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Crittografia a chiave pubblica.Morandi Maria
Stelzer Sara
Seminario di Algebra
Crittografia a chiave pubblica. – p. 1/48
Sistemi di crittografia
Scambio di messaggi cifrati privatifra due utenti
possono essere decifrati solo dagli utenti in
possesso della chiave
Crittografia a chiave pubblica. – p. 2/48
Sistemi di crittografia
Scambio di messaggi cifrati privatifra due utenti
possono essere decifrati solo dagli utenti inpossesso della chiave
Crittografia a chiave pubblica. – p. 2/48
Sistemi di crittografia
Scambio di messaggi cifrati privatifra due utenti
possono essere decifrati solo dagli utenti in
possesso della chiave
Crittografia a chiave pubblica. – p. 2/48
Sistemi di crittografia
? a chiave privata:
un’ unica chiave utile siaper cifrare che per de-cifrare nota solo agli utentiinteressati
?a chiave pubblica: utilizza due chiavi, una diconoscenza pubblica percifrare, una nota al solodestinatario del messag-gio per decifrare
Crittografia a chiave pubblica. – p. 3/48
Sistemi di crittografia
? a chiave privata: un’ unica chiave utile siaper cifrare che per de-cifrare nota solo agli utentiinteressati
?a chiave pubblica: utilizza due chiavi, una diconoscenza pubblica percifrare, una nota al solodestinatario del messag-gio per decifrare
Crittografia a chiave pubblica. – p. 3/48
Sistemi di crittografia
? a chiave privata: un’ unica chiave utile siaper cifrare che per de-cifrare nota solo agli utentiinteressati
?a chiave pubblica:
utilizza due chiavi, una diconoscenza pubblica percifrare, una nota al solodestinatario del messag-gio per decifrare
Crittografia a chiave pubblica. – p. 3/48
Sistemi di crittografia
? a chiave privata: un’ unica chiave utile siaper cifrare che per de-cifrare nota solo agli utentiinteressati
?a chiave pubblica: utilizza due chiavi, una diconoscenza pubblica percifrare, una nota al solodestinatario del messag-gio per decifrare
Crittografia a chiave pubblica. – p. 3/48
Gli autori principali
Crittografia a chiave pubblica. – p. 4/48
Indice
X Sistema RSA
X Logaritmo discreto: ∗ Sistema Diffie-Hellman∗ Sistema Massey-Omura∗ Sistema ElGamal
X Problema dello zaino
Crittografia a chiave pubblica. – p. 5/48
Sistema RSA
X Moltiplicare:
p · q = nelementare! ,
. . . operazione inversa. . .
X Fattorizzare:n = ? · ? · ? · . . . · ?
difficile!/
Crittografia a chiave pubblica. – p. 6/48
Sistema RSA
X Moltiplicare:p · q = n
elementare! ,. . . operazione inversa. . .
X Fattorizzare:n = ? · ? · ? · . . . · ?
difficile!/
Crittografia a chiave pubblica. – p. 6/48
Sistema RSA
X Moltiplicare:p · q = n
elementare! ,
. . . operazione inversa. . .
X Fattorizzare:n = ? · ? · ? · . . . · ?
difficile!/
Crittografia a chiave pubblica. – p. 6/48
Sistema RSA
X Moltiplicare:p · q = n
elementare! ,. . . operazione inversa. . .
X Fattorizzare:n = ? · ? · ? · . . . · ?
difficile!/
Crittografia a chiave pubblica. – p. 6/48
Sistema RSA
X Moltiplicare:p · q = n
elementare! ,. . . operazione inversa. . .
X Fattorizzare:
n = ? · ? · ? · . . . · ?difficile!/
Crittografia a chiave pubblica. – p. 6/48
Sistema RSA
X Moltiplicare:p · q = n
elementare! ,. . . operazione inversa. . .
X Fattorizzare:n = ? · ? · ? · . . . · ?
difficile!/
Crittografia a chiave pubblica. – p. 6/48
Sistema RSA
X Moltiplicare:p · q = n
elementare! ,. . . operazione inversa. . .
X Fattorizzare:n = ? · ? · ? · . . . · ?
