View
10.545
Download
9
Category
Preview:
Citation preview
MODUL 4: MATRIK DAN DETERMINAN
Pengertian MatrikMatrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan :
)(
...
............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
nma
aaaa
a
aaaa
aaaa
aaaa
A
ij
mnmmm
ij
n
n
n
Istilah-istilah :Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, CElemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c …Bagian mendatar disebut barisBagian tegak disebut kolomIndeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolomJumlah baris=m, jumlah kolom=nUkuran matrik disebut ordoMatrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)
CONTOH
3145.023
223001.023.0
4333.022
5667.0221
j
j
A
Beberapa istilah yang perlu diketahui ;
Elemen matrik A dapat berupa bilangan bulat, desimal, rel atau bilangan kompleks Jumlah baris A=4, jumlah kolom a=5, A berukuran (4x5)a32 : elemen baris ke-3 kolom-2 adalah 0.001Elemen-elemen diagonal matrik A : 1, , 3, 1
CONTOHPerhatikan jaringan berikut :
1 2 4
3
terbubung tidak j dan i node jika ,
terhubung j dan i node jika ,
0
1ija
0110
1011
1101
0110
A
Matrik jaringannya adalah sebagai berikut
MATRIK-MATRIK KHUSUS
Matrik Bujur SangkarA dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n
)(
...
............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
nna
aaaa
a
aaaa
aaaa
aaaa
A
ij
nnnnn
ij
n
n
n
Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11, a22, a33, a44 ….
CONTOH
0110
1011
1101
0110
A
Matrik A berordo 4, elemen-elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0
81.0925
1283.04.0
54.0713
42342
5.01251
A
Matrik Segitiga Atas
A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0
Matrik Segitiga Bawah
A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0
81.0925
0283.04.0
0.0713
00042
00001
A
Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah
80000
2000
.700
90
3
j
ih
gfe
dcba
A
Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas
Matrik Diagonal = D
A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D.
Matrik Identitas = I
A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I.
1000
0400
0030
0002
300
020
002
;40
02
4
32
D
DD
1000
0100
0010
0001
100
010
001
;10
01
4
32
I
II
Transpose Matrik= AT
Transpose matrik A ditulis AT
adalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolam A, dan kolom AT adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), AT berukuran (nxm)
CONTOH
2468
7654
6421
;
276
464
652
841
TA
A
Matrik Simetris, A=AT
A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, AT=A
CONTOH
73000
35200
021010
00161.0
0001.05
543
431
312
; 31
12
A
A
A
Matrik tridiagonal
OPERASI ARITMATIK MATRIK (1)
(1) Kesamaan, A=B
Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika(1) A dan B berukuran sama(2) Setiap elemen yang seletak
nilainya sama, aij = aij ;
Contoh :
463
512 dan
643
512BA
A dan B berukuran sama (2x3), tetapi AB, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama
(2) Perkalian dng skalar, kA
Perkalian matrik, A=[aij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni :
kA=k[aij]= [kaij]
Contoh :
18129
1536
)6(3)4(3)3(3
)5(3)1(3)2(3
643
51233A
643
512
A
(3) Penjumlahan, A+B
(1) Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama.
(2) Bilamana, A+B=C, maka elemen matrik C diberikan,
cij = aij + bij
(elemen yang seletak dijumlahkan)
OPERASI ARITMATIK MATRIK (2)
Contoh :Diberikan :
2605
11112
818121249
4152384
8124
428
18129
1534
462
2142-
643
51232B-3A
:maka
462
214 dan
643
512BA
OPERASI ARITMATIK MATRIK (3)
(4) Perkalian Matrik, AB=C
(1) Matrik, A=[aij](m=n) dan B=[bij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p].
