View
302
Download
9
Category
Preview:
Citation preview
KT 1
ATALET
MOMENTLERİ
KT 2
ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ
Atalet momenti, kesitlerin geometrisine bağlı olarak hesaplanan büyüklüklerden
biridir.
Bir alanın atalet momenti, moment ekseninden itibaren lineer olarak değişen
bir yayılı yükün momentini hesaplamak gerektiğinde ortaya çıkar. Bu türden bir
yüklemenin tipik bir örneği, sıvı içine batırılmış bir levha yüzeyi üzerinde etkiyen
bir sıvı basıncıyla oluşur.
Sıvı yüzeyinin altında “y” mesafesinde
bulunan bir noktada uygulanan basınç
veya birim alana düşen kuvvet, sıvının
özgül ağırlığı olmak üzere,
p= y olarak ifade edilir.
Buna göre şekilde gösterilen sıvı içine
batırılmış levhanın dA alanı üzerine
suyun uyguladığı kuvvetin büyüklüğü:
dF=pdA=( .y )dA
KT 3
Bu kuvvetin levhanın x eksenine göre momenti;
dAyydFdM 2
Dolayısıyla tüm basınç dağılımıyla üretilen moment;
dAyM 2
Buradaki integral, levha alanının x eksenine göre atalet momentini ifade eder;
dAyI x
2
Bu formdaki integraller ile, akışkanlar mekaniği, malzeme mekaniği, yapı
mekaniği ve makine tasarımında sıksık karşılaşıldığı için atalet momenti
hesabında kullanılan yöntemler önemlidir.
KT 4
ATALET MOMENTLERİ
Şekilde gösterilen x-y düzlemindeki A
alanını gözönüne alalım. dA düzlemsel
diferansiyel alanın x ve y eksenlerine göre
atalet momentleri;
İle tanımlanır. Tüm alan için atalet
momentleri integralle belirlenir:
dAxdI
dAydI
y
x
2
2
y= dA’nın x eksenine uzaklığı
x= dA’nın y eksenine uzaklığı
Alanların
ikinci
momenti
momentiataletgöreeksenineydAxI
momentiataletgöreekseninexdAyI
A
y
A
x
.
.
2
2
KT 5
KUTUPSAL ATALET MOMENTİ
dA diferansiyel alanın bir O noktasına göre ikinci momenti de formüle
edilebilir:
Burada; r= O noktasında dA’ya dik mesafedir. Tüm alan için bu değer;
olarak bulunur.
Buna kutupsal (polar) atalet momenti adı verilir.
dArdJO
2
yx
A
O IIdArJ 2
JO ile Ix ve Iy arasındaki bu
bağıntı, “ r=x2+y2 ” ilişkisinden
kaynaklanmaktadır. Ix , Iy ve JO
her zaman pozitif büyüklüklerdir,
çünkü uzaklığın karesi ve alanın
çarpımı ile bulunmaktadırlar.
Atalet momenti birimi, uzunluğun
dördüncü kuvvetini içermektedir:
m4, mm4 gibi.
KT 6
ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Bir alanın merkezinden geçen bir eksene
göre atalet momenti biliniyorsa, paralel
eksen teoremini kullanarak bu eksene
paralel bir eksene göre atalet momentini
belirlemek mümkündür.
Şekilde gösterilen A alanının x eksenine
göre atalet momentini bulmaya çalışalım.
dA diferansiyel elemanı x’ geometrik
merkez ekseninden y’ kadar uzaklıktadır.
x ve x’ paralel eksenleri arasındaki sabit
uzaklık dy ile gösterilmiştir.
KT 7
ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Bu durumda tanım gereği,
olarak bulunur.
dAdyIxd y
2)(
Tüm alan içinse;
KT 8
ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre atalet momentidir.
İkinci integral, sıfırdır. Çünkü, x’ ekseni alanın geometrik merkezinden geçer,
Üçüncü integral, toplam alanı verdiğinden
00 dAydAyy
AddAdAdA yy
A
22
Bu durumda,
222
yxyx AdIAddAyI
x’ eksenine paralel
diğer bir eksen Ağırlık merkezinden geçen x’
eksenine göre atalet momenti
dik uzaklık
Steiner teoremi
KT 9
Benzer ifade y ekseni (Iy) için yazılabilir:
2
xyy AdII
Ağırlık merkezinden geçen y’ eksenine göre
atalet momenti
Toplam alan
y ekseninin y’ eksenine
olan dik uzaklığı
x’ ve y’ eksenleri, ağırlık merkezinden (C noktasından) geçmektedir.