difficile!/
Crittografia a chiave pubblica. – p. 6/48
Algoritmo RSA
Alice
KE,A = (nA, eA)
Bob
KE,B = (nB, eB)
KD,A = (nA, dA)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 7/48
Algoritmo RSA
Alice
KE,A = (nA, eA)
Bob
KE,B = (nB, eB)
KD,A = (nA, dA)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 7/48
Algoritmo RSA
Alice
KE,A = (nA, eA)
Bob
KE,B = (nB, eB)
KD,A = (nA, dA)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 7/48
Algoritmo RSA
Alice
∗ Scelta di pA e qA primi grandi∗ Calcolo di nA = pA · qA
∗ Calcolo di ϕ(nA) = (pA − 1) · (qA − 1)∗ Scelta di eA primo con ϕ(nA)
∗ Calcolo di dA ≡ e−1
A (mod ϕ(nA))
Crittografia a chiave pubblica. – p. 8/48
Algoritmo RSA
Alice∗ Scelta di pA e qA primi grandi
∗ Calcolo di nA = pA · qA
∗ Calcolo di ϕ(nA) = (pA − 1) · (qA − 1)∗ Scelta di eA primo con ϕ(nA)
∗ Calcolo di dA ≡ e−1
A (mod ϕ(nA))
Crittografia a chiave pubblica. – p. 8/48
Algoritmo RSA
Alice∗ Scelta di pA e qA primi grandi∗ Calcolo di nA = pA · qA
∗ Calcolo di ϕ(nA) = (pA − 1) · (qA − 1)∗ Scelta di eA primo con ϕ(nA)
∗ Calcolo di dA ≡ e−1
A (mod ϕ(nA))
Crittografia a chiave pubblica. – p. 8/48
Algoritmo RSA
Alice∗ Scelta di pA e qA primi grandi∗ Calcolo di nA = pA · qA
∗ Calcolo di ϕ(nA) = (pA − 1) · (qA − 1)
∗ Scelta di eA primo con ϕ(nA)
∗ Calcolo di dA ≡ e−1
A (mod ϕ(nA))
Crittografia a chiave pubblica. – p. 8/48
Algoritmo RSA
Alice∗ Scelta di pA e qA primi grandi∗ Calcolo di nA = pA · qA
∗ Calcolo di ϕ(nA) = (pA − 1) · (qA − 1)∗ Scelta di eA primo con ϕ(nA)
∗ Calcolo di dA ≡ e−1
A (mod ϕ(nA))
Crittografia a chiave pubblica. – p. 8/48
Algoritmo RSA
Alice∗ Scelta di pA e qA primi grandi∗ Calcolo di nA = pA · qA
∗ Calcolo di ϕ(nA) = (pA − 1) · (qA − 1)∗ Scelta di eA primo con ϕ(nA)
∗ Calcolo di dA ≡ e−1
A (mod ϕ(nA))
Crittografia a chiave pubblica. – p. 8/48
Algoritmo RSA
Cifratura:
Plaintext_ Ciphertext
C = P eA(mod nA)
Decifratura:
Ciphertext_ Plaintext
P = C dA(mod nA)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 9/48
Algoritmo RSA
Cifratura:
Plaintext_ Ciphertext
C = P eA(mod nA)
Decifratura:
Ciphertext_ Plaintext
P = C dA(mod nA)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 9/48
Algoritmo RSA
Cifratura:
Plaintext_ Ciphertext
C = P eA(mod nA)
Decifratura:
Ciphertext_ Plaintext
P = C dA(mod nA)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 9/48
Algoritmo RSA
Cifratura:
Plaintext_ Ciphertext
C = P eA(mod nA)
Decifratura:
Ciphertext_ Plaintext
P = C dA(mod nA)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 9/48
Algoritmo RSA
NOTA !· Alfabeto di N-lettere
· unità plaintext: blocchi di k -lettere
· unità ciphertext: blocchi di l-lettere
Crittografia a chiave pubblica. – p. 10/48
Esempio RSA
N = 128 k = 3 l = 4
Bob Alice
P= ’SISTER’ KE,A = (5 250 907, 12 809)
KD,A = (5 250 907, 276 793)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 11/48
Esempio RSA
N = 128 k = 3 l = 4
Bob Alice
P= ’SISTER’ KE,A = (5 250 907, 12 809)
KD,A = (5 250 907, 276 793)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 11/48
Esempio RSA
N = 128 k = 3 l = 4
Bob Alice
P= ’SISTER’
KE,A = (5 250 907, 12 809)
KD,A = (5 250 907, 276 793)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 11/48
Esempio RSA
N = 128 k = 3 l = 4
Bob Alice
P= ’SISTER’ KE,A = (5 250 907, 12 809)
KD,A = (5 250 907, 276 793)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 11/48
Esempio RSA
Bob
k = 3 ⇒ P1 = SISP2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282+73 · 1281+83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282+73 · 1281+83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→
83 · 1282+73 · 1281+83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ S
83 · 1282+73 · 1281+83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 +
73 · 1281+83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 + I
73 · 1281+83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 + 73 · 1281 +
83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 +73 · 1281 + S
83 · 1280= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280
= 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280 = 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280 = 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bobk = 3 ⇒ P1 = SIS
P2 = TER
SIS 7−→ 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280 = 1369299
C = P eA(mod nA)
1369299 12809(mod 5250907) = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 12/48
Esempio RSA
Bob
C1 = 440725 = 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281 + 21
<NUL>
<SUB>
s
<NAK>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
Crittografia a chiave pubblica. – p. 13/48
Esempio RSA
BobC1 = 440725 = 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281 + 21
<NUL>
<SUB>
s
<NAK>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
Crittografia a chiave pubblica. – p. 13/48
Esempio RSA
BobC1 = 440725 = 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281 + 21
<NUL>
<SUB>
s
<NAK>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
Crittografia a chiave pubblica. – p. 13/48
Esempio RSA
BobC1 = 440725 = 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281 + 21
<NUL>
<SUB>
s
<NAK>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
Crittografia a chiave pubblica. – p. 13/48
Esempio RSA
BobC1 = 440725 = 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281 + 21
<NUL>
<SUB>
s
<NAK>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
Crittografia a chiave pubblica. – p. 13/48
Esempio RSA
BobC1 = 440725 = 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281 + 21
<NUL>
<SUB>
s
<NAK>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
Crittografia a chiave pubblica. – p. 13/48
Esempio RSA
BobC1 = 440725 = 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281 + 21
<NUL>
<SUB>
s
<NAK>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
Crittografia a chiave pubblica. – p. 13/48
Esempio RSA
Bob
P2 = TER 7−→ <NUL>x<’><FF> = C2
C =<NUL><SUB>s<NAK><NUL>x<’><FF>↘
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 14/48
Esempio RSA
BobP2 = TER 7−→ <NUL>x<’><FF> = C2
C =<NUL><SUB>s<NAK><NUL>x<’><FF>↘
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 14/48
