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MODELOS DE

ASIGNACIÓN

A TRANSPORTE PRIVADO

Distribución

Generación y

Atracción

Partición Modal

AsignaciónAsignación

CONTENIDO PRESENTACÍÓN

ASIGNACIÓN

• Concepto de Asignación.

• Equilibrio Óptimo de Usuarios.

• Equilibrio Óptimo del Sistema.

• Calibración Parámetros de Asignación.

Una vez definidos los viajes O-D dentro del sistema analizado para un

determinado período (Distribución) y los modos utilizados (Partición

Modal), la etapa de Asignación determina las rutas empleadas en la

realización de sus viajes.

ASIGNACIÓN

Se consideran dos grupos de modelos de Asignación:

• Asignación Transporte Privado (vehículos sobre una red vial)

• Asignación Transporte Público (pasajeros sobre una red de servicios)

Se consideran básicamente dos enfoques:

° Sin Congestión:

• Asignación a Rutas Mínimas

• Asignación Estocástica

° Con Congestión:

• Asignación de Equilibrio Determinístico (Implementado en ESTRAUS)

• Asignación de Equilibrio Estocástico

ASIGNACIÓN TRANSPORTE PRIVADO

Equilibrio en Redes

Objetivos: Estimar el patrón de flujos o equilibrio de corto plazo

con A y T constantes.

Método: Predecir el comportamiento de usuarios en elección de

ruta.

Supuesto: Decisiones racionales.

Minimizar costos individuales.

Información sobre alternativas y costos de viaje por

experiencias repetidas.

Fenómeno de Congestión

Costo generalizado de Transporte:

Tiempo de viaje (OD) + Tarifa

Tiempo de viaje: depende del flujo (congestión)

)()()()(

00

xtx

tXxtxtx

xxt

XXX

t

aa

aamg

c

aa

a

a

Tiempo MedioTiempo Total T Congestión >0

Capacidad

Tiempo flujo libre

at

c

aX

ot

)(xta)(xtmg

Equilibrio del Usuario

Definición: El usuario está en equilibrio cuando todas las rutas alternativas tienen un

mayor costo generalizado (tiempo de viaje).

Equilibrio de Wardrop (1952)

El equilibrio de una red en múltiples rutas es aquella situación en que ningún usuario

puede disminuir su propio tiempo de viaje a través de un cambio unilateral de ruta.

Equilibrio de Wardrop

Situaciones posibles en equilibrio

0,0 2121 xxtt

En el equilibrio las rutas ocupadas tienen igual tiempo de viaje, las demás tienen un

tiempo de viaje mayor.

ODqxx 21

ODqxxtt 2121 0

02121 xqxtt OD

i)

ii)

iii)

ODq

)(2 xt

)(1 xt

O D

Equilibrio Usuario: Solución Gráfica

Caso: Un par OD y dos rutas

Ruta 1: Alto tiempo de viaje a flujo libre y tiempo de viaje muy sensible al flujo

(Una Cuesta).

Ruta 2: Menor tiempo de viaje a flujo libre y tiempos de viaje menos sensible al

flujo (Un Tunel).

Ejemplos: Caminos ripio/pavimentos, una/dos pistas, horizontal/pendiente,

recta/curva.

1ot

2ot

)(1 1xt )(2 2xt

**

2

*

1 ttt

01t

02t

)( 11 xt

)( 22 xt )(xtOD

*

1x *

2xx

**

2

*

1 ttt

01t

02t

)( 11 xt

)( 22 xt )(xtOD

ODD

*

1x *

2x ODq x

Equilibrio

(qOD, t*)

Equilibrio Usuario: Solución Gráfica

Caso demanda inelástica

1t

01t

)(2 xt )(1 xt2t

02t

1x 2xODx

1t

01t

)(2 xt

02t

2t

)(1 xt

ODxx 1

Ejemplo red simple: equilibrio usuario

Si usuario de ruta 1 cambia a 2: t1=49; t2=50,5

Si usuario de ruta 2 cambia a 1: t1=51; t2=49,5

¡No conviene cambiarse!