(2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[cij](mxq) dimana elemen cij diberikan oleh :
njinjiji
n
kkjikij
bababa
bac
... 2211
1
(mxq)(pxq)(mxn) CBA
643
512
13
42
61
BA
813
1315
13
42
61
643
512AB
maka
13
42
61
dan 643
512BA
Contoh : Diberikan :
Soal Latihan
12
21
23
12
dan
132
22
141
;324
213 ).1( C
a
ba
b
BA
Hitunglah (a). AB ; BC dan CA(b). (AB)C = A(BC)(c). (BC)(A)=B(CA)(d). (CA)B = C(AB)
ab
b
ba
b
a
C
ba
ab
ab
ba
B
ba
ab
ba
A
1
22
1
21
12
211
111
232
321
;
24
42
31
).2(
DETERMINAN MATRIKFungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A
Kasus n=1
A=[a], det(A) =|a| = a
Kasus n=2
10)6(412-
34
bc-addet(A)
dc
ba |A| maka ,
dc
ba A
Kasus, n=3, Metode Sarrus
3231
2221
1211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
|A|
: |A|det(A) Sarrus, metode dengan
aaa
aaa
aaa
A
(–) (–) (–) (+) (+) (+)
7412248916
423
121
432
aaaaaaaaa-
aaaaaaaaa
312213332112322311
322113312312332211
METODE EKSPANSI LAPLACE
Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah
matrik bujur sangkar berordo (nxn).
(1). Minor elemen matrik A baris ke-i
dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij
didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j
(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai :
ijji
ij MC )1(
CONTOH :
63-4
523
212-
A
173-4
231)(
M)1(C
: untuk dan
-12(-1)(12)
M(-1)C
12)6(663-
21M
1331
13
2112
21
21
M21 baris ke-2
dan kolom ke-1 dihilangkan
CONTOH : Minor
124-5
2-324
25-13
4132-
A
124-5
2-324
25-13
4132-
A
M23 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan
M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan
134
(-16)-12-40-
(-64)(-30)(-4)
14-5
2-24
432-
M23
149
(-8)-3-(-100)- 240110
125
25-3
412-
M32
DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE
Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah
matrik bujur sangkar berordo (nxn),
dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor
elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.
)i-ke baris kofaktor Ekspansi(
Ca...CaCa
n1,2,...,i;Cadet(A) ).2(
oleh, diberikan
Amatrik determinan 2 n Untuk,
aa|A|det(A)
1,n Untuk ).1(
inini2i2i1i1
n
1kikik
1111
)j-ke kolom kofaktor Ekspansi(
Ca...CaCa
n1,2,...,j ;Cadet(A) ).3(
njnj2j2j1j1j
n
1kkjkj
CONTOH Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
1494(31)1(-7)--2(-9)
25
5-34
15
231-
12
25-(-2)
MaMa-Ma
CaCaCa
125
25-3
412-
det(A)
131312121111
131312121111
CONTOH Hitunglah determinan matrik A
Ekspnasi kofaktor baris
4165
3244
5423
7612
A
19()7()6()()2
165
244
423
7-
465
344
523
6
415
324
543
1-
416
324
542
2
Ma-MaMa-Ma
CaCa
CaCadet(A)
1414131312121111
14141313
12121111
CONTOH Hitunglah determinan matrik A
Ekspansi kofaktor kolom
4165
3244
5423
7612
A
196()4()-2()-1()
324
543
762
6
415
543
762
4
415
324
762
2
415
324
543
-1
MaMa-MaM-a
CaCa
CaCadet(A)
4242323222221212
42423232
22221212
DETERMINAN : METODE CHIO
Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka :
aa
aa...
aa
aa
aa
aa
...aa
aa......
aa
aa...
aa
aa
aa
aa
aa
aa...
aa
aa
aa
aa
)(a
1det(A)
nnn1
1n11
n2n1
1211
n2n1
1211
iji1
1j11
3n31
1n11
3331
1311
3231
1211
2n21
1n11
2321
1311
2221
1211
2-n11
Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.
