Modelos Duales Controlabilidad Observabilidad Principio de ...dea.unsj.edu.ar/control2/09- Espacio...

Modelos Duales

Controlabilidad

Observabilidad

Principio de Dualidad

Descomposición Canónica o de de Kalman

Realizaciones Balanceadas

Fernando di Sciascio

MODELOS DUALES

Fernando di Sciascio

Todo modelo tiene su dual. Si se describe un modelo en el espacio de estado por las matrices A, B, C y D, su modelo dual se describe por las matrices AD=AT; BD=CT; CD=BT y DD=D.

MODELOS DUALES

TD

TD

TD

D

A A

B C

C B

D D

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )d

Td d

T

T

x t x t u t

y t x t u t

A C

B D

Modelos Duales

Si se tiene un Diagrama de Estado del modelo original como el de la figura siguiente:

Entonces el modelo dual se obtiene de la forma siguiente:

Modelos Duales

1. Se cambia el sentido de las fechas en todas las ramas.

2. Se intercambian las posiciones de Y(s) y U(s).

Modelos Duales

3. Se cambian las variables de estado por sus derivadas y viceversa.

Modelos Duales

Las formas canónicas controlables y observables, son formas duales (FCC1 dual de FCO1y FCC2 dual de FCO2), pues la matriz A de una forma es la

transpuesta de la otra, la B, la transpuesta de la C,

la C la transpuesta de la B, y como el sistema es

monovariable las matrices D son iguales.

Modelos Duales

Ejemplos

Modelos Duales

3 2

3 2

10 42 72: ( )

8 17 10

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 ,

0 1

1

1

8 2

cc cc cc cc

co co co

s s sEjemplo G s

s s s

A B C

FCC

O

D

A B C

FC

1coD

Modelos Duales

3 2

3 2

10 42 72: ( )

8 17 10

8 17 10 1

1 0 0 , 0 , 2 25 62 , 1

0 1 0 0

8 1 0 2

17 0 1 , 25 , 1 0 0 ,

1 0

2

0 2

2

0 6

cc cc cc cc

co co co

s s sEjemplo G s

s s s

FCC

A B C D

A B C

FCO

1coD

CONTROLABILIDAD

Fernando di Sciascio

Controlabilidad

Un proceso es completamente controlable si mediante alguna acción control finita u(t) se puede llevar el vector de estado desde un estado inicial cualquiera x(t0)=x0, a un estado final arbitrario x(tf)=xf en un tiempo finito T=tf - t0 también arbitrario.

Controlabilidad

Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con la posibilidad de:

1. Tranferir desde cualquier estado inicial a cualquier estado final (la que hemos presentado).

2. Tranferir desde cualquier estado inicial al origen, llamada controlabilidad al origen.

3. Tranferir el estado desde el origen a cualquier estado final, llamada controlabilidad desde el origen, o alcanzabilidad.

Para sistemas lineales invariantes en tiempo continuo, las tres definiciones son equivalentes.

Si el modelo de estado está en la forma canónica diagonal se puede analizar la controlabilidad por inspección.

El modelo del sistema

ES CONTROLABLE

El modelo del sistema

NO ES CONTROLABLE.

Controlabilidad

Controlabilidad

2 1n n nB AB A B A B

n n

n p

q n

q p

A

B

C

D

( ) ( ) ( )

( ) (

Ecuación de Estado

Ecuación de Salid) ( a)

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

Teorema 1: Para que la planta descripta por las ecuaciones de estado sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz de controlabilidad C sea de rango completo ó máximo (en Matlab rank(C)=n).

Consideremos el modelo en espacio de estado

Controlabilidad

2 1n n nB AB A B A B

La matriz de controlabilidad C se obtiene con Matlab mediante el comando ctrb

C = ctrb(A,B) ó C = ctrb(sys)

La Controlabilidad depende solamente de la Ecuación de Estado, esto es, del par (A,B). Se dice que el par (A,B) es controlable (o no).

Luego el sistema es controlable si: rank(C)=n

si se ha definido el modelo sys en el espacio de estado con el

comando ss: sys = ss(A,B,C,D)

Teorema 2: (General para sistemas lineales invariantes MIMO o SISO pero Con valores característicos distintos). “En una planta descrita en la forma canónica Diagonal, el par [A,B] es controlable si la matriz B no tiene filas totalmente nulas“.