Steiner teoremi
KT 10
Sonuç; verilen bir alanın herhangi bir eksene göre atalet momenti ( veya );
o alanın ağırlık merkezinden geçen ve bu eksenlere paralel olan eksene göre
atalet momenti ile ( veya ), eksenler arasındaki dik uzaklığın karesinin alan
ile çarpımının toplamına eşittir. Buna paralel eksenler teoremi ya da Steiner
Teoremi denir.
yIxI
yIxI
NOT: Steiner teoremi, yalnız ve yalnız ağırlık merkezinden geçen eksen
takımına göre kaydırmada kullanılır. Yani, ağırlık merkezinden geçen eksenden
farklı bir eksene göre kaydırma yapıldığında yukarıdaki bağıntılar geçerli
değildir. Çünkü ağırlık merkezi dışındaki herhangi bir noktada statik moment
"sıfır" değildir. Formülasyon bu durumda değişir.
KT 11
O noktasından geçen x-y düzlemine dik eksene göre polar atalet momenti:
2
222
'
AdJJo
ddd
IIJ
C
xy
yxC
Alan merkezine göre
polar atalet momenti
Ağırlık merkezinden O
noktasına olan dik uzaklık
olduğuna göre ve
ise,
Toplam alan
Bu üç denklemin her biri (Ix, Iy, Jo), bir alanın bir eksene atalet momentinin,
alanın geometrik merkezinden geçen paralel bir eksene göre atalet momenti ile,
alanın eksenler arasındaki uzaklığın karesiyle çarpımının, toplamına eşit
olduğunu ifade eder.
KT 12
Alan Atalet Momentinin İntegralle Bulunması
• Eğer eğri y=f(x) şeklinde tanımlanabiliyorsa, sonlu uzunlukta (x veya y) ama
diferansiyel genişlikte (dx veya dy) bir dikdörtgen eleman seçerek hesap
yapılabilir.
•dA alanına sahip diferansiyel eleman, eğriyi bir (x,y) noktasında kesecek şekilde
seçilmelidir.
KT 13
1.durum:
Elemanın uzunluğu eksenlere paralel seçilebilir. Dikkat edilirse, diferansiyel
dikdörtgen elemanlar, x-eksenine göre atalet momenti bulunurken x-eksenine
paralel, y eksenine göre atalet momenti bulunurken ise y-eksenine paralel
seçilmiştir. Bu durumda aşağıdaki formüller kullanılabilir:
ydxdAxdydA
dAxIvedAyI yx
22
KT 14
2.durum:
Elemanın uzunluğu eksene dik seçilirse, moment kolu x ve/veya y seçilen
dikdörtgen için sabit olmamaktadır. Bu durumda, paralel eksenler teoremi
kullanılmalıdır.
Önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen yatay bir eksene göre atalet
momenti hesaplanmalı, daha sonra paralel eksen teoremi kullanılarak elemanın x
veya y eksenine göre atalet momenti belirlenmelidir.
KT 15
ÖRNEK 90
Şekilde gösterilen dikdörtgen alanın ;
a) Ağırlık merkezinden geçen x’ eksenine göre atalet momentini
b) Dikdörtgenin tabanından geçen xb eksenine göre atalet momentini
c) x’-y‘ düzlemine dik olan, ağırlık merkezinden geçen z’ eksenine göre (polar) atalet momenti değerini bulunuz.
KT 16
1.duruma göre:
a) Diferansiyel eleman x’ eksenine paralel seçildiği için tüm eleman x’
eksenine y’ mesafesindedir ve 1. durumdaki denklem kullanılabilir.
b) Paralel eksen teoremine göre;
( 2.duruma göre )
KT 17
c)
2/
2/
32
2/
2/
22
'12
1'')'(''
b
bA
b
b
y hbdxxhhdxxdAxI
KT 18
ÖRNEK 91
Şekilde gösterilen alanın x eksenine
göre atalet momentini bulunuz.
İntegrasyon için seçilen diferansiyel
alan elemanı, x eksenine paraleldir.
Eleman dy kalınlığına sahip ve eğriyi
bir (x,y) noktasında kestiği için, alanı
dA=(100-x)dy’dir.
1.durum
KT 19
2.durum
İntegrasyon için seçilen diferansiyel alan elemanı, y
eksenine paraleldir. Eleman dx kalınlığına sahiptir ve eğriyi
bir (x,y) noktasında kesmektedir. Elemanın bütün parçaları
x ekseninden aynı mesafede bulunmamaktadır, bu nedenle
elemanın bu eksene göre atalet momentini belirlemek için
paralel eksen teoremi kullanılmalıdır.