CONTOHHitunglah, det(A) dari :
Jawab :
Karena, a11= –2, dan n=3, maka :
125
25-3
412-
A
1492
298
)144154(21
22-9-
16-7
21
15
42-
25
12-23
42-
5-3
12-
(-2)
1det(A)
2-3
4165
3244
5423
7612
A
CONTOHHitunglah, det(A) dari :
Jawab :
Karena, a11= 2, dan n=4, maka :
194
764
9241000
5042
2220
41
)7727()7028(
)4422()4020(
)1(
1x
41
27287
22204
11101
41
35)-(830)-(25)-(12
28)-(624)-(44)-(8
21)-(1018)-(83)-(4
(2)
1det(A)
23
2-4
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
(1). Jika A matrik bujur sangkar maka
det(A) = det(AT)
Contoh :
623
154
432
A
614
253
342
A
T
Menurut sifat (1), maka :
det(A) = det(AT) = –42
(2). Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang berordo sama maka det(AB) = det(A) det(B)
Contoh :
8 det(B) 60det(A)
200
3-20
21-2
B dan
602
051
002
A
480860)det()det(det(AB)
1624
1392
424
200
3-20
21-2
602
051
002
AB
BA
(3). Jika A matrik bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya 0 atau sebanding, maka
det(A) = 0
Contoh :
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
023
054
032
A
614
000
342
ABaris-2 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0
Kolom-3 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0
(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utama tak nol, maka :
det(A) = a11a22a33 … ann
Contoh :
4000
3500
5430
7612
A
A matrik segitiga atas, maka :
det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120
(5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka :
det(B) = k det(A)
Operasi elementarnya adalah :
Hi k Hi : Baris ke-i baru =
kx baris ke-i lama
Kj k Kj : Kolom ke-j baru =
kxkolom ke-j lama
SIFAT-SIFAT DETERMINANCONTOH :
18312
642
342
B
614
321
342
A det(A)=21
H2 2 H2 k1= 2
H2 3 H2 k2=3
det(B) = k1 k2 det (A) = (2) (3) 21 = 126
(6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris (kolom) , maka :
det(B) = – det(A)
Operasi elementarnya adalah :
Hi Hj : Baris ke-i baru =
baris ke-j lama
Ki Kj : Kolom ke-i baru =
kolom ke-j lama
SIFAT-SIFAT DETERMINANCONTOH :
231
164
432
C
321
614
342
B
614
321
342
A det(A)=21
H2 H3
K2 K3
det(B)= –det(A) = –21
det(C)= –det(B) = –(–21)=21
(7). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan pada baris (kolom) yang lain, maka : det(B) = det(A)
Operasi elementarnya adalah :
Hi Hi+kHj :
Baris ke-i baru = Baris ke-i lama + k baris ke-j lama
Kj Kj+k Kj :
Kolom ke-j baru = kolom ke-j lama + k kolom ke-i lama
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
400
3-2-0
321
C
2-4-0
3-2-0
321
B
723
322
321
A
CONTOH :
a11 = pivota21 dan a31 direduksi menjadi 0
H2 H2 – 2 H1H3 H3 – 3 H1
a22 = pivota32 = direduksi – 0
H3 H3 – 2H2
Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8
Matrik Awal2 2 4 0 403 2 0 12 4 6 32 4 4 6
Iterasi 1 PIVOT = a112 2 4 00 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H10 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H10 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1
Iterasi 2 PIVOT=a222 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H20 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2
Iterasi 3 PIVOT=a332 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 50 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3
Matrik Awal2 4 8 8 84 4 6 8 24 4 7 7 54 8 14 14 82 2 6 9 12
CONTOH :
Iterasi 12 4 8 8 8 -640 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H10 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H10 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H10 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1
Iterasi 22 4 8 8 8 -640 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H20 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H20 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2
Iterasi32 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3
Iterasi42 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -20 0 0 0 -2
H5=H5-(a54/a44)H4
DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga : A = LU Akibatnya : det(A) = det(L) det (U)
CONTOH
24)det(
1462
951
642
LUA
100
210
321
U;
422
031
002
L
A
TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU
(1) Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah satu.
(2) Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1
(3) Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris.
