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FFFÍÍÍSSSIIICCCAAA III III III
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa
Francisco Ferreira Barbosa Filho
Departamento de Física
Universidade Federal do Piauí
Fevereiro de 2010
2
PRESIDENTE DA REPÚBLICA
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
GOVERNADOR DO ESTADO
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA DO MEC
COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE DUCAÇÃO ABERTA À DISTÂNCIA
DA UFPI
SUPERITENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA
COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI
DIAGRAMAÇÃO
FICHA CATALOGRÁFICA
Serviço de Processamento Técnico da Universidade Federal do Piauí
Biblioteca Comunitária Jornalista Carlos Castello Branco
B238f Barbosa, Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Filho, Francisco Ferreira.
Física III /Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Francisco Ferreira Barbosa Filho. – Teresina : CEAD/UFPI, 2010.
200 p.
1. Física. 2. Física – Eletromagnetismo. I. Título. CDD 530
3
Este texto é destinado aos estudantes que participam do
programa de Educação à Distância da Universidade Aberta do Piauí
(UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do
Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Centro Federal de
Educação Tecnológica (CEFET – PI), com apoio do Governo do Estado do
Piauí, através da Secretaria de Educação.
O texto é composto de duas unidades, constituídas de cinco
capítulos cada uma. Nos cinco capítulos iniciais (primeira unidade),
iremos tratar da eletrostática, e nos cinco capítulos finais (segunda
unidade) trataremos de correntes elétricas, circuitos elétricos, campo
magnético, lei de Ampère e Lei de Faraday.
A bibliografia para leitura complementar é indicada ao final de
cada unidade, bem como exercícios resolvidos e exercícios visando
avaliar o entendimento do leitor serão apresentados ao longo do texto
de cada unidade.
Apresentação
4
Sumário Geral
UNIDADE I
1. A LEI DE COULOMB
1.1 Introdução 10
1.2 A carga elétrica 11
1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 13
1.4 Processos de Eletrização 14
1.5 Lei de Coulomb 16
1.6 Problemas Resolvidos 16
1.7 Problemas Propostos 21
1.8 Referências bibliográficas 23
1.9 Web‐bibliografia 23
2 O CAMPO ELÉTRICO
2.1 Introdução 26
2.2 Ação à Distância e o Campo Elétrico 26
2.3 Dipolo Elétrico 28
2.4 Linhas de Campo Elétrico 29
2.5 Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 31
2.6 Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 32
2.7 Problemas Resolvidos 33
2.8 Problemas Propostos 35
Referências bibliográficas 37
Web‐bibliografia 37
3 LEI DE GAUSS
3.1 O Fluxo de Campo Vetorial 40
3.2 O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss 42
3.3 Aplicações da Lei de Gauss 44
5
3.4 Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em
Condutores
49
3.5 Problemas Propostos 51
Referências bibliográficas 54
Web‐bibliografia 54
4 POTENCIAL ELÉTRICO
4.1 Definindo Capacitor 57
4.2 Energia Armazenada em um Capacitor 57
4.3 Associação de Capacitores 62
4.4 Capacitores com Dielétricos 64
4.5 Potencial de um dipolo dielétrico 65
4.6 Potencial de uma linha de carga 66
4.7 Diferença de potencial elétrico entre as placas de um
capacitor
67
4.8 O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico 68
4.9 Superfícies equipotenciais 69
4.5 Problemas Propostos 71
4.6 Referências bibliográficas 72
4.7 Web‐bibliografia 73
5 CAPACITORES E DIELÉTRICOS
5.1 Definindo Capacitor 75
5.2 Energia Armazenada em um Capacitor 78
5.3 Associação de Capacitores 81
5.4 Capacitores com Dielétricos 84
4.5 Problemas Propostos 85
4.6 Referências bibliográficas 87
4.7 Web‐bibliografia 87
6
UNIDADE II
6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA
6.1 A corrente elétrica 90
6.2 Corrente e velocidade de deriva 92
6.3 Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade,
resistência e resistividade
96
6.4 Resistência e temperatura 102
6.5 Avanços na área: supercondutividade 104
6.6 Potencia elétrica 105
Questões 109
Problemas 110
Bibliografia 111
7 CIRCUITOS ELÉTRICOS
7.1 Elementos e diagramas de circuitos 115
7.2 Força eletromotriz 117
7.3 Associação de resistores 119
7.3.1 Resistores em série 119
7.3.2 Resistores em paralelo 120
7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico 122
7.5 Circuitos RC 129
Questões 136
Problemas 137
Bibliografia 139
8 O CAMPO MAGNÉTICO
8.1 Magnetismo 142
8.2 O campo magnético e suas fontes 145
8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo
magnético
148
8.4 Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas
na presença de campo magnético
150
8.5 A força magnética agindo sobre um condutor portando
7
corrente elétrica 152
8.6 Torque 157
Questões 161
Problemas 163
Bibliografia 165
9 A LEI DE AMPÈRE
9.1 Lei de Biot – Savart 168
9.2 Lei de Ampère 173
9.3 A lei de Ampère e os solenóides 176
Questões 178
Problemas 179
Bibliografia 181
10 A LEI DE FARADAY
9.1 Introdução 185
9.2 O fluxo magnético 185
9.3 A lei de Lenz 188
Questões 194
Problemas 196
Bibliografia 200
8
UNIDADE 1
A LEI DE COULOMB
Resumo
Nesta unidade iremos discutir os fenômenos elétricos numa visão
eletrostática, onde idealizamos as cargas em repouso. Começaremos
discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação a quantização e
os processos de eletrização. Em um ponto culminante da unidade
veremos como calcular a força elétrica estática entre cargas distribuídas
discretamente a partir da lei de Coulomb.
9
Sumário
UNIDADE 1: Lei de Coulomb
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa
1.1 Introdução 10
1.2 A carga elétrica 11
1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 13
1.4 Processos de Eletrização 14
1.5 Lei de Coulomb 16
1.6 Problemas Resolvidos 16
1.7 Problemas Propostos 21
1.8 Referências bibliográficas 23
1.9 Web‐bibliografia 23
10
1.1 ‐ Introdução
O fenômeno eletromagnético está associado a uma propriedade
fundamental das partículas, chamada “carga elétrica”. Entretanto,
diferentemente da massa de um corpo que somente pode exercer
atração gravitacional sobre outra massa, as cargas podem exercer tanto
atração quanto repulsão umas sobre outras, através de uma interação
denominada de eletromagnética. Das quatro interações até então
conhecidas, podemos dizer que a interação eletromagnética é a mais
importante, pois está presente desde a escala microscópica até a escala
macroscópica. No momento iremos tratar apenas de eventos que
ocorrem na escala macroscópica, pois a descrição do fenômeno
eletromagnético em escala microscópica demandaria conhecimentos de
mecânica quântica. Ocasionalmente poderemos fazer uma abordagem
microscópica de um sistema, mas numa visão clássica.
Ações comuns como o acionamento do interruptor de uma
lâmpada, o apertar de uma tecla de um computador ou o simples
acionamento de um controle remoto para ligar uma TV ou abrir um
portão, envolvem aplicações de fenômenos eletromagnéticos. Ao
acionar o interruptor de uma lâmpada, por exemplo, estabelecemos ou
interrompemos a passagem de uma corrente elétrica através de um fio,
onde presenciamos concomitantemente efeitos elétricos e magnéticos.
Até o fim do século XVIII os fenômenos elétricos e magnéticos eram
tratados como mera curiosidade e completamente descorrelacionados.
Esta visão deixou de existir com a verificação experimental, no início do
século XIX, de que correntes elétricas originam campos magnéticos. A
descoberta de Faraday da indução magnética, onde campos magnéticos
variáveis produzem campos elétricos demonstrou mais uma vez que os
fenômenos elétricos e magnéticos são facetas diferentes de um único
fenômeno, o eletromagnetismo. Com a reestruturação do estudo do
eletromagnetismo por Maxwell, e a reformulação da lei de Ampère com
a inclusão da corrente de deslocamento pela invocação de argumentos
de simetria, foi possível prever a geração de ondas eletromagnéticas,
posteriormente comprovadas por Hertz.
11
Apresentaremos aqui as bases do eletromagnetismo seguindo uma
seqüência que coincide com a construção cronológica do
eletromagnetismo. Neste primeiro capítulo, e nos próximos três
capítulos, iremos discutir os fenômenos elétricos do ponto de vista
eletrostático, onde idealizamos as cargas em repouso. Começaremos
discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação, sua
quantização, e os processos de eletrização. Ainda neste capítulo
veremos como calcular a força elétrica entre cargas a partir da lei de
Coulomb.
1.2 – Carga Elétrica
Primeiramente devemos fazer algumas considerações de caráter
microscópico. A matéria é formada de pequenas partículas, os átomos.
Cada átomo, por sua vez, é constituído de partículas ainda menores, os
prótons, os elétrons e os nêutrons. Os prótons e os nêutrons localizam‐
se na parte central do átomo, e formam o núcleo. Os elétrons giram em
torno do núcleo na região denominada eletrosfera. Os prótons e os
elétrons apresentam uma importante propriedade física, a carga
elétrica. A carga elétrica do próton e a do elétron tem a mesma
intensidade, mas sinais contrários. A carga do próton é, por convenção,
positiva e a do elétron, negativa. Num átomo neutro não existe
predominância de cargas elétricas; o número de prótons é igual ao
número de elétrons. O átomo é um sistema eletricamente neutro.
Entretanto quando ele perde ou ganha elétrons, fica eletrizado. O átomo
está eletrizado positivamente quando tem mais prótons que elétrons e
negativamente quando tem mais elétrons que prótons. A carga do
elétron é a menor quantidade de carga elétrica estável existente na
natureza, sendo por isso tomada como carga padrão nas medidas de
carga elétricas. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de
medida de carga elétrica é o coulomb (C).
A carga do elétron, quando tomada em módulo, é chamada de carga
elementar e é representada por e,com valor absoluto de 1,6.10 ‐ 19 C.
• carga do elétron: ‐ 1,6.10 ‐ 19 C
• carga do próton: + 1,6.10 ‐ 19 C
12
Do ponto de vista macroscópico, uma forma de construirmos um
conceito acerca de carga elétrica consiste em realizar um pequeno
número de experimentos, descritos abaixo. Considere (ver Fig. 1.1a) dois
bastões de plástico e esfregue um pedaço de camurça em cada um
deles. Ao tentar aproximar os bastões constatar‐se‐á uma repulsão
entre os mesmos. Ao repetir o mesmo experimento usando dois bastões
de vidro e um pedaço de seda verificará, também, uma repulsão entre
os bastões de vidro (Fig.1.1b). Entretanto, ao aproximar um bastão de
plástico esfregado com camurça de um bastão de vidro esfregado com
seda verifica‐se uma atração entre os mesmos (Fig.1.1c). Experimentos
dessa natureza revelam que existem dois tipos de cargas elétricas: o
tipo de carga elétrica acumulada no bastão de plástico e na seda
(convencionada de carga negativa) e o tipo de carga acumulada no
bastão de vidro e na camurça (carga positiva). Conclusão:
“Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem,
enquanto
cargas elétricas de sinais opostos se atraem”.
Há dois princípios importantes acerca das cargas elétricas. Para
apresentar o primeiro princípio consideremos a eletrização do bastão de
Figura 1.1: (a) Eletrização de bastões de plástico com camurça. (b) Eletrização de bastões de vidro com lã. (c) Atração entre bastões de plástico e de vidro
13
plástico com camurça. Inicialmente estes corpos estão descarregados, e
depois de atritados ficam carregados. O primeiro princípio, da
“conservação da carga elétrica”, afirma que:
A soma algébrica de todas as cargas elétricas antes da eletrização é
igual a soma das cargas depois da eletrização.
Assim, em qualquer processo de eletrização no qual um corpo é
carregado, a carga elétrica não é nem criada nem destruída, mas
meramente transferida de um corpo a outro. O segundo princípio
importante acerca da carga é o que diz respeito à sua quantização:
O módulo da carga elétrica do elétron ou do próton é uma unidade de
carga natural “e”.
Qualquer quantidade de carga elétrica observada é sempre um
múltiplo inteiro dessa unidade básica, caracterizando assim a
quantização da carga. Entretanto, existem fortes evidências de que o
próton não seja uma partícula elementar, e de que o mesmo seja
formado de três partículas menores denominadas de quarks, sendo dois
com carga +2e/3 e um com carga –e/3. Entretanto, como os quarks não
são encontrados livres na natureza fica valendo a carga do elétron
como a unidade fundamental.
1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas
Alguns materiais permitem a migração de cargas elétricas de
uma região para outra, enquanto outros impedem esta movimentação
de cargas dentro do material e entre materiais. Grosso modo podemos
classificar os materiais quanto à mobilidade das cargas elétricas em:
• Condutores elétricos
Meios materiais nos quais as cargas elétricas movimentam‐se
com facilidade. Pertencem a esta categoria os metais, como ouro,
cobre, alumínio e outros. Estes elétrons que podem se mover ao
longo do material geralmente são os periféricos e que estão
fracamente presos aos núcleos de seus átomos. Quando uma
quantidade de carga é colocada no interior de um condutor esta se
distribuirá por toda a sua superfície.
• Isolantes elétricos ou dielétricos
14
Meios materiais nos quais as cargas elétricas não têm facilidade
de movimentação. A borracha, vidro etc. Ao contrário dos
condutores seus elétrons estão fortemente ligados aos seus
respectivos núcleos. Ao colocarmos uma quantidade de carga nestes
materiais isolantes a carga não se espalha por todo o material,
permanecendo localizada na região em que foi colocada.
Existem ainda os semicondutores, que são materiais de propriedades
intermediárias entre os isolantes e condutores.
1.4 ‐ Processos de Eletrização
Um material pode ser eletrizado através de dois processos: (a)
Eletrização por atrito, ocorre quando materiais não condutores são
atritados uns contra os outros. Nesse processo, um dos materiais perde
elétrons e outra ganha, de modo que um tipo de material fica positivo e
outro fica negativo. Uma experiência típica e simples consiste em atritar
a lã no vidro, como mostrado na Figura 1.2. A comprovação de que ele
ficou carregado é obtida atraindo‐se pequenas partículas, por exemplo,
de pó de giz.
(b) A Eletrização por indução se dá geralmente entre um corpo
carregado e um descarregado (geralmente um condutor). A figura 1.3
ilustra as etapas essenciais do processo de eletrização por indução. Na
ilustração, tem‐se inicialmente (Fig.1.3a) uma esfera condutora
descarregada e isolada por um suporte não condutor. A aproximação do
corpo negativamente carregado atrai as cargas positivas da esfera
Figura 1.2: Após serem eletrizadas por atrito vidro e lã se atraem.
15
eletricamente neutra (Fig.1.3b). A extremidade próxima ao corpo
carregado fica positiva, enquanto a extremidade oposta fica negativa.
Mantendo‐se o corpo carregado próximo, liga‐se o corpo eletricamente
neutro a terra (Fig.1.3c). Elétrons descerão pra terra. Cortando‐se a
ligação com terra (Fig.1.3d), obtém‐se um corpo positivamente
carregado (Fig.1.3e).
O processo de carregamento de um corpo por indução funcionaria
igualmente bem se as cargas móveis sobre a esfera fossem positivas em
vez de negativos, ou ate mesmos se existissem simultaneamente cargas
móveis positivas e negativas. Em um condutor as cargas móveis são
sempre elétrons.
É bom observar que um corpo carregado pode exercer força de atração
sobre objetos descarregados (neutros). O exemplo ilustrado na Figura
1.3 é uma demonstração desse fato. Entretanto, a atração pode ocorrer
entre um corpo carregado e um isolante, onde as cargas negativas e
positivas do isolante neutro ficam ligeiramente separadas
espacialmente. Este caso pode ser observado quando aproximamos um
pente eletrizado de pequenos pedaços de papel.
Figura 1.3: Etapas do processo de eletrização por indução
16
1.5 – Lei de Coulomb
As principais interações entre partículas devem‐se à sua massa
(interação gravitacional) e a sua carga (interação elétrica). Motivado
pelos estudos de Cavendish da interação gravitacional, Charles Augustin
Coulomb (1736‐1806) estudou a força de interação entre partículas
carregadas. Podemos dizer que dois corpos eletrizados estacionários
exercem predominantemente uma força elétrica entre si, uma vez que a
interação gravitacional é desprezível em comparação a primeira. A
eletrostática é a área do eletromagnetismo que aborda interações entre
cargas estacionárias ou quase estacionárias. Coulomb descobriu,
experimentalmente, que o módulo da força elétrica entre duas cargas
puntiformes q1 e q2, separadas por uma distância r, é dada por:
| | (lei de Coulomb) (1.1)
onde k é a constante elétrica e tem o seguinte valor no Sistema
Internacional: 8,988 10 . / . A constante ε0
(=8,854x10‐12C2/N.m2) é a permissividade do vácuo.
Podemos expressar a Eq.1‐1 na forma vetorial usando a Figura 1.4a,
onde as cargas q1 e q2 de mesmo sinal são ligadas pelo vetor posição ,
que tem origem em q2 e extremidade em q1. O sentido da força , que
a partícula 1 sofre devido a carga da partícula 2, aponta no mesmo
sentido do vetor depende do sinal de suas cargas. Podemos
representar a força como
(1.2)
Da mesma forma a força , que a partícula 1 exerce na partícula 2
aponta no sentido oposto ( ). A Figura 1.4b esquematiza o
caso em que as cargas têm sinais opostos. Consideremos agora a carga
pontual q1 interagindo com um conjunto de N cargas pontuais qi (i=
2,3,...,N). Cada
uma das cargas qi exercem uma força sobre a carga q1. Pode‐se
representar a força total sofrida pela partícula 1 como
∑ (1.3)
17
Figura 1.4 (a) Força entre cargas de mesmo sinal. (b) Força entre cargas
Figura 1.5: Átomo de hidrogênio
onde a força é a força que a i‐ésima carga exerce sobre a partícula 1.
No próximo capítulo descreveremos como calcular a força elétrica de
uma distribuição contínua de cargas sobre uma carga pontual, após a
introdução do conceito de campo elétrico.
1.6 – Problemas Resolvidos
Exemplo 1.1 – Para se ter uma idéia da ordem de grandeza da interação
eletrostática comparativamente à força gravitacional entre duas
partículas de cargas q1 e q2, com respectivas massas m1 e m2, considere
o átomo de hidrogênio cuja separação média entre o elétron e o próton
é de 5,3x10‐11m. Calcule a razão entre a sua
interação elétrica e a sua interação
gravitacional.
Solução: Um esquema do átomo de
hidrogênio seguindo o modelo de Bohr é
apresentado na Figura 1.5. Sabendo que o
valor da carga elementar e = 1,602x10‐19C e
as massas do elétron, me = 9,1x10‐31kg e a
massa do próton mp =1 ,6x10‐27kg podemos
18
Calcular o módulo da forças elétricas, Fe, e da gravitacional, Fg. Assim,
como e , sua razão é:
, . /, . /
,, ,
2,3 10 .
Isto mostra que na escala microscópica a interação gravitacional pode
ser ignorada. Outra diferença entre estas duas interações é que
enquanto a força gravitacional é somente atrativa, a força elétrica pode
ser atrativa ou repulsiva.
Caso Especial: As semelhanças entre a interação gravitacional e
a eletrostático é muito grande. No caso gravitacional, estabeleceram‐se
duas propriedades da força exercida por uma casca esférica de massa
específica uniforme sobre uma massa pontual: (a) a força sobre uma
partícula dentro desta casca esférica é zero e (2) a força sobre uma
partícula externa é a mesma como se toda a massa da casca esférica
estivesse concentrada em seu centro. Vamos importar estes teoremas
da interação gravitação sem prová‐los, por enquanto, e estender ao caso
de uma casca esférica com distribuição uniforme de cargas:
Uma casca esférica uniformemente carregada não aplica nenhuma
força eletrostática sobre uma carga pontual posicionada em
qualquer ponto no seu interior
Uma casca esférica uniformemente carregada aplica uma força
eletrostática sobre uma carga pontual do lado de fora da casca
como se todas as cargas da casca estivessem concentradas em uma
carga pontual no seu centro
Usaremos este resultado para calcular a força entre uma esfera de carga
com distribuição uniforme e uma carga pontual situada tanto em pontos
internos quanto externos à esfera. Podemos estender o primeiro
teorema a uma distribuição não‐uniforme de cargas na superfície de
uma esfera? Qual é o campo elétrico no interior de condutores? Nos
próximos capítulos (campo elétrico e lei de Gauss) discutiremos estas
questões com mais detalhes.
19
Exemplo 1.2 – Duas cargas puntiformes positivas, Q1 e Q2 de módulos
iguais a q, são colocadas ao longo do eixo y nas posições y=‐a e y=+a.
Considere uma terceira carga positiva, Q3=q, posicionada ao longo do
eixo x na posição x. (a) Calcule o módulo da força resultante sobre a
carga Q3. (b) Encontre a posição ao longo do eixo x em que a força
resultante é máxima.
Solução: (a) O problema está esquematizado na Figura 1.6.
Considerando a simetria do
problema decorrente do arranjo geométrico (cargas eqüidistantes em
relação ao eixo x) e o fato de que as cargas têm o mesmo módulo q,
vemos que a força resultante aponta ao longo do eixo x. Assim,
cos cos
14
14
/ ,
onde usamos o fato de que cos / / .
(b) Para encontrarmos o ponto em que a força resultante atinge um
máximo ao longo do eixo x derivamos a expressão da força obtida no
item (a) e igualamos a derivada à zero, o valor de x encontrado é o que
Figura 1.6: Ação das cargas Q1 e Q2 sobre Q3.
20
Figura1.7: (a) Calculo da força para uma carga q0 no interior da esfera de raio R. (b) Força entre a carga q0 e a esfera para pontos no exterior.
maximiza a força desde que a segunda derivada seja negativa neste
ponto:
/ 0, leva a . Para verificarmos que este valor
maximiza a força calculemos a segunda derivada: / ,
substituindo x=a/2 constata‐se que 0 e portanto a força atinge o
máximo em x=±a/2.
Exemplo 1.3 – Calcule a força de interação entre uma esfera maciça
uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ(carga total Q) e
uma carga pontual q0 situada em um ponto (a) no interior da esfera e (b)
no seu exterior.
Solução: Para resolver este problema vamos usar o fato de que o campo
no interior de uma casca esférica uniforme de cargas não exerce força
sobre cargas no seu interior e quando a carga está no seu exterior a
esfera de carga uniforme pode ser tratada como uma carga pontual.
Sendo assim, para um ponto interno à esfera de raio R (Figura 1.7(a)),
podemos considerar que toda a carga q’ na esfera de raio r está
concentrada no seu centro. Os valores da carga total Q e da carga q’ são:
e .
Dessa forma temos . Aplicando a lei de Coulomb temos o
módulo da força . Substituindo q’ temos . (b)
21
Para r>R (Fig. 1.7(b)) a carga se comporta com estivesse concentrada no
centro da esfera: .
1.7 – Problemas Propostos
Problema 1.1 ‐ Duas partículas igualmente carregadas, com um
afastamento de 3x10‐3 m entre elas, são largadas a partir do repouso.
As partículas têm massas iguais a 7,0x10‐7 kg e 5,4x10‐7 kg, e a
aceleração inicial da primeira partícula é de 700 m/s2. Quais são: (a) a
aceleração da segunda partícula? (b) O módulo da carga comum?
R.: 900 m/s2; 7x10‐10 C.
Problema 1.2 ‐ Duas cargas pontuais livres, +q e +9q, estão afastadas
por uma distância d. Uma terceira carga é colocada de tal modo que
todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o
sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio é instável.
R.: Carga –9q/16, colocada entre as cargas +q e +9q, a uma distância d/4
a partir da carga +q.
Problema 1.3 ‐ Cargas iguais a +Q são colocadas nos vértices de um
triângulo eqüilátero de lado L. Determine a posição, o módulo e o sinal
de uma carga colocada no interior do triângulo, de modo que o sistema
fique em equilíbrio.
R.: Carga √ colocada na bissetriz, a uma distância /√3a partir
do vértice.
Problema 1.4 ‐ Uma carga Q igual a 2x10‐19 C é dividida em duas, (Q‐q)
e q, de modo que a repulsão coulombiana seja máxima. Calcule a
distância que uma carga deve ficar da outra, para que esta força seja
igual 9x10‐9 N.
R.: 1Å
Problema 1.5 ‐ Duas cargas pontuais idênticas, de massa m e carga q,
estão suspensas por fios não condutores de comprimento L, conforme
ilustra a figura 1.8. Considerando o ângulo q tão pequeno de modo que
seja válida a aproximação tan sin , mostre que
22
Figura 1.9
/ ,
onde x é a separação entre as bolas. (b) Se L=122 cm, m=11,2 g e x=4,70
cm, qual o valor de q?
Problema 1.5 – Cinco cargas Q estão igualmente espaçadas em um
semicírculo de raio R como mostrado na Figura 1.9. Encontre a força na
carga q localizada no centro do semicírculo.
Problema 1.6 – Três cargas de q1=‐1.o μC, q2=2.0 μC e q3=4.0μC têm
suas localizações dadas pelos pares ordenados, respectivamente em
metros, (0,0), (0,0.1),(0.2,0). Encontre as forças que atuam em cada uma
das três cargas.
Problema 1.7 – (a) Se a convenção de sinal da carga fosse mudada de
modo que a carga do elétron fosse positiva e a carga do próton fosse
negativa, a lei de Coulomb ainda valeria? (b) Discuta as semelhanças e as
diferenças entre as leis de Coulomb e a lei de gravitação universal.
Problema 1.8 – Quando duas cargas de iguais massas e cargas são
liberadas sobre uma mesa horizontal e sem atrito, cada massa terá uma
Figura 1.8
23
aceleração inicial a0. Se ao invés disso mantivermos uma das cargas fixas
e a outra livre, qual será sua aceleração inicial: a0, 2a0 ou a0/2? Explique.
1.8 Referências bibliográficas
Livro Texto
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Bibliografia complementar
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
1.9 Web‐bibliografia
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.html
24
UNIDADE 2
O CAMPO ELÉTRICO
RESUMO
Nesta unidade vamos introduzir o conceito de campo elétrico, importante para o entendimento de como as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se estas cargas estão em movimento, como poderá ser discutido em um estudo mais avançado da eletrodinâmica clássica. Neste capítulo discutiremos somente o campo elétrico estático devido a cargas em repouso.
25
Sumário
UNIDADE 2: O campo Elétrico
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa
2 O CAMPO ELÉTRICO
2.1 Introdução 26
2.2 Ação à Distância e o Campo Elétrico 26
2.3 Dipolo Elétrico 28
2.4 Linhas de Campo Elétrico 29
2.5 Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 31
2.6 Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 32
2.7 Problemas Resolvidos 33
2.8 Problemas Propostos 35
2.9 Referências bibliográficas 37
2.9 Web‐bibliografia 37
26
2.1 – Introdução
Qual é o mecanismo pelo qual uma partícula consegue exercer
uma força sobre outra atravessando o espaço vazio que as separa?
Supondo que uma partícula em um determinado ponto é subitamente
movida, a força que uma segunda partícula a uma distância r exercia na
primeira é subitamente alterada? Neste capítulo vamos introduzir o
conceito de campo elétrico, importante para o entendimento de como
as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se
estas cargas estão em movimento, como poderá ser discutido em um
estudo mais avançado da eletrodinâmica clássica. Neste capítulo
discutiremos somente o campo elétrico estático devido a cargas em
repouso.
2.2 ‐ Ação à Distância e o Campo Elétrico
A força coulombiana, assim como a força gravitacional, é uma interação
à distância e algo mal compreendido até meados do século dezenove
quando Michael Faraday introduziu o conceito de campo que permite‐os
raciocinar como se dá a ação à distância. De acordo com o conceito de
campo, a interação entre duas cargas, q1 e q2, ocorre através da ação do
campo elétrico de uma delas sobre a outra. Definimos então o campo
elétrico , em um ponto, produzido por um conjunto de cargas, como a
força elétrica que atua sobre uma carga q0 neste ponto devido às
outras, dividida pela carga q0,
, (2.1)
onde q0 é a carga de prova, convencionalmente tomada como positiva.
No Sistema internacional (SI) a unidade de campo elétrico é 1 newton
por coulomb (1N/C). Operacionalmente devemos considerar a carga de
prova, q0, tão pequena quanto possível para que esta não perturbe o
arranjo original de cargas do qual se quer medir o campo elétrico. Isto
pode ser resumido na equação abaixo
lim
Assim, para se conhecer o valor do campo elétrico em determinado
ponto, basta colocar uma carga de prova naquele ponto e dividir a força
medida pelo valor da carga de prova q0.
27
Considere q uma carga puntiforme positiva como uma fonte de
campo elétrico. Coloquemos a carga de prova positiva q0 a uma distância
r desta (ver Figura 2.1a). A carga de prova experimentará uma força de
repulsão de módulo | |
. Substituindo F0 no módulo da Eq.
(2.1) temos
| | (2.2)
Vetorialmente, temos
| | , (2.3)
onde é o vetor unitário que aponta na direção do ponto P, onde foi
aferido o campo elétrico. Observe que o campo elétrico de uma carga
positiva aponta na mesma direção da força que atua na carga de prova e
é, portanto de afastamento. Se q for negativa (Fig. 2.1b) a força será de
atração sobre a carga de prova e o campo elétrico será de aproximação.
Também se observa que o módulo do campo elétrico de uma carga
pontual para uma mesma distância ao redor da fonte é o mesmo.