2/~
12
1
12
1
3
3
'
yyydxId
yhdxbbhI
x
x
KT 20
KOMPOZİT ALANLARIN ATALET MOMENTLERİ
Kompozit alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi basit parça
veya şekilden oluşur. Bu parçaların her birinin ortak bir eksene göre atalet
momenti biliniyor veya belirlenebiliyorsa, kompozit alanın atalet momenti,
tüm parçaların atalet momentlerinin cebirsel toplamına eşit olur.
Analizde izlenecek yol:
Parçalar: alan parçalara ayrılır ve her bir
parçanın ağırlık merkezlerinden referans
eksene olan dik uzaklıklar belirlenir.
Paralel eksen teoremi: eğer parçaların
merkezlerinden geçen eksenler referans
ekseniyle çakışmıyorsa paralel eksen teoremi
kullanılmalıdır.( ; :parçaların
ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre
atalet momenti)
Toplam: Tüm alanın referans eksene göre
atalet momenti, parçalar için elde edilen
sonuçlar toplanarak bulunur. Kompozit alanda
boşluk varsa, bu boşluğun atalet momenti
toplamdan çıkartılır.
2AdII I
KT 21
Basit geometrik şekillerin atalet momentleri
G h
2
hy
b
2
bx
DİKDÖRTGEN
(b=h İSE KARE)
hbA .
x
y
x
y
O
3
3
bhI x
3
3hbI y
3
12
bhI x
12
3hbI y
KT 22
Bazı Şekillerin Atalet Momentleri
KT 23
KT 24
ÖRNEK 92
Şekilde gösterilen kompozit alanın x-
eksenine göre atalet momentini hesaplayınız.
Çözüm:
Kompozit alan, yanda gösterildiği gibi,
dikdörtgenden daireyi çıkartarak elde edilir.
Her iki alanın ağırlık merkezi şekilde
gösterilmiştir.
Merkezler x-ekseni ile çakışmamaktadır. Bu
nedenle paralel eksen teoremi
kullanılmalıdır.
KT 25
DAİRE
DİKDÖRTGEN
TOPLAM
Kompozit alanın x-eksenine
göre atalet momenti:
KT 26
Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre atalet momentlerini
hesaplayınız.
(0,0) x
y
7 cm 7 cm
4 cm
18 cm
4 cm
12 cm
?xI
?yI
?),( yxG
ÖRNEK 93
KT 27
x
y
G
(0,0) x
y
7 cm 7 cm
4 cm
18 cm
4 cm
12 cm
y
cmcmcm
x 9)12*4()4*18(
9*)12*4(9*)4*18(
cmcmcm
y 8.10)12*4()4*18(
6*)12*4(14*)4*18(
G1
G2
n
i
iiixx AyII1
2).(
23
23
)68.10(*)12*4(12
12*4)8.1014(*)4*18(
12
4*18xI
(14-10.8) cm
(10.8-6) cm
42.2515 cmI x
1
2
KT 28
x
y
G
(0,0) x
y
7 cm 7 cm
4 cm
18 cm
4 cm
12 cm
x
cmx 9
cmy 8.10
G1
G2
n
i
iiiyy AxII1
2).(
23
23
)99(*)12*4(12
12*4)99(*)4*18(
12
4*18yI
42008cmI y
1
2
12
12*4
12
4*18 33
yI
KT 29
(0,0) x
y
7 cm 7 cm
4 cm
18 cm
4 cm
12 cm 42008cmI y
42.2515 cmI x G (9, 10.8)
KT 30
ÖRNEK 94
x
y
r=5cm
9 cm 8 cm 10 cm 5 cm
12 cm
Ix = ? Iy= ?
Çözümü sınıfta yapılacaktır.
KT 31
(0,0) x
y
2 cm
15 cm
2 cm
13 cm
?xI
?yI
?),( yxG
Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen
eksen takımına göre atalet momentlerini
hesaplayınız.
ÖRNEK 95
KT 32
(0,0) x
y
2 cm
15 cm
2 cm
13 cm
1
2
x
y
G
G1
G2
cmx 48.4
cmy 52.10
cmcmcm
x 48.4)13*2()2*15(
1*)13*2(5.7*)2*15(
cmcmcm
y 52.10)13*2()2*15(
1*)13*2(14*)2*15(
KT 33
(0,0) x
y
2 cm
15 cm
2 cm
13 cm
1
2
x
y
G
G1
G2
cmx 48.4
cmy 52.10
(14-10.52) cm
(10.52-6.5) cm
n
i
iiixx AyII1
2).(
23
23
)5.652.10(*)13*2(12
13*2)52.1014(*)2*15(
12
2*15xI
465.1159 cmI x
KT 34
(0,0) x
y
2 cm
15 cm
2 cm
13 cm
1
2
x
y
G
G1
G2
cmx 48.4
cmy 52.10
(7.5-4.48) cm
(4.48-1) cm
n
i
iiiyy AxII1
2).(
23
23
)148.4(*)13*2(12
13*2)48.45.7(*)2*15(
12
2*15yI
465.1159 cmI y
KT 35
465.1159 cmI y
465.1159 cmI x
G (4.48, 10.52)
(0,0) x
y
2 cm
15 cm
2 cm
13 cm
KT 36
Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen
eksen takımına göre atalet momentlerini
hesaplayınız.