Esempio RSA
BobP2 = TER 7−→ <NUL>x<’><FF> = C2
C =<NUL><SUB>s<NAK><NUL>x<’><FF>
↘Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 14/48
Esempio RSA
BobP2 = TER 7−→ <NUL>x<’><FF> = C2
C =<NUL><SUB>s<NAK><NUL>x<’><FF>↘
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 14/48
Esempio RSA
BobP2 = TER 7−→ <NUL>x<’><FF> = C2
C =<NUL><SUB>s<NAK><NUL>x<’><FF>↘
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 14/48
Esempio RSA
Alice
l = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→0 · 1283+26 · 1282+115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→0 · 1283+26 · 1282+115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>
7−→0 · 1283+26 · 1282+115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→
0 · 1283+26 · 1282+115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→< NUL >
0 · 1283+26 · 1282+115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0 ·1283 +
26 · 1282+115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0 · 1283+ < SUB >
26 · 1282+115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0 ·1283 +26 ·1282 +
115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0·1283+26·1282+s
115 · 1281+21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0 ·1283 +26 ·1282 +115 ·1281 +
21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0 · 1283 + 26 · 1282 + 115 · 1281+ < NAK >
21= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0 ·1283 +26 ·1282 +115 ·1281 +21
= 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alicel = 4 ⇒ C1=<NUL><SUB>s<NAK>
C2=<NUL>x<’><FF>
C1 = <NUL><SUB>s<NAK>7−→ 0 ·1283+26 ·1282+115 ·1281+21 = 440725
Crittografia a chiave pubblica. – p. 15/48
Esempio RSA
Alice
P = CdA(mod nA)
440725 276793(mod 5250907) = 1369299
P1 = 1369299 = 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280
7→ SIS
Crittografia a chiave pubblica. – p. 16/48
Esempio RSA
Alice
P = CdA(mod nA)
440725 276793(mod 5250907) = 1369299
P1 = 1369299 = 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280
7→ SIS
Crittografia a chiave pubblica. – p. 16/48
Esempio RSA
Alice
P = CdA(mod nA)
440725 276793(mod 5250907) = 1369299
P1 = 1369299 = 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280
7→ SIS
Crittografia a chiave pubblica. – p. 16/48
Esempio RSA
Alice
P = CdA(mod nA)
440725 276793(mod 5250907) = 1369299
P1 = 1369299 = 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280
7→ SIS
Crittografia a chiave pubblica. – p. 16/48
Esempio RSA
Alice
P = CdA(mod nA)
440725 276793(mod 5250907) = 1369299
P1 = 1369299 = 83 · 1282 + 73 · 1281 + 83 · 1280
7→ SIS
Crittografia a chiave pubblica. – p. 16/48
Esempio RSA
Alice
C2 = <NUL>x<’><FF> 7−→ TER = P2
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 17/48
Esempio RSA
AliceC2 = <NUL>x<’><FF> 7−→ TER = P2
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 17/48
Esempio RSA
AliceC2 = <NUL>x<’><FF> 7−→ TER = P2
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 17/48
Esempio RSA
AliceC2 = <NUL>x<’><FF> 7−→ TER = P2
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 17/48
Indice
X Sistema RSA
X Logaritmo discreto: ∗ Sistema Diffie-Hellman∗ Sistema Massey-Omura∗ Sistema ElGamal
X Problema dello zaino
Crittografia a chiave pubblica. – p. 18/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:b x = y
semplice! ,. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:
b x = y
semplice! ,. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:b x = y
semplice! ,. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:b x = y
semplice! ,
. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:b x = y
semplice! ,. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:b x = y
semplice! ,. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:
logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:b x = y
semplice! ,. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
. . . su gruppo finito . . .
X Elevare:b x = y
semplice! ,. . . operazione inversa. . .
X Logaritmo:logb y =? x ?
difficile! /
Crittografia a chiave pubblica. – p. 19/48
Logaritmo discreto
∗ G gruppo finito
∗ b elemento di G
∗ y elemento di G, potenza di b
⇒ il logaritmo discreto di y per la base b è unintero x tale che
b x = y
Crittografia a chiave pubblica. – p. 20/48
Logaritmo discreto
∗ G gruppo finito
∗ b elemento di G
∗ y elemento di G, potenza di b
⇒ il logaritmo discreto di y per la base b è unintero x tale che
b x = y
Crittografia a chiave pubblica. – p. 20/48
Logaritmo discreto
∗ G gruppo finito
∗ b elemento di G
∗ y elemento di G, potenza di b
⇒ il logaritmo discreto di y per la base b è unintero x tale che
b x = y
Crittografia a chiave pubblica. – p. 20/48
Logaritmo discreto
∗ G gruppo finito
∗ b elemento di G
∗ y elemento di G, potenza di b
⇒ il logaritmo discreto
di y per la base b è unintero x tale che
b x = y
Crittografia a chiave pubblica. – p. 20/48
Logaritmo discreto
∗ G gruppo finito
∗ b elemento di G
∗ y elemento di G, potenza di b
⇒ il logaritmo discreto di y per la base b è unintero x tale che
b x = y
Crittografia a chiave pubblica. – p. 20/48
Logaritmo discreto
∗ G gruppo finito
∗ b elemento di G
∗ y elemento di G, potenza di b
⇒ il logaritmo discreto di y per la base b è unintero x tale che
b x = y
Crittografia a chiave pubblica. – p. 20/48
Sistema Diffie-Hellman
X campo con q elementi
Fq
; q conosciuto da tutti
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 21/48
Sistema Diffie-Hellman
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 21/48
Sistema Diffie-Hellman
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 21/48
Sistema Diffie-Hellman
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 21/48
Sistema Diffie-Hellman
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 21/48
Sistema Diffie-Hellman
Alice Bob
? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato? Sceglie 1 ≤ b ≤ q − 1
; b privato
? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico? Calcola gb ∈
Fq
; gb pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 22/48
Sistema Diffie-Hellman
Alice Bob? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato
? Sceglie 1 ≤ b ≤ q − 1
; b privato
? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico? Calcola gb ∈
Fq
; gb pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 22/48
Sistema Diffie-Hellman
Alice Bob? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato? Sceglie 1 ≤ b ≤ q − 1
; b privato
? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico? Calcola gb ∈
Fq
; gb pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 22/48
Sistema Diffie-Hellman
Alice Bob? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato? Sceglie 1 ≤ b ≤ q − 1
; b privato
? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico
? Calcola gb ∈Fq
; gb pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 22/48
Sistema Diffie-Hellman
Alice Bob? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato? Sceglie 1 ≤ b ≤ q − 1
; b privato
? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico? Calcola gb ∈
Fq
; gb pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 22/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
Alice BobConosce: a, gb Conosce: b, ga
⇓gab = (gb)a
⇓gab = (ga)b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 23/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
Alice Bob
Conosce: a, gb Conosce: b, ga
⇓gab = (gb)a
⇓gab = (ga)b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 23/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
Alice BobConosce: a, gb
Conosce: b, ga
⇓gab = (gb)a
⇓gab = (ga)b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 23/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
Alice BobConosce: a, gb Conosce: b, ga
⇓gab = (gb)a
⇓gab = (ga)b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 23/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
Alice BobConosce: a, gb Conosce: b, ga
⇓gab = (gb)a
⇓gab = (ga)b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 23/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
Alice BobConosce: a, gb Conosce: b, ga
⇓gab = (gb)a
⇓gab = (ga)b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 23/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
CharlieConosce: ga, gb
Non sa calcolare gab
NON conosce a, b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 24/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
Charlie
Conosce: ga, gb
Non sa calcolare gab
NON conosce a, b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 24/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
CharlieConosce: ga, gb
Non sa calcolare gab
NON conosce a, b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 24/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
CharlieConosce: ga, gb
Non sa calcolare gab
NON conosce a, b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 24/48
Sistema Diffie-Hellman
Chiave privata: gab
CharlieConosce: ga, gb
Non sa calcolare gab
NON conosce a, b
Crittografia a chiave pubblica. – p. 24/48
Esempio Diffie-Hellman
∗ Alfabeto 26-lettere
∗ Campo finito F53
∗ g = 2
C ≡ P + K (mod 26)
; K = chiave privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 25/48
Esempio Diffie-Hellman
∗ Alfabeto 26-lettere
∗ Campo finito F53
∗ g = 2
C ≡ P + K (mod 26)
; K = chiave privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 25/48
Esempio Diffie-Hellman
∗ Alfabeto 26-lettere
∗ Campo finito F53
∗ g = 2
C ≡ P + K (mod 26)
; K = chiave privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 25/48
Esempio Diffie-Hellman
∗ Alfabeto 26-lettere
∗ Campo finito F53
∗ g = 2
C ≡ P + K (mod 26)
; K = chiave privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 25/48
Esempio Diffie-Hellman
∗ Alfabeto 26-lettere
∗ Campo finito F53
∗ g = 2
C ≡ P + K (mod 26)
; K = chiave privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 25/48
Esempio Diffie-Hellman
Alice Bob
a = 29 b = 19
ga = 45 ∈ F53
gb = 12 ∈ F53
}
Pubbliche
K = gab = 21
Crittografia a chiave pubblica. – p. 26/48
Esempio Diffie-Hellman
Alice Boba = 29
b = 19
ga = 45 ∈ F53
gb = 12 ∈ F53
}
Pubbliche
K = gab = 21
Crittografia a chiave pubblica. – p. 26/48
Esempio Diffie-Hellman
Alice Boba = 29 b = 19
ga = 45 ∈ F53
gb = 12 ∈ F53
}
Pubbliche
K = gab = 21
Crittografia a chiave pubblica. – p. 26/48
Esempio Diffie-Hellman
Alice Boba = 29 b = 19
ga = 45 ∈ F53
gb = 12 ∈ F53
}
Pubbliche
K = gab = 21
Crittografia a chiave pubblica. – p. 26/48
Esempio Diffie-Hellman
Alice Boba = 29 b = 19
ga = 45 ∈ F53
gb = 12 ∈ F53
}
Pubbliche
K = gab = 21
Crittografia a chiave pubblica. – p. 26/48
Esempio Diffie-Hellman
Alice Boba = 29 b = 19
ga = 45 ∈ F53
gb = 12 ∈ F53
}
Pubbliche
K = gab = 21
Crittografia a chiave pubblica. – p. 26/48
Esempio Diffie-Hellman
Bob
P = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 =18+21 (mod 26)= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER
C ≡ P + K (mod 26)
C1 =18+21 (mod 26)= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 =18+21 (mod 26)= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 =
18+21 (mod 26)= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = S
18+21 (mod 26)= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = 18 +
21 (mod 26)= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = 18 + K
21 (mod 26)= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = 18 + 21 (mod 26)
= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = 18 + 21 (mod 26) = 13
= N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = 18 + 21 (mod 26) = N
C = NDNOZM 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = 18 + 21 (mod 26) = N
C = NDNOZM
7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
BobP = SISTER C ≡ P + K (mod 26)
C1 = 18 + 21 (mod 26) = N
C = NDNOZM 7−→
AliceCrittografia a chiave pubblica. – p. 27/48
Esempio Diffie-Hellman
Alice
C = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 =13−21 (mod 26)= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM
P ≡ C − K (mod 26)
P1 =13−21 (mod 26)= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 =13−21 (mod 26)= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 =
13−21 (mod 26)= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = N
13−21 (mod 26)= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = 13 −
21 (mod 26)= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = 13 − K