Campos elétricos cujo módulo independem da orientação espacial, mas
tão somente da distância da fonte ao ponto de observação são
denominados de radiais.
Considere uma pequena carga de prova q0 em um ponto P
distante ri0 de uma carga qi. A força na carga de prova devido à carga
qi é
e o campo elétrico é, usando Eq.(2‐1)
Figura 2.1: Campo Elétrico de uma carga pontual q.(a) carga fonte poisitiva e (b) carga fonte negativa
28
Figura 2.3: (a)Molécula de água como dipolo permanente e (b) dipolo induzido
,
onde é o vetor unitário apontado da carga qi ao ponto onde se quer
medir o campo . Para uma distribuição discreta de cargas o campo
total no ponto P é
1
4 . 2.4
A propriedade acima é conhecida como princípio da superposição, que
decorre da existência de respostas lineares do sistema de cargas
discretas ou contínuas. A propósito, para uma distribuição contínua de
cargas a equação acima é escrita como
, 2.4
onde em coordenadas cartesianas , e
, sendo r a distância do elemento de carga dq ao ponto de
observação.
2.3 ‐ Dipolo Elétrico
Um sistema formado de duas cargas de mesmo módulo e de sinais
opostos separadas por uma pequena distância L é chamado de dipolo
elétrico. Sua amplitude e orientação são descritos pelo vetor dipolo
elétrico , que é um vetor que aponta da carga negativa para a carga
positiva e tem módulo qL (ver Figura 2.2).
Um sistema pode naturalmente apresentar propriedades polares
(chamados de dipolos permanentes) ou estas podem ser induzidas pela
aplicação de um campo elétrico no sistema (dipolos induzidos). Como
um exemplo de um dipolo permanente podemos citar o caso da
molécula de água (Fig2.3a), onde os elétrons “preferem” passar mais
Figura 2.2: Dipolo Elétrico
29
tempo próximos ao oxigênio do que dos hidrogênios. No caso de um
dipolo induzido podemos ter uma molécula em que inicialmente os
centros das distribuições das cargas positivas e negativas coincidem,
mas são deslocados pela ação de um campo elétrico externo (Fig2.3b).
Em muitas investigações em ciências físicas e químicas somos solicitados
a verificar se um determinado sistema pode apresentar comportamento
dipolar. Por isso é importante calcularmos o campo do dipolo elétrico
para conhecermos suas propriedades matemáticas. O exemplo abaixo
ilustra este procedimento.
Exemplo 2.1: A figura 2.4 mostra um dipolo elétrico com suas cargas
posicionadas ao longo do eixo x nas posições x=‐a e x=+a. (a) Encontre o
campo elétrico em um ponto x>a. (b) Encontre a forma matemática do
campo elétrico para a situação limite x>>a.
Solução: (a) Considere um ponto x>a, e aplique a Eq.(2‐4):
.
(b) O comportamento do campo elétrico do dipolo para x>>a é
ou
, (2.5)
onde fizemos a aproximação e 2 . A Eq.(2.5)
mostra que para pontos afastados das cargas o campo do dipolo cai
mais rapidamente e com o cubo da distância.
Figura 2.4: Dipolo elétrico formado de duas cargas de módulo q e distância L=2a
30
2.4 ‐ Linhas de Campo Elétrico
Podemos representar o campo elétrico traçando linhas que
indicam a sua direção. As linhas de campo elétrico, introduzidas por
Faraday, são também conhecidas como linhas de força. Em qualquer
ponto o campo elétrico, , é tangente à linha. A Figura 2.5(a) mostra
que para uma carga pontual positiva o campo elétrico aponta
radialmente para fora, como mostram as linhas de força. No caso de
uma carga pontual negativa as linhas de força convergem para o ponto
aonde se encontra a carga.
Observe como a representação do campo elétrico em termos de linhas
de força é útil. Por exemplo, a medida que nos afastamos da carga
pontual positiva as linhas de força estarão cada vez mais afastadas,
mostrando que o campo vai ficando cada vez mais fraco. Considere uma
esfera de raio r centrada em torno de uma carga pontual. Se N linhas de
força emergem da carga, o número de linhas de força por unidade de
área que atravessarão a superfície da esfera é N/πr2. Assim, a densidade
de linhas decresce com a distância com 1/r2, que é o mesmo
comportamento do campo elétrico. As Figuras 2.6(a) e (b) mostram a
representação do campo elétrico em termos de linhas de força
respectivamente para duas cargas iguais e positivas e para um dipolo
elétrico. É muito intuitiva a construção de tal representação baseada na
justaposição das representações em termos das linhas de força de cada
Figura 2.5: Representação do campo elétrico por meio de linhas de força para (a) carga positiva e (b) carga negativa
Figura 2.6: (a) Cargas iguais e positivas e (b) cargas iguais e opostas
31
carga isoladamente. É muito instrutivo resumir em um conjunto de
regras a serem seguidas na representação do campo elétrico de um
conjunto de cargas elétricas pontuais:
2 As linhas de campo elétrico começam nas cargas positivas (ou no
infinito) e terminam nas cargas negativas (ou no infinito);
3 As linhas de campo são traçadas simetricamente entrando ou saindo
de uma carga isolada;
4 O número de linhas de campo deixando uma carga positiva ou
entrando em uma carga negativa é proporcionais à magnitude da
carga;
5 A densidade de linhas de campo (o número de linhas por unidade de
área perpendicular às linhas) em qualquer ponto é proporcional à
magnitude do campo elétrico naquele ponto;
6 Á grandes distâncias de um conjunto de cargas, as linhas de campo
são igualmente espaçadas e radiais, como se elas se originassem de
uma carga pontual de carga líquida igual à do conjunto;
7 Linhas de campo resultante não se cruzam.
2.5 ‐ Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico
Quando uma carga elétrica pontual q é colocada em um ponto
com campo elétrico , a carga fica submetida a uma força . Se a
força elétrica é a única força significativa a que a carga q está submetida,
esta sofrerá uma aceleração dada pela segunda lei de Newton
∑, 2.6
onde m é a massa partícula com carga q. No caso do elétron a
velocidade envolvida é muito grande e devemos considerar correções
relativísticas. Se o campo elétrico é conhecido a relação q/m pode ser
calculada pela medida da aceleração. Esta foi a base da experiência de J.
J. Thomson em 1897 para a determinação da existência do elétron. Este
experimento é a base de funcionamento de uma série de dispositivos
eletrônicos, como osciloscópios, monitores de computador, monitores
de TV, etc.
Exemplo 2.2: Considere um elétron projetado em um campo elétrico
32
Figura 2.7: Elétron na presença de um campo elétrico uniforme.
Figura 2.8: Dipolo elétrico sob ação de um campo elétrico externo
uniforme, 1000 , com uma velocidade inicial
2 10 na direção do campo (ver Fig.2.7). Que distância o elétron
viajará na região de campo antes de parar?
Solução: Considerando que a única força significativa é a elétrica e
sendo a carga do elétron negativa esta força é , constante e
apontando no sentido oposto ao do campo elétrico. Assim, podemos
usar as equações do movimento uniformemente variado para
encontrarmos a variação da posição até repouso instantâneo do elétron:
1. O deslocamento Δx esta relacionado às velocidades inicial e final
pela equação de Torricelli: 2 ∆ ,
2. O módulo da aceleração é ,
3. Quando v=0 temos ∆ 1.14 10 .
2.6 – Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo
Já discutimos o caso do campo elétrico gerado por um dipolo elétrico,
que pode ser uma molécula de água ou uma molécula de ácido
clorídrico, que são moléculas polares. Vamos discutir agora o que
acontece com um dipolo quando este é submetido a um campo elétrico
externo. Para simplificar vamos considerar que este campo é uniforme.
Vamos mostrar que o campo externo não exerce nenhuma força externa
no dipolo, mas exerce um torque que fará com que o dipolo gire de um
33
determinando ângulo. Considere a figura 2.8, que mostra o dipolo numa
região de campo elétrico uniforme. Observe que as forças e têm
mesmo módulo, F1=F2=qE, mas sentidos opostos, o que dá uma
resultante nula. Por outro lado, estas forças exercem um torque que
tende a girar e alinhar o dipolo com o campo externo. Por exemplo, o
torque em torno da carga negativa tem módulo sin
sin sin . A direção do torque, pela regra da mão direita, é
aquela entrando na página. Em notação vetorial podemos escrever o
torque como :
. 2.7
Quando um dipolo gira de um ângulo dθ, o trabalho realizado
pelo torque é sin . O sinal vem do fato de que
o torque tende a decrescer θ. Como este trabalho é igual ao decréscimo
da energia potencial, temos
sin .
Integrando, obtemos
cos .
Escolhendo U0=0 para θ=π/2, temos
cos · , 2.8
Que é a energia potencial elétrica armazenada no dipolo elétrico.
Fornos de micro‐ondas exploram o fato de que existe uma
grande quantidade de água (moléculas polares) nos alimentos para
poder cozinhá‐los. Ao funcionar na faixa de vibração das moléculas de
água estas vibram por ressonância e os alimentos são aquecidos
2.7 – Problemas resolvidos
Exemplo 2.3: Uma carga pontual q1=8 nC está na origem , e uma
segunda carga q2=12 nC está no eixo x, em a=4m (Figura 2.9). Encontre o
campo elétrico total (a) em P1, no eixo x, a x=7 m e (b) em P2 no eixo x
em x=3 m.
Figura 2.9: Duas cargas pontuais dispostas ao longo do eixo x
34
Solução: Como o ponto P1 está à direita das duas cargas e as mesmas
são ponto P2 (x=3 m), que está mais próximo da carga q2, o campo
elétrico resultante apontará para a esquerda. Vejamos isto
quantitativamente:
(a) Usando a Eq. (2.4) para o ponto P1 temos
,
Usando x=7 m, a=4 m, q1=8 nC e q2=12 nC, temos
13.5 .
(b) Para o ponto P2 temos
, o que dá
100 .
A Figura 2.10 mostra graficamente o comportamento do campo elétrico
para todos os pontos ao longo do eixo x.
Exemplo 2.4: Encontre o campo elétrico no eixo y a y=3 m para as cargas
vistas na Figura 2.9.
Solução: Observe que para um ponto sobre o eixo y o campo elétrico,
, devido à carga q1, aponta ao longo do eixo y, enquanto o campo ,
devido à carga q2, faz um ângulo θ com o eixo y (Figura 2.11a). Para
encontrar o campo resultante procedemos com a decomposição
analítica, encontrando as componentes x e y de cada campo, como
mostrado na figura 2.11b.
Figura 2.10: Gráfico do campo elétrico resultante da configuração de cargas vista na Fig. 2.9 ao longo do eixo x
35
Figura 2.12
Observe que o campo da carga q1 tem módulo 7.99 N/C,
0, 7.99 . O campo da carga q2 tem módulo 4.32 .
Suas componentes são cos , sin . Da Figura
2.11a obtemos sin 0.8 e cos 0.6. Assim temos,
3.46 / e
10.6 . Dessas componentes obtemos a magnitude do campo
resultante, 11.2 / , fazendo um ângulo
tan 108°, com o eixo x.
2.8 –Problemas Propostos
Problema 2.1‐ As linhas de campo de
duas esferas condutoras são
mostradas na Figura 2.12. Qual o sinal
relativo das cargas e a magnitude das
cargas das duas esferas?
Problema 2.2‐ Um elétron entra em
uma região de campo elétrico
Figura 2.11: Calculo do campo resultante ao longo em um ponto no eixo x.
36
Figura 2.13: Quadrado de lado a
2000 com uma velocidade inicial 10
perpendicular ao campo. (a) Faça uma comparação entre as forças
gravitacional e elétrica que agem no elétron. Qual é a deflexão do
elétron após ele ter percorrido 1 cm na direção x?
Problema 2.3‐ Calcule o campo elétrico no centro do quadrado da
figura 2.13 abaixo.
Problema 2.4‐ Em um particular ponto do espaço, uma carga Q é
posicionada e não sobre nenhuma força elétrica. Analise cada uma das
alternativas abaixo, justificando sua resposta:
(a) Não existem cargas nas proximidades;
(b) Se existem cargas próximas, estas têm sinais opostos ao de Q;
(c) Se existem cargas próximas, a carga total positiva deve ser igual a
carga total negativa;
(d) Nenhuma das alternativas acima precisa ser verdadeira.
Problema 2.5‐ Uma carga de +5.0 μC está localizada em x=‐3.0 cm e uma
segunda carga de ‐8.0 μC está localizada em x=+4.0 cm. Onde devemos
posicionar uma terceira carga de +6.0 μC de modo a termos o campo
elétrico nulo em x=0.0 cm?
Problema 2.6‐ Duas cargas +4q e ‐3q estão separadas por uma pequena
distância. Trace as linhas de campo elétrico para este sistema.
Problema 2.7‐ Três cargas iguais e positivas são posicionadas nos
vértices de um triângulo eqüilátero. Esquematize as linhas de campo
elétrico para este sistema.
Problema 2.8‐ Um elétron, partindo do repouso, é acelerado por um
campo elétrico uniforme de módulo 8 x 104 N/C que se estende por uma
região de 5.0 cm. Encontre a velocidade do elétron depois que ele deixa
a região de campo elétrico uniforme.
37
Problema 2.9‐Duas cargas pontuais, q1=+2.0 pC e q2=‐2.0 pC estão
separadas por uma distância de 4μm. (a) Qual é o momento de dipolo
do par de cargas? (b) Esquematize o dipolo e mostre a direção do
momento de dipolo.
2.8 Referências bibliográficas
Livro Texto
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Bibliografia complementar
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
2.9 Web‐bibliografia
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.html
38
UNIDADE 3
A LEI DE GAUSS
RESUMO
Nesta unidade discute‐se uma alternativa à lei de Coulomb, chamada de
lei de Gauss, que permite uma abordagem mais prática e instrutiva no
cálculo do campo elétrico em situações que apresentam certas
simetrias. Entretanto, o cálculo do campo elétrico na forma como
apresentada na unidade anterior permanece infalível, embora
trabalhosa em muitos casos. Neste capítulo apresentaremos o conceito
de fluxo de um campo vetorial, importante na apresentação da lei de
Gauss e depois faremos aplicações.
39
Sumário
UNIDADE 3: A Lei de Gauss
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa
3.1 O Fluxo de Campo Vetorial 3.1
3.2 O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss 3.2
3.3 Aplicações da Lei de Gauss 3.3
3.4 Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em
Condutores
3.4
3.5 Problemas Propostos 3.5
3.6 Referências bibliográficas
3.7 Web‐bibliografia
40
3.1 O Fluxo de Campo Vetorial
Uma forma de entendermos o significado de fluxo é imaginarmos que
estamos às margens de uma auto ‐ estrada e realizando a contagem da
quantidade de carros que cruzam a via em determinado ponto durante
certo tempo. Ao fazer isto estamos calculando o fluxo de carros na
estrada naquele ponto. Se associarmos um vetor velocidade a cada carro
que ocupam a via teremos vários vetores velocidade espacialmente
distribuídos, compondo o que denominamos campo vetorial de
velocidades .
Para uma análise quantitativa do fluxo vetorial consideremos o
escoamento de um fluido em regime estacionário, representado pela
especificação do vetor velocidade em cada ponto (ver Fig.3.1). Na
Fig.3.1a colocam‐se um fio retangular de modo que seu plano seja
perpendicular ao vetor velocidade, , associado ao fluxo do fluido que
escoa ao longo de um canal. Definindo‐se o fluxo do campo de
velocidades de modo que seu valor absoluto seja dado por
| | , (3.1)
onde v é a intensidade da velocidade no local em que está posicionado o
fio retangular. A unidade do fluxo do fluido é m3/s, que é o mesmo que a
vazão do fluido que passa através da área A delimitada pelo fio
retangular. Em termos do conceito de campo, podemos considerar o
fluxo como uma medida do número de linhas de campo que
Figura 3.1: (a) Fio retangular em um fluido com área normal ao vetor velocidade. (b) Fio retangular com área formando um ângulo Ф com o vetor velocidade.
41
atravessam a área do fio retangular. Se inclinarmos o fio retangular de
forma que o seu plano não seja mais perpendicular à direção do vetor
velocidade (ver Fig. 3.1b), o número de linhas do campo de velocidade
atravessando a área, A, do retângulo não será mais o mesmo e
diminuirá. Para calcular o fluxo do fluido observemos que o número de
linhas do campo de velocidade que atravessam a área, A, na forma
inclinada é o mesmo número de linhas que atravessam a área projetada,
Acosφ, perpendicularmente às linhas de . Assim, a intensidade do fluxo
correspondente a situação retratada na Fig. 3.1b é
|Φ| vA cos . (3.2)
Se o fio retangular for girado de modo que sua área seja paralela ao
vetor velocidade (φ=90°), nenhuma linha de velocidade atravessará a
área e o fluxo de velocidades é nulo (| | 0 . Podemos dar uma
interpretação vetorial à Eq.(3.2), introduzindo o vetor área, , que
emerge perpendicularmente (normal) à superfície de área A do fio
retangular:
· . 3.3
Observe que esta definição nos coloca diante da possibilidade de um
fluxo de positivo ( 0 90°), bem como um fluxo de
negativo ( 0 90°). Assim, no caso de uma superfície
aberta deve‐se escolher um sentido para a normal à superfície em
questão. No caso de uma superfície fechada, na qual se refere a lei de
Gauss, adota‐se o sentido do vetor área, , como sendo o sentido da
normal saindo da superfície. Dessa forma, o fluxo associado a um campo
vetorial que atravessa a superfície e deixa o volume será um fluxo
positivo (fonte de linhas de campo), caso contrário o fluxo será negativo
(sumidouro de linhas de campo). Podemos estender a definição acima
para uma superfície qualquer considerando que a mesma é formada de
um número muito grande de superfícies retangulares de área, ,
elementares, cujo fluxo de linhas de através da superfície de área ΔA
será · . Em seguida somamos e tomamos o limite de
| | tendendo a zero,
42
lim · . .
. , (3.4)
onde é o vetor unitário normal à superfície de área elementar dA no
ponto considerado.
3.2 – O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss
O fluxo do campo elétrico, , é análogo ao fluxo de , resultando em
expressão idêntica quando substituímos por em todas as etapas da
dedução. A Fig. (3.2) mostra as linhas de campo elétrico não uniforme e
o elemento de área . Tomando os devidos limites o fluxo elétrico,
ΦE, será dado por
. (3.4)
Esta integral indica que a superfície em questão deve ser dividida em
elementos infinitesimais de área , que é atravessado por um campo
elétrico, , e que a quantidade escalar . deve ser calculada
para cada elemento e somada, contemplando‐se toda a área da
superfície. No caso da lei de Gauss, a superfície considerada é fechada,
sendo a Eq.(3.4) modificada para
. ,
onde o círculo na integral sinaliza que a mesma é fechada.
Figura 3.2: Linhas de campo atravessando uma superfície S.
43
Dissemos acima que o fluxo de através de uma superfície é
uma medida do número de linhas de campo que atravessam a mesma,
ou que é uma medida da vazão do fluido. Podemos dar uma
interpretação análoga para o caso do campo elétrico, dizendo que o
fluxo elétrico é uma medida do número de linhas que atravessam
uma superfície. Como não existem linhas de campo sem cargas elétricas,
podemos dizer que para uma superfície fechada o fluxo elétrico está
diretamente ligado à carga elétrica envolvida por esta. Imagine uma
superfície fechada, que chamaremos a partir de agora de superfície
gaussiana, contendo uma certa quantidade de carga q (discreta e/ou
contínua). A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através desta
superfície fechada é proporcional à quantidade de carga q envolvida:
,
ou
. =q. (3.5)
A Eq. (3.5) contabiliza o número de linhas que atravessam a superfície
gaussiana ou a quantidade total de cargas internas a esta superfície.
Embora a escolha da superfície gaussiana seja arbitrária e não altere o
resultado da integral na Eq. (3.5), deve‐se fazer uma escolha que explore
a simetria da distribuição de cargas. A lei de Gauss estabelece uma
relação entre grandezas (o fluxo elétrico e a carga total q envolvida
pela superfície S) que, em princípio, não são definidas para um ponto,
pelo menos na forma como está expressa na Eq. (3.5). Assim sendo, não
é de se estranhar que a mesma não sirva para calcular o módulo do
campo elétrico de uma distribuição qualquer. Na próxima seção vamos
mostrar que a lei de Gauss pode ser útil no cálculo do campo elétrico
(que é uma grandeza local) de um número relativamente reduzido de
distribuições de cargas que geram campos elétricos com determinadas
simetrias, desde que se faça uma escolha apropriada da superfície
gaussiana.
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de abordar o
mesmo problema, e conseqüentemente fornecem a mesma resposta.
Então, quando e por que usar uma ou outra lei? O uso de uma ou outra
lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: (a) se a distribuição de
44
cargas apresenta um alta simetria a resposta é obtida mais facilmente
usando a Lei de Gauss, (b) Entretanto se a distribuição de cargas
apresenta um baixa grau de simetria a Lei de Coulomb é a mais
adequada.
3.3 – Aplicações da Lei de Gauss
(a) Carga Puntiforme e a Lei de Coulomb
Por argumentos de simetria conclui‐se que o campo de uma carga
puntiforme tem simetria esférica (campo é o mesmo para qualquer
ponto sobre uma esfera de raio r e é perpendicular a superfície da
esfera). Assim, ao escolhermos como superfície gaussiana uma esfera de
raio r com a carga q em seu centro (Fig.3.3) teremos a possibilidade de
obter o campo elétrico da carga Q. Como é paralelo a em qualquer
ponto sobre a Gaussiana, o produto escalar destes dois vetores na
superfície da esfera gaussiana será sempre · =EdA. Tomando a lei
de Gauss temos,
· 4 / , ou
, (3.6)
que é a eq. 2.3, o campo de uma carga puntiforme.
Figura 3.3: Carga pontual Q envolvida por uma superfície esférica de raio r.
45
Figura 3.4: Linha de carga positiva envolvida por uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l.
No cálculo da integral fechada sobre a superfície esférica tiramos o
módulo do campo de baixo do símbolo da integral porque o mesmo é
constante.
(b) Linha Infinita de Cargas
Considere uma linha infinita de carga com densidade linear, positiva e
constante λ, conforme mostrado na Fig.3.4. Deseja‐se calcular o campo
elétrico a uma distância perpendicular r da linha de carga. Por
considerações de simetria conclui‐se que as linhas de campo são radiais.
Ou seja, o campo elétrico, , é perpendicular à linha de carga. A
superfície gaussiana mais apropriada para o cálculo do campo elétrico é
uma superfície cilíndrica de raio r, comprimento l, com a linha de carga
passando pelo seu eixo. Observe que é constante ao longo de toda a
superfície cilíndrica e perpendicular a ela. O fluxo de através desta
superfície é
· · · · / .
Como para as superfícies S1, S2 e S3 o campo elétrico e o elemento de
área mantém as respectivas relações , , que
darão produto interno não‐nulo somente para a integral na superfície S1.
Assim, usando q=λl temos,
46
Figura 3.5: Superfície gaussiana cilíndrica envolvendo uma parte da carga de um plano infinito de carga uniforme contida na área A.
2 /
ou
. (3.7)
(c) Plano Infinito de Cargas
A Fig. 3.5 mostra parte de uma placa fina, não‐condutora e infinita, com
densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área) constante e
positiva. Deseja‐se calcular o campo elétrico em pontos próximos à
placa. Devido à simetria retangular da placa o campo é perpendicular a
superfície da mesma. A superfície gaussiana adequada é um pequeno
cilindro de comprimento 2r e área A, como ilustrado na Fig.3.5. Da
simetria, o campo tem a mesma intensidade nas extremidades do
cilindro. Assim, da lei de Gauss temos . , ou
.
Isolando E temos
(3.8)
47
Figura 3.6: Casca esférica com distribuição uniforme de carga. Ilustração da superfície gaussiana esférica de raio r>R.
(d) Casca Esférica de Carga
A Fig.3.6 mostra uma casca esférica fina de raio R, com uma carga q
uniformemente distribuída em sua superfície. A casca está envolvida por
uma superfície esférica de raio r. Dos estudos anteriores sabe‐se que o
campo tem somente a componente radial. Deseja‐se encontrar o campo
elétrico para pontos em que r>R e r<R. Aplicando‐se a lei de Gauss à
superfície esférica de raio r>R, obtém‐se
4 ,
ou
(casca esférica, r>R) (3.9)
• Uma casca esférica uniformemente carregada comporta‐se
como uma carga pontual para todos os pontos exteriores a ela.
Se considerarmos que a superfície gaussiana tem um raio r <R, ao
aplicarmos a lei de Gauss encontraremos
. 0,
pois não há nenhuma carga interna à superfície. Como a carga está
distribuída uniformemente sobre a superfície esférica conclui‐se que
0 para qualquer ponto interno à casca esférica de raio R.
Resumindo,
0, (casca esférica com σ uniforme e r<R) (3.10)
• Uma casca esférica uniformemente carregada não exerce
nenhuma força elétrica em uma partícula carregada localizada
em seu interior, em qualquer ponto, pois Er=0.
48
Figura 3.7: Comportamento do campo elétrico de uma casca esférica em função do raio.
Figura 3.8: Esfera carregada uniformemente. Superfície gaussiana esférica com (a) raio r>R e (b) r<R.
A Fig.3.7 descreve o comportamento gráfico do campo em função do
raio desde r=0 até r infinito.
(e) Distribuição de Carga com Simetria Esférica
A Fig.3.8 mostra uma esfera de raio R uniformemente carregada com
densidade volumétrica de carga positiva ρ (coulombs por metros
cúbicos) ao longo de todo o seu volume esférico. Pergunta‐se pelo
campo elétrico para pontos interiores ou exteriores à esfera. Tomando‐
se uma superfície gaussiana de raio r>R (Fig.3.8a) (análogo ao caso (d)) e
usando a lei de Gauss temos,
49
Figura 3.9: Comportamento gráfico do campo elétrico da esfera uniformemente carregada da figura 3.8.
. ou (esfera de carga q, r>R).
Ou seja, a carga distribuída uniformemente por todo o volume da esfera
comporta‐se como uma carga pontual localizada no centro da esfera. No
caso da Fig.3.8b a superfície gaussiana envolve somente uma carga q’,
uma fração da carga total q. Assim, da lei de Gauss temos, ·
ou (r<R). Como a densidade de carga ρ é uniforme,
podemos escrever q’ em termos de q: , de forma que o
campo interno à esfera é
(3.11).
Graficamente o módulo do campo elétrico para pontos internos e
externos à esfera é dado na Fig.3.9
3.4 – Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em
Condutores
Pode‐se usar a lei de Gauss para discutir as propriedades de condutores
em que circule carga elétrica. Uma das mais interessantes propriedades
é a seguinte:
• Uma carga excedente localizada em um condutor isolado
desloca‐se totalmente para a superfície externa do condutor.
Nenhuma carga excedente permanece no interior do corpo do
condutor.
50
O que acontece quando uma quantidade de carga elétrica é armazenada
em qualquer ponto no interior de um condutor isolado? Quando esta
carga elétrica (elétrons) é depositada em qualquer ponto do condutor,
esta estabelece um campo elétrico no interior do condutor que exerce
uma força elétrica entre as cargas, fazendo‐se com que as mesmas se
empurrem ao máximo e se redistribuam ao longo da superfície externa.
Este processo leva em torno de 10‐9s, levando a um campo interno nulo
e ao estabelecimento do equilíbrio eletrostático. Se houvesse algum
campo no interior do condutor isolado, haveria uma força elétrica
atuando nos elétrons de condução do metal. Um fio transportando uma
corrente elétrica não pode ser considerado um condutor isolado, porque
este está sob influência de uma ação externa (uma bateria, por
exemplo), que estabelece um campo elétrico interno. A lei de Gauss
pode ser usada para mostrar que qualquer excesso de carga em um
condutor em equilíbrio eletrostático deve estar exclusivamente na sua
superfície externa. Para mostrar isso considere a Fig.3.10, onde uma
superfície gaussiana é traçada, internamente, bem próxima à superfície
do condutor. Se o campo elétrico é nulo em todos os lugares no interior
do condutor, este será nulo em todos os pontos da superfície gaussiana,
que se encontra totalmente dentro do condutor. Assim sendo, o fluxo
total através da superfície gaussiana é nulo. Se o fluxo total é nulo, pela
lei de Gauss, conclui‐se que a carga total líquida dentro do condutor é
nula.
Deve ficar claro que o campo elétrico nulo no interior de condutor
isolado não é devido simplesmente ao fato das cargas estarem na
superfície externa, mas também devido à adequada distribuição destas
cargas na parte externa deste. Além disso, se o condutor isolado possui
uma superfície interna (um buraco, por exemplo), não deve haver carga
Figura 3.10: Condutor de forma arbitrária e o seu campo interno.
51
Figura 3.11: Campo elétrico imediatamente acima de uma superfície condutora.
na sua superfície interna. Outra característica do campo elétrico na
superfície externa de um condutor em equilíbrio eletrostático é que o
mesmo é normal a esta superfície. Se existisse uma componente
tangencial na superfície externa haveria uma corrente elétrica nesta.