(4) Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah
DEKOMPOSISI : METODE CROUTKasus n=3
Rumus perhitungannya :
333231
232221
131211
23
1312
333231
2221
11
aaa
aaa
aaa
100
u10
uu1
lll
0ll
00l
233213313333
22
13212323
12313232
12212222
11
1313
11
1212
313121211111
:5 Iterasi
: 4 Iterasi
;: 3 Iterasi
; : 2 Iterasi
;; : 1 Iterasi
ululal
l
ulau
ulal
ulal
a
au
a
au
alalal
Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :
n2,..., j j,i
l
ula
u
n1,...,ii,j
ulal
ii
1i
1kikikij
ij
1j
1kkjikijij
1624
1392
424
A
CONTOH :Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi
Jawab :
144
5.0-42-
: 2 Iterasi
4;2;4
: 1 Iterasi
13
12
312111
u
u
lll
120(-1.5)-4(1)-16 :5 Iterasi
-1.510
2(1)-13- : 4 Iterasi
04(-0.5)--2
;10(2)(-0.5)-9: 3 Iterasi
33
23
32
22
l
u
l
l
480U)det(L)det(det(A)
1)det(
100
1.5-10
10.5-1
U
480)12)(10(4)det(
1204
0102
004
L
Jadi,
U
L
KASUS n=4 : METODE CROUT
Rumus iterasi perhitungannya adalah :
44434241
34333231
24232221
14131211
34
2423
141312
44434241
333231
2221
11
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
llll
lll
ll
l
22
14212424
22
13212323
12414242
12313232
12212222
11
1414
11
1313
11
1212
41413131
21211111
: 4 Iterasi
;: 3 Iterasi
;; : 2 Iterasi
;;
;; : 1 Iterasi
l
ulau
l
ulau
ulal
ulal
ulal
a
au
a
au
a
au
alal
alal
3443244214414444
33
243214313434
234213414343
233213313333
: 7 Iterasi
: 6 Iterasi
:5 Iterasi
ulululal
l
ululau
ululal
ululal
CONTOH :Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi
Jawab :
6442
3642
1023
0422
A
2)1(24
2)1(24
;1)1(32: 3 Iterasi
020
;224
;122
: 2 Iterasi
;2;2
;3;2 : 1 Iterasi
42
32
22
14
1312
4131
2111
l
l
l
u
uu
ll
ll
-1(-1)
)0(3)(-1u
6(-1)3(2)-0
u : 4 Iterasi
24
23
212(0.5)-2(-1)-2(0)-6
: 7 Iterasi
5.010
2(-1)-2(0)-3
: 6 Iterasi
-122(6)-2(2)-4
-102(6)-2(2)-6 :5 Iterasi
44
34
43
33
l
u
l
l
1000
0.5100
1-610
0211
U ;
21222
01022
001-3
0002
L
Jadi,
DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE
Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :
n,...,2ii,j
u
ula
l
n1,...,j j,i
ulau
ii
1j
1kikikij
ij
1i
1kkjikijij
Kasus n=3
Rumus perhitungannya :
333231
232221
131211
33
2322
131211
3231
21aaa
aaa
aaa
u00
uu0
uuu
1ll
01l
001
233213313333
22
12313232
13212323
12212222
11
3131
11
2121
131312121111
:5 Iterasi
l : 4 Iterasi
u
;: 3 Iterasi
;l : 2 Iterasi
;;u : 1 Iterasi
ululau
u
ula
ula
ulau
a
al
a
a
auaua
KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE
Rumus iterasi perhitungannya adalah :
44434241
34333231
24232221
14131211
44
3433
242322
14131211
434241
3231
21
000
00
0
1
01
001
0001
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
22
12414242
22
12313232
12414224
13212323
12212222
11
4141
11
3131
11
2121
14141313
12121111
l
l : 4 Iterasi
u
;: 3 Iterasi
;;l : 2 Iterasi
;;
;;u : 1 Iterasi
u
ula
u
ula
ulau
ula
ulau
a
al
a
al
a
a
auau
aua
3443244214414444
33
234213414343
243214313434
233213313333
: 7 Iterasi
: 6 Iterasi
u
u
:5 Iterasi
ulululau
u
ululal
ulula
ulula
TUGAS II,III dan IV
3a1a3b1b
1a1a1b1b
1b2b1a2a
1bba1a
A
Hitunglah det(A) dengan cara :a. Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil)b. Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap)c. Sifat-sifat determinan (reduksi menjadi
matrik segitiga)d. Metode CHIOe. Dekomposisi matrik (CROUT dan
Doolite)
4121
42121
11212
1121
211
aaabb
aaabb
aaabb
bbbaa
bbbaa
A
Hitunglah det (A) dengan cara :a) sifat-sifat determinanb) Metode CHIOc) Dekomposisi matrik
(Crout dan Doolite)
Recommended