21 (mod 26)= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = 13 − 21 (mod 26)
= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = 13 − 21 (mod 26) = 18
= S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = 13 − 21 (mod 26) = S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = 13 − 21 (mod 26) = S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Esempio Diffie-Hellman
AliceC = NDNOZM P ≡ C − K (mod 26)
P1 = 13 − 21 (mod 26) = S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 28/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi
Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob? Sceglie
0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1 MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob? Sceglie
0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1 MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob? Sceglie
0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1 MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob
? Sceglie0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1 MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob? Sceglie
0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1 MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob? Sceglie
0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1 MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob? Sceglie
0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1
MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
X campo con q elementi Fq
; q conosciuto da tutti
Alice Bob? Sceglie
0 ≤ eA ≤ (q − 1)
? Sceglie0 ≤ eB ≤ (q − 1)
MCD(eA, q − 1) = 1 MCD(eB, q − 1) = 1
Crittografia a chiave pubblica. – p. 29/48
Sistema Massey-Omura
Alice Bob
? CalcoladA = e−1
A (mod (q − 1))
? CalcoladB = e−1
B (mod (q − 1))
; eA, dA private ; eB, dB private
Crittografia a chiave pubblica. – p. 30/48
Sistema Massey-Omura
Alice Bob? CalcoladA = e−1
A (mod (q − 1))
? CalcoladB = e−1
B (mod (q − 1))
; eA, dA private ; eB, dB private
Crittografia a chiave pubblica. – p. 30/48
Sistema Massey-Omura
Alice Bob? CalcoladA = e−1
A (mod (q − 1))
? CalcoladB = e−1
B (mod (q − 1))
; eA, dA private ; eB, dB private
Crittografia a chiave pubblica. – p. 30/48
Sistema Massey-Omura
Alice Bob? CalcoladA = e−1
A (mod (q − 1))
? CalcoladB = e−1
B (mod (q − 1))
; eA, dA private
; eB, dB private
Crittografia a chiave pubblica. – p. 30/48
Sistema Massey-Omura
Alice Bob? CalcoladA = e−1
A (mod (q − 1))
? CalcoladB = e−1
B (mod (q − 1))
; eA, dA private ; eB, dB private
Crittografia a chiave pubblica. – p. 30/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
Alice
PeB 7−→ (PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB
7−→ (PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→
(PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ PeB
(PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙(PeB)eA
((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙((PeB)eA)dB = P eA
7−→(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙((PeB)eA)dB = P eA 7−→
(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙((PeB)eA)dB = P eA 7−→ PeA
(PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙((PeB)eA)dB = P eA 7−→ (PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema Massey-Omura
Bob
P7−→
AlicePeB 7−→ (PeB)eA
↙((PeB)eA)dB = P eA 7−→ (PeA)dA = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 31/48
Sistema ElGamal
X campo con q elementi
Fq
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 32/48
Sistema ElGamal
X campo con q elementi Fq
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 32/48
Sistema ElGamal
X campo con q elementi Fq
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 32/48
Sistema ElGamal
X campo con q elementi Fq
X g generatore di F∗q
; g conosciuto da tutti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 32/48
Sistema ElGamal
Alice Bob
? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 33/48
Sistema ElGamal
Alice Bob? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato
? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 33/48
Sistema ElGamal
Alice Bob? Sceglie 1 ≤ a ≤ q − 1
; a privato? Calcola ga∈ Fq
; ga pubblico
Crittografia a chiave pubblica. – p. 33/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak) ↗? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak) ↗? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak) ↗? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak) ↗? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak)
↗? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak) ↗
? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak) ↗? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Sistema ElGamal
Bob
P7−→
Alice
? Sceglie k intero
(gk, P · gak) ↗? Calcola (gk)a = gak
? Calcola P·gak
gak = P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 34/48
Indice
X Sistema RSA
X Logaritmo discreto: ∗ Sistema Diffie-Hellman∗ Sistema Massey-Omura∗ Sistema ElGamal
X Problema dello zaino
Crittografia a chiave pubblica. – p. 35/48
Problema dello zaino
Dato uno zaino di volume V
e dato un insieme{vi} di k interi positivi trovare la k − upla di interin = (εk−1εk−2 . . . ε1ε0)2 tale che
V =n∑
i=0
εivi
se n esiste.
Crittografia a chiave pubblica. – p. 36/48
Problema dello zaino
Dato uno zaino di volume V e dato un insieme{vi} di k
interi positivi trovare la k − upla di interin = (εk−1εk−2 . . . ε1ε0)2 tale che
V =n∑
i=0
εivi
se n esiste.
Crittografia a chiave pubblica. – p. 36/48
Problema dello zaino
Dato uno zaino di volume V e dato un insieme{vi} di k oggetti
interi positivi trovare la k − upla
di interi n = (εk−1εk−2 . . . ε1ε0)2 tale che
V =n∑
i=0
εivi
se n esiste.
Crittografia a chiave pubblica. – p. 36/48
Problema dello zaino
Dato uno zaino di volume V e dato un insieme{vi} di k interi positivi
trovare la k − upla di interin = (εk−1εk−2 . . . ε1ε0)2 tale che
V =n∑
i=0
εivi
se n esiste.
Crittografia a chiave pubblica. – p. 36/48
Problema dello zaino
Dato uno zaino di volume V e dato un insieme{vi} di k interi positivi trovare la k − upla diinteri n = (εk−1εk−2 . . . ε1ε0)2 tale che
V =n∑
i=0
εivi
se n esiste.
