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Movimientos en el planohttp://books.google.com.co/books?id=KaGtpcKcr0MC&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false

Llamaremos transformación geométrica a una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro único punto del mismo plano

Definición M.1:

Si a un punto M de un plano , de coordenadas se le hace corresponder cierto punto , de coordenadas del mismo plano, se dice que en el plano se ha dado una transformación geométrica de puntos; el punto se llamará la imagen del punto M.

Definición M.1:

Se llama transformación geométrica del plano a toda aplicación biyectiva

a cada punto P de otro punto , llamado el homólogo de P

Axiomas Axioma M.1: Si P es

un punto considerado en una posición inicial (primera), entonces le corresponde un punto, y sólo uno, en la posición final (segunda) llamado transformado u homólogo del primero y viceversa.

Axioma M.2: Todo movimiento conserva las relaciones de incidencia y de orden.

Axioma M.3: Ningún movimiento puede transformar un segmento, un ángulo o cualquier objeto geométrico en partes del mismo.

Definición M.2:

Un movimiento en el plano es una biyección φ:, que conserva las distancias, las relaciones de incidencia y las relaciones de orden entre puntos del plano.

Axiomas Axioma M.4: La

transformación resultante de aplicar dos movimientos sucesivos (uno tras el otro) es otro movimiento y se denomina Producto o composición de movimientos.

Axioma M.5: La transformación inversa de todo movimiento es otro movimiento. Es decir, si existe un movimiento que transforma el plano en , existe otro movimiento recíproco que transforma en .

Axioma M.6: Existe un movimiento y sólo uno que transforma una semirrecta en otra semirrecta , y un semiplano limitado por la recta en un semiplano determinado por la segunda.

Si los dos semiplanos que definen el movimiento caen a un mismo lado de las semirrectas respectivas, el movimiento se llama movimiento directo en caso contrario se llama movimiento inverso.

OA

A'

S

S'

OA

A'

S

S'

Movimiento directo Movimiento inverso

:

Definición M.3

Dos figuras del mismo plano son congruentes si existe un movimiento del plano tal que . Si son congruentes escribimos .

•Simetría central

Movimientoshttp://goo.gl/EJg3A

Definición M.4Sean un punto del plano , una semirrecta contenida en, y los semiplanos limitados por .

La simetría central, con respecto a O, denotada por es el movimiento directo del plano que envía la semirrecta en su opuesta y al plano en el plano . Si es el simétrico de respecto al centro O, escribimos:

Definición M.5:Sea O un punto fijo y A un punto cualquiera; decimos que el punto es el simétrico de A con respecto a O si O es el punto medio del segmento .

Ejercicio No 1

http://goo.gl/uIkgu

•Simetría axial

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2007/sada/m2simetria.htm

Definición M.6: Sean un plano, una

semirrecta contenida en , y los semiplanos limitados por la recta .

La simetría axial con eje en la recta denotada por es el movimiento inverso, del plano que conserva y transforma el semiplano en su opuesto.

Si es el simétrico de con respecto a la recta , escribimos .

Definición M.7 Dos puntos y son

simétricos respecto a una recta cuando ésta es perpendicular al segmento en su punto medio.

Si M es el punto medio de , entonces , es el simétrico del punto A respecto a la recta . La recta se llama eje de simetría.

Definición M.8

Toda perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento se llama mediatriz del mismo.

http://www.2pi.com.ar/geometria-1.html

DefiniciónM.9

: Si una figura geométrica contiene todos los puntos que cumplen determinada propiedad y recíprocamente, sólo contiene los puntos que la cumplen, se dice que es el lugar geométrico de dichos puntos.

http://goo.gl/vYwTI

Bisectriz de un ángulo El lugar

geométrico, de todos los puntos interiores de un ángulo que equidistan de sus lados, es la bisectriz del ángulo.

Propiedades de la perpendicularidad

Dos rectas que se cortan son perpendiculares, si los cuatro ángulos que forman en el punto de corte son congruentes.

Por un punto de una recta no pasa más que una perpendicular a ella. En consecuencia, la mediatriz es única.

Toda perpendicular, a una recta, por un punto A exterior a ella pasa por su simétrico , que es único.

Todos los ángulos congruentes con un ángulo recto son rectos, y recíprocamente todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.

Construcciones Para trazar una

bisectriz se dibuja un arco de radio arbitrario con centro en el vértice. Este arco corta a los lados en los puntos M y N. La bisectriz b es la mediatriz de la cuerda MN.

Construcciones

http://goo.gl/WMZdahttp://goo.gl/xmRI9

•Traslación

Movimientoshttp://goo.gl/crkTr

Un vector geométrico Es un segmento dirigido, es decir, un

segmento con dirección, sentido y longitud o magnitud.

La dirección del vector es la de la recta que lo contiene, el sentido está relacionado con la relación de precedencia que se establece del origen al extremo y la magnitud es la longitud del segmento.

Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, sentido y magnitud.

Los vectores y tienen la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

A

B

C

D

Si A, B y C son tres puntos colineales del plano , tales que , la traslación AB es el movimiento directo del plano que envía la semirrecta en la semirrecta , dejando invariantes los semiplanos que determinan la recta

traslación AB la simbolizamos por . La recta se llama directriz de la traslación y es el vector traslación.

•Rotación

Movimientoshttp://goo.gl/rfV4r

Rotación

Sea O un punto fijo de un plano. Una rotación, con centro de giro un punto O y un ángulo, denotada por , es el movimiento directo del plano que envía un punto de en otro punto que deja a O invariante y donde,

y

Al ángulo se le llama ángulo de giro o ángulo de rotación, el cual tiene una orientación positiva si el giro se hace en sentido antihorario y negativa si se hace en sentido horario.

AO

A'

La rotación R con centro en O transforma en a los semiplanos S y T limitados por , en S´ y T’ respectivamente.

PROPIEDADES: Dos puntos homólogos A y A' en una

rotación equidistan del centro.

El centro de rotación está en la mediatriz del segmento definido por todo par de puntos homólogos

Ejercicios En los siguientes caso se ha efectuado

una rotación, se pide hallar el centro de rotación

De un segmento y su transformado . De dos semirrectas homólogas cuyas

opuestas se cortan en un punto P, que equidista de sus puntos iniciales.

De dos semirrectas homólogas cuyas opuestas no se cortan en un punto P, que equidista de sus puntos iniciales.

Dado un triángulo ABC isósceles, aplicar una rotación de 120

Rotar un segmento en sentido positivo, respecto a su punto medio,

Hallar el transformado del punto A de la siguiente figura

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2007/sada/