Controlabilidad

Controlabilidad

Teorema 3: Es válido en general para sistemas MIMO aun cuando los valores característicos múltiples tengan más de un bloque de Jordan asociado con cada valor propio múltiple, y dice: “Si A esta en la forma canónica de Jordan el par [A, B] es controlable, si todos los elementos en las filas de B que correspondan a la última fila de cada bloque de Jordan no son cero. Se entiende que las filas de B que corresponden a los valores característicos simples no deberán tener todos sus elementos nulos”.

El teorema anterior se generaliza a las formas canónicas de Jordan (sistemas no diagonalizables).

Figura ampliada

Teorema 4: La controlabilidad se conserva a través de transformaciones de semejanza. Si una realización es controlable, también lo son todas las semejantes o equivalentes.

Controlabilidad

( ) ( ) ( ) , ( , )x x x xx t A x t B u t A B Controlable

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z x xz t A z t B u t P A Pz t P B u t

( ) ( )x t Pz t1

1z x

z x

A P A P

B P B

2 1 , ( )nx x x x x x x x xB A B A B A B Rango n

Controlabilidad

2 1nz z z z z z z zB AB A B A B

1 1 1 1 1 1 1

2 1[ ]

x x x x x x xI I I

nz z z z z z z z

P B P A PP B P A PP A PP B P B

B A B A B A B

1z xP

1x zP

Por ser P y Cx invertibles también lo es Cz . Luego el par (Az,Bz) también es controlable.

Adicionalmente la matriz de transformación es:

Producto de la matriz de controlabilidad del modelo original por la inversa de la matriz de controlabilidad del modelo transformado.

Teorema 5: Para un sistema de una entrada y una salida (q=p=1), el par (A,B) será controlable si A y B están en la forma canónica controlable o son transformables a la misma mediante una transfor-mación lineal de semejanza.

Obvio por el teorema anterior.

Controlabilidad

Recordar formas canónicas controlables

0 1 2

0 0 3 1 1 3 2 2 3 3

0 1 0 0

0 0 1 , 0

1

,

A B

a a a

C b a b b a b b a b D b

2 1 0

2 2 3 1 1 3 0 0 3 3

1

1 0 0 , 0 , ,

0 1 0 0

a a a

A B C b a b b a b b a b D b

Esta estructura tiene tres nombres en la literatura.

1) Representación en las Variables de Fase

2) Forma Canónica Controlable 1 (FCC1)

3) Forma Canónica del Controlador

Forma Canónica Controlable 2 (FCC2)

Forma Canónica Controlable 1

Representación en las Variables de Fase

Forma Canónica del Controlador

Gramiano de Controlabilidad

El gramiano de controlabilidad Wc es una matriz cuadrada de

nxn que se define como:

0

TA T A n nWc BB de e

0T TAWc WcA BB

Para calcularlo no se resuelve la integral infinita. Se calcula resolviendo la siguiente ecuación de Lyapunov:

Wc = lyap(A,B*B’)

Wc = gram(A,B,'c')

Con Matlab mediante el comando lyap o directamente con

gram

0T TWc sol AWc WcA BB{ }

Gramiano de Controlabilidad

El gramiano de controlabilidad es siempre una matriz semidefinida positiva Wc0 (la parte real de los autovalores son positivas o cero).

Si el par (A, B) es controlable, entonces Wc es una matriz definida positiva Wc>0 (la parte real de los autovalores son positivas). Luego Wc es invertible y el rango es n.

Podemos unificar esto con el teorema 1

Teorema 1 (bis)- El par (A, B) es controlable si y solo si la matriz de controlabilidad C o el gramiano de controlabilidad Wc son de rango n.

rango(C) = rango(Wc) = n

Vimos en el Teorema 4 que la controlabilidad se conserva a través de transformaciones de semejanza.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x z z

x t Pz tx t A x t B u t z t A z t B u t

1z xP

Vimos que la relación entre las matrices de controlabilidad es:

1 Tz xWc P Wc P

Gramiano de Controlabilidad

Si el par (Ax, Bx) es controlable, también lo es el par (Az, Bz)

La relación entre los gramianos de controlabilidad de ambos sistemas es:

La relación entre las matrices y gramianos de controlabilidad de los sistemas es:

1 1T Tz z z x x xWc Wc

OBSERVABILIDAD

Fernando di Sciascio

La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor del estado de un sistema, a partir del conocimiento de la evolución de la entrada y de la salida que genera. La figura siguiente muestra esta idea:

La observabilidad es un concepto complementaria al de controlabilidad. La controlabilidad estudia la relación entrada-estado, la observabilidad la relación estado-salida.