Crittografia a chiave pubblica. – p. 36/48
Problema dello zaino
Dato uno zaino di volume V e dato un insieme{vi} di k interi positivi trovare la k − upla diinteri n = (εk−1εk−2 . . . ε1ε0)2 tale che
V =n∑
i=0
εivi
se n esiste.
Crittografia a chiave pubblica. – p. 36/48
Zaino superincreasing
L’insieme {vi} è particolare:
? vi−1 < vi < vi+1 ⇒ ordine crescente
? vi >i−1∑
j=0
vj ⇒ ogni vi maggiore della somma dei
precedenti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 37/48
Zaino superincreasing
L’insieme {vi} è particolare:
? vi−1 < vi < vi+1
⇒ ordine crescente
? vi >i−1∑
j=0
vj ⇒ ogni vi maggiore della somma dei
precedenti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 37/48
Zaino superincreasing
L’insieme {vi} è particolare:
? vi−1 < vi < vi+1 ⇒ ordine crescente
? vi >i−1∑
j=0
vj ⇒ ogni vi maggiore della somma dei
precedenti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 37/48
Zaino superincreasing
L’insieme {vi} è particolare:
? vi−1 < vi < vi+1 ⇒ ordine crescente
? vi >i−1∑
j=0
vj
⇒ ogni vi maggiore della somma dei
precedenti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 37/48
Zaino superincreasing
L’insieme {vi} è particolare:
? vi−1 < vi < vi+1 ⇒ ordine crescente
? vi >i−1∑
j=0
vj ⇒ ogni vi maggiore della somma dei
precedenti
Crittografia a chiave pubblica. – p. 37/48
Algoritmo per superincreasing
Dati: V intero e la k − upla di {vi}
1- Scegliere W = V e porre j = k2- Partendo con εj−1 decrementare j e
porre tutti gli εj = 0 finchè vi ≤ W talei sarà chiamato i0 e εi0 = 1
3- Sostituire W = W − vi0 e porre j = i04- Se W > 0 eseguire nuovamente punto 2
e 35- Se W = 0 ⇒ Ok! Soluzione UNICA6- Se W > 0 e tutti i vi > W ⇒ Non esiste
soluzione
Crittografia a chiave pubblica. – p. 38/48
Algoritmo per superincreasing
Dati: V intero e la k − upla di {vi}1- Scegliere W = V e porre j = k
2- Partendo con εj−1 decrementare j eporre tutti gli εj = 0 finchè vi ≤ W talei sarà chiamato i0 e εi0 = 1
3- Sostituire W = W − vi0 e porre j = i04- Se W > 0 eseguire nuovamente punto 2
e 35- Se W = 0 ⇒ Ok! Soluzione UNICA6- Se W > 0 e tutti i vi > W ⇒ Non esiste
soluzione
Crittografia a chiave pubblica. – p. 38/48
Algoritmo per superincreasing
Dati: V intero e la k − upla di {vi}1- Scegliere W = V e porre j = k2- Partendo con εj−1 decrementare j e
porre tutti gli εj = 0 finchè vi ≤ W talei sarà chiamato i0 e εi0 = 1
3- Sostituire W = W − vi0 e porre j = i04- Se W > 0 eseguire nuovamente punto 2
e 35- Se W = 0 ⇒ Ok! Soluzione UNICA6- Se W > 0 e tutti i vi > W ⇒ Non esiste
soluzione
Crittografia a chiave pubblica. – p. 38/48
Algoritmo per superincreasing
Dati: V intero e la k − upla di {vi}1- Scegliere W = V e porre j = k2- Partendo con εj−1 decrementare j e
porre tutti gli εj = 0 finchè vi ≤ W talei sarà chiamato i0 e εi0 = 1
3- Sostituire W = W − vi0 e porre j = i0
4- Se W > 0 eseguire nuovamente punto 2e 3
5- Se W = 0 ⇒ Ok! Soluzione UNICA6- Se W > 0 e tutti i vi > W ⇒ Non esiste
soluzione
Crittografia a chiave pubblica. – p. 38/48
Algoritmo per superincreasing
Dati: V intero e la k − upla di {vi}1- Scegliere W = V e porre j = k2- Partendo con εj−1 decrementare j e
porre tutti gli εj = 0 finchè vi ≤ W talei sarà chiamato i0 e εi0 = 1
3- Sostituire W = W − vi0 e porre j = i04- Se W > 0 eseguire nuovamente punto 2
e 3
5- Se W = 0 ⇒ Ok! Soluzione UNICA6- Se W > 0 e tutti i vi > W ⇒ Non esiste
soluzione
Crittografia a chiave pubblica. – p. 38/48
Algoritmo per superincreasing
Dati: V intero e la k − upla di {vi}1- Scegliere W = V e porre j = k2- Partendo con εj−1 decrementare j e
porre tutti gli εj = 0 finchè vi ≤ W talei sarà chiamato i0 e εi0 = 1
3- Sostituire W = W − vi0 e porre j = i04- Se W > 0 eseguire nuovamente punto 2
e 35- Se W = 0 ⇒ Ok! Soluzione UNICA
6- Se W > 0 e tutti i vi > W ⇒ Non esistesoluzione
Crittografia a chiave pubblica. – p. 38/48
Algoritmo per superincreasing
Dati: V intero e la k − upla di {vi}1- Scegliere W = V e porre j = k2- Partendo con εj−1 decrementare j e
porre tutti gli εj = 0 finchè vi ≤ W talei sarà chiamato i0 e εi0 = 1
3- Sostituire W = W − vi0 e porre j = i04- Se W > 0 eseguire nuovamente punto 2
e 35- Se W = 0 ⇒ Ok! Soluzione UNICA6- Se W > 0 e tutti i vi > W ⇒ Non esiste
soluzione
Crittografia a chiave pubblica. – p. 38/48
Crittografia con lo zaino
X Unità P equivalenti a k − uple di interi
X Ogni utente fissa:· una k − upla {v0 . . . vk−1} con proprietàdi superincreasing
· un intero m tale che m >k−1∑
i=0
vi
· un intero a primo con m tale che0 < a < m
Crittografia a chiave pubblica. – p. 39/48
Crittografia con lo zaino
X Unità P equivalenti a k − uple di interi
X Ogni utente fissa:
· una k − upla {v0 . . . vk−1} con proprietàdi superincreasing
· un intero m tale che m >k−1∑
i=0
vi
· un intero a primo con m tale che0 < a < m
Crittografia a chiave pubblica. – p. 39/48
Crittografia con lo zaino
X Unità P equivalenti a k − uple di interi
X Ogni utente fissa:· una k − upla {v0 . . . vk−1} con proprietàdi superincreasing