AB

11 10 xt

22 5,040 xt

60

Tiempo en minutos y flujos en autos/min.

60 = x1 + x2 (1)

Si x1 > 0 y x2 > 0

t1 = t2 = tAB (2)

10 + x1 = 40 + 0,5 x2

x1 = 30 + 0,5 x2

20*

2 x

40*

1 x

50* t

Ejemplo red simple: óptimo sistema

El OS NO ES EQUILIBRIO

Diferencia OS-EU: fenómeno de congestión (externalidad). Usuarios no perciben tiempo total

(social), sino el propio (privado).

AB

EU

4050 11 xt

2050 22 xt

60

Tiempo total =3.000 min.

OS 3040 11 xt

3055 22 xt Tiempo total =2.850 min.

A B

Asignación de Equilibrio Determinístico:

i) Supuestos:

• Usuarios homogéneos y racionales

• Información perfecta

• El tiempo (costo) de viaje en un arco dependerá de su flujo:

EQUILIBRIO DETERMINÍSTICO

aaaa F,fcc a

k

aaa

k

a tF,fsc

asignable flujo:fa Fijo flujo:Fa

Clase) (Una Clases) (Múltiples

ii) Equilibrio de Usuarios:

a. Principios de Equilibrio

EQUILIBRIO DETERMINÍSTICO (cont.)

• Knight: se obtendrá un equilibrio de usuario cuando para cada par

O-D, los costos de operación de todas las rutas alternativas de la

red para dicho par sean iguales.

• Wardrop: en el equilibrio, ningún usuario puede reducir

unilateralmente sus tiempos (costos) de viaje mediante un cambio

de ruta.

• Smith: Los usuarios de la red sólo cambiarán de ruta si el costo total

de operación sobre ella, calculado a base de los costos observados

antes del cambio, disminuye.

Ejemplo

EQUILIBRIO DE USUARIOS

O D

Ca

Cb

TOD TOD

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

aC bC

*C *C

Fff ba **

*

bf*

af

Se cumple Knight, Wardrop y Smith.

aC bC

*C *C

Ffa *

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

Se cumple Wardrop y Smith; Knight no

b. Condiciones de Equilibrio (una clase de usuarios):

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

0

0

pw

*

w

pw

*

w

p

h/PpC

h/PpC

C

Donde Cw* es el costo observado en el equilibrio del par w, Cp es el

costo de la ruta p del par w y hp es el flujo de la ruta p.

c. Formulación Matemática: (funciones de costo separables)

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

Pp

Aa

W w

Z af

0

:..

0

p

a

Pp

pap

w

Pp

p

a

f

a

h

fh

Thas

dxxcmin

w

a

d. Unicidad de la Solución:

• Monótonas Crecientes Estrictas en el Flujo:

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

0

a

a

f

c0

2

2

a

a

f

c

Esto asegura la unicidad de la solución en términos de flujos en

arcos del problema de Asignación planteado

• Forma Funcional BPR:

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

an

a

aaaaaa

k

Fftft 10

ata arco el en viaje de tiempo:

ata arco el en libre flujo a viaje de tiempo:0

(veq) arco el en asignable flujo a:fa

(veq) arco del capacidad aka :

anaa arco del ncalibració de parámetros:,

(veq) arco el en fijo flujo a:Fa

• Parámetro X_SLOPE ():

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

aC

afak

La forma lineal que se observa cuando el flujo supera la capacidad

representa el comportamiento de los vehículos en las colas de los

arcos sobrecargados, asumiendo que las colas aumentan

linealmente durante el período de simulación (arcos saturados).

Además, se mitigan problemas de convergencia.