Esencialmente un sistema es observable si cada variable de estado del sistema “afecta” alguna de las salidas.

Observabilidad

Definición: Un proceso es observable si para cualquier estado inicial x(0)=x0 (desconocido), existe un tiempo finito tf tal que el conocimiento de la entrada u(t) y la salida y(t) sobre el intervalo [0

tf] es suficiente para determinar en forma única el estado inicial x0. En caso contrario el sistema es no observable.

Si el modelo de estado está en la forma canónica diagonal se puede analizar la observabilidad por inspección.

El modelo del sistema

ES OBSERVABLE.

El modelo del sistema NO ES OBSERVABLE.

Observabilidad

2 2 1

1

n n n

n

T

C

CA

CA C CA CA CA

CA

n n

n p

q n

q p

A

B

C

D

( ) ( ) ( )

( ) (

Ecuación de Estado

Ecuación de Salid) ( a)

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

Se define la matriz de observabilidad O

Consideremos el modelo en espacio de estado

Observabilidad

2 1

( )

n n nTC CA CA CA

Rango n

Teorema 6: Para que la planta descripta por las ecuaciones de estado sea observable, es necesario y suficiente que la matriz de observabilidad O sea de rango completo ó máximo (en Matlab rank(O)=n).

Observabilidad

2 1n n nTC CA CA CA

La matriz de observabilidad O se obtiene con Matlab

mediante el comando obsv

O = obsv(A,C) ó O = obsv(sys)

La observabilidad depende solamente del par (A,C). Se dice

que el par (A,C) es observable (o no observable).

Luego el sistema es observable si: rank(O)=n

si se ha definido el modelo sys en el espacio de estado con el

comando ss: sys = ss(A,B,C,D)

Teorema 7: (General para sistemas lineales invariantes MIMO o SISO pero Con valores característicos distintos). “En una planta descrita en la forma canónica Diagonal, el par [A,C] es observable si la matriz C no tiene columnas

totalmente nulas“.

Observabilidad

Observabilidad

Teorema 8: Es válido en general para sistemas MIMO aun cuando los valores característicos múltiples tengan más de un bloque de Jordan asociado con cada valor propio múltiple, y dice: “Si A esta en la forma canónica de Jordan

el par [A, C] es observable, si todos los elementos en las

columnas de C que correspondan a la primera fila de cada

bloque de Jordan no son cero. Se entiende que las columnas de C que corresponden a los valores

característicos simples no deberán tener todos sus elementos nulos”.

El teorema anterior se generaliza a las formas canónicas de Jordan (sistemas no diagonalizables).

Figura ampliada

Teorema 9: La observabilidad se conserva a través de transformaciones de semejanza. Si una realización es observable, también lo son todas las semejantes.

Observabilidad

( , )x x ObservA C able

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z x xz t A z t B u t Q AQz t Q B u t

( ) ( )x t Qz t

1 1, ,z x z x z xA Q AQ B Q B C C Q

2 1 , ( )nx x x x x x x x x

TC C A C A C A Rango n

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x x z z

x t Qz tx z

x t A x t B u t z t A z t B u t

y t C x t y t C z t

Observabilidad

z xQ

1x zQ

Por ser Q y Ox invertibles el par (Az,Cz) también es observable.

Adicionalmente la matriz de transformación es:

Producto de la inversa de la matriz de observabilidad del modelo original por la la matriz de observabilidad del modelo transformado.

2 1nx x x x x x x x

TC C A C A C A

1 1

2 1[ ]x xx x x x x

I I

nz z x x x x x x x

C Q C QC QQ AQ C A QQ AQ

TC C A C A C A Q

Teorema 10: Para un sistema de una entrada y una salida (q=p=1), el par (A,C) será observable si A y C están en la forma canónica observable o son transformables a la misma mediante una transforma-ción lineal de semejanza.

Obvio por el teorema anterior.