· un intero m tale che m >k−1∑
i=0
vi
· un intero a primo con m tale che0 < a < m
Crittografia a chiave pubblica. – p. 39/48
Crittografia con lo zaino
X Unità P equivalenti a k − uple di interi
X Ogni utente fissa:· una k − upla {v0 . . . vk−1} con proprietàdi superincreasing
· un intero m tale che m >k−1∑
i=0
vi
· un intero a primo con m tale che0 < a < m
Crittografia a chiave pubblica. – p. 39/48
Crittografia con lo zaino
X Unità P equivalenti a k − uple di interi
X Ogni utente fissa:· una k − upla {v0 . . . vk−1} con proprietàdi superincreasing
· un intero m tale che m >k−1∑
i=0
vi
· un intero a primo con m tale che0 < a < m
Crittografia a chiave pubblica. – p. 39/48
Crittografia con lo zaino
X Calcola b = a−1 (mod m)
X Calcola la k − upla {wi} definita dawi = avi (mod m)
KE = {w0, . . . , wk−1}
KD = (b,m)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 40/48
Crittografia con lo zaino
X Calcola b = a−1 (mod m)
X Calcola la k − upla {wi} definita dawi = avi (mod m)
KE = {w0, . . . , wk−1}
KD = (b,m)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 40/48
Crittografia con lo zaino
X Calcola b = a−1 (mod m)
X Calcola la k − upla {wi} definita dawi = avi (mod m)
KE = {w0, . . . , wk−1}
KD = (b,m)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 40/48
Crittografia con lo zaino
X Calcola b = a−1 (mod m)
X Calcola la k − upla {wi} definita dawi = avi (mod m)
KE = {w0, . . . , wk−1}
KD = (b,m)
Crittografia a chiave pubblica. – p. 40/48
Cifrare
Messaggio P = (εk−1 . . . ε1ε0)2
C =k−1∑
i=0
εiwi
Crittografia a chiave pubblica. – p. 41/48
Cifrare
Messaggio P = (εk−1 . . . ε1ε0)2
C =k−1∑
i=0
εiwi
Crittografia a chiave pubblica. – p. 41/48
Decifrare
V ≡ bC (mod m)
V ≡ bC (mod m) ≡k−1∑
i=0
εibwi ≡ εivi (mod m)
V =k−1∑
i=0
εivi
Algoritmo perproblema dello zaino
superincreasing
}
Si ricava P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 42/48
Decifrare
V ≡ bC (mod m) ≡k−1∑
i=0
εibwi
V ≡ bC (mod m) ≡k−1∑
i=0
εibwi ≡ εivi (mod m)
V =k−1∑
i=0
εivi
Algoritmo perproblema dello zaino
superincreasing
}
Si ricava P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 42/48
Decifrare
V ≡ bC (mod m) ≡k−1∑
i=0
εibwi ≡ εivi (mod m)
V =k−1∑
i=0
εivi
Algoritmo perproblema dello zaino
superincreasing
}
Si ricava P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 42/48
Decifrare
V ≡ bC (mod m) ≡k−1∑
i=0
εibwi ≡ εivi (mod m)
V =k−1∑
i=0
εivi
Algoritmo perproblema dello zaino
superincreasing
}
Si ricava P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 42/48
Decifrare
V ≡ bC (mod m) ≡k−1∑
i=0
εibwi ≡ εivi (mod m)
V =k−1∑
i=0
εivi
Algoritmo perproblema dello zaino
superincreasing
}
Si ricava P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 42/48
Decifrare
V ≡ bC (mod m) ≡k−1∑
i=0
εibwi ≡ εivi (mod m)
V =k−1∑
i=0
εivi
Algoritmo perproblema dello zaino
superincreasing
}
Si ricava P
Crittografia a chiave pubblica. – p. 42/48
Esempio
X Alfabeto 26-lettere
X Unità P = singole lettere = 5 − uple da(00000)2 a (11001)2
Bob
“SISTER”7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 43/48
Esempio
X Alfabeto 26-lettereX Unità P = singole lettere
= 5 − uple da(00000)2 a (11001)2
Bob
“SISTER”7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 43/48
Esempio
X Alfabeto 26-lettereX Unità P = singole lettere = 5 − uple da
(00000)2 a (11001)2
Bob
“SISTER”7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 43/48
Esempio
X Alfabeto 26-lettereX Unità P = singole lettere = 5 − uple da
(00000)2 a (11001)2
Bob
“SISTER”7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 43/48
Esempio
X Alfabeto 26-lettereX Unità P = singole lettere = 5 − uple da
(00000)2 a (11001)2
Bob
“SISTER”7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 43/48
Esempio
X Alfabeto 26-lettereX Unità P = singole lettere = 5 − uple da
(00000)2 a (11001)2
Bob
“SISTER”7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 43/48
Esempio
Alice
? Fissa {vi} = (2, 3, 7, 15, 31)? Fissa m = 61 e a = 17? Calcola b = 18? Calcola {wi} = (34, 51, 58, 11, 39)
KE,A = (34, 51, 58, 11, 39) → Pubblica
KD,A = (18, 61) → Privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 44/48
Esempio
Alice? Fissa {vi} = (2, 3, 7, 15, 31)
? Fissa m = 61 e a = 17? Calcola b = 18? Calcola {wi} = (34, 51, 58, 11, 39)
KE,A = (34, 51, 58, 11, 39) → Pubblica
KD,A = (18, 61) → Privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 44/48
Esempio
Alice? Fissa {vi} = (2, 3, 7, 15, 31)? Fissa m = 61 e a = 17
? Calcola b = 18? Calcola {wi} = (34, 51, 58, 11, 39)
KE,A = (34, 51, 58, 11, 39) → Pubblica
KD,A = (18, 61) → Privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 44/48
Esempio
Alice? Fissa {vi} = (2, 3, 7, 15, 31)? Fissa m = 61 e a = 17? Calcola b = 18
? Calcola {wi} = (34, 51, 58, 11, 39)
KE,A = (34, 51, 58, 11, 39) → Pubblica
KD,A = (18, 61) → Privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 44/48
Esempio
Alice? Fissa {vi} = (2, 3, 7, 15, 31)? Fissa m = 61 e a = 17? Calcola b = 18? Calcola {wi} = (34, 51, 58, 11, 39)
