Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 ... Følg en løsning til Hill’s ligning...

Moderne acceleratorers fysik og anvendelseForelæsning 2

Transverse motion, Lattices

Optiske elementer: Styring og fokusering.

Bevægelsesligningen og dens løsning.

Stabilitet.

Typiske latticekonfigurationer.

Koordinatsystem og notation

centralbanex

s

ρ

z

x og z er altså afvigelse fra centralbanen i horisontalt og vertikalt plan.

x’ = dx/ds og z’ = dz/ds er divergensvinklerne i forhold til centralbanen.

Ofte ses y benyttet for den vertikale afvigelse, ligesom man af og til ser z anvendt i stedet for s.

Dipoler: Afbøjningsvinkel

ρθπθ

ρρθ

BlBFor

BlBl

≈<<

==

:2

)(222sin

Dipolmagneter: Fokusering i sektormagnet

α

αα

θ

αθ

α

tan/

/sincos

:dvs

/sin

cos

g

gi

i

f

gi

if

r

rxx

xf

rx

xx

=⋅

⋅

=Δ

=

⋅=Δ

⋅=

xicosα

Dvs. at en 90° dipol har f=0, og at en 180° har f=∞

xi

xf

xisinα

Dipoler: Vertikal fokusering

Ved at ændre vinklen mellem felt og bane kan en vertikal fokuseringopnås som vist.Det ses at hvis β≠0 er Bx≠0, hvilket giver en vertikal kraft.Vinklen kan vælges således at stigmatisk fokusering opnås, dvs ensfokusering både vertikalt og horisontalt.Dette kaldes en ”fringing field lens” eller randfeltlinse.

x

s (main orbit)

Bx

y

s

Dipoler: Dobbeltfokuserende magnet

Fringing field lens

Kvadrupol (1)

yFxF

yBxB

yx

xy

∝−∝

∝∝

samt

samt

F

B

Horisontalt fokuserende for positive partikler på vej ind i tavlen

Alternating Gradient (AG) Fokusering

Beamet er altid længere fra den optiske akse i de fokuserende elementer end i de defokuserende, derfor er nettoeffekten fokuserende.

Kvadrupol (2)

klfxxfeFokallængd

lkxB

xdxdBlBlBx

pBdx

dBB

k

kvadrupolenafStyrken

z

z

/1'/:

)/('

)(1:

−=⇒Δ−=

====Δ

∝=

ρρθ

ρρ

Quadrupol doublet fokusering

Horizontal:

Vertical:

Quadrupol triplet fokusering

Horizontal:

Vertical:

Strong focusing animation

Fokusering

||

'vv

dsdxx ⊥==

Faserum

Fokusering, beam envelope

Bevægelsesligningen (Hill’s ligning) (1)

0)('')('''/''

)(:

1,1:

=+−==

−===⇒

−==−

zskzellerzskzdsdz

dskzfzdzefokuserendvertikaltpositivkVertikalt

klf

dxdB

BkpolQ z

θ

ρ

0)()(

1'':)(

':.

,/)tan(2/,)tan(

::

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=⇒=

≈≈⇒<<=

xsks

xQogDbådealtI

dsxdxds

fdvs

dsf

eringdipolfokusfrabidragOgsåtHorisontal

D

D

ρ

ρρ

ρααπαα

ρ

Bevægelsesligningen (Hill’s ligning) (2)

0)('': =+ zskzVertikalt

I en constant-gradient maskine (f.ex. Cosmotronen) er k konstant, og løs-ningen til Hill’s ligning er derfor en harmonisk oscillator:

λπφφ 2'),sin( == hvorzz o

I vort tilfælde ligner løsningen ovenstående, men amplituden og fase-udviklingen er ikke længere konstante:

Vi ser her, at mens ε er konstant, kan β betragtes som proportional med den lokale bølgelængde i bevægelsen, i.e. hvor ’hurtigt’ retningen ændres

Bevægelsesligningen (Hill’s ligning) (3)Løsningen for x og x’ er har altså formen:

β

Stor

LilleMed rigtigt valg af styrke og afstand af Q-polerne er β stor i F q-poler og lille i D q-poler

x

x

x’

x’

Beam envelope og β

Beam envelope = βε

Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldeshele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem β og λ.