Observabilidad

Recordar formas canónicas observables

0 0 0 3

1 1 1 3 3

2 2 2 3

0 0

1 0 , , 0 0 1 ,

0 1

a b a b

A a B b a b C D b

a b a b

2 2 2 3

1 1 1 3 3

0 0 0 3

1 0

0 1 , , 1 0 0 ,

0 0

a b a b

A a B b a b C D b

a b a b

Forma Canónica Observable 1 (FCO1)

Forma Canónica Observable 2 (FCO2)

Gramiano de Observabilidad

El gramiano de observabilidad Wo es una matriz cuadrada de

nxn que se define como:

0

TA T A n nWo C C de e

C 0T TWoA A Wo C

Para calcularlo no se resuelve la integral infinita. Se calcula resolviendo la siguiente ecuación de Lyapunov:

Wo = lyap(A,C’*C)

Wo = gram(A,C,'o')

Con Matlab mediante el comando lyap o directamente con

gram

Gramiano de Observabilidad

El gramiano de observabilidad es siempre una matriz semidefinida positiva Wo0 (la parte real de los autovalores son positivas o cero).

Si el par (A, C) es observable, entonces Wo es una matriz definida positiva Wo>0 (la parte real de los autovalores son

positivas). Luego Wo es invertible y el rango es n.

Podemos unificar esto con el teorema 6

Teorema 6 (bis)- El par (A, C) es observable si y solo si la matriz de observabilidad O o el gramiano de observabilidad Wo son de rango n.

rango(O) = rango(Wo) = n

Vimos en el Teorema 9 que la observabilidad se conserva a través de transformaciones de semejanza.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x z z z

x t Qz tx t A x t B u t z t A z t B u t

Vimos que la relación entre las matrices de observabilidad es:

Tz xWo Q Wo Q

Gramiano de Observabilidad

Si el par (Ax, Cx) es observable, también lo es el par (Az, Cz)

La relación entre los gramianos de observabilidad de ambos sistemas es:

La relación entre las matrices y gramianos de observabilidad de los sistemas es:

z xQ

1 1T Tz z z x x xWo Wo

PRINCIPIO DE DULIDAD

Fernando di Sciascio

Teorema (Dualidad entre Controlabilidad y Observabilidad). El par (A,C) es observable si y solo si el par (AT,CT) es controlable.

Principio de Dualidad

Este principio establece que:

“Una planta será controlable (observable), si y solo si su planta dual es observable (controlable)”.

O sea a partir de este principio de controlabilidad (observabilidad) de una planta cualquiera se puede verificar probando la observabilidad (controlabilidad) de su planta dual.

Por el Principio de Dualidad la matriz de controlabilidad de un modelo en la forma canónica controlable es igual a la matriz de observabilidad del mismo modelo en la forma canónica observable.

Principio de Dualidad

cc co

3 2

3 2

10 42 72: ( )

8 17 10

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1

0 1 8 2

cc cc cc cc

co co co co

s s sEjemplo G s

s s s

A B C D

A B C D

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1

0 1 8 2

cc cc cc cc

co co co co

A B C D

A B C D

clear,clc

Acc=[0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8];

Bcc=[0;0;1];

Ccc=[62 25 2];

Aco=Acc'; Bco=Ccc'; Cco=Bcc';

C_cc=[Bcc Acc*Bcc Acc^2*Bcc]

O_co=[Cco; Cco*Aco; Cco*Aco^2]'

Principio de Dualidad

2 1

0 0 1

0 1 -8

1 -8 47

ncc cc cc cc cc cc cc ccB A B A B A B

2 1

0 0 1

0 1 -8

1 -8 47

nco co co co co co co co

TC C A C A C A

Principio de Dualidad

cc co

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA Ó

DESCOMPOSICIÓN DE KALMAN

Fernando di Sciascio

Teorema: Toda ecuación en variable de estados puede lle-varse, mediante una transfor-mación de equivalencia, a la forma canónica de la figura.

Estados controlables

y observables

Estados controlables

y no observables

Estados no controlables

y observables

Estados no controlables

y no observables

x

x

x

x

Descomposición de Kalman

Descomposición de Kalman

1 0 0 0 0.8

0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )

0 0 3 0 3.6

0 0 0 4 3.8

( ) 0.6 0.2 0.13 0.13 ( )

x t x t u t

y y x t

Sistema controlable y observable.

1.9 (s+1.4) (s+2.5) (s+3.6)( )

( 1)( 2)( 3)( 4)G s

s s s s

Descomposición de Kalman

Sistema controlable y observable.

Sistema no controlable y no observable.