Uma vez que o excesso de carga de um condutor isolado permaneça na
sua superfície externa deve‐se calcular o campo nas proximidades desta
superfície. Para determinar a amplitude do campo próximo à superfície
de um condutor usaremos a lei de Gauss aplicada à superfície gaussiana
cilíndrica desenhada na Fig. 3.11, cujas superfícies retas são paralelas à
superfície do condutor. Parte do cilindro está dentro do condutor e
parte fora. Da condição de equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é
nulo dentro do condutor e perpendicular externamente. O fluxo através
do cilindro vem somente da parte externa de sua superfície. Assim,
· ,
Resolvendo para E temos,
, (3.12)
Este campo, imediatamente acima da superfície, é normal à superfície
do condutor.
Problemas Propostos
Problema 1‐ Uma rede de caçar borboleta está numa região onde existe
um campo elétrico uniforme, como ilustra afigura 3.12. A extremidade
52
aberta é limitada por um aro de área A, perpendicular ao campo. Calcule
o fluxo de E através da rede.
Problema 2 ‐ A figura 3.13 mostra parte de dois longos e finos cilindros
concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas iguais e opostas,
com densidade linear λ. Use a lei de Gauss para mostrar que: (a) E=0
para r<a e (b) que entre os cilindros
.
Problema 3 ‐ Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies
na Fig. 3.14? Dê sua resposta em termos de múltiplos de q/ε0.
Figura 3.13: Cilindros concêntricos com cargas iguais e opostas,
Figura 3.12: Fluxo elétrico que atravessa uma rede de borboletas.
53
Problema 4 ‐ A esfera (A) e o elipsóide (B) na Fig. 3. 14 são duas
superfícies gaussianas que envolvem a mesma quantidade de carga q.
Quatro estudantes estão discutindo a situação.
André diz que o fluxo através de A e B é o mesmo porque as
superfícies têm o mesmo raio médio. Luís concorda que os
fluxos são iguais, mas porque A e B envolvem cargas iguais.
Pedro diz que o campo elétrico não é perpendicular à superfície
de B, e por isso o fluxo através de B é menor que através de A.
Paulo acha que a lei de Gauss não é aplicável à situação de B, de
forma que não devemos comparar os fluxos através de A e B.
Você concorda com algum destes estudantes? Explique.
Problema 5 – Um dos vértices de um cubo de lado L é posicionado na
oriem de um sistema de eixos, como mostra a figura 3.16. Suponha que
o mesmo é atravessado por um campo elétrico uniforme,
, onde B, C e D são constantes positivas, (a) Encontre o fluxo
elétrico através de cada uma das seis faces do cubo, S1, S2, S3, S4, S5 e S6.
(b) Encontre o fluxo elétrico total através do cubo.
54
Problema 6 – Falso ou verdadeiro (justifique)
(a) A lei de Gauss é válida somente para uma distribuição de carga
simétrica?
(b) Podemos usar a lei de Gauss para mostrar que E=0 dentro de um
condutor?
Problema 7 – Um esfera condutora de raio R=0.1 m tem uma densidade
volumétrica de carga ρ=2.0 nC/m3. A magnitude do campo elétrico em
r=2R é E=1883 N/C. Encontre a magnitude do campo elétrico em r=0.5R.
Problema 8 – Um cilindro infinitamente longo, de raio R, contém uma
carga uniformemente distribuída, com densidade r. Mostre que a uma
distância r do eixo do cilindro (r<R),
3.6.‐Referências bibliográficas
Livro Texto
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Bibliografia complementar
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
Figura 3.16
55
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
3.7‐Web‐bibliografia
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.html
56
UNIDADE 4 POTENCIAL ELÉTRICO
RESUMO
Nesta unidade discutiremos e apresentaremos os conceitos de energia
potencial elétrica e potencial elétrico, importantes no desenvolvimento
do formalismo escalar na solução de problemas eletrostáticos. Veremos
que a mesma pode ser armazenada no campo de forças eletrostáticas
conservativas.
57
Sumário
UNIDADE 4: Potencial Elétrico
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa
4.1 Introdução 57
4.2 Energia Potencial e Energia Potencial Elétrica 57
4.3 Potencial Elétrico 62
4.4 Cálculo do Potencial Elétrico a Partir do Campo Elétrico 64
4.5 Potencial de um dipolo dielétrico 65
4.6 Potencial de uma linha de carga 66
4.7 Diferença de potencial elétrico entre as placas de um
capacitor
67
4.8 O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico 68
4.9 Superfícies equipotenciais 69
4.5 Problemas Propostos 71
4.6 Referências bibliográficas 72
4.7 Web‐bibliografia 73
58
4.1 ‐Introdução
Nas unidades anteriores abordou‐se o problema eletrostático usando‐se
o formalismo vetorial. Naquele momento o interesse básico era a
determinação do campo elétrico em um ponto devido a uma
distribuição de cargas. O campo produzido por esta distribuição de
cargas age em qualquer corpo carregado imprimindo‐lhe uma força que
modifica seu estado de movimento. A realização de trabalho da força
elétrica sobre o corpo carregado mostra que energia pode ser
transferida da distribuição de cargas para o corpo carregado e vice‐
versa.
Nesta unidade discutiremos a natureza dessa energia e veremos que a
mesma pode ser armazenada no campo de forças eletrostáticas
conservativo, levando aos conceitos de energia potencial elétrica e
potencial eletrostático associados a um conjunto de cargas.
4.2 ‐ Energia Potencial e a Energia Potencial Elétrica
Uma forma simples de entender a energia associada às forças elétricas,
é explorar as semelhanças entre a interação eletrostática entre cargas e
a gravitacional entre massas:
| || | eletrostática, (4.1)
gravitacional. (4.2)
Foi visto em cursos anteriores que o trabalho realizado pela força
gravitacional para transportar uma massa m2 na presença do campo
gravitacional da outra massa m1 depende somente das posições inicial e
final da massa m2 relativa à partícula de massa m1 e não do caminho
percorrido por esta. Por causa desta propriedade esta força foi
denominada de força conservativa. E quando uma força é conservativa
podemos associar a esta uma energia potencial, . Assim, a diferença
de energia potencial, , à medida que um corpo se move de sua
posição inicial à sua posição final é igual ao trabalho com sinal negativo
realizado pela força:
59
· , (4.3)
onde é o trabalho realizado pela força quando o objeto
move‐se de i para f. No caso da força gravitacional entre as massas
m1 e m2 usando a Eq.4.3 encontra‐se que a diferença de energia
potencial quando a massa m2 move‐se de r1 à r2 é
. (4.4)
Observe que esta diferença de energia potencial está associada
com todo o sistema composto por m1 e m2, e não com cada um
dos objetos separadamente.
Embora a força eletrostática entre cargas possa ser tanto atrativa
quanto repulsiva, a semelhança com a interação gravitacional
permite chegar‐se à mesma conclusão sobre a energia potencial
elétrica: A força eletrostática é conservativa, por isso podemos
associar uma energia potencial eletrostática à configuração de
cargas interagentes. O fato das cargas serem positivas ou
negativas pode levar somente a existência de uma energia
potencial elétrica positiva ou negativa.
Para introduzir o conceito de energia potencial
eletrostática considere inicialmente duas cargas pontuais
positivas, q1 e q2, inicialmente separadas de uma distância r1 a
partir de q1. Considerando q1 fixa, podemos usar a Eq.4.3 para
calcular a variação de sua energia potencial eletrostática devido
ao deslocamento da carga q2 para uma nova posição de distância
r2, ao longo da reta que une as cargas. Usando‐se
Figura 4.1
60
que e na Eq.4.3 temos, após integração,
14 · ,
ou
. (4.5)
A Eq.4.5determina o valor de para qualquer caminho entre um
ponto P1, que está a uma distância r1 de q1 e um ponto P2, que
está a uma distância r2 de q1. Muitas vezes é conveniente escolher
um ponto de referencia que corresponda a uma separação infinita
entre as cargas e, geralmente escolhe‐se ∞ 0. Logo,
omitindo‐se o índice 2 temos,
. (4.6)
Esta expressão fornece a energia potencial elétrica associada a um
ponto r, armazenada pelo sistema de duas cargas puntiformes, q1
e q2, separadas pela distância r.
Observações:
(a) Para q1 e q2 de mesmo sinal:
• Se r1>r2 temos 0;
• Se r1<r2 temos 0.
(b) Para q1 e q2 de sinais diferentes:
• Se r1>r2 temos 0;
• Se r1<r2 temos 0.
Vamos examinar o sistema de duas cargas isoladas à luz do
princípio da conservação da energia mecânica.
1. Se as duas cargas q1 e q2 têm o mesmo sinal e estão
inicialmente infinitamente afastadas. Um agente externo
realizará um trabalho positivo contra a força de repulsão
das cargas para posicioná‐la a uma distância r entre elas.
Então a energia potencial eletrostática do sistema será
aumentada, 0. O agente externo armazenou energia
61
no sistema. Se for permitido que as cargas fiquem soltas
para se repelirem, a energia armazenada no sistema na
forma de energia potencial elétrica terá uma variação
negativa ( 0) e a sua energia cinética terá uma
variação positiva ( 0). A Fig.4.2 mostra esta situação
para este sistema de duas cargas com mesmo sinal e
energia mecânica Em.Observe que a energia mecânica
delimita a máxima aproximação entre duas cargas de
mesmo sinal.
2. Se as duas cargas q1 e q2 têm sinais opostos estando
inicialmente infinitamente afastadas, um agente externo
realizará um trabalho negativo contra a força de atração
entre as cargas para posicioná‐la a uma distância r entre
elas. Então a energia potencial eletrostática do sistema
diminuirá, 0. O agente externo realizou um trabalho
negativo, que fez diminuir a energia do sistema. Se for
permitido que as cargas fiquem soltas para se atrair, a
energia potencial elétrica diminuirá ( 0) e a sua
62
energia cinética aumentaria indefinidamente até colidirem
( 0). A Fig.4.3 mostra o gráfico da energia potencial e
a separação máxima entre as cargas de sinais opostos para
uma determinada energia mecânica negativa (Em<0).
No caso de cargas de sinais opostos separadas inicialmente de uma
distância r, um agente externo deve realizar um trabalho positivo igual a
ΔU para separar as cargas a uma grande distância. Esta energia é
chamada de energia de ligação, ou energia de ionização.
Podemos generalizar a definição de energia potencial
eletrostática para um sistema de N cargas. Conceitualmente esta
energia deve ser interpretada como a energia necessária para reunir o
conjunto de N cargas. Toma‐se uma carga como referência, e inicia‐se o
processo de busca das outras cargas. Por exemplo, para trazer a carga q2
a uma distância r12 da primeira carga realiza‐se um trabalho dado por
. Ao acrescentar a carga q3 ao sistema (q1 + q2) realiza‐se
o seguinte trabalho: U13+U23, e a energia armazenada na configuração
(q1+q2+q3) passa a ser . Estendendo este raciocínio
para N cargas têm‐se,
∑ ,
∑ , , (4.7)
Figura 4.3
63
Onde implicitamente supõe‐se válido o princípio da superposição. Esta
expressão acima permite dizer que:
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas em
repouso é igual ao trabalho que deve ser realizado por um agente
externo para reunir o sistema, trazendo cada carga de uma distância
infinita onde ela também está em repouso.
4.3 Potencial Elétrico
Quando tratamos do sistema massa‐mola, constatamos que a energia
potencial do sistema fica armazenada na mola através de sua
compressão ou distensão. Entretanto, quando consideramos duas
cargas positivas (por exemplo) q e q0 e perguntamos onde está
armazenada a energia potencial do sistema (que eventualmente pode
ser transformada em energia cinética das cargas) não temos nenhum
caráter local, como no sistema massa‐mola. Na Unidade 2, definindo o
campo elétrico, , conseguimos separar a carga q, fonte de campo, da
carga q0 que sofre a força devido ao campo da carga fonte, levando ao
esquema,
Ç
ÇÃ Ç
Raciocinando de forma análoga acerca da energia potencial elétrica
devido à interação entre as cargas q e q0 podemos elaborar um esquema
semelhante,
Ç
ÇÃ .
Em analogia com a definição de campo elétrico, para o conjunto de
cargas q e q0, que armazenam a energia potencial U definimos o
potencial elétrico, V, como
, (4.8)
64
onde a carga q0 é a carga de prova usada para detectar o potencial, V,
criado pela carga fonte q em um ponto P do espaço. Invertendo a eq.4.8
podemos escrever a energia potencial como
, (4.9)
mostrando que, uma vez determinado o potencial V criado pelas cargas
fontes naquele ponto, fica fácil determinar a energia potencial U do
conjunto carga fonte+ carga de prova. A Figura 4.4 mostra esta idéia
esquematicamente. A unidade de potencial é o joule (J) por Coulomb (
A unidade de potencial é o joule (J) por Coulomb (C), que chamada de
volt (V), no MKS:
1 1 1 / ,
C), em homenagem a Alessandro Volta, que inventou a bateria em 1800.
Propriedades do Potencial Elétrico V.
Embora seja uma idéia abstrata, a utilidade e praticidade do potencial
elétrico serão evidenciadas ao longo deste capítulo. Duas características
essenciais são:
• O potencial elétrico depende somente das cargas fontes e de
sua geometria. O potencial é a capacidade das cargas fontes
interagirem com uma carga q presente. Esta capacidade, ou
potencial, está presente através do espaço independentemente
da presença ou não da carga q.
Figura 4.4
65
• Se conhecermos o potencial em todo o espaço, imediatamente
conhecemos a energia potencial de qualquer carga q
naquela região do espaço com aquelas cargas fontes.
A energia de uma partícula carregada é dada por seu potencia
elétrico: . Conseqüentemente, partículas carregadas
aceleram ou desaceleram ao se moverem através de uma região
de potencial variável. Dito de outra forma, o estado de
movimento de uma partícula é alterado quando esta é
submetida a uma diferença de potencial (chamada
comumente de ddp ou voltagem), entre o ponto de partida “i” e
o ponto de chegada “f”.
4.4 Cálculo do Potencial Elétrico A Partir do campo Elétrico.
A ligação entre V e segue diretamente da definição de potencial
elétrico V=U/q0, ou diferença de potencial ΔV=ΔU/q0. Considere uma
carga de prova q0, que é deslocada de a para b em um campo elétrico ,
sob a ação da força elétrica . Usando‐se a definição de variação
de potencial elétrico e a Eq.4.3 temos
· ·,
temos,
· . (4.10)
Para ilustrar é calculada a diferença de potencial entre os pontos a
e b de uma carga fonte pontual e isolada. Como o campo de uma
carga pontual é , e considerando que os pontos a e b
estejam alinhados, por simplicidade ( ), temos,
. ,
expressão válida mesmo que os pontos A e B não estejam
alinhados. Podemos definir o potencial em um ponto se
associarmos o potencial nulo a um ponto de referência. Por
exemplo, na equação acima podemos fazer VA=0 no ponto A para
∞, e VB=V em B para rB=r:
14 0
. (4.11)
66
Figura 4.5
A expressão acima dá o potencial no ponto P, a uma distância r de
uma carga pontual q (fonte do potencial).
Podemos generalizar esta expressão para calcular o potencial no
ponto P devido a um conjunto de N cargas pontuais q1, q2, ..., qN
respectivamente distantes de P de r1, r2, ..., rN,
∑ . (4.12)
Quando temos uma distribuição contínua de carga ao longo de
uma linha, numa superfície ou em um volume, divide‐se a carga
em elementos de carga dq, e a soma acima transforma‐se em uma
integral:
, (4.13)
onde deve‐se tomar , , respectivamente para
distribuições lineares, superficiais e volumétricas de carga. O
potencial definido na Eq.4.13 é nulo para pontos infinitamente
afastados das cargas.
4.5 Potencial de um Dipolo Elétrico
Deseja‐se calcular o potencial de um dipolo em um ponto P, disposto
conforme a Fig. 4.5 abaixo. O Ponto P está localizado a uma distância r
do centro do dipolo e a um ângulo θ do eixo do dipolo (eixo z). As
67
distâncias r+ e r‐ localizam as cargas positiva e negativa em relação ao
ponto P. Da Eq. 4.12 temos,
,
que dá o exato valor do potencial no ponto. Em muitas situações
práticas tem‐se interesse na expressão do dipolo para um ponto P muito
distante do dipolo (r>>d). Nesta situação, valem as seguintes
aproximações:
cos .
Substituindo a expressão do potencial acima temos,
, (4.14)
onde usamos a definição de momento de dipolo (p=qd). Esta é a
expressão para o potencial do dipolo elétrico para qualquer ponto do
espaço a uma grande distância.
4.6 – Potencial de uma Linha de Carga
Como exemplo ilustrativo de uma distribuição contínua de cargas
considere uma barra uniformemente carregada positivamente com
densidade linear λ por unidade de comprimento e orientada ao longo do
eixo z. Deseja‐se calcular o potencial elétrico produzido por esta barra
em um ponto no eixo y, posicionado simetricamente em relação ao eixo
z, conforme mostra a Fig.4.6. Aplicando a Eq.4.13 e utilizando o
elemento de carga
Figura 4.6
68
dq=λdz, e usando‐se que , tem‐se
// . (4.15)
Usando‐se uma tabela de integrais tem‐se
ln / // /
, (4.16)
onde pode‐se verificar que no limite de L/y→0, este potencial reduz‐se
ao de uma carga pontual,
.
4.7 A Diferença de Potencial Elétrico entre as placas de um
Capacitor
Calcularemos agora a diferença de potencial entre as placas de um
capacitor de placas paralelas a partir do conhecimento do campo
elétrico no espaço entre elas. Da lei de Gauss é fácil mostrar que o
campo elétrico entre as placas de um capacitor de área A e separação s
é
, (4.17)
onde σ é o módulo da densidade superficial de carga da placa de área A
e carga q (Fig.4.7).
Figura 4.7
69
Substituindo a Eq.4.17 na Eq.4.10 e usando , temos o potencial
no ponto P
· ,
que dá
. (4.18)
Para calcular a diferença de potencial entre as placas positivas e
negativas usamos a Eq.4.18:
0 4.19
4.8 O Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Elétrico
Já discutimos nas seções acima que podemos calcular o potencial se
conhecemos o campo elétrico em qualquer ponto P do espaço.
Nesta seção mostraremos que podemos determinar se conhecemos
. Considere V em coordenadas cartesianas, V=V(x,y,z) em qualquer
ponto do espaço. Da Eq.4.10 temos
· . (4.20)
A igualdade entre estas duas integrais leva à igualdade entre os
integrandos para os limites dados:
· . (4.21)
Escrevendo e
encontramos que
.
Suponha que o deslocamento se dá paralelamente ao eixo x
(dy=dz=0) teremos – ou / , .
Como V=V(x,y,z) devemos tratar as derivadas como derivadas
parciais.
, , , (4.22)
70
que são as componentes de em termos de . Podemos
escrever o campo elétrico como
V, (4.23)
onde dizemos que o campo elétrico é o gradiente do potencial
elétrico. O gradiente do potencial ( V) aponta na direção de maior
crescimento do potencial com a posição. Dessa maneira o sentido
de é oposta ao do gradiente.
4.9 – Superfície Equipotencial
Linha de campo ajuda‐nos na visualização dos campos elétricos.
Semelhantemente, o potencial em vários pontos de um campo elétrico
pode ser visualizado por superfícies equipotenciais. Este conceito é
análogo ao conceito de curva de nível usado em topografia. Em um
mapa topográfico, uma superfície equipotencial é uma superfície
tridimensional em que o potencial elétrico, V, tem o mesmo valor em
qualquer ponto desta. Se uma carga de prova q0 é deslocada de um
ponto para outra desta superfície equipotencial sua energia potencial
permanecerá a mesma, ou seja, a força elétrica que atua em q0 devido
ao campo (fonte do potencial) não realiza trabalho líquido na mesma
superfície equipotencial. Conclui‐se então que o campo eletrostático
é sempre perpendicular à superfície de uma equipotencial. Além
disso, duas superfícies equipotenciais não se cruzam, pois significaria
que podemos associar dois campos elétricos resultantes a este ponto de
cruzamento, situação não física. As linhas de campo são curvas,
enquanto as equipotenciais são superfícies curvadas. No caso especial
do campo elétrico uniforme as linhas de campo são linhas retas,
paralelas igualmente espaçadas, enquanto as equipotenciais são
superfícies planas perpendiculares às linhas de campo.
A Fig.4.8 mostra três arranjos de cargas elétricas. As linhas de
campo possuem setas orientadas no plano. As curvas que interceptam
as linhas de campo são as seções transversais das superfícies
equipotenciais tridimensionais. Nas regiões onde o módulo de é
relativamente intenso as superfícies equipotenciais estão mais próximas.
71
Figura 4.8 :
Esta conclusão pode ser tirada da relação entre o campo e o potencial:
V. Uma outra observação importante é a de que não
precisa ser constante para todos os pontos de uma superfície
equipotencial; o caso em que isto acontece é o do capacitor de placas
paralelas.
• Superfície Equipotencial e Condutores
Um importante teorema acerca de superfícies equipotenciais é:
No equilíbrio eletrostático a superfície de um condutor é uma
equipotencial. Como é sempre perpendicular a uma equipotencial
e nulo dentro do condutor em equilíbrio eletrostático, nós podemos
provar este teorema argumentando que quando todas as cargas estão
em repouso, o campo elétrico fora deve ser perpendicular em cada
ponto da superfície do condutor pois do contrário existiriam cargas se
movendo sobre sua superfície, o que violaria a condição de equilíbrio.
Outro teorema acerca de condutores, que pode ser provado com o uso
da lei de Gauss é: No equilíbrio eletrostático, se um condutor possui
uma cavidade interna e se nenhuma carga está presente dentro do
condutor, então não pode existir carga em nenhum ponto dessa
superfície interna desta cavidade.
72
4.10 – Problemas Propostos
Problema 1‐ No movimento de A para B (figura 4.4) ao longo de uma
linha de campo elétrico, o campo realiza 3,94 x 10‐19 J de trabalho sobre
um elétron. Quais são as diferenças de potencial elétrico: (a) VB ‐ VA; (b)
VC –VA; (c) VC – VB?
R.: 2,46 Volts; 2,46 Volts; zero
Problema 2 ‐A densidade de carga de um plano infinito é σ=0,10
mC/m2. Qual é a distância entre as superfícies eqüipotenciais cuja
diferença de potencial é de 50 V?
R.: 8,85 mm
Problema 3‐ Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e
afastadas por uma distância de 12 cm, têm cargas iguais e sinais opostos
nos faces que se confrontam. Um elétron colocado no meio da distância
entre as duas placas experimenta uma força de 3,9 x 10‐15 N. (a)
Determine o campo elétrico na posição do elétron; (b) qual é a diferença
de potencial entre as placas?
R.: 2,44 x 104 N/C; 2928 Volts
Figura 4.9
73
Problema 4 ‐ Um anel de raio R, carregado positiva e uniformemente, é
colocado no plano yz, com seu centro na origem do sistema de
coordenadas. (a) Construa um gráfico do potencial V em pontos do eixo
x, em função de x. (b) Construa, no mesmo diagrama, um gráfico da
intensidade do campo elétrico E.
Problema 5 ‐ Uma esfera metálica de raio Ra apóia‐se sobre um
pedestal isolante, no centro de uma esfera metálica oca de raio interno
Rb. Existe uma carga +q sobre a esfera interna e uma carga –q sobre a
externa. (a) Mostre que a ddp entre as esferas é
41 1
(c) Mostre que a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto
entre as esferas é
1 11
Problema 6 ‐ (a) Mostre que 1 N/C = 1 V/m. (b) Estabelece‐se uma
diferença de potencial de 2000 V entre duas placas paralelas no ar.
Supondo que o ar se torna eletricamente condutor quando a
intensidade do campo elétrico ultrapassa 3 x 106 N/C, qual a menor
separação possível entre as placas?
Problema 7 – Um campo elétrico uniforme aponta na direção positiva do
eixo y. Considere dois pontos no eixo y, A e B, nas posições y=2 m e y=6
m, respectivamente. (a) A diferença de potencial Vb‐Va é positiva ou
negativa? (b) Se Vb‐Va=2x104V qual é a intensidade do campo elétrico?
4.11.‐Referências bibliográficas
Livro Texto
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
74
Bibliografia complementar
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
4.12‐Web‐bibliografia
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.html
75
UNIDADE 5
CAPACITÂNCIA E CAPACITORES
RESUMO
Nesta unidade apresentaremos o conceito de capacitância e a
importância dos capacitores como dispositivos de armazenamento de
energia. Discutiremos o processo de carga e suas associações.
76
Sumário
5 Capacitância e Capacitores
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa
5.1 Definindo Capacitor 75
5.2 Energia Armazenada em um Capacitor 78
5.3 Associação de Capacitores 81
5.4 Capacitores com Dielétricos 84
5.5 Problemas Propostos 85
5.6 Referências bibliográficas 87
5.7 Web‐bibliografia 87
77
Figura 5.1: Conjunto de duas placas condutoras formando um capacitor.
5.1‐ Definindo Capacitor
Um capacitor em sua forma mais simples é compreendido de dois
condutores, normalmente chamados de “placas”; quando o capacitor
está carregado, as placas têm carga de mesmo módulo, mas de sinais
opostos como mostrado na Fig. 5.1(a). Esta configuração é facilmente
produzida aterrando uma das placas (potencial zero) e carregando a
outra; isto tem o efeito de induzir uma carga de sinal oposto na placa
aterrada (ver Fig. 5.1(b)). O processo de carregamento também pode ser
realizado ligando cada uma das placas aos terminais de uma bateria e
depois de carregada desconectando‐as, as placas ficarão carregadas com
cargas de sinais opostos, mas de mesmo módulo. Em diagramas de
circuitos representaremos um capacitor pelo símbolo .
Por causa da interação mútua entre as cargas de sinais opostos das
placas, as cargas se distribuem nas superfícies dos condutores de tal
forma que elas ficam confinadas àquelas regiões dos condutores mais
próximas entre si. Dessa forma o fluxo elétrico da placa positiva para a
placa negativa fica confinado principalmente ao espaço entre as placas.
O campo elétrico entre as placas deve ser tal que cada uma é uma
superfície equipotencial e, portanto, as linhas de campo próximas às
superfícies do condutor são perpendiculares à superfície.
Suponha que as cargas nas placas do capacitor sejam +Q e –Q e que a
correspondente diferença de potencial entre as placas seja V. Suponha
que a magnitude das cargas nas placas está aumentando por um fator k,
78
Figura 5.2: Processo de carga de um capacitor por uma bateria
Istoé +kQ e –kQ, e que portanto cada elemento de superfície do
condutor tem sua carga aumentada de δq para k(δq). Como o potencial
elétrico em qualquer ponto devido a um elemento de carga é
diretamente proporcional a δq, o potencial elétrico em qualquer ponto
deve aumentar por um fator k também. Isto mostra que a diferença de
potencial entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional á
quantidade de carga em cada placa do capacitor, isto é,
ou
A constante de proporcionalidade, que é uma propriedade do capacitor
particular envolvido, é chamada de capacitância do capacitor e é
definida como
. (5.1)
A unidade de capacitância no Sistema Internacional é o coulomb por volt
: 1C/V é chamado de 1 farad=1F.
Vamos agora olhar com mais detalhe o processo de carregamento
do capacitor. A Fig.5.2 mostra as duas placas de um capacitor
conectadas por meio de um fio condutor aos terminais de uma bateria.
Como acontece o processo de carregamento? E como estão
relacionadas a diferença de potencial da bateria, ΔVbat, com a diferença
de potencial, ΔV, entre as placas do condutor? A Fig.5.2(a) mostra o
79
capacitor pouco depois que este é ligado à bateria e antes que o mesmo
esteja totalmente carregado.
A “escada rolante de cargas” da bateria está movendo cargas de
uma placa para outra, e é este trabalho feito pela bateria que carrega o
capacitor. A diferença de potencial entre as placas do capacitor, ΔV, está
constantemente crescendo à medida que ocorre a separação contínua
de cargas.
Mas este processo não pode continuar para sempre. O
crescimento de cargas positivas na placa superior exerce força repulsiva
nas novas cargas positivas que estão chegando pela escada rolante de
cargas e a carga na placa superior atinge um limite e nenhuma carga
será mais aceita na placa. Neste instante a diferença de potencial na
bateria se iguala a diferença de potencial entre as placas do capacitor,
ΔVbat= ΔV (ver Fig5.2b).
5.2 ‐ Energia Armazenada em um Capacitor
Se as placas de um capacitor são ligadas por um fio de
determinada resistência, uma corrente é estabelecida e o capacitor é
descarregado. Obviamente, a energia está armazenada no capacitor
carregado – a energia armazenada é liberada e aparece na forma de
calor no fio à medida que o capacitor vai sendo descarregado. A energia
armazenada é igual ao trabalho realizado para carregá‐lo.
Seja o trabalho para mudar a carga do capacitor de q para
(q+dq), isto é, a energia no capacitor aumentará de , onde V é
a diferença de potencial entre as placas do capacitor quando as placas
têm carga q. Assim a energia armazenada no capacitor, isto é, o trabalho
feito para carregar o capacitor de zero a uma carga Q, é dada por
, (5.2)
ou, em termos da diferença de potencial entre as placas, ,
. (5.3)
80
Figura 5.3: Capacitor de placas paralelas de área A e separação d entre as placas.
O valor de C para um capacitor particular depende da forma geométrica
e da disposição das placas, bem como das propriedades elétricas do
meio isolante em que as placas estão imersas. Quando a geometria das
placas exibe um grau suficiente de simetria é relativamente simples
obter uma expressão para a capacitância do sistema. Vejamos alguns
exemplos.
