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ModelosdeFronteiraEstocásticaCE 731 – Econometria IIProf. Alexandre Gori MaiaInstituto de Economia - UNICAMP
1
EmentaProdutividade e Eficiência
Função de Produção de Cobb-Douglas
Modelo de Fronteira Estocástica
BibliografiaCoelli; Rao; O´Donnell e Battese (2003). An Introduction to efficiency and
productivity analysis.
Gori Maia, A.; Campos, C.; Lanna Silveira, R.; Burney, J.; Cesano, D.
(2019). Technical efficiency of family dairy farms: the experience of a
climate resilience program in Brazil.
Produtividade é a razão entre a produção e os insumos (capital e trabaho, por exemplo), de uma empresa. Uma função de produção pode ser ajustada para estimar a produção esperada para cada nível de insumo e, assim, estimar a produtividade esperada para cada situação.
Y
L
Produtividade
EficiênciaA curva vermelha representa a fronteira de produção, ou seja, a máxima produção possível para cada nível de insumo. Empresas que operam sobre a fronteira são ditas tecnicamente eficientes. Empresas abaixo da fronteira são ditas tecnicamente ineficientes.
Y
L
ProdutividadeeEficiência• Embora muitas vezes se confundam, produtividade e eficiência apresentam definições distintas:
2
Pressupões variações absolutas e constantes do produto para variações absolutas dos insumos Xj. É, entretanto, pouco provável que as relações entre produto e insumos sejam lineares.
Y
L
Função Linear
Função de Cobb-Douglas
Pressupõe variações relativas constantes do produto em função de variações relativas dos insumos (elasticidade). Embora não seja linear nos parâmetros, pode ser linearizadas por transformações logarítmicas.
Y
L
eXYk
jjj ++= å
=1ba
eXYk
jjjÕ
=
=1
ba )ln()ln()ln()ln(1
eXY j
k
jj ++= å
=
ba
FunçãodeProdução
3
• Diferentes pressupostos implicam em diferentes formas funcionais para a função de produção:
A função de Cobb-Douglas estabelece a relação entre o nível de produção e de insumos.
Onde βj é a elasticidade produto para o j-ésimo insumo e a é chamado de produtividade total dos fatores, o qual expressa o efeito na produção não devido aos insumos. De maneira geral, tem-se que:
i
k
jji eXY jiÕ
=
=1
ba
Pode ser obtida por MQO através da transformação logarítmica:
)ln()ln()ln()ln(1
ij
k
jji eXY
i++= å
=
ba
A função de produção apresenta retornos constantes de escala se:
A função de produção apresenta retornos decrescentes de escala se:
A função de produção apresenta retornos crescentes de escala se:
11
=å=
k
jjb
11
<å=
k
jjb
11
>å=
k
jjb
FunçãodeCobbDouglas
4
A função de fronteira estocástica incorpora um componente devido à ineficiência nos erros do modelo:
Y
X
iiii uvXY -++= )ln()ln( ba
Onde vi é o erro de mensuração devido, por exemplo, a ausência de variáveis relevantes na determinação de Y, e ui é uma variável não negativa associada à ineficiência técnica.
O componente determinístico da função expressa a máxima produção prevista para o nível de insumos Xi e será dado por:
iuiviXiuiviX eeeeYi-+-++ ´´== )ln()ln( baba
Ou ainda:
)ln(ˆ iXeYiba+=
iX
iY
Caso a empresa operasse em eficiência técnica, ou seja, caso ui fosse nulo, teríamos o produto (não observado) de fronteira para a empresa i :
iviXeYi++= )ln(*ˆ ba
efeito ineficiência
O choque (ou ruído), por sua vez, será dado pela diferença entre o produto não observado de fronteira e a máxima produção prevista. Para estimar a eficiência técnica de cada empresa, basta realizar a razão entre a produção observada (Yi) e o produto não observado de fronteira (Yi
*):
choq
ue
*i
ii YYET =
Modelode FronteiraEstocástica• A partir de uma função de Cobb-Douglas teremos:
5
O modelo de fronteira estocástica permite estimar a ineficiência associada a uma função de produção tradicional:
O modelo desagrega o erro de previsão ei em dois componentes específicos: i) choques aleatórios (vi), resultantes, por exemplo, da omissão de variáveis relevantes entre os fatores explanatórios do modelo, erros de mensuração ou de aproximação da forma funcional; ii) componentes associados à ineficiência tecnológica (ui):
ij
k
jji eXY
i++= å
=
)ln()ln(1ba
iij
k
jji uvXY
i-++= å
=
)ln()ln(1ba
Pode-se ainda concluir que um determinado nível de produção seria dado pela conjugação de três componentes:
iaineficiêncchoqueticodeterminís
)exp()exp()exp(1
ii
k
jjji uvXYi
-´´+= å=
ba
Estimativas não viesadas para os coeficientes do modelo podem ser obtidas por MV pressupondo que:
),0(~ 2vi Nv s e ),0(~ 2
ui Nu s+
Modelode FronteiraEstocástica
6
Exercício
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1) O arquivo Dados_Pesca.csv contém informações históricas sobre a pesca anual de atum (mil toneladas) e dias de pesca (mil dias) entre os anos de 1961 e 1994. Pede-se:
a) Ajuste, por MQO , a função de Cobb-Douglas para o logaritmo da produção como função do logaritmo dos dias de trabalho;
b) Ajuste um modelo de fronteira estocástica e compare suas estimativas com as de MQO;
c) Analise a eficiência técnica da produção. Quais fatores ajudariam a explicar a ineficiência?
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