Descomposición de Kalman

1 0 0 0 0.8

0

0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )

0 0 3 0

0 0 0 4

( ) 0.2 0.13 ( )

0

0 0

x t x t u t

y y x t

0.46( )

2G s

s

Descomposición de Kalman

1 0 0 0 0.8

0

0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )

0 0 3 0

0 0 0 4

( ) 0.2 0.13 ( )

0

0 0

x t x t u t

y y x t

0.46( )

2G s

s

13

21 23 24

34

0 0

( )0 0 0 0

0 0 0

( ) 0 0 ( ) ( )

x A A x B

x A A A A x Bu t

x A x

x A A x

y t C C x t Du t

Estados controlables y observables

Estados controlables y no observables

Estados no controlables y observables

Estados no controlables y no observables

x

x

x

x

Teorema (Descomposición Canónica o de de Kalman). Toda ecuación en variable de estados puede llevarse, mediante una transformación de equivalencia, a la forma canónica :

13

21 23

24

34

( )

( )

( ) ( )

x A x A x B u t

x A x A x A x

A x B u t

x A x

x A x A x

y t C x C x Du t

i) El subsistema es completamente controlable y completamente observable

, ,A B C

Teorema (continuación): Se verifican las siguientes proposiciones.

( )

( ) ( )

x A x B u t

y t C x Du t

1( ) ( )G s C sI A B D

y además tiene la misma función de transferencia que el sistema original

Descomposición de Kalman

i) El subsistema es completamente controlable y completamente observable, y tiene la misma función de transferencia que el sistema original

ii) El subsistema:

Es completamente controlable.

21

0; ; 0co

coco

A BC

A A B

iii) El subsistema:

Es completamente observable.

13 ; ;0 0

A A BC C

A

Teorema (continuación): Se verifican las siguientes proposi-ciones.

, ,A B C

Vemos en la Figura que sólo la parte controlable y observable del sistema esta conectada tanto a las entradas como a las salidas. Esta es la única parte del sistema que determina la función de transferencia.

Los autovalores de las submatrices no aparecerán como polos de la función de transferencia

, ,A A A

Descomposición de Kalman

1( ) ( )G s C sI A B D

La descomposición canónica descrita en el Teorema tiene una importante consecuencia para la función de transferencia del modelo, ya que esta solo modela el subsistema completamente observable y completamente controlable.

REALIZACIONES BALANCEADAS

Fernando di Sciascio

C 0T TWo sol WoA A Wo C{ }

2 1n TC CA CA CA

rango( ) =rango(Wo) =n

0T TWc sol AWc WcA BB{ }

2 1nB AB A B A B

rango( ) =rango(Wc) =n

Vimos en el análisis de controlabilidad

y en el análisis de observabilidad:

Realizaciones Balanceadas

¿Para que introducir los gramianos?, si con las matrices de controlabilidad y observabilidad es suficiente. De hecho ningún libro clásico habla de gramianos.

Hay varias razones para introducir los gramianos Wc y Wo;

Realizaciones Balanceadas

Las matrices C y O solo dicen (a través de su rango) si un modelo es controlable u observable (información tipo si-no). Los gramianos Wc y Wo suministran información adicional sobre la “facilidad” para controlar u observar un sistema. Los autovalores de Wc describen como la entrada u(t) influye sobre los estados x(t) y los autovalores de Wo describen como el estado inicial x(0) influencia la salida y(t) cuando u(t)=0. Entre varias realizaciones similares Wc y Wo informan cual es más controlable o más observable.

Por ejemplo, un sistema expresado en la forma canónica controlable es mucho más fácil de controlar que de observar. Obviamente el mismo sistema expresado en la forma canónica observable es mucho más fácil de observar que de controlar.

Realizaciones Balanceadas

En general los gramianos Wc y Wo están mejor condicionadas numéricamente que las matrices C y O.

Los gramianos Wc y Wo suministran información para la reducción de modelos.

Vimos anteriormente que la controlabilidad y la observabilidad se conservan a través de transformaciones de semejanza T.

1 ,T Tz x z xWc T Wc T Wo T Wo T

La relación entre los gramianos de ambos sistemas es:

Si elegimos la matriz de transformación T de tal manera que los gramianos de controlabilidad Wcz y de observabilidad Woz de la nueva realización (Az, Bz,Cz, Dz) sean iguales:

1, ( )T Tz z x xWc Wo T Wc T T Wo T

( , , , ) ( , , , )x x x x z z z zT

A B C D A B C D

Entonces la realización (Az,Bz,Cz,Dz) se dice balanceada.

