ [ f^(x,y) - f(x,y) ]2 erro quadrático médio
f^(x,y) é o valor estimado; f(x,y) é o valor conhecido
41
Álgebra de mapas: cuidados
© Paul Bolstad, GIS Fundamentals
• As matrizes podem diferir– Na resolução espacial– Na orientação dos eixos– Nas coordenadas dos cantos– No tipo de valores numéricos
que guardam– No valor associado a NoData– ...
42
Conversão vetorial�matricial
• só há um valor por célula• necessidade de regras de atribuição
– maior parte da área (para áreas)– valor no centro– presença na célula (para entidades lineares)– necessidade de preservar algumas entidades “raras”
• escolha da resolução espacial: é boa prática a regra de escolher para resolução espacial nunca mais que ½ do menor comprimento ou ¼ da área do menor elemento vetorial não pontual
43
Conversão vetorial�matricial
44
“Vantagens” do matricial
• Estrutura de dados simples
• Análise fácil• A plataforma
computacional não é exigente
• Dados da deteção remota são em formato matricial
• Modelação simples• Algoritmia geralmente
mais simples
• Inexatidão posicional• Como cada célula tende à
generalização do conteúdo, o resultado tem resolução inferior ao vetorial.
• Não indica precisamente o que existe em dado local.
• Cada célula tem de ser classificada, mesmo que nada lá exista.
• Grande volume de dados
“Desvantagens” do matricial
“Vantagens” do vetorial
• Mais aproximado aos “mapas”
• Resolução mais elevada
• Maior precisão no posicionamento dos objetos
• Menor volume de dados (em geral)
• Interpretação evidente• Topologia• Produtos cartográficos
mais “apelativos”
“Desvantagens” do vetorial
• Manipulação mais “difícil” do que matricial
• Requer processamento geométrico
• Edição mais demorada
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