KE,A = (34, 51, 58, 11, 39) → Pubblica
KD,A = (18, 61) → Privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 44/48
Esempio
Alice? Fissa {vi} = (2, 3, 7, 15, 31)? Fissa m = 61 e a = 17? Calcola b = 18? Calcola {wi} = (34, 51, 58, 11, 39)
KE,A = (34, 51, 58, 11, 39) → Pubblica
KD,A = (18, 61) → Privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 44/48
Esempio
Alice? Fissa {vi} = (2, 3, 7, 15, 31)? Fissa m = 61 e a = 17? Calcola b = 18? Calcola {wi} = (34, 51, 58, 11, 39)
KE,A = (34, 51, 58, 11, 39) → PubblicaKD,A = (18, 61) → Privata
Crittografia a chiave pubblica. – p. 44/48
Esempio
Bob
P1 = S= (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39= 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73) 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
BobP1 = S
= (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39= 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73) 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
BobP1 = S = 18
= (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39= 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73) 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
BobP1 = S = (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39= 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73) 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
BobP1 = S = (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39
= 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73) 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
BobP1 = S = (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39 = 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73) 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
BobP1 = S = (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39 = 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73)
7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
BobP1 = S = (10010)2
= 0 · 34 + 1 · 51 + 0 · 58 + 0 · 11 + 1 · 39 = 90
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73) 7−→
Alice
Crittografia a chiave pubblica. – p. 45/48
Esempio
Alice
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73)
C1 = 90⇒ V1 ≡ 90 · 18 (mod 61)= 34
. . . ora applica l’algoritmo dello zainosuperincreasing . . .
Crittografia a chiave pubblica. – p. 46/48
Esempio
Alice
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73)
C1 = 90⇒ V1 ≡ 90 · 18 (mod 61)= 34
. . . ora applica l’algoritmo dello zainosuperincreasing . . .
Crittografia a chiave pubblica. – p. 46/48
Esempio
Alice
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73)
C1 = 90
⇒ V1 ≡ 90 · 18 (mod 61)= 34
. . . ora applica l’algoritmo dello zainosuperincreasing . . .
Crittografia a chiave pubblica. – p. 46/48
Esempio
Alice
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73)
C1 = 90 ⇒ V1 ≡ 90 · 18 (mod 61)
= 34
. . . ora applica l’algoritmo dello zainosuperincreasing . . .
Crittografia a chiave pubblica. – p. 46/48
Esempio
Alice
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73)
C1 = 90 ⇒ V1 ≡ 90 · 18 (mod 61) = 34
. . . ora applica l’algoritmo dello zainosuperincreasing . . .
Crittografia a chiave pubblica. – p. 46/48
Esempio
Alice
C = (90, 11, 90, 124, 58, 73)
C1 = 90 ⇒ V1 ≡ 90 · 18 (mod 61) = 34
. . . ora applica l’algoritmo dello zainosuperincreasing . . .
Crittografia a chiave pubblica. – p. 46/48
Esempio
Alice
V1 = 34 > 31 → ε4 = 134 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 0
3 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34
> 31 → ε4 = 134 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 0
3 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31
→ ε4 = 134 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 0
3 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3
< 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15
→ ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 0
3 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03
< 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7
→ ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 0
3 = 3 → ε1 = 13 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03
= 3 → ε1 = 13 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3
→ ε1 = 13 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0
< 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2
→ ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
AliceV1 = 34 > 31 → ε4 = 1
34 − 31 = 3 < 15 → ε3 = 03 < 7 → ε2 = 03 = 3 → ε1 = 1
3 − 3 = 0 < 2 → ε0 = 0
Crittografia a chiave pubblica. – p. 47/48
Esempio
Alice
V1 ⇒ (10010)2 = 18 = S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 48/48
Esempio
AliceV1 ⇒ (10010)2 = 18 = S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 48/48
Esempio
AliceV1 ⇒ (10010)2 = 18 = S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 48/48
Esempio
AliceV1 ⇒ (10010)2 = 18 = S
P = SISTER
Crittografia a chiave pubblica. – p. 48/48
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