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

aaa

a

aaaaa

aaa

n

a

aaaa

aa

kFfk

kFft

kFfk

Fft

ft

a

1

1

0

0

e. Asignación Multiclase: asigna simultáneamente diferentes clases

de usuarios (distintos niveles socioeconómicos).

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

0

0

k

pw

*k

w

k

pw

*k

w

k

p

h/PpC

h/PpC

C

Existen tantas funciones de costo en cada arco como clases

de usuario:

• Tarificación Vial.

• Peajes.

• Concesiones Viales.

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

a

k

aa

k

a tfsc

Formulación Matemática Asignación Multiclase:

EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)

Pp

Aa

W w

Aa

W w

Z af

0

:..

0

p

a

k

k

a

w

k

k

w

k

a

Pp

k

pap

k

w

Pp

k

p

a k

k

aa

k

a

f

a

h

ff

TT

fh

Thas

ftdxxsmin

w

a

iii) Asignación de Equilibrio Óptimo del Sistema: Minimiza los

costos totales de operación sobre la red vial, captando las

externalidades por congestión.

EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA

*

aC

aC

af

mg

aC

me

aC

aC

af*

af

aC~

aD

Formulación Matemática Asignación Óptimo Sistema:

EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)

Pph

Aafh

WwTh:.a.s

ffcZmin

p

a

Pp

pap

w

Pp

p

a

a

aaf

w

a

0

Ejemplo

EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)

O D

Ca = 150 + fa2

TOD = 10

Cb = 50 + 2fb2

TOD = 10

Cmga = 150 +3 fa2

Cmgb = 50 + 6fb2

Equilibrio Usuarios:

EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)

fa = 2,7 fb = 7,3

Ca = 157,2 Cb = 157,2

CTOTAL = Ca* fa +Cb* fb = 1.572

Equilibrio Óptimo: fa* = 4,7 fb

* = 5,3

Ca* = 172,3 Cb

* = 105,7

CTOTAL * = Ca

** fa

* +Cb*

* fb* = 1.372

D SOCIAL = 200

Cmga* = 217 Cmgb

* = 217

EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)

bC aC

f*f

*

bC

*

aC

vii) Calibración Redes Transporte Privado:

CALIBRACIÓN DE REDES

• Medición en terreno de variables ta0 y ka.

an

a

aaaaa

k

ftft 10

CALIBRACIÓN DE REDES (cont.)

ix:.a.s

xf~

fmin

i

a

aaxi

0

20

(veq) arco el en observado flujo a:fa

0

(veq) arco el en modelado flujo a:f~

a

La solución de este problema de optimización se encuentra con el

algoritmo de Hooke y Jeeves.

ncalibració de parámetros:xi

Método del Gradiente (Frank-Wolfe):

ALGORITMO DE SOLUCIÓN

1) Partiendo de una solución inicial que cumpla las restricciones del

problema, se determina la dirección factible en que la función

objetivo disminuye su valor más rápidamente.

2) Una vez determinada la dirección de máximo descenso factible, se

determina cuánto se debe descender en dicha dirección para

finalmente encontrar una nueva solución.

Este proceso se repite hasta que dos soluciones sucesivas sean

suficientemente similares de acuerdo a algún criterio de

convergencia (proceso iterativo).

Método del Gradiente (Frank-Wolfe):

ALGORITMO DE SOLUCIÓN (cont.)

a) Encontrar solución inicial factible

b) Resolver aproximación lineal de función objetivo evaluada en

solución inicial factible (obtener solución auxiliar).

0f

:.a.s

yfZmin

0

c) Avance desde solución inicial en dirección de máximo descenso:

0001 fyff

0y

ALGORITMO DE SOLUCIÓN (cont.)

d) Minimización unidimensional.

e) Encontrar nueva solución y analizar convergencia.

f) Si convergió, finalizar, sino, volver al paso (b).

1

0

1

:.a.s

ZfZmin

01 ff

*

0001 fyff *