( a) Capacitor de Placas Paralelas
Os condutores de um capacitor de placas paralelas são placas
planas uniformemente separadas como indicado na Figura 5.3. Seja A a
área de cada placa e d a separação entre elas. Se a área das placas é
suficientemente grande (dimensões da placa >>d), a carga Q será
uniformemente distribuída sobre as superfícies das placas e, portanto, o
campo elétrico entre as mesmas será uniforme (efeitos de bordas
desprezíveis). Se o campo elétrico (constante) entre as placas do
capacitor é E, o módulo da diferença de potencial entre as placas é dado
por
e portanto
5.4
Mas o campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas
paralelas é . Substituindo este valor do campo elétrico na
Eq.(5.4) temos,
5.5
81
O capacitor de placas é importante porque a sua análise é direta e
porque este produz um campo elétrico uniforme. Entretanto capacitores
e capacitâncias não estão restritos a condutores planos e paralelos.
Quaisquer dois eletrodos, independente da sua forma, podem formar
um capacitor.
(a) Capacitor Cilíndrico
Capacitores são usados em qualquer circuito eletrônico e a forma
mais comum é a cilíndrica. A Figura 5.4 mostra um capacitor cilíndrico
que consiste de dois cilindros coaxiais, de raios a e b e comprimento L.
Considere que o espaço entre os cilindros é vazio (ε0) e que os cilindros
sejam suficientemente longos de forma que o campo elétrico entre os
mesmos é radial. Suponha que o cilindro interno tem uma carga +Q e o
externo uma carga –Q. Do capítulo anterior temos que o campo elétrico
entre as placas de um capacitor cilíndrico é . A diferença
de potencial entre os cilindros é dada por
· ln .
Portanto a capacitância é dada por
. (5.6).
(b) Capacitor Esférico
Figura 5.4: Capacitor cilíndrico.
82
Uma esfera metálica de raio R1 que está dentro de uma esfera
metálica oca de raio R2 e concêntrica a esta, constitui um
capacitor. Para calcular a capacitância necessitamos da
diferença de potencial entre as esferas, que pode ser obtida
conhecendo‐se o campo elétrico entre as esferas,
e substituindo na expressão:
·
(5.7)
A capacitância é então dada por
4 , (5.8)
mostrando mais uma vez que a capacitância independe da carga
armazenada no capacitor.
5.3–Associação de Capacitores
Em muitas aplicações práticas em virtude da não disponibilidade, dois
ou mais capacitores precisam ser associados (combinados) para produzir
uma determinada capacitância com o fim de atender a uma
determinada especificação ou necessidade. Muitas combinações são
possíveis, mas as combinações mais básicas são a associação em série e
a associação em paralelo, que descreveremos abaixo. Antes disso é
Figura 5.5: Capacitor esférico
83
importante não confundir os termos distintos “capacitores paralelos” e
“capacitor de placas paralelas”. O primeiro se refere a como dois ou
mais capacitores podem se conectar, enquanto o último se refere a
como um capacito é construído.
(a) Associação em Paralelo
Na Figura 5.6 mostramos um arranjo de dois capacitores em paralelo ( as
duas placas positivas estão conectadas entre si formando uma
equipotencial e as placas negativas formando outra equipotencial).
Dessa forma observa‐se que todos capacitores (ou elementos de um
circuito) estão submetidos a uma mesma diferença de potencial, V,
estes estão associados em paralelo. As cargas Q1 e Q2 nas placas não
precisam ter o mesmo valor e devem seguir para os respectivos
capacitores independentemente umas das outras “bombeadas” por uma
bateria, cujos valores são: . A carga total da
combinação ou a carga equivalente do capacitor é dada por
.
Daí extrai‐se a capacitância equivalente, C, da associação de dois
capacitores em paralelo
. 5.9
Estendendo este raciocínio para uma associação de N capacitores em
paralelo têm‐se
Figura 5.6: Associação de capacitores paralelos
84
. 5.10
(b) Associação em Série
A Figura 5.7 mostra dois capacitores combinados em série (um após o
outro).Se os capacitores estão inicialmente descarregados, observa‐se
que após a aplicação de uma diferença de potencial entre as
extremidades da associação as placas dos mesmos adquirem a carga de
mesmo módulo(ver Fig.5.7). Resumindo: “Capacitores associados em
série têm suas placas carregadas com cargas de mesmo módulo”. Assim
ao atravessar cada par de placas identifica‐se as seguintes diferenças de
potencial: . A diferença de potencial total, na
travessia dos dois capacitores é . Substituindo as
expressões de V1 e V2 tem‐se
1 1.
Como / , onde C é a capacitância equivalente temos
1 1 1. 5.11
Estendendo esta relação para um número N qualquer de capacitores em
série temos,
1 1. 5.12
Foi visto então que para uma associação de capacitores em série todas
as placas dos capacitores da associação têm o mesmo módulo de carga,
Figura 5.7: Associação de capacitores em série
85
porém, a diferença de potencial em cada unidade capacitiva é diferente.
A soma das diferenças de potencial em cada capacitor equivale a
diferença de potencial total, V.
Exemplo:
5.4 – Capacitores com Dielétricos
Materiais não condutores como o ar, vidro, papel ou a madeira, são
chamados de dielétricos ou isolantes. Se o espaço entre as placas de
capacitor é preenchido por um dielétrico, a capacitância do capacitor
aumenta por um fator k, conforme observação de Michael Faraday em
1837. A justificativa para este fenômeno é que o campo elétrico entre as
placas do capacitor é enfraquecido pelo dielétrico, bem como sua
voltagem. Como conseqüência, a capacitância do capacitor, Q/V, é
aumentada pelo fator k. O fator adimensional k é característico do
material dielétrico e é denominada constante dielétrica
A energia armazenada em um capacitor de placas paralelas preenchido
com dielétrico é
. (5.12)
Podemos expressar a capacitância C em termos da área e separação das
placas, e a diferença de potencial V em termos do campo elétrico e
separação entre as placas, para obter
.
A quantidade Ad é o volume entre as placas do capacitor que contém o
campo elétrico. Assim, a energia por unidade de volume entre as placas
do capacitor é
. (5.13)
Exemplo: Dois capacitores de placas paralelas, cada um tendo uma
capacitância C1=C2=2 μF, estão conectados a uma bateria de 12 v.
Encontre (a) a cada em cada capacitor e (b) a energia armazenada em
cada capacitor.
Os dois capacitores são então desconectados da bateria e um
dielétrico de constante κ=2.5 é introduzido entre as placas do capacitor
C2. Nesta nova situação, encontre (c) a diferença de potencial entre as
placas do capacitor, e a energia total entre as placas do capacitor.
86
A carga Q e a energia U podem ser encontradas da capacitância de cada
capacitor C e da voltagem V. Depois que os capacitores são removidos
da bateria, a carga total deve permanecer a mesma. Quando o dielétrico
é introduzido entre as placas sua capacitância deve mudar. O potencial
da combinação deve ser encontrado da carga total e da capacitância
equivalente.
(a) A carga em cada capacitor é encontrada de sua capacitância e
de sua voltagem: Q=CV=(2μF)(12V)=24 μC.
(b) Energia armazenada em cada capacitor: U= CV2=144 μJ. Nos
dois capacitores é 288 μJ.
(c) O potencial da combinação é : V= . A capacitância equivalente
a pós a introdução do dielétrico é Ceq=C1+κC2=7μF. Dessa a
voltagem total é V= =µµ
6.86 V.
(d) A carga em cada capacitor é Q1=C1V=13.7 μC e Q2=C2V=34.3 μC.
A energia armazenada em cada capacitor é
U1= C V 47.1µJ e C V 118µJ. A soma das
energia é U=U1+U2=165μJ.
5.5 – Problemas Propostos
Problema 5.1 – Uma esfera condutora de raio r=10 cm é carregada a 2
kV. (a) Qual é a quantidade de carga que tem o condutor? (b) Qual é a
capacitância da esfera? (c) Como a capacitância muda se a esfera é
carregada a 6 kV?
Problema 5.2 –Um capacitor tem uma carga de 30μC. A diferença de
potencial entre os condutores é de 400 V. Qual é a capacitância
equivalente?
Problema 5.3 – (a) Se a separação entre as placas de um capacitor de
placas paralelas é d=0.15 mm, qual deve ser a área das placas de forma a
ter uma capacitância de 1F? (b) Se as placas são quadradas qual é o
comprimento do lado?
Problema 5.4 – Metade da carga de um capacitor é removida sem
mudar sua capacitância. Que fração da energia armazenada também é
removida junto com a carga?
87
Figura 5.8
Figura 5.9
Problema 5.5 – Três capacitores são conectados numa rede triangular
como mostrado na figura 5.8 abaixo. Encontre a capacitância
equivalente entre os pontos a e c.
Problema 5.6 – Um capacitor a ar,
consistindo de duas placas paralelas
bastante próximas, tem uma capacitância de
1000 pF. A carga em cada placa é de 1 mC.
(a) Qual é a ddp entre as placas? (b) Se a
carga for mantida constante, qual é a ddp
entre as placas se a separação for
duplicada?
Problema 5.7 – Um capacitor de 1 mF e
outro de 2 mF são ligados em série a uma fonte de tensão de 1200 V. (a)
Determine a carga de cada um deles e a diferença de potencial através
de cada um. (b) Os capacitores carregados são desligados da fonte e um
do outro e religados com os terminais de mesmo sinal juntos. Determine
a carga final em cada capacitor e a diferença de potencial através de
cada um.
Problema 5.8 – Um capacitor esférico consiste de uma esfera metálica
interna, de raio Ra, apoiada num pedestal isolante situado no centro de
uma esfera metálica oca de raio interno Rb. Há uma carga +Q na esfera
interna e outra –Q na externa. (a) Qual é a ddp Vab entre as esferas? (b)
Prove que a capacitância é
4 .
Problema 5.9 – Na Figura 5.9 C1=2 μF, C2= 6 μF e C3=3.5 μF. (a) Encontre
a capacitância equivalente desta combinação. (b) se as voltagens em
cada capacitores são respectivamente
Vq=100 V, V2=50 V e V2=400 V, qual é a
máxima voltagem entre os pontos a e b.
Problema 5.10 ‐ Um cabo coaxial consiste
de um cilindro condutor, sólido, interno, de
raio Ra, suportado por discos isolantes, ao
longo do eixo de um tubo condutor de raio
interno Rb. Os dois cilindros são carregados
com cargas opostas, com densidade linear l. (a) Qual é a ddp entre os
88
dois cilindros? (b) Prove que a capacitância de um comprimento L do
cabo é
.
4.11.‐Referências bibliográficas
Livro Texto
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Bibliografia complementar
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
4.12‐Web‐bibliografia
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.html
89
CAPÍTULO 6: CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA
RESUMO
Nesta unidade apresentaremos conceitos e princípios que
permitem o cálculo e entendimento de correntes elétricas e resistências
elétricas. A visão microscópica dos condutores permite interpretar a
mudança de comportamento do regime de condução com a mudança de
materiais e de temperatura. Regras práticas como a lei de Ohm, que
permitem cálculos fáceis da resistência de um material, são
apresentadas.
90
6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA
6.1 A corrente elétrica 90
6.2 Corrente e velocidade de deriva 92
6.3 Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade,
resistência e resistividade
96
6.4 Resistência e temperatura 102
6.5 Avanços na área: supercondutividade 104
6.6 Potencia elétrica 105
Questões 109
Problemas 110
Bibliografia 111
91
Figura 6.1 Movimento de cargas através da área A. A taxa temporal de fluxo de carga através da área é definida como a corrente I. A direção da corrente é a direção do fluxo de cargas positivas
Nos capítulos anteriores foram estudadas situações em que as
cargas elétricas estavam em repouso. Neste capítulo estudaremos
situações em que as cargas estão em movimento. Por exemplo, quando
ligamos o interruptor de uma lâmpada, conectamos o filamento da
lâmpada a uma diferença de potencial que leva a um fluxo de cargas
através do mesmo. Esta situação é semelhante ao que se observa em
uma mangueira de jardim: a diferença de pressão entre as extremidades
da mesma faz a água fluir través da mangueira. O fluxo de carga elétrica
constitui uma corrente elétrica.
6.1 A corrente elétrica
Na Figura 6.1 observa‐se o movimento de cargas em uma direção
perpendicular à superfície , que poderia ser a área seccional reta
transversal de um fio. A corrente é a taxa com que as cargas fluem
através desta superfície. Suponha que ∆ é a quantidade de carga que
flui através da área de seção reta no tempo ∆ e que a direção de
fluxo é perpendicular à área. Então a corrente média é definida como
∆∆ 6.1
a quantidade de carga dividido pelo intervalo de tempo.
Se a taxa com que a carga flui varia no tempo, a corrente varia no
tempo. Definimos, então, a corrente instantânea como o limite
diferencial da corrente média
92
EXEMPLO RESOLVIDO 6.1
6.2
A unidade de corrente no Sistema Internacional de Unidades é o
ampere (A)
1 1 ⁄
Está convencionado que a direção da corrente é a direção do fluxo
de cargas positivas. Experimentalmente, desde o início do século
passado, que está comprovado que os elétrons é que são responsáveis
pelas propriedades de condução de eletricidade e energia térmica nos
metais1. Assim, os elétrons movem‐se na direção oposta à direção da
corrente.
Em eletrostática, onde as cargas são estacionárias, o potencial
elétrico é o mesmo em toda parte, em um condutor. Isto não é mais
verdade para condutores portando corrente: quando as cargas movem‐
se ao longo de um fio, o potencial elétrico está continuamente
decrescendo.
A quantidade de carga que passa através do filamento de uma
lâmpada em 2,00 s é 1,67 C. Determine (a) a corrente no filamento da
lâmpada e (b) o número de elétrons que passam através do filamento
em 5,00 s.
SOLUÇÃO
(a) Para calcular a corrente através do filamento da lâmpada
substituímos o valor da carga que passa no intervalo de tempo, de
acordo com a Eq. (6.1). Assim, teremos
∆∆
1,67 2,00
0,835
(b) Para determinar o número de elétrons que passa através do
filamento no intervalo de 5,00 s tomamos o número de elétrons
1 Para mais detalhes consulte referencias sobre física do estado solido, como por exemplo, C Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8ª edition, Wiley, 2004.
93
Figura 6.2 Exercício 6.2
multiplicado pela carga eletrônica elementar, que é a carga total, e
igualamos a corrente vezes o tempo, de acordo com a Eq. 6.1, isto é,
∆ ∆ 0,835 5,00
Resolvendo para obtemos
0,835 / 5,00 1,60 10
2,61 10 é
Observe que o número de elétrons, passando através de um ponto de
um circuito típico, é muito grande
Exercício 6.1 Suponha que 6,40 10 elétrons passam através de um
fio em 2,00 min. Determine a corrente.
Exercício 6.2 Considere cargas positivas e negativas movendo‐se
horizontalmente através de quatro regiões, como mostrado na Figura
6.2. Ordene os módulos das correntes nestas quatro regiões da mais
baixa para a mais alta. ( é a corrente na Figura 6.2a, é a corrente na
Figura 6.2b, etc.).
6.2 Corrente e velocidade de deriva
Em um fio condutor, o movimento de elétrons livres
negativamente carregados é muito complexo. Quando não existe campo
elétrico no fio, os elétrons livres movem‐se em direções aleatórias com
velocidades, relativamente grandes, da ordem de 10 / . Dada a
orientação aleatória dos vetores velocidade, a velocidade média é nula.
Quando um campo elétrico é aplicado, um elétron livre experimenta
uma aceleração devido à força , e adquire uma velocidade adicional
na direção oposta ao campo. Contudo a energia cinética adquirida é
94
Figura 6.3 Uma seção de um condutor uniforme de área seccional reta A. Os portadores de carga movem‐se com uma velocidade e a distância que eles percorrem no tempo ∆ é dado por ∆ ∆ . O número de portadores de carga móveis na secção de comprimento ∆ é dado por
∆ , onde é o número de portadores móveis por unidade de volume
rapidamente dissipada pelas colisões com os íons da rede do fio. O
elétron é então acelerado novamente pelo campo. O resultado final
destas repetidas acelerações e dissipação de energia é que o elétron
adquire uma velocidade média pequena chamada de velocidade de
deriva oposta ao campo elétrico.
O movimento dos elétrons livres em um metal é semelhante
aquele das moléculas de um gás, tal como o ar. Também no ar, as
moléculas de ar movem com velocidades instantâneas grandes (devido a
sua energia térmica) entre colisões, mas a velocidade média é zero.
Quando se estabelece uma brisa, as moléculas do ar apresentam uma
velocidade de deriva na direção da brisa superposta às velocidades
instantâneas muito maiores. De forma semelhante, quando não existe
campo elétrico aplicado, o “gás de elétrons” em um metal tem
velocidade média nula, mas quando existe um campo aplicado, o gás de
elétrons adquire uma pequena velocidade de deriva.
Considere partículas identicamente carregadas movendo‐se
através de um condutor de seção reta A, veja figura 6.3. O volume de
um elemento de comprimento ∆ do condutor é ∆ . Se representa o
número de cargas móveis por unidade de volume, então o número
médio de portadores no elemento de volume é ∆ . A carga móvel
∆ neste elemento é portanto
95
Figura 6.4 Uma representação esquemática do movimento em ziguezague de um portador de carga dentro de um condutor. As mudanças abruptas de direção se devem as colisões com os átomos do condutor. Observe que a direção de movimento é contrária ao campo elétrico.
∆ ú
∆ 6.3
onde é a carga em cada portador. Se os portadores movem‐se com
velocidade média constante, chamada velocidade de deriva, , a
distância que eles se movem no intervalo de tempo ∆ é ∆ ∆ .
Podemos portanto escrever
∆ ∆ 6.4
Se dividirmos ambos os lados desta equação por ∆ , veremos que a
corrente média no condutor é
∆∆
. 6.5
Para entender o significado da velocidade de deriva, considere um
condutor no qual os portadores de carga são elétrons livres. Se o
condutor está isolado, estes elétrons sofrem movimento aleatório
semelhantes ao movimento de moléculas em um gás. A velocidade de
deriva é normalmente muito menor que a velocidade média dos
elétrons livres entre as colisões com os átomos fixos do condutor.
Quando uma diferença de potencial é aplicada entre as extremidades do
condutor (diagmos, com uma bateria), um campoo elétrico é criado no
condutor, criando uma força elétrica sobre os elétrons e daí uma
corrente. Na verdade, os elétrons não se movem simplesmente em linha
reta ao longo do condutor. Em vez disso, eles sofrem repetidas colisões
com os átomos do metal, e o resultado é um movimento de ziguezague
96
Exemplo Resolvido 6.2
complicado com apenas uma velocidade média de deriva muito pequena
ao longo do fio, conforme ilustrado na Figura 6.4. A energia transferida
dos elétrons para os átomos do metal durante uma colisão aumenta a
energia vibracional dos átomos e provoca um correspondente aumento
na temperatura do condutor. A despeito das colisões, contudo, os
elétrons se movem lentamente ao longo do condutor em uma direção
oposta a com uma velocidade de deriva v .
Um fio de cobre de calibre 12, usado em construções residenciais típicas,
possui uma seção reta de área com 3,31 10 . Ele transporta uma
corrente de 10,0 . Qual é a velocidade de deriva dos elétrons no fio?
Suponha que cada átomo de cobre contribua com um elétron livre para
a corrente. A densidade do cobre é de 8,92 / .
Solução
Como a corrente é constante, a corrente média durante qualquer
intervalo de tempo é a mesma que a corrente constante: .
Da tabela periódica dos elementos sabemos que a massa molar do
cobre é 63,5 / . Assim um mol de átomos de cobre (1 mol de
qualquer substância contém 6,02 10 átomos). Assim o volume
ocupado por 1 mol de átomos de cobre é
63,5 8,92 /
7,12
Da suposição que cada átomo de cobre contribui com um elétron livre
para a corrente, determinamos a densidade eletrônica no cobre:
6,02 10 é7,12
1,00 10 1
8,46 10 /
Da equação (6.4) determinamos que a velocidade de deriva é
97
Usando os valores numéricos dados no problema teremos
10,0 8,46 10 1,60 10 3,31 10
2,23 10 /
Este resultado mostra que velocidade de deriva típicas são muito
pequenas. Por exemplo, eletrons se deslocando com uma velocidade de
2,23 10 ⁄ tomaria aproximadamente 75 min para percorrer um
metro! Pode causar surpresa o fato de ligarmos o interruptor e quase
imediamente a luz acende. Em um condutor, mudanças no campo
elétrico que direcionam os elétrons livres, percorrem o condutor com
velocidade próxima à da luz. Assim, quando ligamos o interruptor de
uma lâmpada, os elétrons que já estão no filamento da mesma
experimentam forças elétricas e começam a se movimentar após um
intervalo de tempo da ordem de nanosegundos.
6.3 Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade, resistência e
resistividade
Em um condutor em equilíbrio estático o campo elétrico no
interior do mesmo é zero. Quando o condutor não está em equilíbrio
passa a existir um campo elétrico não nulo no inteior do condutor.
Considere, novamente, o condutor da Figura 6.1, com área de
seção reta e transportando uma corrente . A densidade de corrente
no condutor é definida como a corrente por unidade de área. Como a
corrente , Eq. (6.5), a densidade de corrente é
6.6
onde é expresso em unidades SI de amperes por metro quadrado. A
expressão (6.6) é válida apenas se a densidade de corrente é uniforme e
apenas se a superfície com área de secção reta A é perpendicular à
direção da corrente.
98
Figura 6.5 Um condutor com secção reta uniforme. A densidade de corrente é uniforme através de qualquer seção reta, e o campo elétrico é constante ao longo do comprimento.
A densidade de corrente e um campo elétrico são estabelecidos
em um condutor se uma diferença de potencial é mantida através do
condutor. Em alguns materiais, a densidade de corrente é proporcional
ao campo elétrico
6.7
A constante de proporcionalidade é chamada a condutividade do
condutor. Materiais que obedecem a Eq. (6.7) são ditos obedecer a lei
de Ohm:
Para muitos materiais (incluindo a maioria dos metais), a razão
da densidade de corrente para o campo elétrico é uma constante
que é independente do campo elétrico que produz a corrente.
Materiais que obedecem a lei de Ohm e, portanto, apresentam
esta relação simples entre E e J são ditos ôhmicos. Experimentalmente,
contudo, determina‐se que nem todos materiais possuem esta
propriedade. Materiais e dispositivos que não obedecem a lei de Ohm
são ditos não‐ôhmicos. A lei de Ohm é uma relação empírica, válida
apenas para certos materiais.
É interessante determinarmos uma equação que seja útil em
aplicações práticas da lei de Ohm. Considere um segmento de fio reto de
área seccional reta A e comprimento como mostrado na figura 6.5.
Uma diferença de potencial é mantida através do fio,
99
Exemplo Resolvido 6.3
criando no mesmo campo elétrico e corrente. Se o campo é suposto
uniforme, a diferença de potencial está relacionada ao campo através da
equação
∆ 6.8
Portanto, podemos expressar a densidade de corrente no fio como
∆ 6.9
Como ⁄ , a diferença de potencial através do fio é
∆ 6.10
A quantidade ⁄ é chamada a resistência do condutor. Podemos
definir a resistência como a razão da diferença de potencial, através de
um condutor, e a corrente no condutor:
∆ 6.11
A unidade no sistema internacional SI para resistência é volt por
ampere. Um volt por ampere é definido como um ohm
1Ω1 1
O inverso da condutividade é a resistividade :
1 6.12
onde é expresso nas unidade ohm‐metro (Ω · ). Como ⁄ ,
podemos expressar a resistência de um bloco de material uniforme ao
longo do comprimento como
6.13
Calcule a resistência de um cilindro de alumínio que tem comprimento
de 10,0 cm e área seccional reta de 2,00 10 . Repita o cálculo
para um cilindro com as mesmas dimensões e feita de vidro tendo
resistividade de 3,0 10 Ω · .
100
Solução
Fazendo uso da Equação (6.12) e da tabela 6.1, podemos calcular a
resistência do cilindro de alumínio da seguinte forma:
2,82 10 Ω ·0,100
2,00 101,41 10 Ω
De forma análoga para o vidro determinamos que
3,0 10 Ω ·0,100
2,00 101,5 10 Ω
Como podemos observar a grande diferença entre estes cálculos se deve
a resistividade. As resistências de cilindros identicamente definidos de
alumínio e vidro diferem muito: a resistência do cilindro vítreo é 18
ordens de grandeza maior em magnitude que aquela do cilindro de
alumínio.
Tabela 6.1 resistividade de alguns materiais
Resistividades e coeficientes de temperatura da resistividade para vários materiais Material Resistividade(a)
( · Coeficiente de resistividade(b)
com a temperatura
Prata 1,59 10 3,8 10Cobre 1,7 10 3,9 10Ouro 2,44 10 3,4 10Alumínio 2,82 10 3,9 10Tungstênio 5,6 10 4,5 10Ferro 10 10 5,0 10Platina 11 10 3,92 10chumbo 22 10 3,9 10Níquel‐cromo 1,50 10 0,4 10Carbono 3,5 10 0,5 10Germânio 0,46 48 10Silicio 640 75 10Vidro 1,59 10 Ebonite 1,59 10 Enxofre 1,59 10 Quartzo (fundido) 1,59 10 a Todos os valores a 200C b Veja seção 6.4 c Liga de níquel‐cromo, comumente usada em dispositivos de aquecimento
101
Exemplo Resolvido 6.4
(a) Calcule a resistência por unidade de comprimento de um fio de
níquel‐cromo de calibre 22, que possui um raio de 0,321 .
(b) Se uma diferença de potencial de 10 é mantida através do
comprimento de 1,0 do fio de níquel‐cromo, qual é a corrente no fio?
Solução
A área seccional reta deste fio é
0,321 10 3,24 10
A resistividade do níquel‐cromo (veja tabela 6.1) é de 1,5 10 Ω · m.
Assim, podemos usar a Equação (6.13) para determinar a resistência por
unidade de comprimento
1,5 10 Ω · m3,24 10
4,6 Ω m⁄
Como o comprimento de 1,0 m deste fio possui uma resistência
de 4,6 Ω, a Equação (6.11) resulta em
∆ 10 4,6 Ω
2,2
Observe da tabela 6.1 que a resistividade do fio de níquel‐cromo é
aproximadamente 100 vezes aquela do cobre. Um fio de cobre com o
mesmo raio teria uma resistência por unidade de comprimento de
apenas 0,052 Ω m⁄ .
Devido a sua alta resistividade e sua resistência à oxidação, a liga
níquel‐cromo é freqüentemente usada como dispositivo de
aquecimento em torradeira, ferro de engomar e aquecedores elétricos.
Cabos coaxiais são usados extensivamente para televisão a cabo e
outras aplicações eletrônicas. Um cabo coaxial consiste de dois
condutores cilíndricos concêntricos. A região entre os condutores é
completamente preenchida com silício, como mostrado na Figura 6.6, e
Exemplo Resolvido 6.5
102
Figura 6.6 Cabo coaxial (a) Com o espaço entre os dois condutores preenchido com silício (b) Visão das extremidades, mostrando o vazamento de corrente.
o vazamento de corrente através do silício, na direção radial, é algo
indesejado. (O cabo é projetado para conduzir corrente ao longo do seu
comprimento – esta não é a corrente que estamos considerando aqui.)
O raio interno do condutor é 0,500 , o raio externo é
1,75 e o comprimento é 15,0 . Calcule a resistência do silício
entre os dois condutores.
Solução
Neste tipo de problema devemos dividir o objeto, cuja
resistência está sendo calculada, em elementos concêntricos de
espessura infinitesimal , veja Figura 6.6 (b). Iniciamos usando a forma
diferencial da Equação (6.13), trocando o comprimento por como a
distância variável: ⁄ , onde é a resistência de um
elemento de silício de espessura e área superficial . Neste exemplo,
consideraremos como nosso elemento concêntrico representativo um
cilindro oco de silício de raio , espessura , e comprimento , como
mostrado na Figura 6.6. Qualquer corrente que passe do condutor
interno para o externo deve passar radialmente através deste elemento
concêntrico, e a área através do qual esta corrente passa é 2 .
(Esta é área superficial curvada – circunferência multiplicada pelo
comprimento – do nosso cilindro oco de silício de espessura .) Daí,
podemos escrever a resistência do cilindro oco de silício como
103
2
Como desejamos saber a resistência total através da espessura inteira
do silício, devemos integrar esta expressão de a :
2 2ln
ba
Substituindo nos valores dados, e usando 640 Ω · m para o silício,
obtemos
640 Ω · m2 0,150
ln1,75 cm0,500 cm
851 Ω
Exercício 6.3 Se a diferença de potencial de 12,0 V é aplicada entre os
condutores internos e externos, qual é o valor da corrente total que
passa entre eles?
Resposta 14,1 mA
6.4 Resistência e temperatura
A resistividade elétrica depende da temperatura. A resistividade
de muitos metais aumenta quando a temperatura aumenta. Sobre um
intervalo limitado de temperatura, a resistividade varia de forma
aproximadamente linear com a temperatura de acordo com a expressão
1 6.14
onde é a resistividade para alguma temperatura (em graus Celsius),
é a resistividade em para alguma temperatura de referência
(usualmente tomada como 20 ), e é coeficiente de resistividade de
temperatura. Segue da equação (6.14) que o coeficiente pode ser
expresso como
1 ∆∆
6.15
onde ∆ é a variação na resistividade para o intervalo de
temperatura ∆ .