(0,0) x
y
4 cm
9 cm
1 cm
12 cm
?xI
?yI
?),( yxG
1 cm
4 cm 1 cm
ÖRNEK 96
KT 37
(0,0) x
y
4 cm
9 cm
1 cm
12 cm
1 cm
4 cm 1 cm
1
2
3
x
y
G2
G1
G3
G
cmcmcmcm
x 5.4)1*9()12*1()1*9(
5.4*)1*9(5.4*)12*1(5.4*)1*9(
cmcmcmcm
y 0.7)1*9()12*1()1*9(
5.0*)1*9(7*)12*1(5.13*)1*9(
Her iki eksene göre simetrik
olan bu alanda aslında ağırlık
merkezini hesaplamaya gerek
bile yok.
KT 38
(0,0) x
y
4 cm
9 cm
1 cm
12 cm
1 cm
4 cm 1 cm
1
2
3
x
y
G2
G1
G3
G
n
i
iiixx AyII1
2).(
23
23
23
)5.00.7(*)1*9(12
1*9)77(*)12*1(
12
12*1)75.13(*)1*9(
12
1*9xI
4906 cmI x
1y
3y
02 y
G (4.5 ; 7)
G1 (4.5 ; 13.5)
G2 (4.5 ; 7)
G3 (4.5 ; 0.5)
KT 39
03 x
(0,0) x
y
4 cm
9 cm
1 cm
12 cm
1 cm
4 cm 1 cm
1
2
3
x
y
G2
G1
G3
G 02 x
n
i
iiiyy AxII1
2).(
23
23
23
)5.45.4(*)1*9(12
1*9)5.45.4(*)12*1(
12
12*1)5.45.4(*)1*9(
12
1*9yI
45.122 cmI y
01 x
G (4.5 ; 7)
G1 (4.5 ; 13.5)
G2 (4.5 ; 7)
G3 (4.5 ; 0.5)
KT 40
(0,0) x
y
2 cm
7 cm
2 cm
8 cm
?xI
?yI
?),( yxG
Şekildeki alanın ağırlık merkezinden
geçen eksen takımına göre atalet
momentlerini hesaplayınız.
ÖRNEK 97
KT 41
(0,0) x
y
2 cm
7 cm
2 cm
8 cm
1
2
x
y
G2
G1
G
cmcmcm
x 83.4)8*2()2*7(
6*)8*2(5.3*)2*7(
cmcmcm
y 33.6)8*2()2*7(
4*)8*2(9*)2*7(
3.5 cm
4 cm 6 cm
9 cm
cmx 83.4
cmy 33.6
KT 42
(0,0) x
y
2 cm
7 cm
2 cm
8 cm
1
2
x
y
G2
G1
G
cmy 33.6
n
i
iiixx AyII1
2).(
23
23
)433.6(*)8*2(12
8*2)33.69(*)2*7(
12
2*7xI
cmy 67.2)33.69(1
cmy 67.1)433.6(2
467.276 cmI x
KT 43
(0,0) x
y
2 cm
7 cm
2 cm
8 cm
1
2
x
y
G2
G1
G
cmx 83.4
n
i
iiiyy AxII1
2).(
23
23
)83.46(*)8*2(12
8*2)5.383.4(*)2*7(
12
2*7yI
cmx 33.1)5.383.4(1
cmx 17.1)83.46(2
417.109 cmI y
KT 44
ÖRNEK 98
Şekilde gösterilen kirişin kesit
alanının x ve y ağırlık merkezi
eksenlerine göre atalet momentlerini
belirleyiniz.
Kesit, A, B ve D dikdörtgen alanların
birleşimi olarak düşünülebilir. Bu
alanların ağırlık merkezleri şekilde
gösterilmiştir.
KT 45
A ve D dikdörtgenleri :
B dikdörtgeni:
KT 46
Toplam
Tüm kesitin atalet momentleri için toplama işlemi yapılır.
KT 47
ÖRNEK 99
Şekilde verilen taralı alanın
ağırlık merkezinin y
koordinatını ve x eksenine
göre atalet momentini
hesaplayınız.
ödev
KT 48
ÖRNEK 100
15 cm 10 cm 10 cm
20 cm
10 cm
y
x
r=10 cm
ödev
Recommended