Realizaciones Balanceadas

Una realización (A,B,C,D) es balanceada cuando los gramianos de controlabilidad y observabilidad son iguales. Esto significa que la “facilidad” (o “dificultad”) para controlar u observar el sistema es la misma.

Realizaciones Balanceadas

Las matrices (A,B,C,D) de una realización balanceada son “llenas” (lo opuesto de ralas) sin ceros. Esto significa que se tienen más parámetros que los estrictamente necesarios para definir el sistema

Las realizaciones balanceadas son las mejores condicionadas numéricamente. Esto significa que las entradas de las matrices (o vectores) de la realización (A,B,C,D) no difieren en varios ordenes de magnitud (si esto no ocurre es porque el orden del sistema es mayor de lo necesario.

Los gramianos de una realización balanceada son matrices iguales y diagonales. Los elementos de la diagonal son todos positivos y se les denomina valores singulares de Hankel.

[sys_bal, vsh] = balreal(sys)

Realizaciones Balanceadas

El comando balreal(sys) de Matlab calcula una realización balanceada del modelo sys.

Devuelve la realización balanceada sys_bal del modelo sys y el vector vsh con los elementos de las diagonales de los gramianos (recordemos que Wc y Wo son iguales y diagonales y que a los elementos de g les llamamos valores singulares de Hankel).

Valores pequeños de algunos valores singulares indican los estados que pueden ser removidos.

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1

0 1 8 2

cc cc cc cc

co co co co

A B C D

A B C D

Ejemplo: El mismo sistema G(s) que vimos anteriormente, para comparar se repiten la FCC y la FCO.

(3 3 )

23 2

3 2

( 4)( 6 18)10 42 72( )

( 5)( 2)( 1)8 17 10

s i

s s ss s sG s

s s ss s s

Realizaciones Balanceadas

Con el comando balreal(sys) de Matlab calculamos la realización balanceada ss_bal y con gram(ss_bal) los gramianos.

clear; clc;

G=tf([1 10 42 72],[1 8 17 10]);

[ss_bal,vsh] = balreal(G);%Realización balanceada

Abal=ss_bal.a; Bbal=ss_bal.b; Cbal=ss_bal.c;

Dbal=ss_bal.d;

Wc_bal = gram(ss_bal,'c');

Wo_bal = gram(ss_bal,'o');

Realizaciones Balanceadas

-0.5711 0.8641 0.1494 -1.9775

-0.8641 - 2.9183 - 1.0840 , -1.3578

-0.1494 - 1.0840 - 4.5106 -0.2581

-1.9775 1.3578 0.2581 , 1

bal bal

bal bal

A B

C D

3.4233 0 0

0 0.315

0.007

9 0

40 0bal balWc Wo

0.007

3

4

.4233

vsh 0.3159

La realización balanceada es:

Los gramianos y los valores singulares son:

Realizaciones Balanceadas

Se observa en la diagonal de los gramianos (y en el vector vsh) que el valor singular del tercer estado es mucho más pequeño, en consecuencia ese estado se puede eliminar (los valores singulares de Hankel están relacionados con la energía de cada estado).

% Continuación del programa anterior

elim = (vsh<1e-2);

ss_red = modred(ss_bal,elim);%remove negligible

states

Ared=ss_red.a; Bred=ss_red.b;

Cred=ss_red.c; Dred=ss_red.d;

Gred=tf(ss_red);

step(G,Gred)

-0.58 0.83 -2,

-1.3-0.83 - 2.66

-2 1.3 , 1

red red

red red

A B

C D

3.423 0

0 0.316red redWc Wo3.423

vsh0.316

La realización balanceada del modelo reducido es:

(2.75 2.93 )

2 2

2

5.45 16 5.45 16( )

( 2.238)( 1)3.23 2.22

s i

reds s s s

G ss ss s

Los gramianos son:

La función de transferencia del modelo reducido es:

(3 3 )

3 2 2

3 2

10 42 72 ( 4)( 6 18)( )

( 5)( 2)( 1)8 17 10

s i

s s s s s sG s

s s ss s s

(2.75 2.93 )

2 2

2

5.45 16 5.45 16( )

( 2.238)( 1)3.23 2.22

s i

reds s s s

G ss ss s

Realizaciones Balanceadas

Se comparan las funciones de transferencia original y la del modelo reducido.

Respuesta al escalón de las funciones de transferencia original y la del modelo reducido.