104
Figura 6.7 Curva resistência versus temperatura para (a) materiais condutores; (b) detalhe para baixas temperaturas e (c) materiais semicondutores (c).
Exemplo resolvido 6.6
A Figura 6.7 mostra a dependência da resistividade com a
temperatura. Para materiais condutores (Figura 6.7a) a resistividade
mostra uma dependência linear com a temperatura para a região de
altas temperaturas e não linear para baixas temperaturas (Fig. 6.7 (b)).
Já para semicondutores a resistividade tende a diminuir com a
temperatura de uma forma não constante.
Os coeficientes de resistividade com a temperatura são dados na
Tabela 6.1 para vários materiais. Observe que a unidade para é
.
Por que a resistência é proporcional a resistividade (Eq. 6.13),
pode‐se escrever a variação da resistência como
1 6.16
O uso desta propriedade nos permite fazer medidas precisas, como
ilustrado no exemplo abaixo.
Um termômetro de resistência, que mede a temperatura através da
medida da variação da resistência de um condutor, é feito de platina e
possui resistência de 50,0 Ω a 20,0 . Quando imerso em um vasilhame
contendo indio fundido, sua resistência aumenta para 76,8 Ω. Calcule o
ponto de fusão do indio.
Solução
Resolvendo a Eq. (6.15) para ∆ e usando o valor de para a platina
dada na tabela 6.1, obtemos
105
Figura 6.8: Gráfico da resistência em função da temperatura para um material supercondutor.
∆76,8 Ω 50,0 Ω
3,92 10 50,0 Ω137
Como 20,0 , determinamos que , a temperatura de fusão da
amostra de índio, é 157 .
6.5 Avanços na área: supercondutividade
Existe uma classe de metais e compostos cuja resistência cai a
zero quando estão abaixo de certa temperatura , conhecida como a
temperatura crítica. Estes materiais são conhecidos como
supercondutores. O gráfico resistência temperatura, para
supercondutores, é semelhante aquele para um metal normal abaixo de
, como mostrado na Figura 6.8. Quando a temperatura está em ou
abaixo de , a resistividade cai subitamente a zero. Este fenômeno foi
descoberto em 1911 pelo físico alemão Heike Kamerlingh‐Onnes (1853‐
1926) quando trabalhava com mercúrio, que se torna supercondutor
abaixo de 4,2 . Medidas recentes mostraram que as resistividades de
supercondutores abaixo de valores são menores que 4 10 Ω ·
‐ aproximadamente 10 vezes menores que a resistividade do cobre e
na prática considerado zero.
Atualmente milhares de supercondutores são conhecidos. A
temperatura crítica de supercondutores recentemente descobertos são
106
Figura 6.9 Circuito simples
substancialmente mais altas do que as que inicialmente se imaginava
possível. Dois tipos de supercondutores são reconhecidos. Os mais
recentemente identificados são essencialmente materiais cerâmicos
com temperaturas críticas altas, enquanto materiais supercondutores
tais como os observados por Kamerlingh‐Onnes são metais. Se um
supercondutor a temperatura ambiente for identificado, seu impacto
tecnológico pode ser enorme.
O valor de é sensível a composição química, pressão, e
estrutura molecular. É interessante observar que o cobre, prata, e ouro,
que são excelentes condutores, não exibem supercondutividade.
6.6 Potência elétrica
Se uma bateria é usada para estabelecer uma corrente elétrica
em um condutor, existe uma transformação contínua de energia
química na bateria em energia cinética dos elétrons e, então, em energia
interna no condutor, resultando em um aumento na temperatura do
condutor.
Em circuitos elétricos típicos, energia é transferida de uma fonte
tal como a bateria, para algum dispositivo, tal como uma lâmpada ou um
receptor de rádio. Determinaremos uma expressão que permita‐nos
calcular a taxa desta transferência de energia. Primeiro, considere um
circuito simples como aquele mostrado na Figura 6.9 onde imaginamos
que energia esteja sendo fornecida a um resistor. Uma vez que os fios
107
que fazem a conexão também possuem resistência, parte da energia é
fornecida aos fios e parte ao resistor. A menos que observado de outra
forma, suponha que a resistência dos fios é tão pequena comparada à
resistência do elemento de circuito que ignoramos a energia fornecida
aos fios.
Imagine que uma quantidade positiva de carga que está se
movendo no sentido horário em torno do circuito da Figura 6.9 desde o
ponto através da bateria e do resistor e de volta ao ponto .
Identificamos o circuito inteiro como nosso sistema. Quando a carga
move‐se de para através da bateria, a energia potencial elétrica do
sistema aumenta por uma quantidade ∆ enquanto a energia
potencial química na bateria diminui pela mesma quantidade. Contudo,
quando a carga move‐se de para através do resistor, o sistema perde
esta energia potencial elétrica durante colisões de elétrons com átomos
no resistor. Neste processo, a energia é transformada para energia
interna correspondendo a um aumento no movimento vibracional dos
átomos no resistor. Uma vez que desprezamos a resistência dos fios
interconectores, nenhuma transformação de energia corre para os
caminhos e . Quando a carga retorna ao ponto , o resultado
líquido é que parte da energia química na bateria foi fornecida ao
resistor e permanece no resistor como energia interna associada com
vibração molecular.
O resistor está normalmente em contato com o ar, assim sua
temperatura aumentada resultará em transferência de energia na forma
de calor para o ar. Além disso, o resistor emite radiação térmica,
representando outro meio de escape para a energia. Após decorrido um
intervalo de tempo, o resistor alcança uma temperatura constante,
naquele instante o fornecimento de energia pela bateria é equilibrado
pela saída de energia na forma de calor e radiação. Alguns dispositivos
elétricos incluem dissipadores de calor conectados às partes do circuito
para evitar que as mesmas atinjam temperaturas perigosamente altas.
Estes são pedaços de metais com muitas barbatanas. A alta
condutividade térmica do metal fornece uma rápida transferência de
energia na forma de calor que sai do componente quente. O grande
108
número de barbatanas fornece uma grande superfície em contato com o
ar, de modo que se pode transferir energia através da radiação de calor
para o ar, em altas taxas.
A taxa com que a carga ∆ perde energia potencial ao percorrer
o resistor é dada por
∆∆
∆∆
∆ ∆ 6.17
onde é a corrente no circuito. Em contraste, a carga ganha novamente
esta energia quando passa através da bateria. Por que a taxa com que a
carga perde energia é igual à potência fornecida ao resistor (que
aparece como energia interna), temos
∆ 6.18
Neste caso, a potência é fornecida ao resistor por uma bateria. Contudo,
podemos usar a Equação (6.18) para determinar a potência transferida
para qualquer dispositivo portando uma corrente I e tendo uma
diferença de potencial ∆ entre seus terminais.
Usando a Equação (6.18) e o fato que ∆ para um resistor,
podemos expressar a potência fornecida para o resistor nas formas
alternativas
∆ 6.19
Quando é expresso em amperes, ∆ em volts, e em ohms, a unidade
SI de potência é o watt. A potência perdida como energia interna em um
condutor de resistência é chamada aquecimento joule; esta
transformação é também freqüentemente referida como uma perda
.
Uma bateria, um dispositivo que fornece energia elétrica, é
chamada ou uma fonte de força eletromotriz ou, mais comumente, uma
fonte fem. Quando a resistência interna da bateria é desprezada, a
diferença de potencial entre os pontos a e b na Fig.6.9 é igual à fem da
bateria, isto é, Δ . Isto sendo verdadeiro pode‐se afirmar
que a corrente é Δ ⁄ ⁄ . Por que Δ , a potência
109
Exemplo Resolvido 6.7
Exemplo resolvido 6.8
fornecida pela fonte fem pode ser expressa como , que é igual a
potência liberada para o resistor, .
Um aquecedor elétrico é construído aplicando uma diferença de
potencial de 120 a um fio de Nicromo que possui uma resistência total
de 8,00 Ω. (a) Determine a corrente transportada pelo fio e a potencia
do aquecedor. (b) Como ficariam os resultados do item (a) se o
aquecedor fosse conectado acidentalmente a uma fonte de 240 V?
Solução
(a) Como ∆ , temos
∆ 120 8,00 Ω
15,0
Determinamos a potência usando a expressão :
15,0 8,00 Ω 1,80 10 1,80
(b) Como a diferença de potencial aplicada será duas vezes maior que a
diferença de potencial do item (a) a Equação (6.18) nos diz que a
corrente no aquecedor será duas vezes maior e da Equação (6.19)
tiramos que a potência será quatro vezes maior já que temos o fator
quadrático na diferença de potencial.
Calcule aproximadamente o custo do cozimento de um peru durante
quatro horas em um forno que opera continuamente com uma corrente
de 20,0 e sob tensão de 240 .
Solução
A potência usada pelo forno é
∆ 20,0 240 4800 4,80
Como a energia consumida é igual ê , a quantidade de
energia pela qual devemos pagar é
110
4,80 4 19,2
Se a energia é comprada ao preço estimado de 50 centavos por kilowatt
hora, o custo do cozimento será
19,2 $ 0,50
$ 9,60
Exercício Quanto custa manter uma lampada de 100 ligada por 24
horas se a companhia de eletricidade (CEPISA) cobra $ 0,50/ ?
Questões
Q1 Fazendo uma analogia entre corrente elétrica e o fluxo do trafego de
automóveis, o que corresponderia à carga? E o que corresponderia a
corrente?
Q2 Que fatores afetam a resistência de um condutor?
Q3 Qual a diferença entre resistência e resistividade?
Q4 Todos os condutores obedecem à lei de Ohm? Dê exemplos que
justifiquem suas respostas.
Q5 Vimos que um campo elétrico deve existir dentro de um condutor
através do qual flui uma corrente. Como isto é possível, se em
eletrostática, havíamos concluído que o campo elétrico deve ser nulo no
interior de um condutor?
Q6 Quando a voltagem através de um condutor é duplicada, é
observado que a corrente é aumentada por um fator três. O que você
pode concluir a respeito deste condutor?
Q7 Explique como a corrente pode persistir em um supercondutor sem a
necessidade de aplicarmos uma voltagem.
Q8 Se as cargas fluem muito lentamente através de um metal, por que
não são exigidas várias horas para que a lâmpada comece a iluminar
após acionar o interruptor?
111
Q9 Duas lâmpadas, ambas operando com tensão de 120 . Uma tem
potência de 25 W e a outra de 100 W. Que filamento tem resistência
mais alta? Através de que filamento flui maior corrente?
Q10 Baterias de automóveis são freqüentemente classificadas em
ampere‐horas. Isto designa corrente, potência, energia ou carga que
pode ser retirada da bateria?
Problemas
P1 Um fio de raio 1,6 porta uma corrente de 0,092 . Quantos
elétrons cruzam um ponto fixo no fio em 1 ?
P2 Portadores de cargas em um semicondutor possui densidade de
número 3,5 10 / . Cada portador possui uma
carga cuja magnitude é aquela da carga de um elétron. Se a densidade
de corrente é 7,2 10 / , qual é a velocidade dos portadores de
carga?
P3 A densidade de elétrons portadores de carga no cobre é 8,5
10 / . Se a corrente de 1,2 flui em um fio com raio de
1,8 , qual é a velocidade dos elétrons? Como esta velocidade muda
em um segundo fio, de diâmetro igual a 2,4 , conectado ponta com
ponta com o primeiro fio?
P4 Um fio de alumínio de área igual 50 colocado ao longo do eixo
passa 10.000 em 1 . Suponha que existe um elétron livre por cada
átomo de alumínio. Determine a corrente, a densidade de corrente, e a
velocidade de deriva. A densidade de massa do alumínio é de 2,7 /
.
P5 Ouro possui um elétron por átomo disponível para transportar carga.
Dado que a densidade de massa do ouro é 1,93 10 / e que seu
peso molecular é igual a 197 / , calcule a velocidade de deriva dos
elétrons em um fio de ouro que porta 0,3 e tem uma secção reta
circular de raio igual a 0,5 .
112
P6 Você dispõe de dois cilindros feitos do mesmo material. O pedaço 2
possui metade do comprimento e metade do diâmetro do pedaço 1.
Qual é a razão das resistências dos dois pedaços.
P7 A condutividade da prata é 1,5 vezes aquela do ouro. Qual é a razão
do diâmetro de um fio de prata para aquele de um fio de ouro do
mesmo comprimento se ambos os fios são projetados para ter a mesma
resistência?
P8 Um fio aterrado feito de alumínio tem comprimento de 528 e área
de 0,12 . (a) Qual é a sua resistência? (b) Qual é o raio de um fio de
cobre do mesmo comprimento e resistência?
P9 Qual é a voltagem máxima que pode ser aplicada a um resistor de
1000 Ω com potencia de dissipação de 1,5 ?
P10 Seu irmão menor deixa uma lâmpada de 100 ligada
desnecessariamente por uma hora. Supondo que potencia elétrica
custam 50 centavos por kilowatt‐hora, qual é o custo por seu mau uso?
P11 Um estudante de pós‐graduação em engenharia possui uma coleção
de resistores de 100 Ω com diferentes taxas de dissipação de energia
iguais a 1/8, ¼, ½, 1 e 2W. Qual é a corrente máxima que o estudante
deveria usar em cada resistor?
P12 Qual é a corrente máxima permitida para (a) um resistor de 160 Ω,
5 ? (b) Um resistor de 2,5 Ω, 3 ?
BIBLIOGRAFIA
TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth
edition, Freeman, New York, 2008.
HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros
Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004
HALLIDAY D., RESNICK R., KRANE S., Física vol. 3, LTC, Rio de Janeiro,
2000
HEWITT P, Física Conceitual, Longman, 9ª edição, Rio Grande do Sul,
200x
113
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de
Janeiro, 200X
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics,
John Wiley, New York, 2004.
YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson,
São Paulo, 2008.
114
CAPÍTULO 7: CIRCUITOS ELÉTRICOS
RESUMO
Neste capítulo apresentaremos a noção de circuitos elétricos e
diagramas de circuitos, bem como, regras de calculo para a
determinação de correntes e resistências em elementos do circuito.
115
7 CIRCUITOS ELÉTRICOS
7.1 Elementos e diagramas de circuitos 115
7.2 Força eletromotriz 117
7.3 Associação de resistores 119
7.3.1 Resistores em série 119
7.3.2 Resistores em paralelo 120
7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico 122
7.5 Circuitos RC 129
Questões 136
Problemas 137
Bibliografia 139
116
Figura 7.1 Um circuito elétrico
No interior de aparelhos de TV, de computadores, de aparelhos de
som ou mesmo do teclado de um microcomputador encontramos
circuitos que apresentam grau de complexidade bem maior do que os
circuitos simples que foram mostrados no capítulo anterior. Todos estes
circuitos incluem diversas fontes, resistores e outros elementos, tais
como capacitores, transformadores e motores, interconectados em uma
rede.
Neste capitulo estudaremos método para analisar essas redes,
incluindo como calcular correntes, voltagens e outras propriedades
desconhecidas dos elementos do circuito. Assim ao final deste capítulo o
leitor deve apresentar habilidades (a) para compreender e usar
diagramas básicos de circuitos, (b) analisar circuitos que contenham
resistores em série e em paralelo, (c) calcular a potência dissipada nos
elementos de circuito e (d) compreender o aumento e diminuição de
corrente em circuitos RC.
7.1. Elementos e diagramas de circuitos
A Figura 7.1 mostra um circuito elétrico no qual um resistor e um
capacitor estão conectados por meios de fios a uma bateria. Para
entender o funcionamento deste circuito precisamos de uma descrição
gráfica mais abstrata chamada diagrama do circuito. O diagrama do
circuito é uma descrição lógica dos elementos que estão conectados
entre i. O circuito real, uma vez construído, pode aparentar
completamente diferente do diagrama do circuito, mas terá a mesma
lógica e conexões.
117
Figura 7.2 Uma mostra de símbolos básicos usados para desenhar circuitos eletrônicos
Figura 7.3 O diagrama de circuito para o circuito da Figura 7.1
Figura 7.4
Num diagrama de circuitos as imagens dos elementos de circuitos
são trocadas por símbolos. A figura 7.2 mostra os símbolos básicos
necessários para tal descrição. Nesta Figura estão mostradas as
representações para bateria, fios, resistores, filamentos, junções, chaves
e capacitores. No curso Física IV será visto circuitos com elementos
relacionados às propriedades magnéticas do meio, como o indutor.
A Figura 7.3 é o diagrama de circuito para o
circuito da Figura 7.1. A fem da bateria é mostrada
ao lado da bateria, e os símbolos e para ressaltar
os terminais da mesma. Além disso, é mostrada a
resistência R do resistor e capacitância C do capacitor.
Os fios, que na prática podem ser tortos e curvos, são
mostrados como conexões em linha reta entre os
elementos do circuito.
Exercício: Quais dos diagramas mostrados na Figura 7.4 representam o
mesmo circuito?
118
Figura 7.5 Circuito elétrico consistindo de um resistor conectado aos terminais de uma bateria
Figura 7.6 (a) Diagrama de circuito de uma fonte de fem (neste caso, uma bateria), de resistência , conectada a um resistor externo de resistência . (b) Representação gráfica mostrando como o potencial elétrico muda quando o circuito na parte (a) é percorrido no sentido horário.
7.2 Força Eletromotriz
Anteriormente foi mencionado que corrente constante poderia
ser mantida em circuitos fechados usando fonte de fem, que é um
dispositivo (tal como uma bateria ou gerador) que produz um campo
elétrico e assim pode levar as cargas a se moverem através do circuito.
Podemos imaginar uma fonte de fem como um “dispositivo bombeador
de cargas”. Quando a diferença de potencial elétrico existe entre dois
pontos, a fonte move cargas “morro acima” do potencial mais baixo
para o mais alto. A fem descreve o trabalho feito por unidade de carga,
e, portanto a unidade SI de fem é o volt.
Considere o circuito mostrado na Figura 7.5, consistindo de uma
bateria conectada a um resistor. Supomos que os fios de conexão não
possuem resistência. O terminal positivo da bateria está em um
potencial mais alto que o terminal negativo. Se desprezarmos a
resistência interna da bateria, a diferença de potencial através dela
(chamada de voltagem entre os terminais) iguala a sua fem
119
Contudo, porque uma bateria real sempre tem alguma resistência
interna , a voltagem entre os terminais não é igual a fem para uma
bateria em um circuito no qual existe uma corrente. Para entender
porque isto acontece, considere o diagrama de circuito mostrado na
Figura 7.6 (a), onde a bateria da Figura 7.5 é representada pelo
retângulo tracejado contendo uma fem em série com uma resistência
interna . Agora imagine um movimento através da bateria no sentido
horário de para e medindo o potencial elétrico em vários locais.
Quando passamos do terminal negativo para o terminal positivo, o
potencial aumenta pela quantidade . Contudo quando nos movemos
através da resistência o potencial decresce da quantidade , onde é
a corrente no circuito. Assim, a voltagem entre os terminais da bateria
∆ é
∆ 7.1
A Figura 7.6 (b) é uma representação gráfica das mudanças em
potenciais elétricos quando o circuito é percorrido na direção horária.
Por inspeção, vemos que a diferença de potencial entre os terminais
deve ser igual à diferença de potencial através dos extremos da
resistência externa , freqüentemente chamada de carga resistiva. A
carga resistiva deve ser um elemento de circuito resistivo único, como
na Figura 7.5, ou poderia ser a resistência de algum dispositivo elétrico
(tal como uma torradeira, um aquecedor elétrico, ou o filamento de uma
lâmpada) conectado à bateria. O resistor representa uma carga resistiva
sobre a bateria porque a bateria deve fornecer energia para operar o
dispositivo. A diferença de potencial através da carga resistiva é
∆ . Combinando esta expressão com a Equação (7.1), vemos que
7.2
Resolvendo para a corrente resulta em
7.3
Esta equação mostra que a corrente neste circuito simples depende
tanto da carga resistiva externa à bateria como da resistência interna
120
Figura 7.7 (a) Conexão em série de dois resistores e . A corrente em é a mesma que em . (b) Diagrama de circuito para o circuito de dois resistores. (c) Os resistores trocados por um único resistor tendo a resistência equivalente
. Se é muito maior que , como é em muitos circuitos do mundo real,
obtemos
7.4
Indicando que a potencia externa total fornecida pela bateria é
consumida pela carga externa na forma de calor (efeito Joule) como
e de forma semelhante na resistência interna .
7.3 Associação de resistores
A análise de um circuito pode ser simplificada trocando dois ou
mais resistores por um único resistor equivalente que transporta a
mesma corrente quando é aplicada a mesma diferença de potencial que
é aplicada aos resistores originais. A troca de um conjunto de resistores
por um resistor equivalente é semelhante a troca de um conjunto de
capacitores por um capacitor equivalente, discutido no capítulo 5.
7.3.1 Resistores em série
Quando dois ou mais resistores estão como e na Figura 7.7
de modo que eles transportem a mesma corrente , os resistores são
ditos estarem conectados em série. A diferença de potencial através do
resistor é e a diferença de potencial através do resistor é
A diferença de potencial através dos dois resistores é igual a soma das
diferenças de potencial individuais:
121
Figura 7.8 Conexão em paralelo de dois resistores e . A diferença de potencial através de é a mesma que aquela através de . (b) Diagrama de circuito para o circuito de dois resistores. (c) Os resistores trocados por um único resistor equivalente tendo resistência equivalente .
7.5
A resistência equivalente
7.6
é a resitência que resulta na mesma queda de potencial quando o
circuito é percorrido pela corrente .
Quando existem mais que dois resistores em série, a resistencia
equivalente é
7.7
7.3.2 Resistores em paralelo
Dois resistores que estão conectados como na Figura 7.8, tal que
estejam com a mesma diferença de potencial através de suas
extremidades, estão associados em paralelo. Seja a corrente a corrente
que vai do ponto ao ponto . No ponto a corrente divide‐se em
duas partes, flui através do resistor e através do resistor . A
corrente total é a soma das correntes individuais:
7.8
A queda de potencial através de qualquer dos resistores, ,
está relacionada às correntes por
7.9
122
Figura 7.7
Exercício Resolvido
A resistência equivalente para resistores associados em paralelo é a
resistência equivalente para a qual a mesma corrente total produz a
mesma queda de potencial :
7.10
Resolvendo esta equação para e usando o resultado (7.4), obtemos
7.11
A resistência equivalente para dois resistores em paralelo é, portanto
dada por
1 1 1 7.12
Este resultado pode ser generalizado para combinações, de mais de dois
resistores associados em paralelo:
1 1 1 1 7.13
Quatro resistores estão conectados como mostrado na Figura 7.7.
(a) Determine a resistência equivalente entre os
pontos e .
(b) Qual é a corrente em cada resistor se a diferença
de potencial de 42 é mantida entre e ?
Solução
(a) A combinação de resistores pode ser reduzida em
passos, como mostrado na Figura 7.7. Os resistores de
8,0 Ω e 4,0 Ω estão em série; assim a resistência
equivalente entre e é de 12,0 Ω. Os resistores de
6,0 Ω e 3,0 Ω estão em paralelo, de forma que da
Equação (7.8) calculamos que a resistência
equivalente de para é de 2,0 Ω Assim a resistência
123
Figura 7.8 Um exemplo de circuito simples que não pode ser analisado trocando combinação de resistores em série ou paralelo por suas resistências equivalentes. A queda de potencial através de e não são iguais devido a fonte fem , assim estes resistores não estão em paralelo. (resistores em paralelo deveriam está conectados aos mesmos pontos – mesma diferença de potencial.) Os resistores não transportam a mesma corrente, de modo que não estão em série.
equivalente entre e é , .
(b) As correntes nos resistores 8,0 Ω e 4,0 Ω são as mesmas por que
eles estão em série. Além disso, é a mesma corrente que existiria no
resistor equivalente submetido à diferença de potencial de 42 .
Portanto, usando que / e o resultado da parte (a), obtemos
42,0 14,0 Ω
3,0
Esta é a corrente nos resistores de 8,0 Ω e 4,0 Ω. Quando esta corrente
entra na junção em , contudo, ela divide‐se, com uma parte fluindo
através do resistor de 6,0 Ω ( ) e a outra parte através do resistor de
3,0 Ω ( ). Como a diferença de potencial é através destes resistores
(uma vez que eles estão associados em paralelo), vemos que
6,0 Ω 3,0 Ω , ou seja, 2 . Usando este resultado e o fato
que 3,0 , determinamos que 1.0 e 2,0
Como uma verificação final dos nossos resultados, observe que
6,0 Ω 3,0 Ω 6,0 e 12,0 Ω 36,0 ;
portanto, 42 , como deve ser.
7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico
Existem muitos circuitos simples, tais como o mostrado na Figura
7.8, que não podem ser analisados meramente trocando combinações
124
Figura 7.9 (a) Regra do nó de kirchoff. Conservação da carga exige que toda corrente entrando em uma junção deve deixar esta junção. Portanto
. (b) O análogo mecânico da regra do nó: a quantidade de água fluindo para fora através dos ramos à direita deve ser igual a quantidade fluindo para dentro através do único ramo à esquerda.
de resistores por uma resistência equivalente. As duas resistências e
neste circuito parecem estar em paralelo, mas não estão. A diferença
de potencial não é a mesma através de ambos os resistores devido a
presença da fem em série com . Nem e estão em série ,
porque eles não transportam a mesma corrente.
Duas regras, chamadas regras de Kirchoff, aplicam‐se a este e a
qualquer outro circuito:
1. Quando qualquer circulação em circuito fechado é executada,
a soma algébrica das variações no potencial deve ser igual a
zero.
2. Em qualquer junção (nó) de um circuito onde a corrente pode
ser dividida, a soma das correntes entrando na junção deve
ser igual a soma das correntes saindo da junção.
A primeira regra de Kirchoff, chamada de regra das malhas, segue
diretamente da conservação da energia. Se tivermos uma carga em
algum ponto onde o potencial é , a energia potencial da carga é .
Quando a carga percorre uma malha em um circuito, ele perde ou ganha
energia ao passar através de resistores, baterias, ou outros dispositivos,
mas quando chega de volta ao ponto de onde partiu, sua energia deve
ser novamente . Isto é, a variação total no potencial deve zero.
A segunda regra de Kirchoff, chamada regra do nó, segue da
conservação da carga. A Figura 7.9 (a) mostra a junção de três fios
portando correntes , e . Como cargas não estão sendo criadas e,
125
Figura 7.10 Circuito contendo duas baterias e três resistores externos. Os sinais mais e menos sobre os resistores existem para nos ajudar a relembrar que lado de cada resistor está no potencial mais alto em relação a direção de corrente que nos convencionamos.
Exemplo Resolvido
tampouco, sendo acumuladas neste ponto, a conservação implica a
regra da junção, que para este caso resulta em
7.14
Existem exemplos análogos em mecânica dos fluidos. Em uma
tubulação, na ausência de fontes ou sumidouros, a quantidade de fluido
incompressível entrando através dos ramos de um lado de um
determinado ponto deve ser igual à quantidade de fluido saindo pelos
ramos do outro deste ponto, conforme ilustra a Figura 7.9 (b).
Como um exemplo do uso da regra da malha de Kirchoff,
considere o circuito mostrado na Figura 7.10 contendo duas baterias
com resistências internas e e três resistores externos. Desejamos
determinar a corrente em função das forças eletromotrizes (fem’s).
Solução
Suponha que a circulação de corrente é no sentido horário,
conforme indicado na Figura 7.10, e apliquemos a regra das malhas de
Kirchoff quando percorremos o circuito na direção convencionada,
partindo do ponto . O decréscimo e aumento do potencial são dados
126
Figura 7.11 Circuito dom duas malhas
Exemplo Resolvido
na figura. Observe que encontramos queda de potencial quando
atravessamos a fonte de fem entre os pontos e e um aumento
quando atravessamos a fonte de fem entre os pontos e . Iniciando no
ponto , obtemos da regra das malhas de Kirchoff que
0 7.15
Resolvendo para a corrente , obtemos
7.16
Se é maior que , teremos um valor negativo para a corrente ,
indicando que convencionamos uma direção errada para .
Para analisar circuitos contendo mais de uma malha, precisamos usar as
duas regras de Kirchoff, com a regra dos nós (junção) aplicada a pontos
onde corre divisão de corrente em duas ou mais partes.
(a) Determine a corrente em cada parte do circuito mostrado na Figura
7.11
(b) Determine a energia dissipada no resistor de 4 Ω em 3 .
Solução
Como existem três correntes, , , e a serem determinadas,
assim necessitamos de três condições. Uma condição pode ser obtida
aplicando a regra do nó (junção) ao ponto . Podemos também aplicar a
regra do nó ao aponto , o único outro nó no circuito, mas fornece
127
exatamente a mesma informação. As outras duas condições são obtidas
aplicando a regra da malha. Existem três malhas no circuito: as duas
malhas interiores, e , e a malha externa .
Podemos usar quaisquer duas destas malhas – a terceira dará
informação redundante. A direção da corrente de para não é
conhecida antes de o circuito ser analisado. Os sinais mais e menos
sobre o resistor 4 Ω são para a direção convencionada de de para .
(a) Para determinar as correntes em cada malha seguiremos os passos
abaixo.
Aplicando a regra dos nós ao ponto :
. 7.17
Aplicando a regra das malhas a malha mais externa,
12 2 5 3 Ω 0 7.18
Dividindo a equação acima por 1 Ω, relembrando que 1 / 1 1 ,
então simplificando
7 3 5 0 7.19
Para obter a terceira condição, aplicamos a regra das malhas à malha da
esquerda, , obtemos
12 4Ω 3Ω 0 7.20
Ou após a simplificação ao dividir por 1 ficamos com
12 7 3 0 7.21
Combinando as Equações (7.19) e (7.21) para resolver para e .