ε er konstant, men β=β(s)

Q-værdi

Q-værdien er betratron-bølgetallet, dvs. hvor mange sving-ninger en partikel udfører pr. omgang i maskinen. Se igen på en konstant-gradient maskine:

Faseudvikling på én omgang:

Dvs, at antal svingninger er :

og dermed β = R/Q

Dette er også en god approximation for den gennemsnitligebetafunktion i AG maskiner. Det er vigtigt at undgå, at Q eret heltal. Hvorfor? Hvordan undgås det?

MatrixbeskrivelseFølg en løsning til Hill’s ligning fra punkt til punkt v. hj. af entransportmatrix. På generel form:

M21 er en funktion af β(s) og φ(s), og vi har en transformations-matrix for hvert element i ringen, f.ex. dipol, q-pol, driftspace etc.

På denne måde kan vi komme fra ethvert punkt i ringen til ethvert andet, simpelthen ved at multiplicere et antal matricer der repræsenterer de elementer vi gennemløber.

Spørgsmålet er nu, hvordan sammenhængen mellem M21 ogβ(s) (og dermed φ(s)). Løsningen er Twiss-matricen.

Twiss matricen

Vi vil her postulere Twiss-matricen, der er den basale transportmatrix for periodiske lattices:

hvor μ er faseudviklingen pr. celle, og vi har indført dissefunktioner af β :

(α, β og γ kaldes ogsåTwiss eller Courant-Snyder parametre)

StabilitetFor at strukturen er stabil kræves at matricen {M(s)}Nk

ikke divergerer, da den jo beskriver transformationen efterk gennemløb af ringens N perioder.

En egenværdi opfylder MY=λY, hvor Y=(y,y’).

Løsning af determinantligningen det(M-λI)=0 giver λ2-λ(a+d)+1=0 (benyt at det(M)=1)

Løsningen kan skrives: λ = cosμ±isinμ = e±iμ, hvor cosμ=½Tr(M)=½(a+d)

For at have stabilitet kræves at μ er reel. hvilket medfører at|½Tr(M)|<=1 og |λ|=1

Disse betingelser er en test for stabilitet !

Udregning af Twiss-parametre

Hvis vi kendte a, b, c og d kunne vi udregne Twiss-parametrene:

Procedure: Vælg et punkt i ringen, multiplicér transport-matricerne én periode frem og find dermed a,b,c og d. Så kan Twiss-parametrene udregnes jvf. ovenfor.

Transportmatricer (1)Hvert element i ringen har sin egen transportmatrix:

Driftspace af længde l: Her transformeres (x,x’) til (x+x’l,x’) (Hill), hvilket kan skrives således:

Transportmatricen for driftspace er altså simpethen

Transportmatricer (2)Quadrupoler:

Husk Hill’s ligning: x’’+kx=0, eller Δx’=-kxlDvs. at (x,x’) transformerer til (x,x’-kxl)

Altså kan vi skrive transportmatricen:

Ovenstående gælder dog kun for en tynd Q-pol (i forh. til fokallængden).For en generel Q-pol med længde l ser det sådan ud:

Transportmatricer (3)Dipoler:Nedenstående gælder for en sektormagnet med radius ρ ogvinkel θ:

Bemærk fokuseringen i Mh. Vi regnede tidligere ud (Slide 5)at vinkelændringen som funktion af x i en sektordipol er

gi rx /sinαθ ⋅=Δ , heraf fokuseringsleddet.

I vertikal retning er der blot tale om drift, idet ρθ jo er banelængden i dipolen

Latticeprogrammer

Latticeprogrammer som f.eks. MAD (Iselin and Grote) ogWINAgile (Bryant) benytter transportmatricer til at finde Twiss-parametrene.

Eksempel: FODO lattice: CERN SPS:

Vi vil nu prøve at lave en simpel FODO lattice i WINAgile.