Multiplicando (7.22) por 3 e (7.23) por 5 obtemos
21 9 15 0 7.22
60 35 15 0 7.23
Subtraindo (7.22) de (7.23) ficamos então com
39 26 0 39/26 1,5
Substituindo o valor de na (7.15) obtemos
75
35
1,5 0,5
128
Figura 7.12
Exemplo resolvido
Determinado e , usando a Equação (7.17) pode‐se calcular
1,5 0,5 2,0
(b) A potencia dissipada no resistor de 4Ω é
1,5 4Ω 9 W
A energia total dissipada no intervalo de tempo é
9 3 27
Determine a corrente em cada parte do circuito mostrado na Figura
7.12. Desenhe o diagrama circuito com os módulos e direções corretas
da corrente em cada parte. (b) Atribua 0 ao ponto e então
determine o potencial nos outros pontos de a até .
Solução
Primeiro, troque os resistores em paralelo por uma resistência
equivalente. Seja a corrente que flui através da bateria de 18 , e a
corrente de para . As correntes podem então ser determinadas
aplicando a regra dos nós aos pontos e e a regra das malhas a cada
das malhas. Veja a Figura (7.13).
Assim vamos seguir por etapas na solução deste problema.
129
Figura 7.13 o mesmo circuito que na Figura 7.12 indicando as correntes circulando que circulam em cada malha do circuito.
Vamos inicialmente determinar a resistência equivalente para os
resistores em paralelo de 3 Ω e 6 Ω mostrados na Figura 7.12 entre os
pontos e . Usando a Equação 7.13 obtemos que
2 Ω 7.24
Aplicando a regra dos nós nas junções e determinamos que
existe uma corrente
7.25
fluindo do ponto ao ponto , passando através da fem de 21 até o
ponto e depois ate o ponto .
Aplicando a regra de Kirchoff à malha , encontramos a
relação
18 12 Ω 6 Ω 0 7.26
Usando a expressão para a corrente dada pela Equação (7.25)
na expressão (7.26), após simplificações, obtemos
2 3 7.27
Aplicando a regra das malhas a malha , obteremos
3 21 2 6 0 7.28
que após aplicarmos o resultado (7.25) e fazer as simplificações devidas
resulta em
5 11 21 7.29
130
Resolvendo as equações (7.27) e (7.29) para as correntes e
obteremos que 2 e 1 . Assim da (7.25) tiramos que
3 .
Observamos que o valor 1 informa que o sentido da
corrente na Figura 7.13 aponta em sentido contrario ao desenhado na
mesma.
Assim poderemos fazer um mapa do circuito indicando o valor do
potencial em cada um dos pontos indicados no circuito da Figura 7.12,
tomando o ponto como tendo potencial nulo.
21 21
3 2 21 6 15
15
18 15 18 33
12 12 33 24 9
Agora o leitor pode fazer diversos testes. Por exemplo, entre os pontos
e , circula a corrente 3 atraves do resistor de 3 . Assim a
queda de potencial ou diferença de potencial Δ 9 .
Portanto o potencial no ponto é de 9 .
7.6 Circuitos RC
Um circuito contendo resistor e capacitor é chamado um circuito RC. A
corrente em um circuito RC flui em uma unida direção, como em todos
os circuitos de corrente contínua, mas o valor da corrente varia com o
tempo. Um exemplo prático de um circuito RC é o circuito no flash
acoplado a uma câmera. Antes que um flash fotográfico seja disparado,
uma bateria acoplada ao flash carrega o capacitor através de um
resistor. Quando o processo de carga está completo, o flash está pronto.
Quando a imagem é capturada, o capacitor descarrega atravavés do
filamento da lâmpada. O capacitor é então recarregado pela bateria, e
num curto intervalo de tempo o flash está pronto para uma outra
fotografia. Usando as regras de Kirchoff, podemos obter equações para
131
Figura 7.14 (a) Um capacitor em série com um resistor, chave e bateria. (b) Diagrama de circuito representando este sistema no instante 0, antes a chave seja fechada. (c) Diagrama de circuito num instante 0, após a chave ter sido fechada.
carga e a corrente como funções do tempo para ambos os processos
de carga e descarga do capacitor através do resistor.
Suponha que o capacitor na Figura 7.14 esteja inicialmente
descarregado. Não existirá corrente enquanto a chave estiver aberta
(Figura 7.14 (b)). Se a chave é fechada no instante 0, contudo, a
carga começa a fluir, estabelecendo uma corrente no circuito, e o
capacitor começa a ser carregado. Observe que durante o processo de
carregamento, as cargas não pulam de uma placa para outra no
capacitor porque a lacuna entre as placas representa um circuito aberto.
Em vez disso, carga é transferida entre as placas através dos fios
conectores, devido a ação do campo eletrico criado nos fios pela
bateria, até que o capacitor esteja totalmente carregado. Quando as
placas tornam‐se carregadas, a diferença de potencial através do
capacitor aumenta. O valor da carga máxima depende da voltagem da
bateria. Uma vez que a carga máxima foi atingida, a corrente no circuito
é nula porque a diferença de potencial através do capacitor iguala‐se
aquela fornecida pela bateria.
Para analisar o circuito quantitativamente, aplica‐se a regra das
malhas de Kirchoff ao circuito após a chave ter sido fechada.
Percorrendo a malha no sentido horário obtém‐se
0 7.30
132
onde / é a diferença de potencial através do capacitor e é a
diferença de potencial através do resistor. Observe que e são valores
instantâneos que dependem do tempo (contrario aos valores
estacionários) enquanto o capacitor está sendo carregado.
Da Equação (7.30) podemos determinar a corrente inicial no
circuito e a carga máxima no capacitor. No instante em que a chave é
fechada ( 0), a carga no capacitor é zero, e portanto da (7.30)
determinamos que a corrente inicial no circuito é máxima e igual a
7.31
Neste instante a diferença de potencial entre os terminais da bateria
aparece inteiramente através do resistor. Mais tarde quando capacitor
está carregado com seu valor máximo , a carga deixa de fluir, a
corrente no circuito é zero, e a diferença de potencial entre os terminais
da bateria aparece totalmente através do capacitor. Dessa forma 0 e
carga no capacitor, usando a Equação (7.30) será
7.32
A expressão analítica da dependência temporal da carga e
corrente é obtida fazendo a substituição / na Equação
(7.30), ficando com a equação para variável
7.33
Após a separação de variáveis a Equação (7.33) pode ser escrita como
1 7.34
Integrando (7.34) e observando que 0 0, obtemos
1
ou ainda,
ln1RC
Daí segue que
133
Figura 7.15 (a). Gráfico da carga do capacitor em função do tempo para o circuito exibido na Figura 7.14. A carga aproxima‐se do seu valor máximo quando t ∞. Atinge o valor de 63,2 % da carga máxima quando . (b) Gráfico da corrente em função do tempo para o circuito da Figura 7.14. A corrente é máxima em 0, / e decai para zero quando t ∞. Atinge o valor 36,8 % do valor inicial quando .
Figura 7.16 Um capacitor carregado conectado a um resistor e uma chave, que está aberta em 0. (b) Após a chave ser fechada, uma corrente que decresce em modulo com o tempo é estabelecida na direção mostrada, e a carga no capacitor decresce exponencialmente com o tempo.
1 / 1 / 7.35
Usando a definição de corrente / , determinamos que
7.36
Os gráficos da carga e da corrente no capacitor em função do
tempo estão mostrados nas Figuras 7.15(a) e 7.15(b). Observe da Figura
7.15 (a) que a carga é zero no instante 0 e aproxima‐se do valor
máximo quando ∞. A quantidade , que aparece nos
expoentes das Equações (7.35) e (7.36), é chamada a constante do
tempo de relaxação do circuito. Representa o tempo que a corrente
leva para atingir o valor / 0,368 . De forma semelhante
representa o tempo para a carga passar do valor zero em 0 para o
valor 1 1/ 0,632 .
Agora vamos analisar o que acontece quando o capacitor está
carregado, com carga máxima, e fechamos a chave de forma que passa a
circular, inicialmente, uma corrente máxima. Aos poucos está corrente
vai diminuindo devido a dissipação no resistor. O capacitor e resistor
134
Figura 7.17
Exemplo resolvido
pertencem ao circuito mostrado na Figura 7.16, que consiste também de
uma chave. A carga inicial é e a diferença de potencial através do
capacitor é igual a / e zero através do resistor uma vez que 0.
Quando a chave é fechada em 0, o capacitor começa a descarregar
através do resistor. Em algum instante durante a descarga, a corrente
no circuito é e carga no capacitor é .
A aplicação das regras de Kirchoff ao circuito da Figura 7.16, após
fechar a chave, fornece a seguinte relação
0 7.37
Substituindo a expressão de definição de corrente / na
expressão (7.37), separando variáveis, considerando em 0 e
integrando de ’ 0 até ’ , obtém‐se a expressão para a carga no
capacitor em função do tempo
/ 7.38
Diferenciando a expressão (7.38) com respeito ao tempo obtemos
a corrente instantânea como função do tempo
/ 7.39
/ é a corrente inicial. O sinal negativo indica que a direção da
corrente agora que o capacitor está descarregando é oposta a direção
de quando o capacitor está sendo carregado. Tanto a carga no capacitor
quanto a corrente no circuito decai exponencialmente a uma taxa
caracterizada pela constante de tempo .
Um capacitor descarregado e um resistor
estão conectados em série a uma bateria,
como mostrado na Figura 7.17. Se
12,0 , 5,00 , e 8,00
10 Ω, determine a constante de tempo
do circuito, a carga máxima no capacitor,
a corrente máxima no circuito, e a carga e
135
Figura 7.18
Exemplo resolvido
corrente como função do tempo.
Solução
A constante de tempo do circuito é 8,00
10 Ω 5,00 10 4,00 . A carga máxima no capacitor é
5,00 12,0 60,0 . A corrente máxima no circuito
é / 12,0V / 8,00 10 Ω 15,0 µA. Usando estes valores
nas Equações (7.35) 3 (7.36), determinamos que
60,0 1 / ,
15,0 / ,
Graficos destas funções são mostrados nas Figuras 7.18
Exercício Calcule a carga no capacitor e a corrente no circuito após ter
decorrido um tempo superior a constante de tempo
Resposta: 37,9 e 5,52
Considere o capacitor de capacitância C que está sendo descarregado
através de um resistor de resistência R, como mostrado na Figura 7.19(a)
(a) Após quantas constantes de tempo a carga no capacitor estará
reduzida a 1/4 do seu valor inicial?
136
Figura 7.19
(b) A energia armazenada no capacitor decresce com o tempo quando o
capacitor descarrega. Após quantas constantes de tempo esta energia
armazenada será um quarto do seu valor inicial?
Solução
(a) A carga sobre o capacitor varia com o tempo de acordo com a
Equação (7.38). Para determinar o tempo que ela toma para ser
reduzida a um quarto do seu valor inicial, isto é, /4 pode ser
obtido resolvendo (7.38) para :
4/
O que resulta, após simplificações em
14
/ ln 4 4 1,39
(b) Usando a expressão que fornece a energia armazenada em um
capacitor cuja carga é , /2 e a Equação (7.38) obtemos a
expressão da energia armazenada no capacitor para qualquer tempo :
2
/
2 2/ /
Onde /2 é a energia inicial armazenada no capacitor.
Queremos saber quanto tempo decorre até que a energia armazenada
no capacitor seja reduzida a um quarto do seu valor inicial:
/ / ln 4 0,693
137
Exercício Após quantas constangte de tempo a corrente no circuito
estará reduzida a metade do seu valor inicial
Resposta:0,693 0,693
QUESTÕES
Q1 Explique a diferença entre carga resistiva em um circuito e
resistência interna em uma bateria.
Q2 Sob que condições a diferença de potencial através dos terminais de
uma bateria é igual a sua fem? Pode a voltagem entre os terminais
exceder a fem? Explique.
Q3 A direção da corrente através dos terminais de uma bateria é sempre
do terminal negativo para o terminal positivo? Explique.
Q4 Como você conectaria resistores de modo que a resistência
equivalente seja maior que a maior das resistências individuais? Dê
um exemplo envolvendo três resistores.
Q5 Como você conectaria resistores de modo que a resistência
equivalente seja menor que a menor das resistências individuais? Dê
um exemplo envolvendo três resistores.
Q6 Dadas três lâmpadas incandescentes e uma bateria. Esquematize
quantos circuitos elétricos diferentes você pode montar.
Q7 Qual a vantagem que pode existir em usar dois resistores idênticos
em paralelo conectados em série com outro par idêntico em
paralelo, em vez de usar exatamente um único resistor?
Q8 Uma lâmpada incandescente conectada a uma fonte de 120 V com
um fio de extensão curto fornece mais iluminação que a mesma
lâmpada conectada a mesma fonte com um fio de extensão mais
longo. Explique por que.
Q9 Quando a diferença de potencial através de um resistor pode ser
positiva?
Q10 Qual a vantagem que a operação em 120 oferece em relação a
240 ?
138
Figura 7.20
Figura 7.21
Q11 Quando eletricistas trabalham com fios que estão energizados (fio
fase), freqüentemente eles usam as costas das suas mãos ou dedos
para mover os fios. Por que será que eles empregam esta técnica?
Q12 Que procedimento você usaria para tentar salvar uma pessoa que
está “grudado” a um fio energizado de alta voltagem sem colocar
em risco sua própria vida?
PROBLEMAS
P1 (a) Qual é a corrente em um resistor de 5,60 Ω conectado a uma
bateria que possui uma resistência interna de 0,200 Ω se a voltag em
entre os terminais da bateria é 10,0 ? (b) Qual é a fem da bateria?
P2 Duas baterias de 1,50 – com seus terminais positivos na mesma
direção – estão inseridas em série no tambor de uma luz de flash. Uma
bateria tem resistência interna de 0,255 Ω, a outra uma resistência
interna de 0,153 Ω. Quando a chave é fechada, uma corrente de 600 mA
aparece na lâmpada. (a) Qual é a resistência da lâmpada? (b) Qual é a
porcentagem da potencia das baterias que é
consumida nas próprias baterias, quando
observamos um aumento de temperatura?
P3 A corrente em um circuito fechado que
possui uma resistência é 2,00 . A corrente
é reduzida para 1,60 quando um resistor
adicional 3,00 Ω é adicionado em série com . Qual é o valor de
?
P4 (a) Determine a resistência equivalente entre os pontos e na
Figura 7.20. (b) Calcule a corrente em cada resistor se uma diferença de
potencial de 34,0 é aplicada entre os pontos
e ?
P5 Considere o circuito mostrado na Figura
7.21. Determine (a) a corrente no resistor de
20,0 Ω e (b) a diferença de potencial entre os
pontos e .
139
Figura 7.22
Figura 7.23
P6 Usando as regras de Kirchhoff determine a corrente em cada resistor
mostrado na Figura 7.22 e (b) determine a diferença de potencial entre
os pontos e . Que ponto está no potencial
mais alto?
P7 Um capacitor de 2,00 com uma carga
inicial de 5,10 é descarregado através de
um resistor de 1,30 Ω. (a) Calcule a corrente
através do resistor 9,00 após o resistor ser
conectado através dos terminais do capacitor,.
(b) Que carga permanece no capacitor após
8,00 ? (c) Qual é a corrente máxima no resistor?
P8 Um capacitor completamente carregado armazena energia .
Quanta energia permanece quando sua carga decresce para metade do
seu valor original?
P9 No circuito da Figura 7.23 , a chave S foi
aberta por um longo tempo. Ela é então
subitamente fechada. Determine a constante
de tempo (a) antes da chave ser fechada e (b)
após a chave ser fechada. (c) Se a chave é
fechada em 0, determine a corrente
através dele como função do tempo.
140
BIBLIOGRAFIA
TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth
edition, Freeman, New York, 2008.
HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros
Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004
HALLIDAY D., RESNICK R., KRANE S., Física vol. 3, LTC, Rio de Janeiro,
2000
HEWITT P, Física Conceitual, Longman, 9ª edição, Rio Grande do Sul,
200x
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de
Janeiro, 200X
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics,
John Wiley, New York, 2004.
YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson,
São Paulo, 2008.
141
CAPÍTULO 8: O CAMPO MAGNÉTICO
RESUMO
Neste capítulo apresentaremos os conceitos de campo
magnético e sua detecção. Para entender a dinâmica de cargas e
correntes colocados na presença de campo magnético discutiremos
conceitos como o de torque, energia potencial magnética e de momento
magnético. O conceito de momento magnético tem um papel especial
dada sua relação com o conceito de spin em mecânica quântica.
142
8 O CAMPO MAGNÉTICO
8.1 Magnetismo 142
8.2 O campo magnético e suas fontes 145
8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo
magnético
148
8.4 Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas
na presença de campo magnético
150
8.5 A força magnética agindo sobre um condutor portando
corrente elétrica
152
8.6 Torque 157
Questões 161
Problemas 163
Bibliografia 165
143
Fenômenos magnéticos já eram conhecidos, segundo
historiadores da ciência, desde o século 13 antes de Cristo para a
confecção de agulhas de bussolas usadas na navegação. Os gregos já
estavam familiarizados antes de 800 antes de Cristo, quando
descobriram que a rocha magnetita ( ) atraia pedaços de ferro. A
lenda atribui o nome magnetita ao pastor de ovelhas Magnes, que teve
os pregos do seu calçado atraído pela rocha enquanto pastoreava seu
rebanho.
Hoje o magnetismo está presente na confecção de diversos
dispositivos elétricos, desde o computador com seu disco rígido (HD),
passando pelos motores elétricos, fornos de microondas, aparelhos de
TV, a alto‐falantes presentes em muitos dos aparelhos de vídeo e som
das nossas residências.
Este capítulo tem como objetivos levar o estudante a (a)
reconhecer os fenômenos magnéticos; (b) adquirir habilidades em
calcular o campo magnético produzido por partículas carregadas e
correntes; (c) saber relacionar carga, força magnética e campo
magnético e (d) saber calcular forças e torques sobre correntes.
8.1 Magnetismo
Relataremos alguns pontos interessantes relativos a evolução da
compreensão do magnetismo.
O Frances Pierre de Maricourt observou que as direções que uma
agulha colocada em vários pontos sobre a superfície de uma esfera feita
de material magnético formava linhas que se iniciavam em um ponto e
finalizavam em outro ponto diametralmente oposto ao primeiro. A estes
pontos ele chamou de pólos do magneto. Estudos posteriores
mostraram que qualquer material magnético independente da forma
possui estes dois pólos, que exercem forças sobre outros pólos
magnéticos, de forma análoga as cargas elétricas que exercem forças
umas sobre as outras.
144
Figura 8.1 Linhas do campo magnético da Terra desenhadas por limalha de ferro em torno de uma esfera uniformemente magnetizada. As linhas de campo saem do pólo magnético norte, que está próximo ao pólo sul geográfico, e entram no pólo sul magnético, que está próximo ao pólo norte geográfico.
Os nomes dados aos pólos, pólo sul e pólo norte, receberam estes
nomes devido ao modo como se comportam na presença do campo
magnético terrestre. Se uma barra magnética é suspensa pelo seu ponto
médio e pode oscilar livremente em um plano horizontal, ele sofrerá
uma rotação até que seu pólo norte aponte para o Pólo Norte geográfico
da Terra e o seu pólo sul aponte para o Pólo sul da Terra. Esta é a idéia
básica usada na construção das bússolas.
Em 1600 William Gilbert (1540 – 1603) estendeu os experimentos
de Maricourt a uma variedade de materiais. Usando o fato que a agulha
da bussola orienta‐se em direções privilegiadas, ele sugeriu que a Terra
em si é uma grande magneto permanente. Em 1750 experiencias usando
uma balança de torção mostraram que os polos magneticos exercem
forças, atrativas ou repulsivas, uns sobre os outros e que estas forças
variam com o inverso do quadrado da distância. A Figura 8.2 ilustra estes
resultados.
145
Figura 8.2 Dois pólos iguais se repelem, mas dois pólos diferentes são atraídos.
Embora a força entre dois polos magneticos tenha caráter similar
a força entre cargas elétricas, existe uma diferença importante. Cargas
elétricas podem ser isoladas (exemplo do elétron e proton), enquanto
um único polo magnetico isolado nunca foi observado. Isto é, polos
magnéticos são sempre encontrado em pares.
A relação entre magnetismo e eletricidade foi descoberta em 1819
pelo cientista Hans Christian Oersted, que durante uma demonstração
para seus alunos observou que a passagem de corrente através de um
fio era capaz de desviar a agulha de uma bussola que estava proxima ao
fio. Em pouco tempo André Ampère (1755 ‐1836) formulou leis
quantitativas que permitiam o calculo da força magnética exercida por
um condutor portando corrente eletrica sobre um outro condutor no
qual flui uma corrente.
No final dos anos 1820 outras conexões entre eletricidade e
magnetismo foram demonstradas independentemente por Faraday
(1791 – 1867) e Joseph Henry (1797 – 1878). Eles mostraram que uma
corrente pode ser produzida em circuito ou movendo um magneto
proximo a um circuito ou variando a corrente em um circuito proximo.
Estas observações demonstravam que um campo magnetico variavel
cria um campo eletrico. Anos mais tarde Maxwell (1831 – 1879) em um
trabalho puramente teorico, mostrou que o inverso também era
verdadeiro: um campo elétrico variável dava origem ao aparecimento de
um campo magnético. Esta descoberta reuniu os fenomenos
146
Figura 8.3 A regra da mão direita para determinar a direção de uma força exercida sobre uma carga movendo‐se em um campo magnético (a) A força é perpendicular a ambas e e na direção de avanço da rosca do parafuso se girado na mesma direção que giramos para . (b) Se os dedos da mão direita estão na direção de tal que eles podem entrar em então o dedão aponta na direção da força
eletromagnéticos e a ótica sob um mesmo corpo teórico. Luz e
fenômenos eletromagnético são aspectos diferentes de um mesmo
fenomeno. A Luz é uma onda eletromagnética.
8.2 O Campo magnético
A existência de um campo magnético em algum ponto do
espaço pode ser demonstrada com a agulha de uma bussola. Se existe
um campo magnético, a agulha ficará alinhada na direção do campo.
Experimentalmente é observado que, quando uma carga
possuindo velocidade penetra numa região onde existe um campo
magnético , existirá uma força sobre a mesma que é proporcional a
e a e ao seno do ângulo entre e . Observa experimentalmente
que esta força é perpendicular ao campo e a velocidade. Estes
resultados experimentais são resumidos na expressão
8.1
A Figura 8.3 ilustra estas determinações.
A expressão escalar da Equação 8.1 é
sen 8.2
Onde é o modulo da força , é o modulo da velocidade e é o
modulo do campo magnético .
147
EXERCÍCIO RESOLVIDO
A Equação (8.1) define o campo magnético em termos da força
exercida sobre a carga em movimento. A unidade SI de campo
magnético é o tesla (T). Uma carga de um coulomb movendo‐se com
uma velocidade de um metro por segundo perpendicular a um campo
magnetico de um tesla experimenta uma força de um mewton:
1 1//
1 / · 8.3
Esta unidade é grande. O campo magnético terrestre possui um modulo
de 10 . Campos normalmente trabalhados em laboratorio variam
netre 0,1 e 0,5 . Assim é comum usar uma outra unidade, derivada do
sistema cgs, que é o gauss (G), e está relacionada ao tesla como segue:
1 10 8.4
Como os campos costumam ser dados em gauss, que não é uma unidade
SI, devemos lembrar para converter de gauss para teslas quando
fazemos os calculos.
Um elétron em tubo de imagem de televisão move‐se para frente do
tubo com velocidade de 8,0 10 / ao longo do eixo . Rodeando o
pescoço do tubo estão fios enrolados como espiras que criam um campo
magnético de modulo 0,025 , dirigido fazendo um ângulo de 60 com
o eixo , estando no plano . Calcule a força magnética sobre o elétron
e calcule a sua aceleração decorrente da ação desta força.
SOLUÇÃO
Usando a Equação (8.2), podemos determinar o modulo da força
magnética sobre o elétron:
| | sen
Substituindo valores numéricos para as quantidades à direita teremos
1,6 10 8,0 10 / 0,025 sen 60
2,8 10
148
Figura 8.4 Linhas de campo magnético de uma barra imantada, uma forma de dipolo magnético, como revelado pelo alinhamento dos pequenos pedaços de ferro
Como é a direção de positivo (seguindo a regra da mão direita) e
a carga é negativa, aponta na direção de negativo.
A massa do elétron é 9,11 10 , e assim sua aceleração é
2,8 10 9,11 10
3,1 10 /
na direção de negativo
Linhas do campo magnético
As linhas de campo enétrico dão uma descrição visual de um
campo elétrico. Os padroões formados em torno de uma barra
imantada, como mostra a Figura sugerem que a ideia de linhas de
campo pode ser estendida para o magnetismo. A direção de uma linha
de campo magnético em qualquer ponto é a direção de naquele
ponto. O espaçamento das linhas de campo inidica o módulo de – isto
é, quanto mais unidas estão as linhas, mais forte é o campo magnético
naquela região. A Figura 8.4 mostra as linhas de campo magnetico
desenhadas usando limalhas de ferro, colocadas próximas a uma barra
imantada. Diferente das linhas de campo elétrico que iniciam em cargas
positivas e terminam em cargas negativas, as linhas de campo magnético
formam caminhos fechados.
149
Fluxo Magnético
O fato das linhas de campo magnetico se iniciarem ou sairem do
polo norte e entrarem no polo sul do magneto, e dentro do magneto,
seguirem do polo sul para o polo norte, formando um caminho fechado,
resultará em fluxo de campo magnético nulo através de uma superfície
fechada que envolva o magneto. Formalmente podemos anunciar este
resultado como
, · 0 8.5
Esta é a lei de Gauss para o magnetismo. É o enunciado matemático que
não existem pontos no espaço dos quais linhas de campo magnético
divergem ou saem, ou para os quais convergem ou entram. Isto é, não
existem polos magnéticos isolados. A unidade fundamental do
magnetismo é o dipolo magnético.
8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo magnético
uniforme
A força magnética sobre uma partícula carregada movendo
através de um campo magnético é sempre perpendicular à velocidade
da partícula. A força magnética dessa forma muda a direção da
velocidade, mas não seu módulo. Portanto, campos magnéticos não
realizam trabalho sobre as partículas e não alteram suas energias
cinéticas.
No caso especial onde a velocidade da partícula é perpendicular a
um campo uniforme, como mostra a Figura 8.5, a partícula move‐se em
uma orbita circular. A força magnética fornece a força centripeta
necessária para a aceleração centripeta / no movimento circular.
Podemos usar a segunda lei de Newton para relacionar o raio do circulo
ao campo magnético e o módulo da velocidade da partícula. Se a
velocidade é , o modulo da força resultante é , uva vez que e
são perpendiculares. Da segunda lei de Newton segue que
150
Figura 8.5 Quando a velocidade de uma partícula carregada é perpendicular a um campo magnético uniforme, a partícula move‐se em um caminho circular em um plano perpendicular a . A força magnética agindo sobre a carga é sempre dirigida para o centro do circulo.
Exemplo resolvido
8.6
8.7
ou
8.8
O período do movimento circular é o tempo que a partícula toma
percorrer uma única vez a trajetoria circular. O período está relacionado
à velocidade pela expressão
2 8.9
Um proton de massa 1,67 10 e carga 1,6
10 move‐se em um circulo de raio de 21 cm peprendicular a um
campo magnético 4000 . Determine (a) o período do movimento
e (b) a velocidade do proton.
151
Solução
(a) Das Equações (8.8) e (8.9) segue que o período do movimento é dado
por
2
Com 0,4 obtem‐se o valor numerico
2 1,67 10 1,6 10 0,4
1,64 10
(b) Calculamos a velocidade da Equação (8.8)
0,21 1,6 10 0,4 1,67 10
8,05 10 /
O raio do movimento circular é proporcional ao modulo da velcidade,
mas o período é independente de ambos a velocidade e raio.
8.4 Aplicações envolvendo movimento de particulas carregadas na
presença de campo magnético.
Uma carga movendo‐se com uma velocidade na presença de
ambos, o campo elétrico e o campo magnetico , experimenta tanto a
força elétrica quanto a força magnetica . A força total
(chamada força de Lorentz) agindo sobre a carga é
8.10
Em muitos experimentos envolvendo o movimento de particulas
carregadas, é importante que as particulas se movam com a mesma
velocidade. Isto pode ser obtido aplicando uma comibinação de um
campo elétrico e um campo magnético como mostrado na Figura 8.6.
Um acmpo elétrico uniforme dirigido verticalmente para baixo (no plano
da página), e um campo magético uniforme é aplicado na direção
perpendicular ao campo elétrico (entrando na pagina da Figura 8.6).
Para uma carga positiva, a força magnética apontando para
152
Figura 8.6 (a) Um seletor de velocidades. Quando uma partícula carregada positivamente está presença de um campo magnético dirigido para dentro da página e um campo elétrico dirigido para baixo, ela experimenta uma força elétrica para baixo e uma força magnética para cima . (b) Quando estas forças se igualam, a partícula move‐se em uma linha reta horizontal através dos campos.
cima e a força elétrica está apontando para baixo. Quando os
modulos dos dois campos são escolhidos de modo que , a
partícula move‐se em linha reta horizontal através das região dos
campos. Da expressão segue que
8.11
Apenas aquelas partículas tendo velocidade passam sem sofrer
deflexão através dos campos elétrico e magnético. A força magnética
exercida sobre as partículas movendo com velocidades maiores que esta
é maior que a força elétrica, e as partículas são defletidas para cima.
Aquelas movendo‐se com velocidades menores serão defletidas para
baixo.
Um espectrometro de massa separa os íons de acordo com as suas
razões massa‐carga. A partícula entra numa região onde ocorre a
seleção da velocidade da partícula, onde se move em linha reta. Em
seguida, passando através de uma fenda escavada num anteparo,
penetra numa região com a presença apenas de um campo magnético
, passando a descrever uma orbita circular. Da Equação (8.8) tiramos
que
8.12
Usando (8.11) tiramos que
153
Figura 8.7 Um segmento de fio portando corrente está localizado em um campo magnético . A força magnética exercida sobre cada carga formando a corrente é , e a força total sobre o segmento de comprimento será .
8.13
Portanto podemos medir a razão / medindo o raio da curvatura da
trajetoria da partícula e conhecendo os módulos dos campos , e .
8.5 A Força magnética agindo sobre um condutor portando corrente
elétrica
Quando um fio porta uma corrente na presença de um campo
magnético, existe uma força sobre o fio que é igual à soma das forças
magnéticas sobre as partículas carregadas cujo movimento produz a
corrente. A Figura 8.7 mostra um curto segmento do fio de secção reta
e comprimento portando uma corrente . Se o fio está em um campo
magnético , a força magnética sobre cada carga é , onde é
a velocidade de arraste dos portadores de carga, que é o mesmo que
suas velocidades médias. O número de cargas no segmento de fio é o
número por unidade de volume vezes o volume . Assim, a força
total sobre o segmento de fio de comprimento é
8.14
Podemos escrever a Equação (8.14) em uma forma mais conveniente
observando que, (veja Equação 6.6). Portanto
8.15
154
Figura 8.8 Um segmento de fio de forma arbitraria portando uma corrente I em um campo magnético experimenta uma força magnética. A força sobre qualquer segmento é e está direcionado para fora da página. Use a regra da mão direita para confirmar esta direção de força.
onde é um vetor que aponta na direção da corrente e possui módulo
igual ao comprimento do segmento. Observe que esta expressão
aplica‐se apenas a um segmento reto de fio em um campo magnético
uniforme.
Agora considere um segmento de fio de forma arbitrária e seção
reta uniforme estando na presença de um campo magnético, como
mostrado na Figura 8.8. Segue da Equação (8.15) que a força magnética
exercida sobre um pequeno segmento de fio na presença do campo
é
8.16
onde está dirigida para fora da página considerando as direções
assumidas na Figura 8.8. Podemos considerar a Equação (8.16) como
uma equação alternativa para definir .
Para calcular a força total agindo sobre o fio mostrado na
Figura 8.8, integramos a Equação (8.16) sobre o comprimento do fio:
8.17
onde a e b representam os pontos extremos do fio.Quando esta
integração é executada o modulo do campo magnético e a direção que o
campo faz com o vetor (em outras palavras, com a orientação do
elemento de fio) pode diferir em pontos diferentes.
155
Figura 8.9 (a) Um fio curvo portando corrente em campo magnético uniforme. A força magnética total sobre o fio é equivalente à força sobre um fio reto de comprimento ligando as extremidades do fio. (b) Uma espira de corrente de forma arbitrária em um campo magnético uniforme. A força magnética total sobre a espira é zero.
Agora considere dois casos importantes em que o campo
magnético na Equação (8.17) é constante.
No primeiro caso temos um fio curvo portando uma corrente e
localizado em um campo , como mostrado na Figura 8.9 (a). Neste caso
a Equação (8.17) pode ser escrita como
8.18
uma vez que o campo é constante. A quantidade representa a
soma vetorial de todos os segmentos entre o extremo até o
extremo , equivalendo ao vetor . Portanto a Equação (8.18) reduz‐se
a
8.19
No segundo caso temos uma espira fechada, de forma arbitrária,
portando uma corrente , colocada em um campo magnético , como
mostrado na Figura 8.9 (b). Novamente podemos proceder como no
primeiro caso, reescrevendo a Equação (8.17) como
8.20
Como os elementos de comprimento que compõem a espira formam um
polígono fechado a soma vetorial destes na Equação (8.20) é nula. Assim
156
EXEMPLO RESOLVIDO
Figura 8.10 A força total agindo sobre uma espira de corrente fechada em um campo magnético uniforme é zero. Na montagem mostrada acima, a força sobre a porção reta da espira é 2 e dirigida para fora da página, e a força sobre a porção curva é 2 dirigida para dentro da página
0. A força magnética total agindo sobre qualquer espira de
corrente fechada em um campo uniforme é zero.
Um fio curvado como um semicírculo de raio forma um circuito
fechado e porta uma corrente . O fio está no plano , e um campo
magnético está dirigido ao longo do eixo positivo , como mostra a
Figura 8.10. Determine o modulo e direção da força magnética agindo
sobre uma porção reta do fio e sobre a porção curva.
SOLUÇÃO
A força agindo sobre a porção reta tem uma magnitude
2 porque 2 e o fio está orientado perpendicular a
. A direção de é para fora da página porque está ao longo do
eixo positivo. (Isto é, está apontando para a direita, na direção da
corrente; assim, de acordo com a regra do produto vetorial,
aponta para fora da pagina na Figura 8.10).
Para determinar a força agindo sobre a parte curva, primeiro
escrevemos uma expressão para a força sobre o elemento de
157
Figura 8.11 Qual dos fios experimenta a maior força magnética?
comprimento mostrado na Figura 8.10. Se é o ângulo entre e ,
então o módulo de é
sen
Para integrar esta expressão, devemos expressar em termos de
. Porque , temos , e podemos fazer esta substituição
para :
sen
Para obter a força total agindo sobre a porção curva, podemos
integrar esta expressão para levar em consideração as contribuições de
todos os elementos . A direção da força sobre qualquer elemento é a
mesma: entrando na página. Portanto, a força resultante sobre a
porção curva do fio deve também estar entrando na pagina. Integrando
nossa expressão para sobre os limites 0 a (isto é,
semicírculo inteiro) fornece
sen – cos
cos cos 0 2
Porque , com o módulo de 2 , está dirigido para dentro da pagina e
porque , com modulo de 2IRB, está dirigido para fora da pagina, a
força resultante sobre a espira fechada é zero. Este resultado está
consistente com o caso discutido anteriormente.
Exercício Os quatro fios mostrados na Figura 8.11 todos portam a
mesma corrente do ponto ao ponto através do mesmo campo
magnético. Ordene os fios de acordo com o modulo da força magnética
exercida sobre eles, do maior para o menor.
158
Figura 8.12 (a) A orientação de uma espira é descrita pelo vetor unitário perpendicular ao plano da espira (b) A regra da mão direita para determinar o sentido de . Quando os dedos da mão direita são encurvados em torno da espira na direção da corrente, o polegar aponta na direção de . (c) Espira de corrente retangular cujo vetor unitário normal faz um ângulo com um campo magnético uniforme . O torque sobre a espira tem módulo
sen e está na direção tal que tende a rotacionar em direção a .
8.5 Torque sobre uma espira de corrente em um campo magnético
uniforme
Uma espira fechada portando corrente está sujeita a uma força
resultante nula quando na presença de um campo uniforme, mas está
sujeita a um torque que tende a oscilar em torno de um eixo. A
orientação da espira pode ser descrita convenientemente por um vetor
unitário que é perpendicular ao plano da espira, como mostrado na
Figura 8.12.
A Figura 12(c) mostra as forças exercidas por um campo
magnético uniforme sobre uma espira retangular cujo vetor unitário
normal faz um ângulo com o campo magnético . A força total sobre
a espira é nula. As forças e têm modulo
8.21
Estas forças formam um binário de modo que o torque é o mesmo em
torno de qualquer ponto. O ponto P na Figura 12 (c) é um ponto
conveniente em torno do qual calcular o torque. O modulo do torque é
sen sen sen 8.22
159
Exemplo resolvido
onde é a área da espira. Para uma espira com voltas o torque
tem modulo igual a
sen 8.23
Este torque tende a girar a espira desde que seu plano esteja
perpendicular a
Definindo
8.24
como o momento de dipolo magnético (também referido simplesmente
como momento magnético)o torque pode ser escrito como
8.25
A unidade SI de momento magnético é o ( ).
A Equação (8.25), deduzida para uma espira fechada retangular,
vale em geral para uma espira plana de forma qualquer. O torque sobre
qualquer espira é o produto vetorial do momento magnético da espira
e o campo magnético , onde o momento magnético é definido para ser
um vetor que é perpendicular à área da espira e tem modulo igual a
.
Um bobina circular com raio de 2 possui 10 de fio e porta um
corrente de 3 ; O eixo da bobina faz um ângulo de 30 com um campo
magnético de 8000 . Determine o modulo do torque sobre a bobina.
Solução
O modulo do torque é dado pela Equação (8.25)
sen sen 30
Agora o módulo do momento magnético da bobina é
10 3 0,02 3,77 10
Assim o modulo do torque é
sen 3,77 10 · 0,8 sin 30
160
Figura 8.13
Exemplo resolvido
1,51 10 ·
Uma espira circular de raio , massa e corrente está sobre uma
superfície rugosa. Veja a Figura 8.13 (a). Existe um campo magnético
horizontal . Quão grande pode ser a corrente antes que uma borda
da espira levante da superfície?
Solução
A espira começa a levantar quando o torque magnético iguala‐se ao
torque gravitacional (Figura 8.13 (b).
O torque magnético agindo sobre a espira:
O torque gravitacional exercido sobre a espira é
Igualando os torques e resolvendo para , a corrente, obtemos
Quando um torque é exercido através de um ângulo, trabalho é
realizado. Quando um dipolo é girado através de um ângulo , o
trabalho realizado é
sen 8.26
161
Figura 8.14
Exemplo Resolvido
O sinal menos aparece porque o torque tende a diminuir . Igualando
este trabalho ao decrescimo da energia potencial, teremos
sen 8.27
Integrando, obtemos
cos · 8.28
Esta é a expressão da energia potencial de um dipolo magnético fazendo
um ângulo com um campo magnético .
Um espira quadrada com 12 com lados de 40 porta
uma corrente de 3 . Ela está no plano , como mostrado na Figura
8.14, imerso em um campo uniforme 0,3 0,4 . Determine
(a) O momento magnético das espira e (b) o torque exercido sobre a
espira. (c) Determine a energia potencial da espira.
Solução
Da Figura 8.14 vemos que o momento magnetico da espira está
apontando na direção de positivo.
(a) O cálculo do momento magnéticoda espira, usando a Equação (8.24),
fornece
12 3 0,40
5,76 ·
162
(b) O calculo do torque sobre a espira de corrente, usando a Equação
(8.25) fornece
5,76 · · 0,3 0,4 1.73 ·
(c) A energia potencial, de acordo com a Equação (8.28) é o negativo do
produto interno de e :
· 5,76 · · 0,3 0,4 2,30
Nos cálculos acima usamos que 0 e , · 0 e
· 1
Exercício Calcule se a espira gira de modo que esteja alinhado
com .
Quando um pequeno magneto permanente tal como a agulha de uma
bussola é colocado em um campo magnético , o campo exerce um
torque sobre o magneto que tende a girar o magneto de modo que
alinhe com o campo. Este efeito também ocorre com limalhas de ferro
não magnetizadas previamente, que torna‐se magnetizada na presença
de um campo . A barra do magneto é caracterizada por um momento
magnético que aponta do polo sul para o polo norte. Uma barra
magnetica pequena assim comporta‐se como uma espira de corrente. A
origem do momento magnético de uma barra magnética é, de fato,
espiras microscópicas de correntes que resultam do movimento de
elétrons nos átomos do magneto.
QUESTÕES
Q1 Em um dado instante, um próton move‐se na direção positiva em
uma região onde um campo magnético está dirigido na direção de
negativo. Qual é a direção da força magnética? O próton continua a se
mover na direção de positivo? Explique.
Q2 Duas partículas carregadas são projetadas em uma região onde um
campo magnético é dirigido perpendicular às suas velocidades. Se as
163
cargas são defletidas em direções opostas, o que pode ser dito sobre
elas?
Q3 Se uma partícula carregada move‐se em linha reta através de alguma
região do espaço, podemos dizer que o campo magnético naquela
região é zero?
Q4 Suponha que um elétron está perseguindo um próton acima da
pagina quando subitamente um campo magnético perpendicular
entrando na pagina é ligado. O que acontece às partículas?
Q5 Como pode o movimento de uma partícula carregada em movimento
ser usado para distinguir entre um campo magnético e um campo
elétrico? Dê um exemplo específico para justificar seu argumento.
Q6 Liste várias similaridades e diferenças entre forças magnéticas e
elétricas.
Q7 Justifique a seguinte declaração: ”É impossível para um campo
magnético constante (em outras palavras, independente do tempo)
alterar a velocidade de uma partícula carregada”.
Q8 Em vista da afirmativa anterior (Q7), qual é o papel de um campo
magnético em um cíclotron?
Q9 Um condutor portando corrente experimenta nenhuma força
magnética quando colocado de certa maneira em um campo magnético
uniforme. Explique.
Q10 É possível orientar uma espira de corrente em um campo
magnético uniforme tal que a espira não tenha a tendencia de girar?
Explique.
Q11 Como pode uma espira de corrente ser usada para determinar a
presença de um campo magnético em uma dada região do espaço?
Q12 Qual é a força resultante agindo sobre a agulha de uma bussola em
um campo magnetico uniforme?
Q13 Que tipo de campo magnético é exigido para exercer uma força
resultante sobre um dipolo magnético? Qual é a direção da força
resultante?
164
Figura 8.15
Figura 8.16
Q14 Um proton movendo‐se
horizontalmente entra em uma região
onde um campo magnético uniforme
está dirigido perpendicularmente à
velocidade do proton, como mostrado
na Figura 8.15. Descreva o movimento
subsequente do proton. Como um
elétron se comportaria sob as mesmas
circunstancias?
Q15 Em uma garrafa magnética, o que leva a direção da velocidade das
partículas confinadas a inverterem‐se (Sugestão: Determine a direção da
força magnética agindo sobre as partículas em uma região onde as
linhas de campo convergem.)
PROBLEMAS
P1 Compare as direções do campo elétrico e
forças magnéticas entre duas cargas positivas,
que se movem ao longo de caminhos paralelos
(a) na mesma direção, e (b) em direções
opostas.
P2 Determine a direção inicial da deflexão de
partículas carregadas quando elas entram em
campos magnéticos, como mostrado na Figura
8.16
P3 Considere um elétron próximo a superfície do equador Terrestre. Em
que direção ele tende a ser defletido se sua velocidade está dirigida (a)
para baixo, (b) para o norte, (c) para o oeste, ou (d) para o sudeste?
P4 Um elétron movendo‐se ao longo do eixo positivo perpendicular a
um campo magnético experimenta uma deflexão magnética na direção
de negativo. Qual é a direção do campo magnético?
P5 Um próton desloca‐se com uma velocidade de 3,00 10 /
fazendo um ângulo de 37,0 com a direção de um campo magnético de
165
0,300 na direção . Quais são (a) o modulo da força magnética sobre
o próton e (b) sua aceleração?
P6 Um próton move‐se em uma direção perpendicular a um campo
magnético uniforme a 1,00 10 / e experimenta uma aceleração
de 2,00 10 / na direção . Determine o modulo e direção do
campo.
P7 Um próton move‐se com uma velocidade 2 4 / em
uma região em que o campo magnético é 2 3 . Qual é o
modulo da força magnética que esta carga experimenta?
P8 Um elétron é projetado em um campo magnético uniforme
1,40 2,10 . Determine a expressão vetorial para aforça sobre
o elétron quando sua velocidade é 3,70 10 / .
P9 Um fio tendo uma massa por unidade de comprimento de 0,500 /
porta uma corrente de 2,00 horizontalmente para o sul. Quais são
a direção e módulo do campo magnético minimo necessario para
levantar este fio verticalmente para cima?
P10 Um fio porta uma corrente estacionária de 2,40 . Uma porção reta
do fio tem comprimento de 0,750 e está ao longo do eixo dentro de
um campo magnetico uniforme 1,60 na direção positiva. Se a
corrente está na direção , qual é a força magnética sobre esta porção
do fio?
P11 Um fio de 2,80 de comprimento porta uma corrente de 5,00
em uma região onde um campo magnético uniforme possui módulo de
0,390 . Calcule o modulo da força magnética sobre o fio se o ângulo
entre o campo magnético e a corrente é (a) é 60,0 , (b) 90,0 , (c) 120 .
P12 Uma pequena barra magnética está suspensa em um campo
magnético uniforme de 0,250 . O torque máximo experimentado pela
barra magnética é 4,60 10 · . Calcule o momento magnético da
barra.
166
Figura 8.17
P13 Uma espira retangular consiste de 100
voltas densamente empacotadas com dimensões
0,400 e 0,300 . A espira está
alinhada ao longo do eixo , e seu plano faz um
ângulo 30 com o eixo , como mostrado na
Figura 8.17. Qual é o modulo do torque exercido
sobre a espira por um campo magnético uniforme
0,800 dirigido ao longo do eixo quando a
corrente é 1,20 na direção mostrada? Qual é
a direção esperada de rotação da espira?
P14 Um elétron colide elasticamente com um segundo elétron
inicialmente em repouso. Após a colisão, o raio de suas trajetórias são
1,00 e 2,40 . As trajetórias são perpendiculares a um campo
magnético uniforme de modulo 0,044 . Determine a energia (em )
do elétron incidente.
P15 Um próton movendo‐se em um caminho circular perpendicular a
um campo magnético toma 1,00 para completar uma revolução.
Determine o modulo do campo magnético.
BIBLIOGRAFIA
TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth edition, Freeman, New York, 2008.
HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004
HALLIDAY D., RESNICK R., KRANE S., Física vol. 3, LTC, Rio de Janeiro, 2000
HEWITT P, Física Conceitual, Longman, 9ª edição, Rio Grande do Sul, 200x
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de Janeiro, 200X
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, John Wiley, New York, 2004.
YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson, São Paulo, 2008.
167
CAPÍTULO 9 A LEI DE AMPÈRE
RESUMO
Nesta unidade apresentaremos o análogo do lei de Coulomb e
da lei de Gauss para o magnetismo que são as leis de Biot – Savart e Leis
de Ampère, enfatizando as dificuldades e facilidades de cálculo do
campo magnético quando o sistema apresenta um maior ou menor
simetria na sua geometria.
168
9 A LEI DE AMPÈRE
9.1 Lei de Biot – Savart 168
9.2 Lei de Ampère 173
9.3 A lei de Ampère e os solenóides 176
Questões 178
Problemas 179
Bibliografia 181
169
Em situações em que as distribuições de carga são altamente
simétricas, o calculo do campo elétrico torna‐se muito mais facil usando
a lei de Gauss do que a lei de Coulomb. Uma situação similar existe em
magnetismo. Vamos calcular o campo magnetico gerado na vizinhança
de um fio condutor longo e reto portando uma corrente , através de
integração direta (lei de Biot – Savart) e explorando a simetria da
distribuição de corrente (lei de Ampère)
9.1 Lei de Biot – Savart
Quando uma carga puntual move‐se com velocidade , ela
produz um campo magnético no espaço dado por
4 9.1
é um vetor unitário que aponta da carga para o ponto P onde
estamos medindo o campo e é uma constante de poporcionalidade
chamada a permeabilidade do espaço livre2, que tem o valor
4 10 / 4 10 / 9.2
As unidades de são tais que está em Tesla quando está em
Coulombs, em metros por segundo, e está em metros. A unidade
/ vem do fato que 1 1 / · . A constante 1/4 é
arbitrariamente incluida na Equação (9.2) de modo que o fator 4 não
aparecerá na lei de Ampère, a ser discutida na próxima seção.
Na Equação (9.1) trocando por , obtemos o campo
magnético gerado pelo elemento de corrente no ponto é dado pela
expressão
4 9.3
2 Devemos tomar cuidado para não confundir a constante com o momento magnético .
170
Figura 9.1 (a) O campo magnético no ponto devido a corrente fluindo através do elemento de comprimento é dado pela lei de Biot – Savart. A direção do campo está saindo da página em e entrando na página em ’. (b) O produto vetorial aponta para fora da página quando aponta em direção a . (c) O produto vetorial aponta para dentro da página quando aponta em direção .
Exemplo resolvido
Veja Figura 9.1 para detalhes sobre a geometria do problema. A
Equação (9.3) é conhecida como a lei de Biot – Savart que é para o
magnetismo, o mesmo que a lei de Coulomb é para a eletrostática.
O campo magnético total , criada em algum ponto por uma
corrente de tamanho finito, é determinado somando as constribuições
de todos os elementos de corrente que formam a corrente.
Integrando a Equação (9.3) obtemos
4 9.4
com a integração sendo realizada sobre toda a distribuição de corrente.
Para ilustrar os cuidados no manuseio da integral na Equação
(9.4), uma vez que o seu integrando envolve um produto vetorial, vamos
apresentar o Exemplo resolvido abaixo.
Considere um fio fino, reto portando uma corrente constante e
colocado ao longo do eixo como mostrado na Figura 9.2. Determine o
módulo e direção do campo magnético no ponto devido a esta
corrente.
171
Figura 9.2 (a) Fio fino, reto, transportando uma corrente . O campo magnético no ponto devido à corrente em cada elemento do fio aponta para fora da pagina, de modo que o campo total no ponto está também apontando para fora da pagina. (b) Os angulos e , são usados para determinar o campo total. Quando o fio é infinitamente longo, 0 e
180 .
Solução
A direção do campo magnético no ponto P devido a corrente no
elemento de comprimento está apontando para fora da página
porque aponta para fora da página. De fato, uma vez que todos
os elementos de corrente estão no plano da página, eles todos
produzem um campo magnético dirigido para fora da pagina no ponto P.
Assim, temos a direção do campo magnético no ponto , precisamos
agora apenas determinar o módulo do campo.
Tomando a origem em e fazendo o ponto P está ao longo do
eixo positivo, com sendo o vetor unitario apontando para fora da
pagina, vemos que
sen
onde representa o módulo de . Como é um vetor
unitario, a unidade do produto vetorial é simplesmente a unidade de ,
que é o comprimento. A substituição da expressão acima na Equação
(9.4) resulta em
4sen
9.5
Para resolver esta integral devemos relacionar as variáveis , e . Da
geometria do problema tiramos que
172
Figura 9.3 O campo magnético em devido a corrente no segmento curvo está entrando na pagina. A contribuição para o campo em devido à corrente nos dois segmentos retos é zero.
sencsc 9.6
Porque tan / para o triangulo da direita na Figura 9.2 (a) (o
sinal neativo é necessário porque está localizada em um valor
negativo de ), temos
cot 9.7
Tomando a derivada desta expressão obtemos
csc 9.8
Substituindo os resultados (9.6) e (9.8) na Equação (9.5) ficamos com
4csc sin
csc 4sin
4cos cos 9.9
Para o caso especial em que tomamos um fio infinitamente longo (veja a
Figura 9.2 (b) para um melhor entendimento), temos que 0 e
para a soma de elementos de comprimento entre as posições
∞ e ∞. Como cos cos cos 0 cos 2, a
Equação (9.9) torna‐se
2 9.10
Vemos deste resultado que o módulo de é proporcional ao módulo da
corrente e decresce com o aumento da distância ao fio
Exercício Calcule o módulo do
campo magnético a 4,0
de um fio infinitamente
longo, reto e portando uma
corrente de 4,0 .
Resposta 2,5 10
Exercício Calcule o campo
magnético no ponto para o
segmento de fio portando
173
Figura 9.4 Geometria para calcular o campo magnético em estando sobre o eixo de uma espira de corrente. Por simetria, o
campo total está ao longo do eixo.
corrente mostrado na Figura 9.3. O fio coniste de duas porções retas e
um arco circular de raio , que subtende um ângulo . As setas sobre o
fio indicam a direção da corrente
Resposta / 4 é entra na página
Exercício Uma espira circular de raio formada por um fio porta uma
corrente . Qual é o módulo do campo magnético no seu centro?
Resposta /2
Exercício Considere um espira circular de raio formada por um fio,
localizada no plano e portando uma corrente estacionária , como
mostrado na Figura 9.4. Calcule o campo magnético em um ponto axial P
a uma distância x do centro da espira
Resposta em 0
Do Exemplo resolvido vemos que o campo magnético, na
vizinhança de um fio infinitamente longo e portando uma corrente ,
possui o mesmo valor para pontos equidistantes do fio e com a direção
sempre tagente ao circulo que envolve o fio, como mostra a Figura 9.5.
O sentido do campo em torno do fio é indicado pela direção da
ponta dos dedos da mão direita envolvendo o fio, com o polegar
174
Figura 9.5 A regra da mão direita para determinar a direção do campo magnético em torno de um fio longo, reto e portando uma corrente . As linhas do campo magnético formam círculos em torno do fio.
apontado no sentido da corrente. Vamos agora apresentar um método
que explora a simetria apresentada na Figura 9.5.
9.2 Lei de Ampère
A lei de Ampère, que relaciona a componente tangencial de
somada em torno de uma curva fechada , à corrente que passa
através da curva, pode ser usada para obter uma expressão para o
campo magnético em situações que tenha um alto grau de simetria. Na
forma matemática, o enunciado da lei de Ampère é
· , é 9.11
onde é a corrente total que atravessa a área limitada pela curva . A
lei de Ampère vale para qualquer curva fechada desde que as
correntes sejam continuas, isto é, elas não iniciem ou finalizem em
algum ponto finito. A lei de Gauss e a lei de Ampère são ambas de
considerável importancia teorica, e ambas valem se existe ou não
simetria, mas se não existe simetria, nem é util para calcular o campo
elétrico ou o campo magnetico.
A aplicação mais simples da lei de Ampère é para determinar o
campo magnético produzido por um fio infinitamente longo, reto,
portando uma corrente, como mostrado na Figura 9.5. Na Figura 9.5
observamos uma curva circular em torno de um ponto sobre um fio
175
Figura 9.6 Um fio longo de raio portando uma corrente estacionária distribuída uniformemente através da seção reta do fio. O campo magnético em qualquer ponto pode ser calculado usando a lei de Ampère traçando um caminho circular de raio , concêntrico com o fio.
Exemplo Resolvido
longo com seu centro no fio. Considerando que estamos longe das
extremidades do fio, podemos usar a simetria para rejeitar a
possibilidade de qualquer componente de paralela ao fio. Podemos
então supor que o campo magnético é tangente a este circulo e possui o
mesmo modulo em qualquer ponto sobre o circulo. A lei de Ampère
então dá
·
Colocamos fora da integral porque ele possui o mesmo valor em
qualquer ponto sobre o circulo. A integral de em torno do circulo
iguala a 2 , a circunferencia do circulo. A corrente é a corrente no
fio. Assim obtem‐se, fazendo ,
2
Ou seja, resolvendo para
2 42 9.12
Este é o mesmo resultado da Equação (9.10), obtido através da
integração direta da lei de Biot – Savart, sem recorrer as propriedades
de simetria do problema.
Um fio longo, reto de raio portando uma corrente que está
uniformemente distribuída sobre a área seccional reta do fio. Determine
o campo tanto fora ( ) quanto dentro ( ) do fio.
176
Solução
Podemos usar a lei de Ampère para calcular devido o alto grau de
simetria. A uma distância , veja Figura 9.6, sabemos que é tangente
ao circulo de raio em torno do fio e constante em modulo em toda
parte a mesma distância em torno do circulo. A corrente através de
depende se é menor que ou maior que o raio do fio .
Aplicando a lei de Ampère a um circulo de raio obtemos
· 2
Resolvendo para obtemos
2 9.13
Fora do fio, , a corrente que flui através da área seccional do
circulo é a corrente total, isto é, . Assim o valor do campo é
2 9.14
Dentro do fio, , a corrente fluindo através de é ( / ) vezes
a corrente total , isto é,
9.15
Assim o campo magnético de (9.15) e (.13) possui módulo igual a
2 21
2 9.16
Vemos deste Exemplo resolvido que o campo magnético devido a uma
corrente uniformemente distribuída sobre um fio de raio é dado por
2,
2,
9.17
Observamos da Equação (9.17) que dentro do fio o campo aumenta com
a distância ao centro do fio e que fora do mesmo, como já observado
177
Figura 9.7. Módulo do Campo magnético em função do raio para o fio mostrado na Figura 9.6. O campo é proporcional a dentro do fio e varia como 1/ fora do fio.
Figura 9.8 Desenho esquemático de um solenóide formado por espira densamente empacotadas em torno de um núcleo, mostrando as linhas de campo magnético
anteriormente, decresce com a distância ao centro do fio. Estas
conclusões estão ilustradas graficamente na Figura 9.7.
9.3 A lei de Ampère e os solenóides
Vamos aplicar a lei de Ampère para calcular o campo magnético
em um solenóide. Um solenóide consiste de espiras de fios enroladas
muito próximo uma das outras em torno de um núcleo como mostrado
na Figura 9.8. Vamos supor que existam voltas de fio, cada portando
uma corrente . Queremos determinar o módulo do campo gerado
por esta distribuição de corrente.
Para calcular o campo , calculamos a integral de linha ·
em torno de um caminho circular de raio centrado na metade do
178
Figura 9.9 Visão da seção reta de um solenóide ideal, onde o campo magnético no seu interior é uniforme e o campo magnético externo é nulo. A lei de Ampère aplicada ao caminho tracejado 1234 pode ser usada para calcular o módulo do campo no interior.
toróide. Por simetria, é tangente a este circulo e constante em módulo
em qualquer ponto sobre o circulo. Observamos da Figura 9.8 que o
campo, devido a cada volta, é reforçado no interior do solenóide à
medida que aumenta o número de espiras e estas vão se tornando cada
vez mais unidas. Os campos apontam cada vez mais na mesma direção.
No exterior acontece o inverso, o campo vai enfraquecendo à medida
que aumenta o número de voltas e as espiras vão se adensando. O
campo devido a uma espira aponta em sentido contrário ao campo
produzido pela espira vizinha. No solenóide ideal, cuja porção é
mostrada na Figura 9.9, o campo no interior do solenóide, para pontos
longe das extremidades do mesmo, é uniforme e paralelo ao eixo do
solenóide e é zero para pontos fora do solenóide.
Vamos então aplicar a lei de Ampère ao caminho tracejado 1234
mostrado na Figura 9.9.
· · · · ·
0 0 · 0 9.18
onde é a corrente atravessando a seção reta de área , percorrendo
as voltas do fio portando a corrente . A corrente total atravessando
esta seção reta é portanto
9.19
179
Figura 9.10 A lei de Ampère vale para a curva fechada englobando a corrente na espira circular, mas não é útil para determinar , uma vez que não é constante ao longo da curva e também não é tangente.
Assim de (9.18) e (9.19) segue que o campo produzido pelo solenóide é
nulo para pontos fora do solenoide e igual a
é a densidade de espira por unidade de comprimento.
A lei de Ampère é útil para calcular o campo magnético apenas
quando existe um alto grau de simetria. Considere a espira de corrente
mostrada na figura 9.10. De acordo com a lei de Ampère, a integral de
linha ao longo do caminho , · é igual a 0 . Embora a lei de
Ampère seja válida para esta
curva, o campo magnético
não é constante ao longo de
qualquer curva que circunde
a corrente, nem é tangente a
quaisquer de tais curvas.
Assim, não existe simetria
suficiente nesta situação que
permita‐nos calcular
usando a lei de Ampère.
Questões
Q1 O Campo magnético é criado por uma espira de corrente uniforme?
Explique.
Q2 Uma corrente em um condutor produz um campo magnético que
pode ser calculado usando a lei de Biot – Savart. Porque corrente é
definida como a taxa de fluxo de carga, o que você pode concluir a
respeito do campo magnético produzido por cargas estacionárias?
Q3 Dois fios paralelos portam correntes em direções opostas. Descreva a
natureza do campo magnético criado pelos dois fios em pontos (a) entre
os fios e (b) foras dos fios, em um plano contendo‐os.
180
Q4 A lei de Ampère é valida para todos os caminhos fechados rodeando
um condutor? Por que não é util para calcular para todos de tais
caminhos?
Q5 Compare a lei de Ampère com a lei de Biot‐Savart. Qual é, de forma
geral, a mais util para cálculo de para um condutor portando
corrente?
Q6 Descreva as semelhanças entre a lei de Ampère em magnetismo e a
lei de Gaus em eletrostática.
Q7 Um tubo de cobre oco porta uma corrente ao longo do seu
comprimento. Porque 0 dentro do tubo? é não nulo fora do
tubo?
Q8 Por que é não nulo fora de um solenóide? Por que 0 fora de
um toroide? (Lembre‐se que as linhas de devem formar caminhos
fechados.)
Q9 Descreva a variação no campo magnético no interior de um
solenóide portando uma corrente estacionaria (a) se o comprimento
do solenóide é duplicado, mas o número de voltas permanece o mesmo
e (b) se o numero de voltas é duplicado, mas o comprimento permanece
o mesmo.
Q10 Uma espira condutora chata é posicionada em um campo
magnetico uniforme dirigido ao longo do eixo . Para que orientação da
espira é o fluxo, através dela, máximo? Mínimo?
Problemas
P1 Uma curva fechada abarca vários condutores. A integral de linha
· em torno desta curva é 3,83 10 · . (a) Qual é a corrente
total nos condutores? (b) Se você fosse integrar em torno da curva na
direção oposta, qual seria o valor da integral de linha? Explique.
181
Figura 9.11
P2 Um condutor solido com raio é suportado
por discos isolantes sobre o eixo de um tubo
condutor com raio interno e raio externo ,
como mostrado na Figura 9.11. O condutor
central e tubo portam correntes iguais em
direções opostas. As correntes são distribuídas
uniformemente sobre as seções retas de cada
condutor. Deduza a expressão para o modulo do
campo magnético (a) em pontos fora do
condutor solido central, mas dentro do tubo ( ) e (b) em
pontos fora do tubo ( )
P3 Um fio longo, reto, cilíndrico de raio porta uma corrente
uniformemente distribuída sobre sua seção reta. Em que local é o
campo magnético produzido por estas correntes igual a metade do seu
maior valor? Considere pontos dentro e fora do fio.
P4 A lei de Biot – Savart é semelhantes a lei de Coulomb em que ambas
(a) São leis do inverso do quadrado.
(b) Tratam com forças sobre partículas carregadas.
(c) Tratam com excesso de cargas.
(d) Incluem a permeabilidade do espaço livre.
(e) Não são de natureza elétrica.
P5 Um pequeno elemento de corrente , com 2 e 2 ,
está centrado na origem. Determine o campo magnético nos
seguintes pontos: (a) sobre o eixo em 3 , (b) sobre o eixo em
6 , (c) sobre o eixo em 3 , e (d) sobre o eixo em
3
P6 Para o elemento de corrente no problema P5 determine o modulo e
direção de em 0, 3 , 4 .
P7 Uma espira de corrente circular de raio portando corrente está
centrada na origem com seu eixo ao longo do eixo . Sua corrente é tal
que ela produz um campo magnético na direção positivo. (a)
Esquematize o gráfico de versus para pontos sobre o eixo . Inclua
tanto valores positivos quanto negativos de . Compare este Gráfico
182
Figura 9.12
Figura 9.13
com aquele para devido a um anel carregado do mesmo tamanho. (b)
Uma segunda espira de corrente idêntica portando uma corrente igual
no mesmo sentido, está em um plano paralelo ao plano com seu
centro em . Esquematize gráficos do campo magnético sobre o
eixo devido a cada espira separadamente e o campo resultante devido
as duas espirar. Mostre de seus esquemas que / é zero na
metade entre as duas espiras.
P8 Calcule o modulo do campo magnético em um ponto a 100 de
um condutor longo, fino portando uma corrente de 1,00 .
P8 Um condutor consiste de uma espira circular
de raio 0,100 e duas seções retas, longas,
como mostrado na Figura 9.12. O fio está no plano
do papel e porta uma corrente 7,00 .
Determine o modulo e direção do campo
magnético no centro da espira.
P9 Quatro condutores longos, paralelos portam
correntes iguais 5,00 . A figura 9.13 é uma
visão da extremidade dos condutores. A direção
da corrente é entrando na página nos pontos e
(indicados por cruzes) e saindo da pagina em
e (indicados por pontos). Calcule o modulo e
direção do campo magnético no ponto ,
localizado no centro do quadrado com um
comprimento de aresta de 0,200 .
P10 Um fio longo, reto está sobre uma mesa horizontal e porta uma
corrente de 1,20 . No vácuo, um próton move‐se paralelo ao fio
(oposto à corrente) com velocidade constante de 2,30 10 m/s a uma
distancia acima do fio. Determine o valor de . Você pode ignorar o
campo magnético devido a Terra.
BIBLIOGRAFIA
183
TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth
edition, Freeman, New York, 2008.
HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros
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YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson,
São Paulo, 2008.
184
CAPÍTULO 10 A LEI DE FARADAY
RESUMO
Nesta unidade apresentaremos um resultado importante para o
estudo do eletromagnetismo, que é a lei de Faraday. Esta lei explica o
funcionamento de diversos dispositivos eletrônicos do nosso uso diário,
tais como os motores elétricos, disco rígido de micro‐computadores. O
funcionamento de uma usina de geração de eletricidade, algo muito
fundamental na nossa sociedade, é baseado na lei de Faraday.
185
10 A LEI DE FARADAY
10.1 Introdução 185
10.2 O fluxo magnético 185
10.3 A lei de Lenz 188
Questões 194
Problemas 196
Bibliografia 200
186
9.1 Introdução
O que cata‐ventos, detectores de metal, gravadores de vídeo,
discos rígidos para computadores e os telefones celulares têm em
comum? Surpreendentemente, todas essas diferentes tecnologias
provêm de um único princípio científico: a indução eletromagnética. A
indução eletromagnética é o processo de geração de uma corrente
elétrica por meio da variação do campo magnético que atravessa o
circuito.
As muitas aplicações da indução eletromagnética fazem dela um
importante tópico de estudo. Mais fundamentalmente, a indução
eletromagnética estabelece um vínculo importante entre a eletricidade
e o magnetismo, uma ligação com implicações importantes para a
compreensão da luz como onda eletromagnética.
A indução eletromagnética é um tópico sofisticado, de modo que
vamos desenvolvê‐lo gradualmente. Primeiro, examinaremos os
diferentes aspectos da indução e nos familiarizaremos com suas
características básicas.
Os objetivos deste capítulo são adquirir habilidades (i) para
calcular o fluxo magnético e a corrente induzida por um campo
magnético variável e (ii) para usar a lei de Lenz e a lei de Faraday para
determinar o sentido a intensidade de correntes induzidas.
No final dos anos 1830, Michael Faraday na Inglaterra e Joseph
Henry na América descobriram independentemente que um campo
magnético variável induz uma corrente em um fio. A fem e correntes
criadas com a variação do campo magnético são chamadas fem’s
induzidas e correntes induzidas. O processo em si é conhecido como
indução magnética.
10.2 O fluxo magnético
O fluxo do campo magnético através de uma superfície é definido
de forma semelhante ao fluxo de um campo elétrico. Seja um
elemento de área sobre a superfície e o vetor unitário perpendicular
187
Figura 10.1
Figura 10.1 Uma espira condutora que engloba uma área A na presença
de um campo magnético uniforme . O ângulo entre e a normal à espira é .
ao elemento. Veja Figura 10.1 para detalhes da geometria do problema.
O fluxo magnético é definido como
· 10.1
A unidade de fluxo magnético é a unidade de campo magnético ( no
sistema SI) vezes a unidade de área ( no sistema SI), que chamado de
weber ( ):
1 1 1 10.2
Como é proporcional ao número de linhas de campo por unidade de
área, o fluxo magnético é proporcional ao numero de linhas através da
área.
Exercício Mostre que um weber por segundo é um volt.
Se a superfície é um plano com área , e é constante em
módulo e direção sobre a superfície e faz um ângulo com o vetor
unitário normal, o fluxo é
cos 10.3
188
Exercício resolvido
O fluxo através de uma bobina contendo várias voltas de fio, digamos
voltas, é N vezes o fluxo através de cada volta, isto é,
cos 10.4
Determine o fluxo magnético através de um solenóide com 40 de
comprimento, de raio igual a 2,5 , tendo 600 voltas, portando uma
corrente de 7,5 .
Solução
O campo magnético dentro do solenóide é uniforme e está ao longo do
eixo do solenóide. É, portanto, perpendicular ao plano da bobina. Assim
precisamos determinar o campo dentro do solenóide e então
multiplicado por .
O fluxo magnético é o produto do número de voltas, o campo
magnético, e a área da bobina
10.5
O campo magnético dentro do solenóide é dado por ,
onde / é o número de voltas por unidade de comprimento
10.6
A área de uma bobina de raio é
10.7
Substituindo (10.7) em (10.6) obtemos que o fluxo magnético através do
solenóide é
4 10 · / 600 7,5 0,025 /0,40
1,6610
189
Figura 10.2 (a) Quando um magneto é aproximado de uma espira de fio conectado a um galvanômetro, o galvanômetro deflete como mostrado, indicando que uma corrente é induzida na espira. (b) Quando o magneto está parado, não existe corrente induzida na espira, mesmo quando o magneto está dentro da espira. (c) Quando o magneto é afastado da espira, o galvanômetro deflete na direção oposta, indicando que a corrente induzida é oposta aquela mostrada na parte (a). Mudando a direção do movimento do magneto muda a direção da corrente induzida por aquele movimento.
10.3 Correntes induzidas e lei de Faraday
Os experimentos realizados por Faraday, Henry, e outros
mostraram que se o fluxo magnético, através de uma área limitada por
um circuito, é alterado de alguma forma, uma fem, igual em modulo a
taxa de variação do fluxo, é induzida no circuito. Usualmente
detectamos a fem observando uma corrente no circuito, mas ela está
presente mesmo quando o circuito está incompleto (aberto) e não existe
corrente. Anteriormente havíamos considerado fem que estavam
localizadas em uma parte especifica do circuito, tal como entre os
terminais da bateria. Contudo, fem’s induzidas podem ser consideradas
distribuídas através do circuito.
O fluxo magnético através de um circuito pode ser alterado de
muitos modos diferentes. A corrente produzindo o campo magnético
pode ser aumentada ou diminuída, magnetos permanentes podem ser
movidos em direção ao circuito ou afastados dele, o circuito em si pode
ser movido para perto ou para longe da fonte do fluxo, a orientação do
circuito pode alterada, ou a área do circuito em um campo magnético
190
Exemplo resolvido
fixo pode ser aumentada ou diminuída. Em qualquer caso, uma fem é
induzida no circuito que é igual em modulo a taxa de variação do fluxo
magnético.
A Figura 10.2 mostra uma bobina simples de uma volta em um
campo magnético gerado por um magneto que ora é aproximado (Figura
10.2 (a)), ora permanece constante (Figura 10.2 (b)), ou ora é afastado
(Figura 10.2 (c)). Como mencionado acima, se o fluxo está variando, uma
fem é induzida na espira. Uma vez que a fem é o trabalho feito por
unidade de carga, deve existir uma força exercida sobre a carga
associada com a fem. A força por unidade de carga é o campo elétrico ,
que neste caso é induzida pela variação do fluxo. A integral de linha do
campo elétrico em torno do circuito completo é igual ao trabalho feito
por unidade de carga, que, por definição, é a fem no circuito
· 10.8
O campo elétrico que estudamos anteriormente resultou de
cargas eletrostáticas. Estes campos são conservativos, significando que o
trabalho realizado pelo campo eletrostático em torno de um caminho
fechado é zero. O campo elétrico resultando da variação do fluxo
magnético não é conservativo. Sua integral de linha em torno de uma
curva fechada é igual a fem induzida, que é igual a taxa de variação do
fluxo magnético:
· 10.8
Este resultado é conhecido como a lei de Faraday. O sinal negativo
na lei de Faraday tem a ver com a direção da fem induzida, a ser
discutida mais a frente.
Um campo magnetico uniforme faz um angulo de 30 com o eixo de
uma espira circular de 300 voltas e um raio de 4 . O campo varia a
uma taxa de 85 / . Determine o modulo da fem induzida na espira.
191
Exemplo resolvido
Solução A fem induzida é igual a vezes a taxa de variação do fluxo
através de cada volta. Uma vez que B é uniforme, o fluxo através de
cada volta é simplesmente cos , onde é a área da
bobina.
O modulo da fem induzida é dada pela lei de Faraday
| |
Para um campo uniforme, o fluxo é
cos
Substituindo a expressão para o fluxo na expressão para
| | obtemos
| | cos cos 10.9
300 3.14 0,04 cos 30 85 / 111
Exercício Se a resistencia da bobina é de 200 Ω, qual é a corrente
induzida?
Resposta 0.555
Uma bobina com 80 voltas possui um raio de 5,0 cm e uma resistência
de 30 Ω. A que taxa deve um campo magnético perpendicular variar
para produzir uma corrente de 4,0 A na bobina?
Solução
A taxa de variação do campo magnético está relacionada à taxa de
variação do fluxo, que está relacionada à fem induzida pela lei de
Faraday. A fem na bobina é igual a .
O fluxo magnético é dado em termos de e o raio pela expressão
Que resolvendo para B fornece o seguinte resultado
192
Figura 10.3 Uma espira condutora de raio colocada em um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da espira. Se varia no tempo, um campo elétrico é induzido em uma direção tangente à circunferência da espira.
Exemplo resolvido
Tomando a derivada temporal de podemos relacionar a taxa de
variação temporal do campo com a taxa de variação do fluxo e daí com a
corrente e resistência do circuito
1
Mas como 120 segue que
120 80 3,14 5,0 10
191 /
Um campo magnético B é perpendicular ao plano da página e uniforme
em uma região circular de raio R como mostrado na Figura 10.3. Fora da
região circular, 0. A taxa de variação da magnitude de é / .
Qual é o módulo do campo elétrico induzido no plano da página (a) a
uma distância do centro da região circular, (b) a uma distância
, onde 0.
193
Solução
O campo magnético entrando na página é uniforme sobre a
região circular de raio . Quando varia, o fluxo magnético varia e uma
fem · é induzida em torno de alguma curva englobando o
fluxo.
O campo elétrico induzido é determinado aplicando a lei de
Faraday. Uma vez que estamos interessados apenas em módulos,
desprezaremos o sinal menos e usaremos · / .
Para tirar vantagem da simetria do sistema escolheremos uma
curva circular de raio para calcular a integral de linha. Por simetria, é
tangente a esta curva e tem o mesmo modulo em qualquer ponto sobre
ela. Então calculamos o fluxo magnético e tomamos sua derivada
temporal. Fazendo a integral e a derivada temporal iguais, otemos uma
expressão para .
(a) Aplicando a integral de linha para um circulo de raio ,
considerando que é tangente ao circulo e tem módulo constante,
obtemos
· 2 10.10
Por outro da lei de Faraday sabemos que a integral de linha está
relacionada à variação do fluxo magnético como
· 10.11
Para , é constante sobre o circulo. Uma vez que é
perpendicular ao plano do circulo, o fluxo é simplesmente . Assim
De onde segue que
10.12
De (10.10), (10.11) e (10.12) segue que
194
2
A expressão do campo elétrico em função de r e da variação do fluxo do
campo magnético é
2, 10.13
( b ) Para o circulo de raio , onde o campo magnético é nulo,
a integral de linha é a mesma que antes:
· 2
Uma vez que 0 para , o fluxo magnético é , isto é,
Aplicando a lei de Faraday determinamos o campo elétrico induzido
como
2
Resolvendo para teremos
2 , 10.14
Observe que o campo elétrico, no exemplo acima (Equações
(10.13) e (10.14)), é produzido por uma variação do campo magnético
em vez de ser produzido por cargas elétricas. Se cargas tivessem
produzido o campo , teriamos de partir de cargas positivas e finalizar
em cargas negativas. Uma vez que cargas não estão presentes, contudo,
forma circulos que não tem inicio e não tem fim. Observe também que
a fem existe em qualquer curva fechada limitando a área através da qual
o fluxo magnético está variando na presença ou não de um fio ou
circuito ao longo da curva.
Exercício Uma bobina de 40 voltas move‐se de forma brusca. Esta
bobina possui raio de 3 e resistência de 16 Ω. Se a bobina é girada
195
Figura 10.4 Quando a o magneto em forma de barra está se movendo em direção a espira, a fem induzida na espira produz uma corrente na direção mostrada. O campo magnético devido a corrente induzida na espira (indicada por linhas pontilhadas) produz um fluxo que se opõe ao aumento no fluxo através da espira devido ao movimento da barra magnética.
por um ângulo de 180 em um campo magnético de 5000 , quanta
carga passa através dela?
Resposta 7,07
10.4 A lei de Lenz
O sinal negativo na lei de Faraday tem a ver com a direção da fem
induzida, que pode ser determinada de um princípio físico geral
conhecido como lei de Lenz:
A fem induzida e corrente induzida estão em uma
direção tal que se oponham à variação que as produzem
Observe que não foi especificado que tipo de variação provoca a fem e
corrente induzida. Propositalmente deixamos a afirmativa vaga para
cobrir uma variedade de condições, que ilustraremos a seguir.
A Figura 10.4 mostra uma barra magnética movendo‐se em
direção a uma espira que possui resistência . Uma vez que o campo
magnético da barra magnética é para a direita, saindo do pólo norte
do magneto, o movimento do magneto em direção à espira tende a
aumentar o fluxo através da espira para a direita. (O campo magnético
na espira é mais forte quando o magneto está mais próximo.) A corrente
induzida na espira produz um campo magnético próprio. Esta corrente
196
Figura 10.5
Exemplo resolvido
induzida está na direção mostrada, de forma que o fluxo magnético que
ela produz é oposto aquele do magneto. O campo magnético induzido
tende a diminuir o fluxo através da espira. Se o magneto fosse movido
para longe da espira, isto decresceria o fluxo através da espira devido ao
magneto, a corrente induzida estaria na direção oposta daquela
mostrada na Figura 10.4. Neste caso, a corrente produzirá um campo
magnético para a direita, que tenderá a aumentar o fluxo através da
espira. Podemos esperar, portanto, que o movimento da espira se
aproximando ou se afastado magneto tenha o mesmo efeito que o de
mover o magneto. Apenas o movimento relativo é importante.
Uma bobina retangular de 80 , 20 de largura e 30 de
comprimento, está localizada em um campo magnético 0,8
dirigido para dentro da página, como mostrado na Figura 10.5, com
apenas metade da bobina na região do campo magnético. A resistência
da bobina é de 30 Ω. Determine o modulo e direção da corrente
induzida se a bobina é movida com uma velocidade de 2 / (a) para a
direita, (b) para cima, e (c) para baixo.
Solução
A corrente é igual a fem induzida
dividida pela resistência. Podemos calcular a
fem induzida no circuito quando a bobina se
movimenta calculando a taxa de variação do
fluxo através da bobina. O fluxo é
proporcional à distância . A direção da
corrente é determinada da lei de Lenz.
(a) O modulo da corrente induzida é igual a
fem dividida pela resistência
O modulo da fem induzida é dado pela lei de Faraday
197
Figura 10.6
Quando a bobina está se movendo para a direita (ou para a esquerda), o
fluxo não varia (até que a bobina deixe a região do campo magnético). A
corrente é, portanto nula, 0.
( b) O fluxo é o produto de B e a área, que é dada por 20 , ou seja
20
Calculando a taxa de variação do fluxo magnético quando a bobina está
movendo‐se para cima obtemos a expressão
20 80 0,8 0,20 2 / 25,6
Daí é possível calcular a corrente na bobina
25,6 30 Ω
0,853
Como o fluxo para dentro está aumentando, a corrente induzida
será no sentido de modo a produzir um fluxo para fora, compatível com
uma corrente circulando no sentido anti‐horário.
Quando a bobina se move para baixo a 2 / , a corrente tem o
mesmo modulo de quando se move para cima, mas é direcionada de
forma oposta, sendo portanto 0,853 no sentido horário.
QUESTÕES
Q1 Uma chapa de cobre é colocada entre os pólos de
um eletromagneto com o campo magnético
perpendicular à chapa. Quando a chapa é retirada,
uma força considerável é exigida, e a força exigida
aumenta com a velocidade. Explique.
Q2 Na Figura 10.6, se a velocidade angular da
espira é duplicada, então a freqüência com a qual a
corrente induzida muda de direção duplica, e a fem
máxima também duplica. Por quê? O torque exigido
para girar a espira muda? Explique.
198
Figura 10.7
Figura 10.8
Q3 Duas espiras circulares estão lado a lado no mesmo plano. Uma está
conectada a uma fonte que alimenta uma corrente em crescimento; a
outra é um anel simples fechado. A corrente induzida no anel está na
mesma direção que a corrente na espira conectada a fonte ou oposta? O
que acontece se na primeira espira a corrente é diminuída? Explique.
Q4 Um condutor reto, longo passa através do centro de um anel
metálico, perpendicular ao seu plano. Se a corrente no condutor
aumenta, é induzido corrente no anel? Explique.
Q5 Um retangulo metalico esta proximo a um fio longo, reto, portando
corrente, com dois de deus lados paralelos ao fio. Se a corrente no fio
longo está diminuindo, o retangulo será repelido por ou atraido para o
fio? Explique por que este resultado é consistente com a lei de Lenz.
Q6 Uma espira condutora quadrada esta na
região de um campo magnético uniforme,
constante. Pode a espira ser girada em torno
de um eixo ao longo de um lado e nenhuma
fem ser induzida na espira? Discuta, em termos
da orientação do eixo de rotação relativo a
direção do campo magnético.
Q7 Um anel metálico está orientado com o
plano de sua área perpendicular a um campo
magnético espacialmente uniforme que aumenta a uma taxa constante.
Se o raio do anel é duplicado, por que fator (a) a fem induzida no anel
será e (b) o campo elétrico induzido no anel muda?
PROBLEMAS
P1 Um cubo de aresta de comprimento
2,50 está posicionado como
mostrado na Figura 10.7. Um campo
magnético uniforme dado por
5,00 4,00 3,00 existe através
da região. (a) Calcule o fluxo através da
199
Figura 10.9
face sombreada. (b) Qual é o fluxo total através das seis faces?
P2 Um campo magnético uniforme de modulo 2000 está paralelo ao
eixo . Uma bobina quadrada de lado 5 tem uma volta simples e faz
um ângulo com o eixo z como mostrado na Figura 10.8. Determine o
fluxo magnético através da bobina quando (a) 0 , (b) 30 , (c)
60 , e (d) 90 .
P3 Uma bobina circular possui 25 e um raio de 5 . Está no
equador, onde o campo magnético da Terra é 0,7 G apontando para o
norte. Determine o fluxo magnetico através da bobina quando seu plano
está (a) na horizontal, (b) na vertical com seu eixo apontando para o
norte, (c) vertical com seu eixo apontando para leste, e (d) vertical com
seu eixo afzendo um ângulo de 30 com o norte.
P4 Um campo magnético de 1,2 é perpendicular a bobina quadrada de
14 . O comprimento de cada lado da bobina é 5 . (a)
Determine o fluxo magnético através da bobina. (b) Determine o fluxo
magnético através da bobina se o campo magnético forma um ângulo de
60 com a normal ao plano da bobina.
P5 Um campo magnético uniforme é perpendicular a
base de um hemisfério de raio . Calcule o fluxo
magnético através da superfície esférica do hemisfério.
P6 Um fio longo, reto porta uma corrente . Uma
espira retangular com dois lados paralelos ao fio reto
possui dois lados e com seu lado mais próximo a
uma distancia do fio reto, como mostrado na Figura
10.9. (a) Calcule o fluxo magnético através da espira
retangular. (Sugestão: Calcule o fluxo através de uma
faixa de área e integre de a
) (b) Avalie suas resposta para 5 , 10 ,
2 e 20 .
P7 Uma espira condutora está no plano desta pagina e porta uma
corrente induzida circulando no sentido horário. Quais das seguintes
afirmativas podem ser verdadeiras?
200
Figura 10.10
Figura 10.11
a ) Um campo magnético constante está dirigido para dentro da pagina.
b) Um campo magnético constante está dirigido para fora da pagina.
c) campo magnético crescente está dirigido para dentro da pagina.
d) campo magnético decrescente está dirigido para dentro da pagina.
e) campo magnético decrescente está dirigido para fora da pagina.
P8 O fluxo através de uma espira é dado por 4
10 , onde está em segundos. (a) Determine a fem induzida
como uma função do tempo. (b) Determine ambos e em
0, 2 , 4 e 6 .
P9 Um solenóide de comprimento
igual a 25 e raio 0,8 com
400 em um campo
magnético externo de 600 que
forma um ângulo de 50 com o
eixo do solenóide. (a) Determine o fluxo magnético através do
solenóide. (b) Determine o modulo da fem induzida no solenóide
se o campo magnético externo é
reduzido a zero em 1,4 .
P10 Forneça a direção da corrente
induzida no circuito da direita na Figura
10.10 quando a resistência no circuito
da esquerda é subitamente (a)
aumentado e (b) diminuído.
P11 As duas espiras circulares na Figura
10.11 possuem seus planos paralelos entre si. Quando visto de em
direção a , existe uma corrente circulando no sentido anti‐horário na
espira . Forneça a direção da corrente na espira B e afirme se as espiras
atraem‐se ou se repelem se a corrente na espira A está (a) aumentando
e (b) decrecendo.
P12 Uma espira circular de fio com um raio de 12,0 cm e orientado no
plano horizontal está localizado em uma região de campo magnético
201
uniforme. Um campo de 1,5 está dirigido ao longo da direção
positivo, que aponta para cima (a) Se a espira é removida da região de
campo no intervalo de tempo de 2,0 , determine a fem media que
será induzida na espira de fio durante o processo de extração. (b) Se a
bobina é vista olhando para baixo de cima, a corrente induzida na espira
no sentido horário ou anti‐horario?
BIBLIOGRAFIA
TIPLER P. A., MOSCA G. Physics for scientists and Engineers, sixth edition, Freeman, New York, 2008.
HALLIDAY D., Resnick R., Walker J., Física Fundamental, vol 3, Livros Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004
HALLIDAY D., RESNICK R., KRANE S., Física vol. 3, LTC, Rio de Janeiro, 2000
HEWITT P, Física Conceitual, Longman, 9ª edição, Rio Grande do Sul, 200x
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de Janeiro, 200X
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, John Wiley, New York, 2004.
YOUNG H. D., FREEDMAN, R. A. Física 3: Eletromagnetismo, Pearson, São Paulo, 2008.
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